4. BAHAN AJAR PERT 2

Rencana Aksi 1

MODUL
MATEMATIKA

SISTEM PERSAMAAN LINEAR
DUA VARIABEL (SPLDV)

DIAN ASIH KUSUMAWARDANI

PPG DALJAB KATEGORI 1 GELOMBANG 2
UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG

SISTEM PERSAMAAN LINEAR
DUA VARIABEL (SPLDV)

KOMPETENSI DASAR
3.5 Menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dan penyelesaiannya yang dihubungkan
dengan masalah kontekstual
4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel.

INDIKATOR

3.5.1. Mendiskripsikan model dan bentuk umum sistem persamaan linear dua
variabel
3.5.2. Menentukan nilai variabel persamaan linear dua variabel dalam kehidupan
sehari-hari
3.5.3. Menentukan penyelesaian SPLDV menggunakan metode grafik
3.5.4. Menentukan penyelesaian SPLDV menggunakan metode substitusi
3.5.5. Menentukan penyelesaian SPLDV menggunakan metode eliminasi

4.5.1. Menyajikan model matematika tentang persamaan linear dua variabel, dan
4.5.2. sistem persamaan linear dua variabel
4.5.3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan linear dua variabel
4.5.4. dan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode grafik
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan linear dua variabel
dan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode subtitusi
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan linear dua variabel
dan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode eliminasi

Gambar 1. Aneka buah di toko
Sumber : hasil-bumi-tani.blogspot.com

Harga 8 buah apel dan 6 buah jeruk adalah Rp.25.000, sedangkan harga 10 buah apel
dan 5 buah jeruk adalah Rp.27.500. Dapatkah kalian menghitung harga per satuan dari buah-
buah tersebut? Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan sistem persamaan linier dua
variabel (SPLDV). Mengapa harus menggunakan SPLDV ? Perhatikan variabel yang terdapat
pada kasus tersebut, menggunakan 2 variabel yang belum diketahui nilainya yaitu harga satuan
apel dan harga satuan jeruk. Untuk dapat mengetahui harga-harganya, kamu dapat
menggunakan pemisalan misalkan, harga satuan apel adalah x dan harga satuan jeruk adalah y.
Jadi, contoh kasus tersebut dapat ditulis dalam bentuk model matematika sebagai berikut.

8 + 6 = . 25.000
10 + 5 = . 27.500
Dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV, kamu dapat mengetahui nilai x
dan y. Dalam bab ini, kita akan mempelajari konsep dasar SPLDV serta metode-metode
penyelesaian yang dapat digunakan.

5.1 MENGENAL SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

Sebelum kita membahas sistem persmaan linier dua variabel, masih ingatkah kalian
persamaan linier satu variabel? Jika iya, coba perhatikan persamaan –persamaan di bawah ini:
1. 12 − = 10
2. + 2 = 12
3. 3 2 + 4 = 2

4. 6 + 4 + 3 = 0
5. + 12 = 5

Dari persmaan-persmaan di atas, manakah yang merupakan persmaan linier satu variabel
? Berikan alasannya ?

Ayo kita amati

Perhatikan gambar di bawah ini!

Gambar apakah di samping ? Paada suatu hari Ibu
Suti membeli 10 buah jeruk dan 8 buah apel.
Kemudian Ibu Suti membayarnya RP.31.000.
Berdasar persoalan di atas dapat dituliskan
persamaan 10 + 8 = 31.000.

Gambar 2. Aneka buah
Sumber : google.com

Ayo kita menanya

Berdasar persoalan di atas, guru mendorong siswa untuk membuat pertanyaan terkait
dengan definisi PLDV, seperti unsur-unsur pembentuknya.

Ayo kita menalar

Perhatikan persamaan 10 + 8 = 31.000.
Apakah bentuk 10 + 8 = 31.000 merupakan persamaan linear?... mengapa?
- x disebut variabel, koefisien dari x adalah 10.

- y disebut variabel, koefisien dari y adalah 8.

