5.4 Geometri Analit Bidang dan Ruang Kegiatan Belajar 1 Koordinat Kutub alam Modul 1, Anda telah diperkenalkan dengan suatu sistem dalam koordinat Kartesius (koordinat siku-siku). Sistem koordinat ini merupakan konsep dasar dalam geometri analitik yang nantinya sangat membantu Anda dalam mempelajari kalkulus diferensial dan kalkulus integral. Dengan sistem koordinat Kartesius ini, tentu Anda telah dapat menyatakan persamaan-persamaan garis lurus, lingkaran, elips, parabola dan hiperbola serta garis lengkung lainnya. Sistem koordinat Kartesius menggunakan dua garis lurus yang tegak lurus dan jarak berarah. Pada sistem tersebut dengan mudah kita dapat menentukan kedudukan suatu titik pada bidang. Saudara, ada cara lain untuk menentukan kedudukan suatu titik pada bidang, yaitu dengan sistem koordinat kutub. Dalam sistem koordinat kutub sebagai patokan awal hanya menggunakan sebuah sinar garis. Biasanya sinar garis ini digambar mendatar dan mengarah ke kanan seperti tampak pada Gambar 5.1. Selanjutnya sinar garis itu dinamakan sumbu kutub, sedangkan titik pangkalnya diberi nama dengan huruf O (disebut kutub atau titik asal). Gambar 5.1. Sebuah titik P (selain titik kutub/titik asal) dinyatakan kedudukan oleh jarak titik O ke P dan sudut antara garis OP dan sumbu kutub. Apabila r adalah jarak antara titik O dan titik P, dan adalah salah satu sudut antara OP dan sumbu kutub maka (r, ) adalah pasangan koordinat kutub dari titik P dan ditulis P(r, ) (lihat Gambar 5.2). Selanjutnya, r disebut jari-jari penunjuk dari P atau radius vektor dari P, sedangkan disebut argumen dari P atau sudut kutub dari P. D
PEMA4317/MODUL 5 5.5 Gambar 5.2. Titik-titik yang dilukiskan dengan koordinat kutub akan mudah digambar, apabila kita menggunakan kertas grafik kutub. Pada kertas grafik kutub telah tergambar lingkaran-lingkaran yang sepusat dan sinar-sinar garis yang memancar dari titik kutub, (lihat gambar 5.3). Pada gambar tersebut telah terlukis beberapa titik yang dituliskan dalam bentuk koordinatkoordinat kutub. Gambar 5.3. Selanjutnya, perhatikan bahwa suatu titik pada bidang dapat dinyatakan dengan beberapa koordinat kutub. Hal ini merupakan akibat sifat bahwa sudut + 2 k dengan k = 0, 1, -1, 2, -2, …. memiliki kaki-kaki yang sama. Ingat sudut positif dihitung dari sumbu kutub ke arah berlawanan dengan arah putaran jarum jam, dan sudut negatif dihitung dari sumbu kutub ke arah yang searah dengan putaran jarum jam. Misalnya, titik dengan koordinat π 4, 2 dapat pula dinyatakan dengan koordinat 5π 4, 2 , 9π 4, , 2 13π 4, , 2 -3π -7π 4, , 4, , 2 2 dan sebagainya.
5.6 Geometri Analit Bidang dan Ruang Bahkan hal ini berlaku juga, jika r diperbolehkan memiliki nilai yang negatif. Apabila r bernilai negatif maka koordinat kutub (r, ) terletak pada sinar garis yang berlawanan arah dengan sinar garis yang dibentuk oleh sudut dan terletak | r | satuan dari titik kutub. Misalnya, titik dengan koordinat kutub π -3, 6 dapat ditentukan letaknya seperti yang terlihat pada Gambar 5.4. Gambar 5.4. Jadi titik dengan koordinat kutub π -3, 6 sama saja dengan titik 13π -3, 6 , -11π 3, 6 , 25π 7π -3, , 3, 6 6 dan seterusnya. Titik asal (kutub) mempunyai koordinat (0, p) dengan p sudut yang besarnya sebarang. Seperti halnya dengan sistem koordinat Kartesius siku-siku, kita dapat menyusun persamaan Kartesius dengan perubah-perubah x dan y maka dengan sistem koordinat kutub, kita dapat pula menyusun persamaan kutub dengan perubah-perubah r dan . Contoh: r = 8 sin dan r = 2 . 1 cos θ Apabila dengan sistem koordinat Kartesius kita dapat menggambarkan grafik sebuah persamaan Kartesius maka dalam sistem koordinat kutub kita dapat pula menggambarkan grafik sebuah persamaan kutub. Grafik persamaan kutub adalah himpunan titik-titik yang mempunyai paling sedikit sepasang koordinat kutub yang memenuhi persamaan yang bersangkutan. Salah satu cara untuk menggambar grafik itu ialah menyusun daftar nilai-
PEMA4317/MODUL 5 5.7 nilai pasangan koordinat. Kemudian menggambar titik dengan koordinatkoordinat yang bersangkutan dan akhirnya menghubungkan titik-titik itu secara berurutan dengan sebuah kurva yang mulus. Contoh 5.1 Gambarlah grafik persamaan kutub r = 8 sin ! Jawab: Kita ganti dengan kelipatan π 6 dan menghitung nilai r yang bersangkutan. Hasil perhitungannya tampak seperti pada daftar berikut ini. Apabila naik dari 0 hingga 2 maka grafik dilintasi dua kali (lihat Gambar 5.5). θ 0 π 6 π 3 π 2 2π 3 5π 6 π 7π 6 4π 3 3π 2 5π 2 11π 6 r 0 4 6,9 8 6,9 4 0 -4 -6,9 -8 -6,9 -4 Gambar 5.5. r = 8 sin Contoh 5.2 Gambarlah grafik dari r = 2 1 cos θ ! Jawab: Kita ganti dengan kelipatan π 4 dan menghitung nilai r yang bersangkutan, kemudian susunlah seperti daftar berikut.
