เอกสารประกอบการสอน ม.5
วชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เติม
เร่อื ง จานวนเชงิ ซ้อน
ผูส้ อน
นายอิสระ สระแก้ว
ครู คศ. 1
กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์
ช่อื – สกลุ ....................................................................
เลขท่ี ....... ม.5/.....
จำนวนเชิงซ้อน 1
จานวนเชิงซ้อน ( Complex Number )
นิยาม จานวนเชิงซอ้ น คือ จานวนซ่ึงเขียนในรูปคูอ่ นั ดบั (a , b) โดยที่ a , b R ถา้ z = (a , b) เป็น
จานวนเชิงซอ้ นใดๆ เม่ือ a , b R เรียก a วา่ ส่วนจริง (real part) ของ z เขยี นแทนดว้ ย Re(z)
เรียก b วา่ ส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ z เขียนแทนดว้ ย Im(z)
เซตของจานวเชิงซอ้ น เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ C
เช่น (-1,2) , (7,9) , (-2, ) , (0,-4) , (-2,0) , (0,0)
นิยาม ให้ (a , b) เป็ นจานวนเชิงซ้อนใด ๆ เม่ือ a , b , c , d R
1. การเท่ากัน
(a , b) = (c , d) ก็ต่อเมื่อ a = c , และ b = d
เช่น จงหาคา่ ของ x และ y เมื่อกาหนด
1. (x, -2) = (5 , y)
ดงั น้นั x = 5 และ y = -2
2. (3x, y-x) = (6 , 0)
3. (x + 2y , 3) = (3 , 2x - y)
จำนวนเชิงซ้อน 2
จำนวนเชงิ ซ้อน 3
2. การบวก
(a , b) + (c , d) = (a+ c , b + d)
เช่น 1. (3 , -4) + (6 , 2) =
2. (-1 , 2) + (2 , -3) + (3 , 2 ) =
3. การคูณ
(a , b) (c , d) = (ac - bd , ad + bc)
เช่น 1. (3 , 2) (1 , 1) =
2. (4 , -2) (-3 , 1) =
3. (-2 , -1) (-7 , 2) =
4.( 2 3 , 1) ( 4 3 , -3) =
5.( 2 , 2 ) (- 2 ,- 2 ) (0 , 3 ) =
การเขยี นจานวนเชิงซ้อนในรูป a + bi
นิยาม (a , b) เป็นจานวนเชิงซอ้ นใดๆ เม่ือ a , b R ดงั น้นั (a , b) = a + bi
โดยท่ี a เรียกวา่ ส่วนจริง b เรียกส่วนจนิ ตภาพ และ i เรียกหน่วยจนิ ตภาพ (imaginary unitc) ซ่ึง i = (
0 , 1) เช่น ( 3 , 4) = 3 -4i
( -1 , 7) = -1 + 7i จานวนเชิงซอ้ น
( 0 , 4 ) = 4i จานวนจินตภาพ
( -6 , 0) = -6
( 0 , 0) = 0 จานวนจริง
จำนวนเชงิ ซ้อน 4
หมายเหตุ
1. จานวนเชิงซอ้ น แบ่งเป็น 2 ประเภท คอื
- จานวนจริง จะมีส่วนจินตภาพเป็ น 0
- จานวนจนิ ตภาพ จะมีส่วนจินตภาพไม่เป็น 0 เช่น 2 + 3i
(ถา้ ส่วนจริงเป็น 0 และส่วนจนิ ตภาพไม่เป็น 0 เรียกวา่ จานวนจนิ ตภาพแท้ เช่น 7i )
2. การบวกและการคูณจานวนเชิงซอ้ น
