แบบฝึกทักษะ เรื่อง ความน่าจะเป็น

ความนา่ จะเป็น ม.5 1

บทที่ 3 ความน่าจะเปน็

3.1 การทดลองสุ่มและเหตกุ ารณ์

การทดลองส่มุ

การทดลองสมุ่ (random experiment) คอื การทดลองซง่ึ ทราบว่าผลลัพธ์อาจจะเปน็ อะไรได้บา้ ง แต่ไมส่ ามารถ
บอกได้อย่างแนน่ อนวา่ ในแตล่ ะคร้งั ที่ทดลอง ผลทเี่ กดิ ขนึ้ จะเปน็ อะไรในบรรดาผลลพั ธท์ อ่ี าจเป็นไดเ้ หล่านัน้ เชน่ ในการทอด
ลูกเตา้ หนง่ึ ลกู หน่งึ ครง้ั แต้มทป่ี รากฏบนหนา้ ลูกเตา๋ อาจจะเปน็ 1,2,3,4,5 หรอื 6 แตไ่ มส่ ามารถบอกได้อย่างแนน่ อนว่า แต้มที่
ไดจ้ ะเปน็ แตม้ ใด เรียกการทอดลูกเต๋าดงั กลา่ วว่า การทดลองสุม่ และเรยี กเซตของแตม้ ท่ีปรากฏบนหน้าลูกเต๋าทเ่ี ป็นไปได้
ทัง้ หมดว่า ปริภูมติ วั อย่าง หรือ แซมเปดิ สเปซ (sample space)

บทนยิ าม
ปรภิ ูมติ วั อยา่ ง คอื เซตทม่ี สี มาชกิ เป็นผลลัพธ์ทีอ่ าจจะเปน็ ไปไดท้ ง้ั หมดของการทดลองสุ่ม

ตัวอย่างที่ 1 จงหาปรภิ มู ติ ัวอย่างของการทอดลกู เตา๋ หนึง่ ลูกหน่ึงครง้ั เม่ือสนใจแต้มทีป่ รากฏ

จากตัวอยา่ งขา้ งต้น ถา้ สนใจเพยี งว่าแตม้ ท่ีไดจ้ ะเปน็ จานวนคหู่ รอื จานวนคี่ ผลท่ไี ด้จากการทดลองจะเป็นจานวนคหู่ รือจานวน
ค่อี ยา่ งใดอย่างหนึง่ ถา้ ให้ S เป็นปรภิ มู ติ ัวอย่างของการทดลองสมุ่ น้ี จะได้ S ={1,2,3,4,5,6}
จะเห็นว่า ในการทดลองสุ่มเดียวกนั อาจเขียนปรภิ มู ติ ัวอย่างไดม้ ากกวา่ หนงึ่ แบบ ท้งั นี้ขึ้นอย่กู บั ผลลพั ธท์ ีส่ นใจ
ตัวอยา่ งท่ี 2 จงเขียนปรภิ ูมติ ัวอยา่ งของการทดลองสมุ่ ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ี
1) การแขง่ ขนั ระหวา่ งทีมฟตุ บอล ก กับทีมฟตุ บอล ข โดยสนใจผลการแข่งขันของทมี ก

2) การโยนเหรยี ญหน่ึงเหรียญสี่ครงั้ โดยสนใจจานวนคร้ังท่ีเหรียญจะขน้ึ หวั

3) การผลติ หลอดไฟ 1,000 หลอด ใน 24 ช่วั โมง โดยสนใจจานวนหลอดไฟทเ่ี สยี เมอื่ ผลติ ครบ 24 ชวั่ โมง

4) การหยิบลกู ปงิ ปองหนงึ่ ลกู ออกจากถุงซึ่งบรรจุปิงปองสชี าวและสสี ้ม โดยสนใจวา่ ไดล้ กู ปิงปองสใี ด

ตวั อย่างที่ 3 จงเขยี นปริภมู ติ วั อยา่ งของการสงั เกตวนั ที่ฝนตกหรอื ไมต่ กตัง้ แต่วันที่ 1 ถงึ 3 สงิ หาคม พ.ศ.2560 เมื่อสนใจ
จานวนวันทฝ่ี นตก

ความนา่ จะเป็น ม.5 2

เหตุการณ์

ในการทดลองสุ่ม เชน่ การทอดลกู เตา๋ หนง่ึ ลูกหน่งึ ครง้ั เมือ่ สนใจแตม้ ทีจ่ ะได้ ปรภิ มู ิตัวอย่างของการทดลองสมุ่ คอื
S ={1,2,3,4,5,6} ถา้ สนใจเฉพาะแตม้ ทีม่ ากกว่า 4 จะไดว้ า่ ผลลพั ธ์ที่เป็นไปไดค้ ือ 5 และ 6 โดยจะเรยี กเซตของผลลพั ธ์
ที่สนใจจากการทดลองสมุ่ วา่ เหตกุ ารณ์(event) ถ้าให้ E คอื เหตุการณ์ในตวั อย่างน้ี จะได้วา่ E = {5,6} จะเห็นว่า E เป็น
สับเซตของปริภมู ติ ัวอย่าง S

บทนิยาม
เหตุการณ์ คอื สบั เซตของปริภมู ิตวั อย่าง

ตัวอยา่ งที่ 4 ในการทอดลกู เตา๋ หนึ่งลกู หนึ่งครงั้ ถ้าผลลพั ธท์ ่สี นใจคอื แตม้ ทไี่ ด้ จงหา
1) ปริภมู ติ ัวอย่าง

2) เหตุการณ์ทไี่ ดแ้ ต้มซ่งึ หารด้วย 3 ลงตัว

3) เหตกุ ารณ์ทไี่ ด้แต้มน้อยกวา่ 4

4) เหตุการณ์ทไี่ ดแ้ ต้มมากกว่า 6

5) เหตุการณท์ ไ่ี ดแ้ ตม้ มากกวา่ 0

ขอ้ สงั เกต เซตว่างและปรภิ มู ติ วั อยา่ งเปน็ เหตุการณ์
ตวั อย่างท่ี 5 ในการตรวจสภาพของสินคา้ ชนดิ หนึ่ง ผตู้ รวจสอบจะหยบิ สนิ ค้าขึน้ มาตรวจทีละชิน้ รวม 3 ชนิ้ ผลลพั ธ์ท่สี นใจ
คอื ผลการตรวจสภาพของสินคา้ ทงั้ สามชนิ้ ว่า แตล่ ะช้ินผ่านหรอื ไมผ่ า่ นมาตรฐาน จงหา

1) ปริภมู ิตวั อย่าง

2) เหตุการณท์ ม่ี ีสินคา้ ผ่านมาตรฐานอย่างน้อย 2 ชนิ้

จากตวั อย่างที่ 5 ถา้ ผลลพั ธท์ ส่ี นใจ คอื จานวนชิ้นท่ีไม่ผา่ นมาตรฐาน โดยไม่สนใจว่าเรยี งลาดบั อยา่ งไร จะได้ว่าปรภิ ูมติ วั อยา่ ง
คอื S = {0,1, 2,3}

ความนา่ จะเป็น ม.5 3
ตวั อย่างท่ี 6 ในการโยนเหรยี ญ 1 เหรยี ญ และทอดลกู เตา๋ 1 ลกู พร้อมกันหนงึ่ ครง้ั ถ้าผลลัพธ์ทส่ี นใจ คอื หนา้ ของเหรียญ
และแตม้ บนหนา้ ลกู เต๋า จงหา

1) ปริภมู ิตัวอย่าง
2) เหตกุ ารณ์ทไ่ี ด้แตม้ บนหน้าลูกเต๋าเป็นจานวนคู่
3) เหตุการณ์ทเี่ หรยี ญขึ้นหัว
4) เหตกุ ารณ์ทเี่ หรยี ญข้ึนกอ้ ยและแต้มบนหนา้ ลูกเตา๋ เป็น 6

ตวั อยา่ งที่ 7 หยิบลกู บอลพร้อมกัน 2 ลกู ออกจากกลอ่ งซ่งึ บรรจุลกู บอลสีขาว 3 ลูก และสแี ดง 2 ลกู โดยท่ลี กู บอลทุกลกู
แตกตา่ งกัน ถ้าผลลัพธ์ท่สี นใจคอื ลกู บอลท่หี ยิบ จงหาปริภมู ิตวั อย่างและเหตกุ ารณ์ที่ไดล้ กู บอลสีขาว 1 ลกู และสีแดง 1 ลกู

ความนา่ จะเป็น ม.5 4
แบบฝึกหัด 3.1
1. จงเขยี นปริภมู ติ ัวอยา่ งของการทดลองสุ่มในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี
1) การหยบิ ลกู อม 1 เมด็ จากถุงซง่ึ บรรจลุ ูกอมรสส้ม รสอง่นุ รสมะนาว และรสกาแฟ โดยสนใจว่าไดล้ กู อมรสใด
2) ภาคภมู ิทาข้อสอบแบบถูกผิด 10 ข้อ ข้อละ 1 คะแนน โดยสนใจคะแนนสอบของภาคภูมิ
3) การแข่งขนั 2 นดั ของทมี วอลเลยบ์ อลไทย โดยสนใจผลการแขง่ ขนั
4) การทอดลูกเต๋าสามลูกหนึ่งครัง้ โดยสนใจผลบวกของแตม้ บนหนา้ ลกู เตา๋ ท้ังสาม
5) นดิ ามีพัดลมไว้ขาย 5 เครือ่ ง โดยสนใจจานวนพดั ลมที่นดิ าขายได้

2. การโยนเหรยี ญหน่งึ เหรียญสองคร้งั ถา้ ผลลพั ธ์ท่ีสนใจคอื หน้าของเหรยี ญ จงหา

1) ปริภูมิตัวอยา่ ง
2) เหตุการณท์ เี่ หรียญขนึ้ หวั ทงั้ สองครั้ง
3) เหตุการณท์ เ่ี หรยี ญขน้ึ หน้าตา่ งกนั

ความนา่ จะเป็น ม.5 5
3. ในการโยนเหรยี ญ 1 เหรยี ญ และทอดลูกเต๋า 1 ลกู พร้อมกันหนงึ่ คร้งั ถ้าผลลพั ธ์ทสี่ นใจคอื หนา้ ของเหรยี ญและแต้มบน
หน้าลกู เตา๋ จงหาเหตุการณท์ ่ี