5.8 Geometri Analit Bidang dan Ruang 0 π 4 π 2 3π 4 π 5π 4 3π 2 7π 4 2π r - 6,8 2 1,2 1 1,2 2 -6,8 - Dari pasangan koordinat yang terdapat dalam daftar di atas, dapat digambarkan bentuk grafiknya seperti gambar 5.6 berikut: Gambar 5.6. r = 2 1 cos θ Perhatikan Gambar 5.6, P π 2, 2 terletak pada grafik maka koordinatkoordinat π 2, 2 memenuhi pada persamaan r = 2 1 cos θ . Tetapi koordinatkoordinat titik P pula dapat dinyatakan dengan P 3π 2, 2 yang tidak memenuhi persamaan tersebut. Saudara, hal ini, biasa terjadi dalam menggambar grafik suatu persamaan dalam sistem koordinat kutub, namun tidak pernah dijumpai dalam sistem koordinat Kartesius. Oleh karena itu, dapat kita menarik simpulan bahwa dalam sistem koordinat kutub, walaupun ada sepasang koordinat tertentu yang tidak memenuhi suatu persamaan, tetapi ini tidak perlu mengakibatkan bahwa titik yang bersangkutan tidak terletak pada grafik persamaan itu.
PEMA4317/MODUL 5 5.9 HUBUNGAN KOODINAT KUTUB DAN KOORDINAT KARTESIUS Misalkan dalam sistem koordinat Kartesius, sumbu X positif dipandang pula sebagai sumbu kutub dan titik asal O (dalam sistem koordinat Kartesius) dipandang pula sebagai titik asal dari sistem koordinat kutub. Maka titik P(x, y) dalam sistem koordinat Kartesius yang dinyatakan sebagai P(r, ) dalam sistem koordinat kutub kedudukannya dapat Anda lihat pada Gambar 5.7. Perhatikan OTP siku-siku di T maka diperoleh hubungan sebagai berikut. x = r cos y = r sin atau r 2 = x 2 + y2 tg = y x = arc tg y x Dari persamaan terakhir ini akan diperoleh dua harga . Untuk menyelidiki harga yang memenuhi, perlu ditinjau dari tanda dari cos = x . r Oleh karena itu, diperoleh hubungan: r = 2 2 x + y 2 2 x θ = arc cos x + y 2 2 y θ = arc sin x + y Contoh 5.3 Tentukan koordinat Kartesius dari titik yang koordinat kutubnya adalah (4, π 6 ). Tentukan pula koordinat kutub dari titik yang koordinat Kartesiusnya adalah (-3, 3 ). Gambar 5.7.
5.10 Geometri Analit Bidang dan Ruang Jawab: Jika (r, ) = (4, π 6 ), yaitu r = 4 dan = π 6 maka dengan menggunakan hubungan di atas kita memperoleh: x = 4 cos π 6 = 4. 1 3 2 3 2 y = 4 sin π 6 = 4. 1 2 = 2 Jadi, titik π 4, 6 dalam koordinat kutub dapat dinyatakan dalam koordinat Kartesius sebagai 2 3, 2 . Dari koordinat 3, 3 dapat ditentukan bahwa x = -3 dan y = 3 , yaitu titik dalam kuadran II maka harus tumpul (lihat Gambar 5.8). Berarti, r2 = x 2 + y2 r 2 = (-3)2 + 2 3 = 12 tg 3 θ = -3 5π θ = 6 Gambar 5.8. Jadi, salah satu nilai (r, ) adalah 5π 2 3, . 6 Sedangkan nilai lainnya adalah 11π 2 3, 6 dan π 2 3, . 6 Ada kalanya grafik persamaan kutub dapat kita lukis dengan mencari persamaannya dalam sistem koordinat Kartesius. Sebagai ilustrasi disajikan contoh berikut ini.
PEMA4317/MODUL 5 5.11 Contoh 5.4 Tunjukkan dengan jalan menuliskan dalam persamaan Kartesius bahwa grafik persamaan r = 8 sin (Contoh 5.1) adalah sebuah lingkaran dan bahwa grafik persamaan r = 2 1 cos θ (Contoh 5.2) adalah sebuah parabola. Jawab: 1) Dari persamaan r = 8 sin , jika kedua ruasnya dikalikan dengan r maka diperoleh r 2 = 8 r sin Mengingat bahwa r2 = x 2 + y2 dan y = r sin maka kita dapat memperoleh bentuk persamaan. x 2 + y2 = 8y Selanjutnya, dari bentuk persamaan ini dapat diubah berturut-turut dengan melengkapkan kuadrat sempurna sebagai berikut: x 2 + y2 – 8y = 0 x 2 + y2 – 8y + 16 = 16 x 2 + (y – 4)2 = 16 Dari bentuk persamaan terakhir ini dapatlah ditentukan bahwa r = 8 sin adalah persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0, 4) dan berjarijari 4. 2) Persamaan r = 2 1- cos θ dapat diubah bentuknya berturut-turut adalah sebagai berikut: r – r cos = 2 r – x = 2 r = x + 2 r 2 = x 2 + 4x + 4 x 2 + y2 = x 2 + 4x + 4 y 2 = 4x + 4 y 2 = 4(x + 1) Tampak bahwa persamaan terakhir ini sebenarnya adalah persamaan parabola dengan titik puncak (-1, 0) dan dengan fokus/titik api di titik (0, 0).
