MATEMATIK TAMBAHAN T4

NAMA PEMILIK A+ ADDMATHS : …………………………………………………………………………

==
==
==
m=L+

x2  (SOR)x  POR  0 ISTILAH
Punca = nilai x
SOR   b POR  c Tangen = menyentuh 1 titik, b2 − 4ac = 0
a a Garis tidak menyentuh lengkung , b2 − 4ac < 0
Jawapan dalam angka bererti , mesti guna rumus
x b b2 − 4ac = 0
2a b2 − 4ac > 0 −b ± b2 − 4ac
b2 − 4ac < 0 2a
dua punca yang sama
dua punca yang berbeza Indeks yang ada asas yang sama mesti tukarkan
tiada punca Indeks yang asas tidak sama perlu guna log
Operasi antara asas tambah / tolak tiada hukum, guna kaedah Let u
(ab)x  axbx Operasi darab dan bahagi antara asas perlu guna hokum
Jawapan bagi duit beri dalam dua tempat perpuluhan (sen)
bi  a
logb a  i .

1

BAB 5 - INDEKS DAN LOGARITMA
(A) INDEKS

1. 92x3  1 9 dan 27 ada ASAS
27 3. TUKAR

2. 2x1  22x  4 Ans : x   9
4
3. 3x2  3x  24
OPERASI x tukar
4. Diberi 3p  4q  12r , ungkapkan r dalam sebutan p dan q kepada +
Nombor sebelah
kanan perlu tukar
asas
Ans: x  1

3
Operasi – tiada dalam
hukum
Nombor sebelah
kanan JANGAN
TUKAR!
Let u

Ans : x = 1

3 x 4 = 12

Ans : r  pq
pq

5. 27x  23x  36 ASAS TAK SAMA.
Yang sama ialah
indeks iaitu x.
Faktorkan.

Ans: x  2
3

2

6. x  2m y  2n . Ungkapkan 8m  n 8 dan 4 ada ASAS 2.
4m Tukar!
Diberi dan dalam sebutan x dan y
Ans : xy3

Latihan A
1. Ans: x  1

7

2. 32 x 12(3x )  1  0 Ans : -4
27

3. 84x  272x  144 Ans : x  1
3

3

4. Diberi 2x  3y  18q , ungkapkan q dalam sebutan x dan y. Ans : q  xy
2x  y

5. 52x1  25x  125 1
Ans:

2

(B) LOGARITMA

1. 2 x  5 2 dan 5 tiada asas
sama, ambil log
2. log3 (2x + 1) − log3 ( x - 1) = 2.
Ans : 2.322

log – log tukar jadi
log  (hukum)
nombor 2 JANGAN
TUKAR jadi log

Ans : 2

4

3. 27m 4 Keluarkan m, 2 dan
64 3
Diberi log m 2  p and log m 3  q, ungkapkan log m Rancang utk no 27
ialah 33 dan 64 = 26
4. log16 x = log2 4, cari nilai x Baca log dengan
operasi x dan  ,
5. log8 s − log2 t = 0, ungkapkan s dalam sebutan t. jadi tukar kepada +
dan –

Ans : 3q – 6p + 4
Tukar log16 kepada
log2

Ans : 256

Tukar asas 8 kepada
asas 2

Ans : s = t3

6. log3 6  log9 (x  2)  2 Walaupun – ada
hokum tetapi asas 9
perlu tukar kepada
asas 3 dahulu

22
Ans :

9

5

7. m  1 , cari Guna bai . bia
x5
Ans :
a) log x m (a)-5
(b)  3
b) 3logm x
5

LATIHAN B

1. 9x  18 1.315
1
2. log2 (x + 3) – log2 (x + 1) = 2.
3
3. Diberi log 2 m  x and log2 n  y , ungkapkan 512m 9+x-y
n
log 2 16

4. log9 x = log3 4, cari nilai x

6

5. log4 p − log2 q = 0, ungkapkan p dalam sebutan q. p = q2

BAB 11- NOMBOR INDEKS
(C) NOMBOR INDEKS

Nota : w ialah pemberat yang akan diberi dalam bentuk carta pai (360ͦ , peratus,100%, carta
palang , nisbah, jadual dll