- 31.000 disebut konstanta.

Terdapat dua variabel pada persamaan 10 + 8 = 31.000 yaitu x,y dan masing-masing
berpangkat 1. Jadi PLDV adalah suatu persamaan matematika yang mengandung dua variabel
dan dapat dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a, b, c ∈ R, a ≠0 atau b ≠ 0, dan x, y
suatu variabel.

Ayo kita amati

Perhatikan gambar di bawah ini !

Ibu Tatik membeli 2 buah kol putih dan 6 buah kentang

di kios suatu pasar sayur dengan harga Rp.12.000. Di

tempat yang sama Ibu Harno membeli 3 buah kol putih

dan 10 buah kentang dengan harga Rp.19.000. Ibu Rina

membeli 1 buah kol dan 5 buah kentang dengan harga

Gambar 3. Aneka sayur Rp.8.000. Bagaimana kita akan menghitung harga
Sumber : google.com persatuan dari kol putih dan kentang ?

Dari persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut ini :
2x + 4y = 8
6x + y = 13
1 + 5 = 8

Ayo kita menanya

Guru mendorong siswa untuk membuat pertanyaan terkait dfinisi SPLDV dan unsur-
unsurnya pembentuknya.

Ayo kita menalar
Berdasar persmaan di atas, terdapat berapakah PLDV? Terdapat lebih dari 1 bukan ?
Apakah PLDV tersebut sejenis dilihat dari variabel dan pangkatnya ? Jadi SPLDV adalah sistem
yang memiliki 2 atau lebih PLDV.

5.2 PENYELESAIAN DAN HIMPUNAN PENYELESAIAN SPLDV

Ayo kita amati
Perhatikan SPLDV di bawah ini!
2x + y = 6
x+y=5

Penyelesaian dari masing-masing PLDV adalah pasangan beurutan yang memenuhi nilai
dari variabel PLDV tersebut. Berikut merupakan penyelesaian dari masing-masing PLDV di
atas:

2x + y = 6 x+y=5

x = 0, y =6 x = 0, y = 5

x = 1, y =4 x = 1, y = 4

x = 2, y = 2 x = 2, y = 3

x = 3, y = 0 x = 3, y = 2

... x = 4, y = 1

... x = 5, y = 0

Sehingga, himpunan penyelesaian dari masing-masing PLDV di atas adalah seluruh

penyelesaian masing-masing PLDV.

Ayo kita menanya

Guru mendorong siswa untuk mebuat pertanyaan terkait dengan menentukan penyelsaian
dan himpunan penyelesaian dari SPLDV.

Ayo kita menalar
Penyelesaian dari SPLDV diatas adalah pasangan berurutan yang memenuhi nilai variabel

dari SPLDV. Sehingga himpunan penyelesaian dari SPLDV di atas adalah seluruh penyelesaian
dari SPLDV. Berdasar tabel di atas, penyelesaiannya adalah (1,4), sedangkan himpunan
penyelesaiannya adalah: {(1,4)}.

5.3 MEMBUAT MODEL SPLDV DARI PERMASALAHAN DALAM
KEHIDUPAN SEHARI-HARI

Sebelum kita membahas membuat model matematika dari suatu permasalah SPLDV dalam
kehidupan sehari-hari, ada baiknya kita mengingat tentang definisi SPLDV. Jika diberikan
persamaan sebagi berikut ini :

3 + 2 = 18

+ 6 = 16

Apakah persamaan di atas termasuk SPLDV ? Berikan alasanmu ?

Ayo kita amati
Perhatikan gamabar di bawah ini !

Gambar 4. Aneka sayur Gambar apakah di samping ? Pada suatu hari Ibu
Sumber : google.com Marni membeli sayur di pasar. Adapun sayuryang
di beli pada kantung plastik 1 berisi 5 buahtomat
Ayo kita menanya dan 6 buah wortel dengan harga Rp.6.700.Pada
kantung plastik ke dua berisi 4 buah tomat dan 4
buah wortel dengan harga Rp. 2.800.