1) เหรียญขึน้ ก้อยและแตม้ บนหนา้ ลกู เต๋าเป็นจานวนค่ี
2) เหรียญขึน้ หวั และแตม้ บนหนา้ ลกู เต๋าเปน็ จานวนค่ี
3) แตม้ บนหนา้ ลูกเตา๋ เปน็ จานวนที่หารด้วย 3 ลงตัว
4) เหรยี ญข้ึนกอ้ ยและแตม้ บนหนา้ ลกู เต๋าเป็นจานวนทห่ี ารด้วย 7 ลงตัว
5) แต้มบนหน้าลูกเต๋าเป็นจานวนที่หารด้วย 7 ไมล่ งตวั

4. กลอ่ งใบหนง่ึ บรรจลุ กู บอลสแี ดง 2 ลกู และสขี าว 2 ลกู โดยทลี่ กู บอลทกุ ลูกแตกต่างกัน หยบิ ลูกบอล 2 ลูก ออกจากกลอ่ ง
โดยหยิบทลี ะลูก และใสค่ ืนลกู แรกกอ่ นจะหยบิ ลูกทสี่ อง ถ้าผลลัพธ์ทสี่ นใจคือลกู บอลท่ีหยบิ จงหาปรภิ ูมิตัวอย่างและ
เหตกุ ารณ์ทไ่ี ดล้ กู บอลสีขาวท้งั สองครั้ง

ความนา่ จะเป็น ม.5 6

3.2 ความนา่ จะเป็น

ถ้าตอ้ งการทราบวา่ เหตุการณท์ สี่ นใจมีโอกาสเกดิ ขน้ึ มากน้อยเพยี งใด เชน่ ในการโยนเหรียญทเ่ี ทีย่ งตรงหนง่ึ เหรยี ญหนึ่งครง้ั
ซึ่งไมส่ ามารถบอกได้ว่าเหรยี ญจะขึ้นหัวหรือกอ้ ย แต่ตอ้ งการทราบวา่ โอกาสท่ีเหรยี ญจะขน้ึ หวั มีเทา่ ใด วธิ หี นึ่งท่ีจะหาคาตอบ
ได้คอื ทาการทดลองสมุ่ น้ันซ้าหลายๆคร้ัง สมมตวิ า่ ในการโยนเหรยี ญ 1 เหรียญ 100 คร้งั ปรากฏว่าเหรียญข้ึนหัว 46 ครัง้
และขนึ้ กอ้ ย 54 ครัง้ อัตราสว่ น 46 ซ่ึงเท่ากับ 0.46 หรือ 46% บอกให้ทราบโอกาสทเี่ หรยี ญจะขน้ึ หัวมเี ทา่ ใด และเม่อื ทา

100

การทดลองมากคร้งั ข้นึ อัตราส่วนทไี่ ด้จะน่าเชอื่ ถอื มากขน้ึ อย่างไรกด็ ี วธิ นี ีไ้ ม่สามารถบอกไดแ้ นน่ อนวา่ ควรทาการทดลองส่มุ
จานวนก่คี ร้ังจึงจะเหมาะสม เช่น 1,000 ครงั้ 2,000 คร้ัง หรือ 10,000 คร้งั อีกทง้ั การทาการทดลองสมุ่ หลายๆครง้ั ยอ่ ม
เสียเวลามากและไมส่ ะดวก จงึ ใช้วิธคี านวณจากปริภมู ิตวั อย่างและเหตกุ ารณท์ ่สี นใจของการทดลองสุม่ โดยหาอัตราส่วน
ระหวา่ งจานวนสมาชิกของเหตกุ ารณ์ทสี่ นใจกบั จานวนจรงิ สมาชกิ ของปริภมู ิตวั อย่างที่ใช้ในการคานวณนีจ้ ะต้อง
ประกอบด้วยสมาชกิ ทมี่ โี อกาสเกดิ ขึ้นได้เท่ากัน
ตวั อย่างเช่น ในการทอดลกู เต๋าทีเ่ ท่ียงตรงหนึง่ ลูกหนึ่งคร้ัง ถ้าผลลัพธ์ทีส่ นใจคือแต้มทไ่ี ด้ จะได้ปรภิ มู ติ วั อย่าง คือ

S = 1, 2,3, 4,5,6 เนื่องจากลูกเตา๋ เท่ียงตรง ดงั นั้น สมาชกิ แตล่ ะตัวของ S มีโอกาสเกดิ ขน้ึ ได้เท่ากัน ถา้ ให้ E แทน

เหตกุ ารณท์ ่ีได้แตม้ เป็น 3 จะได้ E = 3 ดังนน้ั โอกาสทเ่ี หตกุ ารณ์ E จะเกดิ ข้ึน คอื 1 ซงึ่ เปน็ อัตราสว่ นระหวา่ งจานวน

6

สมาชกิ ของ E กับจานวนสมาชิกของ S

พิจารณาอีกตัวอยา่ งหน่งึ ในการทอดลูกเตา๋ ท่ีเท่ียงตรงสองลกู หนง่ึ ครัง้ ถา้ สนใจเหตุการณ์ทไี่ ดผ้ ลบวกของแต้มเป็น 5

ผลลัพธ์ท่เี ปน็ ไปไดท้ ัง้ หมดของการทดลองส่มุ ไดด้ งั น้ี
ให้ S แทน ปรภิ มู ิตวั อยา่ งของการทดลองส่มุ นี้ ซ่ึงเขยี นแทนไดด้ ว้ ยเซตของคู่อันดับของแต้มทไี่ ด้จากลกู เต๋าลกู ท่ี 1 และลกู ที่
2 จะได้ S = {(1,1),(1, 2),(1,3),(1, 4),(1,5),(1,6),

(2,1), (2, 2), (2,3), (2, 4), (2,5), (2, 6),

(3,1), (3, 2), (3,3), (3, 4), (3,5), (3, 6),

(4,1), (4, 2), (4,3), (4, 4), (4,5), (4, 6),

(5,1), (5, 2), (5,3), (5, 4), (5,5), (5, 6),

(6,1), (6, 2), (6,3), (6, 4), (6,5), (6, 6)}

เน่อื งจากลูกเตา๋ ทั้งสองลูกเที่ยงตรง ดังนน้ั S ประกอบด้วยสมาชิกที่มโี อกาสเกดิ ขนึ้ ไดเ้ ท่ากนั
ให้ E แทนเหตุการณท์ ผ่ี ลบวกของแตม้ บนหน้าลูกเต๋าทง้ั สองเปน็ 5

จะได้ E = (1, 4),(2,3),(3, 2),(4,1)

ดังน้ัน โอกาสท่จี ะไดผ้ ลบวกของแต้มเปน็ 5 คอื อัตราส่วนระหวา่ งจานวนสมาชกิ ของ E กับ จานวนสมาชกิ ของ S ซึ่ง
เทา่ กับ 4 = 1

36 9

หมายเหตุ จากตวั อย่างขา้ งตน้ ถา้ เขยี นปริภมู ิตัวอย่างท่ีมสี มาชกิ เปน็ ผลบวกของแตม้ บนหนา้ ลูกเตา๋ ทงั้ สอง จะได้

S = 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12

จะเห็นว่า
➢ ผลบวกของแตม้ เปน็ 2 เกิดไดว้ ิธเี ดียว คอื ลูกเต๋าทงั้ สองลกู ขน้ึ แต้ม 1
➢ ผลบวกของแต้มเป็น 3 เกิดได้ 2 วิธี คอื
ลกู เต๋าลูกที่ 1 ขึ้นแต้ม 1 และลกู เต๋าลกู ท่ี 2 ขึน้ แต้ม 2
หรือลูกเต๋าลกู ท่ี 1 ขึน้ แต้ม 2 และลูกเตา๋ ลูกที่ 2 ขน้ึ แตม้ 1

น่นั คอื การทอดลูกเตา๋ ทผี่ ลบวกของแตม้ เปน็ 3 มีโอกาสทีจ่ ะเกิดขึ้นได้มากกว่าการทอดลกู เต๋าทผ่ี ลบวกของแตม้ เป็น 2
ดงั นั้น สมาชกิ แตล่ ะตวั ของ S มโี อกาสเกิดขน้ึ ไดไ้ มเ่ ทา่ กัน

ความนา่ จะเป็น ม.5 7

ถ้าสมาชิกของปริภูมติ ัวอย่างมีโอกาสเกิดข้ึนได้เทา่ กันแล้ว เรยี กอัตราส่วนระหว่างจานวนสมาชิกของเหตกุ ารณ์ทสี่ นใจกับ
จานวนสมาชิกของปรภิ มู ิตัวอย่างว่า ความน่าจะเปน็ (probability) ของเหตกุ ารณ์

บทนิยาม
ให้ S แทนปรภิ ูมิตัวอยา่ งซึ่งเป็นเซตจากัด โดยสมาชิกทุกตวั ของ S มีโอกาสเกิดข้ึนได้เท่ากนั
และให้ E เป็นเหตกุ ารณ์ที่เปน็ สับเซตของ S
ความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์ E เขยี นแทนดว้ ย P(E) โดยท่ี

P(E) = n(E)
n(S )

เมื่อ n(E) แทน จานวนสมาชิกของเหตกุ ารณ์ E
และ n(S) แทน จานวนสมาชกิ ของปริภูมติ ัวอยา่ ง S

ความน่าจะเป็น คอื จานวนท่ีบอกให้ทราบว่าเหตุการณท์ ่สี นใจมโี อกาสเกดิ ข้นึ มากนอ้ ยเพียงใด

ในกรณที ีป่ รภิ มู ิตัวอยา่ งเปน็ เซตจากดั
• P(E) = 0 หมายความวา่ เหตุการณ์ E ไม่มีโอกาสเกิดข้นึ เลยหรือเป็นไปไมไ่ ด้ทีเ่ หตุการณ์ E จะเกดิ ขน้ึ

• P(E) =1 หมายความว่า เหตกุ ารณ์ E เกิดขน้ึ อยา่ งแนน่ อน

• P(E) = 1 หมายความว่า โอกาสท่เี หตุการณ์ E จะเกิดหรือไม่เกดิ มีเทา่ กนั

2

• P(E1 ) = 1 และ P(E2 ) = 2 หมายความว่า โอกาสทจ่ี ะเกิดเหตกุ ารณ์ E2 เปน็ สองเท่าของ โอกาสท่ีจะเกดิ
5 5

เหตกุ ารณ์ E1

สมบตั พิ ้ืนฐานของความน่าจะเปน็
ให้ S แทน ปริภูมิตวั อยา่ งซงึ่ เปน็ เซตจากดั
1. ความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ E ใด ๆ มคี า่ ตัง้ แต่ 0 ถงึ 1 เสมอ น่ันคอื 0  P(E) 1

