NOTA MATEMATIK TAMBAHAN by TC Norshah

1. FUNGSI a) : {4,8,14,21}
1. FUNCTIONS : {2,3,5,7}
1 Domain : 4,8,14,21
Kodomain/Codomain : 2,3,7
Graf / Graph Objek/Object : {2,3,7}
2 Imej / Image
Julat/ range
Gambarajah anak panah
Arrow diagram b) pasangan tertib /ordered pairs =
{(4, 2), (8, 2), (14, 2), (14, 7), (21, 3), (21, 7)}
3 {(5, 4), (7, 4), (7, 5), (7, 6), (9, 4), (9, 5), (9, 6)}
Pasangan tertib c)Hubungan /relations =
Ordered pairs banyak kepada banyak / many to many

4. a)Imej bagi 3 ialah 9
Image of 3 is 9
Fungsi nilai mutlak
Absolute value function b)objek bagi 4 ialah 2,-2
5. Objects of 4 are 2,-2

f: x → x2 + bx + c. c)julat / range = {1,4,9}
TIPS : murid perlu buat penggantian nilai f(-1) = 15
dan f(3) = -9 menggunakan fungsi yang diberi iaitu d)tatatanda fungsi/ functions notations = f(x) = x2

a)domain = {5,7,9}
b) julat / range = {4,5,6}
c) hubungan / relations =

banyak kepada banyak / many to many

f(x) = |−x + 2| untuk domain −8 ≤ x ≤ 10.
f(x) = |−x + 2| for domain −8 ≤ x ≤ 10

a)nilai m/ the value of
−x + 2 = 0
x=2
m=2
b)julat f(x) berdasarkan domain yang diberi/

the range of f(x) corresponding to the given
domain= 0 ≤ f(x) ≤ 10

(a) nilai b dan c,
values of b and c,

f(x) = x2 + bx + c
f(−1) = 15
(−1)2 + b(−1) + c = 15
c = 14+b ……….(1)

f(3) = −9
(3)2 + b(3) + c = −9
9 + 3b + c = −9
3b + c = −18 …………(2)
Gantikan 1 dalam 2
3b + 14 + b = -18
4b = -32

f(x) = x2 + bx + c dan selesaikan persamaan serentak b = −8
Gantikan b = −8 ke dalam 1.
c = 14+(-8)
c=6
(b) imej 7 di bawah fungsi itu.
the image of 7 under the function.

f(x) = x2 − 8x + 6
f(7) = (7)2 − 8(7) + 6

= −1

6. Fungsi-fungsi f dan g ditakrifkan sebagai Diberi f(x) = −x + 7 dan g(x) = −4x .

x x
f : x → −x + 7 dan g : x → −4 . Cari fungsi gubahan fg dan Given f(x) = −x + 7 and g(x) = −4 .

nilai fg(1). fg(x) = f(g(x))

The functions of f and g are defined as = f−4x 

x = −−4x  + 7
f : x → −x + 7 and g : x → −4 . Find the composite
function of fg and the value of fg(1). = 1 x + 7
4

1
fg(1) = 4 (1) + 7

29
=4

7. Diberi fungsi f : x → ax + b dan fungsi gubahan f 2(x) = a(ax + b) + b
f 2 : x → 9x + 8, di mana a dan b ialah pemalar dan a > 0, f 2(x) = a2x + ab + b
diberi, f 2 : x → 9x + 8,
cari nilai a dan b. a2 = 9
a=3
Given the function f : x → ax + b and the composite ab+ b = 8
function f 2 : x → 9x + 8, where a and b are constants

and a > 0, find the values of a and b. 4b = 8

b=2
TIPS : murid perlu buat ff(x) dan bandingkan dengan

f2:x yang diberi

8. Fungsi-fungsi f dan g ditakrifkan sebagai Diberi f(x) = x + 7 dan gf(x) = −4x − 5.

f : x → x + 7 dan gf : x → −4x − 5. Cari fungsi g. gf(x) = g(f(x))
g(x + 7) = −4x − 5
The functions of f and g are defined as f −1(x)= y
f : x → x + 7 and gf : x → −4x − 5. Find the function of g. y = x + 7 maka, x = y − 7

TIPS : murid perlu cari g(x) iaitu bahagian g(y) = −4(y − 7) − 5
luar(outside), maka murid perlu buat fungsi
songsangan bagi f(x) = 23 − 4y
Oleh itu, g(x)= 23 − 4x

9. Fungsi f ditakrifkan sebagai f : x → x + 5. Cari (a) x + 5 = y
The function f is defined as f : x → x + 5. Find x=y−5
f −1(x) = x − 5
(a) f −1(x)
(b) f −1(4) = 4 - 5 = -1
(b) f −1(4)

2. PERSAMAAN KUADRATIK
2.QUADRATIC EQUATIONS

10. Selesaikan persamaan kuadratik −2x(8x + 6) = (4 − 7x)(2x + 1)
−2x(8x + 6) = (4 − 7x)(2x + 1). Beri jawapan betul kepada -16x2-12x = 8x +4 – 14x2 – 7x
-16x2+14x2 -12x - 8x + 7x -4 = 0
4 angka bererti. -2x2-13x -4=0 Semasa membuat
penggantian mestilah
Solve the quadratic equation ambil nilai a, b dan c

−2x(8x + 6) = (4 − 7x)(2x + 1).Give answer correct to four a=-2 , b = -13, c = -4 yang asal

significant figures. x =  (13)  (13)2  4(2)(4)

(TIPS : kembangkan persamaan hingga menjadi 2(2)
bentuk am , kemudian takrifkan a,b dan c. gantikan
dalam formula. Jawapan akhir perlu diberi mengikut = 13  137
keperluan soalan. )
4

= 13  137 atau 13  137
4 4

Semak guna kalkulator! = −6.176 atau −0.3238

11. Bentuk satu persamaan kuadratik yang mempunyai SOR= 2 +(- 2 )=43
punca-punca 2 dan −32 . 3
Form the quadratic equation which has the roots
24
2 and −23 . POR= 2(−3 ) =−3

(TIPS : terdapat dua cara membina persamaan x2 − (2 − 2 )x + 2 ) = 0
kuadratik iaitu: ) 3 (2)(−3

a) x2 – ( α +β)x + (α β) = 0 x2 − 4 )x + 4 ) = 0
atau (3 (−3

b) x = α , x = β 3x2 − 4x − 4 = 0 atau
(x – α)(x-β) = 0
2
x2-βx-αx+αβ = 0 x=2 , x = −3

* α +β=SOR , αβ = POR ( x – 2 )( 3x + 2 ) = 0
3x2 + 2x - 6x – 4 = 0
12. Jika α dan β ialah punca-punca bagi persamaan 3x2- 4x – 4=0
2x2 + 8x + 4 = 0, bentuk satu persamaan kuadratik
yang mempunyai punca-punca 4α + 2 dan 4β + 2. α + β =  8 =−4 , 4

If α and β are the roots of the equation αβ = = 2
2x2 + 8x + 4 = 0, form a quadratic equation with the 22
roots 4α + 2 and 4β + 2.
Persamaan baru:
Hasil tambah punca (SOR),
(4α + 2) + (4β + 2) = 4(α + β) + 4

(TIPS : α + β =  b ; αβ = c ) = 4(−4) + 4
aa = −12
Hasil darab punca (POR),
(4α + 2)(4β + 2) = 16αβ + 8α + 8β + 4
= 16(2) + 8(−4) + 4
=4
Persamaan:
x2 + 12x + 4 = 0

