จำนวนเชิงซ้อน

complex number

จำนวนเชิงซ้อน

หน่วยจินตภาพ

"จำนวนจินตภาพ" เป็นจำนวนที่ ไม่มีอยู่จริง แต่เราสมมติให้มีขึ้นมา โดยเรื่องนี้ จะสมมติว่ามี
จำนวนที่เรียกว่า i ซึ่งมีสมบัติว่า i^2= -1 เราเรียกชื่อของ i แบบเป็นทางการว่า
"หน่วยจินตภาพ"

การคำนวณค่า i^n เมื่อ n เป็นจำนวนนับ

ผลการยกกกำลัง i^n จะวนซ้ำเดิมทุกๆ 4 ตัว คือ
i, -1, -i, 1

โดยผลลัพธ์จะเป็นเท่าไรนั้น ขึ้นกับว่า n หารด้วย4 เหลือเศษเท่าไร

จำนวนเชิงซ้อน

complex number

จำนวนเชิงซ้อน (complex nember) ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่ต่อเติมจากเซตของจำนวนจริง
โดยเพิ่มจำนวน i ซึ่งทำให้สมการ i^2 = 0 เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่นๆ เข้าไปจนกระ
ทั้งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติปิดภายใต้การบวกและการคูณ
จำนวนเชิงซ้อน z ทุกตัวสามารถเขียนในรูป x + iy โดยที่ x และ y เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก x และ y ว่าส่วนจริง
(real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ z ตามลำดับ

เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ C

สัญลักษณ์และศัพท์ที่เกี่ยวข้อง ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

ถ้า z = a + bi
เรียก a ว่าส่วนจริงของ z เขียนแทนโดย R(x) และ
เรียก b ว่าส่วนจินตภาพของ z เขียนแทนได้ว่า I(z)

สังยุคเชิงซ้อน

ถ้า z = a + bi เป็นจำนวนเชิงซ้อน
สังยุคของ z คือ a - bi เราเขียนแทนสังยุคของ z
ด้วย z

สังยุคของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญๆ ดังต่อไปนี้

สัญลักษณ์และศัพท์ที่เกี่ยวข้อง ค่าสัมบูรณ์

ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน z = a + bi เขียนแทนด้วย
|z| คือจำนวนจริงบวก

สามารถหาได้จากสูตร √a^2+b^2

สมบัติที่สำคัญของค่าสัมบูรณ์

สัญลักษณ์และศัพท์ที่เกี่ยวข้อง ระนาบเชิงซ้อน

เราสามารถมองจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดหรือเวกเตอร์บน
ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสองมิติ และมักจะเรียกระนาบนี้ว่า
ระนาบเชิงซ้อน (complex plane) หรือผังของอาร์กานด์
ตามชื่อของ ชอง-โรเบิร์ต อาร์กานด์ ผู้ค้นพบพิกัดคาร์ที
เซียนของจำนวนเชิงซ้อน z = bi คือ (a,b) ในขณะที่พี่กิด
เชิงขั้ว คือ (r,θ) เมื่อ r = |z| และ θ เป็น

มุมที่เวกเตอร์ (a,b) ทำกับแกน x ในหน่วยเรเดียน เรียกว่า อาร์กิวเมนต์ของ z และเขียนแทน
ด้วย arg(z) สังเกตว่าจำนรวนเชิงซ้อนที่มีอาร์กิวเมนต์ต่างกันเท่ากับผลคูณของจำนวนเต็ม
กับ 2π จะมีค่าเท่ากัน

สูตรของออยเลอร์ช่วยแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว

และยังพิสูจน์ได้ว่า

และ

เมื่อ r^2 ≠ 0

modulus of a
complex number

modulus of a complex number

ในทางคณิตศาสตร์ ขนาด (magnitude) คือ สมบัติอย่างหนึ่งของวัตถุที่ใช้เปรียบเทียบว่า สิ่งใดขนาด
ใหญ่กว่าหรือเล็กกว่าสิ่งใดในวัตถุชนิดเดียวกัน ในทางเทคนิคคือการจัดอันดับ ของวัตถุ ในชีวิตจริงมีการใช้
ขนาดในการจัดอันดับของวัตถุต่างๆ เช่น ความดังของเสียง (เดซิเบล) ความสว่างของดาวฤกษ์​หรือมาตราริด
เตอร์บนระดับความรุนแรงของแผ่นดินไหว เป็นต้น กล่าวง่ายๆ โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน คือ ขนาด หากคุณ
นึกภาพจำนวนเชิงซ้อนเป้นจุดบนระนาบเชิงซ้อนของมัน คือ ระยะทางของจุดนั้นจาดจุดกำเนิด หา
จำนวนเชิงซ้อนแสดงเป็นพิกัดขั้ว ( เช่น จำนวน r(cosθ + sinθ) ) จากนั้นเป็นเพียงรัศมี (R) หาก
จำนวนเชิงซ้อนนั้นแสดงเป็นพิกัดสี่เหลี่ยมผืนผ้า ( เช่นในแบบฟอร์ม a+ib ) แล้วมันถือความยาวของด้านตรง
ข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีด้านอื่น a และ b

De Moivre's Theorem

De Moivre's Theorem

ซึ่งทฤษฎีบทนี้นำไปใช้งานเมื่อเราต้องการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อนครั้งละมากๆ ใจความสำคัญ คือ
ถ้า z = r(cosθ + isinθ)z = r(cosθ + isinθ) เป็นจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว และ n E In E
จะได้ว่า

zn = rn(cosθ(nθ)) + isinθ))
zn = rn(cosθ) + isin(nθ))

Thank You

โดย
อรกัญญา ไตริน 5/1 4
โรงเรียนสาธิตมหาวิทยาลัยราชภัฎนครฐม