ΦΥΣΙΚΗ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ

Πολίτης Άρης περιλαμβάνει

· Θεωρία αλλά και επεκτάσεις της θεωρίας

· Μεθοδολογίες και στρατηγικές επίλυσης
των ασκήσεων

· Θέματα προς επίλυση

► Θέμα Α: Περιέχει ερωτήσεις πολλαπλής
επιλογής και ερωτήσεις Σωστού – Λάθους.

► Θέμα Β: Περιέχει ερωτήσεις ανάπτυξης με αιτιολόγηση.

► Θέμα Γ: Περιέχει ασκήσεις και προβλήματα στο πνεύμα
των εξετάσεων.

► Θέμα Δ: Περιέχει σύνθετες ασκήσεις και προβλήματα
αυξημένης δυσκολίας .

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Το βιβλίο αυτό απευθύνεται στους μαθητές της Γ΄ Λυκείου του προσανατολισμού θετικών σπουδών
και επιστημών υγείας, (Ιατρική, Φαρμακευτική κ.τ.λ.), με σκοπό την ολοκληρωμένη προετοιμασία
τους για τις πανελλήνιες εξετάσεις.

Ο πρωταρχικός στόχος μου είναι ο μαθητής να κατανοήσει σε βάθος τις έννοιες των φυσικών μεγεθών
και φαινομένων που πραγματεύεται η ύλη της φυσικής της Γ΄ Λυκείου και στη συνέχεια να δοκιμάσει
να λύσει θέματα κάθε τύπου Α , Β , Γ , Δ , όπως ακριβώς ζητούνται στις πανελλήνιες εξετάσεις.

Ο σχεδιασμός και η δομή του βιβλίου αυτού είναι τέτοιος ώστε ο μαθητής να μπορέσει να κατανοήσει
ότι διαβάζει και να κατηγοριοποιήσει την ύλη αποδίδοντας στη μελέτη του.
Ειδικότερα το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη, η οποία οργανώνεται σε τέσσερα κεφάλαια:
1. ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
2. ΚΥΜΑΤΑ ΚΑΙ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER
3. ΡΕΥΣΤΑ
4. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ
Κάθε κεφάλαιο από τα παραπάνω είναι δομημένο ώστε να περιέχει τα ακόλουθα:

# Θεωρία αλλά και επεκτάσεις της θεωρίας, ώστε ο μαθητής να διαθέτει το αναγκαίο υπόβαθρο που
θα τον βοηθήσει να κατανοήσει τα αντικείμενα περιλαμβάνοντας και τις αποδείξεις των σχέσεων.

# Μεθοδολογίες και στρατηγικές επίλυσης των ασκήσεων που συνοδεύονται και από παραδείγματα
εφαρμογής τους.

# Θέματα προς επίλυση ακριβώς όπως θα τα συναντήσει ο μαθητής στις πανελλήνιες εξετάσεις.
► Θέμα Α: Περιέχει ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής και ερωτήσεις Σωστού – Λάθους , ώστε να
γίνει έλεγχος της θεωρίας.
► Θέμα Β: Περιέχει ερωτήσεις ανάπτυξης στις οποίες ο μαθητής καλείται να αιτιολογήσει την

απάντησή του λύνοντας μια μικρή άσκηση χωρίς «νούμερα».
► Θέμα Γ: Περιέχει ασκήσεις και προβλήματα στο πνεύμα και τις απαιτήσεις των εξετάσεων.
► Θέμα Δ: Περιέχει σύνθετες ασκήσεις και προβλήματα αυξημένης δυσκολίας , στα οποία η

διατύπωση των ερωτημάτων είναι επιστημονικά ακριβής και επιζητά τη σχολαστική
μελέτη τους από το μαθητή για την επίλυσή τους.
Σε καθένα από τα παραπάνω θέματα υπάρχουν διακριτά επίπεδα δυσκολίας τα οποία κλιμακώνονται
και φυσικά όλες οι λύσεις των θεμάτων δίδονται στη διαδικασία του μαθήματος.

Για την καλύτερη αισθητικά παρουσίαση των θεμάτων περιέχονται 748 σχήματα που απεικονίζουν τα
φαινόμενα που πραγματεύεται η ύλη.

Η επιλογή και φυσικά η επεξεργασία των θεμάτων στηρίχθηκε σε μια εκτεταμένη βιβλιογραφία και
απευθύνεται σε απαιτητικούς μαθητές που θέλουν να νιώθουν σίγουροι για την ολοκληρωμένη
προετοιμασία τους.

