6.วิธีการตรวจสอบว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันหรือไม่

วธิ กี ารตรวจสอบวา่ ความสัมพันธ์
เป็นฟังกช์ ันหรือไม่

ิวธีการตรวจสอบว่าความ ัสม ัพน ์ธเ ็ปน ความสัมพนั ธ์ท่ีกาหนดให้เขยี นเปน็ แบบแจก
ฟัง ์กชันหรือไม่ แจงสมาชิก

ความสมั พนั ธท์ ี่กาหนดให้เขยี นเปน็ แบบบอก
เงื่อนไขของสมาชิก

ความสัมพันธท์ ี่กาหนดใหเ้ ขยี นเป็น
แบบแจกแจงสมาชกิ

วธิ ีการตรวจสอบสามารถทาไดโ้ ดยดทู ี่สมาชกิ ตัวหนา้ วา่ มกี ารใช้
ซากันหรอื ไม่

ถ้าไม่มกี ารใชซ้ า ความสมั พันธน์ นั จะเป็นฟงั ก์ชนั

ถา้ มกี ารใชซ้ า ใหพ้ จิ ารณาสมาชกิ ตัวหลงั ของ
คอู่ ันดบั ดงั กล่าว ซง่ึ ถา้ มีค่าเทา่ กันกจ็ ะเป็นฟงั ก์ชนั
แต่ถา้ มคี า่ ไมเ่ ท่ากนั ก็จะไมเ่ ป็นฟงั ก์ชัน



 ตัวอยา่ งที่ 1 จงพิจารณาความสัมพันธต์ อ่ ไปนเี ป็นฟงั ก์ชนั หรอื ไม่

1. r1 = {(-1, 1), (3, 5), (-1, sin 90  ), (2, 1)}
2. r2 = {(2, 3), (3, 3), (5, 7), (7, 9)}
3. r3 = {(-3, 1), (7, 2), (-3, -1), (2, 7)}

วิธีทา
1) r1 เป็นฟงั ก์ชนั เพราะว่า มคี ู่อันดบั อยู่ 2 ค่ทู ่มี ีสมาชิกตัวหน้าเหมือนกนั
แตส่ มาชกิ ตวั หลงั เท่ากนั ด้วย sin 90 = 1 จึงทาให้ r1 เปน็ ฟังก์ชนั
2) r2 เป็นฟงั ก์ชนั เพราะวา่ ไม่มคี ู่อันดับตงั แต่ 2 คู่ขนึ ไป ท่มี ีสมาชกิ ตวั หน้า
เหมือนกนั เลย
3) r3 ไม่เปน็ ฟงั กช์ นั เพราะว่า มคี ู่อนั ดับ 2 คู่ ทมี่ สี มาชกิ ตัวหนา้ เหมือนกัน คือ
(-3, 1) และ (-3, -1) ซ่ึงสมาชกิ ตัวหลงั ต่างกนั 1  -1 ทาให้ r3 ไม่เป็น
ฟงั ก์ชัน

ความสมั พันธท์ ่กี าหนดให้เขยี นเปน็ แบบบอกเง่อื นไข
ของสมาชิก

วธิ กี ารตรวจสอบสามารถทาได้ 2 วธิ ี ดังนี

ตรวจสอบโดยลองแทนค่าแต่ละตวั ของ x ใด ๆ
ทเี่ ปน็ สมาชกิ ตวั หนา้ ของความสัมพนั ธล์ งใน
ความสมั พันธ์

ถ้าเง่อื นไขของความสมั พนั ธ์เราทราบรปู แบบของ
กราฟหรอื โจทย์กาหนดกราฟมาให้ วิธีการ
ตรวจสอบสามารถทาได้โดยการลากเสน้ ตรงขนาน
กับแกน Y ใด ๆ ตดั กราฟของความสมั พนั ธ์

1. ตรวจสอบโดยลองแทนค่าแต่ละตัวของ x ใด ๆ ที่เปน็ สมาชกิ ตัวหนา้
ของความสมั พันธ์ลงในความสมั พนั ธ์ แลว้ พิจารณา

1.1 ถา้ ในแต่ละตัวของ x ได้ค่า y เพียงคา่ เดียวสรปุ ไดว้ า่ ความสัมพนั ธ์
นันเปน็ ฟังกช์ ัน

1.2 ถ้ามี x บางตัวทที่ าใหไ้ ดค้ ่า y มากกวา่ 1 ค่า สรุปได้ว่า ความสมั พันธ์
นนั จะไมเ่ ป็นฟังกช์ ัน

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงพจิ ารณาความสมั พันธ์ตอ่ ไปนวี า่ เป็นฟงั ก์ชนั หรอื ไม่

