Modul Polinomial

i

KATA PENGANTAR

Puji Syukur kehadirat Allah swt karena atas limpahan rahmat-Nya sehingga kami dapat
menyelesaikan modul matematika untuk siswa kelas XI SMA. Modul ini hadir untuk memenuhi kebutuhan
peserta didik sebagai salah satu sumber/media pembelajaran dalam upaya meningkatkan sumber daya
manusia peserta didik.

Materi pada modul ini disusun dan disesuaikan berdasarkan Kurikulum 2013 (KI-KD 2017) dengan
menggunakan Bahasa yang komunikatif sehingga mudah untuk dipahami oleh peserta didik. Selain itu,
pada modul ini terdapat masalah-masalah aplikatif yang disesuaikan dengan aplikasi dari materi yang
dibahas, sehingga secara tidak langsung peserta didik diharapkan dapat meningkatkan pemahamannya
terhadap konsep matematika dan kemampuan serta keterampilan dalam menyelesaikan suatu
permasalahan.

Dalam upaya meningkatkan keefektifan pembelajaran, di samping agar tetap sejalan dengan
perkembangan teknologi informasi, buku ini menyediakan alamat situs yang dapat diakses peserta
didikuntuk membantu memperdalam pemahaman materi. Soal-soal latihan diberikan untuk melengkapi
modul ini dengan harapan peserta didik dapat mempersiapkan diri dalam menghadapi ujian.

Akhirnya, pada kesempatan ini penulis menyampaikan terimakasih kepada semua pihak atas
kesediaan memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan modul ini. Penulis berharap semoga buku
ini dapat berkontribusi dalam upaya meningkatkan kompetensi peserta didik SMA.

Yogyakarta, Februari 2022

Penulis

ii

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ………………………………………………………………………………………………………………………………… ii
Daftar Isi ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. iii
Pendahuluan …………………………………………………………………………………………………………………………………… iv
Petunjuk Penggunaan Modul ………………………………………………………………………………………………………….. v
Identitas Modul ………………………………………………………………………………………………………………………………. v
Kompetensi Dasar ……………………………………………………………………………………………………………………………. v
Bentuk Umum Polinomial

A. Pendahuluan ……………………………………………………………………………………………………………………… 1
B. Capaian Pembelajaran ……………………………………………………………………………………………………….. 1
C. Pokok – Pokok Materi ………………………………………………………………………………………………………… 1
D. Uraian Materi …………………………………………………………………………………………………………………….. 1
E. Rangkuman ………………………………………………………………………………………………………………………… 6
F. Tes Formatif ……………………………………………………………………………………………………………………….. 7
G. Daftar Pustaka …………………………………………………………………………………………………………………….. 7
H. Kriteria Penilaian …………………………………………………………………………………………………………………. 7
I. Kunci Jawaban …………………………………………………………………………………………………………………….. 8

iii

PENDAHULUAN

Siswa-siswi yang bersemangat. Selamat, saudara akan mempelajari modul 1 yang memuat materi
tentang bentuk umum polinomial. Modul ini terdapat satu kegiatan belajar yang dilengkapi dengan tes
formatif dengan kunci jawaban dan pembahasan berada pada akhir modul ini. Kerjakan tes formatif
dengan tanpa melihat kunci jawaban dan pembahasan untuk melihat tingkat pemahaman saudara
terhadap materi dalam kegiatan belajar tersebut. Proses pembelajaran untuk materi yang sedang saudara
ikuti sekarang ini, dapat berjalan dengan lebih lancar bila saudara mengikuti langkah-langkah belajar
sebagai berikut.

1. Ingat kembali materi prasyarat dalam mempelajari materi pada masing-masing kegiatan belajar
yang ada dalam modul ini.

2. Pelajari materi pada setiap kegiatan belajar, selesaikan latihan pada forum diskusi, dan selesaikan
tes formatifnya secara mandiri.

