buku teksBAB 2 PEMFAKTORAN DAN PECAHAN ALGEBRA

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

BAB 2 Menurut buku berjudul ‘al-Jabr w'al-Muqabala’
BAB 2yang ditulis oleh seorang ahli matematik
berbangsa Arab, Muhammad Ibn Musa al-
ANDA AKAN MEMPELAJARI Umumnya algebra merupakan cabang Khwarizmi, perkataan algebra berasal daripada
‘al-Jabr’. Beliau juga digelar sebagai ‘Bapa
2.1 Kembangan matematik yang digunakan bagi menerangkan Algebra’ atas sumbangan beliau dalam bidang
2.2 Pemfaktoran perhubungan antara beberapa kuantiti unit, algebra.
2.3 Ungkapan Algebra dan Hukum Operasi contohnya jarak dengan laju, berat dengan
tinggi dan lain-lain. Melalui perhubungan Untuk maklumat lanjut:
Asas Aritmetik ini, murid boleh mempelajari kemahiran
menyelesaikan masalah dalam pelbagai http://rimbunanilmu.my/mat_t2/ms019
situasi.
MASLAHAT BAB INI
RANGKAI KATA Algebra banyak digunakan dalam perbandingan
harga, proses jual beli, ukuran, perubahan nilai
• Kembangan • Expansion dan sebagainya.
Algebra juga digunakan dalam bidang seperti
• Ungkapan algebra • Algebraic expression bidang kimia, fizik, forensik dan lain-lain.

• Faktor • Factor 19

• Faktor Sepunya Terbesar • Highest Common

(FSTB) Factor (HCF)

• Pecahan algebra • Algebraic fraction

• Kuasa dua sempurna • Perfect square

• Pendaraban silang • Cross multiplication

• Pengangka • Numerator

• Penyebut • Denominator

• Sebutan terendah • Lowest term

• Gandaan Sepunya • Lowest Common
Terkecil (GSTK)
Multiple (LCM)

18

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

AKTIVITI KREATIF 2.1 Kembangan Menerangkan maksud
kembangan dua
Tujuan: Mengira luas menggunakan kaedah jubin algebra 2.1.1 Kembangan ungkapan algebra ungkapan algebra.
Bahan: Kertas berwarna hijau dan biru
Langkah: Kembangan ungkapan algebra bermaksud hasil pendaraban satu atau
1. Potong kertas berwarna biru menjadi segi empat sama berukuran 6 cm panjang dan dua ungkapan dalam kurungan.

6 cm lebar.
2. Potong kertas berwarna hijau mengikut ukuran saiz 6 cm panjang dan 2 cm lebar.
3. Hitung luas kertas biru dan kertas hijau dengan kaedah 1 dan kaedah 2.

Kaedah 1: Luas kertas biru + luas kertas hijau

6 cm 2 cm
BAB 2
BAB 2

2.1.2 Kembangan dua ungkapan algebra Ungkapan algebra
ialah ungkapan yang
menggabungkan nombor,
pemboleh ubah atau simbol
matematik lain dengan
operasi. Misalnya, 2a + 5.

6 cm + 6 cm Tujuan: Menentukan luas segi empat ABEF Melaksanakan kembangan
Bahan: Lembaran kerja dua ungkapan algebra.
Langkah:
1. Hitung luas ABEF dengan menggunakan dua kaedah di bawah.

Kaedah 2: Panjang × (lebar biru + lebar hijau) A 5x cm C
3 cm B

(6 cm + 2 cm) F Panjang EF boleh
diperoleh dengan menulis
Jubin algebra adalah E 3 cm D ungkapan berikut.
manipulatif matematik
yang membolehkan murid EF = (5x − 3) cm
untuk lebih memahami
6 cm cara pemikiran algebra Kaedah 1 : Kaedah 2:
dan konsep algebra.

Luas ABEF Luas ABEF

= Luas ACDF – Luas BCDE = panjang × lebar

4. Adakah terdapat persamaan jawapan pada kedua-dua kaedah? Bincangkan. =– = EF × AF
5. Berdasarkan rajah di bawah, hitung luas segi empat ABCD. = cm2 = ×

= cm2

A x cm 3 cm B Perbincangan:
x cm
QR CODE Adakah jawapan bagi kaedah 2 sama seperti kaedah 1? Terangkan.

Imbas QR Code atau Apabila melakukan kembangan ungkapan algebra, setiap sebutan dalam tanda kurungan mesti
layari http://rimbunanilmu. didarabkan dengan sebutan di luar kurungan.
my/mat_t2/ms020 untuk
menonton video jenis-jenis CONTOH 1
jubin algebra. Kembangkan setiap ungkapan berikut.
(a) 6(3 + 4w)
(b) 3r (r – 2s) (+) × (+) +
(c) −5b(a + 3) (+) × (–) –
D C (d) − 2y (9y – 3z + 6x) (–) × (+) –
20 3 (–) × (–) +

21

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

Penyelesaian: Kaedah 2
Asingkan segi empat sama kepada dua bahagian seperti berikut.
(a) 6(3 + 4w) (b) 3r(r – 2s) ab
= (6 × 3) + (6 × 4w) = (3r × r) + �3r × (−2s)� Luas segi empat RSTU = Luas A dan B + Luas C dan D
= 18 + 24w = 3r 2 − 6rs

(c) −5b (a + 3)
= (−5b × a) + (−5b × 3)
= −5ab − 15b
BAB 2
BAB 2
= ( )(a + b) + ( )(a + b) aA B
= ++ +
(d) − 2y (9y – 3z + 6x)
3 = + +

=�−123y × 93y� + �−123y × (– 13z)� + �−123y × 62x� ab

= −6y 2 + 2yz – 4xy Perbincangan: b CD
Adakah jawapan bagi kedua-dua kaedah terdapat persamaan?


Tujuan: Melaksanakan kembangan dua ungkapan algebra Apabila melakukan kembangan dua ungkapan algebra dalam dua tanda kurungan, setiap sebutan
Bahan: Lembaran kerja dalam tanda kurungan pertama mesti didarabkan dengan setiap sebutan dalam tanda kurungan
Langkah: kedua. Misalnya,
1. Aktiviti berikut dijalankan secara berpasangan.