5.12 Geometri Analit Bidang dan Ruang 1) Gambarlah titik-titik berikut ini dengan koordinat kutub a) π 4, , 6 1 2, π , 2 11 0, π , 7 3 3, π , 2 dan (4, 0) b) 3, π , 5, 2π , 1 4, π , 3 2 0, π , 3 dan 3 3, π 2 c) 1 5, π , 4 3 5, π , 4 6, 0 , 3, π , dan 3, π d) 2 4, π , 3 2, 0 , 15 0, π 13 dan 3, π , 2) Untuk tiap titik berikut ini berilah 4(empat) pasang koordinat kutub lainnya, dua dengan nilai r yang positif dan dua dengan nilai r yang negatif. a) 1 4, π 3 b. 5 3, π 4 c) 1 5, π 6 d. 2 7, π 3 3) Tentukan koordinat Kartesius dari titik-titik berikut ini. a) 2, π b. 1 5, π 3 c) 1 5, π 6 d. 2 7, π 3 4) Tentukan koordinat kutub dari titik-titik yang dinyatakan dengan koordinat Kartesius berikut ini. a) 2 3, 2 b. 1, 3 c) 2, 2 d. 1 1 2, 2 2 2 LAT IHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!
PEMA4317/MODUL 5 5.13 5) Tentukan persamaan kutub dari persamaan-persamaan Kartesius berikut ini, dan tuliskan bentuk/nama bangun grafiknya. a) x - 4y + 2 = 0 b) x + y = 0 c) x 2 + y2 = 16 d) y 2 = 4x 6) Tentukan persamaan Kartesius dari persamaan-persamaan kutub berikut ini, dan tentukan nama bangun grafiknya. a) = π 3 b) r cos + 6 = 0 c) r = 6 d) r = 3 sin θ e) r = 4 sin f) r = 4 1 + cosθ Petunjuk Jawaban Latihan 1) a) b)
5.14 Geometri Analit Bidang dan Ruang c) d) 2) a) 1 4, π 3 dapat dinyatakan dengan 7 4, π 3 , 13 4, π 3 , 2 4, π 3 , 4 4, π 3 . b) 5 3, π 4 dapat dinyatakan dengan 3 3, π 4 , 13 3, π 4 , 1 3, π 4 , 9 3, π 4 . c) 1 5, π 6 dapat dinyatakan dengan 13 -5,- π 6 , 11 -5, - π 6 , 7 5, π 6 , 5 5, π 6 . d. 2 7, - π 3 dapat dinyatakan dengan 4 7, π 3 , 10 7, π 3 , 1 -7, π 3 , 7 7, π 3 .
PEMA4317/MODUL 5 5.15 3) a) Koordinat Kartesius dari (-2, ) adalah (2, 0). b) Koordinat Kartesius dari 1 5, π 3 adalah 5 5 , 3 2 2 . c) Koordinat Kartesius dari 1 5, π 6 adalah 5 5 3, 2 2 . d) Koordinat Kartesius dari 2 7, π 3 adalah 7 7, 3 2 2 . 4) a) Koordinat kutub dari 2 3, 2 adalah 7 4, π 6 . b) Koordinat kutub dari 1, 3 adalah 1 2, π 3 . c) Koordinat kutub dari 2, 2 adalah 1 2, π 4 . d) Koordinat kutub dari 1 1 2, 2 2 2 adalah 3 1, π 4 . 5) Ingat hubungan sistem koordinat Kartesius dan sistem koordinat kutub, yaitu x = r cos , y = r sin . a) r = -2 cos θ - 4sin θ , suatu garis lurus. b) = π 4 , suatu garis lurus melalui kutub. c) r = 4 suatu lingkaran dengan pusat titik asal dan berjari-jari 4. d) r = 4 ctg , suatu parabola dengan puncak titik asal dan titik fokus (1, 0). 6) a) y = x 3 , suatu garis lurus yang melalui titik asal b) x + 6 = 0, suatu garis lurus yang sejajar sumbu y c) x 2 + y2 = 36, suatu lingkaran dengan pusat titik asal dan berjari-jari 6 satuan d) y = 3, sebuah garis lurus yang sejajar sumbu x e) Kalikan kedua ruas dengan r, sehingga diperoleh r 2 = 4 r sin x 2 + y2 = 4y
5.16 Geometri Analit Bidang dan Ruang x 2 + (y - 2)2 = 4, sebuah lingkaran dengan pusat (0, 2) dan berjarijari 2 satuan f) y 2 = 16 - 8x, sebuah parabola dengan puncak (2, 0). Untuk menentukan kedudukan suatu titik, selain dengan sistem koordinat Kartesius (siku-siku), dapat pula dengan sistem koordinat kutub. Patokan awal yang digunakan dalam sistem koordinat kutub hanya sebuah sinar garis dan titik pangkalnya, sinar garis ini biasanya digambar mengarah ke kanan dan dinamakan sumbu kutub, sedangkan titik pangkalnya disebut titik asal atau kutub. Suatu titik dinyatakan dengan pasangan (r, ) dengan | r | adalah jarak titik tersebut ke titik pangkal dan | | adalah salah satu sudut yang dibentuk oleh sumbu kutub dan sinar garis dari titik asal ke titik itu. Suatu titik dalam sistem koordinat kutub dapat dinyatakan dengan bermacam-macam koordinat kutub. Hal ini sebagai akibat adanya sifat bahwa + 2k dengan k = 0, -1, 2, -2, … mempunyai kaki-kaki yang sama. Jika r bernilai negatif maka koordinat kutub (r, ) terletak pada sinar garis yang berlawanan arah dengan sinar garis yang dibentuk oleh sudut dan terletak | r | satuan dari titik asal. Dalam sistem koordinat kutub, kita dapat membentuk suatu persamaan dengan perubah r dan . Untuk menggambar grafik suatu persamaan kutub, salah satu caranya, adalah menyusun suatu daftar nilai-nilai pasangan r dan yang memenuhi persamaan. Kemudian menggambar titik-titik dengan koordinat-koordinat pada daftar dan akhirnya menghubungkan titik-titik itu secara berurutan dengan sebuah kurva mulus. Dalam sistem koordinat kutub, walaupun ada sepasang koordinat tertentu yang tidak memenuhi suatu persamaan, tetapi ini tidak perlu mengakibatkan bahwa titik yang bersangkutan tidak terletak pada grafik persamaan itu. Hubungan sistem koordinat Kartesius dan sistem koordinat kutub adalah x = r cos r 2 = x 2 + y2 y = r sin tg = y x RANGKUMAN
