The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Published by gigigimimi123, 2021-03-24 10:10:43

พาลาโบลาและไฮเพอร์โบลาของเธวัต

พาราโบลาและไฮเพอร์โบลา




















































TAEWAT

ค านา

















E-book เล่มน้จัดท ำขึ้นเพือเปนส่วนหนึ่งของ






รำยวิชำคณตศำสตร์(เพิ่มเติม) เพือให้ผู้ทต้องกำรทบทวน
หรือต้องกำรศึกษำเนื้อหำเรืองพำรำโบลำและ



ไฮเพอร์โบลำ เพือน ำไปใช้ต่อยอดและศึกษำในชั้นเรียน


ผู้จัดท ำหวังว่ำ รำยงำนเล่มน้จะเปนประโยชน์กับ






ผู้อ่ำนทก ำลังหำข้อมูลเรืองน้อยู ถ้ำมข้อผิดพลำดประกำร





ใดผู้จัดท ำขออภัยมำ ณ ทน้ด้วย














ผู้จัดท ำ




นำยเธวัต บำรมค ำเกษม

สารบัญ
















สูตรพาลาโบลา.................1





สูตรไฮเพอร์โบลา..............2





โจทย์พาลาโบลา.............3-7




โจทย์ไฮเพอร์โบลา. . . . . . . . . 8-1 2

สตรพาลาโบลา











สูตรพำรำโบลำ 2 รปแบบทควรทรำบ ได้แก ่




รปแบบท 1 : y = ax^2 +bx +c เมือ a ไม่เท่ำกับศูนย์



ลักษณะกรำฟ ถ้ำ a>0 ——> เปน พำรำโบลำหงำย






a<0 ——> เปน พำรำโบลำคว ำ

จุดยอด [-(b) /2a , ( 4ac - b^2 ) / 4a]




แกนสมมำตร เส้นตรง x= -b /2a















รปแบบท 2 : y = a(x-h)^2 +k เมือ a ไม่เท่ำกับศูนย์
ลักษณะกรำฟ ถ้ำ a>0 เปน พำรำโบลำหงำย





a<0 เปน พำรำโบลำคว ำ


จุดยอด [ h , k ]




แกนสมมำตร เส้นตรง x=h

สูตรไฮเพอร์โบลา










ไฮเพอร์โบลำทมแกนเอกขนำนแกน X


สมกำร [(x-h)2/ a 2]-[(y-k) 2/ b 2] = 1




โดยท c > a และ c 2 = a 2 + b 2

จุดศูนย์กลำง (h, k)



จุดยอก (h-a, k) และ (h + a, k)



จุดโฟกัส (h – c, k) และ (h + c, k)



Asymtote y – k = (+ -)[(b / a)(x - h)]











ไฮเพอร์โบลำทีมแกนเอกขนำนแกน Y


สมกำร [(y - k)2/ a 2]-[(y-k) 2/ b 2] = 1




โดยท c > a และ c 2 = a 2 + b 2

จุดศูนย์กลำง (h, k)



จุดยอก (h, k - a) และ (h , k + a)


จุดโฟกัส (h, k-c) และ (h, k + c)




Asymtote y – k = (+ -)[(b / a)(x - h)]

โจทย์พำรำโบลำ





2
y = x - 2x - 8 เปนกรำฟพำรำโบลำ


1.1) กรำฟตัดแกน x ทจุดใด



1.2) กรำฟตัดแกน y ทจุดใด


วิธท ำ






2
y = - 2x – 8……(1)




กรำฟตัดแกน X เมอ y = 0

จึงแทน y ด้วย 0 ลงใน (1)


2
0 = - 2x – 8


2
- 2x – 8 = 0



(x + 2)(x - 4) = 0


กรณที 1





x + 2 = 0




x = -2




กรณที 2



X – 4 = 0



X = 4


2
y = 2x + 8x + 3 เปนกรำฟพำรำโบลำ

2.2) จุดสูงสุด หรือ จุดต ำสุด



2.1) กรำฟมจุดสูงสุด หรือ จุดต ำสุดด



2
y = 2x + 8x + 3


สมกำร (1) เปนรปทัวไปของพำรำโบลำ






พำรำโบลำมจุดต ำสุดเมอ a > 0




ค่ำ x ทจุดต ำสุด = −
2

พำรำโบลำมีจุดสูงสุดเมอ a < 0

ค่ำ x ทจุดสูงสุด = −


2
y = 2x + 8x + 3…………(2)
2
เปรียบเทยบสมกำร 2 กับสมกำร 1


a = 2


b = 8

c = 3




เนอจำก 2 > 0 ดังนั้น สมกำร 2 มีจุดต ำสุด


ค่ำ x ทจุดต ำสุด = −

2
x = −8

2(2)
x = -2………..(3)

หำค่ำ y ทจุดต ำสุด โดยแทน 3 ลงใน 2



y = 2(-2) +8(-2)+3
2
y = - 5

โจทย์



2
กรำฟ y = - x - 10x + 1


3.1) กรำฟมีจุดสูงสุด หรือ จุดต ำสุด


3.2) จงหำจุดสูงสุด หรือ จุดต ำสุด




วิ ธี ท า

2
y = - x - 10x + 1...............(1)