2. ความน่าจะเป็นของปรภิ ูมติ ัวอยา่ ง S คอื 1 น่นั คอื P(S) =1

3. ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ทเ่ี ปน็ เซตว่าง คอื 0 น่นั คอื P() = 0

ตวั อย่างท่ี 8 สามีภรรยาคหู่ น่งึ ตอ้ งการมลี กู 2 คน ถ้าสมมติว่าโอกาสทลี่ กู แตล่ ะคนจะเป็นชายหรือหญิงเท่ากัน
จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณท์ ี่
1) มีบุตรคนแรกเปน็ ชายและมีบตุ รคนท่ีสองเปน็ หญงิ

2) มบี ุตรชายอย่างนอ้ ยหนง่ึ คน

3) ไมม่ ีบุตรชายเลย

ความนา่ จะเป็น ม.5 8
ตัวอย่างท่ี 9 ในการทอดลกู เต๋าที่เท่ยี งตรงสองลกู พรอ้ มกันหนงึ่ ครง้ั จงหาความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์ท่ี
1) ผลบวกของแต้มมากกว่าหรอื เท่ากบั 10
2) ผลบวกของแตม้ หารด้วย 3 ลงตัว

ตัวอยา่ งท่ี 10 ในการเลอื กจานวนสองจานวนโดยไม่เจาะจงจาก 1, 2,3, 4,5 โดยเลือกทลี ะจานวนและไมใ่ หซ้ า้ กนั จงหา

ความนา่ จะเป็นที่จะได้จานวนแรกมากกวา่ 3

ตวั อย่างที่ 11 ถ้าครสู ุ่มนกั เรยี น 3 คน จากนักเรียน 10 คน ซ่งึ เปน็ ผชู้ าย 6 คน และผหู้ ญิง 4 คน จงหาความนา่ จะเปน็ ทค่ี รู
สุม่ ไดผ้ ู้ชาย 2 คน และผูห้ ญิง 1 คน

ตัวอยา่ งท่ี 12 ไพ่สารับหนง่ึ มไี พท่ ัง้ หมด 52 ใบ สมุ่ หยบิ ไพ่ 2 ใบ จากสารบั โดยหยิบไพ่ทีละใบและไมใ่ สค่ นื กอ่ นหยิบใบท่ีสอง
จงหาความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณท์ ่ี
1) หยิบไพใ่ บแรกไดไ้ พส่ ีแดงและไพใ่ บท่ีสองได้ไพส่ ดี า
2) หยิบได้ไพ่ K ทงั้ สองใบ
3) หยิบได้ไพโ่ พดาและโพแดงอยา่ งละใบ

ความนา่ จะเป็น ม.5 9
ตัวอย่างท่ี 13 ดว้ งสุ่มหยิบสลาก 2 ใบ จากกลอ่ งท่ีบรรจุสลาก 4 ใบ โดยมหี มายเลข 1, 2, 3 และ 4 กากับไว้ จงหาความ
น่าจะเป็นทห่ี มายเลขบนสลากท่ดี ว้ งหยิบได้ทัง้ สองใบเปน็ จานวนคู่ เม่อื กาหนดการทดลองสมุ่ ดังนี้
1) ด้วงหยิบสลาก 2 ใบพร้อมกนั
2) ด้วงหยิบสลากทลี ะใบโดยไม่ใสค่ ืนกอ่ นจะหยบิ สลากใบท่ีสอง
3) ด้วงหยิบสลากทลี ะใบโดยใสค่ นื กอ่ นจะหยิบสลากใบทสี่ อง

ตัวอย่างท่ี 14 บริษัทผลติ เสอ้ื ยีห่ อ้ tomorrow จัดกิจกรรมลนุ้ รางวัลใหก้ บั ลูกคา้ โดยนาคาทไี่ ด้จากการเรยี งตัวอกั ษรในคาวา่
“tomorrow” ทงั้ หมดมาพมิ พ์ลงบนป้ายติดคอเสื้อตวั ละ 1 คา เมื่อขายเส้อื ทีต่ ดิ คาเหล่านห้ี มดแล้ว บริษัทจะสมุ่ คาทไ่ี ด้จาก
การเรยี งตวั อักษรในคาวา่ “tomorrow” จานวน 1 คา เพือ่ หาผ้โู ชคดี จงหาความน่าจะเปน็ ท่ีสมุ่ ไดค้ าขน้ึ ตน้ ดว้ ยตวั อกั ษร m

ตวั อยา่ งท่ี 15 ในการประชมุ ครง้ั หนง่ึ มผี เู้ ข้าร่วมประชมุ 10 คน โดย 2 ใน 10 คนน้ี คือ ชานนท์และวิภา ถา้ โต๊ะที่ใช้ประชมุ
เป็นโตะ๊ กลมและกาหนดชอื่ สาหรบั แต่ละทน่ี ่งั แบบสุม่ จงหาความนา่ จะเปน็ ทช่ี านนทแ์ ละวภิ าได้นัง่ ตดิ กนั

ความนา่ จะเป็น ม.5 10
แบบฝึกหัด 3.2
1. ในการจบั สลากชอ่ื ของนกั เรียนหนึง่ คนจากนักเรียน 30 คน ซงึ่ เปน็ ชาย 18 คน และหญงิ 12 คน จงหาความน่าจะเป็นของ
เหตกุ ารณท์ ่ี
1) สลากทีไ่ ดเ้ ปน็ ชื่อของนักเรียนชาย
2) สลากท่ไี ดเ้ ปน็ ชอื่ ของนกั เรยี นหญงิ

2. หวานเย็นสมุ่ หยบิ ลูกปิงปอง 1 ลกู จากถงุ ใบหน่งึ ซึง่ มีลกู ปงิ ปองสแี ดง 15 ลูก และลกู ปิงปองสีขาว สีเหลือง สีเขยี ว สีฟา้
และสดี าอยา่ งละ 1 ลูก จงหาความนา่ จะเป็นทจี่ ะหยบิ
1) ได้ลูกปงิ ปองสีแดง
2) ไม่ไดล้ กู ปิงปองสีดา
3) ได้ลกู ปงิ ปองสดี าหรือสีขาว

3. กล่องใบหน่งึ มีลูกแก้ว 13 ลูก เป็นสีแดง 6 ลูก สีขาว 4 ลกู และสเี หลอื ง 3 ลูก ถา้ สมุ่ หยบิ ลกู แก้ว 1 ลกู จงหาความน่าจะ
เป็นทีจ่ ะได้
1) ลกู แกว้ สีเหลือง
2) ลกู แก้วท่ไี ม่ใช่สแี ดง

ความนา่ จะเป็น ม.5 11

4. ไพ่สารบั หนึง่ มไี พ่ท้งั หมด 52 ใบ สุ่มหยิบไพ่ 1 ใบ จากสารับ จงหาความนา่ จะเป็นที่จะได้
1) ไพห่ มายเลข 7
2) ไพ่ J, Q และ K
3) ไพด่ อกจิก

5. กลอ่ งใบหนึ่งบรรจุเบ้ยี 6 อนั โดยมีหมายเลข 3, 4, 7,9,10 และ 11 กากับไว้ ถา้ สมุ่ หยบิ เบยี้ 1 อนั จากกลอ่ งใบนี้ จงหา
ความน่าจะเป็นที่จะได้เบ้ยี ทม่ี ีหมายเลขเป็น
1) จานวนเฉพาะ
2) จานวนที่หารด้วย 3 ลงตัว
3) จานวนที่หารดว้ ย 6 ลงตัว
4) จานวนท่ีเป็นกาลงั สองสมบรู ณ์

6. ถุงใบหนึง่ ใสเ่ หรยี ญบาทไว้ 100 เหรียญ โดยมีหมายเลข 1,2,3,….,100 กากับไว้ ถ้าสมุ่ หยบิ เหรยี ญ 1 เหรยี ญ จากถงุ ใบนี้ จง
หาความน่าจะเป็นทจี่ ะไดเ้ หรียญทม่ี หี มายเลขเป็น
1) จานวนเตม็ บวก
2) จานวนคู่
3) จานวนที่หารดว้ ย 5 ลงตวั
4) จานวนทห่ี ารด้วย 5 ไมล่ งตวั

ความนา่ จะเป็น ม.5 12
7. สามีภรรยาคหู่ นง่ึ ตอ้ งการมลี กู 2 คน ถา้ สมมตวิ า่ โอกาสที่ลูกแต่ละคนจะเป็นชายหรือหญงิ เท่ากัน จงหาความนา่ จะเปน็ ที่
1) มลี ูกเปน็ ชายทั้งคู่หรอื หญงิ ท้งั คู่
2) มีลูกเปน็ หญงิ อยา่ งนอ้ ยหนึง่ คน

8. กลอ่ งใบหนึง่ บรรจหุ ลอดไฟ 5 หลอด ซึง่ เปน็ หลอดดี 3 หลอด และหลอดเสีย 2 หลอด ถ้าส่มุ หยิบหลอดไฟ 2 หลอด พร้อม
กนั จงหาความน่าจะเป็นทจ่ี ะไดห้ ลอดดี 1 หลอด และหลอดเสีย 1 หลอด

9. ในล้นิ ชกั มถี งุ เท้าท่ีจัดเปน็ คไู่ ว้ 4 คู่ โดยเป็นถงุ เท้าสดี า 2 คู่ และสีขาว 2 คู่ ถา้ สมุ่ หยิบถงุ เทา้ 2 คพู่ รอ้ มกนั จงหาความนา่ จะ
เป็นที่จะไดถ้ ุงเท้าทัง้ สองคเู่ ปน็ สเี ดยี วกนั

10. ในการทอดลูกเตา๋ ทเี่ ที่ยงตรงสองลูกพร้อมกนั หนง่ึ ครง้ั จงหาความนา่ จะเป็นท่ีผลคูณของแต้มเป็นจานวนคู่

ความนา่ จะเป็น ม.5 13
11. ข้าวตังสุ่มหยิบลูกบอล 2 ลูก จากถุงใบหนง่ึ ซง่ึ มลี กู บอลสแี ดง 2 ลกู และสเี ขยี ว 2 ลกู จงหาความนา่ จะเป็นที่จะหยบิ ได้ลกู
บอลสแี ดงและสเี ขยี วอย่างละ 1 ลกู เมื่อกาหนดให้
1) หยบิ ลูกบอล 2 ลูก พร้อมกัน
2) หยิบลกู บอลทีละลกู โดยไม่ใส่คนื กอ่ นจะหยบิ ลกู บอลลกู ทส่ี อง
3) หยิบลกู บอลทลี ะลกู โดยใสค่ นื กอ่ นจะหยิบลกู บอลลกู ทสี่ อง