Indeks harga pada tahun asas =100 , kenaikan merujuk kepada >100 manakala penurunan <100
Indeks harga mempunyai unit yang sama dengan indeks gubahan)
Jika melibatkan 3 tahun berbeza, guna petua bibir

1. Jadual menunjukkan harga dan pemberat bagi empat jenis item A, B, C dan D.

Harga (RM) Harga(RM) Indeks Harga Pemberat
Item

Tahun 2006 Tahun 2008

A 7.00 8.40 w 100

B 13.50 x 130 80

C y 13.00 115 70

D 11.00 12.10 110 z

(a) Hitungkan nilai bagi w, x dan y. [4 markah]

(b) Indeks gubahan bagi item-item tersebut bagi tahun 2008 berasaskan tahun 2006 ialah 120.

Hitungkan nilai z. [3 markah]

(c) Jumlah harga semua item tersebut dijangkakan meningkat sebanyak 10% dari tahun 2008 ke

tahun 2009. Cari indeks gubahan yang dijangkakan bagi tahun 2009 berasaskan 2006.

[3 markah]

Ans : (a) w = 120, x = 17.55 , y = 11.30

(b) z = 45 (c) 132

7

2. Jadual menunjukkan harga dan indeks harga empat bahan P, Q, R dan S, untuk
membuat sejenis lauk. Rajah menunjukkan carta pai yang mewakili kuantiti relatif bagi
bahan yang digunakan.

Bahan Harga (RM) Indeks
per kg harga pada
tahun 2008
pada tahun berasaskan

2006 P
15%
2006 2008 Q
25% S

P 2.25 2.70 x 20%

Q 4.50 6.75 150 R

R y 1.35 112.5 40%

S 2 2.10 105

(a) Cari nilai x dan nilai y. [3markah]

(b) Hitung nilai indeks gu bahan bagi harga memasak lauk tersebut pada tahun
2008 berasaskan tahun 2006.
[3 markah]

(c) Indeks gubahan untuk kos memasak lauk tersebut bertambah sebanyak 20%

dari tahun 2008 ke tahun 2009.

Hitung

(i) indeks gubaban bagi harga memasak lauk tersebut pada tahun 2009
berasaskan tahun 2006.

(ii) harga semangkuk lauk itu pada tahun2009 jika harganya pada tahun
2006 ialah RM 25.

[4 markah]

Ans : (a) x = 120 , y = 1.20 (b) 121.5 (c) (i) 145.8 (ii) 36.45

8

LATIHAN C

1. Rajah adalah sebuah carta bar yang mewakili peratus perbelanjaan bagi lima
item yang diperlukan oleh seorang pelajar pada permulaan penggal persekolahan.
Peratus perbelanjaan (%)

46

24

12
10

8

Item

O Bag Shoes Uniform Books Stationery

Beg Kasut Uniform Buku Alat tulis

Jadual menunjukkan harga dan indeks harga item-item tersebut bagi tahun 2007

berasaskan tahun 2006.

Harga setiap item (RM) Indeks harga

Item bagi tahun 2007

2006 2007 berasaskan

tahun 2006

Bag / Beg x 70 175

Shoes / Kasut 30 45 150

Uniform / Uniform 60 75 125

Books / Buku 20 y 100

Stationery / Alat tulis 15 18 z

(a) Cari nilai x, nilai y dan nilai z. [3 markah]

(b) Hitung indeks gubahan bagi item-item itu untuk tahun 2007 berasaskan tahun

2006. [2markah]

9

(c) Jumlah perbelanjaan untuk item-item pada tahun 2007 adalah RM 880.00.

Hitung jumlah perbelanjaan yang sepadan pada tahun 2006.

