หน่วยที่ 3 การประมาณค่า

การประมาณค่า

หน่วยท่ี 3

การประมาณคา่

สาระการเรยี นรู้

การประมาณคา่ (Estimation )
1. แบบการประมาณค่า
2. การประมาณคา่ เฉลยี่ ของประชากร
2.1 การประมาณค่าเฉล่ยี ของประชากรกลุ่มเดยี ว
2.2 การประมาณค่าผลต่างค่าเฉลยี่ ของประชากรสองกลุ่ม
3. การประมาณค่าสัดสว่ นของประชากร
3.1 การประมาณค่าสัดสว่ นของประชากรกลุ่มเดยี ว
3.2 การประมาณคา่ ผลตา่ งสดั ส่วนของประชากรสองกลมุ่

จุดประสงค์การเรยี นรู้

1. บอกความหมายของการประมาณค่าได้
2. อธบิ ายแบบการประมาณคา่ ได้
3. อธิบายความแตกตา่ งการประมาณค่าแบบจุดและแบบช่วงได้
4. คานวณการประมาณค่าเฉลีย่ ของประชากรแบบจุดและแบบช่วงได้
5. คานวณการประมาณค่าสัดส่วนของประชากรแบบจุดและแบบช่วงได้

แนวคดิ

การประมาณคา่ เปน็ วิธกี ารทางสถิติเชิงอนมุ าน ทใี่ ชข้ ้อมูลจากกลุ่มตัวอย่าง เพ่ือสรปุ
เกยี่ วกบั ค่าพารามิเตอร์ หรือสรุปลักษณะของประชากร การประมาณคา่ แบ่งได้ 2 แบบดังน้ี

1. การประมาณคา่ เฉลีย่ ของประชากร
2. การประมาณคา่ สัดส่วนของประชากร

การประมาณค่า

73

การประมาณค่าในแต่ละแบบ สามารถแบง่ ออกเป็น 2 ลกั ษณะ คือ การประมาณค่าแบบจุด
และการประมาณค่าช่วง

การประมาณคา่ แบบจุด (Point Estimation) หรือเรียกวา่ การประมาณคา่ เดียว เป็นการ
คานวณหาคา่ สถิติตัวหนึ่งจากขอ้ มูลตวั อย่าง แลว้ นาคา่ ท่ีได้ไปเปน็ ค่าประมาณของพารามเิ ตอร์ เช่น
การใช้ค่าเฉลี่ยของตวั อย่าง ( x ) เป็นตวั ประมาณค่าเฉลย่ี ของพารามิเตอร์ประชากร ( µ ) หรอื การใช้
คา่ สดั ส่วนของตวั อยา่ ง (pˆ ) เปน็ ตัวประมาณคา่ สดั สว่ นของพารามเิ ตอร์ประชากร ( P)

การหาคา่ ประมาณแบบช่วง (Interval Estimation) เป็นการประมาณวา่ ค่าพารามิเตอร์
ของประชากร จะอยูใ่ นชว่ งใดชว่ งหนึง่ ท่ีมีคา่ อยู่ระหว่างค่าสองค่า คอื L และ U เมอ่ื L = ขอบเขตต่า
(lower limit) และ U = ขอบเขตสูง (upper limit) สมมตวิ า่ พารามเิ ตอร์ที่ต้องการประมาณใน
ประชากรหนง่ึ คือ θ คา่ ประมาณแบบเปน็ ช่วงของ θ น้ี จะอยู่ในชว่ ง L < θ < U โดยใชข้ อ้ มูล
จากกลุ่มตัวอย่าง

การประมาณค่า

74

แบบทดสอบกอ่ นเรียน

คาชี้แจง ข้อสอบปรนยั มจี านวน 10 ขอ้ ให้นกั ศึกษาเลอื กคาตอบที่ถูกทส่ี ุดเพยี งคาตอบเดียว
1. ข้อใดต่อไปนี้ถูกตอ้ ง

ก. การประมาณค่า เป็นคา่ เฉลย่ี ทค่ี านวณได้จากกลมุ่ ประชากร
ข. สมชายคาดคะเนว่าจะไดเ้ กรด 4 ในวิชาสถิตแิ ละการวางแผนการทดลอง ถือว่าเปน็ การ

ประมาณค่า
ค. สมหญิงมคี ่าใช้จา่ ยรายวันโดยเฉลีย่ 250 บาท ถือวา่ เปน็ การประมาณค่า
ง. การประมาณค่าท่ดี ีต้องอาศัยหลกั การและเหตผุ ล
จ. การประมาณค่าท่ีดีมโี อกาสเป็นไปได้มากกวา่ 50%
2. ระดบั ความเชื่อมน่ั ในการประมาณคา่ หมายความวา่ อยา่ งไร
ก. ระดบั ความนา่ เชื่อถือของข้อมูลท่ีนามาประมาณคา่
ข. ระดบั ความนา่ เชื่อถือของการประมาณค่าท่ีถกู ต้อง
ค. ระดับหรอื โอกาสท่ีจะเกิดความผดิ พลาดในการประมาณคา่
ง. ระดับหรอื โอกาสในการเลอื กขอ้ มูลมาประมาณคา่ แล้วเกดิ ความถกู ตอ้ ง
จ. ความนา่ จะเปน็ ในการสรปุ ค่าการประมาณค่าทถ่ี ูกต้อง
3. ช่วงของการประมาณคา่ จะกว้างหรอื แคบ ขึน้ อยู่กบั ปัจจัยใด
ก. ระดับความเช่ือม่ัน
ข. ขนาดของกลมุ่ ตวั อยา่ ง
ค. การกระจายของข้อมูล
ง. แหลง่ ของขอ้ มลู
จ. ขอ้ ก และ ข้อ ค ถกู ต้องทสี่ ุด

การประมาณค่า

75

4. การประมาณค่าในข้อใดทเ่ี กิดความผดิ พลาดน้อยทสี่ ดุ
ก. การประมาณค่าท่รี ะดับความเช่อื ม่นั 90%
ข. การประมาณค่าท่ี  = 0.05
ค. การประมาณค่าที่  = 0.01
ง. การประมาณคา่ ท่ี  = 0.10
จ. การประมาณค่าที่  = .005

5. ขอ้ ใดกลา่ วผิด
ก. x แทนการประมาณค่าเฉลย่ี
ข. pˆ แทนการประมาณค่าสัดสว่ น

ค. การประมาณคา่ เฉลี่ยแบบชว่ งจะอย่รู ะหว่าง L < µ < U
ง. ระดับความเชือ่ มั่นสูง ชว่ งของการประมาณค่าจะกว้าง
จ. ช่วงของการประมาณค่ากว้าง โอกาสของการผดิ พลาดในการประมาณค่าจะมากขน้ึ
6. ข้อมลู ต่อไปน้ี เป็นคา่ ใช้จา่ ยต่อเดอื นของนกั ศึกษาระดบั ปริญญาตรี จานวน 10 คน 4500,
6000, 5000, 5500, 7000, 4500, 6000, 6500, 6000, 8000 ขอ้ ใดถกู ตอ้ งที่สดุ
ก. นักศกึ ษากลมุ่ น้ีมสี ่วนใหญ่มคี ่าใชจ้ ่ายโดยประมาณ 6,000 บาท
ข. ค่าเฉลีย่ เทา่ กบั 5900 บาท ถือว่าเป็นการประมาณค่าแบบจดุ
ค. ค่าใชจ้ า่ ยระหวา่ ง 4500 – 8000 บาท ถือเป็นเปน็ การประมาณค่าแบบจดุ
ง. การประมาณค่าแบบช่วงในข้อน้ี ไม่สามารถทาได้ ถ้าไม่กาหนดระดบั ความเชื่อม่นั
จ. คาตอบท่ีถูกต้องทสี่ ดุ คือ ข้อ ข และ ง
7. วิทยาลยั แห่งหนงึ่ ต้องการจดั นักศกึ ษาไปทศั นศกึ ษาในภาคเรียนฤดูรอ้ น จงึ สารวจความต้องการ
ของนักศึกษาท้ังหมด 300 คน พบวา่ สนใจไปทัศนศกึ ษาจานวน 256 คน จงประมาณค่า
สัดส่วนแบบจดุ ของนักศึกษาท่ไี ปทัศนศึกษาในครงั้ น้ี
ก. 256
ข. 44

การประมาณค่า

76

ค. 1.172

ง. 0.853

จ. 0.172

8. ปริมาณน้าฝนในของภาคตะวันออกเฉียงเหนือในรอบ 10 ปีทผี่ ่านมามีการแจกแจงใกล้เคยี งปกติ
มคี า่ เฉลี่ย 8.5 น้วิ สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน 0.45 น้ิว ถา้ ต้องการประมาณค่าปริมาณนา้ ฝนทผี่ า่ นมา
ข้อใดถกู ต้อง (กาหนด  = 0.05)

ก. สถติ ิทใ่ี ช้ประมาณคา่ คือ t-test

ข. เปดิ ตารางที่ df = 10

ค. µ = 8.5

ง.  = 0.45

จ. ค่าเปดิ ตารางเท่ากบั 1.96

9. สุ่มนกั ศกึ ษามา 2 กล่มุ เพ่อื ประมาณค่าความแตกต่างของคะแนนสอบเฉล่ีย ดงั ข้อมลู ต่อไปน้ี
กลมุ่ 1. 15, 19, 10, 13, 16, 8, 16
กลมุ่ 2. 10, 17, 16, 12, 10, 16, 10, 14, 17, 13

ข้อใดตอ่ ไปนี้ถกู ตอ้ ง
ก. คา่ เฉลยี่ คะแนนสอบกลุ่มที่ 1 เทา่ กับ 13.50
ข. ค่าเฉล่ียคะแนนสอบกลุ่มท่ี 2 เท่ากับ 13.86
ค. คา่ ประมาณความแตกตา่ งของคะแนนเฉล่ยี สองกลมุ่ เทา่ กบั 0.36
ง. คา่ ประมาณทไ่ี ด้อยู่ระหว่าง 13.50 ถึง 13.86
จ. นักเรยี นกลุม่ ท่ี 2 มคี า่ เฉล่ียของคะแนนสงู กว่ากลมุ่ ที่ 1

10. จากการสอบถามแม่บา้ น 50 คน เก่ยี วกับการใช้น้ายาล้างจานยหี่ อ้ A และ B พบว่าแมบ่ ้าน
ใชน้ า้ ยาลา้ งจานยี่ห้อ A จานวน 38 คน ถา้ ตอ้ งประมาณสดั สว่ นแบบชว่ งของแมบ่ า้ นทีใ่ ช้
นา้ ยาล้างจานยหี่ ้อ B ทีร่ ะดับความเชือ่ มัน่ 90% ขอ้ ใดถูกต้อง
ก. สดั ส่วนของคนที่ใชย้ าลา้ งจานยีห่ อ้ B เท่ากับ 0.76
ข. สดั ส่วนของคนท่ีใช้ยาลา้ งจานย่หี อ้ A เท่ากบั 0.24
ค. คา่ ประมาณความแตกตา่ งสัดส่วนของการใชน้ ้ายาล้างจานสองกลมุ่ เทา่ กับ 0.52
ง. ค่า Z ของการเปิดตารางเท่ากบั 1.645
จ. ช่วงของการประมาณสัดส่วนอยรู่ ะหวา่ ง 0.24 ถงึ 0.76