2. Murid pertama menghitung luas segi empat sama RSTU dengan menggunakan kaedah 1. (a + 2)(a + 1)

3. Murid kedua menghitung luas segi empat sama RSTU dengan menggunakan kaedah 2.

R a b = a(a + 1) + 2(a + 1) (a + b)(a + b) = (a + b) 2
S = a 2 + a + 2a + 2
(a – b)(a – b) = (a – b) 2
= a 2 + 3a + 2 (a + b)(a – b) = (a × a) + �a ×(–b)� + (b × a) + �b × (–b)�
Sebutan serupa = a 2 – ab + ba – b 2
a AB boleh diselesaikan
= a2 – b2

b CD CONTOH 2 PERHATIAN

UT Kembangkan setiap ungkapan berikut. (a + b)(a – b) = a 2 – b 2
(a + b)(a + b)≠a 2 + b 2
Luas segi empat sama RSTU boleh dihitung dengan (a – b)(a – b) ≠ a 2 – b 2
Kaedah 1 a b
(a) (y + 1)(y – 3) (b) (4 + 3r)(2 + r) Kaedah alternatif
(i) Pendaraban silang
a b aa bb (c) (3r + 4s)(r – 2s) (d) (3p + 2) 2 (×) a (×+)2 2a (+)
Db D
a A + bb C Penyelesaian: a +1 a
a A aB B a2 +2 3a
Maka, a 2 + 3a + 2
Luas segi empat sama RSTU = Luas A + Luas B + Luas C + Luas D (a) (y + 1)(y – 3) (b) (4 + 3r)(2 + r) (ii) Bentuk lazim
= ( × ) + ( × ) + ( × ) + ( × )
= + + + = y(y – 3) + 1(y – 3) = 8 + 4r + 6r + 3r 2 a +2
= + + = y 2 – 3y + y – 3 = 8 + 10r + 3r 2 × a+1
= y 2 – 2y – 3 = 3r 2 + 10r + 8
22 a +2
(+) a 2 + 2a

a 2 + 3a + 2

23

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

(c) (3r + 4s)(r – 2s) CONTOH 3

= 3r( r – 2s) + 4s(r – 2s) Hubungan antara pendaraban
= (3r × r) + �3r × (– 2s)� + (4s × r) + �4s × (–2s)� ungkapan Binomial secara
= 3r 2 – 6rs + 4sr – 8s 2 berulang dengan Segi Tiga Permudah. B = Brackets
Sebutan serupa Pascal. (a) (3w – 2)(4w – 1) – 10w (b) (r – 3t) 2 + 4rt O = Order
(c) (x + y)(x – y) + x(x – 2y) D = Division
1 (a + b) 0 M = Multiplication
1a + 1b (a + b) 1 Penyelesaian: A = Addition
BAB 2 1a2 + 2 ab + 1b2 (a + b) 2 S = Subtraction
BAB 21a3 + 3 a2b +3ab2 + 1b3 (a + b) 3Untuk maklumat lanjut:
= 3r 2 – 2rs – 8s 2 boleh diselesaikan 1a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + 1b4 (a + b) 4 Imbas QR Code di bawah
atau layari
(d) (3p + 2) 2 Sebutan serupa Nyatakan dua sebutan (a) (3w – 2)(4w – 1) – 10w = 3w (4w – 1) – 2 (4w – 1) – 10w http://rimbunanilmu.my/
= (3p + 2)(3p + 2) sr = rs seterusnya. mat_t2/ms025
= 9p 2 + 6p + 6p + 4 = 12w 2 – 3w – 8w + 2 – 10w
Sebutan serupa QR CODE Hukum Kalis Agihan
= 9p 2 + 12p + 4 boleh diselesaikan = 12w 2 – 3w – 8w – 10w + 2 digunakan apabila
Imbas QR Code atau layari melakukan kembangan.
http://rimbunanilmu.my/mat_ = 12w 2 – 21w + 2
t2/ms024a untuk menonton a × (b + c) = a × b + a × c
video kaedah pendaraban (b) (r – 3t) 2 + 4rt = (r – 3t)(r – 3t) + 4rt a × (b − c) = a × b − a × c
silang.
Sebutan algebra disusun = r 2 – 3rt – 3rt + 9t 2 + 4rt
daripada kuasa tertinggi
kepada kuasa terendah. = r 2 + 9t 2 – 3rt – 3rt + 4rt

2.1.3 Gabungan operasi termasuk kembangan = r 2 + 9t 2 – 2rt

Penyelesaian gabungan operasi bagi ungkapan algebra (c) (x + y)(x – y) + x(x – 2y) = x 2 – xy + xy – y 2 + x 2 – 2xy
mahupun sebutan algebra mestilah mematuhi hukum 'BODMAS'. = x 2 + x 2 – y 2 – xy + xy – 2xy

= 2x 2 – y 2 – 2xy

Tujuan: Menulis hubungan algebra berdasarkan jubin algebra Mempermudah ungkapan 2.1.4 Penyelesaian masalah
Bahan: Perisian geometri dinamik algebra yang melibatkan
Langkah: gabungan operasi termasuk CONTOH 4 Menyelesaikan masalah
kembangan. yang melibatkan kembangan
Puan Maria mempunyai sebidang permaidani yang panjangnya dua ungkapan algebra.
QR CODE (3r − 2) meter dan lebarnya ialah (r + 1) meter. Hitung luas
permaidani Puan Maria. (3r – 2) m
Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu. Penyelesaian:
my/mat_t2/ms024b untuk
membina poligon. Luas = panjang × lebar (r + 1) m
= (3r – 2)(r + 1)
1. Buka fail MS024B untuk memperoleh paparan yang menunjukkan = 3r 2 + 3r – 2r – 2
heksagon sekata berwarna kuning serta bentuk lain yang
berwarna merah, biru dan hijau. = 3r 2 + r – 2

2. Pilih gabungan bentuk berwarna merah, biru atau hijau untuk Maka, luas permaidani ialah (3r 2 + r – 2) meter persegi.
dimasukkan ke dalam heksagon sekata berwarna kuning tersebut.
CONTOH 5
3. Tuliskan hubungan algebra yang diperoleh.
4. Pilih gabungan bentuk yang lain untuk dimasukkan ke dalam trapezium hijau. Ramesh menerima wang saku sebanyak RM50 untuk (y – 8) hari. Setiap hari dia membelanjakan
sebanyak RM(x − 3) untuk secawan kopi dan RM(x + 4) untuk mi rebus. Hitung baki wang Ramesh.
Perbincangan:
Bandingkan hasil dapatan anda dengan kumpulan lain.