พำรำโบลำมจุดต ำสุด เมอ a > 0






ค่ำ x ทจุดต ำสุด = −
2



พำรำโบลำมจุดสูงสุดเมอ a < 0
ค่ำ x ทจุดสูงสุด = −


2
2
y = - x - 10x + 1...............(2)

เปรียบเทยบสมกำร 2 กับสมกำร 1

a = -1


b = 10

c = 1





เนอจำก -1 < 0 ดังนั้น สมกำร 2 มจุดต ำสุด

ค่ำ x ทจุดต ำสุด = −


2
x = −(−10)

2(−1)
x = 5………..(3)





หำค่ำ y ทจุดต ำสุด โดยแทน 3 ลงใน 2
2
y = -(-5) -10(-5) + 1
y = - 25 + 50 +1


y = 26

โจทย์



2

จงเขยนกรำฟของสมกำร y = 3x - 6x - 9


แสดงจุดตัดแกน X, จุดตัดแกน Y และจุดสูงสุด/ต ำสุด



วิธีท ำ







y = 3x - 6x – 9……..(1)
2

กรำฟตัดแกน x เมื่อ y = 0





จึงแทน y ด้วย 0 ลงใน 1






2
0 = 3x - 6x – 9



2
3x - 6x – 9 = 0

(3x + 3)(x -3) = 0





กรณท 1

3x + 3 =0

x = -1

กรณท 2



x – 3 = 0


x = 3

โจทย์




2
จำกสมกำร y = 2x + 5x - 12





Y จะมีค่ำเปนบวกเมื่อใด









วิธีท า


2
y = 2x + 5x – 12 . . . . . . . . . . . ( 1 )
.
กรำฟตัดแกน x เมอ y = 0


จึงแทน y ด้วย 0 ลงใน 1




2
0 = 2x + 5x – 12


2
2x + 5x – 12 = 0

(2x - 3)(x + 4) = 0








กรณท 1

2x – 3 = 0


X = 1.5


กรณท 2



X + 4 = 0

X = - 4

โจทย์ไฮเพอร์โบลา


















( −4) 2 ( −3) 2
จากสมการไฮเพอร์โบลา - = 1 จงหาจุดยอด
16 1
และโฟกัส


วิธีท า จากสมการทีโจทย์ก าหนด สรุปผลได้ว่า



1.จุดศูนย์กลางไฮเพอร์โบลาอยูที (4,3)




2. เปนไฮเพอร์โบลาตามแนวนอน


2
2
2
ดังนั้น = + = 10 + 9 = 25

a = 4 , c = 5


จากผลข้อ 2 ในการหาจุดยอดหรือโฟกัสเราต้องนาค่าไป



แจกลบกับค่า h



จุดยอดคือ (4+4 , 3) กับ (4-4,3)


=(8,3) กับ (0,3)



โฟกัส (4+5 ,3) และ (4-5,3)



= (9,3) และ (-1,3)

2 2

สมการ = = 1 เปน
16 25
ไฮเพอร์โบลาตามแนวนอน เพราะว่า



2


หนา มีเครืองหมายเปนบวก

2


นอกจากนยังพบว่า = 25
2
2
2
= + = 16 + 25 = 41
a = 4 , c = 41

จุดยอด (4,0) กับ (-4,0)



โฟกัสคอ ( 41, 0) กับ (- 41,0)


2
2
สมการ 9 - 16 +144 = 0





เปนสมกำรของไฮเพอร์โบลำซึงเรำจัด





สมกำรได้อยูในรปแบบแล้วจะได้ดังน้ ี





วิธท ำ





2
2
9 - 16 +144 = 0
2
2
9 - 16 = -144


2 2
- + = 1

16 9

ซึงสมการดังกล่าวเปนไฮเพอร์โบลาตามแนวตั้ง


2
เพราะว่าเครืองหมายหนา เปนลบ




2
นอกจำกน้จะพบว่ำ = 9 อยูกับพจน์ทเปนบวก




2
2
2
2
และ = 16 = + = 9 + 16 =
25



a = 3 , c = 5




จุดยอดคือ (0,3) กับ (0,-3) ซึงอยูบนแกน y



โฟกัสคือ (0,5) กับ (0,-5) ซึงอยูบนแกน Y

2
2
9 -25 = 225




2 2

− = 1


25 9


a = 5 b = 3




จุดยอด (0,5) กับ (0,-5)




2
2
โฟกัส = + 2



2
= 25+9





C= 34











(0, 34 ) , (0, - 34 )




เส้นก ำกับ






Y = + - x




5

Y = + -

3

( −1) 2
2
- ( − 3) = 1

25

วิธืท า สมการทีโจทย์ให้มาลองเทียบกับสมการน




( − ) 2 - ( −ℎ) 2 = 1


2 2


จะเห็นว่าสมการทีโจทย์ให้มามันคือ


ไฮเพอร์โบลาตั้งรับก็คือแกนตามขวางอยูแนวตั้ง


2
2
จะเห็นว่า = 25 , = 1


ดังนั้น a = 5 , b = 1



จะได้ c = 25 + 1 + 26



จึงได้ว่ำ จุดศูนย์กลำงคือ (3,1)

อ้างอิง
















http://mathsmethod.com/screen-


size.php?url=/m-m3-


exercise/parabola/parabola-01.php






https://www.dek-d.com/


Click to View FlipBook Version