ให้ (a , b) = a + bi , (c , d) = c + di เป็นจานวนเชิงซอ้ นใดๆ เม่ือ a , b , c , d R ดงั น้นั
(a , b) + (c , d) = (a +c , b +d)
หรือ (a + bi) + (c + di) = (a +c) +( b +d)i
(a , b) (c , d) = (ac – bd , ad +bc)
หรือ (a + bi) (c + di) = (ac – bd , ad +bc)i
ตัวอย่าง จงหาคา่ ของ
1. ( 3 2 + i) + (7i - 2 )
2. (2 + 3i) (7 - i )
3. (5i - 1) ( 2i )
4. 4(1 + 3i)
จำนวนเชงิ ซ้อน 5
5. (3i) ( - 2 i )
3. เม่ือ i = ( 0 , 1) ดงั น้นั i2 = -1 , i3 = - i , i4 = 1
สามารถนาความรู้การคูณพหุนาม มาใชใ้ นการคูณจานวนเชิงซอ้ นไดโ้ ดยท่ี
(2i - 1) ( 1 + 3i)
4. สมบัตทิ เ่ี กยี่ วข้องกบั การบวกและการคูณของจานวนเชิงซ้อน
กาหนดให้ z1 , z2 , z3 เป็ นจานวนเชิงซอ้ นใดๆ จะไดว้ า่
1. z1+ z2 + z2+ z1 และ z1z2 + z2z1 สมบตั ิการสลบั ที่
2. (z1+ z2) + z3 = z1+ (z2 + z3) และ (z1z2) z3 = z1(z2 z3) สมบตั ิการเปล่ียนกลุ่ม
3. z1 (z2+ z3) = z1z2+ z1z3 สมบตั ิการแจกแจง
5. สังยคุ (Conjugate) ของจานวนเชิงซ้อน
นิยาม ให้ z = (a , b) = a + bi เป็นจานวนเชิงซ้อนใดๆ เมื่อ a , b R
ดงั น้นั z แทนสงั ยคุ ของ z โดยท่ี z = (a , - b) = a - bi
เช่น 2 3i 2 3i , 7 2i 7 2i
ข้อสังเกต การคูณจานวนวเชิงซอ้ นใดๆ กบั สงั ยคุ ของจานวนเชิงซอ้ นน้นั ๆ
zz =
จำนวนเชงิ ซ้อน 6
ตัวอย่าง จงหาผลคูณของ
1. (3 – 2i) ( 3 + 2i)
2. (2 + 4i) ( -2 - i)(-2 + i)( 2 – 4i)
สมบตั ิของสังยคุ ของจานวนเชิงซ้อน
ให้ z , z1 , z2 เป็ นจานวนเชิงซอ้ นใดๆ จะไดว้ า่
1. Re(z) = 1 (z z) และ Im(z) = 1 (z z)
2i
2
2. z = z
3. ในกรณีท่ี z ≠ 0 จะไดว้ า่ (z 1) 1 1
(z) z
4. z1 z2 z1 z2
5. z1 z2 z1 z2
6. z1z2 z1 z2
7. z1 z1 , z2 0
z2 z2
หน่วยจนิ ตภาพ (Imaginary unitc) ดงั น้นั
นิยาม ให้ i = ( 0 , 1) =
=
i2 = ( 0 , 1) ( 0 , 1) =
i3 = i2 i
i4 = (i2)2 1
ดงั น้นั i4 = i0 =
จำนวนเชิงซ้อน 7
ถา้ k แทนจานวนเตม็ บวกใดๆ
ik = i4m + x
= (i4)m ix
= (1)m ix
= 1 ix
ดงั น้นั ik = ix เม่ือ x = 0 ,1 , 2 , …
และ i0 = 1 , i = i , i2 = -1 , i3 = -i
ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ
1. i37
2. i103
3. i 2552
4. i9 i20 i27i33 i43i50
จำนวนเชิงซ้อน 8
แบบฝึ กหัด
1. i i2 i3 i4
2. in in1 in2 in3
3. ii 2i3i4
4. i ni n1in2i n3
จำนวนเชงิ ซ้อน 9
ตัวอย่างที่ 2 จงทาใหเ้ ป็นผลสาเร็จ
1. i57 i58 i59 i60
2. i i2 i3 ... i95
3. i10 i11 i12 ... i79