24 25

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

Penyelesaian: 5. Hitung luas rajah berikut dengan menggunakan ungkapan algebra.

(a) (b)

Memahami Merancang strategi Melaksanakan strategi Membuat y–1
masalah kesimpulan
Tentukan jumlah Menghitung baki
Kenal pasti perbelanjaan dalam perbelanjaan dengan
jumlah harga masa (y − 8) hari dengan proses kembangan.
BAB 2kopi dan mi kaedah kembangan.
BAB 2rebus.
Hari × Harga
(x − 3) + (x + 4) = (y − 8)(2x + 1) Baki wang saku. 2p – 3 3y – 2
= 2x + 1 = 2xy + y − 16x − 8 RM(58 − 2xy − y + 16x)
Wang saku − Jumlah (c) (d) w +�3
perbelanjaan
2x – 3 2w
= 50 − (2xy + y − 16x − 8)
= 50 − 2xy − y + 16x + 8
= 58 −2xy − y + 16x

5x + 2 �

JOM CUBA 2.1 4w – 2

1. Berdasarkan jubin algebra berikut, tulis luas kawasan berlorek dalam bentuk pendaraban dua 6. Hadila berumur 2 tahun lebih muda daripada Kai Yee. Umur bapa Kai Yee ialah kuasa dua umur
Hadila. Jika Kai Yee berumur p tahun, hitung jumlah umur mereka bertiga. Ungkapkan jawapan
ungkapan algebra. anda dalam bentuk ungkapan algebra.

(a) a 1 1 (b) 4x

a 7. Sebuah permukaan meja berbentuk segi empat tepat mempunyai panjang (5x − 2) meter dan
4x lebar (x + 2) meter. Encik Phillip ingin meletakkan cermin kaca di atas meja tersebut. Lebar
meja yang tidak ditutupi dengan cermin ialah (x − 3) meter. Ungkapkan luas permukaan meja
1 33 yang tidak ditutupi dengan cermin kaca tersebut.

2. Kembangkan ungkapan algebra berikut. 8. Hitungkan panjang LM dalam sebutan y.
K

(a) 3(x + 2) (b) 4(8x − 3) (c) 2(a + 5) 7y – 3
(d) p(6p − 8) (f) −2(pr − 2pq)
(e) − r (2s − 8) (i) 8g(2 + gh) 4y – 1
8

(g) 3(5bc − 6) (h) 7(2ef + 3e)

3. Kembangkan ungkapan algebra berikut. ML

(a) ­(a + 1)(a + 2) (b) (x − 5)(x + 4) (c) (2 + m)(5 − m) 2.2 Pemfaktoran

(d) (3p − 2)(4p − 1) (e) (3r − 2)(4r − 1) (f) (2r + s)(4r − 3s) 2.2.1 Konsep faktor dan pemfaktoran Menghubungkaitkan
(h) (r − 3s) 2 (i) (4e − 3) 2 pendaraban ungkapan
(g) (2d − 1 b)(3d − 1 b) Pemfaktoran ialah proses mengenal pasti faktor sebutan dan ungkapan algebra dengan konsep
2 2 algebra dan apabila didarabkan akan menghasilkan ungkapan asal. faktor dan pemfaktoran,
Pemfaktoran merupakan proses songsangan kepada kembangan. dan seterusnya
4. Permudah ungkapan berikut. (b) 3(4m − 5mn) − 2(8m + mn) menyenaraikan faktor
(a) (5b + 3) + 4(3b − a) (d) (x + y)(x − y) + 2x(x + 2y) Misalnya, faktor bagi 3p bagi hasil darab ungkapan
(c) (h − j)2 − 2h(3h − 3j) algebra tersebut.
1 × 3p 3 × p

Maka, faktor bagi 3p ialah 1, 3, p dan 3p.

26 27

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

Faktor, Faktor Sepunya dan Faktor Sepunya CONTOH 7
Terbesar (FSTB) bagi hasil darab ungkapan algebra
1. Tentukan Faktor Sepunya Terbesar (FSTB) bagi setiap sebutan
Pemfaktoran ialah 4 8x , 12x 2
Faktor sepunya ialah faktor bagi sebutan algebra yang membahagi songsangan kepada (a) 6h , 4gh (b) 9c 2d , 3d 2e , 6def x 2x , 3x 2
dengan tepat dua atau lebih sebutan lain. Faktor Sepunya Terbesar kembangan.
(FSTB) ialah faktor yang terbesar antara semua faktor sepunya. 2 , 3x
Kembangan FSTB = 4x
FSTB boleh ditentukan
a(a + b) = a 2 + ab dengan kaedah
pembahagian berulang.
Pemfaktoran Semak jawapan anda
BAB 2 dengan kaedah kembangan.
BAB 2
2. Faktorkan setiap ungkapan berikut. 4x (2 + 3x)
= 8x + 12x 2
(a) 3x + 15 (b) 7m + 21m 2
Nombor kuasa dua sempurna.
Perhatikan ungkapan, 4x + 2 = 2(2x + 1) Penyelesaian: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,
81, 100, 121, 144, ...
2 ialah faktor sepunya bagi 4x dan 2. 1. (a) 2 6h , 4gh FSTB = 2h (b) 3 9c 2d , 3d 2e , 6def
h 3h , 2gh d 3c 2d , d 2e , 2def
CONTOH 6 3c 2 , de , 2ef
3 , 2g FSTB = 3d