12. นักกีฬาคนหนึ่งมเี สือ้ กีฬา 5 ตัว เป็นเส้ือสขี าว 3 ตวั สีฟา้ 2 ตวั และมีกางเกงกฬี า 4 ตัว เปน็ กางเกงสขี าว 1 ตัว สเี ทา 3
ตัว ถา้ นักกฬี าคนนีแ้ ตง่ ตัวเพ่อื ไปเลน่ กีฬาโดยไม่เจาะจง จงหาความน่าจะเปน็ ที่นักกฬี าคนนี้จะสวม
1) เส้ือและกางเกงสเี ดียวกัน
2) เสอ้ื และกางเกงสตี า่ งกนั
3) เสื้อสีฟา้

13. ไพ่สารับหนึง่ มไี พท่ ัง้ หมด 52 ใบ ส่มุ หยบิ ไพ่ 3 ใบ พร้อมกันจากสารับ จงหาความน่าจะเปน็ ที่ได้
1) ไพ่ J,Q และ K อย่างละใบ
2) ไพท่ ม่ี ีหน้าสีแดง 2 ใบ
3) ไพท่ ี่มีหมายเลขหรอื ตัวอกั ษรเดยี วกันทั้งสามใบ
4) ไพ่ท่มี ีหมายเลขหรอื ตัวอกั ษรตา่ งกันทัง้ สามใบ

ความนา่ จะเป็น ม.5 14
14. กลอ่ งใบหน่งึ มีลูกบอล 30 ลกู เปน็ ลูกบอลสีแดง 10 ลูก สเี ขยี ว 10 ลูก และสีเหลอื ง 10 ลกู ถา้ หยบิ ลกู บอลครง้ั ละ 1 ลกู
2 คร้ัง จงหาความนา่ จะเปน็ ที่
1) ได้ลกู บอลลูกแรกเปน็ สีแดงและลูกบอลลูกท่สี องเป็นสีเหลือง เมอ่ื กาหนดให้หยิบลูกบอลลกู แรกแลว้ ไม่ใส่คนื ก่อนจะหยิบลกู
บอลลกู ท่สี อง
2) ได้ลูกบอลลูกแรกเป็นสแี ดงและลูกบอลลกู ที่สองเป็นสีเหลอื ง เมอื่ กาหนดใหห้ ยบิ ลูกบอลลูกแรกแล้วใส่คืนก่อนจะหยิบลูก
บอลลูกที่สอง
3) ได้ลกู บอลสีเขยี วทั้งสองครั้ง เมอ่ื กาหนดให้หยบิ ลูกบอลลกู แรกแลว้ ใส่คืนก่อนจะหยบิ ลูกบอลลกู ทสี่ อง
4) ไดล้ ูกบอลสีเขียวทัง้ สองครงั้ เมอ่ื กาหนดให้หยบิ ลกู บอลลูกแรกแลว้ ไมใ่ ส่คืนก่อนจะหยิบลกู บอลลูกทส่ี อง
5) ไดล้ กู บอลสีแดงอย่างน้อย 1 ลกู เมือ่ กาหนดใหห้ ยิบลกู บอลลูกแรกแล้วไมใ่ ส่คนื ก่อนจะหยิบลูกบอลลูกทสี่ อง
6) ไม่ไดล้ ูกบอลสีแดง เม่ือกาหนดให้หยบิ ลูกบอลลูกแรกแลว้ ใสค่ ืนกอ่ นจะหยบิ ลูกบอลลกู ทส่ี อง

15. วันภาษาไทยแหง่ ชาติตรงกับวนั ที่ 29 กรกฎาคม ของทุกปี ซงึ่ ในปีน้โี รงเรยี นไดจ้ ดั ประกวดแต่งกลอนสด โดยมีผเู้ ขา้ รอบ
สดุ ท้าย 3 คน ถา้ ผเู้ ข้าแขง่ ขนั แตล่ ะคนต้องสุม่ หัวขอ้ ทีจ่ ะแตง่ กลอนสด 1 หวั ข้อ จากหวั ขอ้ ที่มีอยู่ 5 ขอ้ จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ี
มผี ู้เขา้ แขง่ ขนั 2 คน สมุ่ ไดห้ ัวขอ้ เดียวกัน และอีกคนไดห้ ัวขอ้ อ่นื

ความนา่ จะเป็น ม.5 15
16. บริษทั แห่งหนง่ึ มีตาแหนง่ ทตี่ า่ งกันวา่ งอยู่ 5 ตาแหนง่ โดยเปน็ ตาแหน่งสาหรับผชู้ าย 3 ตาแหน่ง และตาแหนง่ สาหรับ
ผู้หญิง 2 ตาแหนง่ ถา้ มผี มู้ าสมัครเขา้ ทางานเปน็ ผู้ชาย 6 คน และผหู้ ญิง 5 คน
1) หากศวิ ชั เปน็ หน่ึงในผู้สมคั รงานชาย จงหาความน่าจะเป็นที่ศวิ ัชจะไดเ้ ขา้ ทางานท่บี ริษทั น้ี
2) หากสร้อยและปรายฟ้าเปน็ สองคนในผูส้ มัครงานหญิง จงหาความนา่ จะเปน็ ทส่ี รอ้ ยจะได้เขา้ ทางาน แตป่ รายฟ้าไม่ได้เข้า
ทางานทบ่ี ริษทั นี้

17. นานกั เรียนชาย 4 คน และนกั เรยี นหญิง 4 คน มายนื เรยี งแถวหนา้ กระดาน จงหาความนา่ จะเปน็ ทน่ี ักเรียนชายและ
นักเรียนหญงิ จะยนื สลับกนั

18. ทรายส่งั ไอศกรมี 5 ลูก เปน็ รสวานลิ ลา ชาเขียว สตรอวเ์ บอรร์ ี เผอื ก และช็อกโกแลตอย่างละ 1 ลกู ถา้ คนขายนาไอศกรมี
แต่ละลูกมาวางเรียงซอ้ นกนั บนโคนในแนวตงั้ แบบสมุ่ จงหาความน่าจะเปน็ ทไี่ อศกรีมลกู บนสุดเปน็ รสวานิลลา และไอศกรีมลูก
กลางเปน็ รสชาเขียว

19. บริษัทหนง่ หนึ่งฉลองครบรอบ 10 ปี ในวนั ที่ 10 พฤศจิกายน ค.ศ. 2011 จึงจดั กิจกรรมมอบโชคให้แก่ลกู ค้า มรี างวลั ใหญ่
1 รางวลั โดยบริษัทนาตัวเลข 1,0,1,0,1,1,2,0,1,1 มาจัดเรียงเป็นรหสั 10 หลัก แล้วส่งใหก้ บั ลูกค้าแบบสุ่ม จากนัน้ จึงใช้
คอมพิวเตอรส์ ุ่มรหัสเพื่อหาผโู้ ชคดี จงหาความนา่ จะเปน็ ทร่ี หสั ของผทู้ ไ่ี ด้รบั รางวัลใหญข่ นึ้ ตน้ ดว้ ย 1 และลงท้ายด้วย 2

ความนา่ จะเป็น ม.5 16
20. มหี นงั สือเคมีตา่ งกนั 3 เลม่ หนงั สอื คณติ ศาสตร์ต่างกัน 2 เลม่ และหนงั สือภาษาอังกฤษต่างกัน 4 เล่ม ตอ้ งการนาหนังสอื
ทั้งหมดมาวางเรยี งบนชน้ั หนังสอื ชั้นหนึ่ง จงหาความน่าจะเป็นท่ี
1) หนังสือคณิตศาสตรอ์ ยใู่ นตาแหนง่ หัวแถวและท้ายแถว
2) หนังสือวิชาเดยี วกนั อยู่ตดิ กัน

21. สุ่มจานวนคสี่ ามหลกั โดยเลขโดดในแตล่ ะหลักไมซ่ ้ากัน จงหาความน่าจะเปน็ ทเ่ี ป็นจานวนคน่ี ี้มากกว่า 300 แตน่ ้อยกวา่
900

22. ต้องการนาหลอดไฟสีขาว 4 หลอด สีแดง 5 หลอด และสนี ้าเงนิ 6 หลอด ไปประดับร้วั ในแนวเสน้ ตรง ถา้ หลอดไฟสี
เดยี วกันถือว่าเหมือนกนั จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ี
1) หลอดไฟสเี ดียวกันอยตู่ ิดกนั ทั้งหมด
2) หลอดไฟสขี าวอยู่ทางซา้ ยสดุ และหลอดไฟสีน้าเงนิ อย่ทู างขวาสดุ

ความนา่ จะเป็น ม.5 17
23. กลอ่ งใบหนึ่งมลี กู บอลท่ีแตกตา่ งกัน 11 ลกู เป็นลกู บอลสแี ดง 5 ลกู สขี าว 3 ลูก และสนี า้ เงิน 3 ลกู ถา้ ต้องการหยบิ ลูก
บอล 3 ลกู พร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นทไี่ ด้
1) ลกู บอลครบทุกสี
2) ลกู บอลสแี ดงอย่างนอ้ ย 1 ลูก
3) ลกู บอลสีนา้ เงนิ อยา่ งนอ้ ย 1 ลกู และไมไ่ ดล้ ูกบอลสีขาว

24. สมุ่ จานวนหกหลกั ทส่ี ร้างจากการนาเลขโดด 6 ตัว คือ 0,4,4,5,5,5 มาจัดเรียง จงหาความน่าจะเปน็ ท่จี านวนน้ี
1) อยู่ระหวา่ ง 400,000 และ 500,000
2) มากกวา่ 500,000
3) มากกว่า 400,000 และเป็นจานวนคู่

25. ถา้ ต้องการจัดลูกเสือ 5 คน และเนตรนารี 6 คน นั่งล้อมเปน็ วงกลมรอบกองไฟ จงหาความนา่ จะเป็นทีไ่ มม่ ลี กู เสือสองคน
ใดนัง่ ตดิ กัน