13. Persamaan kuadratik x2 + 7x + 6 = 0 mempunyai punca- x2 + 7x + 6 = 0

punca h dan k, di mana h > k. (x + 6)(x + 1) = 0
Quadratic equation x2 + 7x + 6 = 0 has roots h and k, x+6=0

where h > k. x = −6 atau

Cari nilai-nilai h dan k. x+1=0

Find the values of h and k. x = −1

Maka, h = −1 dan k = −6

14. Persamaan kuadratik 9x2 + (2 − 2n)x + 9 = 0 mempunyai 9x2 + (2 − 2n)x + 9 = 0

dua punca yang sama, n ialah pemalar. a=9, b = 2-2n , c = 9
Cari nilai n. Persamaan mempunyai dua punca yang sama,
The quadratic equation 9x2 + (2 − 2n)x + 9 = 0 has two b2 − 4ac = 0
equal roots, n is a constant. (2 − 2n)2 − 4(9)(9) = 0
Find the values of n. 4n2 − 8n + 4 − 324 = 0
4n2 − 8n − 320 = 0
(TIPS:fahamkan istilah berikut: ) n2 − 2n − 80 = 0
(n − 10)(n + 8) = 0

dua punca yang sama b2 − 4ac = 0 n = 10 atau n = −8

dua punca yang berbeza b2 − 4ac > 0
tiada punca b2 − 4ac < 0

3.FUNGSI KUADRATIK

3.QUADRATIC FUNCTIONS

15. Graf fungsi kuadratik f(x) = −x2 − 8x + q + 5 tidak f(x) = −x2 − 8x + q + 5

menyentuh paksi-x. Cari julat nilai q. a=-1, b = -8, c= q+5

The graph of the quadratic function f(x) =−x2 −8x + q + 5 Persamaan ini tidak mempunyai punca nyata
does not intersect with x-axis. Find the range of values b2 − 4ac < 0
of q. (−8)2 − 4(−1)(q + 5) < 0

64 + 20 + 4q < 0

(TIPS: tidak menyentuh paksi x bermakna graf tidak 4q < −84
mempunyai punca) q < −21

16. Graf fungsi kuadratik f(x) = (p + 1)x2 + 2x − 9 menyentuh f(x) = (p + 1)x2 + 2x − 9

paksi-x pada dua titik. Cari julat nilai p. a=(p+1), b =2, c = 2x - 9

The graph of the quadratic function f(x) =(p+1)x2+2x − 9 Persamaan mempunyai dua punca nyata
touches the x-axis at two points. Find the range of berbeza
values of p. b2 − 4ac > 0
(2)2 − 4(p + 1)(−9) > 0

4 + 36p + 36 > 0

36p > −40

p > −190

17. Fungsi kuadratik x(x + m − 4) = −1 tidak mempunyai x(x + m − 4) = −1
punca yang nyata. Cari julat nilai m. x(x + m − 4) + 1 = 0
The quadratic equation x(x + m − 4) = −1 has no real x2 + mx − 4x + 1 = 0
roots. Find the range of values of m. x2 + (m − 4)x + 1 = 0
a=1, b= m-4, c= 1
Persamaan tidak mempunyai punca yang nyata,
b2 − 4ac < 0

(m − 4)2 − 4(1)(1) < 0
m2 − 8m + 16 − 4 < 0
m2 − 8m + 12 < 0
(m − 6)(m − 2) < 0

Julat nilai−nilai m ialah 2 < m < 6

18. Rajah 18 menunjukkan graf fungsi kuadratik f(x) = (x + m)2 + 5
f(x) = (x + m)2 + 5, di mana m adalah pemalar. (-m , 5) bandingkan koordinat (-4, n)

Diagram 18 shows the graph of a quadratic function (a) -m = -4 , m = 4
f(x) = (x + m)2 + 5, where m is a constant.

(b) n = 5

(c) x = −4

Rajah 18 (TIPS: murid perlu tahu fungsi yang diberi adalah
Diagram 18 dalam bentuk f(x) = a(x+p)2+q iaitu mempunyai
Lengkung y = f(x) mempunyai titik minimum pada titik minimum (-p,-q). Maka murid hanya perlu
(−4, n), di mana n adalah pemalar. Nyatakan buat perbandingan dengan titik minimum pada
graf yang diberi)
The curve y = f(x) has a minimum point (−4, n), where n
is a constant. State KESALAHAN BIASA !

(a) nilai m (i)Murid mengembangkan fungsi , f(x) = (x + m)2 + 5
the value of m menjadi f(x)= x2+2xm+m2+5

(b) nilai n (ii) persamaan paksi simetri mesti ditulis dalam
the value of n bentuk persamaan x= - 4 bukan dalam bentuk ayat:
The equation of axis symmetry is -4
(c) persamaan paksi simetri
the equation of the axis of symmetry

4.PERSAMAAN SERENTAK
4.SIMULTANEOUS EQUATIONS

19. Selesaikan persamaan serentak x + 2y − 6 = 0 ……….. (1)
Solve the simultaneous equations x2 + xy − 56 = 0 ………. (2)
Dari (1),
x + 2y − 6 = 0 x = −2y + 6 ……..(3)
x2 + xy − 56 = 0
Gantikan (3) ke dalam (2),
(−2y + 6)2 + (−2y + 6)y − 56 = 0
4y2 − 24y + 36 − 2y2 + 6y − 56 = 0
2y2 − 18y − 20 = 0
y2 − 9y − 10 = 0
a=1, b= -9 , c= -10

TIPS: 5 Langkah penting! (PGFXY) y   (9)  (9)2  4(1)(10)
2(1)
(i)PILIH
(ii)GANTI y = 10 atau y = −1
(iii)FORMULA Apabila y = 10,
(iv)nilai-nilai y x = −2(10) + 6
(v)nilai-nilai x x = −14
Apabila y = −1,
Pilih x sebagai perkara rumus kerana tidak x = −2(−1) + 6
melibatkan pecahan . Sebaliknya jika murid pilih y x=8
maka y  6  x dan penggantian akan lebih rumit. ∴ x = −14, y = 10 atau x = 8, y = −1

2 10x + 4y = 6 ……….. (1)
y −8x
20. Selesaikan persamaan serentak x + y = −6 ……….. (2)
Solve the simultaneous equations Dari (1),
y = 6 10x ……….. (3)
10x + 4y = 6
y −8x 4
x + y = −6
Dari (2),
Beri jawapan betul kepada tiga tempat perpuluhan. y2 − 8x2 = −6xy ……….. (4)
Give the answers correct to three decimal places

Gantikan (3) ke dalam (4),

TIPS: Mesti tunjuk penggunaan rumus 6 − 10x )2 − 8x2 = 6 − 10x )
( 4 −6x( 4

x = −b ± b2 − 4ac 100x2 − 120x + 36 ) − 8x2 = −36x + 60x2
2a ( 16 4

100x2 − 120x + 36 ) − 32x2 = −36x + 60x2
( 4

25x2 − 30x + 9 − 32x2 = −36x + 60x2

−67x2 + 6x + 9 = 0

−b ± b2 − 4ac
x = 2a

−(6) ± (6)2 − 4(−67)(9)
= 2(−67)

−6 ± 2448
= −134

x = −0.324 atau 0.414
Gantikan x = −0.324 ke dalam (3),

6 − 10(−0.324)
y= 4
y = 2.310
Gantikan x = 0.414 ke dalam (3),

6 − 10(0.414)
y= 4
y = 0.465
∴ x = −0.324, y = 2.310 atau

x = 0.414, y = 0.465

21. Selesaikan persamaan serentak 52
x + 3 y = −3

Solve the simultaneous equations 6x + 10y = −4 ……….. (1) darabkan 6 persamaan asal
y2 + 12 = 6x……….. (2)
52 Dari (1),
x + 3 y = −3 6x = −4 − 10y ……….. (3)
y2 + 12 = 6x Gantikan (3) ke dalam (2),
y2 + 12 = −4 − 10y
TIPS: Murid digalakkan menggunakan rumus y2 + 10y + 16 = 0
sebagai penggantian berbanding pemfaktoran bagi (y + 8)(y + 2) = 0
mengelakkan ralat semasa menulis pemfaktoran. ∴ y = −8 atau y = −2
Namun soalan yang tidak meminta jawapan akhir
dalam perpuluhan boleh ditunjukkan kaedah Apabila y = −8,
pemfaktoran. 6x = −4 − 10(−8)

2
x = 123
Apabila y = −2,
6x = −4 − 10(−2)
x = 223
∴ x = 1232 , y = −8 atau x = 223 , y = −2

5.INDEKS & LOGARITMA
5.INDICES & LOGARITHMS

22. Selesaikan persamaan 64−x − 3 = 81 − 3x. 64−x − 3 = 81 − 3x
Solve the equation 64−x − 3 = 81 − 3x. 26(-x – 3) = 23(1 − 3x)
6(-x-3) = 3(1-3x) bandingkan indeks sahaja
TIPS: Murid perlu lihat perkaitan -6x – 18 = 3 – 9x
asas(hafal/biasakan sifir indeks) -6x+9x = 3+18
3x = 21
23 = 8 , 26= 64 x=7

