المبياد الرياضيات للدول العربية

11 ÑçÏc¢çØuYcd bž¥·êYå¸çœ´ØYÎؙÜØY ÝçÛU²Ü®Û´æYd[ažÒbž¥·êY Ýæ²ØYqžÜªÂæ´ºbž¥·êYnY´ºW£®¤ طـرق جديدة مع دروس تذكيرية 500 تمـريـن مـــــع الحـــل أولمبياد الرياضيات للدول العربية 0$7+2/<03,$')25$5$%&28175,(6 32/<0$7+352-(&7 أولمبياد سابقة متوسط-ثانوي- جامعي أولمبياد الرياضيات للدول العربية

22

الجزائر -وهران-تعاونية حركات محمد حي جمال 0552130741 / 0771475776 :الجوال هاتف وفاكس: 041847112 [email protected] :اإللكتروني البريد جمٌع حقوق الطبع محفوظة للناشر، وال ٌجوز نهائٌَا نشر أو اقتباس أو اختزال أو نقل أي جزء من الكتاب سواء كانت إلكترونٌة أو آلٌة دون الحصول على إذن كتابً من الناشر. All rights reserved. No part of this book may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted in any form or by any means without prior permission in writing of the publisher. لرتقيم الدويل:ا ISBN: 978-9931-791-59-1 العـوان: ألـؿبياد الرياضيات لؾدول العربية املؤلف الرئييس: زراوليةرفيق املؤلف: قادةزاير حمؿد أمني مراجعةالدكتور:رشيطجـؿـال الدين 2022 :الطبعةاألوىل عددالصػحات:304ص سم 29.7 X سم 21 :املؼاس خدماتداراإلخالص والصواب: تدقيق لغوي، تصؿيم أغؾػة، إخراج فـي داخيل وخارجي لؾؽتاب.

المحتو يات I دار النشر . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الاهداء 1 I اهداءات خاصة لكتاب "المبياد الرياضيات للدول العربية" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . مقدمة 2 I مكتسبات ومعارف . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 II التعر يف بالمبياد الرياضيات مع النبذة التاريخية . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 III االتحضير الجيد لالمبياد الرياضيات . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polymath Project بمشروع يف التعر IV V اهم المشاكل الرياضياتية التي تم حلها عن طر يق project polymath . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polymath1 VI 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polymath5 VII 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polymath8 VIII IX كيفية تطبيق مشروع Polymath بالدول العربية خاصة الجزائر . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 X الحلول الصارمة للرفع من مستوى المدرسة الجزائرية وتكوين التخبة في الرياضيات . . . . . . . . . . 24 XI طر يقة استعمال الموقع التفاعلي math stackexchange من اجل التكوين الجيد للالمبياد . . . . . . . 25 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . woflram alpha برمجية اهمية XII 3 تمارين محلولة وشاملة . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ترميزات I II اختصارات وترميزات . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 III متطابقات مذهلة في الرياضيات . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 IV نظر ية الاعداد . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 V تذكير بالدروس مع الامثلة التطبيقية . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 VI عمليات على الجذور التربيعية . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ i القواعد العملياتية الاساسية على a ii تنطيق مقامات الـكسور . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . امثلة iii 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 مثال 1 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 مثال 2 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 مثال 3 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 55

38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 مثال 4 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5مثال 5 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 مثال 6 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 مثال 7 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 8 مثال تدريبي للمنتخب الوطني كندا . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 مثال 9 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 مثال 10 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 مثال 11 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 12 اسئلة اختبار ية A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 13 اسئلة اختبار ية B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ a± √ VII الجذور التربيعية من الشكل b 1 قواعد اساسية . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . يقة طر 01 2 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ a±b √ 3 طر يقة رائعة لحساب n 4 امثلة تطبيقية . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 مثال 5 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 مثال 6 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 مثال 7 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 مثال 8 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 مثال 9 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 مثال 10 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 مثال 11 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 مثال 12 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 مثال 13 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 مثال 14 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 مثال 15 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 مثال 16 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 17 اسئلة اختبار ية A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 18 اسئلة اختبار ية B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 VIII موافقات الاعداد الصحيحة . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 66

58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z في الموافقات 1 2 القواسم والمضاعفات: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 i الأعداد الأولية: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 IX القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 i أصناف التكافئ في Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 مثال 1 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i ii ملاحظة مهمة . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 مثال 2 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 مثال 3 64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i ii الطر يقة الاولى . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 iii الطر يقة الثانية . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . مثال 4 4 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 مثال 5 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 مثال 6 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 مثال 7 67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 مثال 8 67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 مثال 9 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 مثال 10 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 مثال 11 69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 12 اسئلة اختبار ية A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 13 اسئلة اختبار ية B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 X التمثيل العشري للاعداد الصحيحة . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1مثال 1 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 مثال 2 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 مثال 3 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 مثال 4 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 مثال 5 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 مثال 6 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i ii الطر يقة الاولى . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 iii الطر يقة الثانية . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 iv الطر يقة الثالثة . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 v الطر يقة الرابعة . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 77

vi الطر يقة الخامسة . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 vii الطر يقة السادسة . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7مثال 7 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 مثال 8 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 مثال 9 i الطر يقة الاولى . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 ii الطر يقة الثانية . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 مثال 10 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 مثال 11 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 مثال 12 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 13 اسئلة اختبار ية A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 14 اسئلة اختبار ية B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 XI المربع التام . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 مثال 1 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 مثال 2 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 مثال 3 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 مثال 4 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 مثال 5 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 مثال 6 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 مثال 7 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 مثال 8 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 مثال 9 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 مثال 10 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 مثال 11 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 مثال 12 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 13 اسئلة اختبار ية A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 14 اسئلة اختبار ية B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . {x},⌊x⌋ XII 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 مثال 1 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 مثال 2 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 مثال 3 88

94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 مثال 4 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 مثال 5 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 مثال 6 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 مثال 7 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 مثال 8 97 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 97 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 مثال 9 97 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 مثال 10 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 مثال 11 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 مثال 12 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13مثال 13 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 مثال 14 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 15 اسئلة اختبار ية A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 16 اسئلة اختبار ية B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diophantine equation(I) الديوفانتينية المعادلة XIII XIV امثلة تطبيقية . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 مثال 1 104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 مثال 2 105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 مثال 3 105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 مثال 4 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 مثال 5 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 مثال 6 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 مثال 7 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 مثال 8 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 مثال 9 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 مثال 10 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 مثال 11 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 مثال 12 99

112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 مثال 13 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 مثال 14 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 مثال XV 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 مثال 1 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 مثال 2 116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 مثال 3 116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 مثال 4 117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 مثال 5 117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 6 اسئلة اختبار ية A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7 اسئلة اختبار ية B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 XVI جذور ومحدد معادلة من الدرجة الثانية 0 = c + bx + ax2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 مثال 1 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 مثال 2 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 مثال 3 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 مثال 4 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 مثال 5 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 مثال 6 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 مثال 7 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل 8 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 مثال 9 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 مثال 10 125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 مثال 11 125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 مثال 12 126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 13 اسئلة اختبار ية A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 14 اسئلة اختبار ية B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 XVIIالعلاقة بين جذور ومعاملات معادلة من الدرجة الثانية . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 مثال 1 128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 مثال 2 129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 مثال 3 1010

129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 مثال 4 130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 مثال 5 130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 مثال 6 131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 مثال 7 132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 مثال 8 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9مثال 9 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 مثال 10 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 11 اسئلة اختبار ية A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 12 اسئلة اختبار ية B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diophantine equation(II) الديوفانتينية المعادلةXVIII 137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pythagorean Equation فيتاغورس ثلاثية 1 138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 مثال 2 138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 مثال 3 139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 مثال 4 139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 مثال 5 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 مثال 6 141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 مثال 7 142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 مثال 8 143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 مثال 9 143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 مثال 10 144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 مثال 11 145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 مثال 12 145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 مثال 13 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 مثال 14 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 15 اسئلة اختبار ية A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 16 اسئلة اختبار ية B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 XIX المتراجحة الخطية وجملة المتراجحات الخطية . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 مثال 1 149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 1111

149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 مثال 2 149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3مثال 3 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 مثال 4 151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 مثال 5 151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 مثال 6 151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل ii 152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 مثال 7 153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 مثال 8 153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 مثال 9 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 مثال 10 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 11 اسئلة اختبار ية A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 12 اسئلة اختبار ية B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 XX متراجحات من الدرجة الثانية والمتراجحات الـكسر ية . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 مثال 1 157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 مثال 2 157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 مثال 3 158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 مثال 4 159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 مثال 5 160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 مثال 6 161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 مثال 7 162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8مثال 8 162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 مثال 9 163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 مثال 10 164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11مثال 11 165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 مثال 12 165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 مثال 13 165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 14 اسئلة اختبار ية A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 15 اسئلة اختبار ية B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 1212