การประมาณค่า

77

การประมาณค่า

การประมาณคา่ (Estimation)

การประมาณคา่ เปน็ วธิ กี ารทางสถิติเชิงอนุมาน ที่ใช้ข้อมูลจากกล่มุ ตวั อย่าง เพื่อสรุป
เกีย่ วกับค่าพารามิเตอร์ หรือสรปุ ลักษณะของประชากร เชน่ ต้องการทราบรายได้ต่อเดือนของ
ประชากรในเขตกรุงเทพมหานคร ถ้าสามารถสอบถามผทู้ ่ีมรี ายไดท้ ้ังหมดในเขตกรุงเทพมหานคร
แลว้ นาขอ้ มูลที่ได้มาคานวณ คา่ ทค่ี านวณไดจ้ ะเรียกวา่ เปน็ ค่า พารามเิ ตอร์ แต่ในทางปฏิบัตกิ ารจะ
สอบถามผทู้ ี่มีรายได้ทัง้ หมดน้ันเปน็ ไปได้ยาก จงึ อาจใชว้ ิธีการสมุ่ ตัวอย่าง หรือเลือกบางส่วนมาเปน็
ตวั แทนของผู้ที่มรี ายได้ท้งั หมดในเขตกรุงเทพมหานคร เพอื่ มาสอบถามรายได้ต่อเดือน ค่าคานวณท่ี
ได้จากกลมุ่ ตัวอย่างดงั กล่าวเรียกวา่ คา่ สถติ ิ ข้อมูลทไ่ี ด้จากตัวย่างขา้ งตน้ สามารถนามาประมาณ
รายได้ต่อเดอื นของประชากรในเขตกรุงเทพมหานครได้

1. แบบการประมาณคา่
การประมาณค่าแบง่ ได้ 2 แบบดงั นี้
1.1 การประมาณคา่ เฉล่ียของประชากร
1.2 การประมาณค่าสดั สว่ นของประชากร
การประมาณค่าในแตล่ ะแบบ สามารถแบ่งออกเป็น 2 ลักษณะ คือ การประมาณ

ค่าแบบจุด (Point Estimation) และการประมาณคา่ ชว่ ง (Interval Estimation)
การประมาณค่าแบบจุด (Point Estimation) หรอื เรียกว่าการประมาณคา่ เดียว เป็นการ

คานวณหาคา่ สถิตติ ัวหน่ึงจากขอ้ มลู ตวั อยา่ ง แล้วนาคา่ ที่ไดไ้ ปเป็นคา่ ประมาณพารามเิ ตอร์ เช่น การ
ใช้ค่าเฉลย่ี ของตัวอย่าง ( x ) เปน็ ตัวประมาณค่าเฉล่ียของพารามเิ ตอร์ประชากร ( µ ) หรอื การใช้ค่า
สดั สว่ นของตวั อย่าง pˆ เป็นตัวประมาณคา่ สัดสว่ นของพารามิเตอรป์ ระชากร (P)

ลักษณะทีต่ ้องการทราบ ค่าสถติ ิ ค่าพารามเิ ตอร์

ค่าเฉล่ีย xµ

คา่ สัดส่วน pˆ P

ตัวอยา่ งการประมาณคา่ แบบจุด
เชน่ การประมาณรายไดเ้ ฉลย่ี ต่อเดือนของคนในเขตกรงุ เทพมหานคร ด้วยการศึกษาจาก

กล่มุ ตัวอยา่ งจานวนหนึ่งท่ีมรี ายได้ในเขตกรงุ เทพมหานคร ไดค้ ่าเฉลี่ยรายไดต้ ่อเดือนเท่ากบั 4,700

การประมาณค่า

78

บาท ( x = 4,700) ก็จะประมาณว่าคนในเขตกรุงเทพมหานคร มีรายไดเ้ ฉลย่ี ต่อเดือนประมาณ
4,700 บาท ( µ = 4,700 )

เช่น การประมาณสดั ส่วนของนักเรยี นทีจ่ บชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ของประเทศไทยและเรียน
ต่อในสายอาชพี ดว้ ยการศึกษาจากนักเรยี นทจ่ี บชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 3 จานวนหนึ่งได้ ไดส้ ัดสว่ นของ
ผู้เรยี นต่อในสายอาชีพเท่ากบั 0.55 (pˆ = 0.55) ก็จะประมาณว่านกั เรยี นท่จี บช้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 3
ของประเทศไทย และเข้าศึกษาต่อในสายอาชีพในสัดสว่ น 0.55 ( P = 0.55 )

การประมาณค่าแบบจุด เปน็ ค่าประมาณค่าค่าเดียวท่ีมโี อกาสเท่ากบั หรือไม่เทา่ กับ
คา่ พารามเิ ตอร์ก็ได้ มีโอกาสคลาดเคล่ือนจากคา่ พารามเิ ตอร์ของประชากรสูง จึงไมน่ ยิ มนามาใชเ้ พื่อ
ประมาณคา่ กันมากนัก

การหาคา่ ประมาณแบบช่วง (Interval Estimation) เปน็ การประมาณว่า
คา่ พารามเิ ตอร์ของประชากร จะอยใู่ นชว่ งใดช่วงหนง่ึ ทม่ี ีค่าอยู่ระหว่างคา่ สองค่า คือ L = ขอบเขต
ตา่ (lower limit) และ U = ขอบเขตสูง (upper limit) สมมติวา่ พารามิเตอร์ทตี่ ้องการประมาณใน
ประชากรหน่งึ คือ θ คา่ ประมาณแบบเป็นช่วงของ θ นี้ จะอยใู่ นชว่ ง L < θ < U โดยใช้ขอ้ มูล
จากกลุ่มตัวอยา่ ง เชน่

รายไดเ้ ฉล่ยี ต่อเดือนของคนในเขตกรุงเทพมหานคร อยู่ในช่วง 3,500 ถงึ 5,500
นน้ั คอื 3,500 < µ < 5,500

สัดส่วนของนกั เรียนท่จี บชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 3 ของประเทศไทยและเรยี นตอ่ ในสาย
อาชีพ อยู่ระหวา่ ง 0.39 ถงึ 0.67 น่นั คอื 0.35 < p < 0.67

การประมาณค่าแบบช่วง จะให้คา่ ครอบคลุมค่าพารามเิ ตอร์ทเี่ ราตอ้ งการประมาณมากกว่า
การประมาณค่าแบบจดุ และการประมาณค่าแบบชว่ งสามารถบอกคา่ ความน่าจะเป็นหรือเปอร์เซน็ ต์
ของความเชอื่ มั่นไดว้ า่ ค่าพารามิเตอร์ที่เราประมาณแบบชว่ งนนั้ จะตอ้ งอย่ดู ้วยความเชื่อม่ันเท่านั้น

การประมาณค่าแบบชว่ งจะกวา้ งหรอื แคบขน้ึ อย่กู ับ
1. การกระจายของประชากร ถา้ ประชากรมีการกระจายมากชว่ งค่าประมาณก็

จะกว้าง และถา้ ประชากรมีการกระจายน้อยช่วงค่าประมาณจะแคบ
2. ระดบั ความเช่ือมั่น ถ้าระดับความเช่ือม่ันสูงช่วงการประมาณค่ากว้าง และถ้า

ระดบั ความเชอื่ มน่ั ต่า ช่วงของการประมาณคา่ จะแคบ

การประมาณค่า

79

รปู แสดงโค้งปกติแสดงชว่ งของการประมาณค่า

H0 H0 H0

L U

tZ

แผนภาพท่ี 4 ค่าประมาณแบบเป็นช่วงของ θ

2. การประมาณคา่ เฉลย่ี ของประชากร
2.1 การประมาณค่าเฉลีย่ ของประชากรกลุ่มเดยี ว
2.1.1 การประมาณคา่ แบบจุด เปน็ การคานวณหาค่าเฉล่ยี

จากข้อมลู กลุ่มตวั อยา่ ง ไม่วา่ ข้อมูลนนั้ จะแจกแจงแบบใดก็ตาม โดยใช้สูตรการคานวณ ดังนี้

N X i n x i

 
i1 i1
μ  N และ x  n

เม่อื µ แทน ค่าเฉลยี่ ของประชากร
แทน ค่าเฉลย่ี ของตัวอย่าง
x แทน คา่ ของลักษณะท่สี นใจในหนว่ ย i
xi แทน ขนาดของประชากร
N แทน ขนาดของตัวอยา่ ง

n

การประมาณค่า

80

ตัวอย่างท่ี 1 คะแนนทดสอบวิชาสถติ แิ ละการวางแผนการทดลองของนักศึกษา จานวน 12 คน

ข้อมูลเปน็ ดังนี้ 16 19 15 14 13 11 13 8 12 17 16 14 จงหาคา่ ประมาณ

คะแนนการสอบโดยเฉล่ยี ของนักศึกษากลมุ่ น้ี

วธิ ีทา ให้ xi แทน คะแนนการสอบแต่ละคน

12 x i


i1
x = n

= 16 19 15 14 13 1113  8 12 17 16 14
12
168
= 12

= 14

ดงั นน้ั ค่าประมาณคะแนนสอบโดยเฉล่ียของนักศึกษาเป็น 14 คะแนน

ตวั อยา่ งที่ 2 สุ่มผเู้ ขา้ สอบสัมภาษณจ์ านวน 8 คน เพื่อวัดจานวนคร้งั การเตน้ ของหัวใจ ได้ข้อมลู

ดงั นี้ 80 76 79 77 71 74 76 81 (ครง้ั /นาท)ี จงหาค่าประมาณการเต้นของหัวใจโดยเฉล่ีย

ของผเู้ ข้าสอบสมั ภาษณ์ในครัง้ นี้

วธิ ที า ให้ xi แทน จานวนครั้งการเต้นของหัวใจแตล่ ะคน

8 x i


i1
x= 8

= 80  76  79  77  71 74  76  81
8
614
= 8

= 76.75

ดังน้นั ค่าประมาณการเตน้ ของหัวใจเป็น 76.75 ครงั้ /นาที

2.1.2 การหาค่าประมาณแบบช่วง เป็นการประมาณค่าพารามิเตอรข์ อง
ประชากร ทคี่ าดวา่ จะมีคา่ อยู่ระหวา่ งคา่ สองค่า คือ L = ขอบเขตต่า (lower limit) และ
U = ขอบเขตสูง (upper limit) สมมตวิ ่าพารามิเตอร์ที่ตอ้ งการประมาณในประชากรหนึ่ง คอื θ
ค่าประมาณแบบเปน็ ชว่ งของ θ น้ี จะอยู่ในช่วง L < θ < U

การประมาณค่า

81

การคานวณคา่ L และ U จะพิจารณาได้ 3 กรณี ดังน้ี
1. ประชากรมีการแจกแจงปกติ และทราบความแปรปรวนของประชากร
2. ประชากรมีการแจกแจงแบบใดๆ ท่ไี ม่ทราบคา่ ความแปรปรวนของประชากรและ
ขนาดตวั อย่างมขี นาดใหญ่
3. ประชากรมีการแจกแจงปกติหรือใกลเ้ คยี งปกติ ท่ีไม่ทราบความแปรปรวนของ
ประชากร และขนาดตัวอย่างเลก็

1. ประชากรมกี ารแจกแจงปกติ และทราบความแปรปรวนของประชากร

เมื่อมีการสุ่มตัวอย่างขนาด n จากประชากรท่ีมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉล่ียเท่ากับ µ