23. Selesaikan persamaan 2x + 5 − 2x + 4 = 4. Solve the 2x + 5 − 2x + 4 = 4
equation2x + 5 − 2x + 4 = 4. 2x .2 5 − 2x .2 4 = 4
2x .32 − 2x .16= 4
HUKUM am  an = a m + n 2x (32-16) = 4 faktorkan
2x (16) = 4
24. Selesaikan persamaan 94x − 1 = 4−5x.
Solve the equation 94x − 1 = 4−5x. 2x = 4
TIPS: Tiada perkaitan sifir indeks antara 9 dan 4.
Maka murid perlu ambil log kedua-dua bahagian kiri 16
dan kanan.
2x = 4
HUKUM LOG : log a mn = n log a m 16

2x = 1
4

2x =2-2

x = -2
94x − 1 = 4−5x

log10 94x − 1 = log10 4−5x

(4x − 1) log10 9 = −5x log10 4

4x − 1 = log10 4
−5x log10 9

4x − 1
−5x = 0.6309

4x − 1 = −3.1545x

(4 + 3.1545)x = 1

1
x = 7.1545

= 0.1398

25. Selesaikan persamaan log2 (4x + 2) − log2 (x + 4) = 4 Tukar
log2 (4x + 2) − log2 (x + 4) = 4. 4x + 2 bentuk log
Solve the equation ke indeks
log2 (4x + 2) − log2 (x + 4) = 4. log2 x + 4 = 4
log2x=3
HUKUM LOG : loga m = log am - loga n 4x + 2 = 24 23=x
n x+4

4x + 2 = 16(x + 4)

4x + 2 = 16x + 64

x = −361

26. 512m 512m
Diberi log2 m = x dan log2 n = y, ungkapkan log8 ( n ) log8 ( n )

dalam sebutan x dan y. = log8 512 + log8 m − log8 n
512m
= log8 83 + log2 m − log2 n
Given that log2 m = x and log2 n = y,express log8 ( n ) log2 8 log2 8
in terms of x and y.
= 3log8 8 + log 2 m − log 2 n
log 2 23 log 2 23

xy
3+3−3

HUKUM LOG : loga m = log am - loga n 3log8 8=3(1)=3
n
log2 23=3 log2 2
loga mn = log am + loga n =3(1)=3

logab = log c b
log c a

6.SUKATAN MEMBULAT
6.CIRCULAR MEASURE

27. Rajah 27 menunjukkan dua lengkok, PS dan QR, bagi a) Panjang lengkok QR = rθ

dua bulatan sepusat yang mempunyai jejari OP dan OQ. 15 = (13.5 + 1.5)θ

Diagram 27 shows two arcs, PS and QR, of two θ = 1 rad

concentric circles with centre O and having radius OP b) Panjang lengkok PS = rθ
and OQ. = 13.5 × 1

= 13.5 cm

15 cm Perimeter rantau berlorek =RS+PQ+lengkok
Rajah 27 RQ+lengkok PS
Diagram 27 = 1.5 + + 1.5 + 15 + 13.5
= 31.5 cm
Carikan
Find FORMULA: Panjang lengkok, s = r
(a) sudut θ, dalam radian.

the angle θ , in radian.
(b) perimeter rantau berlorek, PQRS.

the perimeter of the shaded region, PQRS. Luas sektor minor = 1 r2θ
2
28. Rajah 28 menunjukkan sebuah bulatan
Diagram 28 shows a circle.

= 1 (17)2(1.9)
2

= 274.55 cm2

Rajah 28 FORMULA: Luas sektor, A = 1 r 2
Diagram 28 2
Carikan luas sektor minor MON.
Find the area of minor sector MON. a) kos∠EOF = 12 SUDUT
29. Rajah 29 menunjukkan sektor ODE pada satu bulatan 13 KALKULATOR:
yang berpusat O. Tekan Mode
Diagram 29 shows the sector ODE of a circle with ∠EOF = kos-1 12 Rad, shift cos
centre O. 13 (12/13) =
0.3948
Rajah 29 θ = 22.62 × π
Diagram 29 180
Carikan
Find = 0.3948 rad
(a) sudut θ dalam radian,
the angle θ in radians, b) Luas sektor ODE = 1 r2θ
(b) luas rantau berlorek. 2
the area of the shaded region.
= 1 (13)2(0.3948) Guna Teorem
30. Rajah 30 menunjukkan sektor OFG sebuah bulatan 2 Pythagoras
yang berpusat O.
Diagram 30 shows a sector OFG of a circle with = 33.36 cm2
centre O.
Luas segitiga OEF (5,12,13)

= 1 × 5 × 12
2

= 30 cm2

Luas rantau berlorek =

Luas sektor ODE – Luas segitiga OEF

=33.36 – 30
= 3.36 cm2

a) Panjang lengkok FG
= 18 × 1.4596
= 26.273 cm

b) Luas sektor OFG

= 1 (18)2(1.4596)
2

= 236.455 cm2

Luas segitiga OEH

Rajah 30

Diagram 30 = 1 ab sin C
2
Diberi ∠FOG = 1.4596 radian dan
OE = EF = OH = HG = 9 cm. 1
Given that ∠FOG = 1.4596 radians and = 2 × 9 × 9 × sin 1.4596
OE = EF = OH = HG = 9 cm. = 40.25 cm2
Carikan
Find Luas rantau berlorek =
(a) panjang lengkok FG,
Luas sektor OFG – luas segitiga OEH
the length of arc FG,
(b) luas rantau berlorek. = 236.455 − 40.25
= 196.205 cm2
the area of the shaded region.

31. Rajah 31 menunjukkan sektor OEF sebuah bulatan yang (a) OG : OE = 3 : 5

berpusat O. Titik G terletak pada OE, titik H terletak 5 OG  3
pada OF dan GH adalah berserenjang dengan OF. OE = 3 × 12 OE 5

Panjang OG ialah 12 cm dan ∠EOF ialah 0.8411 radians. = 20

GE = 8

Diagram 31 shows a sector OEF of a circle with centre (b) GH = 12 × sin 0.8411 sin 0.8411  GH
= 8.945 cm 12
O. Point G lies on OE, point H lies on OF and GH is
OH = 12 × kos 0.8411
perpendicular to OF. The length of OG is 12 cm and = 8 cm
∠EOF is 0.8411 radians.
HF = 20 − 8
= 12 cm

Panjang lengkok EF
= 20 × 0.8411
= 16.822 cm
Perimeter rantau berlorek
=GH+HF+lengkok EF+EG
= 8.945 + 12 + 16.822 + 8
= 45.767 cm

Rajah 31 (c) Luas sektor OEF
Diagram 31
= 1 × 202 × 0.8411
Diberi OG : OE = 3 : 5. 2
Given that OG : OE = 3 : 5.
[Guna π = 3.142] = 168.22 cm2
[Use π = 3.142]
Luas segitiga OGH
Carikan
Find 1
(a) panjang GE, = 2 × 8 × 8.945
= 35.78 cm2
the length of GE,
(b) perimeter rantau berlorek. Luas rantau berlorek

the perimeter of the shaded region. = 168.22 − 35.78
(c) luas rantau berlorek. = 132.44 cm2

the area of the shaded region. (a) DF = 21 − 8
32. Rajah 32 menunjukkan semi bulatan EAGCF yang = 13 cm

berpusat D dan rombos ABCD. (b) kos θ = 4.5
Diagram 32 shows a semicircle EAGCF with centre D 2 13
and a rhombus ABCD.

θ 139.5° x 
2 = 69.75° 180

θ = 139.5°
= 2.435 rad.

(c) Luas sektor DAGC

= 1 × 132 × 2.435
2

= 205.757 cm2

(d) Luas rombus DABC

= 2 × 1 ab sin C
2

Rajah 32 1
Diagram 32 = 2 × 2 × 13 × 13 × sin 2.435
= 109.723 cm2
Diberi B(8, 13), D(8, 4) and F(21, 4), kirakan
Given B(8, 13), D(8, 4) and F(21, 4), calculate Luas rantau berlorek

(a) jejari semi bulatan EAGCF, = 205.757 − 109.723
radius of the semicircle EAGCF, = 96.034 cm2

(b) sudut θ dalam radian,
angle θ in radians,

(c) luas sektor DAGC,
area of sector DAGC,

(d) luas rantau berlorek.
area of the shaded region.