XXI متراجحات بالقيمة المطلقة . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 i طر يـقة . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . مثال 1 168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 مثال 2 168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 مثال 3 168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 مثال 4 169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 مثال 5 170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 مثال 6 171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 مثال 7 171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7مثال 8 172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 مثال 9 172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 مثال 10 173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 مثال 11 173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 12 اسئلة اختبار ية A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 13 اسئلة اختبار ية B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 XXIIالمتراجحات الهندسية . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 مثال 1 175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 مثال 2 176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 البرهان i 176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 البرهان ii 177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 البرهان iii 179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 البرهان iv 179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 البرهان v 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 البرهان vi 181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 البرهان vii 181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 البرهان viii 181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 مثال 3 181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 مثال 4 182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 مثال 5 182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 مثال 6 183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 مثال 7 184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 مثال 8 184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9مثال 9 1313

185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 مثال 10 185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 مثال 11 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 مثال 12 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 مثال 13 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 مثال 14 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 مثال 15 191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 مثال 16 192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 مثال 17 192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 مثال 18 193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 مثال 19 193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 مثال 20 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 21 اسئلة اختبار ية A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 22 اسئلة اختبار ية B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 XXIIIالتحليل الدالي والدوال الدور ية . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 مثال 1 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 مثال 2 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 مثال 3 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 مثال 4 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 مثال 5 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 مثال 6 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 مثال 7 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 مثال 8 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8مثال 9 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 مثال 10 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 مثال 11 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 مثال 12 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 1414

203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 مثال 13 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 14 اسئلة اختبار ية A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 15 اسئلة اختبار ية B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 XXIVحلول تمارين لالمبيادات دولية سابقة . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TST Sur Cono .Argentina 2014 1 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contest AIME,USA 2017 2 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AMC12.AHSME2021 3 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A1 IMO Shortlist 2016 4 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Math Brazilian Olympiad 2005 5 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Russian 2019 MO 6 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3rd-2019 round MO Iran 7 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IMO 2021 8 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IMO2020 9 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IMO2015 10 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IMO2013 11 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IMO2014 12 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 13 الصين الدورة الثانية 2021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 14 الصين الدورة الثانية 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 15 الصين الدورة الثانية 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . المتوسط للتعليم 2017-2018 SDML دورة 16 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 17 التعليم المتوسط -السلاسل الحسابية دورة 2018-2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017المتوسط التعليم 18 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . school SMDL2017.M 19 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 20 الالمبياد الوطني لتركيا2020 الاصاغر . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . APMO2002 21 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2021 JMO USA 22 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 1515

226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IMO2010 23 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ICM2019 24 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IMO 2000Shortlist 25 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2021 Saint Petersburg المفتوح الرياضيات المبياد 26 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Baltic 2020way 27 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Batlic way 2016 28 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Batlic way 2018 29 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . APMO2018 30 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . APMO2002 31 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 32 الدورة النهائية كور يا 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 34 الالمبياد الوطني للاصاغر تركيا 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 35 المبياد البراز يل مستوى جامعي 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Austrian-Polish2005 36 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Austrian-Polish2006 37 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VTRMC1979 38 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Benelux2014 39 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JWIMC2019 40 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JWIMC2009 41 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NMC2021 42 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NMC2017 43 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IMS2006 44 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 46 استمرار ية دالة الجذر التربيعي عند الصفر . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الاجابة i 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AlbanianTST2014 ii 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل iii 1616

247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ICM2019 47 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 48 متتاليات زراولية . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 i البرهان الاول من طرف heropup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 ii البرهان الثاني من طرف Barry Cipra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 iii البرهان الثالث من طرف Yuri Negometyanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 49 البرهان الرابع من طرف .S Dolan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 i البرهان الخامس من طرف Szeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 XXVحساب بعض المجاميع الجزئية المهمة . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Basel مشكل 1 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 البرهان i 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 البرهان ii 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 البرهان 2 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 البرهان 3 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 البرهان 4 5 بعض المجاميع المهمة والمتعلقة بالعدد π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 مثال 6 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 مثال 7 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3مثال 8 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 مثال 9 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 مثال 10 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 مثال 11 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 مثال 12 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل 13 269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 مثال 14 269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i XXVIالحساب التفاضلي والتكامل . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 مثال i 269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل ii 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 مثال 1 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 مثال 2 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 مثال 3 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 مثال 4 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 مثال 5 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 مثال 6 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 مثال 7 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ألحل i 1717

273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 مثال 8 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 مثال 9 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 مثال 10 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 مثال 11 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل 12 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 مثال 13 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 مثال 14 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 مثال 15 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 مثال 16 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 مثال 17 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 مثال 18 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 مثال 19 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 مثال 20 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 مثال 21 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 مثال 22 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 مثال 23 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الحل i 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 مثال 24 XXVIIتمثيل العدد الذهبي باستعمال السلاسل العدديةوالتكاملات . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 XXVIIIالاخطاء الاعتقادية او الشائعة في الرياضيات . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . gcd(0, 0) = 0 ان اثباتXXIX 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . References 1818

I ٰ ّ . ٰ ّ ٰ ّ ٰ ّ ٰ ّ َ َ َّ َ َ َُ ٰ ّ َ ٍ َ َ َ ُ ُ َ َِ َ َ َّ َ َ ُ َ َّ َ َ َ َ َّ َ ً َ َّ ِ ٰ ّ 1919

2020 أسال اهلل أن يكون ىذا الكتاب صدقة جارية لجدتي رحمها اهلل التي علمتني طريقة التنفس في عالم .رحم اهلل موتانا وموتى جميع المسلمين .الرياضيات والنشر والتوزيع على ىذا التشجيع الفريد من نوعو من أجل أشكر دار االخالص والصواب للطباعة * نشر ىذا الكتاب المتواضع ليصل زبدة خام إلى الجمهور العلمي لألمة العربية وبالضبط أخصص شكري الى إلىتمامو الكبير الذي يتجلى في ترقية -وىران-نس خالدي حاج سعيد مدير دار النشرأبو أاألستاذ الفاضل ل اهلل أن يحفظو ويحفظ كل من يريد الخير للجزائر وكل الدول العربية أجزائر والدول العربية ونسالرياضيات بال المسلمة. كمال عبدو واألستاذين يوسف معاش واألستاذ -أود أن أىدي أيضا تحياتي إلى األساتذة الكرام * .ألحرى للجزائركمال رويبي على تشجيعاتهم وتحفيزاتهم الدائمة من أجل االنتاج للرياضيات با دون أن أنسى معلمي في المرحلة االبتدائية األستاذ المحترم إبراىيم الشوف واإلىداء موصول إلى كل .سكان بلدية يابوس وخاصة منطقة رأس الهنشير ىدي تحياتي الى رئيس قسم الرياضيات جامعة باتنة األستاذ الفاضل إبراىيمي محمود وكذلك أكما م االعالم االلياألستاذ دريد حمزة قس . المؤلف قادة زاير محمد أمين بسم اهلل والصالة والسالم على رسولنا الكريم محمد وعلى آلو وصحبو أجمعين، قال رسول اهلل صلى اهلل عليو ومن صنع لكم معروفا فكافئوه، فإن لم تجدوا ما تكافئونو فادعوا لو حتى تروا أنكم قد كافأتموه" :وسلم " . أما بعد : غالي رحمة اهلل عليو منبع األمل والتحدي، ستبقى دوما قدوتي مهما أىدي ىذا الكتاب إلى والدي ال تعاظم من حولي الناس إلى أمي الحنون التي مازالت تدعمني بالثقة والدعم النفسي حفظها اهلل وأطال عمرىا في طاعتو .أخواتي العزيزات فال كلمات تعبر عن مدى فخري واعتزازي بكن، اهلل ال يحرمني منكن وشكرا لكن ،على شيء إلى زوجتي العزيزة، شريكتي وسندي مهما كانت الظروف، ظهورك أنت في نجاحي كظهور الشمس كل صباح حفظك اهلل لي ،إلى إبني عبد اهلل قرة عيني إلى عائلتي الثانية: صهري مسعودي عبد الحميد وجميع أفراد العائلة . أوالد ميمون" بوالية –سعيد مسعود كما أود أن أقدم شكري لجميع الطاقم التربوي بمؤسسة " تلمسان وباألخص مديرة المؤسسة السيدة رطايلي عايدية واألساتذة بن خالد أحمد مواليد عبد القادر وبختاوي جمال .أشكر مدير مدرسة التكوين "أوميزار" قرفوش عبد الرحيم وجميع القائمين على المدرسة .أشكر عيدوني عبد الرحيم –ياسين طو –أصدقائي األوفياء بداد العبدلي – شكر خالص لمفتشي مادة الرياضيات: فالح عبد الحفيظ ، لقد تعلمت منكم الكثير فجزاكم اهلل كل خير –عدون رجاء –زريفي عبد الرحيم .كما أشكر جميع األساتذة بمجموعة "أساتذة الرياضيات طور ثانوي" وكل من رافقني بكلمات التشجيع طوال مدة التأليف .كما أقدم إىدائي لجميع تالميذي دون استثناء أسأل اهلل لكم كل التوفيق والنجاح. 2222

I ٰ ّ ٰ ّ II 2121 أستاذ بجامعة باب الزوار ونائب رئيس الجمعية الرياضياتية الجزائرية وسف المكتب الدولي لليوم العالمي للرياضيات بالجزائر والوطن العر. في وزارة التربية الوطنية نظير المجهودات العملاقة المقدمة الشكر لكل القائمين على تطوير الرياضيات والعلم بصفة عامة.

