พาราโบลาและไฮเพอร์โบลา
TAEWAT
ค านา
่
E-book เล่มน้จัดท ำขึ้นเพือเปนส่วนหนึ่งของ
็
ี
่
ิ
ี
่
รำยวิชำคณตศำสตร์(เพิ่มเติม) เพือให้ผู้ทต้องกำรทบทวน
หรือต้องกำรศึกษำเนื้อหำเรืองพำรำโบลำและ
่
ไฮเพอร์โบลำ เพือน ำไปใช้ต่อยอดและศึกษำในชั้นเรียน
่
ผู้จัดท ำหวังว่ำ รำยงำนเล่มน้จะเปนประโยชน์กับ
ี
็
่
่
ี
ผู้อ่ำนทก ำลังหำข้อมูลเรืองน้อยู ถ้ำมข้อผิดพลำดประกำร
ี
ี
่
ี
่
ใดผู้จัดท ำขออภัยมำ ณ ทน้ด้วย
ี
ผู้จัดท ำ
ี
นำยเธวัต บำรมค ำเกษม
สารบัญ
สูตรพาลาโบลา.................1
สูตรไฮเพอร์โบลา..............2
โจทย์พาลาโบลา.............3-7
โจทย์ไฮเพอร์โบลา. . . . . . . . . 8-1 2
สตรพาลาโบลา
ู
่
ี
สูตรพำรำโบลำ 2 รปแบบทควรทรำบ ได้แก ่
ู
ี
รปแบบท 1 : y = ax^2 +bx +c เมือ a ไม่เท่ำกับศูนย์
่
ู
่
ลักษณะกรำฟ ถ้ำ a>0 ——> เปน พำรำโบลำหงำย
็
่
็
a<0 ——> เปน พำรำโบลำคว ำ
จุดยอด [-(b) /2a , ( 4ac - b^2 ) / 4a]
แกนสมมำตร เส้นตรง x= -b /2a
ู
่
่
ี
รปแบบท 2 : y = a(x-h)^2 +k เมือ a ไม่เท่ำกับศูนย์
ลักษณะกรำฟ ถ้ำ a>0 เปน พำรำโบลำหงำย
็
่
a<0 เปน พำรำโบลำคว ำ
็
จุดยอด [ h , k ]
แกนสมมำตร เส้นตรง x=h
สูตรไฮเพอร์โบลา
ี
ี
่
ไฮเพอร์โบลำทมแกนเอกขนำนแกน X
สมกำร [(x-h)2/ a 2]-[(y-k) 2/ b 2] = 1
่
ี
โดยท c > a และ c 2 = a 2 + b 2
จุดศูนย์กลำง (h, k)
จุดยอก (h-a, k) และ (h + a, k)
จุดโฟกัส (h – c, k) และ (h + c, k)
Asymtote y – k = (+ -)[(b / a)(x - h)]
่
ี
ไฮเพอร์โบลำทีมแกนเอกขนำนแกน Y
สมกำร [(y - k)2/ a 2]-[(y-k) 2/ b 2] = 1
่
ี
โดยท c > a และ c 2 = a 2 + b 2
จุดศูนย์กลำง (h, k)
จุดยอก (h, k - a) และ (h , k + a)
จุดโฟกัส (h, k-c) และ (h, k + c)
Asymtote y – k = (+ -)[(b / a)(x - h)]
โจทย์พำรำโบลำ
2
y = x - 2x - 8 เปนกรำฟพำรำโบลำ
็
ี
1.1) กรำฟตัดแกน x ทจุดใด
่
ี
่
1.2) กรำฟตัดแกน y ทจุดใด
วิธท ำ
ี
2
y = - 2x – 8……(1)
ื
กรำฟตัดแกน X เมอ y = 0
่
จึงแทน y ด้วย 0 ลงใน (1)
2
0 = - 2x – 8
2
- 2x – 8 = 0
(x + 2)(x - 4) = 0
กรณที 1
่
ี
x + 2 = 0
x = -2
ี
่
กรณที 2
X – 4 = 0
X = 4
็
2
y = 2x + 8x + 3 เปนกรำฟพำรำโบลำ
่
2.2) จุดสูงสุด หรือ จุดต ำสุด
ี
่
2.1) กรำฟมจุดสูงสุด หรือ จุดต ำสุดด
2
y = 2x + 8x + 3
สมกำร (1) เปนรปทัวไปของพำรำโบลำ
่
็
ู
ื
ี
่
พำรำโบลำมจุดต ำสุดเมอ a > 0
่
ี
่
่
ค่ำ x ทจุดต ำสุด = −
2
ื
พำรำโบลำมีจุดสูงสุดเมอ a < 0
่
ค่ำ x ทจุดสูงสุด = −
ี
่
2
y = 2x + 8x + 3…………(2)
2
เปรียบเทยบสมกำร 2 กับสมกำร 1
ี
a = 2
b = 8
c = 3
่
ื
่
เนอจำก 2 > 0 ดังนั้น สมกำร 2 มีจุดต ำสุด
ี
่
ค่ำ x ทจุดต ำสุด = −
่
2
x = −8
2(2)
x = -2………..(3)
หำค่ำ y ทจุดต ำสุด โดยแทน 3 ลงใน 2
่
่
ี
y = 2(-2) +8(-2)+3
2
y = - 5
โจทย์
2
กรำฟ y = - x - 10x + 1
3.1) กรำฟมีจุดสูงสุด หรือ จุดต ำสุด
่
3.2) จงหำจุดสูงสุด หรือ จุดต ำสุด
่
วิ ธี ท า
2
y = - x - 10x + 1...............(1)
่
พำรำโบลำมจุดต ำสุด เมอ a > 0
ื
ี
่
่
่
ี
ค่ำ x ทจุดต ำสุด = −
2
ื
่
ี