8.NOMBOR INDEKS
8.INDEX NUMBERS

33. Rajah 33 menunjukkan perbelajaan bulanan pada (a) (i) Indeks harga, I = P1988 × 100
barangan W, X, Y dan Z. Jadual 41 menunjukkan P1987
harga, indeks harga tahun 1988 berasaskan tahun
1987 dan pemberat bagi barangan itu. 8.96
p = 5.6 × 100

Diagram 41 shows the monthly expenditure on the = 160

items W, X, Y and Z. Table 33 shows the prices, the (ii) 95 = q × 100 σ2
price indices for the year 1988 based on the year 1987 5.2
and weightages for the items.
q = 4.94

(iii)

10.98
180 = r × 100
r = 6.10

(b)

I 9 × 160 + 9 × 95 + 6 × 125 + 1× 180
= 9+9+6+1

3225
= 25

Rajah 33 = 129
Diagram 33 (c)

P1988 × 100 = 129
2590

2590 × 129
P1988 = 100

= RM3341.10

Harga per unit (RM) (d) I1994 I1994 I1988
Barangan Price per unit (RM) Indeks harga I1987 I1988 I1987
× 100 = × × 100
Item Tahun 1987 Tahun 1988 Price index
Year 1987 Year 1988

W 5.60 8.96 p 105 129
= 100 × 100 × 100
X 5.20 q 95
= 135.45
Y 2.70 3.38 125

Z r 10.98 180 Kaedah Alternatif 1

Jadual 33 Tahun 87 88 94

Table 33 87 100 129 x

(a) Carikan nilai-nilai 88 - 100 105
Find the values of
(i) p 94 - - 100
(ii) q
(iii) r 129 x 105 = 100 x x (darab silang)
x= 135.45

Kaedah Alternatif 2

(b) Kirakan indeks harga gubahan bagi barangan- I1994 x 100 = 129 105 = 135.45
barangan itu pada tahun 1988 berasaskan tahun I1987 100
1987.
Calculate the composite price index for the items
in the year 1988 based on the year 1987.

(c) Jumlah perbelanjaan bagi barangan-barangan itu 129 105
pada tahun 1987 ialah RM2590. Kirakan jumlah 1987
perbelanjaan bagi barangan-barangan itu pada 1988 1994
tahun 1988.
The total expenditure for the items in the year 100
1987 is RM2590. Calculate the total expenditure
for the items in the year 1988.

(d) Kos barangan itu bertambah sebanyak 5% dari
tahun 1988 ke tahun 1994. Carikan indeks harga
gubahan pada tahun 1994 berasaskan tahun
1987.
The cost of the items increases by 5% from the
year 1988 to the year 1994. Find the composite
price index for the year 1994 based on the year
1987.

34. Jadual 34 menunjukkan indeks harga tahun 1998 I  P1998 100
berasaskan tahun 1997 dan peratus penggunaan P1997

empat jenis bahan yang digunakan dalam pembuatan

satu jenis kek.

Table 34 shows the price indices for the year 1998 11.7
based on the year 1997 and the percentages of usage a)(i) P1997 × 100 = 165
of four ingredients in the making a type of cake. P1997 = RM7.09

Bahan Indeks Harga Peratus (%) (ii) I1998 × 100 = I1998 × I1997 × 100
Ingredient Price Index Percentange (%) I1990 I1997 I1990

A 165 5 135 95
B 125 5 = 100 × 100 × 100
C 40
D e 50
135
Jadual 34

Table 34 = 128.25
(a) Kirakan Tips: boleh guna kaedah alternatif

Calculate

(i) harga A pada tahun 1997 jika harganya
pada tahun 1998 ialah RM11.70.
the price of A in the year 1997 if its price in
the year 1998 is RM11.70.

(ii) indeks harga bagi D pada tahun 1998

berasaskan tahun 1990 jika indeks harganya b(i) I ∑WI
pada tahun 1997 berasaskan tahun 1990 = ∑W
ialah 95.

the price index of D in the year 1998 based 138 = 1× 165 + 1× 125 + 8 × e + 10× 135
on the year 1990 if its price index in the year
1997 based on the year 1990 is 95. 1 + 1 + 8 + 10

(b) indeks harga gubahan bagi kos kek itu pada 138 = 1640 + 8e
tahun 1998 berasaskan tahun 1997 ialah 138. 20
Kirakan
The composite price index of the cost of the cake e  (138  20) 1640
8

for the year 1998 based on the year 1997 is 138.

Calculate e = 140

(i) nilai e, 21.3
the value of e, (ii) P1997 × 100 = 138
P1997 = RM15.43
(ii) harga satu kotak kek itu pada tahun 1997
jika harga pada tahun 1998 ialah RM21.30.
the price of a box of cake in the year 1997 if

the price in the year 1998 is RM21.30.

9.HUKUM LINEAR

9.LINEAR LAWS

43. Rajah 43 menunjukkan graf garis lurus yang
diperoleh apabile y = 4x2 − 9 diungkap dalam

bentuk linear Y = −9X + c. y = 4x2 – 9 } ÷x2
Diagram 43 shows the straight line obtained when y 4x2 −9
y = 4x2 − 9 is expressed in the linear form Y =−9X + c. x2 = x2 + x2

y1
x2 = −9(x2 ) + 4

Rajah 43 Y=mX+C
Diagram 43
1
Ungkapkan X dan Y dalam sebutan x dan/atau y. X = x2
Express X and Y in terms of x and/or y.
y
Y = x2
Tips :
Murid perlu ÷x2 kerana persamaan linear hanya perlu
ada satu x sahaja pada sebelah kanan

35. y2 = −3x(x − 4)
y2
Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh x = −3(x − 4)
persamaan y2 = −3x(x − 4).
y2
Rajah 35 menunjukkan graf garis lurus yang x = −3x + 12
y2 Y = mX +c

diperoleh dengan memplot x melawan x. y2
Apabila x = 0,
The variables x and y are related by the equation 0 = −3x + 12
y2 = −3x(x − 4).

Diagram 35 shows the straight line graph obtained x = 4

p=x

y2 p=4
by plotting x against x.
Apabila x = 1,
y2
x = −3(1) + 12

=9
y2

q= x
q= 9

Rajah 35
Diagram 35

Cari nilai p dan q.
Find the value of p and q.

36 Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh (a) log10 y = log10 p − 6(log10 x)
persamaan y = px−6, dengan keadaan p ialah log10 y = −6(log10 x) + log10 p
pemalar. Y =mX + c
The variables x and y are related by the equation m = -6 , c = log10 p
y = px−6, where p is a constant.
(b) (i) log10 p = pintasan−y
(a) Tukarkan persamaan y = px−6 kepada bentuk log10 p = 8
linear.
Convert the equation y = px−6 to linear form. (ii) log10 y = −6(3) + 8
log10 y = −10
(b) Rajah 36 menunjukkan graf garis lurus yang q = log10 y
diperoleh dengan memplot log10 y melawan q = −10
log10 x.
Diagram 36 shows the straight line obtained
by plotting log10 y against log10 x.

Rajah 36
Diagram 36

Carikan nilai
Find the value of
(i) log10 p.
(ii) q.

37 Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini. (a) (x − 1) 1 2 3 4 5 6
Use graph paper to answer this question.

Jadual 37 menunjukkan nilai-nilai bagi dua log y 0.52 0.61 0.69 0.76 0.86 0.94

pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada Nilai dalam jadual boleh ditulis hingga 2 tempat
satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y perpuluhan sahaja (minimum)
dihubungkan oleh persamaan y = pqx − 1, dengan
keadaan p dan q ialah pemalar.