أول مشاركة من أمريكا الجنوبية ، مع دخول البراز يل ، وفي عام 1981 ، تم تمثيل جميع القارات ، مع إضافة فر يق أسترالي بالإضافة إلى فرق أخرى من إفر يقيا وأمريكا الجنوبية. شهد هذا العام أيضًا بعض التوحيد القياسي للمنافسة ، حيث يستحق كل سؤال من الأسئلة الستة 7 درجات بالضبط ، مما يمنح المجموع المألوف الآن 42 درجة كحد أقصى ممكن لكل متسابق. بعد تجربة قصيرة مع فرق مكونة من 4 فرق في عام 1982 ، تم اعتماد الحجم القياسي الحالي للفر يق المكون من ستة في عام 1983 .وبدأت المنافسة الآن في التوسع بسرعة ، لتصل إلى 50 دولة في عام 1989 وتجاوزت 100 دولة لأول مرة في عام .2009 كان العام الوحيد منذ عام 1959 الذي لم يتم فيه إجراء مسابقة رسمية هو عام 1980 .وقد تم عقد حدثين بديلين غير رسميين للمنظمة البحر ية الدولية في عام 1980 .وقد تم إنشاء "لجنة الموقع" التابعة للمنظمة البحر ية الدولية لمحاولة ضمان وجود منظمة IMO كل عام ، وأصبحت هذه اللجنة فيما بعد "المجلس الاستشاري للمنظمة البحر ية الدولية". مع استضافة جنوب إفر يقيا لمسابقة 2014 ، سيسافر الحدث إلى كل قارة وهناك منافسة شديدة لاستضافة الأحداث المستقبلية مع تحديد المضيفين قبل أربع إلى خمس سنوات من المنافسة منذ البداية ، كان الهدف من المسابقة هو دعم علماء الرياضيات في سن المدرسة لتطوير مهاراتهم في حل المشكلات. يجب ألا يكون المتسابقون مسجلين رسمي ًا في دورة جامعية. يتم اختيار الأسئلة من مجالات الموضوعات الأربعة للجبر ، والتوافقية ، والهندسة ، ونظر ية الأعداد ، ولا يوجد أي شرط أو توقع بأن الطلاب يجب أن يكونوا قادرين على استخدام حساب التفاضل والتكامل. يمكن للقراء الافاضل الاطلاع على نتائج السنوات الماضية لمختلف الدول في هذا الرابط III االتحضير الجيد لالمبياد الر ياضيات ّٰه ان نركز على تقديم الطرق الناجعة لتحضير طلابنا للالمبياد الدولي للر ياضيات حيث في هذا الكتاب المتواضع سنحاول ان شاء الل سنعتمد احد المشار يع المعروفة عام 2009 والتي عرف تطبيقها نجاحا كبيرا في الدول الغربية والذي نسميه ب Polymath Project) انظر [5 ([في حين سنقدم المحاور الاساسية والمرفقة بالدروس والامثلة التطبيقية التي يجب على مترشح الالمبياد الدولي ان تكون بحوزته كرصيد معرفي جد ضروري للرفع من مستواه الاكاديمي IV التعر يف بمشروع Project Polymath مشروع Polymath هو تعاون بين علماء الرياضيات لحل مشاكل ر ياضياتية مهمة وصعبة من خلال تنسيق العديد من علماء الرياضيات قصد التواصل الحاسم مع بعضهم البعض لايجاد افضل طر يق لحل هاته المشكلات الصعبة , بدا هذا المشروع في جانفي عام 2009 على مدونة العالم البريطاني الشهير Timothy Gowers عندما نشر مشكلة وطلب من قرائه نشر افكار جزئية قصد التقدم الجزئي نحو الحل , اسفرت هذه التجربة عن حل مشكلة صعبة ومنذ ذلك نمى مشروع Polymath ليصف عملية معينة الا وهي استخدام الانترنيت لحل اي مشكلة ر ياضياتية عالقة . طرح s'Gower سؤالا تم تضمينة في عنوان منشور المدونة الخاص به " هل االرياضيات التعاونية على نطاق واسع ممكنة ?" انظر الى المرجعين [1 [و [2 [اما بالنسبة للمدارس الثانو ية والمتوسطة امتد مشروع Polymath لينتج مشروع اخر وذلك بالتعاون مع برنامج Prime MIT و Problem of Art Solving لينتج مشروع اخر يعمل بنفس تقنية Polymath يسمى ب Crowdmath ويستهدف بشكل خاص طلاب الثانو يات والمتوسطات وذلك بهدف خلق فرص للجيل القادم لانجاز اعمال اصلية ومشاكل لم تحل من قبل في الرياضيات حيث يتم تشجيع جميع طلاب المدارس الثانو ية والكليات من جميع انحاء العالم ممن لديهم قاعدة وخلفية متقدمة في الرياضيات على المشاركة في حل هاته المشاكل الاصلية غير المحلولة في حين يتم الترحيب بالمشاركين الاكبر سنا على ان يتولوا دور المدربين والمؤطرين شر يطة ان لايقوموا بحل المشكلات المقترحة للحل لهؤلاء الطلاب , بدا مشروع Crowdmath الاول في 1 مارس 2016 لمزيد من التفاصيل يمكن للقارئ ان يطلع على المصدرين [3 [و [4[ 2222

V اهم المشاكل الر ياضياتية التي تم حلها عن طر يق polymath project Polymath1 VI في هذا الجزء لانهتم بدراسة المشاكل الرياضياتية التي تم حلها عن طر يق مشروع polymath مضمونا بل نهتم فقط بالتعاون الرياضياتي بين الرياضينن عن طر يق المواقع التفاعلية الالـكترونية وكيف تم هذا التعاون الذي ادى الى حل مشاكل عالقة منذ سنوات وساهم في صياغة نظر يات لكبار الباحثين القدامى بطرق حديثة , بداية نبدا باظهار فعالية مشروع polymath1 والهادف الى الحصول على برهان اندماجي جديد لنسخة الكثافة من نظر ية theorem Jewett–Hales) انظر المصدر [6 ([والتي تعتبر نتيجة اساسية اندماجية لنظر ية Ramsey والتي ٺتعلق بالدرجة التي يجب أن تظهر بها الكائنات عالية الأبعاد بالضرورة بنية اندماجية ؛ من المستحيل أن تكون مثل هذه الأشياء "عشوائية تمامًا.تبلور مشروع Polymath1 ادى الى ظهور موضوعان رئيسان متعلقان بنظر ية theorem Jewett–Hales الموضوع الاول تبناه s'Gower في مدونته اما الموضوع الثاني تبناه Timothy Gowers ايضا في مدونته والذي خلق روح المناقشة بين متابعي s'Gower و Tao فالموضوع الاول الذي تبناه s'Gower لازال يتعلق بايجاد صيغة جديدة للنظر ية المذكورة سابقا اما الموضوع الثاني الخاص ب Tao ركز على حساب الحدود المتعلقة بكثافة ارقام theorem Jewett–Hales وارقام Moser للابعاد المنخفضة . بعد سبعة اسابيع اعلن Gowers ان المشكلة ربما تم حلها في مدونته (يمكن للقارى ان يطلع على المصدر [7 ([بالرغم من ان العمل سيبقى مرتكزا على كلا الموضوعين ولـكن بعد 3 اشهر وبمساهمة 40 ر ياضياتي في كل من مدونة Gower و Tao تم حل المشكل اي تمت صياغة النظر ية السابقة بشكل جديد حيث انتجا ورقتين بحثيتين مشفرتين تحت اسم Polymath. J.H.D) للاطلاع على الورقتين البحثيتين اللتان تحملان الصيغة الجديدة للنظر ية السابقة ( .انظر [8 [و [9 [و [10([ Polymath5 VII تم انشاء هذا المشروع اي Polymath5 من اجل حل مشكلة التناقض ل Erdos Paul حيث عرف هذا المشروع نشاطا كبيرا من قبل الباحثين المشاركين فيه عام 2010 واستمر النشاط الى غاية 2012 الا ان المشكلة لم تحل بعد في سبتمبر عام 2015 قام Tao Terence احد المشاركين في هذا المشروع بحل هاته المشكلة حيث قدم ورقتين بحثيتين اثبت فيهما الشكل المتوسط لتخمينات كل من Elliott و Chowla والتي نتج عنها استفادة كبيرة من التطورات الحديثة لنظر ية الاعداد التحليلية المتعلقة بالارتباطات بين قيم ووظائف الضرب أظهرت الورقة الأخرى كيف أن هذه النتيجة الجديدة ، جنب ًا إلى جنب مع بعض الحجج التي اكتشفها polymath5 كانت كافية لاعطاء حل كامل لهاته المشكلة اي مشكلة التناقض ل Erdos Paul وهكذا انتهى الامر الى المساهمة الـكبيرة التي قدمها مشروع Plymath5 في حل هاته المشكلة. فقط للقارئ مشكلة التناقض ل Paul Erdos معروفة بهذا الاسم باللغة الانجليزية problem discrepancy Erdős يمكن ايجاد نص المخمنة بسهولة في الو يكيبيديا قصد الاطلاع عليها وهي جد مهمة في نظر ية الاعداد التحليلية Polymath8 VIII تم اقتراح هذا المشروع اي مشروع Polymath8 لتحسين الفراغات او الفجوات الصغيرة بين الاعداد الاولية وينقسم هذا المشروع الى قسمين وهما 1: Polymath8a) الفجوات المحدودة بين الاعداد الاولية ) كان مشروعا مهتم بتحسين الحد H1 = H على اقل فجوة بين الاعداد الاولية التي تم الوصول اليها في كثير من الاحيان من خلال تطوير تقنيات Yitang Zhang انتهى هذا 2323