พำรำโบลำมจุดสูงสุดเมอ a < 0
ค่ำ x ทจุดสูงสุด = −
ี
่
2
2
y = - x - 10x + 1...............(2)
ี
เปรียบเทยบสมกำร 2 กับสมกำร 1
a = -1
b = 10
c = 1
่
ี
่
ื
เนอจำก -1 < 0 ดังนั้น สมกำร 2 มจุดต ำสุด
ี
ค่ำ x ทจุดต ำสุด = −
่
่
2
x = −(−10)
2(−1)
x = 5………..(3)
ี
่
่
หำค่ำ y ทจุดต ำสุด โดยแทน 3 ลงใน 2
2
y = -(-5) -10(-5) + 1
y = - 25 + 50 +1
y = 26
โจทย์
2
ี
จงเขยนกรำฟของสมกำร y = 3x - 6x - 9
่
แสดงจุดตัดแกน X, จุดตัดแกน Y และจุดสูงสุด/ต ำสุด
วิธีท ำ
y = 3x - 6x – 9……..(1)
2
กรำฟตัดแกน x เมื่อ y = 0
จึงแทน y ด้วย 0 ลงใน 1
2
0 = 3x - 6x – 9
2
3x - 6x – 9 = 0
(3x + 3)(x -3) = 0
่
ี
กรณท 1
ี
3x + 3 =0
x = -1
กรณท 2
ี
่
ี
x – 3 = 0
x = 3
โจทย์
2
จำกสมกำร y = 2x + 5x - 12
็
Y จะมีค่ำเปนบวกเมื่อใด
วิธีท า
2
y = 2x + 5x – 12 . . . . . . . . . . . ( 1 )
.
กรำฟตัดแกน x เมอ y = 0
่
ื
จึงแทน y ด้วย 0 ลงใน 1
2
0 = 2x + 5x – 12
2
2x + 5x – 12 = 0
(2x - 3)(x + 4) = 0
่
ี
กรณท 1
ี
2x – 3 = 0
X = 1.5
กรณท 2
ี
ี
่
X + 4 = 0
X = - 4
โจทย์ไฮเพอร์โบลา
( −4) 2 ( −3) 2
จากสมการไฮเพอร์โบลา - = 1 จงหาจุดยอด
16 1
และโฟกัส
วิธีท า จากสมการทีโจทย์ก าหนด สรุปผลได้ว่า
่
1.จุดศูนย์กลางไฮเพอร์โบลาอยูที (4,3)
่
่
็
2. เปนไฮเพอร์โบลาตามแนวนอน
2
2
2
ดังนั้น = + = 10 + 9 = 25
a = 4 , c = 5
จากผลข้อ 2 ในการหาจุดยอดหรือโฟกัสเราต้องนาค่าไป
แจกลบกับค่า h
จุดยอดคือ (4+4 , 3) กับ (4-4,3)
=(8,3) กับ (0,3)
โฟกัส (4+5 ,3) และ (4-5,3)
= (9,3) และ (-1,3)
2 2
็
สมการ = = 1 เปน
16 25
ไฮเพอร์โบลาตามแนวนอน เพราะว่า
2
้
่
หนา มีเครืองหมายเปนบวก
็
2
้
ี
นอกจากนยังพบว่า = 25
2
2
2
= + = 16 + 25 = 41
a = 4 , c = 41
จุดยอด (4,0) กับ (-4,0)
โฟกัสคอ ( 41, 0) กับ (- 41,0)
ื
2
2
สมการ 9 - 16 +144 = 0
่
เปนสมกำรของไฮเพอร์โบลำซึงเรำจัด
็
่
สมกำรได้อยูในรปแบบแล้วจะได้ดังน้ ี
ู
ี
วิธท ำ
2
2
9 - 16 +144 = 0
2
2
9 - 16 = -144
2 2
- + = 1
16 9
็
ซึงสมการดังกล่าวเปนไฮเพอร์โบลาตามแนวตั้ง
่
2
เพราะว่าเครืองหมายหนา เปนลบ
็
้
่
ี
2
นอกจำกน้จะพบว่ำ = 9 อยูกับพจน์ทเปนบวก
ี
็
่
่
2
2
2
2
และ = 16 = + = 9 + 16 =
25
a = 3 , c = 5
่
่
จุดยอดคือ (0,3) กับ (0,-3) ซึงอยูบนแกน y
่
่
โฟกัสคือ (0,5) กับ (0,-5) ซึงอยูบนแกน Y
2
2
9 -25 = 225
2 2
− = 1
25 9
a = 5 b = 3
จุดยอด (0,5) กับ (0,-5)
2
2
โฟกัส = + 2
2
= 25+9
C= 34
(0, 34 ) , (0, - 34 )
เส้นก ำกับ
Y = + - x
5
Y = + -
3
( −1) 2
2
- ( − 3) = 1
25
่
วิธืท า สมการทีโจทย์ให้มาลองเทียบกับสมการน
ี
้
( − ) 2 - ( −ℎ) 2 = 1
2 2
่
จะเห็นว่าสมการทีโจทย์ให้มามันคือ
่
ไฮเพอร์โบลาตั้งรับก็คือแกนตามขวางอยูแนวตั้ง
2
2
จะเห็นว่า = 25 , = 1
ดังนั้น a = 5 , b = 1
จะได้ c = 25 + 1 + 26
จึงได้ว่ำ จุดศูนย์กลำงคือ (3,1)
อ้างอิง
http://mathsmethod.com/screen-
size.php?url=/m-m3-
exercise/parabola/parabola-01.php
https://www.dek-d.com/