1) r1 = {(x, y)  R  R | y = 2 + 3x - x2}
2) r2 = {(x, y)  R  R | x2 - y2 + 8x + 7 = 0}

วิธีทา 1) r1 เป็นฟงั กช์ นั เพราะวา่ เงือ่ นไขของ r1 (y = 2 + 3x - x2)

เมื่อลองแทนค่า x ใด ๆ ลงไปก็จะไดค้ ่า y เพียงค่าเดียว สาหรบั ค่า x
เชน่ x = 0 จะได้ y = 2 + 3(0) - 02 = 2

x = 2 จะได้ y = 2 + 3(2) - 22 = 4

2) r2 ไมเ่ ปน็ ฟังกช์ ัน เพราะว่า ถ้าลองแทนคา่ x หนงึ่ ค่าลงในเง่ือนไขของ r2
(x2 - y2 + 8x + 7 = 0) กจ็ ะได้คา่ y ถึงสองค่า เช่น

แทนค่า x = 1 ลงในสมการ x2 - y2 + 8x + 7 = 0
-y2 + 16 = 0
y2 = 16
y =4

2. ถา้ เงื่อนไขของความสมั พันธ์เราทราบรปู แบบของกราฟหรอื โจทยก์ าหนด
กราฟมาให้ วิธีการตรวจสอบสามารถทาไดโ้ ดยการลากเสน้ ตรงขนานกบั แกน Y
ใด ๆ ตัดกราฟของความสมั พนั ธ์ แลว้ พจิ ารณาดงั นี

2.1 ถา้ เส้นตรงขนานแกน Y ใด ๆ ตัดกราฟเพยี งจุดเดยี วเสมอ
ความสัมพันธ์ดังกล่าวก็จะเป็นฟงั กช์ นั

2.2 ถา้ เสน้ ตรงขนานแกน Y ใด ๆ ตดั กราฟมากกว่า 1 จุด
ความสมั พันธ์ดังกล่าวก็จะไม่เปน็ ฟังกช์ นั

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงพจิ ารณาความสัมพนั ธ์ต่อไปนีเป็นฟังก์ชันหรือไม่

r1 = {(x, y ) | y = 3} x  0}
r2 = {(x, y ) | y = 2x2}

r3 = {(x, y ) | y =  x

วิธีทา 1) จาก r1 = {(x, y ) | y = 3} เขียนกราฟได้ดงั น้ี

 r1 เปน็ ฟงั ก์ชัน เพราะ ไม่มีเส้นขนานกับแกน Y เสน้ ใดตัดกราฟของ r1 มากกว่า 1 จุด

2) จาก r2 = (x, y ) | y = 2x2}

x 0 1 2 -1 -2
y02828

 r2 เป็นฟังกช์ ัน เพราะพบว่าไม่มีเสน้ ขนานกับแกน Y เส้นใดตัด
กราฟของ r2 มากกวา่ 1 จุด

3) r3 = {(x, y ) | y =  x x  0}

x 0 1 4 9 16
y 0 1 2 3 4

 r3 ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะ มี x ทีท่ าให้ได้ y ทเี่ ทา่ กันสองค่า

แบบฝึกทกั ษะ

คาชีแจง ใหน้ ักเรยี นตรวจสอบความสมั พันธแ์ ตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้เป็นฟงั กช์ นั หรือไม่
แลว้ เขยี นคาตอบลงในตารางใหถ้ ูกตอ้ ง

ข้อท่ี ความสมั พันธ์ คาตอบ

1 r1 = {(3, 2), (-1, 4), (0, 2), (5, -3)} เป็นฟงั ก์ชัน
2 r2 = {(1, -1), (-1, -1), (0, 1), (3, 1)} เปน็ ฟงั ก์ชนั
3 r3 = {(4, 2), (4, 3), (5, 4), (6, 6)}
4 r4 = {(6, 1), (6, 1), (7, 2), (8, 3), (9, 4)} ไม่เป็นฟงั ก์ชนั
5 r5 = {(2, 1), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)} เป็นฟงั ก์ชนั
6 r6 = {(x, y) | y = 3x – 1}
7 r7 = {(x, y) | y = 3x2– x + 3} ไม่เปน็ ฟังกช์ ัน
8 r8 = {(x, y) | y = 2x2 + 1} เป็นฟังก์ชัน
9 r9 = {(x, y) | y = 4x2} เปน็ ฟงั ก์ชนั
10 r10 = {(x, y) | x2 + y2 = 4 , x  0} เปน็ ฟังก์ชัน
เปน็ ฟังกช์ ัน

ไมเ่ ปน็ ฟงั กช์ ัน

ขอบคุณคะ่