4. i26i27i28i 29
5. i i2i3...i178
จำนวนเชิงซ้อน 10
6. i52i53i54...i2009
i26 i27 i28 ... i2552
7. i 22 i33 i 44
8. in1in3in5in7
จำนวนเชิงซ้อน 11
9. in1 in3 in5 in7
เอกลักษณ์และอินเวอร์สการบวกจานวนเชิงซ้อน
นิยาม ให้ z = (a , b) = a + bi เป็นจานวนเชิงซอ้ นใดๆ
1. เอกลกั ษณ์การบวกจานวนเชิงซ้อน
( 0 , 0 ) = 0 + 0i = 0 เป็นเอกลกั ษณ์การบวกจานวนเชิงซอ้ น
2. อินเวอร์สการบวกจานวนเชิงซ้อน
- z = (-a , -b ) = - a – bi เป็นอินเวอร์สการบวกจานวนเชิงซอ้ นของ z
เช่น
อินเวอร์การบวกของ (-2 , 1) คอื
อินเวอร์การบวกของ 3+2i คือ
อินเวอร์การบวกของ -7 + i คอื
การลบจานวนเชิงซ้อน
นิยาม ให้ z1 = ( a , b) = a + bi , และ z2 = (c , d) = c + di เป็ นจานวนเชิงซอ้ นใดๆ
ดงั น้นั z1 z2 z1 (z2 )
แสดงวา่ z1 z2 (a, b) (c, d ) (a c, b d )
หรือ z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d )i
ตวั อย่าง จงหาค่าของ
จำนวนเชิงซ้อน 12
1. (2 , 3) - ( 6 , -9) + (5 , -8)
2. (-10 - 5i) + ( 3 – 4i ) – ( 8i - 7)
3. i17 (1 2i) ( 2 i) 8i2
เอกลกั ษณ์และอนิ เวอร์การคูณจานวนเชิงซ้อน
นิยาม ให้ z = ( a , b) = a + bi เป็ นจานวนเชิงซ้อนใดๆ
1. เอกลักษณ์การคูณจานวนเชิงซ้อน
( 1 , 0 ) = 1 + 0i เป็นเอกลกั ษณ์การคูณจานวนเชิงซอ้ น
2. อนิ เวอร์สการคูณจานวนเชิงซ้อน
z 1 (a2 a , a b 2 ) a2 a a2 b i a bi
b2 2 b b2 b2 a2 b2
ตวั อย่าง จงหาอินเวอร์การคูณของจานวนเชิงซอ้ นตอ่ ไปน้ี
1. ( 3 , -4)
a2 b2 (3)2 (4)2 9 6 25
ดงั น้นั อินเวอร์การคูณจานวนเชิงซอ้ น ( 3 , -4) คอื 3 , 4
25 25
จำนวนเชงิ ซ้อน 13
2. 3 2i
3. 3i
4. 7
การหารจานวนเชิงซ้อน
นิยาม z1 , z2 เป็ นจานวนเชิงซ้อนใดๆ z2 ≠ ( 0 , 0)
ดงั น้นั z1 z1z21 เม่ือ z21 เป็ นอินเวอร์สการคูณของ z2
z2
ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลหารของ 4 3i
3 2i
จำนวนเชงิ ซ้อน 14
หมายเหตุ การหารจานวนเชิงซอ้ นอาจใชส้ งั ยคุ ของจานวนเชิงซอ้ นมาใชไ้ ด้
โดยอาศยั หลกั การ (a+bi)(a-bi) = a2 + b2
ตัวอย่างที่ 2 จงหาคา่ ของ 2 i
4i
ตัวอย่างที่ 3 จงทาให้เป็นผลสาเร็จ
1. i 5 2i
1 3i 1 3i
2. 4 3i 5 3i
1i 2i
จำนวนเชิงซ้อน 15
3. 2 3i 1 3i
2 6i 2 i
ตัวอย่างท่ี 4 จงหาคา่ ของ x และ y จากสมการ
1. 5x 4 20 yi
2. (3 i)2 x 2 yi 9
จำนวนเชิงซ้อน 16
3. (x 2y) (2x y)i 8 i
4. (2 i)(x yi) i 3
กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจานวนเชิงซ้อน
แกนจินตภาพ
แกนจริง
จำนวนเชิงซ้อน 17
ถา้ z = (a , b) = a + bi เป็นจานวนเชิงซอ้ นใดๆ กราฟของ z เขยี นได้ 2 แบบ คือ
1. จดุ (a , b)
2. เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มตน้ (0 , 0) และ จดุ สิ้นสุด ( a , b)
ตวั อย่างท่ี 1 จงเขียนจุดแทนจานวนเชิงซอ้ นตอ่ ไปน้ี ( -2 , 3) , 4 + i , -3
ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนเวกเตอร์แทนจานวนเชิงซอ้ นตอ่ ไปน้ี
z1 = -4 + 2i
z2 = i(3-4i)
z3 = (6 - 5i) + (-1 + 5i)
z4 = (2 - i)2
นิยาม ค่าสมั บรู ณ์ ( absolute value ) ของจานวนเชิงซอ้ น a + bi คอื ระยะทางระหวา่ งจดุ กาเนิด (0 , 0) กบั
จุด ( a , b) เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ a bi โดยท่ี a bi a2 b2 หรือ
(a, b) a2 b2
ตัวอย่าง
1. 2 3i (2)2 ( 3)2 4 3 7
2. 3 1 i
22
จำนวนเชิงซ้อน 18
3. 4i
4. 3
สมบัติของค่าสัมบูรณ์
กาหนดให้ z ,z1 , z2 เป็ นจานวนเชิงซอ้ น จะไดว้ า่
1. z 2 z z
2. z z z
3. z.z1 z2 .... zn z . z1 . z2 ... zn
4. z = 0 ก็ตอ่ เมื่อ z=0
5. z1 z 1 1 เมื่อ z0
z
6. z1 z1 , z2 0
z2 z2
สมบตั ิอื่นๆ ท่ีควรทราบ
1. ถา้ z = (a , 0) แลว้ z = a
2. ถา้ z = (0 , b) แลว้ z = b
3. ถา้ z เป็ นจานวนเชิงซอ้ น และ n เป็ นจานวนเตม็ บวกแลว้ zn z n ,n I
4. z1 z2 z1 z2
5. z1 z2 z1 z2
6. z1 z2 z1 z2
ตัวอย่างที่ 1 จงหา z1 เม่ือ z = 5 + (3 – 4i ) + (7i - 6)
จำนวนเชิงซ้อน 19
จำนวนเชงิ ซ้อน 20
ตวั อย่างท่ี 2 ถา้ z = 3 + i แลว้ จงหาคา่ สมั บรู ณ์ของ z3
ตวั อย่างท่ี 3 จงหาคา่ ของ 1 5i2 (6 3i)
2i(12 5i)(1 3i)
ตวั อย่างท่ี 4 กาหนด (2 + i)(a + bi)(3 - i) = 1 – 5i จงหาคา่ ของ a bi
จำนวนเชงิ ซ้อน 21
จานวนเชิงซ้อนในรูปเชิงข้ัว ( Polar Form of Complex Numbers )
A(a,b)
b
b
0a
จากรูป OA แทนจานวนเชิงซอ้ น a + bi ดงั น้นั a + bi = rcos i sin
ซ่ึง 1. เรียกจานวนเชิงซอ้ นในรูป rcos i sin วา่ รูปเชิงข้วั ( Polar Form) ของ a + bi
2. r เรียกวา่ โมดูลสั ของ a + bi
3. ยกวา่ อาร์กิวเมนต์ ของ a + bi
โดยท่ี r a bi a2 b2
x r cos
y r sin
และ tan b เม่ือ a ≠ 0
a
ตัวอย่างที่ 1 จงเขยี นจานวนเชิงซอ้ นต่อไปน้ีในรูปเชิงข้วั
1. 3 i
จำนวนเชงิ ซ้อน 22
2. 2 2i
3. 10
4. 5i
ตวั อย่างที่ 2 จงเขียนจานวนตอ่ ไปน้ีในรูป a + bi
1. 3 2(cos 225 i sin 225)