Senaraikan semua faktor sepunya bagi setiap sebutan berikut. Penyelesaian:
2. (a) 3 3x + 15
(a) 6h, 4gh (b) 9c2d, 3d2e, 6def (b) 7 7m + 21m 2
x+5
Penyelesaian: FSTB = 3 m m + 3m 2
(a) 6h = 1 × 6h (b) 9c2d, 3d2e dan 6def Maka, 3(x + 5) 1 + 3m
9c2d = 1 × 3 × 3 × c × c × d
2 × 3h 3d2e = 1 × 3 × d × d × e FSTB = 7m
6def = 1 × 2 × 3 × d × e × f Maka, 7m(1 + 3m)
3 × 2h
Faktor sepunya bagi 9c 2d, 3d 2e dan 6 d ef Menggunakan beza antara dua sebutan kuasa dua sempurna
h × 6 ialah 1, 3, d dan 3d. 3d ialah faktor sepunya
4gh = 1 × 4gh kerana boleh membahagi semua sebutan di x 2 – y 2 ialah sebutan beza kuasa dua. x 2 – y 2 boleh difaktorkan Semak semula dengan
atas dengan tepat. dengan beza kuasa dua sempurna. Kaedah ini hanya boleh
4 × gh digunakan jika kedua-dua sebutan algebra tersebut ialah kuasa kaedah kembangan
2 × 2gh PERHATIAN dua sempurna. (x + 2)(x −2)
2g × 2h = x(x − 2) + 2(x − 2)
g × 4h = x 2 − 2x + 2x − 4
h × 4g = x2 − 4

Maka, faktor sepunya bagi 6h dan '1' ialah faktor bagi Perhatikan,
4gh ialah 1, 2, h dan 2h. semua sebutan algebra.
x2 – 4 = x2 – 22
= (x + 2)(x – 2)

2.2.2 Pemfaktoran ungkapan algebra Memfaktorkan ungkapan
algebra dengan
Menggunakan FSTB pelbagai kaedah.

Ungkapan algebra boleh difaktorkan dengan mencari Faktor CONTOH 8 Nombor Beza kuasa
Sepunya Terbesar (FSTB). ganjil dua
Faktorkan setiap ungkapan berikut.
Misalnya, 8x (a) b 2 – 1 (b) 9m 2 – 100 1 12 − 02
12x 2 (c) 3y 2 – 147 (d) 5k 2 – 80 3 22 − 12
4x ialah FSTB 5 32 − 22
Penyelesaian: (b) 9m 2 – 100 7 42 − 32
Faktor bagi 16 = (3m) 2 – 10 2 9 52 − 42
(a) b 2 – 1 = (3m + 10)(3m − 10) 11 62 − 52
Maka, ungkapan algebra bagi 8x + 12x 2 boleh ditulis sebagai hasil 16 ÷ 1 = 16 16 ÷ 8 = 2 = b 2 – 12 13 72 − 62
darab dua faktor seperti, 16 ÷ 2 = 8 16 ÷ 16 = 1 = (b + 1)(b – 1)
16 ÷ 4 = 4
4x(2 + 3x)
Ini dinamakan pemfaktoran. Maka, faktor bagi 16 ialah 1,
2, 4, 8 dan 16.

28 29

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

(c) 3y 2 – 147 (d) 5k 2 – 80 FSTB 5 dan 80 CONTOH 9
= 3(y 2 – 49) = 5(k 2 – 16) ialah 5
= 3(y 2 – 72) FSTB 3 dan 147 = 5(k 2 − 42)
= 3(y + 7)(y – 7) ialah 3 = 5(k + 4)(k − 4) Faktorkan setiap ungkapan berikut.
(a) x2 − 6x + 9
(b) m2 − 2m − 8

BAB 2
BAB 2
Penyelesaian:

Suatu ungkapan algebra seperti x2 + 2xy + y2 boleh difaktorkan Identiti Pemfaktoran (a) x2 − 6x + 9 Pendaraban (b) m2 − 2m − 8
sebagai (x + y)(x + y). (a) (x + y)2 faktor 9:
= (x + y)(x + y) −3 + (−3) = −6 Pendaraban
Menggunakan pendaraban silang = x 2 + 2xy + y 2 (−1) × (−9) faktor 8:
(−3) × (−3) 1 × (−8)
Bagi ungkapan algebra berbentuk ax2 + bx + c dengan a≠0 dan a, (b) (x – y) 2 −2 × 4
b, c ialah suatu integer boleh difaktorkan dengan kaedah pendaraban = (x – y)(x – y) x −3 −3x 2 × (−4) 2 + (− 4) = −2
silang. = x 2 – 2xy + y 2 (×) (×) (+) 2m
−3 −3x m 2
Perhatikan contoh di bawah berserta penerangannya untuk pemfaktoran (c) x 2 – y 2 x
ungkapan algebra x2 + 6x + 8. = (x + y)(x − y) x2 +9 −6x (×) (×) (+)
Langkah 1: Bandingkan pekali
QR CODE m −4 −4m
1x2 + 6x + 8
Imbas QR Code atau layari m2 −8 −2m
a x2 + b x + c http://rimbunanilmu.my/
mat_t2/ms030 di bawah Maka, x2 – 6x + 9 = (x – 3)(x – 3). Maka, m2 − 2m − 8 = (m + 2)(m − 4).
Maka, a = 1, b = 6 dan c = 8 untuk menonton video
tentang kaedah pemfaktoran CONTOH 10 QR CODE
menggunakan jubin algebra.
Faktorkan ungkapan berikut. Pendaraban faktor 6: Imbas QR Code atau
2m2 + 7m + 6 1×6 layari http://rimbunanilmu.
2×3 my/mat_t2/ms031 untuk
Penyelesaian: menonton video tentang
pemfaktoran menggunakan
Cubaan pertama: Cubaan kedua: kaedah pendaraban silang.