และความแปรปรวนเท่ากับ  2 จะได้คา่ เฉลย่ี ของตัวอยา่ งเทา่ กบั x

เม่ือต้องการประมาณคา่ เฉลี่ยของประชากร µ แบบช่วง จะต้องแปลงค่า x ให้เป็นค่า

ปกติมาตรฐาน Z โดยท่ี

Z = xμ

σ

n

ระดับความเชื่อมัน่ (1-  )100% ที่นยิ มใชใ้ นการประมาณค่าสว่ นใหญ่มีค่าเป็น 90% 95%
และ 99% จะได้คา่ ประมาณแบบชว่ งของค่าปกติมาตรฐาน Z อยรู่ ะหวา่ ง  Z และ Z ดังรูป

22

 1- 

22

-Z 0 Z

2 2

แผนภาพที่ 5 คา่ ประมาณแบบชว่ งปกตมิ าตรฐาน Z

ค่าคานวณแบบชว่ งของการประมาณค่า µ หาได้จากสูตร

x Z σ μ  xZα. σ

n n
22

หรือ คา่ ประมาณแบบชว่ งของ µ คือ xZα. σ

2 n

การประมาณค่า

82

ตวั อยา่ งที่ 3 จากคะแนนการเรยี นวิชาสถิติและการวางแผนการทดลองของนกั ศกึ ษา ในรอบ 3 ปีที่
ผา่ นมา พบวา่ คะแนนมีการแจกแจงปกติ และมสี าวนเบีย่ งเบนมาตรฐานเท่ากบั 10 คะแนน ในการ
เรยี นภาคเรียนนจี้ ึงส่มุ นักศึกษามา 20 คน เพื่อหาคะแนนเฉลี่ยและพบว่ามีคะแนนเฉลย่ี เท่ากบั
63.5 คะแนน จงประมาณคะแนนเฉลี่ยของนักศึกษา ทรี่ ะดับความเชอ่ื มั่น 90%
วิธที า จากโจทย์ พบวา่ ประชากรมกี ารแจกแจงปกติ และทราบสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของประชากร

และ  = 10 , n = 20 , x = 63.5 , 1- = .90

2 1 -  2

-1.645 0 1.645

จากสูตรการประมาณคา่ xZα. σ μ  xZα. σ

n n
22
10 10
แทนคา่ จะได้ = 63.5 – 1.645. 20  μ  63.5 + 1.645. 20

= 63.5 – 1.645(2.237) < μ < 63.5 + 1.645(2.237)

= 63.5 – 3.680 < μ < 63.5 + 3.680

= 59.82 < μ < 67.18

นักศึกษามคี ะแนนเฉลีย่ ระหวา่ ง 59.82 - 67.18 ทร่ี ะดับความเชื่อมัน่ 90%

ตัวอย่างท่ี 4 นา้ หนักของนักเรียนมีการแจกแจงปกติ และมีความแปรปรวนเท่ากับ 9 กิโลกรัม ถ้า
สุ่มนักเรียนมา 25 คน พบว่ามีน้าหนักเฉล่ีย 47 กิโลกรัม จงประมาณน้าหนักเฉล่ียของนักเรียน
ทั้งหมดที่ระดับความเช่ือมั่น 99%
วธิ ที า จากโจทย์ พบวา่ ประชากรมกี ารแจกแจงปกติ และทราบความแปรปรวนของประชากร

และ σ2 = 9 (แสดงวา่ σ = 3 ) , n = 25 , x = 47 , 1- = .99

2 1- 2

-2.575 0 2.575

การประมาณค่า

83

จากสูตรการประมาณค่า xZα . σ μ  xZα . σ

n n
22
3 3
แทนคา่ จะได้ = 47 – 2.575. 25  μ  47 + 2.575. 25

= 47 – 2.575 (0.6) < μ < 47 + 2.575 (0.6)

= 47 – 1.545 < μ < 47 + 1.545

= 45.455 < μ < 48.545

ดังน้นั นักเรียนมนี ้าหนกั เฉลย่ี ระหว่าง 45.455 – 48.545 ท่รี ะดบั ความเชอ่ื มั่น 99%

2. ประชากรมีการแจกแจงแบบใดๆ ท่ีไม่ทราบค่าความแปรปรวนของประชากรและขนาด

ตัวอย่างมีขนาดใหญ่ (n  30)

ถ้าสุ่มกลุ่มตัวอย่างที่มีจานวนมากหรือมีขนาดใหญ่ จากประชากรที่มีการแจกแจงแบบใด ๆ (แจก
แจงปกตหิ รอื ไมก่ ไ็ ด)้ ค่าเฉลย่ี ทีไ่ ด้ ( x ) จะมีค่าเข้าใกล้คา่ μ และเข้าใกลก้ ารแจกแจงปกตเิ สมอ

ดังนั้น ถ้าต้องการประมาณค่าเฉลี่ยของประชากร μ แบบช่วง ด้วยการสุ่มกลุ่มตัวอย่างท่ีมี

ขนาดใหญ่ จึงสามารถใช้สถิติ Z ในการประมาณคา่ ได้ ซึง่ แบง่ ออกเป็น 2 กรณี คือ

1.1 กรณที ราบความแปรปรวนของประชากร
เมอื่ ทราบ σ2 และ n  30 ระดับความเชื่อมนั่ (1-  )100%

คา่ ประมาณแบบช่วง คานวณจากสูตร

xZα . σ μ  xZα . σ

n n
22

หรอื คา่ ประมาณแบบชว่ งของ µ คอื xZα. σ

2 n

การประมาณค่า

84

2.2 กรณไี มท่ ราบความแปรปรวนของประชากร
เมอื่ ไม่ทราบ σ2 และ n  30 จะใชค้ วามแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่างแทน (s2)

หรือ (S.D..)2 ค่าประมาณของ σ2 ระดับความเชื่อม่ัน (1-  )100% ค่าประมาณแบบช่วง
คานวณจากสตู ร

xZα. s μ  x Zα. s

n n
22

หรอื ค่าประมาณแบบชว่ งของ µ คอื xZα. s

2 n

2. กรณีทข่ี ้อมลู แจกแจงความถ่ี การหาค่าเฉล่ียเลขคณติ หาไดด้ ังสตู ร

ถา้ x1 , x2 , x3 , ….., xk เป็นขอ้ มลู k จานวน
และ f1 , f2 , f3 , ….., fk เป็นจานวนความถข่ี องข้อมูล k จานวน
จะได้

μ  ik 1fi x i  ik 1fi x i (กรณีขอ้ มลู มาจากทกุ หนว่ ยของประชากร
ik 1fi N

μ= f1x1  f2x2  f3x3  ..... fk xk
f1  f2  f3  .... fk

หรอื x  in1fi x i (กรณขี อ้ มลู มาจากกลุ่มตัวอยา่ ง)
n

การประมาณค่า

85

ตวั อยา่ งท่ี 5 บริษัทต้องการตรวจสอบอายุการใช้งานของเครื่องซักผ้า จึงสุ่มตัวอย่างเครื่องซักผ้ามา
32 เครื่อง เพื่อตรวจสอบอายุการใช้งาน พบว่ามีอายุการใช้งาน 8 ปี ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน
เท่ากับ 2.5 ปี จงประมาณอายกุ ารใชง้ านเฉลี่ยของเครอื่ งซกั ผ้า ท่ีระดับความเชือ่ มน่ั 95%
วิธที า จากโจทย์ พบว่ากล่มุ ตัวอย่างมีขนาดมากกวา่ 30 และไม่ทราบความแปรปรวนของ
ประชากร
จึงใช้ s2 ของตัวอย่างแทน และโจทยก์ าหนด n = 32 , x = 8 , s = 2.5 1- = .95

2 1 -  2

-1.96 0 1.96

จากสูตรการประมาณค่า xZα. s  μ  x  Zα . s
แทนค่า จะได้ =
n n
22

8 – 1.96 2.5 μ  8 + 1.96 2.5
32 32

= 8 – 1.96 (0.44) < μ < 8 + 1.96 (0.44)

= 8 – 0.866 < μ < 8 + 0.866

= 7.134 < μ < 8.866

ดงั นนั้ เครือ่ งซักผา้ มอี ายุการใช้งานเฉลี่ยระหวา่ ง 7.134 – 8.866 ปี ทีร่ ะดบั ความเช่ือม่ัน 95%

ตัวอยา่ งที่ 6 สุ่มตวั อยา่ งนักเรียนหญิงวัยร่นุ มา 30 คน เพือ่ วดั ความสงู พบว่า วันรุน่ หญงิ มีความสูง
เฉลี่ย 155 เซนติเมตร และความแปรปรวนเท่ากับ 36 เซนติเมตร จงประมาณความสูงเฉลยี่ ของ
นักเรยี นวัยรนุ่ ทร่ี ะดับความเช่ือมนั่ 90%
วธิ ีทา จากโจทย์ พบวา่ กล่มุ ตัวอย่างมขี นาดเท่ากบั 30 และไม่ทราบความแปรปรวนของประชากร
จงึ ใช้ s2 ของตัวอย่างแทน และโจทย์กาหนด n = 30 , x = 155 , s = 6 1- = .90

 1- 

2 0 2

-1.645 1.645

การประมาณค่า

86

จากสตู รการประมาณคา่ xZα. s  μ  x  Zα . s

n n
22
6 6
แทนค่า จะได้ = 155 – 1.645 30  μ  155 + 1.645 30

= 155 – 1.645 (1.095) < μ < 155 + 1.645 (1.095)

= 155 – 1.801 < μ < 155 + 1.801

= 153.199 < μ < 156.801
ดงั นน้ั นกั เรียนวยั ร่นุ หญงิ มีสว่ นสงู เฉล่ียระหวา่ ง 153.199 – 156.801 เซนติเมตร ที่ระดับ
ความเช่ือมั่น 90%

3. ประชากรมีการแจกแจงปกตหิ รือใกล้เคยี งปกติ ท่ีไม่ทราบความแปรปรวนของ
ประชากร และขนาดตวั อยา่ งเลก็ ( n < 30)

ถ้าประชากรมีการแจกแจงปกติหรือใกล้เคียงปกติ และกลุ่มตัวอย่างมีขนาดเล็ก ( n < 30)

ค่าเฉล่ียของกลุ่มตัวอย่าง ( x ) จะมีการแจกแจงแบบที ( t- Distribution) และมีองศาของความเป็น

อิสระ (Degree of freedom) เท่ากับ n-1 (df = n-1) และสูตรท่ีใช้ในการประมาณค่าแบบช่วง

คอื s s
n n
xtα.  μ  x  tα .