3. Cocokkan jawaban tes formatif saudara dengan kunci jawaban yang diberikan.
4. Apabila tingkat penguasaan saudara 80% atau lebih, saudara dapat melanjutkan ke kegiatan

belajar berikutnya. Apabila tingkat pengusaan saudara kurang dari 80%, saudara harus
mempelajari kembali materi pada kegiatan belajar yang sedang saudara pelajari.
5. Keberhasilan pembelajaran saudara dalam mempelajari materi pada setiap kegiatan belajar,
sangat tergantung kepada kesungguhan saudara dalam belajar dan mengerjakan tugas dan
latihan. Untuk itu, berlatihlah secara mandiri atau berkelompok dengan teman sejawat.
Selanjutnya kami ucapkan selamat belajar, semoga saudara sukses mampu mengimplementasikan
pengetahuan yang diberikan dalam modul ini.

iv

PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL

Anak-anakku sekalian, modul ini dirancang untuk memfasilitasi kalian dalam melakukan kegiatan
belajar secara mandiri. Untuk menguasai materi ini dengan baik, ikutilah petunjuk penggunaan modul
berikut.
1. Berdoalah sebelum mempelajari modul ini.
2. Pelajari uraian materi yang disediakan pada setiap kegiatan pembelajaran secara berurutan.
3. Perhatikan contoh-contoh soal yang disediakan dan jika memungkinkan cobalah untuk

mengerjakannya kembali.
4. Kerjakan latihan soal yang disediakan, kemudian cocokkan hasil pekerjaan kalian dengan kunci

jawaban dan pembahasan pada modul ini.
5. Jika kalian menemukan kendala dalam menyelesaikan latihan soal, cobalah untuk melihat kembali

uraian materi dan contoh soal yang ada.
6. Setelah mengerjakan latihan soal, lakukan penilaian diri sebagai bentuk refleksi dari penguasaan

kalian terhadap materi pada kegiatan pembelajaran.
7. Di bagian akhir modul disediakan soal evaluasi, silahkan mengerjakan soal evaluasi tersebut agar

kalian dapat mengukur penguasaan kalian terhadap materi pada modul ini. Cocokkan hasil
pengerjaan kalian dengan kunci jawaban yang tersedia.
8. Ingatlah, keberhasilan proses pembelajaran pada modul ini tergantung pada kesungguhan kalian
untuk memahami isi modul dan berlatih secara mandiri.

Mata Pelajaran IDENTITAS MODUL
Kelas
Alokasi Waktu : Matematika Peminatan
Judul Modul : XI (Sebelas)
: 2 X 30”
: Pembagian Polinomial

KOMPETENSI DASAR

3.4. Menganalisis keterbagian dan faktorisasi polinom
4.4. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan faktorisasi polinomial

v

KESAMAAN DAN NILAI POLINOMIAL

A. PENDAHULUAN
Siswa-siswi yang bersemangat, saudara telah memperlajari operasi aljabar pada

polinomial. Selanjutnya pada modul ini saudara akan belajar tentang kesamaan polinomial serta
nilai dari polinomial. Silahkan pelajari dengan baik materi yang ada pada modul ini. Selamat
belajar!

B. CAPAIAN PEMBELAJARAN
Melalui pembelajaran model Discovery Learning dalam pembelajaran Polinomial ini

diharapkan peserta didik terlibat aktif dalam kegiatan pembelajaran, mampu bekerja sama dan
bertanggungjawab dalam menyampaikan pendapat, menjawab pertanyaan, memberi saran dan
kritik, serta dapat mengnalisis pembagian pada polinomial.

C. POKOK MATERI

1. Pembagian polinomial oleh bentuk linier ( x − k )
2. Pembagian polinomial oleh bentuk linier (ax + b)

( )3. Pembagian polinomial oleh bentuk linier ax2 + bx + c

D. URAIAN MATERI

Perlu saudara ketahui bahwa pembagian polinomial dapat ditinjau sebagai pembagian

bilangan bulat. Perhatikan pembagian bilangan bulat berikut.