Langkah 2: Faktor bagi 8 ialah 1, 2, 4 dan 8. 2 dan 4 dipilih kerana 2m 1 1m 2m 3 3m
menepati c , iaitu 2 × 4 = 8. (×) (×) (+) (×) (×) (+)

Langkah 3: 2 dan 4 dipilih kerana menepati b , iaitu 2 + 4 = 6. m 6 12m m 2 4m
2m2 +6 13m 2m2 +6 7m

Langkah 4: Lakukan darab silang seperti di bawah. Hasil Hasil Darab Maka, 2m2 + 7m + 6 = (2m + 3)(m + 2). Semak jawapan dengan
Tambah c kaedah kembangan

b

x +2 2x 1 + 8 =9 1× 8 =8 CONTOH 11 Penyelesaian bagi
−1 + (−8) = −9 −1 × (−8) = 8 −2y 2 − 9y + 5 boleh juga
(×) (×) (+) 2 ++4 =46= 6 2 ××4 =48 = 8 Faktorkan ungkapan berikut. ditulis (−2y + 1 )(y + 5).
−2 + (−4) = −6 −2 × (−4) = 8 (a) –2y2 – 9y + 5
x +4 4x Bincangkan.
x2 +8 6x (b) –3x2 – 8x – 5

Penyelesaian:

cb Pemfaktoran dan pembahagian (a) 2y −1 +y (b) 3x 5 −5x
Langkah 5: Faktor x2 + 6x + 8 ialah (x + 2)(x + 4). x+4 (×) (×) (+)
(×) (×) (+)
x + 2 x2 + 6x + 8 −y −5 −10y −x −1 −3x
(−) x2 + 2x −2y2 −3x2 −5 −8x
4x + 8 +5 −9y
(−) 4x + 8
0 Maka, –2y2 – 9y + 5 = (2y – 1)(–y – 5). Maka, –3x2 – 8x – 5 = (3x + 5)(–x – 1).

30 31

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

Menggunakan faktor sepunya dalam empat sebutan algebra JOM CUBA 2.2

ab + ac + bd + cd = (ab + ac) + (bd + cd) Pemfaktoran boleh
dilakukan seperti berikut.
= a(b + c) + d(b + c) Hukum Kalis Agihan 2x2 + 7x + 3 1. Senaraikan faktor sepunya dan FSTB bagi setiap sebutan berikut.
= 2x2 + 6x + x + 3
= (b + c)(a + d) (a) 8y, 12y (b) 2b, 3b (c) 3w, 5w2
(f) 4a 2b, 8b 2c, 6bcd
BAB 2
BAB 2
CONTOH 12 = 2x(x + 3) + (x + 3) (d) 10m2, 15mk (e) 5bc, 2c2, 3cd
= 2x(x + 3) + 1(x + 3)
= (2x + 1)(x + 3)
Faktorkan setiap ungkapan berikut.

(a) pq + qr + ps + rs (b) 2px + 6qy – 4py – 3qx 2. Faktorkan ungkapan algebra berikut.

Penyelesaian: Gabungkan sebutan (a) 5e + 10 (b) 2ab − 8a2 (c) 3abc + 6a 2b
(f) 2x2 – 4xy + 6wx
(a) pq + qr + ps + rs yang ada faktor (b) 2px – 4py – 3qx + 6qy (d) 4x – 12x2 (e) ef + f 2 + fg
= (pq + qr) + (ps + rs) sepunya di dalam = (2px – 4py) – (3qx – 6qy)
= q(p + r) + s(p + r) = 2p(x – 2y) – 3q(x – 2y)
satu kurungan

= (q + s)(p + r) Faktor sepunya = (x – 2y)(2p – 3q) 3. Faktorkan ungkapan algebra berikut.

(a) b2 – 81 (b) a2 – b2 (c) x2 – 1
(f) 4(x – 1)2 – 9
2.2.3 Penyelesaian masalah (d) 16y2 – 49 (e) (m + 3)2 – 16

CONTOH 13 Menyelesaikan masalah yang 4. Faktorkan ungkapan algebra berikut.
melibatkan pemfaktoran.

Luas sebuah padang bola sepak berbentuk segi empat tepat ialah (4x2 + 16x) meter persegi. Padang (a) x2 + 9x + 14 (b) x2 + 7x – 18 (c) x2 – 5x – 24
itu telah ditenggelami air seperti dalam rajah di bawah. Jika lebar padang itu ialah 4x meter dan dua (f) k2 – 8k + 16
kawasan yang ditenggelami air ialah segi tiga bersudut tegak yang sama saiz, berapakah luas kawasan (d) m2 + 11m – 26 (e) y2 – 2y – 15 (i) 2m2 + 4m – 16
yang tidak ditenggelami air? (l) 5p2 + 6p – 8
(g) 2m2 – 11m – 6 (h) 9f 2 – 12f + 4 (o) – 6 x 2 – x + 15

kawasan yang (j) 2x2 – 5x – 7 (k) 12y2 + 8y – 15
ditenggelami air
(m) –5m2 – 6m + 8 (n) –3p2 + 8p − 4
4x
Penyelesaian:

Memahami masalah Tentukan tapak Merancang strategi 5. Faktorkan ungkapan algebra berikut. (b) x2 + xy + 6x + 6y
segi tiga bersudut (a) pq – qr – pw + rw (d) ah + aj – bh – bj
Kenal pasti panjang tegak Luas dua segi tiga bersudut tegak (c) 3ab – 9ad + bc – 3cd (f) 9xy – 3xz + 12py – 4pz
padang 1 (e) jm – jn + ym – yn
Tapak segi tiga
luas bersudut tegak Luas = 2 × � 2 × tapak × tinggi� 6.
Panjang =
= 4x ÷ 2 1 (y + 2) m 2m
lebar = 2 × � × 2x × (x + 4)�
= 2x
4x2 + 16x 2
= 3m
= 2x2 + 8x
4x (2y − 1) m
14x(x + 4) Melaksanakan strategi
= 14x Luas kawasan yang tidak ditenggelami air Lantai di sebuah bilik berbentuk segi empat tepat dan sebidang permaidani berukuran 3 meter
= (x + 4) = Luas padang – luas dua segi tiga bersudut panjang dan 2 meter lebar dibentangkan di dalam sebuah bilik.
tegak (a) Hitung luas lantai yang tidak ditutupi permaidani.
Membuat kesimpulan = 4x2 +16x – (2x2 + 8x) (b) Felisa ingin menutupi keseluruhan lantai bilik dengan permaidani yang sama saiz.
= 4x2 – 2x2 + 16x – 8x Nyatakan berapa bidang permaidani yang perlu dibeli sekiranya nilai y = 2.
Luas kawasan yang tidak ditenggelami air = 2x2 + 8x
= (2x2 + 8x) m2 33