Guru mendorong siswa untuk membuat pertanyaan terkai permasalahan di atas dengan
materi langkah-langkah membuat model matematika dari SPLDV.

Ayo kita menalar

Bagaimana kita akan membuat model matematika dari permasalahan tersebut ?
1. Identifikasi masalah pada tabel

Banyaknya Banyaknya Uang yang
dikeluarkan
Tomat Wortel

Isi 5 6 Rp. 6.700
Kantung
plastik 1

Isi 4 4 Rp. 2.800
Kantung
plastik 2

2. Memisalkan jumlah tomat dan wortel dengan mengubah ke bentuk variabel .

Buatlah per misalan dengan variabel x untuk harga 1 buah tomat dan y untuk harga 1
buah wortel, kemudian dikalikan dengan banyaknya masing-masing sayur :
Tomat : 5x pada kantung plastik 1, 4x pada kantung plastik 2
Wortel : 6y pada kantung plasitk 1, 4y pada kantung plastik 2

3. Membuat sistem persamaan
Persamaan I : 5 + 6 = . 6.700
Persamaan 2: 4 + 4 = . 2.800

Kesimpulan
Langkah-langkah menentukan model matematika dari suatu SPLDV dalam kehidupan
sehari-hari adalah:
1. Indentifikasi masalah pada tabel
2. Memisalkan bahan atau benda yang di cari ke bentuk variabel, dimana variabel

tersebut adalah harga per-buahnya.
3. Membuat sistem persamannya.

Ayo kita menanya

Guru mendorong siswa untuk membuat pertanyaan terkait dfinisi SPLDV dan unsur-
unsurnya pembentuknya.

Ayo kita menalar
Berdasar persamaan di atas, terdapat berapakah PLDV? Terdapat 2 bukan ? Apakah ke dua
PLDV sejenis dilihat dari variabel dan pangkatnya ? Untuk menyelesaikan hubungan ke dua
persamaan diatas diperlukan sistem, oleh karna sistem tersebut dalm PLDV maka disebut
sistem persamaan linier dua variabel.

5.4 MENYELESAIAKAN MASALAH YANG BERKAITAN DENGAN
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

Seperti yang telah kita pelajari sebelumnya, SPLDV merupakan persamaan yang
memiliki dua buah persamaan linear dua variael. Penyelesaian SPLDV dapat ditentukan dengan
cara mencari nlai varabel yang memenuhi kedua persamaan linear tersebut.

Pada subbab sebelumnya, kita telah mempelajari bagaiaman cara menentuan
himpunan penyelesaian suatu SPLDV dengan bantuan tabel. Adakah cara lain yang lebih
mudah?

Ayo kita amati

Gambar 5. Seorang pembeli sedang memilih barang
Sumber : koranternak.blogspot.co.id

Pak Dzulqornain sedang memilih pupuk cair dan pestisida untuk di gunakan pada
kebun jagung miliknya. Penjual di toko tersebut menentukan harga 1 botol pupuk cair dan satu
botol pestisida Rp 80.000. Sedangkan dua botol pupuk cair dan satu botol pestisida Rp 110.000.

Ayo kita menanya
Dari cerita Pak Dzulqornain ajukanlah beberapa pertanyaan. Misalnya :

1. Berapakah harga satu botol pupuk cair?
2. Berapakah harga satu botol Pestisida?

Atau ada hal lain yang ingin kalian ketahui
Ayo kita menggali informasi

Pada pembelajaran sebelumnya, kita dapat membuat sebuah model SPLDV dari
kegiatan sehari-hari yang terkait dengan SPLDV. Dari cerita Pak Dzulqornain diperoleh sebuah
sistem persamaan linear sebagai berikut :
Misalkan x = banyaknya pupuk cair

y = banyaknya pestisida

maka diperoleh SPLDV

+ = 8 Konstanta dalam puluhan ribu rupiah
2 + = 11

Kita ingin mengetahui harga satu botol pupuk cair dan satu botol pestisida. Hal itu
berarti kita ingin mencari nilai variabel x dan variabel y. dengan kata lain kita akan menentukan
himpunan penyelesaian dari SPLDV di atas. Bagaimana langkah-langkah untuk menentukan
himpunan penyelesaian dari suatu SPLDV tanpa perlu mencari solusi dari masing-masing
PLDV terlebih dahulu? Untuk apat menjawab pertanyaan tersebut, ayo kita lakukan kegiatan
berikut:

Kegiatan 4.1

Metode Grafik

Kita sudah mengetahui bahwa grafik himpunan penyelesaian dari persamaan linear
dua variabel berbentuk garis lurus. Bagaimana dengan SPLDV? Ingat, SPLDV terdiri dari dua
atau lebih persamaan dua variabel. Berarti jika di gambarkan, SPLDV berupa dua atau lebih
garis lurus. Nah, kita akan menggunakan grafik untuk menentukan himpunan penyelesaian dari
suatu SPLDV.

Langkah 1: Menggambar grafik kedua PLDV dengan cara menentukan titk potong terhadap
sumbu x dan sumbu y dari masing masing PLDV

a. Persamaan + 2 = 2
titik potong terhadap sumbu x, berarti y= 0
+ 2(0) = 2
= 2

Diperoleh titik potong terhadap sumbu x di titik (2,0)

titik potong terhadap sumbu y, berarti x= 0
0 + 2 = 2

2
=

2
= 1

Diperoleh titik potong terhadap sumbu y di titik (0,1)

b. Persamaan 3 + = 6
titik potong terhadap sumbu x, berarti y= 0
3 + 0 = 6
6
=
3
= 2
Diperoleh titik potong terhadap sumbu x di titik (2,0)
titik potong terhadap sumbu y, berarti x= 0
3(0) + = 6
= 6
Diperoleh titik potong terhadap sumbu y di titik (0,6)

Langkah 2: Menggambar grafik pada bidang korodinat Kartesius
Dari persamaan + 2 = 2 kita memperoleh titik potong terhadap sumbu x dan
sumbu y di (2,0) dan (0,1)
Dari persamaan 3 + = 6 kita memperoleh titik potong terhadap sumbu x dan
sumbu y di (2,0) dan (0,6)
Jadi, jika kedua persamaan tersebut digambarkan dalam bidang koordinat
Kartesius diperoleh:

Langkah 3 : Menentukan titik potong dan Himpunan penyelesaian

Dari grafik diatas kita bisa mengetahui bahwa kedua garis berpotongan pada satu
titik yaitu (2,0). Titik potong kedua garis inilah yang merupakan himpunan
penyelesaian dari SPLDV diatas. Jadi Hp = {(2,0)}.

Ayo kita menalar

Dari kegiatan yag sudah kalian lakukan, dapat kita simpulkan langkah-langkah untuk
menentukan himpunan penyelesaian dari suatu SPLDV dengan menggunakan metode grafik
adalah :
1. Menentukan titk potong terhadap sumbu x dan sumbu y dari masing masing PLDV.
2. Menggambar grafik kedua PLDV pada bidang koordinat kartesius.
3. Menentukan titik potong ke dua garis dan himpunan penyelesaiannya.

Kegiatan 4.2

Metode Substitusi

Untuk menentukan himpunan penyelesaian suatu SPLDV dengan menggunakan metode

substitusi dilakukan dengan cara menyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel yang

lain kemudian nilai variabel tersebut menggantikan variabel yang sama dalam persamaan yang

lain.