66  Hasil bagi

Pembagi → 4 2 6 7  Bilangan yang dibagi

24

27

24

3  Sisa

1

Proses pembagian tersebut berhenti ketika sisa (3) lebih kecil dari pembaginya (4). Hasil
pembagian tersebut dapat dituliskan:

267 = (466) + 3

Secara umum dituliskan :
= ( × ℎ ) +

Proses pembagian bilangan bulat di atas juga berlaku pada suku banyak. Misalkan suku

banyak f ( x) dibagi oleh p ( x) menghasilkan h( x) dan sisanya s ( x) , maka dapat ditulis :
f (x) = p(x)h(x)+ s(x)

Proses pembagian suku banyak dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu :
a. cara bersusun, dan
b. cara sintetik ( cara Horner )

1. Pembagian Polinomial oleh Bentuk Linier ( x − k )
Pembagian polinomial f ( x) dengan pembagi ( x − k ) menghasilkan hasil bagi h( x) dan

sisa s ( x) berderajat nol atau s ( x) = konstanta, dituliskan sebagai berikut.
f (x) = (x−k)h(x)+ s(x)

Siswa siswi yang bersemangat, untuk lebih memahami pembagian polinomial oleh

bentuk linier ( x − k ) , yuk kita perhatikan beberapa contoh soal berikut.

( )Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari 6x3 − 8x2 −13x − 8 : ( x − 2) kemudian

nyatakan f ( x) dalam bentuk f ( x) = ( x − k ) h( x) + s ( x) dengan :

a. cara bersusun
b. cara Horner

2

a. Cara Bersusun

6x2 + 4x −5  Hasil bagi
Bilangan yang dibagi
Pembagi → x − 2 6x3 − 8x2 −13x − 8 
Sisa
6x3 −12x2

4x2 −13x

4x2 −8x

−5x −8
−5x +10

−18 

( )Jadi 6x3 −8x2 −13x −8 = ( x − 2) 6x2 + 4x − 5 −18

b. Cara Horner
Pembagian suku banyak dengan cara Horner (sintetik) mirip dengan penentuan nilai

suku banyak dengan cara bagan /skema, yaitu dengan mendaftar koefisien-koefisien suku
banyak yang dibagi secara berurutan dari pangkat yang tertinggi.

( )6x3 −8x2 −13x −8 : ( x − 2)  pembagi x − 2 , dalam bagan ditulis x = 2

26 -8 -13 -8 → koefisien f ( x)
6
12 8 -10 + → hasil kali dengan 2

4 -5 -18 Sisa (s) atau f (2)

Nilai x = k 

Koefisien hasil bagi h( x)

Dari pembagian dengan cara Horner diperoleh:

Hasil bagi : h( x) = 6x2 + 4x − 5

Sisa pembagian : s = −18

( )Maka dapat ditulis 6x3 −8x2 −13x −8 = ( x − 2) 6x2 + 4x − 5 −18

3

2. Pembagian Polinomial oleh Bentuk Linier (ax + b)

Anak-anakku pada uraian materi di atas dijelaskan bahwa jika polinomial ( ) dibagi
( + ) memberikan hasil bagi ℎ( ) dan sisa , maka diperoleh hubungan:

f (x) = (x−k)h(x)+ s(x)

Jika k = − b , hubungan di atas menjadi :
a

f ( x ) =  x + b  h ( x ) + s ( x )
 a 

f ( x) = 1 (ax + b)h( x) + s ( x)

a

f ( x) = (ax + b) h( x) + s ( x)

a

Berdasarkan uraian di atas, diperoleh hasil bagi f ( x) oleh (ax + b) adalah h( x)

a

Sisa pembagian s adalah f  − b 
 a 

Untuk lebih memahami pembagian polinomial oleh (ax + b) , mari kita simak contoh soal

berikut.