จำนวนเชิงซ้อน 23
2. 2(cos330 i sin 330)
3. 9(cos 270 i sin 270)
นิยาม ให้ z r(cos i sin ) , z1 r1(cos 1 i sin 1),
z2 r2 (cos 2 i sin 2 ) เป็นจานวนเชิงซอ้ นใดๆ
1. ถา้ z1 = z2 แลว้ r1 r2 และ 1 2
2. z r เม่ือ z เป็ นค่าสมั บรู ณ์ของ z
3. z rcos() i sin() เม่ือ z เป็ นสงั ยคุ ของ z
4. z1 1 1 cos i sin , z 0
zr
5. z1z2 r1r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
6. z1 r1 [cos(1 2) i sin(1 2 )]; z2 0
z2 r2
7. zn = rn (cos n i sin n ), n I (เรียกวท่ ฤษฏบี ทของเดอร์มวั )
จำนวนเชงิ ซ้อน 24
ตวั อย่าง จงเขียนจานวนเชิงซอ้ นตอ่ ไปน้ีในรูป a + bi
1. 2 3(cos 11 i sin 11 )4(cos 4 i sin 4 )
6 6 3 3
2. 8(cos 30 i sin 30)
2(cos 240 i sin 240)
3. ( 1 3 i)14
22
จำนวนเชิงซ้อน 25
4. 2(cos 75 i sin 75) 3 108(cos 213 i sin 213)
18(cos 468 i sin 468)
รากท่ี n ของจานวนเชิงซ้อน
ทฤษฏีบท
ถ้า z r(cos i sin ) เป็ นจานวนเชิงซ้อนใดๆ n เป็ นจานวนเต็มบวกท่ี มากว่า 1 รากท่ี n
ของ z มที ้งั หมดที่แตกต่างกนั n รากคือ
zk n r cos( 2k ) i sin( 2k ), k 0,1.2,3,..., n 1
n n
ตัวอย่างที่ 1 จงหารากทีส่ องของ 2(cos i sin )
33
จำนวนเชิงซ้อน 26
ตวั อย่างท่ี 2 จงหารากท่สี ามของ 1
ตัวอย่างที่ 3 จงหารากท่ี 4 ของ 8 8 3i
จำนวนเชงิ ซ้อน 27
ทฤษฏบี ท
กาหนด z = a + bi เป็ นจานวนเชิงซอ้ นใดๆ และ r = z a2 b2 จะไดว้ า่ รากท่ีสองของ z คือ
ra r a i เมื่อ b
2 2 เมื่อ b < 0
ra r ai
2 2
ตัวอย่าง จงหารากทสี่ องของ
1. 2 2 3i
2. 1 3i
สมการพหุนาม (Polynomial Equation)
สมการพหุนาม คือ สมการท่ีเขียนในรูป
an xn + an-1 xn -1 + an-2 xn -2 + …+ a1 x + a0 = 0
เม่ือ n เป็ นจานวนเตม็ บวก an , an-1 , an-2 , … , a1 , a0 เป็ นจานวนจริงที่ an ≠ 0 ถา้ ม มี a + bi เป็ นคาตอบของ
สมการแลว้ a – bi จะเป็นคาตอบของสมการดว้ ย เม่ือ a และ b เป็นจานวนจริง โดยท่ี b ≠ 0
เช่น 3x + 5 = 0 เรียกสมการเชิงเสน้ (Linear Eqution)
2x2 – x – 1 = 0 เรียกสมการกาลงั สอง (Quadratic Eqution)
x3 – 27 = 0
จำนวนเชิงซ้อน 28
ทฤษฏบี ท
1. ถา้ p(x) เป็ นพหุนามท่ีมีดีกรีมากกวา่ 0 แลว้ สมการ p(x) = 0 จะมีคาตอบทเ่ี ป็นจานวนเชิงซอ้ น
อยา่ งนอ้ ยหน่ึงคาตอบ
2. ถา้ p(x) เป็นพหุนามดีกรี n 1 แลว้ สมการ p(x) = 0 จะมีคาตอบอยา่ งนอ้ ย 1 คาตอบ มากสุด n
คาตอบ (คาตอบอาจจะซ้ากนั ได)้