Table 37 shows the values of two variables, x and y,
obtained from an experiment. The variables x and y
are related by the equation y = pqx − 1, where p and

q are constants.

x2 3 4 5 6 7

y 3.3 4.1 4.9 5.8 7.2 8.7

Jadual 37
Table 37

(a) Plotkan log y melawan (x − 1), dengan Pastikan semua titik di plot dengan betul dan
menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada syarat untuk melakukan penyuaian terbaik ialah
paksi-(x − 1) dan 2cm kepada 0.1 unit pada sekurang-kurangnya 3 titik berada atas garisan
paksi-log y. Seterusnya, lukiskan garis lurus dan titik yang tidak kena berada
penyuaian terbaik. seimbang/berselang seli
Plot log y against (x − 1), by using a scale of 2
cm to 1 units on the (x − 1)-axis and 2 cm to (b) y = pqx − 1
0.1 units on the log y axis. Hence, draw the line log y = log p + (x − 1) log q
of best fit. = (log q)(x − 1) + log p

(b) Gunakan graf anda di (a) untuk mencari nilai
Use your graph in (a) to find the value of
(i) p
(ii) q

Tips: Murid boleh menghafal akronim

TDRCG (TiDuR CikGu) (i) log p = pintasan−Y m= y2  y1
= 0.45 x2  x1
T-Table (Bina jadual baru)
p = 2.818
D-Draw (Lukis graf – plot dengan skala yang
diberi) (ii) log q = Kecerunan graf

R-Reduce (Tukarkan persamaan tak linear = 0.69  0.45
kepada persamaan linear dan ungkapkan dalam 30
Y = mX + c)
= 0.08
C – y –intercept (Pintasan-y berdasarkan graf q = 1.202
dan dibandingkan dengan persamaan linear tadi)

G-Gradient (kecerunan dengan membuat

pengiraan menggunakan formula m = y2  y1 )
x2  x1

38 (a) 1
x 0.67 0.50 0.40 0.33 0.29 0.25
Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.
Use graph paper to answer this question. 1
y 0.58 1.59 2.17 2.63 2.86 3.12

Jadual 38 menunjukkan nilai-nilai bagi dua (b)

pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada

satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y

dihubungkan oleh persamaan p = q + 9, dengan
y x

keadaan p dan q ialah pemalar.

Table 38 shows the values of two variables, x and y,

obtained from an experiment. The variables x and y

are related by the equation p = q + 9, where p and q
y x

are constants.

x 1.5 2 2.5 3 3.5 4 (c) p q
y = x + 9 } ÷p
y 1.72 0.63 0.46 0.38 0.35 0.32 1 q1 9
y = p (x ) + p
Jadual 38
Table 38 Y = mX + c

(a) Berdasarkan Jadual 1, bina satu jadual bagi
11

nilai-nilai x dan y .
Based on Table 1, construct a table for the

11
values of x and y .

(b) Plotkan 1 melawan 1 , dengan menggunakan (i) 9 = pintasan−Y
y x p

1 9 = 4.64
skala 2 cm kepada 0.1 unit pada paksi-x dan p

1 p = 1.94
2cm kepada 0.5 unit pada paksi-y . Seterusnya,

lukiskan garis lurus penyuaian terbaik. (ii) q
p = Kecerunan graf
11
Plot y against x , by using a scale of 2 cm to 0.1 q = −6.11
p
units on the 1 -axis and 2 cm to 0.5 units on the
x q = 1.94(−6.11)

1 q = −11.85
y axis. Hence, draw the line of best fit.

(c) Gunakan graf anda di (b) untuk mencari nilai
Use your graph in (b) to find the value of

(i) p (ii) q

10.PENGAMIRAN

10.INTEGRATIONS

39 Diberi 4 f (x)dx  4 , carikan 1 f (x)dx = − 4
1  a)
f (x)dx
4 1

Given that 4 f (x)dx  4 ,find = -(-4)
1
=4

(a) 1 b) 4

f (x)dx 9  7 f (x)dx
1
4
4 4

9dx  7 f (x)dx
(b) 4  =
1 1
9  7 f (x)dx
1
4
[9x]14 1
=  7 f (x)

= [9(-4)-(9)(-1)] – 7(4)

(−36 + 9) + 28

 axn1 b =1

Formula: b ax n dx   n  1 
a  

a

40 1 3

f (x)dx   f (x)dx
 a)
3 1

Diberi 3 f (x)dx  8 ,carikan =-(- 8)
1
=8

Given that 3 f (x)dx  8 , find b) 3  2 f (x)]dx   80
1
[kx
1 7
(a) 1
niali  3 3 f (x)dx   80
f (x)dx
3 kxdx  2
1 1 7
the value of 1 f (x)dx .
3 k[ x2 ]13  2(8)   80
2 7
(b) nilai k jika 3    80
2 f (x)]dx k(92 1 −870
[kx 2
1 7
− ) − 16 =
the value of k if 3 80
 2 f (x)]dx  
[kx 8
1 7 k=7

41 Rajah 50 menunjukkan lengkung y = f(x) yang Luas rantau berlorek = 26

memotong paksi-x di x = b. Maka b f (x)dx =
Diagram 50 shows the curve y = f(x) cutting the x-axis
at x = b. 4

luas rantau berlorek – luas segiempat tepat

b

4 f (x)dx  26  (4  5)

=6

 b 2 b
2 f (x)dx
f (x)dx
44
Rajah 50
= 2(6)
Diagram 50
Diberi luas rantau berlorek ialah 26 unit2, cari nilai = 12

b

4 2 f (x)dx

Given that the area of the shaded region is 26 unit2,

find the value of b

2 f (x)dx
4

11.VEKTOR

11.VECTORS

42 Vektor-vektor~adan~badalah bukan sifar dan tidak ~a dan~b adalah tidak selari.

selari. Diberi bahawa (h − 1)~a= (k − 8)~b, dengan (h − 1) = (k − 8) = 0.

keadaan h dan k ialah pemalar.

The vectors~aand~bare non-zero and non-parallel. It (a) h − 1 = 0
is given that (h − 1)~a= (k − 8)~b where h and k are h=1

constants. (b) k − 8 = 0

k=8

Cari nilai

Find the value of

(a) h a) A→B = A→O + →OB
(b) k
43 Diberi O→A= −20~a− 7~b, →OB= −4~a− 17~b dan = −(−20~a− 7~b) − 4~a− 17~b
→OC= 52~a− 52~b.
It is given that O→A= −20~a− 7~b, →OB= −4~a− 17~b and = 16~a− 10~b
→OC= 52~a− 52~b.
A→C =A→O + →OC
(a) Cari →AB dan →AC.
Find →AB and →AC. = −(−20~a− 7b~) + 52~a− 52~b

(b) Seterusnya, tunjukkan titik-titik A, B dan C = 72~a− 45~b
adalah segaris.
Hence, show that points A, B and C are collinear. b) →AC= 72~a− 45~b

44 Rajah 44 menunjukkan dua vektor, →OP dan →PQ. 9
Diagram 44 shows two vectors, →OP and →PQ. = 2 (16~a− 10b~)

= 9 →AB
2

A, B, C adalah segaris kerana A→C= 9 A→B dan
2

bersama−sama terletak pada titik A.

( )a) →OP = 10
5

b) →PQ = P→O + O→Q
= −(10i + 5j) + (−6j)
= −10i − 5j − 6j
= −10i − 11j

Tips:

→OP bermaksud vektor dari asalan,O (0,0) ke titik

P(10,5).

=  0   150   150 
0

Rajah 44 →PQ perlu takrifkan mengikut hukum segitiga iaitu
Diagram 44 →PO + O→Q

Ungkapkan
Express

( )(a) →OP dalam bentukx
y.

( )→OPin the formx
y.

(b) →PQdalam bentuk xi + yj.
→PQin the form xi + yj.

45 Rajah 45 menunjukkan sebuah segi empat tepat

OJKM dan titik N terletak pada garis lurus OK. ON = 5NK
Diagram 45 shows a rectangle OJKM and the point N
lies on the straight line OK. O→N= 5 →OK Guna
6 Hukum
Segitiga
= 5 (O→J + O→M )
6

= 5 (14~x + 9y~)
6

35 15
= 3 ~x + 2 ~y

Rajah 45
Diagram 45

Diberi bahawa→OJ= 14~x, O→M= 9y~ dan ON = 5NK. a) →OR = 4i + 3j
Ungkapkan O→N, dalam sebutan~xdan~y. b) Vektor unit pada arah →OR
It is given that→OJ= 14~x, O→M= 9~yand ON = 5NK.
Express O→N, in terms of~xand~y. r  4i  3 j
42  32
46 Rajah 46 menunjukkan vektor →OR dilukis pada suatu
satah Cartesan.
Diagram 46 shows vector →OR drawn on a Cartesian
plane.

r  4i  3 j
5
43

=5i+5j

Rajah 46 Formula : xi  yj
Diagram 46
r x2  y2
Ungkapkan dalam bentuk xi + yj.
Express in the form xi + yj.
(a) →OR
(b) Carikan vektor unit dalam arah →OR.