ความนา่ จะเป็น ม.5 18

3.3 กฎที่สาคัญบางประการของความน่าจะเปน็

ปริภมู ติ ัวอย่างและเหตุการณต์ า่ งเปน็ เซต โดยในทีน้ี เอกภพสมั พัทธค์ อื ปริภูมติ วั อยา่ ง ซึ่งมเี หตุการณเ์ ป็นสับเซต ดงั นนั้ สมบตั ิ
พ้นื ฐานของความนา่ จะเป็นไดม้ าจากสมบตั ิของการดาเนินการของเซต

ให้ S เปน็ ปรภิ มู ติ ัวอยา่ งของการทดลองส่มุ หนึ่ง และ A, B เปน็ เหตุการณ์ น่นั คอื A  S และ B  S

จะได้ A  B เป็นเหตุการณซ์ ึง่ ประกอบด้วยสมาชิกของเหตุการณ์ A หรือเหตุการณ์ B หรอื ท้ังสองเหตุการณ์ นัน่ คือ

A  B = x x  A หรอื x  B

A  B เป็นเหตุการณซ์ ่งึ ประกอบดว้ ยสมาชิกของเหตุการณ์ A หรอื เหตกุ ารณ์ B หรอื ทง้ั สองเหตุการณ์ นัน่ คือ

A  B = x x  A และ x  B

ถ้า AB =  แล้วจะเรยี กเหตุการณ์ A และ B ว่า เหตกุ ารณ์ท่ีไม่เกดิ รว่ มกัน(mutually exclusive events)

และ A เป็นเหตุการณท์ ป่ี ระกอบดว้ ยสมาชกิ ที่อยู่ในปริภมู ิตวั อย่าง S แตไ่ มอ่ ย่ใู นเหตกุ ารณ์ A

นั่นคอื A = x x  S แต่ x  A

ตัวอย่างที่ 16
ในการทอดลกู เต๋าสองลูกพรอ้ มกนั หนงึ่ ครงั้ ถ้าผลลพั ธ์ท่ีสนใจคือแตม้ บนหนา้ ลกู เต๋าท้ังสอง
ให้ A แทนเหตุการณท์ แ่ี ตม้ บนหนา้ ลกู เต๋าลกู แรกเป็น 1
และ B แทนเหตกุ ารณ์ทแ่ี ตม้ บนหนา้ ลูกเตา๋ ลกู ทสี่ องเป็น 1
จงเขยี นเหตกุ ารณต์ ่อไปนี้ในรูปของเซต A และ B พรอ้ มทั้งเขียนเหตกุ ารณด์ ังกลา่ วแบบแจกแจงสมาชกิ
1) เหตุการณ์ทลี่ กู เตา๋ ข้ึนแตม้ 1 อย่างน้อยหนึ่งลกู
2) เหตกุ ารณ์ทล่ี กู เตา๋ ทง้ั สองลกู ไมข่ นึ้ แต้ม 1 เลย
3) เหตกุ ารณ์ทลี่ กู เตา๋ ท้งั สองลกู ขนึ้ แต้ม 1
4) เหตุการณ์ทลี่ ูกเตา๋ ขึ้นแตม้ 1 เพียงลูกเดยี ว

ความนา่ จะเป็น ม.5 19

ทฤษฎบี ท

ให้ S เปน็ ปรภิ มู ติ วั อยา่ งซ่ึงเป็นเซตจากดั และ A,B เป็นเหตุการณ์ใด ๆ จะได้วา่
1. P(A B) = P(A) + P(B) − P(A  B)
2. ถา้ A B =  แล้ว P(A B) = P(A) + P(B)
3. P(A) =1− P(A)
4. P(A − B) = P(A) − P(A B)

พิสูจน์

ความนา่ จะเป็น ม.5 20

ตวั อยา่ งท่ี 17
ในการทอดลูกเต๋าท่ีเท่ยี งตรงสองลกู พร้อมกันหนึง่ ครั้ง จงหาความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์ท่ี
1) ลูกเต๋าทั้งสองลกู ขน้ึ แตม้ เทา่ กันหรอื ผลบวกของแต้มมากกว่า 10
2) ลกู เต๋าทัง้ สองลูกข้นึ แตม้ เท่ากันหรือผลบวกของแตม้ เปน็ 7
3) ลกู เตา๋ ท้งั สองลูกขน้ึ แตม้ ไมเ่ ท่ากนั
4) ลกู เต๋าทง้ั สองลกู ขน้ึ แตม้ เทา่ กนั แตผ่ ลบวกของแตไ่ ม่มากกวา่ 10

ตัวอยา่ งที่ 18
กาหนดให้ A และ B เป็นเหตกุ ารณ์ โดยที่ P(A) = 0.6, P(B) = 0.4 และ P(A − B) = 0.2 จงหา P(A  B)

ตวั อยา่ งที่ 19
พิจารณาพยากรณ์อากาศของวนั น้กี ับวนั พรงุ่ น้ี ถา้ ความน่าจะเป็นทฝี่ นจะตกวันนีเ้ ปน็ 0.7 ความนา่ จะเป็นที่ฝนจะไมต่ กวัน
พร่งุ น้เี ป็น 0.5 และความน่าจะเปน็ ทีม่ อี ย่างนอ้ ยหนงึ่ วันทฝ่ี นจะไม่ตกเป็น 0.6 จงหาความนา่ จะเป็นทม่ี อี ยา่ งน้อยหน่ึงวนั ที่ฝน
จะตก

ความนา่ จะเป็น ม.5 21

แบบฝกึ หัด 3.3

1. ในการโยนเหรยี ญ 3 เหรยี ญ พรอ้ มกันหนงึ่ ครงั้ ถ้าผลลพั ธ์ทสี่ นใจคือหน้าของเหรียญท้งั สาม

ให้ E1 แทนเหตุการณท์ ่เี หรียญท้งั สามขนึ้ หน้าเหมือนกนั
E2 แทนเหตุการณท์ มี่ เี หรียญขนึ้ หวั อยา่ งน้อยสองเหรยี ญ

และ E3 แทนเหตุการณ์ทมี่ ีเหรยี ญขนึ้ กอ้ ยมากกวา่ เหรยี ญข้นึ หัว
จงหา

1) ปริภมู ิตัวอย่าง 6) E2  E3
7) E1  E2
2) E1 8) E1  E3
3) E2 9) E2
4) E3 10) E3
5) E1  E2

2. ความน่าจะเปน็ ท่พี ินิจจะได้รับทนุ ไปเรียนตอ่ ทสี่ หรฐั อเมรกิ าเทา่ กบั 3 ความนา่ จะเปน็ ทีพ่ นิ ิจจะไดร้ บั ทนุ ไปเรียนต่อท่ี

4

ประเทศอังกฤษเท่ากับ 7 และความนา่ จะเป็นที่พนิ ิจจะไดร้ บั ทนุ ไปเรยี นตอ่ ทีส่ หรฐั อเมรกิ าหรอื ประเทศอังกฤษเทา่ กับ 9

10 10

จงหาความน่าจะเปน็ ทีพ่ ินจิ จะได้รบั ทนุ ไปเรียนตอ่ ทท่ี ง้ั สองประเทศ

ความนา่ จะเป็น ม.5 22

3. ให้ A และ B เปน็ เหตุการณ์ทไี่ ม่เกิดร่วมกัน ถ้า P(A) = 0.4 และ P(B) = 0.5 จงหา
1) P(A B)
2) P(A)
3) P(A  B)

4. บรษิ ัทแหง่ หนึง่ มตี าแหนง่ ว่าง 1 ตาแหนง่ มผี ้สู มคั รเข้าทางาน 3 คน คอื กานต์ ขิม และคณิน ถา้ โอกาสท่ีกานต์และขมิ จะได้
เข้าทางานทีบ่ ริษัทนีม้ ีเท่ากัน แต่คณินมโี อกาสเป็น 3 เท่าของกานต์ จงหาความนา่ จะเป็นที่
1) กานต์จะไดเ้ ข้าทางานทบ่ี ริษัทนี้
2) คณนิ ไมไ่ ดเ้ ข้าทางานท่ีบรษิ ัทน้ี

5. ให้ A และ B เป็นเหตุการณโ์ ดยท่ี P(A) = 0.6, P(A− B) = 0.2 และ P(A B) = 0.8 จงหา P(B)

ความนา่ จะเป็น ม.5 23
6. จากการสอบถามวธิ เี ดินทางมาทางานของพนักงานในบริษทั แหง่ หนงึ่ ได้ขอ้ มูลว่า พนกั งาน 50% เดนิ ทางด้วยรถประจาทาง
พนักงาน 30% เดินทางดว้ ยรถไฟ และพนักงาน 20% เดนิ ทางด้วยรถประจาทางและรถไฟฟา้ ถ้าสุ่มพนกั งานมา 1 คน จงหา
ความนา่ จะเป็นที่พนักงานคนนจ้ี ะไมไ่ ดเ้ ดนิ ทางดว้ ยรถประจาทางหรอื รถไฟฟ้า

7. โรงพยาบาลแห่งหนงึ่ มผี ูป้ ว่ ยเปน็ โรคหวั ใจหรอื เบาหวาน 60% มผี ูป้ ่วยเปน็ โรคหวั ใจ 28% และมผี ปู้ ่วยเปน็ โรคเบาหวาน
41% ถา้ สุม่ ผู้ป่วยมา 1 คน จงหาความน่าจะเป็นทผ่ี ้ปู ่วยคนนเี้ ป็นโรคเบาหวานเพยี งอย่างเดียว

8. ในการทอดลูกเต๋าทเี่ ทยี่ งตรงสองลูกพร้อมกันหน่งึ ครั้ง จงหาความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณท์ ี่
1) ลกู เต๋าทง้ั สองลกู ขึ้นแต้มไมเ่ ทา่ กนั หรือผลบวกของแต้มเป็น 8
2) ลกู เต๋าท้งั สองลูกข้นึ แต้มเทา่ กันหรือผลบวกของแต้มน้อยกว่า 8
3) ลกู เตา๋ ทั้งสองลกู ข้นึ แตม้ เทา่ กันหรอื ผลบวกของแตม้ ไมม่ ากกวา่ 6

ความนา่ จะเป็น ม.5 24

9. สุ่มจานวนหน่งึ จานวนจาก 1, 2,3,...,100 จงหาความน่าจะเป็นท่ีจานวนน้ี

1) เป็นจานวนคู่หรือลงทา้ ยดว้ ย 3
2) เป็นจานวนคี่หรือหารด้วย 5 ลงตัว
3) เป็นจานวนคู่และหารดว้ ย 3 ลงตวั
4) เปน็ จานวนคู่หรือหารด้วย 3 ลงตัว