22

หรือ คา่ ประมาณแบบช่วงของ µ คือ xtα. s
n
2

ระดับความเชื่อมัน่ (1-  )100% ค่าประมาณแบบช่วงอยรู่ ะหว่าง  t α และ t α ดงั รูป

22

 1- 

22

-t 0 t
2
2

แผนภาพท่ี 6 คา่ ประมาณแบบชว่ งปกติมาตรฐาน t

การประมาณค่า

87

ตวั อย่างท่ี 7 สมมติเวลาในการลงทะเบียนเรยี นของนกั ศึกษามีการแจกแจงปกติ ถ้าสุ่มนักศึกษา
มาจานวน 25 คน พบวา่ มีเวลาเฉลี่ยในการลงทะเบยี น 25 นาที และส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน
เท่ากบั 8 นาที จงประมาณเวลาในการลงทะเบยี นเฉล่ียของนกั ศกึ ษา ที่ความเช่ือม่ัน 95%
วธิ ที า โจทยก์ าหนด n = 25 , df = 25 -1 , x = 25 , s = 8 1- = .95

2 1 -  2

-2.064 0 2.064

จากสูตรการประมาณค่า xtα. s  μ  x  tα . s
แทนค่า จะได้ = n n
22
8 8
25 – 2.064 25  μ  25 + 2.064 25

= 25 – 2.064 (1.60) < μ < 25 + 2.064 (1.60)

= 25 – 3.302 < μ < 25 + 3.302

= 21.698 < μ < 28.302

ดังนั้น นกั ศกึ ษาใช้เวลาในการลงทะเบียนเรียนเฉล่ียระหว่าง 21.698 – 28.302 นาที ที่ระดับความ
เชื่อมน่ั 95%

การประมาณค่า

88

ตวั อยา่ งท่ี 8 ขอ้ มูลปริมาณน้าในของภาคตะวนั ออกเฉียงเหนือในรอบ 10 ปที ่ผี า่ นมา มีการแจก
แจงใกล้เคียงปกติ มีคา่ เฉลี่ย 8.5 นว้ิ สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน 0.45 นิว้ จงประมาณค่าเฉล่ยี ของ
ปริมาณนา้ ฝนในภาคตะวันออกเฉียงเหนือ ทรี่ ะดับความเชอื่ มั่น 99%
วิธีทา โจทย์กาหนด n = 10 , df = 10-1 , x = 8.5 , s = 0.45 1- = .99

2 1 -  2

-3.250 0 3.250

จากสูตรการประมาณค่า xtα. s  μ  x  tα . s
n n
22
0.45 0.45
แทนค่า จะได้ = 8.5 – 3.250 10  μ  8.5 + 3.250 10

= 8.5 – 3.250 (0.142) < μ < 8.5 + 3.250 (0.142)

= 8.5 – 0.462 < μ < 8.5 + 0.462

= 8.038 < μ < 8.962

ดงั นัน้ ภาคตะวนั ออกเฉยี งเหนือมปี ริมาณน้าฝนเฉลย่ี ระหวา่ ง 8.038 – 8.962 นิว้ ท่ีระดับความ
เชื่อม่ัน 99%

การประมาณค่า

89

แบบฝกึ หัด 3.1

คาช้แี จง จงแสดงวธิ ีทาเพอ่ื หาคาตอบจากโจทยต์ ่อไปนี้

1. นักเรยี น 15 คน เรยี นรู้วธิ กี ารจดั ดอกไม้ โดยใชเ้ วลาในการเรยี นคิดเป็นนาที แตกต่างกนั ดงั น้ี
12, 8, 15, 8, 6, 9, 12, 10, 8, 9, 11, 9, 11, 9 และ 13 จงประมาณคา่ เวลาเฉลยี่ ใน
การเรยี นรวู้ ิธกี ารจดั ดอกไม้ของนักเรียน (2 คะแนน)

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………..……………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………..……………….
2. จากการสอบถามนกั เรยี น 10 คน เกี่ยวกบั จานวนเงนิ ทีไ่ ดร้ ับจากผปู้ กครองในการมาเรยี นตอ่ วนั
ดงั นี้ 80, 120, 100, 130, 150, 200, 150, 120, 90 และ 120 จงประมาณค่าจานวนเงินเฉล่ยี ท่ี
ไดร้ ับตอ่ วันของนักเรียน (2 คะแนน)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………..……………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………..……………….

การประมาณค่า

90

3. จากโจทย์ ข้อ 1. จงประมาณค่าแบบช่วงของเวลาในการเรยี นรู้การจดั ดอกไม้ของนักเรยี น ที่
ระดบั ความเช่ือมั่น 95% (3 คะแนน)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………..……………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………..……………….
4. ความสูงเฉลยี่ ของนักศึกษาชายในวิทยาลัยแหง่ หน่ึงมีการแจกแจงปกติ มสี ่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
เปน็ 2.7 นวิ้ จึงสุ่มนักศกึ ษาชายในวทิ ยาลยั แห่งน้ันมา 50 คน เพ่ือวัดส่วนสงู พบว่ามีส่วนสูงเฉลี่ย
69.7 นวิ้ จงประมาณคา่ แบบช่วงความสูงเฉลี่ยของนกั ศึกษาทรี่ ะดบั ความเช่ือมั่น 90% (3 คะแนน)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………..……………….

การประมาณค่า

91

5. สุ่มตวั อย่างโทรศัพทม์ ือถือยหี่ ้อ A มา 45 เครอ่ื ง พบว่ามีอายุการใช้งานเฉลยี่ 5 ปี และมีความ
แปรปรวนของอายุการใช้งาน 100 ช่วั โมง จงประมาณค่าแบบช่วงอายกุ ารใช้งานเฉล่ียของ
โทรศพั ท์มือถือยห่ี ้อ A ท่รี ะดับความเชือ่ มั่น 99% (3 คะแนน)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………..…………………..
6. ข้อมลู เวลาทใ่ี ชใ้ นการเปดิ บัญชีใหมข่ องลกู ค้ามกี ารแจกแจงปกติ จงึ สุ่มลกู คา้ ทม่ี าเปิดบญั ชใี หม่
จานวน 22 คน พบวา่ ใช้เวลาเฉลย่ี ในการเปิดบัญชี 10 นาที สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 2 นาที
จงประมาณค่าเฉลี่ยของเวลาท่ใี ชใ้ นการเปิดบัญชีของลกู คา้ ทีร่ ะดับความเชื่อมนั่ 95% (3 คะแนน)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

การประมาณค่า

92

7. สมุ่ กาแฟย่หี ้อหน่งึ มา 15 กระป๋อง เพื่อหาปรมิ าณสารคาเฟอนิ พบวา่ มีปริมาณสารคาเฟอนิ เฉลี่ย
0.89 มลิ ลกิ รัม สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน 0.05 มลิ ลิกรมั จงประมาณคา่ สารคาเฟอินเฉลีย่ ในกาแฟ
ยหี่ ้อนี้ ทีร่ ะดบั ความเชอื่ มั่น 95% (3 คะแนน)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
8. อายุการใช้งานของหลอดไฟฟา้ ยห่ี ้อหนงึ่ มีการแจกแจงปกติ มคี วามแปรปรวนเทา่ กับ 49 ชั่วโมง
สมุ่ หลอดไฟฟ้ามา 25 หลอด พบวา่ มอี ายุการใช้งานเฉลีย่ 800 ชว่ั โมง จงประมาณค่าการใช้งาน
เฉลยี่ ของหลอดไฟฟา้ ทีร่ ะดบั ความเช่ือมนั่ 99% (3 คะแนน)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………….………………….

การประมาณค่า

93

2.2 การประมาณค่าผลต่างค่าเฉล่ยี ของประชากรสองกลุม่
เป็นการศึกษาเปรียบเทียบผลต่างค่าเฉลี่ยของประชากรสองกลุ่ม เช่น สนใจ

เปรยี บเทยี บคา่ เฉลี่ยคะแนนสอบของนักเรยี นสองกล่มุ เพือ่ พจิ ารณาว่ากลุ่มไหนมีคะแนนดีกว่า หรือ
สนใจเปรยี บเทียบอายุการใช้งานของรถยนต์สองย่ีห้อ เพ่ือพิจารณาว่ารถยนต์ย่ีห้อไหนมาความคงทน
ในการใชง้ านนานกว่า เปน็ ต้น

การประมาณค่าผลต่างค่าเฉลี่ยของประชากรสองกลุ่ม มี 2 แบบ คือ การ
ประมาณค่าผลต่างค่าเฉล่ียของสองประชากรแบบจุด และ การประมาณค่าผลต่างค่าเฉล่ียของสอง
ประชากรแบบชว่ ง

1. การประมาณคา่ ผลต่างค่าเฉลี่ยของสองประชากรแบบจุด

การประมาณคา่ ผลต่างคา่ เฉลีย่ ของสองประชากรแบบจุด เขยี นแทนดว้ ย μ1  μ 2

และการประมาณค่าผลตา่ งค่าเฉลีย่ ของสองกลมุ่ ตัวอย่างแบบจุด เขยี นแทนดว้ ย x 1  x 2
เม่อื μ 1 เป็นคา่ เฉลยี่ ของประชากรกลมุ่ ที่หน่ึง และ x 1 เป็นค่าเฉลีย่ ของตวั อย่างกลมุ่ ท่ีหนงึ่
μ 2 เป็นคา่ เฉล่ยี ของประชากรกลุ่มท่ีสอง และ x 2 เปน็ ค่าเฉล่ียของตวั อยา่ งกลุม่ ท่ีสอง

N n x
X
i  i
i1 i1
สตู ร μ1  N1 เม่ือ N1 คอื จานวนประชากรกลมุ่ ท่ี 1 และ x1  n1 ( n1 ส่มุ จาก N1 )

Nn
X x
μ2 i เมื่อ N2 คอื จานวนประชากรกลุ่มท่ี 2 และ x2 i ( n2 สุ่มจาก N2 )
i1 i1
 N2  n2

ตัวอย่างท่ี 9 สุ่มนักศึกษามา 2 กลุ่ม เพ่ือประมาณค่าความแตกต่างของคะแนนสอบเฉลี่ยโดยสุ่ม

กล่มุ ที่ 1 มาจานวน 7 คน กล่มุ ท่สี องจานวน 10 คน ดังขอ้ มูลตอ่ ไปน้ี

กลมุ่ 1. 15, 19, 10, 13, 16, 8, 16

กลุ่ม 2. 10, 17, 16, 12, 10, 16, 10, 14, 17, 13

วธิ ีทา ให้ x1 แทน คะแนนเฉล่ียของนักศึกษากล่มุ ทห่ี นึง่

x 2 แทน คะแนนเฉลี่ยของนักศกึ ษากลมุ่ ทีส่ อง
15 19 10 13 16  8 16
x1 = 7
97
= 7

= 13.86

การประมาณค่า

94

x2 = 10 17 16 12 10 16 10 14 17 13
10
135
= 10

= 13.50

x 1  x 2 = 13.86 – 13.5
= 0.36

ดงั น้ัน คา่ ประมาณความแตกต่างของคะแนนสอบเฉลยี่ ของนักเรยี นสองกลุ่ม เป็น 0.36 คะแนน

2. การประมาณคา่ ผลต่างคา่ เฉล่ยี ของสองประชากรแบบชว่ ง

การประมาณค่าผลต่างเฉลย่ี μ1  μ 2 แบบชว่ ง แบง่ เป็น 3 กรณี ดังนี้
1. ประชากรทัง้ สองกลุ่มมีการแจกแจงปกติ และทราบความแปรปรวนของสอง

ประชากร
2. ประชากรทั้งสองกลุ่มมกี ารแจกแจงแบบใดๆ ทไี่ ม่ทราบคา่ ความแปรปรวนของ

สองประชากร และขนาดตวั อยา่ งทง้ั สองกลมุ่ ต่างมีขนาดใหญ่
3. ประชากรทัง้ สองกลุ่มมีการแจกแจงปกตหิ รือใกล้เคียงปกติ ทไี่ ม่ทราบความ