Find the unit vector in the direction of →OR.

47 Rajah 47 menunjukkan segi tiga PQR.Garis lurus PT a)(i) →QR= →QP+→PR
bersilang dengan garis lurus QU di S.
Diagram 47 shows a triangle PQR. The straight line = −2~x + 5~y →QT 1 →QR
=2

kerana →QT= TR

( 1:1) sama

panjang

PT intersects the straight line QU at S. (ii)→PT= →PQ + →QT

= →PQ + 1 →QR
2

= 2~x + 1 (−2~x + 5y~)
2

5
=~x + 2~y

b)→PS = →PU+ kU→Q Gantikan
nilai→PT
h→PT= →PU+ kU→Q

h(~x + 5 = 43→PR + k(→UP+ →PQ)
2~y)

h~x + 5 h~y= 3 (5~y) + k(43→RP+ P→Q)
2 4

Rajah 47 15 3
Diagram 47 = 4 ~y + k[4 (−5y~) + 2x~]

Diberi bahawa →PU= 3U→R , →QT= T→R , →PQ= 2~xdan→PR= 5~y. 15 15
It is given that →PU= 3→UR , →QT= T→R , →PQ= 2~xand→PR= 5~y. = 4 ~y − 4 k~y + 2k~x
(a) Ungkapkan dalam sebutan~xdan~y
15 15
Express in terms of~xand~y = 2k~x + ( 4 − 4 k)~y
(i) →QR
(ii) →PT h = 2k ……….(1)

(b) Diberi→PS = h→PTdan→PS= →PU+ kU→Q, dengan keadaan 5 15 15
h dan k ialah pemalar, cari nilai h dan k. 2 h = 4 − 4 k ……..(2)
Given that→PS = h→PT and→PS = →PU + kU→Q, where
h and k are constants, find the value of h and k. Gantikan (1) ke dalam (2),

5 15 15
2 (2k) = 4 − 4 k

15 15
5k = 4 − 4 k

35 15
4 k= 4

3
k=7

3
h = 2(7 )

6
=7
Tips : Lukis semula dan label dengan anak panah.

5~y

2~x

48 Rajah 48 menunjukkan sisi empat ABCD. AED dan a) (i)→BD = →BA+ →AD
EFC adalah garis lurus. = →BA+ 5→AE
Diagram 57 shows a quadrilateral ABCD. AED and = −5~x+ 5(6~y)

EFC are straight lines. = −5~x+ 30~y
(ii) →DC = E→C − →ED
= 16~x− 24~y
E→C = 16~x

b) D→F = D→E +→EF

Rajah 48 = −E→D + 41→EC
Diagram 48
1
= −24~y + 4 (16~x)

Diberi bahawa →AB= 5~x,→AE= 6~y, →DC= 16~x− 24~y, →AE= 1 →AD = 4~x− 24~y
5

dan→EF= 41→EC. →DB = →AB − →AD

that →AB= 5~x,→AE= →DC= →AE= 1 →AD = 5~x− 5(6~y)
5
It is given 6~y, 16~x− 24~y, = 5~x− 30~y

and→EF= 14→EC. 5
= 4 (4~x− 24~y)

(a) Ungkapkan dalam sebutan~xdan~y. →DB = 54→DF
Express in terms of~xand~y.
Oleh tu, B, F and D adalah segaris

(i) →BD (ii)→EC c) |B→D|2 = |B→A|2 + |A→D|2
= (5|~x|)2 + (30|~y|)2
(b) Tunjukkan bahawa titik-titik B, F dan D adalah = [5(2)]2 + [30(2)]2
segaris. = 3700
Shows that the points B, F and D are collinear.
|B→D| = 60.83 unit
(c) Jika |~x| = 2 dan |~y| = 2, cari |B→D|.
If |~x| = 2 and |~y| = 2, find |B→D|.

12.FUNGSI TRIGONOMETRI

12.TRIGONOMETRIC FUNCTIONS Amplitud 3, pusingan =1

49 Tips:
1.Murid perlu tahu bentuk asas Graf sinus, Graf
kosinus dan Graf tangen bagi
0 ≤ x ≤ 2π (radian)atau 0 ≤ x ≤ 360(darjah)
y=3sin x

2.Soalan yang melibatkan modulus perlu pantulkan y=kos 3 x Amplitud = 1, pusingan = 1.5
nilai negatif ke positif. 2

3.Graf dilakar bukan pada kertas graf tetapi kertas y=2kos 2x Amplitud=2, pusingan = 2
kajang sahaja. Graf dilabel dan gunakan skala
seragam samada menggunakan radian atau Cara memahami persamaan trigonometri bagi julat
darjah.

4.Murid mesti tulis dalam bentuk ayat. Bilangan 0 ≤ x ≤ 2π
penyelesaian = ? / Number of solutions(NOS) = ?

y=sin x y=kos x Amplitud = ketinggian

y=tan x

50 a) Lakarkan graf bagi y = |3 sin 2x| bagi
0 ≤ x ≤ 2π.
Sketch the graph of y = |3 sin 2x| for
0 ≤ x ≤ 2π.
b)Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang

sama, lukiskan satu garis lurus yang sesuai untuk

mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan

2 − |3 sin 2x| = −2xπ bagi 0 ≤ x ≤ 2π. a)
Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

Hence, using the same axes, draw a suitable straight x
line to find the number of solutions to the equation b) 2 − |3 sin 2x| = −2π
2 − |3 sin 2x| = −2xπ for 0 ≤ x ≤ 2π.
State the number of solutions. |3 sin 2x| = 2 + x Mesti tulis ayat
2π bilangan
Tips: (b)murid perlu ubah persamaan baru menjadi penyelesaian /
persamaan asal (jadi y) y = 2 + x NOS
2π

Apabila x = 0, y = 2

Apabila x = 2π, y = 3

Bilangan penyelesaian = 8

51 a)Lakarkan graf bagi y = −1 − 3 kos x bagi 0 ≤ x ≤ 2π.
Sketch the graph of y = −1 − 3 cos x for 0 ≤ x ≤ 2π.

b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang a)
sama, lukiskan satu garis lurus yang sesuai untuk
mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan b) −6π kos x = −4π + 3x }÷2π
−6π kos x = −4π + 3x bagi 0 ≤ x ≤ 2π.
Nyatakan bilangan penyelesaian itu. −3 kos x = −4π + 3 x } – 1
2π 2π
Hence, using the same axes, draw a suitable straight
line to find the number of solutions to the equation 3
−6π cos x = −4π + 3x for 0 ≤ x ≤ 2π. −1 − 3 kos x = −2 + 2π x − 1
State the number of solutions

3
−1 − 3 kos x = 2π x − 3

3
y = 2π x − 3

Apabila x = 0, y = −3

Apabila x = 2π, y = 0

Bilangan penyelesaian = 2

52 2 tan x kos2 x 2 tan x kos2 x
a)Buktikan 2 kos2 x − 1 = tan 2x. a) 2 kos2 x − 1
2 tan x cos2 x
Prove that 2 cos2 x − 1 = tan 2x. = 2 tan x 2 kos2 x 1
kos2 x −
b)(i) Lakarkan graf bagi y = tan 2x bagi 0 ≤ x ≤ π.
Sketch the graph of y = tan 2x for 0 ≤ x ≤ π. = 2 tan x kos2 kos2 x x − 1
x + kos2

= 2 tan x kos2 x kos2 x x)
− (1 − kos2

= 2 tan x kos2kxo−s2sxin 2 x

(ii) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang 2 tan x
sama, lukiskan satu garis lurus yang sesuai untuk = kos2 x − sin2 x
mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan
2 tan x cos2 x 2x kos2 x
2 cos2 x − 1 + π − 4 = 0 bagi 0 ≤ x ≤ π. 2 tan x
= sin2 x
Nyatakan bilangan penyelesaian itu. 1 − kos2 x
Hence, using the same axes, draw a suitable straight 2 tan x
line to find the number of solutions to the equation = 1 − tan2 x
2 tan x cos2 x 2x = tan 2x
2 cos2 x − 1 + π − 4 = 0 for 0 ≤ x ≤ π.
b)(i)
State the number of solutions.