Μετά από είκοσι χρόνια διδακτικής εμπειρίας και παρουσίας μου στην τάξη έχω τη βεβαιότητα ότι
το πόνημα αυτό θα βοηθήσει το μαθητή να αριστεύσει στο μάθημα της φυσικής στις πανελλήνιες
εξετάσεις.
Είναι ευνόητο ότι θα δεχτώ με μεγάλη χαρά από τους μαθητές μου αλλά και από εκλεκτούς
συναδέλφους , τις επισημάνσεις και τις ιδέες τους για τη βελτίωσή του.

Με τις θερμότερες ευχές μου για αποδοτική μελέτη και επιτυχία!

Πολίτης Άρης
Φροντιστής Φυσικός

Μάιος 2016

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Θεωρία των κρούσεων
Ορμή – Διατήρηση της ορμής ……………………………………………………………………………1
Κρούσεις ……………………………………………………………………………………………………..4
Κεντρική ελαστική κρούση ……………………………………………………………………………………6
Κεντρική ανελαστική - πλαστική κρούση …………………………………………………………………...9
Πλάγια (έκκεντρη) ελαστική κρούση ……………………………………………………………………..10
Πλάγια πλαστική κρούση …………………………………………………………………………………….11
Περιπτώσεις εφαρμογής της αρχής διατήρησης της ορμής ………………………………………….13
Ενεργειακά θεωρήματα που εφαρμόζονται στη μηχανική …………………………………………15
Μεθοδολογία ασκήσεων …………………………………………………………………………………….17

Θεωρία των ταλαντώσεων
Απλή αρμονική ταλάντωση ………………………………………………………………………………...20
Δυναμική περιγραφή της Α.Α.Τ. ……………………………………………………………..……………22
Ενεργειακή περιγραφή της Α.Α.Τ. …………………………………………………………..……………23
Ρυθμοί μεταβολής στην Α.Α.Τ. …………………………………………………………………………....25
Μεθοδολογίες ασκήσεων στην Α.Α.Τ. ………………………………………………………………..26
Σύστημα ελατήριο – σώμα ………………………………………………………………………………....30
Φθίνουσες μηχανικές ταλαντώσεις ……………………………………………………………………..36
Εξαναγκασμένες μηχανικές ταλαντώσεις …………………………………………………………...…...39
Σύνθεση ταλαντώσεων …………………………………………………………………………….………..42

1. Ερωτήσεις – Ασκήσεις στις κρούσεις
Θέμα Α………………………………………………………………………………………………..…………47
Θέμα Β………………………………………………………………………………………………..…………50
Θέμα Γ , Δ ……………………………………………………………………………………………………...54

2. Ερωτήσεις – Ασκήσεις στην Α.Α.Τ.
Θέμα Α………………………………………………………………………………………………..…………63
Θέμα Β………………………………………………………………………………………………..…………68
Θέμα Γ , Δ ……………………………………………………………………………………………………...74

3. Ερωτήσεις – Ασκήσεις στην φθίνουσα μηχανική ταλάντωση
Θέμα Α………………………………………………………………………………………………..…………93
Θέμα Β………………………………………………………………………………………………..…………97
Θέμα Γ , Δ ……………………………………………………………………………………………………...99

4. Ερωτήσεις – Ασκήσεις στην εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση
Θέμα Α………………………………………………………………………………………………..…..……101
Θέμα Β………………………………………………………………………………………………..………..104
Θέμα Γ , Δ ……………………………………………………………………………………………………..106

5. Ερωτήσεις – Ασκήσεις στη σύνθεση ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας
Θέμα Α………………………………………………………………………………………………..…..……107
Θέμα Β………………………………………………………………………………………………..………..109
Θέμα Γ , Δ ……………………………………………………………………………………………………..111

6. Ερωτήσεις – Ασκήσεις στη σύνθεση ταλαντώσεων της παραπλήσιων συχνοτήτων
Θέμα Α………………………………………………………………………………………………..…..……114
Θέμα Β………………………………………………………………………………………………..………..117
Θέμα Γ , Δ ……………………………………………………………………………………………………..119

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΥΜΑΤΑ ΚΑΙ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER

Θεωρία των κυμάτων
Μηχανικά κύματα ………………………………………………………………………………………….123
Τρέχον αρμονικό κύμα προς τα δεξιά .…………………………………………………………………..124
Τρέχον αρμονικό κύμα προς τα αριστερά…………………………………………………………….....130
Παρατηρήσεις – μεθοδολογία στα τρέχοντα κύματα ………………………………………..………..133
Συμβολή κυμάτων …………………………………………………………………………………………...136
Στάσιμα κύματα ………………………………………………………………………………………………142
Φαινόμενο Doppler ………………………………………………………………………………………….147