[2 markah]

(d) Harga beg dijangka berkurang sebanyak 5 %, sementara harga setiap item yang
lain dijangka meningkat sebanyak 10% dari tahun 2007 ke tahun 2008 . Cari
nombor indeks gubahan yang dijangkakan pada tahun 2008 berasaskan tahun
2006.
[ 3markah]

Ans : (a) x= 40 , y = 20 , z = 120 (b) 123.7 (c) 711.40 (d) 133.97

BAB 2,3 & 4 - KUADRATIK

RUMUS x   b  b2  4ac PENTING!
2a
x2  2x 8  0
x2  5x  6  0 x2  4x  4  0
a = 1 , b = 2, c = 8
a =1, b = 5, c = 6 a =1, b = 4, c = 4  2  22  4(1)(8)

 5  52  4(1)(6)  4  42  4(1)(4) 2(1)
2(1) 2(1)  2   28

5 1 4 0 2
2 2 b2  4ac  28

b2  4ac  1 b2  4ac  0 Negatif
Positif 0 x = tiada jawapan

x= -2 , x = -3 x = -2 , x = -2 Tiada punca
Dua punca berbeza Dua punca yang sama

10

(D) KUADRATIK Guna
1. 2 pemfaktoran
lebih baik
Bina persamaan kuadratik dengan punca-punca -1 dan
5

2. -1 ialah punca kepada 5x2  px  2  0 . Cari nilai p. Ans :
5x2  3x  2  0

x = - 1, Ganti
dalam persamaan

Ans : p = 3

3. Diberi suatu punca bagi persamaan kuadratik x2  px  12 adalah 1 α dan 1 α
punca 3
3
Guna
yang satu lagi. Cari nilai-nilai p. SOR   b

a

Ans : 8 , -8

4. Selesaikan x(3x  5)  2 . Susun jadi
5. Selesaikan 3x2  7x 1. Beri jawapan anda dalam 4 angka bererti. kuadratik, guna
kaedah
pemfaktoran
Ans : 2 ,  1

3
Mesti guna rumus

Ans:
x = 2.180 ,
x = 0.1529

11

6. Cari nilai k jika x2  6x  k  0 mempunyai dua punca yang sama. b2  4ac  0

7. y  x  p ialah tangen kepada y  1  x2 . Cari nilai p. Ans: 9
4 b2  4ac  0

Ans : p = 2

8. Cari julat k jika 2x2  x  k  0 mempunyai dua punca berbeza. b2  4ac  0

Ans : k >  1
8

9. Cari julat p jika x2  2 px  5 p  6  0 mempunyai dua punca berbeza. b2  4ac  0

Ans :
p<2,p>3

12

10. Cari julat nilai k jika 2x2  4x  4  k tidak mempunyai punca. b2  4ac  0
Ans: k < - 6

11. Selesaikan x2  9x  8  0 Terus guna
12. 12  5x  2x2  0 pemfaktoran .
JANGAN guna
b2  4ac  0
Tiada kaitan

Ans : -8 < x < -1
Pastikan a
bernilai positif

Ans :
x3,x4

2

LATIHAN D 3x2 −4x − 4 = 0
1. Bentuk satu persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca 2 dan −23 .

13

2. Selesaikan persamaan kuadratik −2x(8x + 6) = (4 − 7x)(2x + 1). Beri jawapan betul −6.176 atau

kepada 4 angka bererti. −0.3238

3. Jika α dan β ialah punca-punca bagi persamaan 2x2 + 8x + 4 = 0, bentuk satu x2 +12x + 4 = 0
persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca 4α + 2 dan 4β + 2

4. Graf fungsi kuadratik f(x) = −x2 − 8x + q + 5 tidak menyentuh paksi-x. Cari julat q < −21
nilai q.

5. Persamaan kuadratik 9x2 + (2 − 2n)x + 9 = 0 mempunyai dua punca yang sama, n n = 10 atau
ialah pemalar. Cari nilai n. n = −8

14

6. Graf fungsi kuadratik f(x) = (p + 1)x2 + 2x − 9 menyentuh paksi-x pada dua titik. p > −190
Cari julat nilai p.

7. Fungsi kuadratik x(x + m − 4) = −1 tidak mempunyai punca yang nyata. Cari julat 2<m<6
nilai m.

(E) BENTUK PENYEMPURNAAN KUASA DUA

f (x)  a(x  p)2  q
.

x=-p nilai min/max = q

( p,q)

koordinat titik min/max

f (x)  3(x  2)2  5

15

1.Diberi fungsi kuadratik f x  5x  2  3x2 .
(a) Nyatakan f x dalam bentuk mx  n2  p, di mana m, n dan p adalah pemalar.
(b) Lakarkan graf f x .