5.20 Geometri Analit Bidang dan Ruang Kegiatan Belajar 2 Persamaan Kutub dan Grafiknya alam Kegiatan Belajar 1 modul ini, kita telah sedikit mempelajari persamaan kutub yang perubah-perubahnya r dan . Dalam Kegiatan Belajar 2 akan kita pelajari lebih khusus persamaan-persamaan kutub untuk garis, lingkaran, konik (elips, parabola dan hiperbola) dan persamaan kutub lainnya serta grafik persamaan-persamaan kutub itu. Perhatikan Gambar 5.9, yaitu grafik garis lurus yang melalui titik asal dan yang membentuk sudut 0 dengan sumbu kutub. Gambar 5.9. Setiap titik pada garis , koordinat kedua dari koordinat kutub titik itu selalu 0 Misalnya 1, θ , 0 2, θ , 0 8, θ , 0 a, θ , 0 untuk sebarang bilangan real a adalah titik-titik yang terletak pada garis . Dari kenyataan ini, dapat kita simpulkan bahwa persamaan kutub dari garis lurus yang melalui titik asal O dan membentuk sudut 0 dengan sumbu kutub adalah = 0. Contoh 5.5 Gambarlah grafik = 3 π 2 dan titik-titik 3 A 1, π 2 , 3 B -3, π 2 dan 3 C 1, π 2 ! Apakah titik-titik ini terletak pada grafik = 3 π 2 ? Gambar 5.10. Grafik = 3 π 2 . D
PEMA4317/MODUL 5 5.21 Selanjutnya perhatikanlah Gambar 5.11, yaitu garis lurus m yang kedudukannya berjarak d dari kutub (d > 0) dan 0 adalah sudut antara sumbu kutub dan garis yang tegak lurus dari kutub pada garis m. Dan kondisi ini akan ditentukan persamaan kutub untuk garis m. Ambil sebarang titik P(r, ) pada garis m. Pada OTP siku-siku dengan POT = - 0 maka berlaku cos ( - 0) = d r r = 0 d cos (θ- θ ) Karena P(r, ) sebarang titik pada garis m dan berlaku hubungan tersebut maka untuk setiap titik pada garis m berlaku hubungan itu. Ini berarti hubungan itu menyatakan persamaan kutub untuk garis m. Jadi persamaan kutub untuk garis lurus yang berjarak d dari kutub dan normalnya membentuk sudut 0 dengan sumbu kutub adalah 0 d r = cos (θ θ ) …………………………. (1) Contoh 5.6: Tentukanlah persamaan kutub untuk garis lurus yang melalui titik A(6, 0) dan membentuk sudut sebesar π 6 dengan sumbu kutub! Jawab: Gambar 5.12. Gambar 5.11.
5.22 Geometri Analit Bidang dan Ruang Dengan memperhatikan Gambar 5.12 dengan mudah kita dapat mengerti bahwa d = 3 dan 0 π θ 3 , sehingga persamaan kutub dari garis lurus yang dimaksud adalah r = 3 π cos θ + 3 Jika rumus (1), 0 = 0 diperoleh d r = cos θ , yaitu persamaan kutub untuk garis lurus yang tegak lurus pada sumbu kutub dan melalui titik (d, 0). Sedangkan jika pada rumus (1), untuk 0 = π 2 maka diperoleh r = d π cos θ - 2 d r = sin θ Persamaan terakhir ini menyatakan persamaan kutub untuk garis yang sejajar sumbu kutub dan melalui titik π d, 2 (lihat Gambar 5.13) Gambar 5.13. Sebuah lingkaran dengan pusat di kutub dan berjari-jari a mempunyai persamaan kutub r = a. Selanjutnya perhatikan Gambar 5.14, kita akan mencari persamaan kutub untuk lingkaran yang berpusat di titik (a, 0) dan berjari jari a.
PEMA4317/MODUL 5 5.23 Ambil sebarang titik T(r, ) pada lingkaran dan perhatikan OPT maka POT = - 0 dan menurut rumus Kosinus, |PT|2 = |OT|2 + |OP|2 – 2|OT| |OP| cos POT a 2 = r2 + a2 -2r a cos( - 0) r 2 = 2r a cos ( - 0) : kedua ruas sama-sama dibagi dengan r r = 2a cos ( - 0) Selanjutnya, karena T(r, ) sebarang titik pada lingkaran maka setiap titik pada lingkaran memenuhi persamaan terakhir ini. Dengan kata lain, persamaan kutub suatu lingkaran yang berpusat di titik (a, 0) dan berjari jari a adalah r = 2a cos ( - 0) ……………………..… (2) Pada rumus (2) ini, jika 0 = 0 menghasilkan r = 2a cos , yaitu persamaan kutub untuk lingkaran yang berpusat di (a, 0) dan berjari-jari a (lihat Gambar 5.15). Selanjutnya, apabila pada rumus (2), 0 = π 2 maka akan memperoleh bentuk persamaan r = 2a cos π θ 2 atau r = 2a sin Persamaan kutub yang terakhir ini menyatakan sebuah lingkaran dengan pusat π a, 2 dan berjari-jari a (lihat Gambar 5.15) Gambar 5.15. Gambar 5.14.
