KATA PENGANTAR Dengan rahmat Allah SWT, kami mengucapkan syukur Alhamdulillah atas nikmat dan karunianya sehingga kami dapat menyelesaikan Modul 1 SPLDV. Modul ini membahas tentang SPLDV khususnya tentang metode eliminasi dan metode substitusi. Bahan ajar ini ini diperuntukkan untuk siswa siswi SMP Muhammadiyah 2 gamping. Tujuan penyusunan bahan ajar ini adalah agar siswa siswi mampu memahami, mengidentifikasi, menganalisis, merekonstruksi, memodifikasi secara terstruktur materi geometri datar secara bermakna dalam penyelesaian permasalahan dari suatu sistem (pemodelan matematika) dan penyelesaian masalah praktis kehidupan sehari-hari melalui kerja problem solving, koneksi dan komunikasi matematika, critical thinking, kreatifitas berpikir matematis yang selaras dengan tuntutan masa depan khususnya . Terima kasih kami sampaikan kepada Ibu Kepala Sekolah SMP Muhammadiyah 2 Gamping serta pihak- pihak yang telah membantu dalam penyusunan bahan ajar iini. Akhir kata, kami sekali lagi mengharapkan saran dari para pembaca demi penyempurnaan bahan ajar ini. Demikian sepenggal kata pengantar dalam modul ini. Sleman, Oktober2022 Penulis Nining hari Kartika
PETA KONSEP Kompetensi Awal 1. Memahami sistem persamaan linear duavariabel dan penyelesaiannya yang dihubungkan dengan masalah kontekstual 2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel Pengalaman Belajar Mengidentifikasi Persamaan Linear Dua Variabel Membedakan antara Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) dan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Menyelesaikan soal cerita dari masalah sehari-hari berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel menggunakan metode eliminasi
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) A. Pengertian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Sebelum kita memasuki materi SPLDV, coba perhatikan masalah berikut ini: Nah untuk mempermudah kita dalam menentukan harga satu potong donat dan 1 gelas kopi, marilah kita belajar tentang SPLDV Kita ingat terlebih dahulu apa itu persamaan linear... Persamaan linear adalah suatu persamaan yang memiliki variabel dengan pangkat tertingginya adalah 1 (satu). Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) merupakan suatu persamaan yang terdiri atas dua variable dan keduanya berpangkat 1. Dalam Persamaan Linear Dua Variabel terdapat unsur-unsur Variabel, konstanta, koefisien. Solusi dari Persamaan Linear Dua Variabel disebut himpunan penyelesaian. Kumpulan dua (atau lebih) Persamaan Linear Dua Variabel disebut dengan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV). SPLDV ini biasanya digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang membutuhkan penggunaan matematika, seperti menentukan harga suatu barang, mencari keuntungan penjualan, sampai menentukan ukuran suatu benda. AYO KITA AMATI...!!! AYO KITA MENGINGAT...!!!
Bentuk umum Persamaan Linear Dua Variabel adalah ax +by + c = 0 dengan a dan b keduanya tidak nol, x dan y sebagai variable, a koefisien dari x, b koefisien dari y dan c adalah konstanta. Contoh PLDV = 2 + 2 = 5 Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel x dan y adalah : Persamaan 1 : px +qy = r Persamaan 2 : vx + wy = z Keterangan: - P,q,r,v,w dan z bilangan real; p dan q keduanya tidak nol dan; v dan wkeduanya tidak nol. - x dan y merupakan variable dengan pangkat satu. - p, v merupakan koefisien dari variable x, sedangkan q,w merupakan koefisien dari variable y. - r dan z merupakan konstanta. Contoh SPLDV 3x + 2y = 10 9x – 7y = 43 Persamaan Linier Dua Variabel (PLDV) dapat dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a, b, c R, a,b ≠ 0 dan x, y suatu variabel A. Metode dalam menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV) AYO KITA BELAJAR...!!!