3. กาหนด p(x) เป็ นพหุนามท่มี ีดีกรีมากกวา่ หรือเทา่ กบั 1 จะไดว้ า่ พหุนาม p(x) มี x – c เป็นตวั
ประก็ตอ่ เม่ือ P(c) = 0
4. กาหนด p(x) เป็ นพหุนามในรูป an xn + an-1 xn -1 + an-2 xn -2 + …+ a1 x + a0 โดยที่ n เป็ นจานวน
เตม็ บวก an , an-1 , an-2 , … , a1 , a0 เป็ นจานวนเตม็ ที่ an ≠ 0
ถา้ x - k เป็นตวั ประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เป็นจานวนเตม็ ซ่ึง m ≠ 0 และ หรม. ของ m
m
และ k คอื 1 แลว้ m หาร an ลงตวั และ k หาร a0 ลงตวั
5. ถา้ จานวนเชิงซอ้ น z เป็นคาตอบของสมการพหุนาม
P(x) = an xn + an-1 xn -1 + an-2 xn -2 + …+ a1 x + a0 = 0
โดยทส่ี มั ประสิทธ์ิ an , an-1 , an-2 , … , a1 , a0 เป็ นจานวนจริง เม่ือ a + bi เป็ นคาตอบของสมการแลว้ a – bi
เป็นคาตอบของสมการดว้ ย เมื่อ b ≠ 0
การแก้สมการเชิงเส้นใช้สมบตั กิ ารเท่ากัน
ตวั อย่าง จงแกส้ มการต่อไปน้ี
1. 2x + 7i = 15
2. (1 3i)x 2 0
จำนวนเชิงซ้อน 29
3. 7ix (4 i)(2 3i) 0
4. x 3i 4 xi
การแก้สมการควอดราติก ใช้การแยกตัวประกอบ หรืออาจจะใช้สูตร จากสมการ
ax2 + bx + c , a ≠ 0 แลว้ x b b2 4ac โดยที่
2a
1. b2 – 4ac = 0 แลว้ x b เป็ นจานวนจริง 1 คาตอบ
2a
2. b2 – 4ac > 0 แลว้ x เป็ นจานวนจริง 2 คาตอบ
3. b2 – 4ac < 0 แลว้ x เป็ นจานวนเชิงซอ้ น 2 คาตอบ ซ่ึง x b | b2 4ac | i
2a
ตวั อย่าง จงแกส้ มการตอ่ ไปน้ี
1. x2 4x 1 0
จำนวนเชิงซ้อน 30
2. 2x2 3x 5 0
3. x2 4i 0
4. x2 3ix 4 0
5. x2 (2i 3)x 5 i 0
จำนวนเชิงซ้อน 31
การแก้สมการพหุนามกาลังมากกว่า 1 ใช้การแยกตวั ประกอบหรือบางกรณใี ช้ทฤษฏเี ศษเหลือ
ตวั อย่างท่ี 1 จงแกส้ มการต่อไปน้ี
1. 2x3 ix2 8x 4i 0
2. x4 x2 6 0
3. x3 i 0
จำนวนเชิงซ้อน 32
ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคาตอบของสมการต่อไปน้ี
1. x3 2x2 3x 10 0
2. 2x4 5x2 5x 2 0
จำนวนเชิงซ้อน 33
ข้อสังเกต
1. ถา้ r1 , r2 เป็ นรากของสมการ x2 Ax B 0 แลว้
r1 + r2 = - A และ r1 r2 = B
เช่น x2 (2i 3)x 5 i 0 x = 2 – 3i , 1 + i
ผลบวกของรากของสมกา ร = -A = - (2i - 3) = 3 – 2i
ผลคูณของรากของสมการ = B = 5 - i
2. ถา้ r1 , r2 , r3 เป็ นรากของสมการ x3 Ax2 Bx c 0 แลว้
r1 + r2 + r3 = -A และ r1 r2 r3 = - c
เช่น x3 2ix2 x 2i 0 , x = i,2i
ผลบวกของรากของสมการ = -A = - 2i
ผลคูณของรากของสมการ = - c = - 2 i