5.24 Geometri Analit Bidang dan Ruang Contoh 5.7 Tentukan persamaan kutub untuk suatu lingkaran dengan pusat 4π 3, 3 dan yang melalui kutub. Jawab: Lingkaran yang dimaksudkan adalah lingkaran yang berpusat di π 3, 3 dan berjari-jari 3 maka persamaan kutubnya ialah r = 2 . 3 cos π θ 3 r = 6 cos π θ 3 Saudara, dalam Modul 3, Anda telah diperkenalkan dengan bentuk irisan kerucut (konik) yang terdiri atas elips, parabola dan hiperbola. Salah satu hal yang membedakan di antara ketiganya adalah keeksentrikan/eksentrisitas numeriknya (e), yaitu: Jika 0 < e < 1, konik berupa elips Jika e = 1, konik berupa parabola Jika e > 1, konik berupa hiperbola Sekarang kita akan mencari persamaan polar suatu konik dengan titik fokusnya diletakkan pada kutub dan garis arahnya berjarak d satuan dari kutub (Gambar 5.16). Ambil sebarang titik P(r, ) pada konik Gambar 5.16.
PEMA4317/MODUL 5 5.25 Ingat kembali bahwa keeksentrikan e = PF atau PF = e PL PL PF = r, PL d r cos ( 0 θ θ ) , sehingga dari |PF| = e |PL| diperoleh r = e (d - r cos ( - 0)) r 0 ed 1+e cos (θ θ ) Karena P(r, ) sebarang titik pada konik maka setiap titik pada konik memenuhi persamaan terakhir itu. Dengan kata lain, persamaan konik dengan fokus pada kutub dan garis arah berjarak d dari kutub dan 0 sudut yang dibentuk oleh sumbu kutub dengan garis melalui kutub yang tegak lurus garis arah, adalah r 0 ed 1+e cos (θ θ ) ………………...…………… (3) Jika pada persamaan konik (3), 0 = 0 (yaitu garis arah tegak lurus pada sumbu kutub) maka diperoleh persamaan konik ed r 1+e cos θ .....................…………… (4) Jika pada persamaan (3), π θ = 2 (yaitu garis arah sejajar dengan sumbu kutub) maka diperoleh persamaan konik ed r π 1+e cos θ 2 atau ed r 1+e sin θ …………………………………… (5)
5.26 Geometri Analit Bidang dan Ruang Contoh 5.8 Tentukan persamaan kutub untuk elips dengan keeksentrikan 1 2 berfokus pada kutub dan garis arah yang tegak lurus pada sumbu kutub yang berjarak 10 satuan di sebelah kanan kutub. Jawab: Persamaan konik (4), apabila e = 1 2 merupakan suatu elips sehingga persamaan kutub untuk elips yang diminta adalah 1 .10 2 r 1 1 cos θ 2 10 r 2 cos θ Contoh 5.9 Tentukan jenis konik yang persamaan kutubnya adalah 7 r = 2 + 4 sin θ Jawab: Jika kita tulis persamaan kutub ini dalam bentuk baku (5) maka didapat bentuk persamaan sebagai berikut: 7 7 2 7 2 4 r 2 4 sin θ 1 2 sin θ 1 2 sin θ Memperhatikan persamaan ini dengan membandingkan persamaan baku (5), kita dapat menyimpulkan bahwa keeksentrikannya e = 2 dan d = 7 4 . Jadi konik dengan persamaan kutub yang diketahui itu adalah suatu hiperbola dengan e = 2 dan berfokus pada kutub dan garis arah sejajar dengan sumbu kutub dan berjarak sejauh 7 4 satuan di atas sumbu kutub.
PEMA4317/MODUL 5 5.27 Contoh 5.10 Tentukan jenis kurva jika persamaan kutubnya diketahui sebagai berikut: 4 r π 2 2cos θ 3 Jawab: Tulis persamaan kutub ini dalam bentuk baku (3) sebagai berikut: 4 2 r π 2 2cos θ 1 cos θ 3 3 Dengan membandingkan persamaan ini dengan persamaan baku (3), dapat kita simpulkan bahwa e = 1 dan d = 2 serta 0 = 3 . Karena e = 1 maka persamaan itu menyatakan suatu parabola. Secara lengkap dapat dikatakan bahwa persamaan kutub itu menyatakan suatu parabola dengan keeksentrikan e =1 dan garis arah berjarak 2 satuan dari kutub yang normalnya membentuk sudut 3 dengan sumbu kutub. Selanjutnya kita akan membahas grafik-grafik yang lebih rumit bentuknya, yaitu kardioda, Limason, mawar dan spiral. Meskipun grafiknya rumit, namun persamaannya tetap sederhana, kalau dinyatakan dengan menggunakan persamaan kutub. Dan apabila dinyatakan dengan koordinat Kartesius, persamaannya tidak lagi sederhana. Sehingga kita dapat melihat keuntungan menggunakan koordinat kutub. Ada kurva-kurva yang persamaannya sederhana dalam suatu sistem dan ada kurva yang persamaannya sederhana dalam sistem lain, sifat demikian akan kita gunakan kelak dalam kalkulus untuk memecahkan suatu persoalan dengan memilih suatu sistem koordinat yang tepat. Banyak kurva yang memiliki sifat simetri pada suatu garis atau pada suatu titik. Oleh karena itu, sifat simetri ini dapat membantu kita dalam menggambar sebuah grafik. Berikut ini ada tiga pengujian sifat kesimetrian yang cukup dalam koordinat kutub, yaitu:
5.28 Geometri Analit Bidang dan Ruang 1. Grafik persamaan kutub simetrik terhadap sumbu kutub atau perpanjangannya ke arah yang kiri, apabila dalam persamaan itu diganti dengan - dan menghasilkan persamaan yang sama (Gambar 5.17). Gambar 5.17. 2. Grafik persamaan kutub simetrik terhadap sumbu Y (garis = π 2 ), apabila dalam persamaan itu diganti ( - ) yang akan menghasilkan persamaan yang sama (Gambar 5.18). Gambar 5.18. 3. Grafik persamaan kutub simetrik terhadap kutub (titik asal), apabila dalam persamaan itu r diganti dengan (-r) yang akan menghasilkan persamaan yang sama (Gambar 5.19). Gambar 5.19. A. LIMASON DAN KARDIODA Perhatikan persamaan yang berbentuk: r = a ± b cos , r = a + b sin dengan a, b konstanta yang positif . Grafiknya disebut limason. Apabila a = b maka grafiknya dinamakan kardioda. Jadi kardioda merupakan keadaan khusus dari limason.