A. Metode eliminasi Metode eliminasi pada SPLDV adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menghilangkan salah satu variabel dari 2 persamaan yang diketahui. Tentukan penyelesaian dari SPLDV: –x + 2y = 10 dan 3x + 2y = 22. Penyelesaian: Diketahui: – x + 2y = 10 ... (1) 3x + 2y = 22 ... (2) Lakukan 2 kali eliminasi untuk variabel x dan eliminasi variabel y. Mula-mula, tentukan nilai x dengan mengeliminasi variabel y. Coba perhatikan kedua persamaan yang diketahui, adakah variabel dengan koefisiennya sama? Koefisien variabel y sudah sama, sehingga variabel y dapat langsung dieliminasi (dihilangkan). : 1. jika tanda koefiesien variabel yang akan dieliminasi sama, maka kurangkan persamaan (1) dan (2). 2.jika tanda koefiesien variabel yang akan dieliminasi berbeda, maka jumlahkan persamaan (1) dan (2). Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel dapat dilakukan dengan : a. Metode eliminasi b. Metode Substitusi c. Metode Gabungan d. Metode grafik Namun pada materi ajar ini akan dibahas metode eliminasi DAN Gabungan terlebih dahulu AYO MENCOBA..!!! Dalam mengeliminasi variabel ada hal yang perlu kamu ingat yaitu
-x + 2y = 10 3x + 2y = 22 (- x -3x) + (2y – 2y) = 10 - 22 ⇔ -4x = -12 ⇔ x = 3 Selanjutnya, tentukan nilai y dengan mengeliminasi variabel x. Coba perhatikan kedua persamaan yang diketahui, apakah koefisien variabel x sudah sama? Koefisien variabel x belum sama, sehingga kalikan masing-masing persamaan dengan bilangan tertentu, agar koefisien variabel x pada persamaan (1) dan (2) berubah menjadi Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) keduanya. – x + 2y = 10 |x3| -3x + 6y = 30 3x + 2y = 22 |x1| 3x + 2y = 22 (-3x + 3x ) + (6y + 2y ) = 30 + 22 ⇔ 8y = 52 ⇔ y = 6,5 Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = 3 dan y = 6,5. Langkah-langkah metode eliminasi adalah sebagai berikut. Tentukan variabel yang akan dieliminasi Samakan koefisien dari variabel yang akan dieliminasi Lakukan operasi pada kedua persamaan sehingga variabel yang akan dieliminasi hilang atau habis. C. Membuat Model Matematika Dan Menyelesaikan Masalah Sehari –Hari Yang Melibatkan Sistem Persamaan Liniear Dua Variabel AYO MENYIMPULKAN..!!!
1. Seseorang membeli 4 buku tulis dan 3 pensil, ia membayar Rp19.500,00. Jika ia membeli 2 buku tulis dan 4 pensil, ia harus membayar Rp16.000,00. Tentukan harga sebuah buku tulis dan sebuah pensil ! Penyelesaian : Dengan metode eliminasi Misal : x = harga satu buku tulis y = harga satu pensil Maka diperoleh: 4x + 3y = 19.500 ........... persamaan 1 2x +4y = 16.000 ........... persamaan 2 Kita eliminasi x terlebih dahulu, dengan mengalikan pers 1 dengan 1 dan pers 2 dengan 2 Maka didapat: 4x + 3y = 19.500 4x + 8y = 32.000 Karena nilai x sudah sama dan sama sama positif maka dikurangkan, didapat -5y = - 12.500 y = -12.500: (-5) y = 2500 kemudian dari persamaan 1 dan 2 kita eliminasi y dengan mengalikan pers 1 dengan 4 dan persamaan 2 dengan 3, maka didapat: 16x + 12y = 78.000 6x +12y = 48.000 Karena nilai y sudah sama dan sama sama positif maka dikurangkan, didapat 10x = 30.000 X = 30.000: 10 X = 3.000 Jadi dapat disimpulkan bahwa harga 1 buah buku = 3000 dan 1 buah donat = 4.800 Sehingga jika doni membeli 3 permen dan 3 donat = 3. 1800 + 3. 4800 = 5.400 + 14.400 = 19.800 AYO MENCOBA..!!!