( )Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari 4x3 + 6x2 − 8x −10 : (2x +1) kemudian

nyatakan f ( x) dalam bentuk f ( x) = (ax + b) h( x) + s ( x) dengan :

a. cara bersusun
b. cara Horner

4

a. Cara Bersusun  Hasil bagi
 Bilangan yang dibagi
2x2 + 2x −5
Pembagi → 2x +1 4x3 + 6x2 − 8x −10

4x3 + 2x2

4x2 −8x Sisa
4x2 + 2x

−10x −10
−10x −5

−5 

( )Jadi 4x3 + 6x2 −8x −10 = (2x +1) 2x2 + 2x − 5 − 5

b. Cara Horner
Pembagian suku banyak dengan cara Horner (sintetik) mirip dengan penentuan nilai

suku banyak dengan cara bagan /skema, yaitu dengan mendaftar koefisien-koefisien suku
banyak yang dibagi secara berurutan dari pangkat yang tertinggi.

( )4x3 + 6x2 − 8x −10 : (2x +1)  pembagi 2x +1, dalam bagan ditulis x = − 1
2

−1 4 6 -8 -10 → koefisien f ( x)
2
-2 -2 5 + → hasil kali dengan 2
4
4 -10 -5 Sisa (s) atau f (2)

Nilai x = k 

Koefisien hasil bagi h( x)

Dari pembagian dengan cara Horner diperoleh h( x) = 4x2 + 4x −10 dan s = −5:

Selanjutnya hasil bagi dan sisa pembagian ( ) oleh (2 + 1) adalah :

Hasil bagi : h( x) = 4x2 + 4x −10

a2

5

= 2x2 + 2x −5

Hasil bagi : h( x) = 4x2 + 4x −10

a2

Sisa pembagian : s= f  − 1  = −5
 2 

( )Maka dapat ditulis 4x3 + 6x2 − 8x −10 = (2x +1) 2x2 + 2x − 5 − 5

Berdasarkan dua contoh di atas, pembagian suku banyak ( ) oleh bentuk linear ( – )
atau ( + ), dapat disimpulkan bahwa :

a. Derajat hasil bagi ℎ( ) maksimum satu lebih kecil dari pada derajat suku banyak ( ).
b. Derajat sisa maksimum satu lebih kecil dari pada derajat pembagi.

3. Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat ax2 + bx + c dengan a  0

Jika polinomial f ( x) dibagi dengan ax2 + bx + c dengan a  0 , maka hasil bagi dan sisa

pembagian polinomial dapat ditentukan dengan cara pembagian bersusun, skema Horner,
dan skema Horner Kino.
a. Cara Bersusun

Pembagian suku banyak f ( x) oleh bentuk kuadrat ax2 + bx + c dengan a  0

dapat dilakukan dengan cara bersusun seperti halnya pada pembagian suku banyak oleh

bntuk linear ( x − k ) atau (ax + b) . Secara umum, algoritma pembagian suku banyak
f ( x) oleh bentuk kuadrat ax2 + bx + c dapat dinyatakan dengan persamaan :

f ( x) = (ax2 + bx + c)h( x) + s( x)

Untuk lebih memahami pembagian polinomial oleh bentuk kuadrat dengan cara
bersusun, mari simak contoh soal berikut.

6

Dengan menggunakan cara bersusun, tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian

( ) ( )dari 6x4 − 4x3 − 5x2 − 3x +12 : 2x2 − 2x +1 !

3x2 + x − 3  Hasil bagi
 Bilangan yang dibagi
2x2 − 2x +1 6x4 − 4x3 − 5x2 − 3x +12

Pembagi 6x4 − 6x3 + 3x2

2x3 −8x − 3x

2x3 − 2x2 + x

−6x2 − 4x +12

−6x2 + 6x − 3

−2x +15  Sisa

Berdasarkan pembagian bersusun di atas diperoleh hasil bagi h( x) = 3x2 + x − 3

dan sisa pembagian s ( x) = −2x +15 sehingga suku banyak f ( x) dapat dituliskan

sebagai berikut

( )( )6x4 − 4x3 − 5x2 − 3x +12 = 2x2 − 2x +1 3x2 + x − 3 + (−2x +15)