32

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

2.3 Ungkapan Algebra dan Hukum Operasi Asas Aritmetik Menambah atau menolak pecahan algebra yang penyebutnya tidak sama

Anda telah mempelajari kembangan, pemfaktoran dan penyelesaian masalah. Cuba selesaikan Salah satu daripada penyebutnya ialah gandaan bagi penyebut yang lain
gabungan operasi berikut yang melibatkan kembangan dan pemfaktoran.
CONTOH 16
BAB 2
BAB 2
2.3.1 Penambahan dan penolakan Permudah setiap ungkapan berikut.
ungkapan algebra 3 1 4 2r
(a) 4y − 2y (b) rs – s

CONTOH 14 Melaksanakan penambahan Penyelesaian: 1 ×2 1 2 – 1
dan penolakan ungkapan 2 ×2 4 4
Permudah. algebra yang melibatkan ( a) 43y – 21y ××22 == 4314y–y2 Speanmyae kbaun tnya (b) =r4s4 – 2r × r – =
(a) 2x2 – 2(4x + 5) kembangan dan pemfaktoran. s × r
= 1
Penyelesaian: (b) 4w (w – 2) – 5 − 2r2 4
rs

(a) 2x2 – 2(4x + 5) = 2x2 – 8x – 10 (b) 4w (w – 2) – 5 = 4w2 – 8w – 5 Penyebut pecahan tersebut tidak mempunyai faktor sepunya

= 2(x2 − 4x − 5) = (2w – 5)(2w + 1)

= 2(x – 5)(x + 1) CONTOH 17

Menambah atau menolak pecahan algebra dengan penyebut yang sama Permudah setiap ungkapan berikut. 3 1 3 ×3 1 ×4
4 3 4 ×3 3 ×4
(a) 5x − 3x 2a b – = –
3 2 3 2c
(b) + = 9 – 4
12 12
CONTOH 15 Penyelesaian:
5
Permudah setiap yang berikut. 5x ×2 3x × 3 = 12
3 ×2 2 ×3
4a 3a y 3y x+2 x−5 Sebelum menyelesaikan (a) − (b) 2a + b
5 5 2x 2x 5w 5w 3 2c
(a) + (b) − (c) − pecahan, langkah pertama

ialah menyamakan = 10x – 9x 2a × 2c b ×3
6 3 × 2c 2c ×3
Penyelesaian: penyebut. 2 5 = = +
3 7 7
(a) 7 + = x
6
4a 3a y 3y x+2 x−5 (b) 3y + 8y = 11y = 4ac + 3b
(a) 5 + 5 (b) 2x − 2x 5w 5w 5 5 5 6c
(c) −

= 7a y − 3y x + 2 − (x − 5) (c) 7x − x Penyebut pecahan mempunyai faktor sepunya
5 2x 5w 5 10
= =
7x ×2 x
1 2y x+2−x+5 = 5 ×2 − 10 CONTOH 18 Gandaan Sepunya
2x 5w Terkecil (GSTK)
y −y = − = 14x x
− x = x = 10 − 10 Permudah setiap ungkapan berikut.
1
y 7 (a) 1 + 4 (b) m – 5m
Tanda negatif tidak boleh =– x = 5w = 13x 4p 6p 4r 14rs
berada di bahagian 10

penyebut (d) 4 − x Penyelesaian:
xy2 y
(−) × (−) = + 1 4 1 4 m 5m m × 7s
4p 6p 4p ×3 6p ×2 4r 14rs 4r × 7s 5m × 2
= 4 − x × xy (a) + = ×3 + ×2 (b) – = – 14rs × 2
xy2 y × xy

= 4 − x2y = 3 + 8 2p 4p , 6p 2r 4 r , 14rs = 7ms – 10m
xy2 xy2 12p 12p 28rs
2 ,3 2 , 7s
= 4 − x2y 11
xy2 = 12p GSTK = 2p × 2 × 3 GSTK = 2r × 2 × 7s
= 12p = 28rs