المشروع بحدود 4680 = H 2: Polymath8b) مجالات محدودة مع العديد من الاعداد الاولية ) كان هذا المشروع لتحسين قيمة H1 بشكل اكبر وكذلك Hm) الفراغ الاقل بين الاعداد الاولية وكذلك 1 − m من الاعداد الاولية فيما بينها والتي تم الوصول اليها كثيرا ) من خلال الجمع بين نتائج Polymath8a و تقنيات James Maynard انتهى المشروع في حدود 246 = H بالاضافة الى ايجاد حدود اضافية على Hm انتج كل من قسمي هذا المشروع الخاص ب Polymath8 اوراق بحثية مشفرة اي باسم مستعار وهو J.H.D Polymath) يمكن للقارى ان يطلع على هاته الاوراق البحثية في المصادر. [11[ و [12[ ( IX كيفية تطبيق مشروع Polymath بالدول العربية خاصة الجزائر قبل ان نتطرق الى اليات تنفيذ مشروع Polymath بالدول العربية وبالاحرى الجزائر نحاول ان نقدم بعض الحلول وبعض الطرق الناجعة للرفع من مستوى المدارس العربية في المسابقات الدولية قصد الرقي الى المراتب الاولى عالميا . .حان الوقت ان نقوم بادراج الحلول الصارمة للرفع من مستوى المدرسة الجزائرية في مادة الرياضيات من مدرسة ضعيفة نحو مدرسة قو ية انطلاقا من اقوال خبراء الرياضيات في العالم وانطلاقا من مراجع رسمية . X الحلول الصارمة للرفع من مستوى المدرسة الجزائر ية وتكوين التخبة في الر ياضيات 1- زرع الرغبة وحب مادة الرياضيات خلال فترات تلقين الدروس وذلك باستعمال تاريخ الرياضيات اي محاولة ربط كل درس بنبذة تاريخية او ادراجها كمادة اضافية تابعة للر ياضيات 2 حث التلاميذ على استعمال المواقع التفاعلية الاجنبية والتي ذكرناها سابقا والتي ٺتطلب اللغة الانجليزية وبرمجية لاتاك (Latex) 3 تنظيم دورات تكوينية لتعلم برنامج لاتاك من طرف السادة المفتشين لتلقينها للتلاميذ في المؤسسات التعليمية 4 الحث على تعلم اللغة الانجليزية لانها بكل قوة اصبحت لغة مراجع وكي يكون التلميذ في نقطة انطلاق السباق مع نظيره في روسيا وامريكا وكذلك الصين 5 برمجة محور نظر ية الاعداد واعادة ادماجه للشعب العلمية 6 اعادة دمج المنطق الرياضياتي لاهميته البالغة في حل المسائل الرياضياتية التي تحتاج الى المكممات فالمنطق الرياضياتي احد المحاور التي تعتبر عمود الرياضيات والتي تخلق تلك الرياضيات المملة البناءة التي يقصدها الاسترالي " تاو" Terence( Tao) 7 انجاز مخيمات صيفية ودورات تكوينية تحضيرية كل عام قصد التحضير لمثل هاته المسابقات الدولية كالالمبياد يتم فيها دراسة بعض المقترحات وحل بعض المسائل الرياضياتية المعقدة 8 الحث على انجاز مذكرات دروس قائمة على مراجع رسمية اكاديمية يتم فيها الابداع وليس نسخ ولصق مذكرات الزملاء دون ان تكون ذات دلالة 2424

9 ربط الدروس بالجوانب التطبيقية اي محاولة استعمال الظواهر الفيزيائية والـكيميائية وكذلك البيولوجية في تلقين دروس الرياضيات مثلا لو نشرح للتلميذ الدوال المثلثية سيحضر لنا اليا الجانب التطبيقي لها وهو الحركات الاهتزاز ية التي تحدث على مستوى الدماغ مثلا وهكذا 10 تنظيم دورات تكوينية توعو ية حول كيفية استعمال البرامج المتطورة مثل Latex و Geogebra و ALpha Woflram وكذلك mathematica التي يستعملها كبار الباحثين حاليا في انجاز بحوثهم نحن الان جاهزون لشرح كيفية تنفيذ اليات مشروع Polymath بالجزائر ,انطلاقا مما قدمناه من اسباب اخفاق المدرسة الجزائرية وانطلاقا من الحلول الصارمة لهدف رفع المدرسة الجزائرية اتضح لنا ان تنفيذ مشروع Polymath لايحتاج الى صرف الملايير فقط يحتاج الى جهاز اعلام الى بسيط لكل تلميذ مضاف اليه شبكة الانترنيت بجودة متوسطة هذا بهدف استعمال المواقع التفاعلية الاجنبية نذكر منها stackexchange math والتي ظهرت عام 2008 هدفها التبادل العلمي بين الطلاب والتلاميذ من كل انحاء العالم فهاته المواقع جد صارمة تعتمد نظام التصويت فمثلا عند طرح سؤال متعلق باي واجب منزلي و يكون السؤال سليم من الاخطاء اللغو ية ومضبوط يشرع المهتمين بمجال هذا السؤال بالتصويت عليه كل 1 vote تقابله 10 نقاط ونفس الشيئ بالنسبة لاضافة اجابة هناك اما ان كان السؤال غير سليم من ناحية اللغة الانجليزية خاصة لانها اللغة المعتمدة في هذا الموقع فان صاحب السؤال يحصل على التصويت بالسالب حيث ان -1 Vote معناه ناقص نقطتين في حين يتم تعديل السؤال من قبل المستعملين والمهتمين به فصرامة هذا الموقع تكمن في التشجيعات التي يتلقاها المستعملون لهذا المواقع فمثلا تجد اساتذة مع تلامذتهم يتبادلون الافكار وحلول التمارين بشتى الطرق , الان سنتطرق الى شرح كيفية استعمال هذا الموقع من طرف التلميذ الجزائري او مؤطره وكل هاته المواقع منشاها stackoverflow الذي تم انشاؤه من طرف الباحثين Atwood Jeff و Joel Spolsky) يمكن للقارئ الاطلاع على رابط الو يكيبيديا قصد التعرف على تاريخ النشاة واهميتها على هذا الرابط ) XI طر يقة استعمال الموقع التفاعلي math stackexchange من اجل التكوين الجيد للالمبياد لاستعمال هذا الموقع اي math stackexchange يتوجب على التلميذ ان يكون نوعا ما متقن للغة الانجليزية وكذلك تمكنه من المبادئ الاساسية لبرمجية Latex اول مرحلة يقوم بها التلميذ هو تاكيد تسجيله في هذا الموقع اما عن طر يق الفايسبوك او عن طر يق Gmail مراحل التسجيل وطرح السؤال في math stackexchange مبينة في الشكل (2.2 (فقط الدخول الى الموقع يكون عبر الرابط الاتي /com.stackexchange.math://https بالنسبة للمرحلة الاخيرة الموجودة في الشكل (2.2 (يجب ان ترفق بسؤال رئيسي في الاطار العلوي ثم النقر على your review question وبعدها النقر على question your post فيكون السؤال على الخط جاهز للقراءة من طرف المستعملين لهذا الموقع والمختصين في المجال الذي يتضمنه طبيعة السؤال المطروح . woflram alpha برمجية اهمية XII قد يحتاج التلميذ الى استعمال برمجية alpha woflram لانجاز حساباته الخاصة او حل مجموعة من المعادلات الجᣞبرية هاته الاخيرة تساعده لان يكون متمكن من طرح اسئلة ذات مستوى عالي ويستعمل الحسابات التي تحصل عليها عن طر يق هاته البرمجية كمرجع او كدليل للقراء والمستعملين بانه حصل على نتيجة تؤكد مثلا صحة النتيجة االجديدة التي تحصل عليها وهكذا , استعمال برنامج alpha woflram لايتوقف فقط عند حل المعادلات الجᣞبرية بل يمكن للتلميذ ان يستعمله في مجال نظر ية الاعداد كان يحسب مثلا عدد قواسم عدد طبيعي والاهم من ذلك اختبار اولية عدد طبيعي مثلا بقوة 1019 اين تعجز الالات الحاسبة المبرمجة عن اختبار اولية هذا العدد كمثال 1761842213275532987 انطلاقا من اختبار اولية عدد المقررة عليه باعتماد القسمة الاقليدية على الجزء الصحيح للجذر التربيعي لهذا العدد يحصل التلميذ على جدول فيه عدد خانات كثيرة لايمكنه انجازه وبالتالي التلميذ يبقى متسائل كيف اعرف ان كان هذا العدد اولي ام لا .في مستواه وفقا للبرنامج المدروس اختبار اولية عدد 2525