1. Ερωτήσεις – Ασκήσεις στα τρέχοντα αρμονικά κύματα
Θέμα Α………………………………………………………………………………………………..…..……155
Θέμα Β………………………………………………………………………………………………..………..158
Θέμα Γ , Δ ……………………………………………………………………………………………………..163

2. Ερωτήσεις – Ασκήσεις στη συμβολή κυμάτων
Θέμα Α………………………………………………………………………………………………..…..……173
Θέμα Β………………………………………………………………………………………………..………..176
Θέμα Γ , Δ ……………………………………………………………………………………………………..180

3. Ερωτήσεις – Ασκήσεις στα στάσιμα κύματα
Θέμα Α………………………………………………………………………………………………..…..……186
Θέμα Β………………………………………………………………………………………………..………..189
Θέμα Γ , Δ ……………………………………………………………………………………………………..193

4. Ερωτήσεις – Ασκήσεις στο φαινόμενο Doppler
Θέμα Α………………………………………………………………………………………………..…..……198
Θέμα Β………………………………………………………………………………………………..………..203
Θέμα Γ , Δ ……………………………………………………………………………………………………..207

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΡΕΥΣΤΑ

Θεωρία των ρευστών
Ρευστά – Στατική των ρευστών …………………………………………………………..……………….215
Αρχή του Pascal ………………………………………………………………………………….………….218
Δυναμική των ρευστών – υδροδυναμική ……………………………………………………………..219
Εξίσωση της συνέχειας ………………………………………………………………………………….... 220
Νόμος του Bernoulli ……………………………………………………………………………………...…221
Εφαρμογές του νόμου του Bernoulli …………………………………………………………………….224
Θεώρημα του Torricelli ………………………………………………………………………………........230
Η τριβή στα ρευστά ……………………………………………………………………………….…………233

1. Ερωτήσεις – Ασκήσεις στη στατική των ρευστών
Θέμα Α………………………………………………………………………………………………..…..……235
Θέμα Β………………………………………………………………………………………………..………..238
Θέμα Γ , Δ ……………………………………………………………………………………………………..241

2. Ερωτήσεις – Ασκήσεις στη εξίσωση της συνέχειας
Θέμα Α………………………………………………………………………………………………..…..……245
Θέμα Β………………………………………………………………………………………………..………..249
Θέμα Γ , Δ ……………………………………………………………………………………………………..251

3. Ερωτήσεις – Ασκήσεις στο νόμος του Bernoulli
Θέμα Α………………………………………………………………………………………………..…..……254
Θέμα Β………………………………………………………………………………………………..………..258
Θέμα Γ , Δ ……………………………………………………………………………………………………..262

4. Ερωτήσεις – Ασκήσεις στην τριβή στα ρευστά
Θέμα Α………………………………………………………………………………………………..…..……267
Θέμα Β………………………………………………………………………………………………..………..270
Θέμα Γ , Δ ……………………………………………………………………………………………………..272

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

Θεωρία στη Μηχανική στερεού σώματος
Μηχανική στερεού σώματος ………………………………………………………………………………277
Ευθύγραμμες μεταφορικές κινήσεις …………………………………………………………………….278
Κυκλική μεταφορική κίνηση ……………………………………………………………………………….279
Περιστροφικές κινήσεις …………………………………………………………………………………….282
Μελέτη διαγραμμάτων ω – t ………………………………………………………………….……………284
Κύλιση χωρίς ολίσθηση ………………………………………………………..…………………………...288
Ροπή δύναμης ……………………………………………………………………………………………..…290
Ισορροπία στερεού σώματος ……………………………………………………………………………..292
Ροπή αδράνειας ………………………………………………………………………………………………294
Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης ……………………………………………………………..296
Μελέτη της απλής τροχαλίας ………………………………………………………………………………298
Μελέτη της διπλής τροχαλίας ……………………………………..………………………………………300
Μελέτη περιστροφής ράβδου σε κατακόρυφο επίπεδο ………………………………………………302
Μελέτη περιστροφής ράβδου σε οριζόντιο επίπεδο …………………………………………………..303
Μελέτη της κύλισης χωρίς ολίσθηση …………………………………………………………………….305
Μελέτη της κίνησης του γιο – γιο …………………………………………………………………………313
Μελέτη της κίνησης του συστήματος τροχαλία – γιο – γιο …………………………………………..318
Μελέτη της κίνησης της κινητής τροχαλίας ……………………………………………………………..320
Μελέτη της κίνησης ενός κυλίνδρου προσαρμοσμένος σε κινητή βάση …………………….322
Στροφορμή – διατήρηση της στροφορμής ……………………………………………………………323
Παραδείγματα ανακατανομής της μάζας ενός στερεού ………………………………………...…325
Διατήρηση της στροφορμής συστήματος σωμάτων – Παραδείγματα ...…………………………327
Διάγραμματα (L – t) , (Στ – t ) …………………………………………………………………………………334
Περιστροφική κινητική ενέργεια ……………………………………………………………………….335
Ενεργειακά θεωρήματα …………………………………………………………………………….…………338
Στερεό σώμα που κατά τη μεταφορική του κίνηση διαγράφει κύκλο …………………………………344
Μεθοδολογίες των ασκήσεων ……………………………………………………………………………..347