34 35

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

2.3.2 Pendaraban dan pembahagian ungkapan 2.3.3 Gabungan operasi ungkapan algebra
algebra
CONTOH 20 Melaksanakan gabungan
Untuk mendarab dan membahagi ungkapan algebra, anda perlu Melaksanakan pendaraban operasi ungkapan
memfaktorkan ungkapan tersebut, kemudian memansuhkannya dan pembahagian Selesaikan gabungan operasi berikut. algebra yang melibatkan
sekiranya terdapat faktor sepunya pada pengangka dan penyebutnya. ungkapan algebra yang kembangan dan pemfaktoran.
Misalnya, melibatkan kembangan
dan pemfaktoran. PERHATIAN
BAB 2
BAB 2Pemfaktoran dua, tiga dan
(a) 2 (15a + 25b) + a (b) 9k 2 – 12k + 4 empat sebutan:
5b b (3k + 2)(3k – 2)
Dua sebutan
(2p + 4) ÷ (p2 − 4) boleh ditulis sebagai 2p +4 . (c) 12m – 18m2 × n (d) a–b ÷ (a – b)2
p2 –4 4n2 – 16n m 3a + b 6a + 2b a2 − b2 = (a + b)(a − b)
Contoh:
2p + 4 = 2(p + 2) Faktorkan pengangka 1m = 1 Penyelesaian: x2 − 16 = (x + 4)(x − 4)
p2 – 4 p2 – 22 1mn n
52b(15a + 25b) + a 9k 2 – 12k + 4 Tiga sebutan
2(p +1 2) 2s2 2(1s)(s) (a) b (b) (3k + 2)(3k – 2)
(p + 2)(p – 8sp 8(s)(p) Faktor dalam dua kurungan
= 2) Permudah ungkapan atau = =1 2 × 1 + 5b) + a (3k 1– 2)(3k – 2) ( )( )
sebutan yang sama jika ada 5b b (3k + 2)(3k – 2)
1 1 5(3a = Contoh:
x2 − 4x − 21
2 = s = 2(3a + 5b) + a 1 = (x − 7)(x + 3)
– 4p b b
= p 2 3k – 2 Empat sebutan
= 3k + 2
6a + 10b a 6xy + 2y + 9x +3
Proses ini memerlukan kemahiran pemfaktoran yang telah anda pelajari. = b + b Contoh:
(6xy + 2y) + (9x + 3)
CONTOH 19 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = 7a + 10b = 2y(3x + 1) + 3(3x + 1)
a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 b = (2y + 3)(3x + 1)
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
Permudah. 12m – 18m2 n (d) a–b ÷ (a – b)2
a+1=1+a 4n2 – 16n m 3a + b 6a + 2b
(a) a2 – 1 × b2 (b) (h + k)2 × 6k – 3h a − b = −(b − a) (c) ×
2ab 1+a 2k – h h2 – k2 (p − q)2 = (q − p)2
3 6m1(2 – 3m) n1 = a–b × 6a + 2b
5a 2ab a2 – b (a – b)2 = 2 4n(n – 4) × m1 3a + b (a – b)2
(c) a + 2b ÷ 3a + 6b (d) 10a – 5b ÷ 8a – 4b
1 (a 1– b) 2(3a +1 b)
3(2 – 3m) = (3a + b) × (a – b)(a – b)
= 2(n – 4)
Penyelesaian: 1 2 1
a–b
(a) a2 – 1 × b2 (b) (h + k)2 × 6k – 3h Faktorkan =
2ab + 2k – h h2 – k2
(1 a) 1 1 1 JOM CUBA 2.3
x x x
(a +1 1)(a – 1) 1b(b) (h +1 k)(h + k) 3(2k1– h) ÷ Salingan
2ab 1 (1 + a)1 2k – h 1 (h + k)(h – k)
= × = × = 1 × x1 adalah x ÷ 1 1. Permudah setiap yang berikut.
= 1x 1 dan tukarkan
b(a – 1) 3(h + k) 1 operasi ÷ (a) 4(b − 1)2 − 9 (b) (m + 3)2 − 16 (c) (p − 5)2 − 49
2a Permudah ungkap an = = 1 kepada ×
h–k Permudah ungkapan (d) 7x(x − 1) − 3 (e) (2c − 1)2 + 2(4 + c)
yang sama yang sama
2. Permudah setiap yang berikut.

(c) a 5a ÷ 2ab (d) a2 – b2 ÷ (a – b)2 (a) 35y + 3y (b) 3m + 2n – m – 25nn (c) 24rr +– 33ss – 3r – 43ss
+ 2b 3a + 6b 10a – 5b 8a – 4b 5 m – 2n m – 2r +

5a 1 3(a +12b) (a + b)(a – b) 1 4(2a – b) 1 3. Permudah setiap yang berikut.
= + 2b) × 2ab = 5(2a – b) 1 × (a – b)(a – b) 3 ÷ 5
(a 1 1 4 4 (a) 5p – 2 (b) 2s – 4s (c) x 3+ y – 4(x3z+ y)
p2 3 9
= 15 1 = 4(a + b) 3 41
Permudah ungkapan 5(a – b) Permudah ungkapan = 4 × 5 4. Permudah setiap yang berikut.
2b yang sama yang sama 1

= 3 (a) 34u + 5v (b) 1 – 2 (c) r 2– 2 + 34s
5 3 6s 5t

36 37

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

5. Permudah setiap yang berikut. (d) n +2 + n (e) 85yxz + y12–x1z (f) 4rsy + 218–yrz
(a) m9 n (b) 3m3n + 6mn 2 (c) d42g + 53dg m2 mp
+ 12

6. Permudah. (c) mm2 +– n (d) 42kk2––11 4. Nenek mempunyai sekeping coklat berukuran (k2 – 16) cm panjang dan dia ingin membahagikannya
(a) x2xy– x (b) 6a1+2 15 n2 (e) 2cc2 –+ 9 kepada cucunya seramai (k – 4) orang. Berapakah ukuran panjang coklat yang akan diterima
6 oleh setiap cucunya?
BAB 2
BAB 2

7. Permudah. 3 (b) k h– 2 × h y+ 3 5. Gurdip dan Jumrang ialah pekerja sambilan di sebuah kedai runcit. Gurdip mendapat bayaran
(a) a 2– + gaji RM3 per jam lebih murah daripada dua kali gaji Jumrang. Katakan gaji Jumrang ialah
3 × 3 a RMx per jam, hitung jumlah gaji bagi (x + 2) jam gaji Gurdip dan (2x + 3) jam gaji Jumrang.
Tulis dalam bentuk ungkapan algebra.
(c) (m3m– n) × 2mn (d) 2r × s – 4
(n – 2m) s–2 r + 5 6. Luas sebidang tanah untuk membuat parkir kereta di sebuah pasar raya ialah 25(x2 – 8x + 16)
meter persegi.
8. Permudah. 2(x + 2) (b) rs2–r2s2 × 52rr –– 54sr2 (i) Jika luas seunit tapak parkir kereta ialah (x – 4)2 meter persegi, berapa buahkah kereta
(a) xm+ m2(x – a) yang dapat diparkirkan di tempat tersebut?
2 × (ii) 4 unit tapak parkir telah ditempah oleh pemilik pasar raya tersebut. Berapakah unit tapak
parkir yang tinggal?
(c) x x × x2 + 5x + 6 (d) 5ee+–22ff × 43ef 22––109eeff
+ 5x2
2

9. Permudah. 7. Khairul ingin menampal dindingnya dengan kertas hiasan dinding. Dindingnya berukuran
(a) 2a5a+ 3 ÷ 3b (x + 5) meter panjang dan (3x − 2) meter lebar.
a+b (b) n 4– 3 ÷ 3n8a– 9
(i) Berapakah luas kawasan dinding yang akan ditampal dengan kertas hiasan dinding
(c) x26+y2xy ÷ 18xy (d) egf –+12e ÷ gfg+–2g sekiranya ukuran pintu ialah (x – 1) meter panjang dan x meter lebar?
x+y
(ii) Sekiranya harga kertas hiasan dinding tersebut ialah RM8x per meter persegi,
10. Selesaikan gabungan operasi berikut. berapakah jumlah wang yang perlu dibayar oleh Khairul?