شكل 1.2 :خطوات التسجيل وطرح السؤال في موقع math stackexchange تتم بالقسمة الاقليدية للعدد المراد اختبار اوليته على الاعداد الاولية الاقل من الجذر التربيعي لجزئه الصحيح فمثلا بالنسبة للعدد 109 فالتلميذ في هاه الحالة لايجد اي وسيلة يستعملها 1761842213275532987 الجزء الصحيح لجذره التربيعي يكون برتبة لاختبار اولية هذا العدد حتى بالالة الحسابية المبرمجة التي يدرس بها فقط هنا يمكن ان ننصح التلميذ باستعمال هاته البرمجية مادام متحمسا للتعرف على اختبار اولية الاعداد الـكبيره فنلاحظ بالنسبة للعدد 1761842213275532987 فهو اولي انطلاقا 2626

من برنامج alpha woflram كما هو موضح في الشكل 2.2 woflram alpha شكل 2.2 :اختبار اولية عدد باستعمال فالخلاصة التي يمكن ان نصل اليها هو ان استعمال المواقع التفاعلية الاجنبية للتلميذ الطموح الذي يرغب حقا بتطوير مستواه والنجاح في المسابقات الدولية يكمن في تكوينه في ثلاثة اشياء وهي • 1 (التمكن من اللغة الانجليزية التي سيتعلمها بالتواصل الدائم في المواقع التي ذكرناها سابقا مثل math stackexchange • 2 (تعلم برمجية Latex هنا ننصح التلميذ ان يتعلمها من math stackexchange احسن من امن الاطلاع على الـكتب والملفات الخاصة بلاتاك لان هاته البرمجية اصلا متاحة في الموقع لاتحتاج الى تحميل مجرد يحاول الكتابة و يلاحظ اسفل السؤال ان كانت الصيغ التي يكتبها يتم ترجتها ام لا في نفس الوقت يمكنه ان ينسخ الـكود من الاسئلة الاخرى الموجودة في الموقع مجرد يقوم بالتغيير فقط قدر مايحتاج • 3 (ان يكون التلميذ متمكنا نوعا ما في مجال الرياضيات على الاقل يعرف بعض الابجديات وخاصة في نظر ية الاعداد او التحليل الدالي او الهندسة الى غير ذلك ان تمكن التلميذ من تكوين نفسه في الثلاثة عناصر المذكورة سابقا سيجد نفسه يكسب رصيد معرفي قوي جدا حتى يصبح فعلا متمكنا من حل المشاكل الصعبة التي يصادفها في حياته العلمية كالمسابقات الدولية وبهذا سيكون باحث مستقبلي . 2727

2828

الفصل الثالث تمارين محلولة وشاملة سنتناول في هذا الفصل مجموعة من التمارين التحضيرية للالمبياد الدولية وكذلك الوطنية والجهو ية مرفقة بالحلول حسب التدرج في الصعوبة وذلك في المحاور الاتية والتي ترد بشكل واسع في المسابقات . • تمارين خاصة بنظر ية الاعداد • تمارين خاصة بالتحليل التوفيقي • تمارين خاصة بالتحليل الدالي • تمارين خاصة بالهندسة الاقليدية قبل ان نتطرق الى حل التمارين سنحاول ان نقدم شرح بعض الترميزات او الرموز الرياضياتية التي سنحتاجها في حل المسائل والتمارين التحضيرية . I ترميزات • Q :مجموعة الاعداد الناطقة • R :مجموعة الاعداد الحقيقية • N:مجموعة الاعداد الطبيعية • D :مجموعة الاعداد العشر ية • Z :مجموعة الاعداد الصحيحة • P :مجموعة الاعداد الاولية • C :مجموعة الاعداد المركبة • ⊢/N:مجموعة الاعداد الصحيحة غير السالبة • ⊢/Z مجموعة الاعداد الصحيحة غير السالبة Z :مجموعة الاعداد الصحيحة الموجبة + • • +Q :مجموعة الاعداد الناطقة الموجبة Q : مجموعة الاعداد الناطقة غير السالبة + ⊬ • • [n, m :[المضاعف المشترك الاصغر للعددين الصحيحين n, m • (n, m :(القاسم المشترك الاكبر للعددين الصحيحين n, m • b|a :العدد الصحيح a يقسم العدد الصحيح b 2929

• |x :|القيمة المطلقة للعدد الحقيقي x • ⌊x :⌊اكبر عدد صحيح ليس اكبر من x • ⌈x : ⌈اصغر عدد صحيح ليس اقل من x {x} = x − ⌊x⌋ يكافئ : x للعدد العشري الجزء} :x} • c بترديد b يوافق a :a ≡ b mod c • ): المعامل ذو الحدين n اختر k n k ) • 1.2.3 · n يكتب و عاملي n :n! • a ≤ x ≤ b بحيث x الحقيقية الاعداد , المغلق المجال]: a, b] • a < x < b بحيث x الحقيقية الاعداد , المفتوح المجال): a, b) • B في محتواة A :A ⊂ B • • B − A :كل العناصر المشكلة من A دون B B اتحاد A المجموعة: A ∪ B • B المجموعة تقاطع A المجموعة: A ∩ B • • A ∈ a : العنصر a ينتمي الى المجموعة A II اختصارات وترميزات AHSME American High School Mathematics Examination AIME American Invitational Mathematics Examination APMO Asia Pacfiic Mathematics Olympiad ASUMO Olympics Mathematical Competitions of All the Soviet Union BMO British Mathematical Olympiad CHNMOL China Mathematical Competition for Secondary Schools CHNMOL(P) China Mathematical Competition for Primary Schools CHINA China Mathematical Competitions for Secondary Schools except for CHNMOL CMO Canada Mathematical Olympiad HUNGARY Hungary Mathematical Competition IMO International Mathematical Olympiad IREMO Ireland Mathematical Olympiad KIEV Kiev Mathematical Olympiad MOSCOW Moscow Mathematical Olympiad POLAND Poland Mathematical Olympiad PUTNAM Putnam Mathematical Competition RUSMO All-Russia Olympics Mathematical Competitions SSSMO Singapore Secondary Schools Mathematical Olympiads SMO Singapore Mathematical Olympiads SSSMO(J) Singapore Secondary Schools Mathematical Olympiads for Junior Section 3030

SWE Sweden Mathematical Olympiads USAMO United States of American Mathematical Olympiad USSR Union of Soviet Socialist Republics JWIMC József Wildt International Mathematical Competition NMC Nordic mathematical contest III متطابقات مذهلة في الر ياضيات 1 a b = c d =⇒ a + b a − b = c + d c − d 2 ∑ 24 k=1 k 2 = 12 + 22 + 32 + · · · 242 = 702 3 ∫ ∞ 0 1 1 + x 2 · 1 1 + x π dx = ∫ ∞ 0 1 1 + x 2 · 1 1 + x e dx √ 4 2√ 2 = √ 2 √ 2 5 2592 = 25 9 2 6 tan 10◦ = tan 20◦ × tan 30◦ × tan 40◦ . tan80◦ = tan 70◦ × tan 60◦ × tan 50◦ . 7 3 3 + 44 + 33 + 55 = 3435 8 ∫ 1 0 x 4 (1 − x) 4 1 + x 2 dx = 22 7 − π 9 log(1 + 2 + 3) = log(1) + log(2) + log(3) 3131

v 10 uuuut5 + vuuut5 + vuut 5 − √ 5 + √ 5 + √ 5 + √ 5 − . . . = 2 + √ 5 + √ 15 − 6 √ 5 2 11 213 × 122 = 25986 الان نقرا العبارة السابقة بالمقلوب نجد 68952 = 221 × 312 12 limn→∞ e −n∑n k=0 n k k! = 1 2 . فان, xyz ̸= 0 و x n + y n + z n = 0 كان اذا 13 (x n − y n ) 2 (xy) n + (y n − z n ) 2 (yz) n + (z n − x n ) 2 (zx) n = −9. 14 cos( 2π 17 ) = 1 16 [−1 + √ 17 + √ 34 − 2 √ 17 + 2√ 17 + 3√ 17 − √ 34 − 2 √ 17 − 2 √ 34 + 2√ 17] √ 15 2025 = 45 = 20 + 25 16 π = 2 1 × 2 √ 2 × 2 √ 2 + √ 2 × 2 √ 2 + √ 2 + √ 2 × · · · 17 1 × 9 = 9 =⇒ (0 + 9 = 9) 2 × 9 = 18 =⇒ (1 + 8 = 9) 3 × 9 = 27 =⇒ (2 + 7 = 9) 4 × 9 = 36 =⇒ (3 + 6 = 9) 5 × 9 = 45 =⇒ (4 + 5 = 9) 6 × 9 = 54 =⇒ (5 + 4 = 9) 7 × 9 = 63 =⇒ (6 + 3 = 9) 8 × 9 = 72 =⇒ (7 + 2 = 9) 9 × 9 = 81 =⇒ (8 + 1 = 9) 10 × 9 = 90 =⇒ (9 + 0 = 9) 3232