แปรปรวนของประชากร และกลมุ่ ตัวอย่างมขี นาดเล็ก

3.1 ทราบวา่ ความแปรปรวนของสองประชากรเทา่ กนั σ12  σ22 
3.2 ทราบวา่ ความแปรปรวนของสองประชากรไม่เทา่ กนั σ12  σ22 

1. ประชากรท้ังสองกลุ่มมีการแจกแจงปกติ และทราบความแปรปรวนของสองประชากร
σ12 และ σ 22 แทน ความแปรปรวนของประชากรกลุ่มหน่ึง และกลุ่มสอง ผลตา่ ง

ค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง x 1  x 2 จะมีการแจกแจงปกติ เมอื่ แปลงใหเ้ ป็นค่ามาตรฐาน Z ดงั นี้

  Z  x 1  x 2  μ1  μ2
σ12 2
 σ 2
n1
n2

ท่รี ะดบั ความเชอื่ มัน่ (1-  )100% ค่าประมาณแบบช่วงของ μ1  μ2
คานวณจากสูตร

การประมาณค่า

95

   x 1  x 2  Zα .σ12 σ 2 x1 x2 Zα . σ12 σ 2
2 2
2 n1 2 n1
 n2  μ1 μ2   n2

หรอื

 x 1  x 2  Z α . σ12  σ 2
2
2 n1 n2

ตัวอย่างท่ี 10 ส่มุ ตัวอย่างรถยนตท์ ่ีใช้ยางรถยนต์ ชนดิ A และ ชนิด B มาชนิดละ 100 คัน เพ่ือ

หาคุณภาพของยางแต่ละชนดิ พบวา่ ยางชนิด A แล่นไดร้ ะยะทาง 25,400 ไมล์ ยางชนิด B แล่น

ได้ระยะทาง 25,100 ไมล์ และพบว่าระยะทางท่ีแล่นได้ของยางรถยนตม์ ีการแจกแจงปกติ มี ส่วน

เบ่ียงเบนมาตรฐาน ของชนดิ A เป็น 100 ไมล์ ชนิด B เปน็ 80 ไมล์ จงประมาณค่าผลตา่ ง

ระยะทางเฉลี่ยของยางรถยนต์ทั้งสองชนดิ ที่แลน่ ได้ ท่ีระดับความเช่ือมน่ั 95%
วิธีทา ยางรถยนตช์ นดิ A : n1 = 100 , x 1 = 25,400 , σ12 = 1002
ยางรถยนต์ชนดิ B : n2 = 100 , x 2 = 25,100 , σ 22 = 802
เนอื่ งจากประชากรทง้ั สองมีการแจกแจงปกติ และทราบ ,
2  2
1 2

ท่รี ะดบั ความเชื่อม่นั 95% การประมาณค่าแบบชว่ งสาหรับ μ1 μ 2 คอื

   x 1  x 2  Zα .σ2 σ 2 x1 x2 Zα . σ12 σ 2
1 2 2
2 2 n1
n1  n2  μ1 μ2   n2

25,400  25,1001.96. 1002  802  μ1 μ2  25,400  25,1001.96. 1002  802
100 100 100 100

300 – 1.96 (12.806)  μ1  μ 2  300 + 1.96 (12.806)
300 – 25.099  μ1  μ 2  300 + 25.099
274.901  μ1  μ 2  325.099

ดงั นนั้ ค่าประมาณของผลต่างระยะทางเฉลี่ยในการแล่นได้ของยางรถยนต์อยู่
ระหวา่ ง 274.901 ถงึ 325.099 ไมล์ ทรี่ ะดับความเช่ือมั่น 95%

การประมาณค่า

96

2. ประชากรทง้ั สองกลุ่มมกี ารแจกแจงแบบใดๆ และขนาดตัวอยา่ งทง้ั สองกลุ่มต่างมีขนาด
ใหญ่ (n1  30 , n2  30)

ถา้ ประชากรมขี นาดใหญ่ และไมว่ ่าประชากรจะแจกแจงแบบใดกต็ าม แล้ว x 1  x 2 มี
การแจกแจงโดยประมาณแบบปกติ แบ่งได้ 2 กรณี ดังน้ี

1. ทราบคา่ σ12 และ σ 22
2. ไม่ทราบคา่ σ12 และ σ 22

กรณี ทราบคา่ σ12 และ σ 22

สูตรการประมาณค่า μ1  μ 2 ท่ีระดบั ความเชื่อมั่น (1-  )100% คือ

   x 1  x 2  Zα .σ12 σ 2 x1 x2 Zα . σ12 σ 2
2 2
2 n1 2 n1
 n2  μ1 μ2   n2

 หรือ σ 2 σ 2
x1 x2 Zα . 1  2
n1 n2
2

กรณีไมท่ ราบคา่  2 และ  2
1 2

ในกรณีทป่ี ระชากรมขี นาดใหญ่ ไม่วา่ ประชากรจะแจกแจงแบบใดๆ กต็ าม และไม่ทราบ

ความแปรปรวนของประชากร จงึ ใช้ S12 เป็นค่าประมาณของ σ12 และใช้ S22 เปน็ ค่าประมาณ
ของ σ 22

สตู รการประมาณค่า μ1  μ 2 ท่ีระดับความเช่ือม่ัน (1-  )100% คือ

   x 1  x 2  Z α . s12 s22 x1 x2 Zα. s12 s22

2 n1 n2 2 n1 n2
  μ1  μ2  

หรอื

 x 1  x 2  Z α . s12  s22
n1 n2
2

การประมาณค่า

97

ตวั อยา่ งที่ 11 ฟารม์ เลยี้ งหมู สมุ่ หมูท่มี ีคุณสมบัติเหมือนกันมา 2 คอก คอกละ 30 ตัว แล้วให้

กินอาหารทีแ่ ตกตา่ งกัน โดยคอกแรกให้กนิ รากบั เศษข้าว คอกทส่ี องให้กินราต้มกบั ผัก เลย้ี งไวส้ าม

เดอื น แล้วมาช่ังนา้ หนกั ผลปรากฏ ดังนี้

คอกท่ี 1 คอกที่ 2

น้าหนกั เฉล่ีย (กก.) 76 69

ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน (กก.) 6.9 4.1

จงประมาณค่าความแตกตา่ งระหวา่ งนา้ หนักของหมูทงั้ สองคอก ที่ระดับความเช่อื ม่นั 90%

วธิ ที า คอกท่ี 1 : n1 = 30 , x 1 = 76 , s12 = 6.92
คอกที่ 2 : n2 = 30 , x 2 = 69 , s22 = 4.12

เน่อื งไม่ทราบ σ12 , σ 22 และ n1  30 , n2  30
ทร่ี ะดับความเชื่อมนั่ 90% การประมาณค่าแบบชว่ งสาหรบั μ1  μ 2 คอื

   x 1  x 2  Z α . s12 s22 x1 x2 Zα. s12 s 2
2
2 n1 n2 2 n1
  μ1  μ2   n2

76  691.645 (6.9)2  (4.1)2  μ1 μ2  76  691.645. (6.9)2  (4.1)2
30 30 30 30

7 – 1.645 (1.442)  μ1  μ 2  7 – 1.645 (1.442)
7 – 2.372  μ1  μ 2  7 + 2.372
4.628  μ1  μ 2  9.372

ดังนัน้ ค่าประมาณผลต่างของน้าหนักเฉลยี่ หมสู องคอกอยู่ระหวา่ ง 4.628 ถึง 9.372
กิโลกรมั ที่ระดับความเชอ่ื มนั่ 90%

3. ประชากรท้งั สองกลุ่มมีการแจกแจงปกติหรอื ใกล้เคียงปกติ ทีไ่ ม่ทราบความแปรปรวนของ
ประชากร และกลุ่มตัวอยา่ งมขี นาดเล็ก (n1 < 30 , n2 < 30)

3.1 ไม่ทราบ σ12 และ σ 22 แต่ทราบวา่ ความแปรปรวนของสองประชากรเท่ากนั σ12  σ22 

กรณีนไ้ี ม่ทราบความแปรปรวนของสองประชากร ทราบเพยี งวา่ ความแปรปรวนของ
ประชากรสองกลมุ่ เท่ากัน กลมุ่ ตวั อย่างมีขนาดเล็ก จงึ มีการแจกแจงแบบ t จงึ คานวณหาค่าความ

แปรปรวนรวม (Pooled variance) Sp2 แทนค่าประมาณความแปรปรวนของประชากร
( σ 2  σ12  σ 22 )

การประมาณค่า

98

Sp2 = (n1 1)S12  (n2 1)S22
n1  n2  2

เปิดตารางคา่ t ท่ี df = n1 + n2 – 2
สตู รการประมาณคา่ μ1  μ 2 ท่ีระดบั ความเชื่อมัน่ (1-  )100% คอื

   x 1  x 2  t α .Sp11 x1 x2  t α .Sp. 1 1
n1 n2 n1 n2
2 2
  μ1 μ2  

 หรือ 1 1
x 1  x 2  t α .Sp n1  n2

2

ตัวอย่างที่ 12 ตอ้ งการเปรียบเทยี บยอดขายสนิ คา้ แผนกต่างๆ ของพนักงานในห้างสรรพสนิ คา้ จงึ
สมุ่ พนกั งานขายมาสองแผนก คอื แผนกเคร่อื งเขยี น จานวน 10 คน และแผนกของใชใ้ นครวั เรือน
จานวน 12 คน เพอื่ สอบถามยอดขายเฉลยี่ ในรอบหน่ึงเดือน พบว่า แผนกเครอื่ งเขียน มยี อดขาย

เฉล่ียต่อเดือนเทา่ กบั 5.8 ลา้ นบาท สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน 1 ล้านบาท แผนกของใช้ใน

ครวั เรอื น มียอดขายเฉลี่ยต่อเดือนเทา่ กบั 3.9 ลา้ นบาท ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2.5 ล้านบาท

สมมติว่าตัวอยา่ งท่สี มุ่ มานั้นมากจากประชากรท่ีมกี ารแจกแจงปกติ และมีความแปรปรวนเท่ากนั จง
ประมาณคา่ ความแตกตา่ งยอดขายเฉล่ยี ของพนักงานทัง้ สองแผนก ท่รี ะดบั ความเชอ่ื มน่ั 90%

วิธที า แผนกเครื่องเขียน : n1 = 10 , x1 = 5.8 , s12 = 12

แผนกของใช้ในครัวเรือน : n2 = 12 , x 2 = 3.9 , s22 = 2.52
เนอ่ื งจากไม่ทราบความแปรปรวนของประชากร ทราบแต่ว่าความแปรปรวนเทา่ กัน

และ กลุม่ ตัวอยา่ งมีขนาดเลก็ ((n1 < 30 , n2 < 30)

สตู รการประมาณคา่ μ1  μ2 ทีร่ ะดบั ความเช่ือม่นั (1-  )100% คอื

 x 1  x 2  t α .Sp 11
n1  n2
2

Sp2 = (n1 1) S12  (n2 1) S22
n1  n2  2

การประมาณค่า

99

= (10 1)(1)2  (12 1)(2.5)2
10 12  2
(9)(1)  (11)(6.25)
= 20

= 9  68.75
20
77.75
= 20

= 3.88

Sp = 3.88

= 1.97

df = n1 + n2 – 2 = 10 + 12 – 2 = 20

ชว่ งการประมาณค่า = 5.8  3.91.725.(1.97) 1  1
10 12

= 1.9 ± 1.725. (1.97).(0.423)