Jadi, hasil bagi h( x) = 3x2 + x − 3 dan sisa pembagian s ( x) = −2x +15

Catatan :

Jika polinomial yang dibagi berderajat dan pembaginya berderajat , maka diperoleh:
• Hasil bagi berderajat – .
• Sisa pembagian berderajat − 1 (derajat dari sisa pembagian kurang satu dari
derajat pembagi)

7

b. Cara Skema Horner
Pembagian polinomial dengan cara skema Horner hanya dapat digunakan untuk pembagi

yang dapat difaktorkan. Misalkan polinomial f ( x) dibagi oleh bentuk kuadrat

ax2 + bx + c yang dapat difaktorkan. Kita dapat menentukan hasil bagi dan sisa

pembagian dengan cara skema Horner, yuk perhatikan langkah-langkah berikut:

1) Misalkan ax2 + bx + c dapat difaktorkan dan ditulis sebagai a ( x − k1 )( x − k2 ) ,

dengan a  0

2) Langkah awal, kita bagi f ( x) dengan ( x − k1 ) . Pada langkah ini diperoleh

f ( x)  ( x − k1)h1 ( x) + s1

3) Hasil bagi h1 ( x) dibagi lagi dengan ( x − k2 ) . Pada langkah ini diperoleh

h1 ( x)  ( x − k2 )h2 ( x) + s2

4) Substitusi h1 ( x) ke bentuk persamaan f ( x) , diperoleh:

f ( x)  ( x − k1) ( x − k2 )h2 ( x) + s2  + s1

f ( x)  ( x − k1)( x − k2 )h2 ( x) + s2 ( x − k1) + s1

f (x)  a ( x − k1 ) ( x − k2 ) h2 (x ) + s2 ( x − k1 ) + s1

a

c. Cara Skema Horner – Kino

Skema Horner – kino dicetuskan oleh Sukino, Horner kino merupakan

pengembangan dari skema Horner kino. Pada skema Horner terbatas untuk pembagi yang

bias difaktorkan sedangkan untuk skema Horner kino dapat diterapkan untuk pembagi

apapun. Untuk lebih memahami pembagian polinomial oleh bentuk kuadrat ax2 + bx + c

dengan cara skema Horner atau skema Horner kino, yuk kita perhatikan contoh soal

berikut.

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari polinomial 2x4 − 3x3 + 4x2 − x + 6
oleh x2 − 2x − 8 dengan cara:

a. Skema Horner

8

b. Skema Horner-Kino

a. Skema Horner

x2 − 2x − 8 dapat difaktorkan ( x − 4)( x + 2) sehingga k1 = 4 dan k2 = −2

42 -3 4 -1 6
-2 2
8 20 96 380
2 +

5 24 95 386 Sisa Pertama (s1)

-4 -2 -44 + Sisa Pertama ( s2 )
1 22 -51



Koefisien hasil bagi kedua h2 ( x)

Berdasarkan pembagian menggunakan skema Horner diperoleh:

Hail bagi : 2x2 + x + 22

Sisa pertama : s1 = 386

Sisa kedua : s2 = −51

Sisa pembagian : s ( x) = s2 ( x − k1 ) + s1

= 51( x − 4) + (386)

= 51x − 204 + 386
= 51x +182

Jadi, hasil bagi h( x) = 2x2 + x + 22 dan sisa pembagian s ( x) = 51x +182

b. Skema Horner-Kino

2 -3 4 -1 6 Koefisien f ( x)

8 * * 16 8 176

2 * 4 2 44 *

2 1 22 51 182 + koefisien Sisa s ( x)

Koefisien hasil bagi h( x)

9

Keterangan:

• Perhatikan pembagi x2 − x − 8

• k1 = −  c  = −  −8  = 8
 a   1 

• k1 = −  b  = −  −2  = 2
 a   1 

Jadi, hasil bagi h( x) = 2x2 + x + 22 dan sisa pembagian s ( x) = 51x +182

E. RANGKUMAN
1. Misalkan suku banyak ( ) dibagi oleh ( ) menghasilkan ℎ( ) dan sisanya ( ), maka dapat
ditulis ( ) = ( ) ∙ ( ) + ( )
2. Proses pembagian suku banyak dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu cara bersusun dan cara
sintetik ( cara Horner )
3.