18 sin(x − y)sin(x + y) = (sin x − sin y)(sin x + sin y). 19 ∫ 1 0 dx x x = ∑∞ k=1 1 k k 20 ∫ 1 0 dx x x = ∑∞ k=1 1 k k 21 ∞! = √ 2π 22 (1 + x)(1 + x 2 )(1 + x 3 )· · · = 1 (1 − x)(1 − x 3 )(1 − x 5 )· · · 23 π 2 = 2 1 · 2 3 · 4 3 · 4 5 · 6 5 · 6 7 · 8 7 · . . . π 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − . . . π 2 6 = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + 1 5 2 + . . . π 3 32 = 1 − 1 3 3 + 1 5 3 − 1 7 3 + 1 9 3 − . . . π 4 90 = 1 + 1 2 4 + 1 3 4 + 1 4 4 + 1 5 4 + . . . 2 π = √ 2 2 · √ 2 + √ 2 2 · √ 2 + √ 2 + √ 2 2 · . . . π = 4 1 + 1 2 3 + 2 2 5 + 3 2 7 + 4 2 9 + . . . 24 11 × 11 = 121 111 × 111 = 12321 1111 × 1111 = 1234321 11111 × 11111 = 123454321 . . . 3333

25 32768 = (3 − 2 + 7)6 /8 26 71 = √ 7! + 1. 27 3435 = 33 + 44 + 33 + 55 28 1 2 = 1 2 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 1 2 + · · · 29 64 16 = 6/ 4 16/ = 4 1 = 4 30 sin θ · sin( 60◦ − θ ) · sin( 60◦ + θ ) = 1 4 sin 3θ cos θ · cos( 60◦ − θ ) · cos( 60◦ + θ ) = 1 4 cos 3θ tan θ · tan( 60◦ − θ ) · tan( 60◦ + θ ) = tan 3θ 31 27 · 56 = 2 · 756, 277 · 756 = 27 · 7756, 2777 · 7756 = 277 · 77756, وهكذا 3434

IV نظر ية الاعداد V تذكير بالدروس مع الامثلة التطبيقية VI عمليات على الجذور التربيعية من اجل كل عدد زوجي موجب n بالترميز a n √اين يكون 0 ≥ a , نرمز للعدد الحقيقي غير السالب x x ,كحالة خاصة ناخذ 2 = n ,a 2 √يسمى الجذر التربيعي للعدد a ويرمز له عادة الذي يحقق المعادلة a = n √. من اجل كل عدد صحيح فردي موجب n ومن اجل كل عدد حقيقي a بالترميز a n √نعبر بالرمز a √ مع 0 ≥ a تسمى x ,العبارة الجᣞبرية التي ٺتضمن a عن العدد الحقيقي x الذي يحقق المعادلة a = n , 2 4− √ 3 − 1 و √ بعبارة الجذر التربيعي مثل 2 · · · تعر يف i √ القواعد العملياتية الاساسية على a • I) ( √ a) 2 = a من اجل a ≥ 0 • II) √ a 2 = |a| =    a, كان اذا a > 0 0, كان اذا a = 0 −a, كان اذا a < 0 • III) √ a.b = √ |a|. √ |b|, a.b ≥ 0 • IV) √a b = √ a √ b , fia.b ≥ 0, b ̸= 0 • V) ( √ a) n = √ a n, fia ≥ 0 • VI) a √ c + b √ c = (a + b) √ c, if c ≥ 0 ii تنطيق مقامات الـكسور (I • 1 a √ b + c √ d = a √ b − c √ d a 2b − c 2d a 2 b − c 2d ̸= 0 مع bd ≥ 0 و ناطقة اعداد, a, b, d, c, d بحيث, 3535

(II • 1 a √ b − c √ d = a √ b + c √ d a 2b − c 2d A−B √ C و A+B √ a في الجᣞبر نسمي العبارتين C 2 b−c 2d ̸= 0 مع bd ≥ 0 و ناطقة اعداد, a, b, c, d بحيث, √ عدد اصم , البحث عن الشكل الاصم جد ضروري عبارتين اصميتين مترافقتين بحيث C, B, A اعداد ناطقة و C √ عدد اصم في الجᣞبر ومهم مادام الشكل الاصم والعدد الناطق يملكان او لهما علاقة مغلقة على سبيل المثال N ∈ n, n ادا وفقط اذا كان العدد الصحيح n ليس مربع تام وبعبارة اخرى البحث عن الاشكال الصماء معناه البحث عن الاعداد الصماء وعملياتها الجᣞبرية المهمة iii امثلة 1 مثال 11 بسط العبارة الاتية a a − 2b √ a 2 − 4ab + 4b 2 a(2b − a) i الحل اذن a − 2b ̸= 0 مادام a 2 − 4ab + b 2 a(2b − a) = (a − 2b) 2 a(2b − a) > 0 =⇒ a(2b − a) > 0 a اذن −a+2b > 0 و a a−2b < 0 وبالتالي a a − 2b √ a 2 − 4ab + b 2 a = − ( a 2b − a ) √ (2b − a) 2 a(2b − a) = − √ a 2 (2b − a) 2 . (2b − a) a = − √ a 2b − a 2 مثال 22 ليكن العدد الحقيقي 1 > c بحيث x = √ c + 2 − √ c − 1 √ c − √ c − 1 , y = √ c + 2 − √ c − 1 √ c + 1 − √ c , z = √ c − √ c − 1 √ c + 2 − √ c + 1 • رتب الاعداد الحقيقية z, y, x ترتيبا تصاعديا 3636

i الحل x = √ c + 2 − √ c + 1 √ c − √ c − 1 = [(√ c + 2)2 − ( √ c + 1)2 ](√ c + √ c − 1) ( √ c + 2 + √ c + 1)[(√ c) 2 − ( √ c − 1)2 ] = √ c + √ c − 1 √ c + 2 + √ c + 1 y = √ c + 2 − √ c + 1 √ c + 1 − √ c = [(√ c + 2)2 − ( √ c + 1)2 ](√ c + 1 + √ c) ( √ c + 2 + √ c + 1)[(√ c + 1)2 − ( √ c) 2 ] = √ c + 1 + √ c √ c + 2 + √ c + 1 يتبع بان y < x بالاضافة الى ذلك z = √ c − √ c − 1 √ c + 2 − √ c + 1 = [(√ c) 2 − ( √ c − 1)2 ](√ c + 2 + √ c + 1) ( √ c + √ c − 1)[(√ c + 2)2 − ( √ c + 1)2 ] = √ c + 2 + √ c + 1 √ c + √ c − 1 مادام √ c + √ c − 1 < √ c + 1 + √ c < √ c + 2 + √ c + 1 ينتج x < y < z 3 مثال 33 ليكن x عدد حقيقي لتكن العبارة الجᣞبرية A المعرفة بالشكل الاتي A = −1 + 3x 1 + x − √ |x| − 2 + √ 2 − |x| 2 − |x| • برهن ان A عدد صحيح ثم جد رقم احاد العدد A2022 i الحل |x−2| ̸= 0 المقام مادام. x = ±2 فقط اي| x| = 2 معناه الوقت نفس في 2−|x| ≥ 0 و| x|−2 ≥ 0 مادام x = −2 اذن x ̸= 2 يكافئ هذا 7 على 10 حسب قيم العدد n وبالتالي 7 = A . الان لايجاد رقم احاد العدد A2022 نجري القسمة الاقليدية للعدد الطبيعي n اي 7 0 ≡ 1 mod 10, 7 1 ≡ 7 mod 10, 7 2 ≡ 9 mod 10, 7 3 ≡ 3 mod 10, 7 4 ≡ 1 mod 10 ومنه n = 4k, k ∈ Z الدور اذن A 2022 = 72022 = (74 ) 505 .7 2 ≡ 49 mod 10 ≡ 9 mod 10 ومنه رقم احاد العدد A2002 يساوي 9 3737

4 مثال 44 يعطى x = √ 7 + √ 3 √ 7 − √ 3 , y = √ 7 − √ 3 √ 7 + √ 3 x 4 + y 4 + (x + y) 4 • اوجد قيمة العدد i الحل x بدلالة xy و y + x بدل من استعمال العبارات 4 + y 4 + (x + y) هنا نستعمل تقنية مهمة جدا وهي التعبير عن 4 x 4 + y 4 + (x + y) 4 المعقدة الخاصة ب x و y الناتجة من نشر العبارة    x = 1 7 − 3 ( √ 7 + √ 3)2 = 1 4 (10 + 2√ 21) = 1 2 (5 + √ 21) y = 1 7 − 3 ( √ 7 − √ 3)2 = 1 4 (10 − 2 √ 21) = 1 2 (5 − √ 21) وبالتالي x + y = 5, xy = 1 على بسهولة نحصل x 4+y 4+(x+y) 4 = (x 2+y 2 ) 2−2x 2 y 2+54 = [(x+y) 2−2(xy)]2−2(xy) 2+625 = 232−2+625 = 1152 5مثال 55 • بسط العبارة الاتية بتنطيق مقامها 9 √ 2 1 + √ 2 − 2 √ 5 − √ 10 i الحل 9 √ 2(1 + √ 10)(1 − √ 2) (1 − √ 10)(1 + √ 2)(1 + √ 10)(1 − √ 2) = 9 √ 2(1 + √ 10)(1 − √ 2) (1 − 10)(1 − 2) = √ 2(1+√ 10)(1− √ 2) 3838