= 1.9 ± 1.437
= 0.463  μ1  μ 2  3.337

ดงั นั้น ความแตกต่างในยอดขายเฉลีย่ ของสองแผนกอยรู่ ะหวา่ ง 0.463 ถึง 3.337 ลา้ นบาททร่ี ะดบั
ความเชื่อม่ัน 90%

3.2 ไมท่ ราบ σ 2 และ σ 2 แต่ทราบวา่ ความแปรปรวนของสองประชากรไมเ่ ทา่ กนั
1 2
σ12  σ22 

กรณนี ไ้ี มท่ ราบความแปรปรวนของสองประชากร ทราบเพียงวา่ ความแปรปรวนของประชากร

สองกลุม่ ไม่เท่ากัน จงึ ใช้ S12 และ S22 แทนตวั ประมาณค่า σ 12 และ σ 2 และกลมุ่ ตัวอยา่ งมีขนาด
2
เลก็ จงึ มกี ารแจกแจงแบบ t ทมี่ ี df =  โดย

 S12  S22 2
 n1 n2 
 =  

 S12  2  S22 2
 n1   n2 
    
n1 1 n2 1

การประมาณค่า

100

สูตรการประมาณคา่ μ1  μ 2 ท่ีระดบั ความเชื่อม่ัน (1-  )100% คือ

   x 1  x 2  tα.ν .S12S22 x1 x2  tα.ν . S12 S22
2n1 n2 n1 n2
  μ1 μ2  2 

 หรือ S12 S22
x 1  x 2  tα.ν n1  n2

2

ตัวอยา่ งท่ี 13 ฟาร์มเล้ียงหมู ทดลองอาหารสาหรบั การเล้ียงหมู 2 ชนิด คือ เลีย้ งดว้ ยรากับเศษ
ขา้ ว จานวน 8 ตวั เลี้ยงด้วยราตม้ กบั ผัก จานวน 6 ตัว เวลาผา่ นไปสามเดือน ได้ข้อมูล ดงั นี้

นา้ หนักเฉลยี่ (กก.) รากบั เศษข้าว ราตม้ กบั ผัก
ความแปรปรวน (กก.)2 80 76
6.5 4.1

ถ้านา้ หนักของหมทู ี่กินหารทั้งสองชนดิ น้ี มีการแจกแจงปกติ และมีความแปรปรวนไมเ่ ท่ากัน จง
ประมาณคา่ ความแตกตา่ งระหวา่ งน้าหนักของหมูที่กินอาหารตา่ งกนั ท่ีระดับความเช่ือม่ัน 99%

วธิ ที า อาหารรากับเศษข้าว : n1 = 8 , x1 = 80 , s12 = 6.5
อาหารราต้มกบั ผกั : n2 = 6 , x 2 = 76 , s22 = 4.1

เนื่องไม่ทราบ σ12 , σ 22 และ n1 < 30 , n2 < 30 ทราบเพียงวา่ σ12  σ22 

ท่รี ะดับความเชื่อมน่ั 99% การประมาณค่าแบบชว่ งสาหรบั μ1  μ 2 คอื

 x 1  x 2  tα.ν S12  S22
2 n1 n2

การประมาณค่า

101

 S12  S22 2
 n1 n2 
 =  

 S12  2  S22 2
 n1   n2 
    
n1 1 n2 1

 6.5  4.1 2
 8 6 
=
6.5 2 46.12
 8   
 81  61

= 2.22
0.18
= 12.33  12

ดังนัน้ df = 12 tα.12 = 3.055

2

 x 1  x 2  tα.ν S12  S22
2 n1 n2

= 80  76 3.055 6.5  4.1
8 6
= 4 ± 3.055 (1.22)

= 4 ± 3.727
= 0.27  μ1  μ 2  7.727

ดงั น้นั ค่าประมาณผลตา่ งของนา้ หนักเฉลี่ยหมูที่กนิ อาหารตา่ งกนั อย่รู ะหวา่ ง 0.27 ถงึ
7.727 กิโลกรมั ที่ระดับความเชือ่ ม่ัน 99%

การประมาณค่า

102

แบบฝึกหัด 3.2

คาช้ีแจง จงแสดงวิธที าเพอ่ื หาคาตอบจากโจทย์ตอ่ ไปนี้

1. สมุ่ นักเรียนชนั้ ปวช.1 แผนกบัญชีของวิทยาลัยแห่งหน่ึงมา 2 กลุ่ม กลุ่มละ 10 คน เพื่อทาการ
ทดสอบการพิมพ์ดีดบทความ โดยกาหนดเวลาให้ 1 นาที จงประมาณค่าความแตกต่างค่าเฉลี่ยแบบ
จดุ ของจานวนพยญั ชนะที่พิมพผ์ ิด ดงั ข้อมูลต่อไปนี้ (2 คะแนน)
กล่มุ 1. 9, 11, 8, 13, 12, 15, 7, 16, 14, 10
กล่มุ 2. 10, 17, 16, 12, 10, 16, 9, 14, 7, 13
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………….…………………..
2. จากข้อ 1 สมมติว่าตัวอย่างทั้งสองที่ได้ มาจากประชากรท่ีมีการแจกแจงปกติ ซึ่งมีค่าความ
แปรปรวนเท่ากัน จงประมาณค่าความแตกต่างค่าเฉล่ียแบบช่วงของจานวนพยัญชนะท่ีพิมพ์ผิด ท่ี
ระดับความเชอื่ มน่ั 90% (3 คะแนน)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

การประมาณค่า

103

3. สุ่มอาหารกระป๋องมา 2 ชนิด เพ่ือตรวจหาปริมาณสารกันบูด โดยสุ่มอาหารกระป๋องชนิด A มา
35 กระป๋อง พบว่ามีสารกันบูดเฉล่ีย 0.89 มิลลิกรัม ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 0.05 มิลลิกรัม และ
สุ่มอาหารกระป๋องชนิด B มา 30 กระป๋อง พบว่ามีสารกันบูดเฉลี่ย 0.77 มิลลิกรัม ส่วนเบ่ียงเบน
มาตรฐาน 0.09 มิลลิกรัม จงประมาณค่าผลต่างปริมาณสารกันบูดเฉล่ียของอาหารกระป๋องท้ังสอง
ชนดิ ทร่ี ะดับความเชอื่ มนั่ 95% (3 คะแนน)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
4. เกษตรกรปลูกข้าวโพด 2 ชนิด ในแปลงทดลองขนาด 1 ไร่ โดยปลูกข้าวโพดชนิดที่ 1 ในแปลง
ทดลอง 15 แปลง ได้ผลผลิตขา้ วโพดเฉลีย่ 270 กโิ ลกรมั ต่อไร่ ความแปรปรวนเท่ากับ 25 กิโลกรัม
และปลูกชนิดท่ี 2 ในแปลงทดลอง 12 แปลง ได้ผลผลิตข้าวโพดเฉล่ีย 247 กิโลกรัมต่อไร่ ความ
แปรปรวนเท่ากับ 16 กโิ ลกรมั สมมติว่าพันธ์ข้าวโพดท้ังสองชนิดน้ีมีการแจกแจงปกติ และมีค่าความ
แปรปรวนไม่เท่ากัน จงประมาณค่าความแตกต่างของผลผลิตเฉลี่ยที่ได้จากข้าวโพดท้ังสองชนิดนี้ ท่ี
ระดับความเชอื่ ม่นั 99% (3 คะแนน)

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

การประมาณค่า 104

………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5. สมมติว่าผลผลิตท่ีได้จากการเย็บผ้าของช่างเย็บผ้าชายและช่างเย็บผ้าหญิงมีการแจกแจงปกติ มี
ความแปรปรวนของผลผลิตที่ได้เท่ากัน คือ 49 ช้ิน สุ่มตัวอย่างช่างเย็บผู้ชายมา 8 คน พบว่ามี
ผลผลิตเฉล่ีย 80 ชิ้น สุ่มตัวอย่างช่างเย็บผู้หญิงมา 15 คน พบว่ามีผลผลิตเฉล่ีย 68 ช้ิน จง
ประมาณผลตา่ งระหว่างผลผลิตเฉล่ียที่ได้จากช่างเย็บผ้าชายและช่างเย็บผ้าหญิง ท่ีระดับความเชื่อม
มน่ั 90% (3 คะแนน)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

การประมาณค่า

105

3. การประมาณค่าสดั สว่ นของประชากร

3.1 การประมาณค่าสัดสว่ นของประชากรกลมุ่ เดยี ว
การประมาณค่าสัดส่วนของประชากรจะใช้กับข้อมูลเชิงคุณภาพท่ีไม่สามารถหา

ค่าเฉลี่ยได้ และประชากรจะมีการแจกแจงแบบทวินาม เช่น คุณภาพของสินค้า ความสนใจในการ
เลอื กใชส้ นิ คา้ เป็นตน้

การประมาณค่าสดั ส่วนของประชากร มี 2 แบบ คือการประมาณค่าสดั ส่วนของ
ประชากรแบบจดุ และการประมาณค่าสัดส่วนของประชากรแบบชว่ ง

1. การประมาณค่าสัดส่วนของประชากรกลุ่มเดียวแบบจุด จะแบ่งลักษณะของ
ประชากรออกเป็น 2 กลมุ่ คอื ลกั ษณะประชากรทส่ี นใจและลักษณะประชากรทไี่ ม่สนใจ

ให้ p เป็นสดั ส่วนของประชากรทส่ี นใจศึกษา
q เป็นสดั สว่ นของประชากรท่ีไมส่ นใจศึกษา

โดยที่ q = 1 – p หรอื p + q = 1
เนื่องจากไม่ทราบ p ของประชากร จึงใช้ pˆ ซ่ึงเป็นสัดส่วนของตัวอย่าง แทนการประมาณ
สัดสว่ นของประชากร

pˆ = จานวนตัวอยา่ งท่มี ลี กั ษณะสนใจ
จานวนตวั อยา่ งทั้งหมด

หรือ pˆ = x
n

ตวั อย่างท่ี 14 จากการสอบถามแม่บ้าน 50 คน เก่ียวกบั การใช้น้ายาลา้ งจานยห่ี อ้ A และ B

พบว่า แม่บ้านใช้นา้ ยาลา้ งจานยี่หอ้ A จานวน 38 คน จงประมาณสดั ส่วนของแมบ่ ้านทใ่ี ชน้ ้ายา

ล้างจานยหี่ อ้ B

วธิ ีทา ให้ pˆ เปน็ ตัวประมาณสดั ส่วนของผ้ใู ชน้ า้ ยาล้างห้องน้ายหี่ อ้ B

pˆ = จานวนตัวอยา่ งทมี่ ีลกั ษณะสนใจ

จานวนตัวอยา่ งทัง้ หมด
12
= 50

= 0.24

น่ันคอื คา่ ประมาณสดั สว่ นแบบจดุ ของแมบ่ ้านท่ใี ชน้ ้ายาลา้ งจานย่หี อ้ B เทา่ กบั 0.24 หรอื 24 %