2 tan x cos2 x 2x
(ii) 2 cos2 x − 1 + π − 4 = 0

2x
tan 2x + π − 4 = 0

−2x
tan 2x = π + 4
Apabila x = 0, y = 4
Apabila x = π, y = 2
Bilangan penyelesaian = 2

13.PILIHATUR & GABUNGAN
13.PERMUTATIONS & COMBINATIONS
53 a) 2 5 4 3

Bilangan nombor = 2 × 5 × 4 × 3
= 120

Berapakah nombor 4 digit boleh dibentuk daripada b) 5 4 3 3
digit-digit 3, 4, 5, 6, 7 dan 8 jika nombor-nombor itu
adalah Bilangan nombor = 5 × 4 × 3 × 3
How many 4 digit numbers can be formed from the
digits 3, 4, 5, 6, 7 and 8 if the numbers are Tips: = 180

(a) kurang daripada 5 000? Terdapat 6 digit diberi tetapi 4 digit sahaja yang
less than 5 000? hendak dibentuk, jadi buat 4 garis/kotak
a)syarat kurang daripada 5000 bermaksud nombor
(b) nombor-nombor ganjil? mesti bermula dengan 3 atau 4. Jadi ada pilihan dua
odd numbers?
nombor sahaja pada kotak pertama, dan masih ada 3

digit untuk diisi daripada 5 digit yang tinggal.
____ ____ ____ ____
2 x 5P3 = 120

b)nombor ganjil bermaksud petak terakhir perlu diisi
dengan nombor 3,5 atau 7 . Jadi terdapat 3 digit yang
boleh dipilih.

____ ____ ____ ____
5P3 x
3 = 180

53 Terdapat 12 biji guli, setiap satu berlainan warna,

yang dibahagikan sama banyak antara 2 orang Bilangan nombor = 12C6 × 6C6
kanak-kanak. Cari bilangan cara yang berlainan = 924 × 1
pembahagian guli-guli itu dapat dilakukan.
There are 12 marbles, each with a different colour, = 924
which are to be divided equally between 2 children.
Find the number of different ways the division of the
marbles can be done.

55 a)Bilangan nombor = 10C3
Sebuah sekolah ingin memilih 3 orang pelajar = 120

daripada sekumpulan 5 orang lelaki dan 5 orang

perempuan untuk menyertai suatu pertandingan b) Bilangan nombor = 5C1 × 5C2
matematik . Kirakan cara pelajar itu boleh dipilih jika = 50
A school wants to choose 3 students from a group of

5 boys and 5 girls to participate in a mathematics LELAKI PEREMPUAN JUMLAH PILIH

contest. Calculate the number of ways the students 5 5 10 3

can be chosen if Tips:
(a)Tiada syarat. Maka ambil jumlah besar iaitu 10
(a) tidak ada sebarang sekatan. pilih 3. Tidak pentingkan susunan , maka guna C iaitu
there is no restriction. Gabungan.

(b) pelajar yang dipilih terdiri daripada 1 orang diberi LELAKI PEREMPUAN JUMLAH PILIH
lelaki dan 2 orang perempuan. 5 5 10 3
the students chosen consists of 1 boys and 2
girls.

(b) 1 2 -3

5C1 × 5C2

56 a) Bilangan nombor = 10!
Dalam almari ada 4 helai kemeja-T yang berlainan
= 3 628 800

dan 6 helai seluar berlainan. Hitung bilangan cara b) Bilangan nombor = 5! × 6!
yang berlainan untuk menyusun semula semua = 120 × 720
pakaian itu dalam satu baris jika = 86 400

There are 4 different t-shirts and 6 trousers on a Tips:
cupboard. Calcualte the number of different ways to (a)SUSUNAN = nPr
arrange all the clothes in a row if
Tiada syarat , 10! = 10P10

(a) tiada syarat dikenakan. (b)
no condition is imposed.
_____ _____ ______ _____ _____ ______ ______ _______ ______ _____
(b) semua seluar adalah bersebelahan antara satu
sama lain. 6 helai seluar disusun bersebelahan = 6!
all the trousers are next to each other. Baki lagi 4 petak tetapi semua kumpulan seluar boleh
berada di petak kedua, tiga,empat atau lima, maka 5
pilihan lagi untuk bergerak = 5!.
Jawapan = 6! × 5!

14.TABURAN KEBARANGKALIAN

14.PROBABILITY DISTRIBUTIONS

57 Terdapat 7 soalan dalam satu pertandingan kuiz. 1 Taburan
Setiap soalan mempunyai 3 pilihan, di mana hanya a)X ~ B(7, 3 ) Binomial

satu pilihan adalah betul. Jika seorang peserta n=7, r = 5, p=31 , q = 1-13 =23
menjawab dengan memilih jawapan secara rawak,
cari kebarangkalian bahawa :

P(X = 5) = 7C5 × 1 )5 × 2 )2
(3 (3

= 0.03841

There are 7 questions in a quiz contest. Each question b) P(X ≥ 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1)

has 3 choices, of which only one choice is correct. If a = 1 − 0.05853 − 0.2048
participant answer the questions by choosing the = 0.7367
answers randomly, find the probability that: Tips:
(b)sekurang-kurangnya ≥2 bermaksud 2,3,4,5,6,7.
(a) tepat 5 soalan dijawab dengan betul. Terlalu banyak kali pengiraan perlu dilakukan, maka
exactly 5 questions answered correctly. guna kaedah :
Jumlah kebarangkalian (=1) – Kebarangkalian bagi
(b) sekurang-kurangnya 2 soalan dijawab dengan nombor sebelum 2 iaitu 1 dan 0
betul.
at least 2 questions answered correctly. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

TIDAK MAHU! MAHU!

58 Jisim murid di sebuah sekolah mempunyai taburan

normal dengan min 44 kg dan sisihan piawai 5 kg. (a) μ = 44, σ = 5
The masses of student in a school have a normal
distribution with a mean of 44 kg and a standard Z = X − μ Taburan
deviation of 5 kg. σ Normal

0.4 = X − 44
5

(a) Cari jisim murid yang mempunyai skor-z 2 = X − 44
bernilai 0.4.
Find the mass of students whose z-score is 0.4. X = 46 kg

(b) Jika seorang murid dipilih secara rawak, cari (b) P(X ≥ 41.5) = P(Z ≥ 41.5 − 44 )
5

= P(Z ≥ −0.5)
= 1 − P(Z ≥ 0.5)

kebarangkalian murid itu mempunyai jisim yang = 1 − 0.3085
sekurang-kurangnya 41.5 kg. = 0.6915

If a student is chosen at random, find the

probability that the student has mass of at least

41.5 kg.

-0.5

Tips:
-Soalan akan sebut taburan normal

-Guna formula Z = X − μ di mana
σ

X=Nilai peristiwa yang berlaku

sisihan piawai , σ = 5; min µ = 44

b)sekurang-kurangnya ≥. Tulis maklumat dalam
bentuk kebarangkalian iaitu P(X≥41.5)
Kemudian tukar kan P(X) kepada P(Z) guna formula Z

SUDUT KALKULATOR

Mode Mode SD(1), Shift 3 (DISTR), 3 (R), (-0.5)
*R=Right (kawasan berlorek sebelah kanan)

59 Rajah 59 menunjukkan satu graf taburan normal
piawai.
Diagram 59 shows a standard normal distribution

graph.

Luas = 0.8599

Rajah 59 (a) P(Z > k) = 1 − 0.8599
Diagram 59 = 0.1401

Kebarangkalian yang diwakili oleh luas rantau P(Z > 1.08) = 0.1401
berlorek ialah 0.8599. ∴ k = −1.08
The probability represented by the area of the
shaded region is 0.8599. Baca dari jadual, 0.1401(bahagian dalam jadual) ,
Z= 1.08
(a) Cari nilai k.
Find the value of k. k= -1.08 kerana k terletak pada paksi negatif

(b) X ialah pemboleh ubah rawak selanjar b) μ = 108, σ = 5
bertaburan secara normal dengan min 108 dan X − 108
sisihan piawai 5. Cari nilai X apabila skor-z ialah
k. 5 = -1.08
X is a continuous random variable which is X = 108 + 5 × (-1.08)
normally distributed with a mean of 108 and a
standard deviation of 5. Find the value of X = 102.6
when the z-score is k.