6 مثال 66 • اعد كتابة العبارة الاتية شر يطة ان لايتضمن مقامها جذورا تربيعية √3 49 + √3 7x + √3 x 2 √3 x − √3 7 i الحل a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 لتبسيط العبارة السابقة يمكننا استعمال هاته المتطابقة ( a = x 1/3, b = 71/3 ليكن ومنه x − 7 = a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = (x 1/3 − 7 1/3)(72/3 + (7x) 1/3 + x 2/3) اي ان (72/3 + (7x) 1/3 + x 2/3) (x 1/3 − 7 1/3) = (72/3 + (7x) 1/3 + x 2/3) (x 1/3 − 7 1/3) (72/3 + (7x) 1/3 + x 2/3) (72/3 + (7x) 1/3 + x 2/3) = (72/3 + (7x) 1/3 + x 2/3) 2 (x − 7) 7 مثال 77 • بسط العبارة الجᣞبرية الاتية p(x) = √ x 2 + 2x + 1 − √ x 2 + 4x + 4 + √ x 2 − 6x + 9 i الحل انطلاقا من تعر يف القيمة المطلقة لدينا √ x 2 + 2x + 1 = |x + 1|, √ x 2 + 4x + 4 = |x + 2|, √ x 2 − 6x + 9 الموالي الجدول في p(x) باشارة المتعلقة الحالات تلخيص ويمكن p(x) = |x + 1| − |x + 2| + |x − 3| اذن x |x + 1| |x + 2| |x − 3| p(x) = |x+ 1| − |x+ 2|+|x−3| −∞ −2 −1 3 +∞ −x − 1 −x − 1 • x + 1 x + 1 −x − 2 • x + 2 x + 2 x + 2 −x + 3 −x + 3 −x + 3 • x − 3 4 − x −3x 2 − x x − 4 3939

88 مثال تدريبي للمنتخب الوطني كندا • بسط العبارة p الاتية p = 1 2 √ 1 + √ 2 + 1 3 √ 2 + √ 3 + · · · 1 100√ 99 + 99√ 100 i الحل لدينا : 1 (n + 1)√ n + n √ n + 1 = 1 √ n(n + 1)(√ n + 1) + √ n ) = √ n + 1 − √ n √ n(n + 1) = 1 √ n − 1 √ n + 1 اذن p = ( 1 − 1 √ 2 ) + ( 1 √ 2 − 1 √ 3 ) + · · · ( 1 √ 99 − 1 √ 100 ) = 1 − 1 √ 10 = 9 10 9 مثال 99 • نطق مقام العبارة الاتية : F = 1 2 + √ 2 + √3 2 i الحل مقام النسبة F يتضمن الجذر الثالث للعدد 2 ربما نستعمل لتنطيق النسبة F كخطوة اولى هاته المتطابقة وذلك باخذ a = (2 + √ 2) 1 a + √3 2 = a 2 − a √3 2 + √3 4 a 3 + 2 وفي الخطوة الثاني نستعمل الطرق المعروفة في تنطيق المقامات التي ٺتضمن جذور تربيعية عادية اي 4040

1 2 + √ 2 + √3 2 = (2 + √ 2)2 − (2 + √ 2)√3 2 + √3 2 2 (2 + √ 2)3 + 2 = (4 + 4√ 2 + 2) − 2 √3 2 − √ 2 √3 2 + √3 2 2 10 + 26√ 2 = [(4 + 4√ 2 + 2) − 2 √3 2 − √ 2 √3 2 + √3 2 2 ](10 − 26√ 2) 100 − 2 ∗ 262 10 مثال 1010 • بسط العبارة الاتية : √ 21 − 5 2 + 2 √ 21 − 5 i الحل √ 21 − 5 2 + 2 √ 21 − 5 = √ 21 − 5 2 + 2(√ 21 + 5) ( √ 21 − 5)(√ 21 + 5) = √ 21 − 5 2 + 2 √ 21 + 10 −4 = 2 √ 21 − 10 4 − 2 √ 21 + 10 4 = 2 √ 21 − 10 − 2 √ 21 − 10 4 = −5 11 مثال 1111 √ ليس عدد ناطق برهن ان 2 4141

i الحل في هذا المثال الشعبوي العلمي المهم نحاول ان نستعرض مجموعة من البراهين المهمة في نظر ية الاعداد . • الطر يقة الاولى نستعمل احد انواع البراهين المهمة في الرياضيات والتي تعرف استعمالا واسعا في اثبات عدة قضايا ر ياضياتية وهو البرهان بالخلف . البرهان بالخلف هو ان نفرض عكس القضية المراد برهانها ثم نحاول الوصول الى √ عدد ناطق تناقض مع هذا الفرض والذي يؤكد صحة القضية المراد برهانها في المرحلة الاخيرة . الان نفرض ان 2 .معناه يمكن كتابته على شكل كسر اي (1) √ 2 = m n , m, n ∈ Z بالاحرى نفرض ان هذا الـكسر غير قابل للاختزال اي gcd(m, n) = 1 , نقوم بتربيع طرفي المساواة (1 (نحصل على (2) 2 = m2 n2 ومنه (3) 2n 2 = m2 وهذا يعني ان m عدد زوجي يستلزم انه يوجد عدد صحيح α بحيث (4) m = 2α نعوض (4 (في الطرف الايمن للمعادلة (3 . (بعد التعو يض والاختزال نحصل على (5) n 2 = 2α 2 n عدد زوجي يستلزم ان n ايضا عدد زوجي . ختاما حصلنا على m و n عددين زوجين معناه وهذا معناه ان 2 √ ليس عدد ناطق 2 ومنه gcd(m, n) = 1 الفرض مع تناقض وهذا gcd(m, n) ̸= 1 √ عدد ناطق • الطر يقة الثانية في هذه الطر يقة نحاول استعمال خواص المربع التام بترديد العدد 3 . نفرض ان 2 √, ومنه يمكن اخذ N ∈ b, a بحيث .نلاحظ ان 1 > 2 √ 2 = a b a 2 ≡ 0, 1( mod 3) ان نعلم. a 2 = 2b 2 ومنه ,a 2 = 2b 2 لـكن, b 2 ≡ 1( mod 3) ⇒ 2b 2 ≡ 2( mod 3) فان, a 2 ≡ 1( mod 3) كان اذا) 1 ← a ,وهذه مستحيلة 2 ≡ 2( mod 3) ⇒ 1 ≡ 2( mod 3) ومنه a ,فان 2 ≡ 0( mod 3) كان اذا) 2 ← b 2 ≡ 0( mod 3) .c, d ∈ N مع b = 3d ,a = 3c ومنه, 9c .فاننا سنبقى ندور في حلقة مفرغة اي لايمكن 2 = 2 × 9d 2 c , مادام 2 = 2d 2 نحصل مرة اخرى على العودة الى الحالة الاولى اي نبقى في الحالة الثانية والتي تقود نحو c | 3 وكذلك d | 3 وهاته العملية تبقى مستمرة الى ان نصل الى 2 = 1 والتي هي ايضا مستحيلة 4242

√ ليس عدد ناطق ■. a .من هنا 2 2 = 2b ومنه لايمكن لايجاد عددين N ∈ b, a بحيث 2 √ • الطر يقة الثالثة ليكن 2 ∈ Q , و Q = { q ∈ N ∗ , q√ 2 ∈ N } =⇒ Q ̸= ∅ ليكن qs := min Q p := qs √ 2 − qs اي p = qs √ 2 − qs < 2qs − qs = qs ⇐⇒ p < qs (1) p = qs √ 2 − qs ⇐⇒ √ 2p = 2qs − √ 2qs ⇐⇒ √ 2p ∈ N (2) (1) ∧ (2) =⇒ √ انه وجدنا ان qs < p حيث ان 2p ∈ N √ ومنه حصلنا على تناقض اي ان Q /∈ 2 1212 اسئلة اختبار ية A | تساوي √ (x − 2)2 + √ (3 − x) 2 1 اذا كان 2 < x فان | 5 − 2x (A ← 2x − 5 (B ← 2 (C ← 3 (D ← 2 نطق مقام العبارة الاتية : √ 6 + √ 10 + √ 15 + 2 √ 6 − √ 10 + √ 15 − 2 3 بسط العبارة الاتية بتنطيق مقامها 1 9 √3 9 − 3 √3 3 − 27 4 عدد الاعداد الصحيحة x التي تحقق هذه المتراجحة 3 1 + √ 3 < x < 3 √ 5 − √ 3 هو 4343