PEMA4317/MODUL 5 5.29 Bentuk grafik untuk tiap-tiap kasus a > b, a = b dan a < b dapat dilihat pada Gambar 5.20. Gambar 5.20. Contoh 5.11 Selidiki persamaan r = 2 + 4 cos mengenai kesimetriannya dan gambarlah bentuk grafiknya. Jawab: Karena cos (-) = cos untuk semua maka grafiknya simetrik terhadap sumbu X. Sedangkan pengujian kesimetrian yang lain tidak berhasil. Selanjutnya untuk menggambar grafiknya disusun daftar nilai dan r yang memenuhi persamaan kutub tersebut sebagai berikut. 0 π 6 π 3 π 2 7π 12 2π 3 3π 4 5π 6 π r 6 5,5 4 2 1 0 -0,8 -1,5 -2 Gambar 5.21. r = 2 + 4 cos
5.30 Geometri Analit Bidang dan Ruang Contoh 5.12 Selidiki persamaan r = 2 - 2 cos dan buatlah grafiknya! Jawab: Karena cos (-) = cos maka grafiknya simetrik terhadap sumbu X. Selanjutnya, mengingat -1 < cos < 1 maka nilai r hanya berada pada 0 r 4. r = 0 terjadi jika = 0 dan r = 4 jika = . Disusun daftar nilai dan r sebagai berikut: 0 π 3 π 2 2π 3 r 0 1 2 3 4 Gambar 5.22. r = 2 – 2 cos B. LEMNISKAT Perhatikan persamaan kutub yang berbentuk r 2 = ± a cos 2, r2 = ± a sin dengan a suatu konstanta positif. Grafiknya dinamakan lemniskat dan berbentuk seperti angka delapan. Contoh 5.13 Selidikilah persamaan r2 = 8 cos 2 tentang kesimetriannya dan gambarlah bentuk grafiknya!
PEMA4317/MODUL 5 5.31 Jawab: Karena cos(-2) = cos 2 dan cos ( - ) = cos(2 - 2) = cos(-2) = cos 2 maka gafiknya simetrik terhadap sumbu X dan simetrik terhadap sumbu Y pula. Jadi, simetri terhadap titik asal (kutub). Dari nilai dan r yang memenuhi persamaan itu disusun tabel sebagai berikut: 0 π 12 π 6 π 4 π r 2,8 2,6 2 0 - Dari koordinat-koordinat yang ada pada tabel tersebut, dapat dibuat bentuk grafik dari persamaan r2 = 8 cos 2, yaitu sebagai berikut. Gambar 5.23. r2 = 8 cos 2 C. MAWAR Perhatikan persamaan kutub yang berbentuk r = a cos n, r = a sin n dengan a suatu konstanta. Grafiknya merupakan kurva-kurva yang berbentuk bunga dan dinamakan mawar. Banyaknya daun mawar adalah n apabila n ganjil dan 2n apabila n genap. Contoh 5.14 Selidiki persamaan r = 4 sin 2 tentang kesimetriannya, kemudian gambarlah grafiknya! Jawab: Karena sin ( - ) = sin (2 - 2) = sin 2 maka grafiknya simetrik terhadap garis = π 2 (sumbu Y). Sedangkan pengujian kesimetrian pertama
5.32 Geometri Analit Bidang dan Ruang dan ketiga tidak dipenuhi. Akan tetapi tampak pada Gambar 5.24, grafiknya mempunyai ketiga jenis kesimetrian. Hal ini, karena pengujian kesimetrian merupakan syarat cukup, dan bukan merupakan syarat perlu, selanjutnya untuk menggambar grafiknya disusun daftar nilai dan r yang memenuhi persamaan itu. 0 π 12 π 8 π 6 π 4 π 3 3π 8 5π 12 π 2 2π 3 5π 6 π 7π 6 4π 3 3π 2 5π 3 11π 3 r 0 2 2,8 3,5 4 3,5 2,8 2 0 -3,5 -3,5 0 3,5 3,5 0 -3,5 -3,5 Dari koordinat-koordinat dalam tabel ini, dapat digambarkan bentuk grafik dari persamaan r = 4 sin 2, yaitu sebagai berikut. Gambar 5.24. r = 4 sin 2 Gambar 5.24. r = 4 sin 2. Anak panah pada grafik (Gambar 5.24) menggambarkan arah gerak titik P(r, ) sepanjang grafik, apabila naik dari 0 hingga 2. D. SPIRAL Grafik persamaan kutub r = a dengan a suatu konstanta dinamakan spiral Archimides, sedang grafik persamaan kutub r = a eb dengan a, b konstanta disebut spiral logaritma. Contoh 5.15 Gambarlah grafik spiral yang mempunyai persamaan r = untuk 0. Jawab: Grafik ini akan memotong sumbu kutub dan perpanjangan ke kirinya di (0, 0), (, ), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), ... dan akan memotong