ความนา่ จะเป็น ม.5 25

แบบฝึกหัดทา้ ยบท เร่อื ง ความนา่ จะเปน็

1. โรงงานแหง่ หนึ่งประกอบรถยนตจ์ าหน่าย โดยมตี ัวถงั รถ 2 ชนดิ เคร่ืองยนต์ 2 ชนดิ และสีพน่ รถ 3 สี
1) จงเขยี นแผนภาพแสดงผลลัพธข์ องการผลิตรถยนตแ์ บบตา่ งๆ
2) จงหาปรภิ มู ติ วั อยา่ งของการผลติ รถยนต์แบบต่างๆ

2. ในการโยนเหรยี ญหนึง่ เหรียญสามคร้ัง ถา้ ผลลพั ธท์ ี่สนใจคอื หนา้ ของเหรียญ จงหา
1) ปริภมู ิตัวอย่าง
2) เหตกุ ารณท์ เ่ี หรยี ญขึน้ หวั เพียงหนึง่ คร้งั
3) เหตุการณ์ทเ่ี หรียญขึ้นหวั สามคร้ัง
4) เหตกุ ารณท์ เี่ หรียญข้ึนหัวอย่างนอ้ ยหนึ่งครั้ง
5) เหตุการณท์ เี่ หรียญไมข่ ้นึ หัวเลย

3. กล่องใบหนึ่งบรรจุลกู บอล 3 ลกู เป็นลกู บอลสีแดง สีขาว และสเี ขยี วอย่างละ 1 ลกู ถ้าสุ่มหยิบลูกบอลครัง้ ละ 1 ลกู 2 ครั้ง
โดยหยิบลกู บอลลูกแรกแล้วใส่คนื ก่อนจะหยบิ ลูกบอลลูกทส่ี อง จงหา
1) ปริภูมิตวั อยา่ ง
2) เหตุการณ์ทไี่ ดล้ กู บอลสีขาวและสแี ดงอย่างละ 1 ลกู

ความนา่ จะเป็น ม.5 26

4. บรษิ ทั แห่งหน่งึ มจี านวนใบสงั่ ซ้อื สินค้าในเดอื นหนง่ึ จาแนกตามภาคต่าง ๆ ดงั นี้

ภาค จานวนใบส่ังซื้อสนิ คา้

เหนือ 212
กลาง 389
ตะวนั ออก 124
ตะวนั ออกเฉยี งเหนือ 105
ใต้ 170

ถา้ ผูจ้ ัดการสมุ่ ใบส่งั ซ้ือสนิ ค้ามา 1 ใบ จงหาความน่าจะเป็นที่ใบสง่ั ซอื้ สินคา้ ทสี่ มุ่ มาจะเป็นใบสงั่ ซ้อื สินคา้ จากภาค
1) เหนอื
2) กลาง
3) ตะวนั ออก
4) ตะวันออกเฉยี งเหนือ
5) ใต้

5. นักเรยี น 100 คน สวมรองเท้าขนาดตา่ ง ๆ ดงั แสดงในตารางต่อไปนี้

ขนาดรองเท้า(เบอร์) 5 6 7 8 9 10

จานวนนกั เรยี น(คน) 3 12 35 27 16 7

ถ้าสมุ่ นกั เรียนมา 1 คน จงหาความน่าจะเป็นทนี่ ักเรยี นคนนจี้ ะสวมรองเท้า
1) เบอร์ 7
2) เล็กกว่าเบอร์ 8
3) เบอร์ 8 หรือ 9
4) เบอร์ 5 หรอื 10
5) ใหญ่กวา่ เบอร์ 10

ความนา่ จะเป็น ม.5 27

6. ตารางแสดงจานวนพนกั งานขายของบรษิ ทั แหง่ หนงึ่ จาแนกตามยอดขายท่ีทาไดเ้ ปน็ ดงั น้ี

ยอดขาย(บาท) จานวนพนกั งานขาย(คน)
ต่ากวา่ 10,000 30
10,000-19,999 50
20,000-29,999 80
30,000-39,999 70
ตั้งแต่ 40,000 ข้นึ ไป 20

ถ้าส่มุ พนกั งานขายในบริษัทนมี้ า 1 คน จงหาความน่าจะเปน็ ทีพ่ นกั งานขายคนน้จี ะมียอดขาย
1) ตง้ั แต่ 10,000 ถึง 19,999 บาท
2) น้อยกวา่ 20,000 บาท
3) น้อยกว่า 10,000 บาท หรืออย่างนอ้ ย 40,000 บาท

7. หมนุ วงลอ้ ทม่ี หี มายเลข 1-7 เขยี นกากบั ไวด้ ังรูป สมมตวิ ่าในการหมนุ แตล่ ะครั้งโอกาสทลี่ กู ศรจะชที้ ่ีชอ่ งใดชอ่ งหนง่ึ มเี ทา่ กนั
ถา้ หมุนวงล้อหนงึ่ คร้งั จงหาความน่าจะเป็นท่ลี กู ศรจะชีท้ ี่
1) ชอ่ งที่มีหมายเลข 1 กากับไว้
2) ช่องที่มหี มายเลข 6 กากบั ไว้
3) ชอ่ งที่มีหมายเลขที่กากบั เป็นจานวนคู่
4) ชอ่ งทีม่ ีหมายเลขที่กากบั เป็นจานวนคี่
5) ชอ่ งทม่ี ีหมายเลขท่กี ากบั เปน็ จานวนเฉพาะ
6) ช่องที่มหี มายเลขทกี่ ากบั เปน็ จานวนทีน่ ้อยกว่า 8

8. ในการโยนเหรยี ญที่เท่ียงตรงหนึง่ เหรยี ญหา้ ครงั้ จงหาความนา่ จะเป็นท่เี หรยี ญขน้ึ หัวในการโยนครงั้ แรก

ความนา่ จะเป็น ม.5 28

9. สามภี รรยาคหู่ นงึ่ ต้องการมลี กู 3 คน ถ้าสมมติว่าโอกาสทล่ี ูกแต่ละคนจะเป็นชายหรอื หญงิ เทา่ กัน จงหาความนา่ จะเปน็
1) ลูกทง้ั สามคนเป็นหญงิ
2) มีลูกชายอยา่ งนอ้ ย 2 คน
3) ลูกคนแรกและคนสุดทา้ ยเป็นชาย

10. ในการทอดลูกเต๋าที่เทย่ี งตรงสองลูกพร้อมกันหนงึ่ ครงั้ จงหาความนา่ จะเป็นท่ี
1) ผลบวกของแต้มบนหนา้ ลูกเต๋าท้ังสองมากกว่า 3
2) แต้มบนหนา้ ลกู เตา๋ ทง้ั สองไมเ่ ทา่ กนั

11. หอ้ งประชุมแหง่ หนึง่ มปี ระตู 6 บาน จงหาความนา่ จะเปน็ ทผี่ เู้ ขา้ ประชุมคนหนึง่ จะเขา้ และออกโดยไม่ใชป้ ระตบู านเดมิ

12. ขอ้ สอบขอ้ หน่ึงมีตัวเลือก 5 ตวั เลือก แต่มตี ัวเลอื กที่ถูกเพียงตวั เลือกเดียว ถา้ นักเรียนคนหนึง่ ทาขอ้ สอบขอ้ นโี้ ดยไมม่ ี
ความรู้เลย จงหาความน่าจะเป็นทนี่ ักเรียนคนน้ีจะตอบผดิ

13. จากการสารวจความนยิ มของนกั เรียนในโรงเรียน พบวา่ ความนา่ จะเปน็ ทน่ี กั เรียนจะซื้อเครอื่ งดมื่ แตล่ ะชนิดเปน็ ดังนี้

P(E1) = 1, P(E2 ) = 3. P( E3 ) = 2, P(E4 ) =2
6 10 5 15

เมอ่ื E1, E2, E3, E4 เปน็ เหตกุ ารณท์ ี่นกั เรียนจะซอื้ น้าสม้ น้าเก๊กฮวย นม และนา้ อดั ลม ตามลาดับ ถา้ ร้านคา้ ต้องการนา

เครือ่ งดมื่ มาขายเพยี ง 3 ชนิด รา้ นค้าควรนาเคร่ืองดื่มชนดิ ใดมาขายบา้ ง จงึ จะขายไดม้ ากที่สุด

ความนา่ จะเป็น ม.5 29
14. ในการแข่งขันวิง่ ระยะทาง 100 เมตร มผี ้เู ข้าแข่งขนั จานวน 5 คน ไดแ้ ก่ พมิ พ์ หนึ่ง อ้อย เตย และมะลิ ถ้าผู้เขา้ แขง่ ขันทุก
คนว่ิงเขา้ เส้นชัยในลาดบั ท่แี ตกต่างกัน จงหาความน่าจะเปน็ ท่เี ตยจะวง่ิ เขา้ เส้นชยั เปน็ อนั ดับท่ี 1 หรอื 2

15. กลอ่ งใบหนึง่ บรรจลุ ูกบอลสีแดง 3 ลกู สีขาว 2 ลูก และสดี า 5 ลกู ถา้ สุ่มหยบิ ลกู บอลจากกลอ่ ง 2 ลูก โดยหยิบทีละลกู
และไมใ่ ส่คนื กอ่ นจะหยิบลกู บอลลกู ทส่ี อง จงหาความน่าจะเปน็ ท่หี ยบิ ได้
1) ลูกบอลสีแดงท้ังสองลกู
2) ลูกบอลสีขาวและสดี า

16. กลอ่ งใบหนึง่ บรรจุลูกบอล 8 ลกู เปน็ ลกู บอลสีแดง 2 ลูก สเี ขยี ว 3 ลกู และสเี หลอื ง 3 ลูก ถา้ สุ่มหยิบลูกบอลจากกลอ่ ง
คร้งั ละ 1 ลูก 3 ครั้ง โดยหยบิ แล้วไม่ใส่คืนก่อนจะหยบิ ลกู บอลลูกถดั ไป จงหาความนา่ จะเปน็ ทค่ี รั้งท่ี 1 หยิบไดล้ กู บอลสีแดง
และคร้งั ท่ี 2 และ 3 ไดล้ ูกบอลสเี หลือง

17. กล่องใบหนงึ่ บรรจุลกู แกว้ 12 ลูก เปน็ ลูกแกว้ สเี ขียว 4 ลูก สีชมพู 3 ลกู และสีฟา้ 5 ลูก ถ้าสมุ่ หยบิ ลูกแก้วจากกลอ่ ง 3
ลกู พรอ้ มกนั จงหาความนา่ จะเป็นท่ีจะไดล้ กู แกว้ ครบทกุ สี