1 (A ← 2 (B ← 3 (C ← 4 (D ← 5 (E ← 6 (F ← 5 5 (نطق مقام العبارة الاتية 2 √ 6 √ 2 + √ 3 + √ 5 6 بين ان 1 (1 − √4 7) + 1 (1 + √4 7) + 2 (1 + √ 7) + 2 3 = 0 اذن b = 2√ 2 − √ 6 و a = √ 6 − 2 ان نفرض) sssMO(j)1999) 7 a > b (A ← a = b (B ← a < b (C ← a = √ 2b (D ← b = √ 2a (E ← 8 احسب مايلي : ( √ 5 + √ 6 + √ 7)((√ 5 + √ 6 − √ 5)(√ 5 + √ 6 − √ 5)(− √ 5 + √ 6 + √ 7) 9 رتب هاته الاعداد ترتيبا تصاعديا a = √ 2022 − √ 2021, b = √ 2023 − √ 2022, c = √ 2024 − √ 2023 1313 اسئلة اختبار ية B 1 China1993 جد رقم احاد العبارة x = ( −2a 4 + a − √ |a| − 3 + √ 3 − |a| 3 − a )1993 2 بين انه من اجل كل عدد حقيقي x العبارة E = (9x 4 ) 3 + (3x − 9x 4 ) 3 + (1 − 9x 3 ) 3 (1 + 6x 3 ) 3 + (1 − 6x 3 ) 3 + (−6x 2 ) 3 عدد ناطق يطلب تعيينه 3 يعطى a = √3 8 + √3 4 + 1 احسب 5 a + 5 a 2 + 2 a 3 4444

b + a مع n عدد صحيح موجب , حدد القيمة 4 ليكن a عدد حقيقي موجب و b جزؤه العشري بحيث n = 2 العددية ل b 5 ليكن x العدد الحقيقي حيث جزئه العشري معرف بالـكسر المستمر على الشكل الاتي 0.414213 . . . = 1 2 + 1 2+ 1 2+ . . . حدد عبارة x 6 x و y عددان حقيقيان موجبان , برهن صحة المتراجحة الاتية : x + 3√3 xy2 ≥ 4 √ xy 7 برهن انه من اجل كل عدد حقيقي موجب z, y, x لدينا : √ x 2 − xz + z 2 + √ y 2 − yz + z 2 ≥ √ x 2 + xy + y 2 √ a± √ VII الجذور التربيعية من الشكل b 11 قواعد اساسية √ نقوم ب : a± √ لتبسيط الجذور التربيعية من الشكل b • A (تبسيط مباشر انطلاقا من العبارات الجᣞبرية مثلا : √ (a + b) 2 = |a + b|, √ (a + b) 4 = (a + b) 2 , √3 (a + b) 3 = a + b √ • B (نستعمل تقنية اكمال المربعات وذلك بتغيير العبارات الموجودة داخل الجذر الخارجة الى مربع على سبيل المثال 2 + √ تبسيط العبارة 3 • C (يمكن استعمال طرق اخرى مثلا طر يقة تحديد -المعامل , استبدال المتغير ,الخ • D (المتطابقات المساعدة : (A ← √ a + √ b = √ a + √ a 2 − b 2 + √ a − √ a 2 − b 2 و (B ← √ a − √ b = √ a + √ a 2 − b 2 − √ a − √ a 2 − b 2 , 4545

√ مربع تام لعدد ناطق,كمثال a هاته المتطابقة ذات اهمية كبيرة جدا عندما يكون a و b اعداد ناطقة في حين b − 2 ناخذ √ 5 + 2√ 6 = √ 5 + √ 24 = √ 5 + √ 5 2 − 24 2 + √ 5 − √ 5 2 − 24 2 = √ 3 + √ 2. 22 01 طر يقة √ هاته الطر يقة يمكن استعمالها في حل العديد من 5 − √ 13 + √ مثلا نريد تحديد القيمة العددية للعبارة الاتية 48 ) وهذا يقودنا لحل هاته الجملة : a + b √ 3 )2 = 13 + 4√ لتمارين بهذا الشكل , جد b, a بحيث .3 { a 2 + 3b 2 = 13 ab = 2 . √ 13 + √ 48 = 1 + 2√ 3. ينتج) a, b) = (±1, ±2). وهما بحلين ومرة اخرى بنفس الطر يقة : (c + d √ 3)2 = 5 − ( 1 + 2√ 3 ) يقود نحو { c 2 + 3d 2 = 4 cd = −1 . .(c, d) = (±1, ∓1) لدينا وكذلك يمكن ان نكتب : √ 5 − √ 13 + √ 48 = −1 + √ 3, لان الجذر التربيعي ليس عدد سالب . 33 √ a±b √ طر يقة رائعة لحساب n k √ولـكن نحن في هذا a±b √ هناك خوارزمية عامة توظف فيها نظر ية Galois لحساب الجذور التربيعية من الشكل n √ نستعمل تقنية رائعة بسيطة وسهلة يمكن a±b √ المستوى اي في الحالات السهلة مثل تحديد القيمة العددية للعبارة n للتلميذ ان يستعملها للتعامل مع هذا النوع من العبارات في هاته الطر يقة ناتي بمصطلحين ربما جديدين على التلميذ في المرحلة N = (a+b √ n)(a−b √ n) = ب a±b √ الثانو ية او المتوسط لـكن بمفهوم بسيط وواضح , نسمي نظيم العبارة n w = (a + b √ n), w′ = (a − b √ n) مع a 2 − nb2 4646

= E اول خطوة نقوم بحساب √ a±b √ n لحساب الان a±b √ n العبارة اثر T = w + w ونسمي 2a′ = E فنكون قد وصلنا الى الخطوة الاخيرة لحساب T ل ′ ′ − E ثم نقوم بحساب اثر العبارة الجديدة √ N = E الفرق ′ قيمة E اذن E = ± E ′ √ T ′ ومنه N = 612 − 5 ∗ 242 = 292 = E لدينا √ 61 − 24√ كمثال تطبيقي نحاول ان نحسب مثلا 5 E ′ = E − √ N = 32 − 24√ 5 T اي ان ′ = √ E′ = 8 ومنه E = ± E ′ √ T ′ = ±(4 − 3 √ 5) 44 امثلة تطبيقية 1 مثال 55 sssMO(j)2003) √ • جد قيمة العدد 17 + 4√ 13 − √ 17 + 4√ 13 i الحل : √ 17 + 4√ 13 − √ 17 + 4√ 13 = √ ( √ 13 + 2)2 − √ ( √ 13 − 2)2 = √ 13 + 2 − ( √ 13 − 2) = 4 ويمكننا ايضا بتطبيق الطر يقة السابقة باستعمال النظيم والاثر ان نحصل على نفس النتيجة 2 مثال 66 • بين ان ( √ 5 √ 3 + 1 − √ 30 8 + √ 45 2 )2 عدد طبيعي يطلب تعيينه 4747

i الحل اولا نحاول ان نقوم بتبسيط هذه العبارة E = √ 5 √ 3 + 1 − √ 30 8 + √ 45 2 لدينا √ 5 √ 3 + 1 − √ 30 8 + √ 45 2 = √ 5(√ 3 − 1) ( √ 3 + 1)((√ 3 − 1)) − √ 15 4 + √ 9·5 2 = √ 5(√ 3 − 1) 2 − √ 15 2 + 3 √ 5 2 = √ 15 − √ 5 − √ 15 + 3√ 5 2 = √ 5 E وهو المطلوب 2 = 5 ومنه 3 مثال 77 • برهن صحة هاته المساواة دون تربيع الطرفين F = √ 2 + √ 3 − √ 2 − √ 3 = √ 2 i الحل يكفي ان نستعمل هاتين المتطابقتين بحكم مابداخل الجذور في العبارة F اعداد موجبة اي : √ a + √ b = √ a + √ a 2 − b 2 + √ a − √ a 2 − b 2 و √ a − √ b = √ a + √ a 2 − b 2 − √ a − √ a 2 − b 2 , 4848

اذن : √ 2 + √ 3 − √ 2 − √ 3 = √ 4 + 2√ 3 2 − √ 4 − 2 √ 3 2 = √ ( √ 3 + 1)2 2 − √ ( √ 3 − 1)2 2 = √ 3 + 1 √ 2 − √ 3 − 1 √ 2 = √ 2 4 مثال 88 • بسط العبارة الموالية 1 √ 4 + 2√ 3 − √ 4 − 2 √ 3 i الحل 1 √ 4 + 2√ 3 − √ 4 − 2 √ 3 = √ 4 + 2√ 3 + √ 4 − 2 √ 3 4 + 2√ 3 − (4 − 2 √ 3) = √ 4 + 2√ 3 + √ 4 − 2 √ 3 4 √ 3 = vuut (√ 4 + 2√ 3 + √ 4 − 2 √ 3 4 √ 3 )2 = √ 4 + 2√ 3 − (4 − 2 √ 3) − 2 √ 4 2 − 4 × 3 48 = √ 4 + 2√ 3 + (4 − 2 √ 3) + 2√ 4 2 − 4 × 3 48 = √ 12 48 = √ 1 4 = 1 2 4949

5 مثال 99 • بسط مايلي : √√3 64 + √4 256 √ 64 + √ 256 i الحل نلاحظ ان : √3 64 = (64) 1 3 = (43 ) 1 3 = 4 √4 256 = (256) 1 4 = (44 ) 1 4 = 4 √ 64 = 8 √ 256 = 16 اذن نحصل على : √√3 64 + √4 256 √ 64 + √ 256 = √ 4 + 4 8 + 16 = √ 8 24 = √ 1 3 = √ 3 3 6 مثال 1010 • برهن ان : 3 √ 18 + √ 325 + 3 √ 18 − √ 325 = 3 i الحل a 3 + b 3 + c لاثبات المساواة السابقة نقوم بتطبيق نصهاته الخاصية : خاصية اذا اكان 0 = c + b + a فان 3abc = 3 لاثبات صحة هذه الخاصية فقط نقوم بتحليل الفرق a 3 + b 3 + c 3 − 3abc الى جداء عاملين , تحليل هذا الفرق يكون بالصيغة الاتية : (E) a 3 + b 3 + c 3 − 3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca) يكفي ان نترك 0 = c + b + a في المعادلة (E (نحصل على المتطابقة المراد اثباتها اي a 3 + b 3 + c 3 = 3abc 5050