F. TES FORMATIF

1. Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian polinomial 4x3 + 5x2 − 3x +10 oleh ( x + 2)

dengan menggunakan cara bersusun dan cara horner!

2. Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian polinomial 3x3 + x2 + x + 2 oleh (3x − 2)

dengan menggunakan cara bersusun dan cara horner!

3. Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian polinomial 3x3 − 8x2 +15x − 6 oleh

( )x2 − 2x + 5 dengan menggunakan cara bersusun, cara horner dan horner-kino!

G. DAFTAR PUSTAKA
Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan. 2017. Modul 5 Penerapan Polinomial dalam
Pengembangan Ilmu dan Teknologi Sehari-hari. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan
Kebudayaan.
Istiqomah.2020. Polinomial Matematika Peminatan Kelas XI. Jakarta : Direktorat SMA

10

H. KRITERIA PENILAIAN
Cocokkanlah jawaban saudara dengan kunci jawaban tes formatif yang terdapat di bagian akhir
kegiatan belajar ini. Hitunglah jawaban yang benar. Gunakan rumus berikut untuk mengetahui
tingkat penguasaan saudara terhadap materi pada kegiatan belajar ini.

Nilai Tes (NT) = (Jumlah Skor Nilai Uraian )

Arti tingkat penguasaan :

90 ≤ NT ≤ 100 : Sangat Baik

75 ≤ NT < 90 : Baik

NT < 75 : Kurang

Apabila tingkat penguasaan saudara 75 atau lebih, saudara dapat melanjutkan ke

kegiatan belajar berikutnya. Bagus! saudara telah berhasil mempelajari materi pada kegiatan

belajar ini. Apabila tingkat penguasaan saudara kurang dari 75, saudara harus mempelajari

kembali materi pada kegiatan belajar ini.

I. KUNCI JAWABAN Skor
No Pembahasan 10
1. a. Cara Bersusun

4x2 − 3x + 3
x + 2 4x3 + 5x2 − 3x +10

4x3 + 8x2
−3x2 − 3x
−3x2 − 6x
3x +10
3x + 6

4

( )Jadi 4x3 + 5x2 − 3x +10 = ( x + 2) 4x2 − 3x + 3 + 4

11

b. Cara Horner 10
10
Pembagi x + 2  x = −2
10
-2 4 5 -3 10 12
-8 6 -6
+

4 -3 3 4

Hasil bagi 4x2 − 3x + 3

Sisa 4
2. a. Cara Bersusun

x2 + x +1
3x − 2 3x3 + x2 + x + 2

3x3 − 2x2
3x2 + x
3x2 − 2x
3x + 2
3x − 2

4

( )Jadi 3x3 + x2 + x + 2 = (3x − 2) x2 + x +1 + 4

b. Cara Horner

Pembagi 3x − 2  x = 2
3

23 1 1 2
3

222
+

3334

Hasil Bagi h( x) = 3x2 + 3x + 3 = x2 + x +1

a2

( )Sehingga 3x3 + x2 + x + 2 = (3x − 2) x2 + x +1 + 4

3. a. Cara Bersusun

3x − 2

( )x2 − 2x + 5 3x3 − 8x2 +15x − 6

3x3 − 6x2 +15x
−2x2 − 0x − 6
−2x2 + 4x −10
−4x + 4

Jadi hasil bagi 3x − 2 , sisa −4x + 4

b. Cara Horner

( )Pembagi x2 − 2x + 5 sehingga

k1 = −b = − −2 = 2 dan k2 = − c = −5 = −5
a 1 a 1

23 -8 15 -6
6 -4 22
-5 3
1 +
0 -2 11 -16
0 -5

+
-10 2

c. Cara Horner Kino

13