18. นกั เรยี นห้องหนงึ่ มี 30 คน เป็นผชู้ าย 12 คน และผหู้ ญงิ 18 คน ถ้าครูสมุ่ นกั เรยี นสองคนใหอ้ อกมาทาโจทย์หน้าชั้นเรยี น
จงหาความน่าจะเป็นทีน่ กั เรยี นท้งั สองเปน็ ผชู้ ายทงั้ คูห่ รือผู้หญงิ ทั้งคู่

ความนา่ จะเป็น ม.5 30
19. ถุงใบหนึง่ มีชอ็ กโกแลต 40 ชิ้น โดยห่อด้วยกระดาษสีแดง 30 ชิ้น และหอ่ ดว้ ยกระดาษสีเขียว 10 ชน้ิ
1) ถ้าวชิระหยบิ ช็อกโกแลต 1 ชนิ้ ออกจากถงุ จงหาความน่าจะเป็นที่เขาหยิบไดช้ ็อกโกแลตท่หี อ่ ด้วยกระดาษสแี ดง

2) ถา้ วชิระหยบิ ชอ็ กโกแลต 2 ชิน้ ออกจากถุงพร้อมกนั จงหาความนา่ จะเป็นที่เขาหยบิ ได้ช็อกโกแลตทห่ี ่อด้วยกระดาษสี
เดยี วกัน

3) ถา้ วชิระหยิบชอ็ กโกแลต 10 ชน้ิ ออกจากถงุ พรอ้ มกัน จงหาความนา่ จะเป็นทเี่ ขาหยิบได้ชอ็ กโกแลตท่หี อ่ ดว้ ยกระดาษสแี ดง
อย่างน้อยหน่งึ ชิน้

20. ในเลีย้ งของบรษิ ทั แหง่ หนง่ึ พนักงานเขา้ รว่ ม 30 คน เปน็ ผูห้ ญิง 20 คน และผู้ชาย 10 คน ถา้ ทาสลากใส่ช่อื ของพนักงานที่
เขา้ ร่วมงาน แล้วสุ่มหยบิ สลากครงั้ ละ 1 ใบ 2 ครั้ง เพือ่ แจกรางวัล โดยหยิบแล้วไม่ใสค่ ืนกอ่ นจะหยบิ สลากใบทสี่ อง จงหา
ความน่าจะเปน็ ทีพ่ นักงานท่ีได้รางวัลเป็นผูช้ ายทั้งคู่

21. ในการคัดเลอื กพนักงานเพ่ือเปน็ กรรมการฝา่ ยบริหารแทนกรรการ 2 คน ท่ีพ้นตาแหน่งตามวาระ มีพนกั งานทมี่ คี ุณสมบตั ิ
ครบทีจ่ ะเป็นกรรมการได้ 10 คน โดยเป็นผูช้ าย 7 คน และผหู้ ญงิ 3 คน ถ้าประธานบริษทั ตดั สินใจเลอื กพนกั งาน 2 คน จาก
10 คนนี้ โดยไมเ่ จาะจง จงหาความน่าจะเป็นท่ีพนกั งานที่ได้รับเลือกเปน็ กรรมการท้ังสองนี้
1) เป็นผชู้ ายหนงึ่ คนและผ้หู ญงิ หน่งึ คน
2) เปน็ ผู้หญงิ อยา่ งน้อยหน่งึ คน
3) เป็นผชู้ ายอย่างนอ้ ยหนง่ึ คน

ความนา่ จะเป็น ม.5 31
22. กลอ่ งใบหนง่ึ บรรจุบัตร 5 ใบ ซงึ่ มีหมายเลข 1,2,3,4 และ 5 กากับไว้ ถา้ สุ่มหยบิ บตั รจากกล่องใบน้ี 3 ใบพรอ้ มกัน จงหา
ความนา่ จะเป็นท่ีผลรวมของหมายเลขบนบตั รทั้งสามมากกว่า 10

23. ในชมรมกรฑี ามนี กั กรฑี าทง้ั หมด 40 คน โดยมฝี าแฝด 3 คู่ ถา้ สมุ่ นกั กรฑี ามา 1 คน จงหาความนา่ จะเปน็ ที่นักกรีฑาคนนี้
จะมฝี าแฝด

24. ตะกรา้ ใบหนึ่งมีเงาะ 4 ผล สม้ 3 ผล และชมพู่ 5 ผล ถ้าสุม่ หยบิ ผลไม้จากตะกรา้ 4 ผล จงหาความนา่ จะเปน็ ทไ่ี ด้เงาะ 4
ผล และสม้ กับชมพอู่ ย่างละ 1 ผล

25. นกั เรยี นคนหน่ึงมีจดหมาย 3 ฉบับ ถา้ มตี ูจ้ ดหมาย 5 ตู้ จงหาความนา่ จะเป็นท่ีนกั เรยี นคนนจ้ี ะใสจ่ ดหมายในตูท้ ไ่ี มซ่ ้ากนั
เลย

26. กล่องใบหนึง่ บรรจุบัตร 5 ใบ ซงึ่ มหี มายเลข 2,5,6,7 และ 8 กากบั ไว้ ถ้าสุ่มหยบิ บัตรตวั เลข 2 ใบ โดยหยิบทลี ะใบและใส่
คืนกอ่ นจะหยิบบตั รใบท่สี อง จงหาความนา่ จะเป็นที่
1) บตั รทั้งสองใบมีหมายเลขเดยี วกัน
2) บัตรท้งั สองใบมหี มายเลขไมซ่ ้ากนั
3) บตั รทั้งสองใบมีหมายเลขเปน็ จานวนคู่
4) ผลบวกของหมายเลขบนบตั รทงั้ สองเปน็ จานวนคู่

ความนา่ จะเป็น ม.5 32
27. ชมรมหน่งึ มสี มาชิก 20 คน โดยสมศรแี ละสมปองเป็นสมาชกิ ของชมรมน้ดี ว้ ย ถา้ ใชก้ ารจบั สลากเลอื กคณะกรรมการชดุ
หนึ่งประกอบด้วยนายกชมรม อปุ นายกชมรม เลขานกุ าร และเหรญั ญกิ ตาแหนง่ ละ 1 คน จงหาความน่าจะเป็นที่สมศรไี ดเ้ ปน็
นายกชมรมและสมปองไดเ้ ป็นอปุ นายกชมรม

28. ไพ่สารบั หน่ึงมไี พท่ ั้งหมด 52 ใบ สมุ่ หยบิ ไพ่ 2 ใบพร้อมกันจากสารบั จงหาความน่าจะเปน็ ทีไ่ ด้
1) ไพ่ทีม่ หี น้าสีแดงทัง้ สองใบ
2) ไพ่โพดาและโพแดง
3) ไพ่ J ท้ังสองใบ

29. กล่องใบหนง่ึ บรรจุสลาก 10 ใบ โดยมหี มายเลข 1,2,3,….,10 กากับไว้ ถ้าแหวนสมุ่ หยบิ สลาก 2 ใบ โดยหยบิ ทลี ะใบ และ
ตอ้ งการใหผ้ ลบวกของหมายเลขบนสลากทง้ั สองเท่ากบั 10 จงพจิ ารณาวา่ แหวนควรจะใสส่ ลากคนื หรอื ไม่ใสค่ ืนก่อนจะหยิบ
สลากใบทส่ี อง จงึ จะมโี อกาสมากกวา่ กัน เพราะเหตุใด

30. ครคู นหน่งึ มเี ส้ือ 5 ตัว เป็นสดี า 1 ตัว สขี าว 4 ตวั และมกี างเกงขายาว 4 ตวั เปน็ สดี า 2 ตัว สเี ทา 2 ตัว ถ้าครคู นน้ีแตง่ ตวั
ออกจากบา้ นโดยไมเ่ จาะจง จงหาความน่าจะเปน็ ท่คี รูคนนจ้ี ะสวมเสอื้ และกางเกงสีตา่ งกัน

ความนา่ จะเป็น ม.5 33
31. พัดลมย่หี ้อหน่ึงมีบริษัท เอกชัย จากัด รบั มาจาหนา่ ยจานวน 20 เครื่อง มคี ณุ ภาพดมี าก 8 เคร่ือง มคี ณุ ภาพดี 9 เครื่อง
และมคี ณุ ภาพปานกลาง 3 เครอ่ื ง ถา้ นกั เรียนซือ้ พดั ลมยหี่ ้อนี้จากบริษทั ดงั กลา่ วจานวน 3 เครือ่ ง จงหาความนา่ จะเป็นท่ี
นักเรยี นจะได้พดั ลมท่ี
1) มีคณุ ภาพดมี ากทง้ั สามเคร่ือง
2) มีคณุ ภาพปานกลางท้งั สามเครอื่ ง
3) มีคุณภาพปานกลางอยา่ งนอ้ ย 1 เครอ่ื ง
4) มีคุณภาพดมี ากสองเคร่อื งและปานกลางหนึ่งเครื่อง
5) มคี ุณภาพดมี าก ดี และปานกลางอยา่ งละเครอื่ ง

32. ในวนั เปิดภาคเรยี น ทอรงุ้ ตอ้ งนาเงินไปจา่ ยคา่ กจิ กรรมนอกหลักสูตร ทอรงุ้ จงึ ฝากคุณอากดเงินทีต่ เู้ อทีเอ็มให้เพราะทุกเชา้
คุณอาจะไปตลาดและผา่ นตเู้ อทเี อ็มเสมอ แตเ่ ม่อื คณุ อาถงึ ตเู้ อทีปรากฏวา่ คณุ อาจารหสั บัตรเอทเี อ็มไดเ้ พยี ง 2 ตัวแรก และรวู้ ่า
เลขโดดอกี 2 ตัวทเ่ี หลอื แตกต่างกนั ถา้ รหสั บัตรเอทีเอม็ ประกอบด้วยเลขโดด 0,1,2,3,…,9 จานวน 4 ตัว จงหาความน่าจะเปน็
ทคี่ ุณอาจะเดารหัสบตั รเอทีเอ็มของทอรงุ่ ถกู ในการกดรหสั ครงั้ แรก