การประมาณค่า

106

2. การประมาณคา่ สดั ส่วนของประชากรกลุ่มเดยี วแบบช่วง

การสร้างความเชอ่ื มน่ั p ขนึ้ อยู่กับการแจกแจงของประชากร ตัวประมาณของ p จะ

ใช้ pˆ ซง่ึ pˆ มคี า่ อยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และ ถา้ ประชากรมกี ารแจกแจงปกติ ค่า pˆ จะมีค่าไมใ่ กล้

0 และ 1 เกินไป

ให้ pˆ เป็นคา่ ประมาณของ p p(1  p)
N
และ pˆ มีคา่ เฉลีย่ เท่ากบั p และมคี า่ ความแปรปรวนเท่ากบั

เนือ่ งจากไม่ทราบค่า p จงึ ใช้ pˆ ในการหาความแปรปรวน
pˆ(1 pˆ)
ดงั นน้ั ความแปรปรวน = n

เมอ่ื n มขี นาดใหญ่ p มกี ารแจกแจงปกติ จะไดค้ า่ ประมาณสดั สว่ นแบบชว่ ง ดงั สูตร

ตอ่ ไปนี้

pˆ  z α . pˆ (1 pˆ ) p  pˆ  zα. pˆ (1 pˆ )
n n

22

หรือชว่ งของคา่ ประมาณของ p ทรี่ ะดับความเชอ่ื มน่ั (1)100% คอื

pˆ  z α . pˆ (1  pˆ )
n

2

หรือ สามารถประมาณค่าสดั ส่วนของประชากร ได้อกี แบบจากสตู ร

pˆ  z α . pˆqˆ  p  pˆ  z α . pˆqˆ เมือ่ qˆ = 1 pˆ
n n

22

หรือ pˆ  z α . pˆqˆ
n

2

การประมาณค่า

107

ตวั อย่างท่ี 15 จากการสอบถามแมบ่ า้ น 50 คน เก่ยี วกบั การใชน้ ้ายาล้างจานยี่ห้อ A และ B

พบวา่ แมบ่ า้ นใช้นา้ ยาล้างจานยี่ห้อ A จานวน 38 คน จงประมาณสัดสว่ นแบบชว่ งของแม่บ้านที่

ใช้นา้ ยาล้างจานยีห่ ้อ A ทร่ี ะดบั ความเชื่อมนั่ 90%

วธิ ีทา

ให้ pˆ เปน็ สัดส่วนของแมบ่ า้ นทใ่ี ช้นา้ ยาล้างจานย่ีห้อ A
x
pˆ = n

= 38
50
= 0.76

ดงั นน้ั สัดสว่ นการประมาณค่า คอื

 1- 

2 0 2

-1.645 1.645

สูตรการประมาณคา่ สดั ส่วน = pˆ  z α . pˆ (1 pˆ )  p  pˆ  z α . pˆ (1 pˆ )
n n

22

= 0.76 1.645. 0.76(1  0.76)  p  0.76  1.645. 0.76(1 0.76)
50 50

= 0.76 1.645. 0.76(0.24)  p  0.76 1.645. 0.76(0.24)
50 50

= 0.76 1.645. 0.1824  p  0.76  1.645. 0.1824
50 50

= 0.761.645.(0.060)  p  0.761.645.(0.060)

= 0.76  0.033  p  0.76  0.033

= 0.727  p  0.793

ดงั นนั้ สัดสว่ นของแมบ่ า้ นท่ีใชน้ า้ ยาล้างจานย่ีหอ้ A อยูร่ ะหวา่ ง 0.727 ถงึ 0.793 ท่ีระดบั ความ
เชื่อมน่ั 90%

การประมาณค่า

108

ตวั อยา่ งท่ี 16 สุ่มชาวนาในจงั หวดั อุดรธานมี า 100 คน พบว่าเปน็ หนีธ้ นาคาร ธกส. จานวน 60 คน

จงประมาณช่วงความเชือ่ มั่น 95% ของสัดส่วนชาวนาในจังหวัดอดุ รธานที ี่เป็นหน้ธี นาคาร

ให้ pˆ เป็นวดั สว่ นของชาวนาท่ีเปน็ หน้ี
x
pˆ = n

= 60
100
= 0.60

และ pˆ = 1 – 0.6

= 0.40

ดังนัน้ การประมาณค่าสัดสว่ นของประชากร คือ

 1- 

22

-1.96 0 1.96

P = pˆ  z α . pˆqˆ
n

2 (0.6)(0.4)
100
P = 0.60 ± 1.96

= 0.60 ± 0.096

= 0.504 ถึง 0.696

ดังนนั้ สัดสว่ นชาวนาในจังหวัดอุดรธานีทเี่ ป็นหน้ี ธกส. อยใู่ นช่วง 0.504 - 0.696 ที่ระดบั
ความความเชื่อม่นั 95%

3.2 การประมาณคา่ ผลต่างสัดสว่ นของประชากรสองกลุ่ม
เป็นการเปรียบเทียบผลตา่ งสดั ส่วนของประชากรสองกลุม่ เช่น ตอ้ งการเปรียบเทียบ

ผลต่างระหวา่ งสดั ส่วนของนักศกึ ษาชายและนกั ศึกษาหญงิ ท่ีชอบดกู ารแขง่ ขันฟตุ บอล เป็นต้น
กาหนดให้ pˆ1 แทนลกั ษณะตัวอย่างท่ีสนใจ จากประชากรกลุ่มท่ี 1

n1 แทนจานวนตัวอย่างท่สี นใจ จากประชากรกลุ่มที่ 1

การประมาณค่า

109

สูตร pˆ1 =  x1i
n1

และ pˆ2 แทนลักษณะตวั อย่างที่สนใจ จากประชากรกลุ่มท่ี 2
n2 แทนจานวนตวั อยา่ งท่ีสนใจ จากประชากรกลุม่ ที่ 2

สตู ร pˆ 2 =  x2i
n2

การประมาณค่าผลต่างสัดส่วนของประชากรสองกล่มุ มี 2 แบบ คอื การประมาณคา่
ผลต่างสดั ส่วนของประชากรสองกลุ่มแบบจดุ และการประมาณค่าผลต่างสดั สว่ นของประชากรสอง
กลุ่มแบบชว่ ง

1. การประมาณค่าผลต่างสัดส่วนของประชากรสองกลุม่ แบบจุด
สัดสว่ นของประชากร 2 กลุม่ แทนด้วย p1 และ p2 ตามลาดบั การ

ประมาณค่าผลตา่ งสัดส่วนของประชากรแบบจุดของประชากรสองกลุ่ม คือ p1 – p2 และการ
ประมาณค่าผลตา่ งของกล่มุ ตัวอยา่ งสองกลมุ่ คือ pˆ1 - pˆ2 เม่ือ pˆ1 แทนลกั ษณะตวั อย่างท่สี นใจ
จากประชากรกลมุ่ ท่ี 1 และ pˆ2 แทนลักษณะตัวอย่างทส่ี นใจจากประชากรกลุ่มที่ 2
ในทางปฏิบัตกิ ารประมาณคา่ สดั สว่ นของประชากรแบบจุด จะตอ้ งใชก้ ลุ่มตัวอยา่ งทม่ี ีขนาดใหญใ่ น
การศกึ ษา

ตัวอย่างท่ี 17 ตอ้ งการประมาณค่าความแตกตา่ งระหว่างสดั ส่วนนักเรียนวยั รุ่นชายต่อนกั เรียนวยั รนุ่

หญิงในการชอบดฟู ตุ บอล จงึ สุม่ นักเรยี นวันรุ่นชายและหญิงมาจานวน 120 คน และ 150 คน

ตามลาดบั นักเรียนวยั รุ่นชายชอบดูฟตุ บอล 90 คน นักเรียนวัยรนุ่ หญงิ ชอบดูฟตุ บอล 60 คน

วิธที า 90
120
pˆ ชาย = = 0.75

pˆ หญงิ = 60 = 0.40
150
pˆ ชาย - pˆ หญิง = 0.75 – 0.40 = 0.35

ดังนัน้ คา่ ประมาณผลต่างสัดส่วนการชอบดูฟตุ บอลของนักเรียนวยั รุ่นชายและนกั เรยี น
วัยรนุ่ หญิงเป็น 0.35

การประมาณค่า

110

2. การประมาณคา่ ผลตา่ งสัดส่วนของประชากรสองกลุ่มแบบช่วง

ให้ P1 แทนสดั ส่วนประชากรในกลุ่มท่ี 1
P2 แทนสดั ส่วนประชากรในกลุม่ ที่ 2
pˆ1 แทนลักษณะตัวอยา่ งที่สนใจ จากประชากรกลุ่มท่ี 1
n1 แทนจานวนตัวอย่างทสี่ นใจ จากประชากรกลุ่มท่ี 1
pˆ2 แทนลักษณะตวั อย่างที่สนใจ จากประชากรกลุ่มท่ี 2
n2 แทนจานวนตวั อยา่ งที่สนใจ จากประชากรกลมุ่ ที่ 2
pˆ1 -pˆ2 แทนการแจกแจงผลตา่ งของสดั สว่ นกลมุ่ ตัวอยา่ งสองกลุ่ม ซง่ึ ใชแ้ ทนการประมาณ
สดั ส่วนเฉล่ียของประชากรที่มีการแจกแจงปกติ คือ P1 – P2 และมคี วามแปรปรวนเท่ากับ
pˆ1qˆ1 pˆ2qˆ2
n1  n2 เมือ่ qˆ = 1 pˆ

ดังน้นั ชว่ งของค่าประมาณของ p1 – p2 ทีร่ ะดบั ความเชือ่ ม่ัน (1)100% คอื

(pˆ1  pˆ2 )  z α . pˆ1 (1  pˆ1 )  pˆ 2 (1  pˆ2 )
n1 n2
2

หรือ (pˆ1  pˆ2 )  z α . pˆ1qˆ1  pˆ 2qˆ 2
n1 n2
2

ตวั อยา่ งท่ี 18 จากการสอบถามนักศกึ ษาชายและหญิงทีจ่ บในระดบั ปวส. ว่าตอ้ งการศึกษาต่อใน

ระดบั ปรญิ ญาตรหี รือไม่ โดยสอบถามนักศึกษาชายจานวน 125 คน และนกั ศกึ ษาหญิง 103 คน

พบว่า นักศึกษาชายเรียนต่อจานวน 83 คน นกั ศึกษาหญิงเรียนตอ่ 80 คน จงประมาณคา่ ผลต่าง

สัดสว่ นของนกั ศึกษาชายและหญิงทเี่ รียนเขา้ ศึกษาต่อในระดบั ปริญญาตรี ที่ระดบั ความเชอ่ื มน่ั 90%
83
วิธีทา สัดส่วนนกั ศึกษาชายที่เรียนต่อ pˆ1 = 125 = 0.66

1–pˆ1 = 1 – 0.67 = 0.34
80 = 0.77
สดั ส่วนนักศึกษาหญิงทเ่ี รยี นต่อ pˆ 2 = 103

1–pˆ2 = 1 – 0.77 = 0.23
ระดบั ความเชื่อมั่น (1)100% = 90%

การประมาณค่า

111

 = 0.05

2

Z0.05 = ±1.645
ชว่ งของคา่ ประมาณของ p1 – p2 ทีร่ ะดบั ความเชอ่ื ม่นั (1)100% คอื

(pˆ1  pˆ2 )  z α . pˆ1qˆ1  pˆ 2qˆ 2
n1 n2
2

= (0.77  0.66) 1.645 0.77(0.23)  0.66(0.34)
103 125

= 0.11 ±1.645 0.18  0.22
103 125

= 0.11 ±1.645 (0.063)