Jadi dengan uang membawa uang 20.000 bisa membeli 3 permen dan 3 donat B. Metode Substitusi Metode substitusi bertujuan untuk mengganti nilai suatu variabel pada suatu persamaan dari persamaan lainnya. Caranya dapat kamu lihat ada contoh berikut ini: Contoh soal dan penyelesaian SPLDV menggunakan metode substitusi: Tentukan penyelesaian dari SPLDV: –x + 2y = 10 dan 3x + 2y = 22. Penyelesaian: Diketahui: – x + 2y = 10 ... (1) 3x + 2y = 22 ... (2) Dalam metode substitusi,kamu bisa mencari nilai x atau nilai y,bebas mau yang mana terlebih dulu.Tapi lihat dulu persamaannya,mana yang membuat jadi lebig sederhana. Dari dua persamaan diatas,kita bisa cari dulu nilai x,sehingga kita ubah y nya dalam variabel x. Dari persamaan 1: -x + 2y = 10 -x = 10 + -2y / (dikalikan negatit 1) X = 10 + 2y Substitusi nilai x ke dalam persamaan 2 : 3x + 2y = 22 3(10 + 2y) + 2y = 22 30 + 6y + 2y = 22 30 + 8y = 22 8y = 22 – 30 8y = - 8 Y = -8/8 = -1 Setelah iyu,substitusikan nilai x ke persamaan x = 10 + 2 (-1) X = 10 – 2 = 8 Maka berdasarkan metode substitusi diperoleh nilai x = 8 dan nilai y = -1 AYO MENCOBA..!!!
C. Metode Gabungan Metode Gabungan pada SPLDV adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menghilangkan salah satu variabel dari 2 persamaan yang diketahui. Langkah-langkah metode Gabungan adalah sebagai berikut. Tentukan variabel yang akan dieliminasi/disubstitusi Samakan koefisien dari variabel yang akan dieliminasi(apabila akan eliminasi dulu) Jika ingin substitusi bisa menyatakan variabel x misalkan dalam variabel y begitupun sebaliknya Lakukan operasi pada kedua persamaan sehingga variabel yang akan dieliminasi hilang atau habis begitu juga dengan substitusi masukkan variabel yang di misalkan dalam variabel lainnya Contoh: Tentukan penyelesaian dari SPLDV: –x + 2y = 10 dan 3x + 2y = 22. Penyelesaian: Diketahui: – x + 2y = 10 ... (1) 3x + 2y = 22 ... (2) Lakukan 2 kali eliminasi untuk variabel x dan eliminasi variabel y. Mula-mula, tentukan nilai x dengan mengeliminasi variabel y. Coba perhatikan kedua persamaan yang diketahui, adakah variabel dengan koefisiennya sama? Koefisien variabel y sudah sama, sehingga variabel y dapat langsung dieliminasi (dihilangkan).
Dalam mengeliminasi variabel ada hal yang perlu kamu ingat yaitu: jika tanda koefiesien variabel yang akan dieliminasi sama, maka kurangkan persamaan (1) dan (2). jika tanda koefiesien variabel yang akan dieliminasi berbeda, maka jumlahkan persamaan (1) dan (2). Selanjutnya, tentukan nilai y dengan mensubtitusi variabel x. Subtitusi nilai x yang sudah di ketahui ke persamaan 1 atau 2 -x + 2y = 10 -3 + 2y = 10 2y = 10 + 3 Y = 13 /2 =6,5 Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = 3 dan y = 6,5. Contoh: (diambil dari video yang ditayangkan) 1. Doni sedang pergi jalan jalan menuju supermarket. Sebelum sampai, bertemu dengan temannya yang membeli permen dan donat. Ketika doni bertanya tentang harga barangnya, temannya hanya menjawab membeli 3 permen dan 2 donat dengan harga Rp.15.000,00. Kemudian doni juga bertemu dengan pamannya yang membeli 4 permen dan 6 donat dengan harga Rp.36.000,00 di tempat yang sama. Jika doni ingin membeli 3 permen dan 3 donat maka berapakah harganya? Apakah cukup jika doni hanya membawa uang Rp.20.000,00 ? Penyelesaian : Dengan metode Gabungan