PEMA4317/MODUL 5 5.33 garis π θ = di 2 π π 3π 3π 5π 5π 7π 7π , , , , , , , 2 2 2 2 2 2 2 2 ... seperti terlihat pada Gambar 5.25. Gambar 5.25. r = untuk 0 E. PERPOTONGAN KURVA-KURVA DALAM KOORDINAT KUTUB Dalam koordinat Kartesius, titik-titik potong dari dua kurva dapat dicari dengan cara menyelesaikan dua persamaan dari kurva tersebut secara simultan (bersama-sama). Hal ini tidak selalu mungkin jika menggunakan koordinat kutub. Ini disebabkan sebuah titik mempunyai banyak koordinat kutub. Satu pasang koordinat memenuhi persamaan kutub kurva yang satu dan potongan koordinat lainnya memenuhi persamaan yang lain. Contoh 5.16 Tentukan koordinat-koordinat titik-titik potong antara lingkaran dengan persamaan kutub r = 4 cos dan garis = . 3 Jawab Jika = 3 disubstitusikan pada r = 4 cos diperoleh r = 4 cos 3 = 2. Sehingga titik potong kedua kurva itu adalah π 2, 3 . Selanjutnya perhatikan grafik kedua kurva (Gambar 5.26).
5.34 Geometri Analit Bidang dan Ruang Gambar 5.26. = 3 dan r = 4 cos . Tampak bahwa kutub O merupakan titik potong dari garis dan lingkaran itu pula. Meskipun (0, 0) tidak memenuhi pada persamaan garis maupun lingkaran. Tetapi π 0, 3 memenuhi persamaan garis = 3 dan π 0, 2 memenuhi persamaan lingkaran r = 4 cos . Dan kedua pasang koordinat tersebut menyatakan titik yang sama, yaitu titik asal O. Oleh karena itu, untuk mencari titik-titik potong dari dua kurva dengan persamaan kutub, selain dengan menyelesaikan dua persamaan tersebut bersama-sama, kita perlu menggambar sketsa grafik kedua kurva untuk memperoleh titik potong lain yang masih mungkin. Contoh 5.17 Carilah koordinat-koordinat titik potong dua kardioda r = 1 + cos dan r = 1 - sin . Jawab: Dari dua persamaan itu diperoleh 1 + cos = 1 - sin . Jadi cos = -sin atau tg = -1, sehingga = 3 π 4 atau = 7 π. 4 Jika hargaharga ini disubstitusikan ke persamaan kardioda diperoleh r = 1 - 1 2 2 dan
PEMA4317/MODUL 5 5.35 r = 1 + 1 2 2 . Sehingga titik-titik potongnya adalah 1 3π 1 2, 2 4 dan 1 7π 1 2, 2 4 . Selanjutnya, kita perhatikan grafik kedua persamaan itu (Gambar 5.27), tampak bahwa kutub O sebagai titik potongnya pula. Gambar 5.27. r = 1 – sin dan r = 1 + cos . O(0, 0) sebagai titik potong ketiga dari dua kurva tersebut, sebab r = 0 dalam persamaan r = 1 + cos menghasilkan = dan dalam persamaan r = 1 - sin menghasilkan = π . 2 1) Gambarlah grafik yang mempunyai persamaan 2 - 1 = 0. Apakah nama grafik tersebut? 2) Sebutkan jenis kurva dari persamaan berikut ini. Apabila konik, tentukan keeksentrikannya dan buatlah grafiknya! LAT IHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!
5.36 Geometri Analit Bidang dan Ruang a) 4 r 1 cos(θ π) 2 b) 4 r π 3cos θ 3 3) Tentukan persamaan kutub untuk lingkaran dengan pusat di π 5, 2 dan yang berjari- jari 3! 4) Gambarlah grafik dari persamaan kutub berikut ini: r = 2 – 4 cos r = 4 – 3 sin r = 1 θ, θ 0 2 5) Tentukan titik potong grafik-grafik dengan persamaan kutub berikut-ini: a) r = 6 dan r = 4 + 4 cos . b) r = 6 sin dan r = 6 1 + 2sin θ . Petunjuk Jawaban Latihan 1) 2 -1 = 0 ( - 1)( + 1) = 0 = 1 atau 0 = -1 Grafiknya berupa dua garis lurus melalui titik asal.
PEMA4317/MODUL 5 5.37 2) a) r = 4 1 cos θ π 2 diubah menjadi bentuk baku, yaitu 2.4 r = 1 2cos θ - π Persamaan ini menyatakan suatu konik dengan e = 2, berarti suatu hiperbola dengan fokus kutub dan garis arah yang vertikal sejauh 4 satuan di kiri kutub. 4 b) 4 r π 3 cos θ 3 diubah menjadi 4 3 r = π cos θ 3 Persamaan ini menyatakan suatu garis lurus yang berjarak 3 dari kutub dan normalnya membentuk sudut π 3 dengan sumbu kutub. Hiperbola 4 r = 1 cos θ π 2 Garis 4 r = π 3cos θ 3 3) Perhatikan gambar di samping P(r, 0) adalah sebarang titik pada lingkaran dan perhatikan OMP. Dengan menggunakan aturan kosinus pada segitiga ini diperoleh |PM|2 = |OP|2 + |OM|2 - 2 |OP| |OM| Cos POM 9 = r2 + 25 - 2r.5 Cos π θ 2 .