= 0.11± 0.104

= 0.11 – 0.104 < p1 – p2 < 0.11 + 0.104
= 0.006 < p1 – p2 < 0.214
ดงั น้นั ผลตา่ งสัดส่วนของนักศกึ ษาชายและนักศึกษาหญิงทศ่ี กึ ษาต่อในระดับปริญญาตรี อยู่
ระหว่าง 0.006 ถงึ 0.214

การประมาณค่า

112

แบบฝึกหัด 3.3

คาชีแ้ จง จงแสดงวิธที าเพอ่ื หาคาตอบจากโจทยต์ ่อไปน้ี
1. วทิ ยาลัยแหง่ หน่งึ ตอ้ งการจัดครูไปศึกษาดูงานในภาคเรยี นฤดรู ้อน จึงสารวจความต้องการของครู
ท้ังหมด 205 คน พบวา่ มคี รสู นใจไปศึกษาดงู านจานวน 156 คน จงประมาณค่าสดั ส่วนแบบจดุ
และแบบช่วงของครูที่สนใจไปศึกษาดงู าน ที่ระดับความเช่ือมน่ั 99% (3 คะแนน)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………….…………………….
2. จากโจทย์ขอ้ 1 ถ้ามคี รูผู้ชายทัง้ หมด 123 คน และครชู ายสนใจไปศึกษาดูงานจานวน 85 คน
ท่เี หลือเปน็ ครูหญิง จงประมาณค่าผลตา่ งสดั สว่ นแบบจดุ และแบบช่วงของครูชายและครูหญิงทีส่ นใจ
ไปศกึ ษาดงู านทรี่ ะดับความเชื่อม่ัน 95% (3 คะแนน)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

การประมาณค่า

113

3. สุ่มตรวจคณุ ภาพเครื่องยนต์ ของรถยนต์ 2 ยี่ห้อ คือย่หี ้อ A และ ย่ีห้อ B ท่มี อี ายุการใชง้ าน 3
ถงึ 5 ปี พบวา่ ยหี่ อ้ A เคยเข้ารบั บริการซ่อมเครือ่ งยนต์ จานวน 63 คนั จากทง้ั หมด 200 คัน
ยีห่ ้อ B เคยเข้ารบั บรกิ ารซ่อมเครอ่ื งยนต์ จานวน 40 คนั จากทั้งหมด 160 คนั (3 คะแนน)

3.1 จงประมาณผลต่างสัดสว่ นของการเข้าซ่อมเครื่องยนต์ของรถยนต์
3.2 จงประมาณผลตา่ งสัดสว่ นของการเข้าซ่อมเคร่ืองยนต์ ทรี่ ะดบั ความเชอื่ มมน่ั 90%
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. โรงพยาบาลแหง่ หนง่ึ ตรวจสขุ ภาพผ้สู ูงวัยท่มี ีอายุ 60 ปี ขึ้นไป เพ่ือหาปริมาณนา้ ตาลในเลือด
พบวา่ เพศหญิงจานวน 70 คน มีปรมิ าณน้าตาลในเลอื ดเกนิ เกณฑ์ท่ีกาหนดจานวน 37 คน และ
เพศชายจานวน 50 คน มีปริมาณนา้ ตาลในเลือดเกนิ เกณฑ์ที่กาหนดจานวน 22 คน จงประมาณ
ผลตา่ งสดั ส่วนของคนที่มีน้าตาลในเลือดเกนิ เกณฑ์ท่ีกาหนด ทร่ี ะดับความเชือ่ ม่ัน 95% (3 คะแนน)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

การประมาณค่า

114

แบบทดสอบหลังเรยี น

คาชแี้ จง ข้อสอบปรนยั มจี านวน 10 ข้อ ให้นักศึกษาเลือกคาตอบท่ีถกู ท่สี ุดเพยี งคาตอบเดยี ว
1. ข้อใดต่อไปน้ีถูกตอ้ ง
ก. การประมาณค่า เป็นค่าเฉลี่ยท่คี านวณไดจ้ ากกล่มุ ประชากร
ข. สมชายคาดคะเนวา่ จะได้เกรด 4 ในวชิ าสถติ แิ ละการวางแผนการทดลอง ถือวา่
เป็นการประมาณคา่
ค. สมหญงิ มีค่าใชจ้ ่ายรายวนั โดยเฉล่ยี 250 บาท ถือวา่ เป็นการประมาณคา่
ง. การประมาณค่าท่ดี ตี ้องอาศัยหลกั การและเหตผุ ล
จ. การประมาณค่าทด่ี มี โี อกาสเป็นไปได้มากกว่า 50%
2. ระดบั ความเชื่อมั่นในการประมาณค่า หมายความว่าอยา่ งไร
ก. ระดับความนา่ เช่ือถือของข้อมูลท่ีนามาประมาณค่า
ข. ระดับความน่าเชื่อถือของการประมาณค่าท่ีถกู ต้อง
ค. ระดบั หรือโอกาสท่ีจะเกดิ ความผิดพลาดในการประมาณค่า
ง. ระดับหรือโอกาสในการเลอื กขอ้ มูลมาประมาณคา่ แล้วเกดิ ความถกู ต้อง
จ. ความนา่ จะเป็นในการสรปุ ค่าการประมาณค่าท่ถี ูกต้อง
3. ช่วงของการประมาณคา่ จะกว้างหรือแคบ ข้ึนอยู่กับปัจจัยใด
ก. ระดบั ความเช่ือมน่ั
ข. ขนาดของกลุม่ ตวั อยา่ ง
ค. การกระจายของข้อมลู
ง. แหล่งของข้อมลู
จ. ขอ้ ก และ ข้อ ค ถูกต้องทีส่ ุด

การประมาณค่า

115

4. การประมาณค่าในข้อใดที่เกิดความผิดพลาดน้อยที่สดุ

ก, การประมาณค่าทีร่ ะดบั ความเช่อื มัน่ 90%
ข. การประมาณคา่ ที่  = .05

ค. การประมาณค่าที่  = .01

ง. การประมาณค่าที่  = .10
จ. การประมาณคา่ ท่ี  = .005

5. ขอ้ ใดกล่าวผิด

ก. ช่วงของการประมาณค่ากวา้ ง โอกาสของการผิดพลาดในการประมาณค่าจะมาก
ข. X แทนการประมาณค่าเฉล่ีย
ค. pˆ แทนการประมาณค่าสดั ส่วน

ง. การประมาณค่าเฉล่ยี แบบช่วงจะอยูร่ ะหวา่ ง L < µ < U

จ. ระดบั ความเชอื่ ม่นั สูง ชว่ งของการประมาณคา่ จะกวา้ ง
6. ขอ้ มูลต่อไปนี้ เปน็ ค่าใช้จา่ ยต่อเดือนของนกั ศึกษาระดบั ปริญญาตรี จานวน 10 คน 4500,
6000, 5000, 5500, 7000, 4500, 6000, 6500, 6000, 8000 ข้อใดสรปุ ถูกต้อง

ก. นกั ศึกษากลุ่มนส้ี ว่ นใหญ่มคี ่าใชจ้ ่ายโดยประมาณ 6,000 บาท
ข. ค่าเฉลยี่ เทา่ กบั 5900 บาท ถือว่าเปน็ การประมาณค่าแบบจดุ

ค. ค่าใช้จา่ ยระหวา่ ง 4500 – 8000 บาท ถือเป็นเป็นการประมาณคา่ แบบจุด

ง. การประมาณค่าแบบช่วงในข้อน้ี ไม่สามารถทาได้ ถ้าไม่กาหนดระดบั ความ
เชอื่ มนั่

จ. คาตอบที่ถูกตอ้ งท่ีสดุ คือ ข้อ ข และ ง

7. วทิ ยาลยั แหง่ หนงึ่ ต้องการจัดนกั ศกึ ษาไปทศั นศกึ ษาในภาคเรยี นฤดรู ้อน จึงสารวจความ
ต้องการของนักศึกษาทงั้ หมด 300 คน พบวา่ สนใจไปทศั นศกึ ษาจานวน 256 คน จงประมาณคา่
สดั ส่วนแบบจุดของนักศึกษาทไี่ ปทัศนศึกษาในครงั้ น้ี

ก. 256
ข. 44

การประมาณค่า

116

ค. 1.172

ง. 0.853

จ. 0.172

8. ขอ้ มูลปรมิ าณนา้ ในของภาคตะวนั ออกเฉียงเหนือในรอบ 10 ปที ่ผี ่านมา มกี ารแจกแจงใกล้เคียง
ปกติ มคี ่าเฉลีย่ 8.5 น้วิ สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน 0.45 นิ้ว ถา้ ตอ้ งการประมาณค่าทีร่ ะดบั ความ
เช่ือมน่ั 90% ข้อใดถูกต้อง

ก. สถิตทิ ใ่ี ชป้ ระมาณค่าคอื t-test

ข. เปดิ ตารางที่ df = 10

ค. μ = 8.5

ง.  = 0.45

จ. ค่าจากการเปิดตารางเท่ากับ 1.96

9. สมุ่ นักศึกษามา 2 กลุม่ เพื่อประมาณค่าความแตกต่างของคะแนนสอบเฉลี่ย ดงั ข้อมลู ต่อไปน้ี
กลมุ่ 1. 15, 19, 10, 13, 16, 8, 16
กลมุ่ 2. 10, 17, 16, 12, 10, 16, 10, 14, 17, 13
ขอ้ ใดต่อไปนี้ถูกตอ้ ง
ก. ค่าเฉลยี่ คะแนนสอบกลุม่ ที่ 1 เท่ากับ 13.50
ข. ค่าเฉล่ียคะแนนสอบกลุ่มที่ 2 เท่ากับ 13.86
ค. ค่าประมาณความแตกตา่ งของคะแนนเฉล่ยี สองกล่มุ เทา่ กับ 0.36
ง. ค่าประมาณทีไ่ ด้อยู่ระหว่าง 13.50 ถึง 13.86
จ. นกั เรยี นกลุม่ ท่ี 2 มคี า่ เฉล่ียของคะแนนสงู กว่ากลุ่มที่ 1

10. จากการสอบถามแมบ่ า้ น 50 คน เก่ยี วกบั การใชน้ ้ายาล้างจานยีห่ อ้ A และ B พบว่า
แมบ่ า้ นใชน้ า้ ยาล้างจานยหี่ ้อ A จานวน 38 คน ถา้ ตอ้ งประมาณสดั ส่วนแบบชว่ งของแม่บา้ นท่ีใช้
น้ายาล้างจานยห่ี อ้ B ทร่ี ะดับความเช่อื มน่ั 90% ขอ้ ใดถูกต้อง

ก. คา่ Z ของการเปิดตารางเท่ากบั 1.645
ข. ช่วงของการประมาณสดั ส่วนอยู่ระหว่าง 0.24 ถงึ 0.76
ค. สัดสว่ นของคนท่ีใชย้ าลา้ งจานย่ีห้อ B เท่ากับ 0.76
ง. สดั สว่ นของคนที่ใชย้ าลา้ งจานยี่หอ้ A เท่ากับ 0.24
จ. คา่ ประมาณความแตกตา่ งสดั สว่ นของการใชน้ า้ ยาลา้ งจานสองกลุ่มเท่ากบั 0.52