Misal : x = banyak permen y = banyak donat Maka diperoleh: 3x + 2y = 15.000..........................persamaan 1 4x +6y = 36.000...........................persamaan 2 Kita eliminasi x terlebih dahulu, dengan mengalikan pers 1 dengan 4 dan pers 2 dengan 3 Maka didapat: 12x + 8y = 60.000 12x + 18y = 108.000 Karena nilai x sudah sama dan sama sama positif maka dikurangkan, didapat -10y = - 48.000 y = -48.000: (-10) y = 4.800 kemudian dari nilai yang dida[at di subtitusi ke persamaan 1 atau 2, maka didapat: 3x + 2y = 15.000 3x + 2(4800) = 15.000 3x + 9600 = 15.000 3x = 15.000 – 9600 3x = 5400 X = 5400 : 3 X = 1800 Jadi dapat disimpulkan bahwa harga 1 buah permen = 1800 dan 1 buah donat = 4.800 Sehingga jika doni membeli 3 permen dan 3 donat = 3. 1800 + 3. 4800 = 5.400 + 14.400 = 19.800 Jadi dengan uang membawa uang 20.000 bisa membeli 3 permen dan 3 donat
Langkah – langkah Menyelesaikan Masalah Sehari –Hari Yang Melibatkan Sistem Persamaan Liniear Dua Variabel 1. Mengubah kalimat – kalimat pada soal cerita menjadi beberapa kalimat (model matematika), sehingga membentuk sistem persamaan linier dua variabel 2. Menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel menggunakan metode Eliminasi dan Gabungan 3. Menggunakan penyelesaian yang diperoleh untuk menjawab pertanyaan pada soal cerita D. Metode Grafik Pada metode grafik, kita akan menggambar grafik dari dua buah persamaan yang telah kita buat pada langkah sebelumnya. Cara yang paling mudah untuk menggambar grafik adalah dengan mencari titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y. Berdasarkan contoh di atas, kita dapat menentukan titik potong dari masing-masing persamaan sebagai berikut: Cara GRAFIK Contoh: Selesaikan SPLDV 3 + = 6 dan + = 4 Penyelesaian: Mengambar grafik 3 + = 6 • Titik potong dengan sumbu x = 0 → 3 + 0 = 6 → 3 = 6 → = 2 Titik potong (2,0) • Titik potong dengan sumbu y = 0 → 3(0) + = 6 → = 6 Titik potong (0,6) Mengambar grafik + = 4 • Titik potong dengan sumbu x = 0 → + 0 = 4 → = 4 Titik potong (4,0) • AYO KITA MENYIMPULKAN..!!!
Titik potong dengan sumbu y = 0 → 0 + = 4 → = 4 Titik potong (0,4) Gambar grafik pada bidang koordinat Cartesius: Titik potong kedua garis adalah (1,3) Jadi penyelesaian SPLDV tersebut adalah = 1 dan = 3 Kelemahan cara grafik ini adalah apabila penyelesaiannya berupa bilangan pecahan. Selesaikan masalah masalah berikut ini 1. Rina membeli 4 kg apel dan 3 kg jeruk. Uang yang harus dibayarkan adalah Rp 90.000,00. Tentukan model matematika yang tepat untuk masalah tersebut? 2. Seseorang membeli 4 buku tulis dan 3 pensil, ia membayar Rp19.500,00. Jika ia membeli 2 buku tulis dan 4 pensil, ia harus membayar Rp16.000,00. Tentukan harga sebuah buku tulis dan sebuah pensil AYO BERLATIH..!!!