Diketahui sebuah sistem persamaan linear dua variabel berikut :

+ 2 = 2 , ℎ
3 + = 6

Dengan menggunakan metode substitusi kita dapat mengikuti langkah-langkah

sebagai berikut :

Langkah 1: Berikan nama masing-masing persamaan dengan persamaan (1) dan
(2)

+ 2 = 2…… (1)
3 + = 6 …....(2)
Langkah 2: Pilih salah satu persamaan, misalkan persamaan (1). Kemudian nyatakan salah
satu variabelnya dalam bentuk variabel yang lain. Beri nama pada persamaan
yang diperoleh dengan persamaan (3)

Persamaan (1) + 2 = 2
= 2 − 2 …. (3)
Langkah 3 : Nilai variabel pada persamaan (3) mengggantikan variabel yang sama pada
persamaan awal (yang belum dipilih pada langlah 2). Yaitu persamaan (2)
3 + = 6
3 (2 − 2 ) + = 6
6 − 6 + = 6
−5 = 6 − 6

0
=

−5
= 0
Langkah 4: Nilai variabel yang diperoleh pada langkah 3 disubstitusikan pada salah satu
persamaan awal, misalkan persamaan (1)
+ 2(0) = 2
= 2
Langkah 5: Menentukan himpunan penyelesaian SPLDV tersebut.
Dari langkah 3 dan langkah 4 diperoleh nilai x = 2 dan y = 0. Sehingga diperoleh
Hp={(2,0)}

Ayo kita menalar

Dari kegiatan yag sudah kalian lakukan, dapat kita simpulkan langkah-langkah untuk
menentukan himpunan penyelesaian dari suatu SPLDV dengan menggunakan metode substitusi
adalah sebagai berikut:
1) Berikan nama masing-masing persamaan dengan persamaan (1) dan (2)
2) Pilih salah satu persamaan, misalkan persamaan (1). Kemudian nyatakan salah satu

variabelnya dalam bentuk variabel yang lain. Beri nama pada persamaan yang diperoleh
dengan persamaan (3)
3) Nilai variabel pada persamaan (3) mengggantikan variabel yang sama pada persamaan
awal (yang belum dipilih pada langlah 2)
4) Nilai variabel yang diperoleh pada langkah 3 disubstitusikan pada salah satu persamaan
awal
5) Menentukan himpunan penyelesaian SPLDV tersebut.

Kegiatan 4.3

Metode Eliminasi

Untuk menentukan himpunan penyelesaian suatu SPLDV dengan menggunakan
metode eliminasi dilakukan dengan cara menghilangkan(mengeliminasi) salah satu variabel
untuk dapat menentukan nilai variabel yang lain. Dengan demikian, koefisien salah satu
variabel yang akan dihilangkan(dieliminasi) harus sama atau disamakan terlebih dahulu.

Diketahui sebuah sistem persamaan linear dua variabel berikut:

+ 2 = 2 , ∈ ∁
3 + = 6

Dengan menggunakan metode eliminasi kita dapat mengikuti langkah-langkah sebagai
berikut:

Langkah 1: Menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari SPLDV

Misalkan yang akan dihilangkan (dieliminasi) adalah variabel x, maka
kita harus menyamakan dulu koefisien dari x terlebih dahulu dengan cara
mengalikan dengan suatu bilangan. Setelah koefisiennya sama, kemudian di
jumlahkan/dikurangkan sehingga diperoleh nilai variabel y.

+ 2 = 2 x 3 3 + 6 = 6
3 + = 6 x 1 3 + = 6 –

5 = 0
= 0
Langkah 2: Menghilangkan (mengeliminasi) variabel yang lain dari SPLDV

Kita akan menghilangkan (mengeliminasi) variabel y dengan cara yang
sama pada langkah 1

+ 2 = 2 x 1 + 2 = 2
3 + = 6 x 2 6 + 2 = 12 –

−5 = −10
−10

=
−5

= 2
Langkah 3: Menentukan himpunan penyelesaian SPLDV tersebut.

Dari langkah 1 dan langkah 2 kita memperoleh nilai x = 0 dan y =2. Jadi
Hp={(0,2)}.

Ayo kita menalar
Dari kegiatan yang sudah kalian lakukan, dapat kita simpulkan langkah-langkah untuk

menentukan himpunan penyelesaian dari suatu SPLDV dengan menggunakan metode
eliminasi adalah sebagai berikut:
1. Menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari SPLDV.
2. Menghilangkan (mengeliminasi) variabel yang lain dari SPLDV.
3. Menentukan himpunan penyelesaian SPLDV tersebut.