_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
2. Rajah menunjukkan graf fungsi kuadratik f(x) = (x + m)2 + 5, di mana m adalah pemalar.

Lengkung y = f(x) mempunyai titik minimum pada (−4, n), di mana n adalah pemalar. Nyatakan
(a) nilai m
(b) nilai n
(c) persamaan paksi simetri

3. Diberi fungsi kuadratik f (x)  m  2(n  x)2 mempunyai titik maksimum ( 6, -4). Cari nilai
bagi m dan n.

16

4. Fungsi f (x)  a(x  r)2  s mempunyai nilai minimum -2 dan persamaan paksi simetri ,
x = 4 dan melalui titik ( 0, 14) . Cari nilai a, r dan s.

LATIHAN E
1. Rajah menunjukkan f (x)  (x  p)2  q , dengan keadaan p dan q ialah pemalar. Garis lurus

y= 8 ialah tangen kepada lengkung y  f (x) .

Nyatakan
(a) nilai p
(b) nilai q
(c) persamaan paksi simetri

2. Fungsi kuadratik f(x) = a(x + b)2 + c, dengan keadaan a, b, dan c ialah pemalar, mempunyai
nilai minimum 5. Persamaan paksi simetrinya ialah x = 3.
Nyatakan
(a) julat nilai a.
(b) nilai b.
(c) nilai c.
2.Rajah menunjukkan graf fungsi f (x)  (x  h)2  3 dengan keadaan h ialah pemalar.
Cari : (a)nilai h

(b)persamaan paksi simetri
(c)koordinat titik maksimum

17

(F) PERSAMAAN SERENTAK
( pilih > ganti > rumus > nilai-nilai x > nilai-nilai y )

1 Selesaikan persamaan serentak x = −14, y =

x + 2y − 6 = 0 10 atau x = 8,
x2 + xy − 56 = 0 y = −1

2 Selesaikan persamaan serentak 2
x = 123 , y =

x + 5 y = −32 −8 atau x =
3
2 = −2
y2 + 12 = 6x 23 , y

(G) FUNGSI

1. f(x) = 5x + 1 (a)6
(a) f(1) (b)-14
(b)f(-3) (c) 1
(c)nilai x jika f(x) = 6

2. (a)h(x) = 2x  3 (b) (a) (i)3
(ii) 11
.
(i) h(3) (iii) 2 , 1
(ii) h(-4)
(iii) nilai-nilai x jika h(x) = 1 (b)(i) m=2

(ii)

f(x) = |−x + 2| 0 ≤ f(x) ≤ 10

(i)Nyatakan nilai m

(ii)Cari julat f(x) berdasarkan
domain yang diberi

18

3. f(x) = 2x , g(x) = x + 3 (a)2x+6
(a)fg(x) (b)10
(b)fg(2) (c)x+6
(c) g2
x2
4. Diberi f(x) = 3x -2 (a)
Cari
(a)f -1(x) 3
(b)f -1(4) (b)2

5. Diberi g(x) = 2x 1, x  3 3x 1
(a)
x3
2x
Cari (b)-10
(a)g-1(x)
(b)g-1(3) 19

6. 9
a)Imej bagi 3 ialah = 2,-2
b)objek bagi 4 ialah = {1,4,9}
c)julat = f(x)=x2
d)tatatanda fungsi =
a=2
7. Diberi bahawa f(x) = x + 3 dan g(x) = a + bx2. Jika gf(x) = 6x2 + 36x + 56, b=6
carikan nilai a dan nilai b.

8. Diberi f : x → x + 7 dan gf : x → −4x − 5. Cari fungsi g(x) -4x + 23

9. Diberi g(x) = 23 – 4x dan gf : x → −4x − 5. Cari f(x) x+7

20