AYO MERANGKUM..!!! RANGKUMAN 1. Persamaan linear adalah suatu persamaan yang memiliki variabel dengan pangkat tertingginya adalah 1 (satu). 2. Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) merupakan suatu persamaan yang terdiri atas dua variable dan keduanya berpangkat 1. 3. Dalam Persamaan Linear Dua Variabel terdapat unsur-unsur Variabel, konstanta, koefisien. 4. Solusi dari Persamaan Linear Dua Variabel disebut himpunan penyelesaian. 5. Kumpulan dua (atau lebih) Persamaan Linear Dua Variabel disebut dengan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) 6. Persamaan Linier Dua Variabel (PLDV) dapat dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a, b, c R, a,b ≠ 0 dan x, y suatu variabel 7. Ada 4 cara dalam penyelesaian soal SPLDV yakni metode Eliminasi,Substitusi,Gabungan dan metode Grafik. 8. Langkah langkah membuat model matematika dan menyelesaikan masalah sehari –hari yang melibatkan sistem persamaan liniear dua variabel Mengubah kalimat – kalimat pada soal cerita menjadi beberapa kalimat (model matematika), sehingga membentuk sistem persamaan linier dua variabel Menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel Menggunakan penyelesaian yang diperoleh untuk menjawab pertanyaan pada soal cerita
TES FORMATIF 1. Nilai 2x – 7y pada sistem persamaan y = 3x – 1 dan 3x + 4y = 11 adalah.... A. 16 B. 12 C. – 12 D. – 16 2. Himpunan penyelesaian dari 2x + 4y = 22 dan 3x – 5y = – 11. x,y R adalah... A. {(3,4)} B. {(3, – 4)} C. {(– 3,4)} D. {(– 3, – 4)} 3. Jika 3x 4y 10 dan 4x 5y 34 ,maka nilai dari 8x 3y adalah... A. – 54 B. – 42 C. 42 D. 54 4. Himpunan penyelesaian system persamaan 2x + 3y = 19 dan x – y = ‒8 adalah {(x,y)}. Nilai x – 7y = …. A. ‒48 B. 48 C. 52 D. 63 5. Diketahui system persamaan 2x + y = 13 dan 3x – 2y = 2. Nilai 7x + 3y adalah …. A. 47 C. 35 B. 43 D. 19 AYO BERLATIH MANDIRI..!!!
6. Harga 2 pasang sepatu dan 3 pasang sandal adalah Rp 175.000,00 sedangkan harga 3 pasang sepatu dan 4 pasang sandal adalah Rp 255.000,00. Harga sepasang sepatu dan 2 pasang sandal adalah …. A. Rp 71.000,00 C. Rp 95.000,00 B. Rp 90.000,00 D. Rp 105.000,00 7. Besar uang Agnes adalah 4 kali uang Ketut, sedangkan selisih uang Agnes dan Ketut adalah Rp Rp 36.000,00. Jumlah uang Agnes dan Ketut adalah …. A. Rp 45.000,00 C. Rp 60.000,00 B. Rp 48.000,00 D. Rp 72.000,00 8. Harga 3 buah CD dan 4 buah kaset adalah Rp 230.000,00. Sedangkan harga 2 buah CD dan 5 buah kaset yang sama adalah Rp 200.000,00. Harga 4 buah CD dan 5 buah kaset adalah …. A. Rp 250.000,00 C. Rp 400.000,00 B. Rp 300.000,00 D. Rp 460.000,00 9. Harga sebuah mesin foto copy adalah 5 kali harga sebuah computer. Harga 5 buah computer dan 2 buah mesin foto copy adalah Rp 60.000.000,00. Harga sebuah mesin foto copy tersebut adalah …. A. Rp 4.000.000,00 C. Rp 20.000.000,00 B. Rp 12.000.000,00 D. Rp 24.000.000,00 10. Di lapangan parkir terdapat 105 kendaraan yang terdiri dari sepeda motor dan mobil. Jika jumlah roda seluruh kendaraan tersebut (tanpa ban serep) adalah 290 roda, maka banyaknya mobil di tempat parkir tersebut adalah …. B. 35 C. 60 C. 40 D. 70
DAFTAR PUSTAKA 1. Tosho,T.G.(2021).Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII.Jakarta: Kementrian Pendidikan,Kebudayaan,Riset,dan Teknologi Republik Indonesia. 2. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan .2013. Buku Matematika Siswa Kelas 8 Kurikulum 2013 Edisi Revisi 2017(https://www.danlajanto.com/2017/10/menyelesaikan-spldv-denganmetode_15.html) 3. https://www.ruangguru.com/blog/matematika-kelas-8-cara-menyelesaikansistem-persamaan-linear-dua-variabel-spldv