(a) xx22 + x 2 × xy – y2 (b) 4pp22 ––11 × p4qp –+ 2q 8. Swee Lee sepatutnya dapat menyiapkan (28 + 16x) bilangan soalan matematik dalam masa 4 jam.
– y x+y (i) Berapakah bilangan soalan yang dapat disiapkan dalam masa 30 minit?
(ii) Sekiranya Swee Lee hanya dapat menyiapkan (14 + 8x) bilangan soalan tersebut, berapa
(c) prq2 – pr ÷ q2 – rr2 (d) s4tt2+–tu1 ÷ 4ts2 2+–4ut2+ 1
– 1 r2 + lamakah masa yang diambilnya?

MENJANA KECEMERLANGAN 9. Azimah membuat seloyang kuih lapis berbentuk segi empat tepat berukuran (3x + 2) cm panjang
dan (x + 2) cm lebar. Dia memotong kuih lapis tersebut kepada 6 bahagian panjang dan
1. Kembangkan setiap ungkapan berikut. 3 bahagian lebar. Hitung luas sepotong kuih lapis tersebut dalam bentuk ungkapan algebra.

(a) 12 (6a + 12b) (b) (n + 2)(n – 5) (c) (a + 2b)2 10. Encik Hanapi ingin mendirikan sebuah banglo satu tingkat di sebidang tanah berukuran x meter
lebar dan y meter panjang. Dia perlu menyediakan 2 meter rizab jalan untuk jirannya.

(d) (4x – y)2 (e) �2v – 31w ��3v + 2 � (f) (h – k)2 – 4h(2k – 3h) (i) Berapakah luas tanah Encik Hanapi yang asal?
3w (ii) Berapakah perbezaan luas tanah yang asal dengan

2. Faktorkan setiap ungkapan berikut. luas tanah selepas ditolak rizab jalan? Rumah
(iii) Sekiranya harga tanah ialah RM18 per meter persegi, jiran

(a) 12m – 18m2 (b) y 2 – 81 (c) 4ab – 8a2 b berapakah harga keseluruhan tanah Encik Hanapi?

(d) x2 – 16y2 (e) (s – 3)2 – 1 (f) x2 + 4x + 3 x
(g) x2 + 2x – 15
(h) x2 + 6x + 8 (i) 6cd – 2ce – 3bd + be

3. Permudah setiap ungkapan berikut. 2
(a) a 4+v 2 a–b (b) 53aeb – 54dc (c) f 42g – 53fg y
+ 2v

38 39

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

INTI PATI BAB REFLEKSI DIRI
Pemfaktoran dan Pecahan Algebra
Pada akhir bab ini, saya dapat:

1. Menerangkan maksud kembangan dua ungkapan algebra.

2. Melaksanakan kembangan dua ungkapan algebra.

3. Mempermudah ungkapan algebra yang melibatkan gabungan operasi
termasuk kembangan.

4. Menyelesaikan masalah yang melibatkan kembangan dua ungkapan algebra.
5. Menghubungkaitkan pendaraban ungkapan algebra dengan konsep faktor

dan pemfaktoran, dan seterusnya menyenaraikan faktor bagi hasil darab
ungkapan algebra tersebut.
6. Memfaktorkan ungkapan algebra dengan pelbagai kaedah.

7. Menyelesaikan masalah yang melibatkan pemfaktoran.

8. Melaksanakan penambahan dan penolakan ungkapan algebra yang
melibatkan kembangan dan pemfaktoran.

9. Melaksanakan pendaraban dan pembahagian ungkapan algebra yang
melibatkan kembangan dan pemfaktoran.

10. Melaksanakan gabungan operasi ungkapan algebra yang melibatkan
melibatkan kembangan dan pemfaktoran.
BAB 2
BAB 2

Kembangan Pemfaktoran
Pendaraban suatu ungkapan dengan suatu Proses menulis suatu ungkapan algebra
sebutan lain atau ungkapan algebra yang lain. sebagai hasil darab dua atau lebih sebutan
atau ungkapan algebra.
• a(x + y) = ax + ay Pemfaktoran ialah songsangan kepada
• (a + b)(x + y) = ax + ay + bx + by kembangan.
• b(c + d) = bc + bd
• (b + c)(d + e) = bd + be + cd + ce • 2a – a 2 = a(2 – a)
• (b + c) 2 = b 2 + 2bc + c 2
• (b − c) 2 = b 2 − 2bc + c 2 • a 2 + 4a + 3 = (a + 1)(a + 3)
• (b + c)(b − c) = b2 − c 2
• a 2 – 7a + 10 = (a – 5)(a – 2)

• a 2 – 36 = (a2 – 6 2) = (a – 6)(a + 6)

• ab + ac + bd + cd = (b + c)(a + d)

• a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2

Penambahan dan Penolakan Pendaraban dan Pembahagian Tajuk: Berapakah sukatan sebaldi air ini?
Sebelum menambah atau menolak dua Laksanakan pemfaktoran kepada ungkapan Bahan: Sebaldi air (dilabel z), beberapa botol mineral kecil (dilabel x), beberapa botol
pecahan algebra, semak penyebutnya dahulu. jika perlu, sebelum pembahagian atau
Jika penyebutnya tidak sama, anda perlulah pendaraban dilakukan. mineral besar (dilabel y) dan corong
samakannya.
Setiap kumpulan diberi beberapa botol mineral yang kosong (berbeza saiz) dan corong. Murid
• a + b = a + b diminta menuangkan air tersebut ke dalam botol kosong. Tulis hubungan algebra tentang
4 4 4 sukatan air tersebut. Bentangkan hasil jawapan setiap kumpulan. Adakah sukatan setiap
+1 y)(x −1y) kumpulan sama? Dapatkah anda menentukan isi padu air?
• 1 + 1 = b+a m+n ÷ (m + n)2 = m – n × (x + n)(m + n)
a b ab x–y x2 – y2 x y (m +
1
1 1 ×b 1 ×2 1
1 ab 2a × b ab × 2 x+y
• 2a – = – =
m+n

= b–2
2ab

z xx x yyy

40 41