Ayo kita menggali informasi
Sekarang kita perhatikan kembali cerita Pak Dzulqornain. Tentukan harga satu botol

pupuk cair dan satu botol pestisida yang ia beli. Diskusikan dengan teman di sebelahmu.

Ayo kita menggali informasi
Sajikan hasil penalaran kalian di depan kelas. Periksa dan silakan saling memberi

komentar secara santun dari pendapat teman di kelas.

Kegiatan 4.3

Metode Gabungan

Untuk menentukan himpunan penyelesaian suatu SPLDV dengan menggunakan metode
gabungan dilakukan dengan cara menghilangkan(mengeliminasi) salah satu variabel untuk
dapat menentukan nilai variabel yang lain dan hasilnya disubsitusikan ke persamaan untuk
mendapatkan variabel kedua.

Diketahui sebuah sistem persamaan linear dua variabel berikut:

+ 2 = 2 , ∈ ∁
3 + = 6

Dengan menggunakan metode gabungan kita dapat mengikuti langkah-langkah

sebagaiberikut:

Langkah 1: Menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari SPLDV

Misalkan yang akan dihilangkan (dieliminasi) adalah variabel x, maka kita harus
menyamakan dulu koefisien dari x terlebih dahulu dengan cara mengalikan
dengan suatu bilangan. Setelah koefisiennya sama, kemudian di
jumlahkan/dikurangkan sehingga diperoleh nilai variabel y.

+ 2 = 2 x 3 3 + 6 = 6
3 + = 6 x 1 3 + = 6 –

5 = 0

= 0

Langkah 2: Mensubstitusikan hasil dari y= 0 ke salah satu persamaan.

Misal kita akan mensubstitusikan y =0 ke persamaan + 2 = 2
+ 2 = 2
x + 2(0) = 2

x =2

Langkah 3: Menentukan himpunan penyelesaian SPLDV tersebut.

Dari langkah 1 dan langkah 2 kita memperoleh nilai x = 0 dan y =2.
JadiHp={(0,2)}
diHp={(0,2)}.

Ayo kita menalar

Dari kegiatan yang sudah kalian lakukan, dapat kita simpulkan langkah-langkah untuk
menentukan himpunan penyelesaian dari suatu SPLDV dengan menggunakan metode
gabungan eliminasi dan substitusi adalah sebagai berikut:

1. Menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari SPLDV.
2. Mensubstitusikan variabel yang sudah dicari ke salah satu persamaan.
3. Menentukan himpunan penyelesaian SPLDV tersebut.

Ayo kita menggali informasi

Sekarang kita perhatikan kembali cerita Pak Dzulqornain. Tentukan harga satu botol
pupuk cair dan satu botol pestisida yang ia beli. Diskusikan dengan teman di sebelahmu.

Ayo kita menggali informasi
Sajikan hasil penalaran kalian di depan kelas. Periksa dan silakan saling memberi

komentar secara santun dari pendapat teman di kelas.
.

Ayo kita menalar
Dari kegiatan yang sudah kalian lakukan, dapat kita simpulkan langkah-langkah untuk

menentukan himpunan penyelesaian dari suatu SPLDV dengan menggunakan metode grafik
adalah sebagai berikut:
4. Menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari SPLDV.
5. Menghilangkan (mengeliminasi) variabel yang lain dari SPLDV.
6. Menentukan himpunan penyelesaian SPLDV tersebut.

Ayo kita menggali informasi
Sekarang kita perhatikan kembali cerita Pak Dzulqornain. Tentukan harga satu botol

pupuk cair dan satu botol pestisida yang ia beli. Diskusikan dengan teman di sebelahmu.

Ayo kita menggali informasi
Sajikan hasil penalaran kalian di depan kelas. Periksa dan silakan saling memberi

komentar secara santun dari pendapat teman di kelas.