3. จากสมการ xn + an-1 xn -1 + an-2 xn -2 + …+ a1 x + a0 = 0
ผลบวกของรากของสมการ = - an-1
ผลคูณของรากของสมการ = a0 เมื่อ n เป็ นจานวนคู่
= - a0 เม่ือ n เป็ นจานวนคี่
เช่น 2x2 5x 3 0
ผลบวกของรากของสมการ =
ผลคูณของรากของสมการ =
2x3 2x2 x 1 0 =
=
ผลบวกของรากของสมการ
ผลคูณของรากของสมการ
จำนวนเชิงซ้อน 34
แบบฝึ กหัดเพิ่มเตมิ 1
จงหาค่าของ x จากสมการต่อไปน้ี
1. (2 6i)x 3i
2. (1 i)x (4 i)(5 i) 0
3. (2 i)x i 3
4. 3x 4i 0
5. x2 4i 0
6. x2 6ix 7 0
7. x2 (1 3i) 0
8. x2 2(i 1)x 1 2i 0
จำนวนเชิงซ้อน 35
9. (1 i)x2 4ix (2 2i) 0
10. 2x2 (5 i)x 6 0
11. 2x2 (1 i)x 1 0
12. x2 (4 6i)x 24i 0
จำนวนเชิงซ้อน 36
แบบฝึ กหัดเพ่มิ เติม 2
จงหาเซตคาตอบของสมการตอ่ ไปน้ี
1. x2 2ix3 x 2i 0
2. 2x3 x 1 0
3. x4 x3 7x2 9x 18 0
4. x4 3x3 20x2 24x 8 0
5. x3 8i 0
6. x5 3ix4 4x 12i 0
7. x4 29x2 100 0
8. x4 2x3 x 2 0
จำนวนเชงิ ซ้อน 37
9. x4 3x3 5x2 27x 36 0
10. x4 2x3 5x2 6x 6 0
11. x6 2x3 1 0
12. x6 x5 3x4 x2 x 3 0
จำนวนเชิงซ้อน 38
การแก้สมการพหุนาม เม่อื กาหนดคาตอบของสมการให้
ถา้ c1, c2, c3,...,cn เป็ นรากของสมการ(คาตอบของสมการ) พหุนามทม่ี ี x เป็ นตวั แปรของสมการ
กาลงั n , n 1 ดงั น้นั สมการคอื
k(x c1)(x c2 )(x c3 )...(x cn ) 0, k I
เช่น สมการพหุนามกาลงั 2 ทม่ี ี -1 , 5 เป็นรากของสมการ มีสมั ประสิทธ์ิเป็นจานวนเตม็ คอื
k(x 11)(x 5) 0
k(x2 4x 5) 0, k I
ทฤษฎบี ท สมการพหุนามกาลัง n เมื่อ n เป็ นจานวนเตม็ บวก
1. จะมีรากของสมการท่เี ป็ นจานวนเชิงซอ้ น อยา่ งนอ้ ย 1 ราก และมากสุด n ราก
2. ถา้ สมั ประสิทธข์ องสมการเป็นจานวนจริง ซ่ึง a + bi เป็นรากของสมการแลว้ a – bi จะเป็นรากของ
สมการดว้ ย เม่ือ a , b R, b 0
3. ถา้ สมั ประสิทธ์ิของสมการเป็ นจานวนตรรกยะ ซ่ึง a b เป็ นรากของสมการแลว้ a b จะเป็ น
รากของสมการดว้ ย เมื่อ a และ b เป็นจานวนตรรกยะ และ b เป็นจานวนอตรรกยะ
ตวั อย่างท่ี 1 จงแสดงวา่ 1 + 2i เป็ นรากของสมการ x4 2x3 9x2 8x 20 0 และหาเซตคาตอบ
ท้งั หมดของสมการ
จำนวนเชิงซ้อน 39
ตัวอย่างท่ี 2 จงหาสมการพหุนามกาลงั 3 ซ่ึงมีสมั ประสิทธ์ิเป็นจานวนเตม็ มี 1 และ i-2 เป็นรากของสมการ
มีสมั ประสิทธ์ิเป็น 3
ตวั อย่างท่ี 3 จงหาสมการพหุนามกาลงั 5 ท่ีมีสมั ประสิทธ์ิ เป็ นจานวนจริง มี 1 i,2i, 1 เป็ นคาตอบของ
3
สมการ
จำนวนเชิงซ้อน 40
NOTE
จำนวนเชิงซ้อน 41
NOTE