33. ร้านค้าแห่งหนง่ึ จัดกจิ กรรมมอบโชคใหแ้ กล่ ูกคา้ ที่มาซือ้ ของภายในรา้ น โดยจัดทากล่องบรรจุบตั รเงนิ สดมูลคา่ 100 บาท
จานวน 50 ใบ บตั รเงนิ สดมลู ค่า 25 บาท จานวน 100 ใบ และบัตรเงนิ สดมูลคา่ 10 บาท จานวน 350 ใบ ถา้ ลกู คา้ คนหน่ึง
สามารถส่มุ หยิบบตั รเงินสดจากกล่องได้พรอ้ มกัน 2 ใบ จงหาความน่าจะเป็นท่บี ตั รเงนิ สดท้ังสองใบที่ลกู คา้ คนนส้ี มุ่ หยบิ ไดม้ ี
มลู คา่ นอ้ ยกวา่ 100 บาท

34. ครจู ดั กลุ่มนกั เรียน 6 คน ซึ่งมฝี าแผดอยู่คหู่ นึง่ เปน็ 3 กล่มุ กลมุ่ ละ 2 คน จงหาความนา่ จะเปน็ ทฝี่ าแฝดคู่น้อี ยกู่ ลมุ่
เดียวกัน

ความนา่ จะเป็น ม.5 34
35. ลกู เต๋า 8 หนา้ มีลักษณะเปน็ ทรงแปดหนา้ ปรกติ แต่ละหน้าจะมีแต้มตั้งแต่ 1-8 ถา้ ทอดลูกเต๋า 8 หนา้ ทีเ่ ทีย่ งตรงสองลูก
พรอ้ มกัน จงหาความนา่ จะเปน็ ที่
1) ลูกเต๋าทง้ั สองลกู ขึน้ แต้มเทา่ กัน
2) ผลรวมของแตม้ บนหน้าลูกเต๋าท้งั สองหารดว้ ย 5 ลงตัว
3) ผลต่างของแตม้ บนหนา้ ลกู เตา๋ ทั้งสองเปน็ 2
4) ผลรวมของแตม้ บนหนา้ ลูกเตา๋ ท้งั สองเป็นจานวนคู่ และผลตา่ งของแตม้ บนหนา้ ลูกเตา๋ ทง้ั สองเป็น 4

36. บรษิ ัทนาเทีย่ วจัดโปรแกรมเท่ียวรอบเมืองลาปางสาหรบั กลมุ่ นกั ท่องเที่ยว 10 คน โดยใชร้ ถม้าท้งั หมด 3 คนั สองคันแรก
น่งั ได้คันละ 4 คน และคนั ที่สามนงั่ ได้ 2 คน ถ้ามีนักท่องเทย่ี ว 2 คน เปน็ เพอื่ นสนทิ กัน จงหาความน่าจะเป็นท่ีทั้งสองคนจะได้
นง่ั รถม้าคนั ทส่ี าม โดยไมส่ นใจตาแหน่งท่นี ่งั ในรถ

37. ร้านอาหารแห่งหนึ่งตอ้ งการประดบั ตกแต่งร้านโดยนาหลอดไฟนาหลอดไฟจานวน 10 หลอด ซงึ่ ประกอบดว้ ยหลดไฟสี
มว่ ง 3 หลอด สเี ขยี ว 2 หลอด สีนา้ เงนิ 4 หลอด และสเี หลอื ง 1 หลอด ไปติดเรยี งแนวเส้นตรง จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ี
1) หลอดไฟสเี ดียวกันอยตู่ ดิ กัน
2) หลอดไฟสมี ว่ งไม่อยตู่ ิดกนั

38. ลัดดาต้องการประดับตกแตง่ รวั้ บา้ นต้อนรับเทศกาลปีใหม่ โดยนาหลอดไฟทมี่ ีอยู่แล้วจานวน 10 หลอด ซง่ึ เป็นหลอดไฟสี
แดง 2 หลอด สีเขียว 3 หลอด สฟี า้ 2 หลอด สีมว่ ง สีชมพูและสสี ม้ อยา่ งละ 1 หลอด ไปติดเรียงในแนวเส้นตรง จงหาความ
นา่ จะเปน็ ที่หลอดไฟหลอดสดุ ท้ายเปน็ สมี ่วงหรอื สีสม้

ความนา่ จะเป็น ม.5 35
39. ครอบครัวสองครอบครัวไปรบั ประทานอาหารรว่ มกันทภ่ี ตั ตาคารแห่งหนึง่ ถ้าแต่ละครอบครวั ประกอบดว้ ยพอ่ แม่ และลกู
1 คน และโต๊ะอาหารเปน็ โตะ๊ กลมซ่ึงมี 6 ท่ีน่งั จงหาความนา่ จะเปน็ ที่
1) ไม่มีสมาชกิ ในครอบครัวเดยี วกนั น่ังติดกัน
2) สมาชิกในครอบครวั เดยี วกนั นัง่ ตดิ กัน

40. ครอบครวั หนงึ่ ประกอบด้วยพ่อ แม่ และลกู อกี 3 คน ไปรบั ประทานอาหารท่รี า้ นอาหารแหง่ หนง่ึ ถา้ โต๊ะอาหารเปน็ โต๊ะ
กลมซึง่ มี 5 ท่ีนัง่ จงหาความนา่ จะเป็นที่
1) ลกู ทง้ั สามคนน่ังติดกนั
2) พอ่ และแมไ่ ม่นัง่ ตดิ กนั

41. ถ้าความนา่ จะเป็นท่ีธงชยั จะสอบผา่ นวิชาคณิตศาสตรเ์ ปน็ 0.6 ความนา่ จะเปน็ ทธ่ี งชยั จะสอบผา่ นวชิ าภาษาองั กฤษเปน็
0.5 และความนา่ จะเป็นที่ธงชัยจะสอบผา่ นอยา่ งน้อย 1 วชิ า เป็น 0.8 จงหาความน่าจะเปน็ ท่ีธงชัยจะสอบผา่ นทั้งสองวชิ านี้

42. จากการสารวจนักเรยี นจานวน 120 คน พบว่า มีนกั เรยี นท่ีชอบเรยี นวชิ าคณิตศาสตร์ 60 คน มนี กั เรียนท่ชี อบเรยี นวิชา
ภาษาอังกฤษ 50 คน และมีนักเรยี นทชี่ อบเรยี นทง้ั สองวิชา 20 คน ถา้ สมุ่ นกั เรยี นมา 1 คน จงหาความน่าจะเป็นทนี่ กั เรียนคน
นจี้ ะ
1) ชอบเรียนอยา่ งนอ้ ย 1 วชิ า
2) ไมช่ อบเรียนทง้ั สองวชิ า
3) ชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์ แตไ่ ม่ชอบเรยี นวิชาภาษาองั กฤษ
4) ชอบเรยี นอยา่ งมาก 1 วิชา

ความนา่ จะเป็น ม.5 36
43. ในการประชุมครง้ั หนง่ึ มผี เู้ ข้าร่วมประชมุ จานวน 300 คน โดยเปน็ ผ้ทู ่ปี ระกอบอาชพี คา้ ขาย 160 คน รบั จา้ ง 90 คน
คา้ ขายและรับจา้ ง 40 คน ถ้าส่มุ ผเู้ ขา้ ร่วมประชมุ มา 1 คน จงหาความนา่ จะเปน็ ทีผ่ ูเ้ ขา้ รว่ มประชุมคนน้ีจะไม่ประกอบอาชีพ
คา้ ขายหรอื รบั จ้าง

44. จากการสารวจคอมพวิ เตอร์ใหมท่ ี่นามาใชใ้ นสานกั งานแห่งหน่งึ เปน็ เวลาหนง่ึ เดือน พบว่า ความนา่ จะเป็นทคี่ อมพิวเตอร์
ใหมท่ ่ีนามาใชส้ านกั งานแห่งหนึ่งเป็นเวลาหนง่ึ เดือน พบว่า ความนา่ จะเปน็ ท่ีคอมพวิ เตอรจ์ ะชารุดจากกระแสไฟฟ้ามากเกินไป
เปน็ 0.06 ความน่าจะเปน็ ทคี่ อมพวิ เตอร์จะชารดุ จากฮารด์ ดสิ กเ์ สียเป็น 0.03 ความนา่ จะเปน็ ทีค่ อมพวิ เตอรจ์ ะชารุดจากซีพยี ู
ทางานหนักเป็น 0.01 ความน่าจะเป็นทคี่ อมพิวเตอร์จะชารดุ จากสองสาเหตุใด ๆ ที่กล่าวมาเปน็ ศูนย์ จงหาความนา่ จะเป็นที่
คอมพิวเตอรจ์ ะชารุดจากกระแสไฟฟา้ มากเกินไปหรอื ฮารด์ ดิสก์หรอื ซีพียูทางานหนกั

45. พิจารณาเกมบันไดงูดงั รูป วธิ กี ารเลน่ คือ ให้ผเู้ ลน่ ผลดั กนั ทอดลกู เตา๋ ทเ่ี ทยี่ งตรง 1 ลูก 1 คร้ัง แลว้ เดินหมากไปบนช่อง
ตามแตม้ ทป่ี รากฏบนหนา้ ลูกเต๋า ถา้ ตกชอ่ งท่มี ีตนี บนั ได ให้เลื่อนหมากขึ้นไปจนสดุ ขนั้ บนั ได แตถ่ า้ ตกชอ่ งทม่ี ีหวั งู ให้เล่ือนลง
ไปยังหางงู สมมติว่าตอนน้ีหมากอยบู่ นช่องหมายเลข 16 จงหาความน่าจะเป็นท่ีอกี สองตา หมากจะไปอยู่บนชอ่ งหมายเลข
น้อยกวา่ หรอื เท่ากบั 16

ความนา่ จะเป็น ม.5 37
46. มีหนงั สือทแ่ี ตกต่างกัน 8 เล่ม ในจานวนน้เี ปน็ หนงั สือคณติ ศาสตร์ 3 เลม่ ถา้ ตอ้ งการจดั หนังสือเปน็ แถวยาว จงหาความ
นา่ จะเป็นทไ่ี มม่ ีหนังสือคณติ ศาสตรส์ องเลม่ ใดอยูต่ ดิ กนั

47. ถา้ ต้องการเดินทางออกจากจุด O ไปยังจุด P โดยมเี งื่อนไขวา่ จะตอ้ งเดนิ ทางไปทางทศิ เหนือหรอื ทิศตะวันออกเทา่ นนั้ จง
หาความน่าจะเป็นที่จะเดินทางโดยไมผ่ า่ นจดุ A

ความนา่ จะเป็น ม.5 38