5.38 Geometri Analit Bidang dan Ruang r 2 – 10 r Cos π θ 2 +16 = 0. POM = π θ 2 . Persamaan terakhir ini adalah persamaan kutub untuk lingkaran dengan pusat π M 5, 2 dan berjari-jari 5. 4) a) b) c) 5) a) Titik potong r = 6 dan r = 4 + 4 cos diperoleh dengan menyelesaikan persamaan 6 = 4 + 4 cos cos = 1 2 = π 2 atau = 5 π 3 Jadi titik-titik potongnya adalah π 6, 3 dan 5 6, π 3
PEMA4317/MODUL 5 5.39 b) Titik potong r = 6 sin dan 6 r = 1 + 2 sin θ akan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan 6 6 sin θ = 1 + 2 sin θ 2 sin2 + sin - 1 = 0 (2 sin - 1)(sin + 1) = 0 sin = 1 2 atau sin = -1 π θ = 6 atau 5π θ = 6 atau 3π θ = 2 Substitusi harga-harga ini pada r = 6 sin diperoleh berturut-turut r = 3, r = 3 dan r = -6. Jadi titik potongnya adalah π 5π 3π 3, , 3, dan 6, 6 3 3 Periksalah perhitungan di atas dengan cara menggambarkan grafikgrafiknya. Sistem koordinat kutub memberikan alternatif pilihan di samping sistem koordinat Kartesius. Ada kurva-kurva yang persamaannya sederhana dalam suatu sistem dan ada kurva yang persamaannya sederhana dalam sistem lain. Banyak kurva yang rumit, namun persamaannya sederhana apabila dinyatakan dengan koordinat kutub. Demikian pula dalam perhitungan-perhitungan, kadang-kadang dengan menyatakan persamaannya dengan koordinat kutub, perhitungan akan menjadi lebih sederhana. Berikut ini bentuk baku persamaan kutub dari beberapa kurva. 1. = 0 persamaan garis lurus melalui kutub dan membentuk 0 dengan sumbu kutub. 2. 0 d r = cos θ θ persamaan garis lurus yang berjarak d dan normalnya membentuk sudut 0 dengan sumbu kutub satuan dari kutub 3. d r = cos θ persamaan garis lurus yang tegak lurus sumbu kutub melalui titik (d, 0) RANGKUMAN
5.40 Geometri Analit Bidang dan Ruang 4. d r = sin θ persamaan garis lurus yang sejajar sumbu kutub dan melalui titik π d, 2 5. r = 2a cos ( - 0) persamaan lingkaran yang berpusat di (a, 0) dan berjari-jari a. 6. r = 2a cos persamaan lingkaran yang berpusat di (a, 0) dan berjari-jari a. 7. r = 2a sin persamaan lingkaran yang berpusat di π a, 2 dan berjari-jari a. 8. r = a persamaan lingkaran yang berpusat di kutub dan berjari-jari a. 9. 0 ed r = 1 + e cos (θ θ ) persamaan konik dengan fokus di kutub dan garis arah berjarak d dari kutub serta normalnya membentuk sudut 0 dengan sumbu kutub dan keeksentrikan e. (i) jika 0 < e < 1 menyatakan elips (ii) jika e = 1 menyatakan parabola (iii) jika e > 1 menyatakan hiperbola 10. ed r = 1 + e cos θ persamaan konik dengan fokus di kutub dan garis arah tegak lurus pada sumbu kutub sejauh d satuan dari kutub. 11. ed r = 1 + e sin θ persamaan konik dengan fokus di kutub dan garis arah sejajar sumbu kutub sejauh d satuan dari kutub. Untuk menggambar grafik suatu persamaan kutub agar lebih mudah, perlu diadakan pengujian sifat kesimetrian. Berikut ini sifat kesimetrian yang cukup dalam koordinat kutub. a. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu kutub, apabila dalam persamaan itu diganti dengan (-) menghasilkan persamaan sama. b. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu Y π garis θ = , 2 apabila dalam persamaan itu diganti dengan ( - ) menghasilkan persamaan yang sama.
PEMA4317/MODUL 5 5.41 c. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu kutub, apabila dalam persa-maan itu r diganti dengan (-r) menghasilkan persamaan yang sama. 12. r = a b cos , r = a b sin dengan a dan b konstanta positif menya-takan persamaan Limason. 13. r = a(1 cos ), r = a(1 sin ), menyatakan persamaan kardioda. 14. r 2 = a cos 2, r2 = a sin , grafiknya disebut lemniskat dan berbentuk seperti angka delapan. 15. r = a cos n , r = a sin n , grafiknya dinamakan mawar. Banyaknya daun mawar adalah n jika n ganjil dan 2n jika n genap. 16. r = a disebut persamaan spiral Archimides r = aeb disebut persamaan spiral logaritma 1) Persamaan kutub berikut ini yang grafiknya berupa garis lurus adalah …. A. r = 8 B. r = 8 cos C. r = 8 sin D. 8 r= cos θ 2) Persamaan kutub berikut ini yang grafiknya berupa lingkaran yang melalui kutub adalah …. A. r = 10 B. = 10 C. r = 10 cos D. 10 r = 1 + cos θ 3) Pada gambar di samping, persamaan kutub untuk garis lurus adalah .... A. π r = 5 cos θ - 3 TES FORMAT IF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!