60 Jisim betik dari sebuah kebun mempunyai taburan a) μ = 733, σ = 109

normal dengan min 733 g dan sisihan piawai 109 g. 600 − 733
The masses of papayas from a farm have a normal P(X > 600) = P(Z > 109 )

distribution with a mean of 733 g and a standard = P(Z > −1.22)

deviation of 109 g. = 1 − P(Z > 1.22) P( A)  n( A)
= 1 − 0.1112 n(S )
(a) Cari kebarangkalian bahawa sebiji betik yang = 0.8888
dipilih secara rawak dari kebun ini berjisim lebih 0.8888  n(A)
daripada 600 g b)(i) Bilangan betik 400
Find the probability that a papaya chosen = 0.8888 × 400
randomly from this farm has a mass of more = 355

than 600 g. 334 Mesti tolak kerana
(ii) P(X > m) = 400 jadual taburan
(b) 400 biji betik diambil secara rawak dari kebun kebarangkalian
itu sebagai sampel. = 0.835 mempunyai nilai
400 papayas are picked randomly from the farm P(X < m) = 1 − 0.835 kurang 0.5000
as sample.
= 0.165
P(Z > 0.974) = 0.165

m − 733 = −0.974
109

m = 626.8 g

(i) Hitung bilangan betik dari sampel ini yang
mempunyai jisim melebihi 600 g.
Calculate the number of papayas from the

sample that have a mass of more than 600 g.

(ii) Diberi bahawa 334 betik dari sampel ini
mempunyai jisim melebihi m g. Cari nilai m.
Given that 334 papayas from this sample have
a mass of more than m g. Find the value of m.

15.PENGATURCARAAN LINEAR

15.LINEAR PROGRAMMING

61 Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini. y kurang daripada x y<x

Use graph paper to answer this question. y less than x

y lebih daripada x y >x

Mira Zafira membuat x ketul kek coklat dan y ketul y more than x

kek keju untuk satu jamuan. Bilangan kek adalah y tidak lebih daripada x y ≤x
berdasarkan kekangan berikut: y not more than x y≥x
Mira Zafira makes x chocolate cakes and y cheese y tidak kurang daripada x y≥x
cakes for a party. The number of cakes is based on y not less than x y ≤ 2x
the following constraints: y sekurang-kurangnya x
y at least x
I Jumlah bilangan kek tidak boleh melebihi 75 y selebih-lebihnya dua kali
ketul. bilangan x
The total number of cakes cannot exceed 75 y at most two times the value of x
pieces.

II Bilangan kek coklat tidak melebihi 5 kali Bilangan minimum x ialah k x≥k

bilangan kek keju. The minimum value of x is k
The number of chocolate cakes cannot exceed

5 times the number of cheese cakes. a) I: x + y ≤ 75

III Bilangan kek keju tidak boleh melebihi 30 1
bilangan kek coklat. II: y ≥ 5 x

The number of cheese cakes cannot exceed III: y ≤ x + 30

the number of chocolate cakes by more than b) Untuk bina graf, bina jadual ringkas seperti
30 pieces. berikut:

(a) Tulis tiga ketaksamaan, selain x ≥ 0 and y ≥ 0,

yang memenuhi semua kekangan di atas. I) x + y = 75

Write three inequalities, other than x ≥ 0 and x 0 75

y ≥ 0, which satisfy all the above constraints. y 75 0

(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10

ketul kek pada kedua-dua paksi, bina dan lorek 1
rantau R yang memenuhi semua kekangan di II) y = 5 x
atas.

Using a scale of 2 cm to 10 cakes on both axes, x 0 50
construct and shade the region R which satisfies y 0 10
all the above constraints.

(c) Dengan menggunakan graf yang dibina di (b), III) y = x + 30 0 30
cari x 30 60
Using the graph constructed in (b), find
y

(i) bilangan maksimum kek coklat yang boleh
dibuat,
the maximum number of chocolate cakes that
can be made,

(ii) jumlah kos maksimum pembuatan kek jika kos
seketul kek coklat ialah RM1.00 dan kos
seketul kek keju ialah RM2.50.
the maximum total cost for the cakes if cost
for a coklat cake is RM1.00 and the cost for a
cheese cake is RM2.50.

c)

d) (i)Berdasarkan graf, bilangan maksimum kek
coklat ialah 62.

(ii) x + 2.5y = k } x 2
2x + 5y = 2k
nilai k adalah sebarang faktorsepunya kepada 2
dan 5
Katakan k = 25, maka 2x + 5y = 50

x 0 25
y 10 0

*Lukis graf dengan memplot dua titik di atas

Berdasarkan graf, jumlah maksimum yuran

terletak pada titik (22, 52).

Jumlah kos maksimum

= (22) + 2.5(52)

= RM152.00

62 Sebuah kilang menghasilkan dua jenis meja, C dan D. (a) I: 60x + 20y ≤ 1300

Penghasilan setiap meja melibatkan dua proses, iaitu 3x + y ≤ 65

memasang dan mengecat. Jadual 70 menunjukkan II: 30x + 40y ≥ 1200

masa yang diambil untuk memasang dan mengecat 3x + 4y ≥ 120

seunit meja C dan seunit meja D. x1
III: y ≥ 4

A factory produces two types of table, C and D. The y ≤ 4x 10 15
production of each type of table involves two I) 3x + y = 65 35 20
processes, assemblying and painting. Table 70 shows x
the time taken to assembly and paint a table C and a
table D. y

Meja Tempoh masa (minit) II) 3x + 4y = 120 40
Table Time taken (minutes) x0 0

y 30 10
40
Memasang Mengecat III) y = 4x
Assemblying Painting x

C 60 30 y 0
0

D 20 40

Jadual 70
Table 70
Kilang itu menghasilkan x unit meja C dan y unit
meja D sehari. Penghasilan meja sehari adalah
berdasarkan kekangan berikut:

The factory produces x tables of type C and y tables (b)
of type D per day. The production of tables per day is
based on the following constraints:

I Jumlah masa maksimum untuk memasang
kedua-dua meja adalah 1 300 minit
The maximum total time for assemblying
both tables is 1 300 minutes.

II Jumlah masa untuk mengecat kedua-dua
meja adalah sekurang-kurangnya 1 200 minit.
The total time for painting both tables is at
least 1 200 minutes

III Nisbah bilangan meja C kepada bilangan meja
D adalah sekurang-kurangnya 1 : 4.
The ratio of the number of tables of type C to
the number of tables of type D is at least
1 : 4.

(a) Tulis tiga ketaksamaan, selain x ≥ 0 and y ≥ 0, (c) (i) Berdasarkan graf, apabila x = 15, nilai minimum
yang memenuhi semua kekangan di atas. y = 19.
Write three inequalities, other than x ≥ 0 and
y ≥ 0, which satisfy all the above constraints.

(b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 meja (ii) 15x + 25y = k
mainan pada kedua-dua paksi, bina dan lorek Maka 3x + 5y = 75 Ambil k = 75
rantau R yang memenuhi semua kekangan di
atas. x 0 25
Using a scale of 2 cm to 5 tables on both axes, y 15 0
construct and shade the region R which satisfies
all the above constraints. Berdasarkan graf,keuntungan maksimum
diperolehi pada titik (9, 37).
(c) Dengan menggunakan graf yang dibina di (b), Keuntungan maksimum = 15(9) + 25(37)
cari = RM1 060
Using the graph constructed in (b), find

(i) bilangan minimum meja D jika bilangan
meja C yang dihasilkan adalah 15 unit
sehari.
the minimum number of tables of type D if
15 tables of type C are produced per day.

(ii) jumlah keuntungan maksimum sehari jika
keuntungan yang diperoleh dari seunit
meja C ialah RM15 dan dari seunit meja D
ialah RM25.
the maximum total profit per day if the
profit from one table C is RM15 and from
one table D is RM25.