1. Ερωτήσεις – Ασκήσεις στην κινηματική του στερεού σώματος
Θέμα Α………………………………………………………………………………………………..…..……155
Θέμα Β………………………………………………………………………………………………..………..158
Θέμα Γ , Δ ……………………………………………………………………………………………………..163

2. Ερωτήσεις – Ασκήσεις στη ροπή δύναμης – Ισορροπία
Θέμα Α………………………………………………………………………………………………..…..……351
Θέμα Β………………………………………………………………………………………………..………..355
Θέμα Γ , Δ ……………………………………………………………………………………………………..359

3. Ερωτήσεις – Ασκήσεις στη ροπή αδράνειας – Θεμελιώδη νόμο της μηχανικής
Θέμα Α………………………………………………………………………………………………..…..……363
Θέμα Β………………………………………………………………………………………………..………..366
Θέμα Γ , Δ ……………………………………………………………………………………………………..370

4. Ερωτήσεις – Ασκήσεις στη στροφορμή και τη διατήρησή της
Θέμα Α………………………………………………………………………………………………..…..……403
Θέμα Β………………………………………………………………………………………………..………..408
Θέμα Γ , Δ ……………………………………………………………………………………………………..412

5. Ερωτήσεις – Ασκήσεις στο έργο και στην περιστροφική κινητική ενέργεια
Θέμα Α………………………………………………………………………………………………..…..……420
Θέμα Β………………………………………………………………………………………………..………..424
Θέμα Γ , Δ ……………………………………………………………………………………………………..431

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 1

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 2

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

ΟΡΜΗ – ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ:

Η ορμή είναι ένα φυσικό μέγεθος που αρχικά ονομαζόταν ποσότητα κίνησης, που χρησιμοποιείται

για να περιγράψει τη «μεταβίβαση της κίνησης» ενός σώματος σε ένα άλλο.

Είναι διανυσματικό μέγεθος που εκφράζει το γινόμενο της μάζας του σώματος επί την ταχύτητά

του, ενώ συμβολίζεται με το γράμμα p.

Α) Oρμή υλικού σημείου: ταχύτητα υ έχει ορμή

Αpν ένα υυλικπόουσεηίνμαειίοένμαάδζιαάςνυmσμακιονμεόίτραρι ομπεο της ταχύτητας με μέτρο: m υ p

m

p  m  υ και μονάδα μέτρησης το 1 Kg‧m/s = 1 Ν‧s.

Β) Ορμή συστήματος υλικών σημείων:

Σε ένα σύστημα σωμάτων, ορμή ονομάζεται το διανυσματικό άθροισμα των ορμών των σωμάτων

που απαρτίζουν το σύστημα. p1,p2,...,p ν τότε η ορμή p ολ του

σΕυάσντήδμηαλταοδςήείονιαιο: ρpμοέλς τωpν1 σωpμ2άτω.ν..τουp συστήματος είναι
ν.

θΓΈΕεχμοΝευΙλΚμιεΕώΥδpΜηΕνΝmόΗμουΜΣΟ⇔FΡΦΗdmpΤΟαΥmΘδΕίνdΜευιΕΛτ⇔ηΙΩσΔχΟέddσpΥtηΣΣΝmFΟΜ ddΟddυtΥpt: ⇔ dp  mα που σε συνδυασμό με το
. dt

Ηρυσθχμέόσημεατυατβήοελκήφςρτάηζςειοόρτμι ήηςστυονυισετναώμέτανηδιταωνύνσδμυανταάμΣεFωκναπι οdυp δερίοναυινοσμεόέρνραοσπώαμμαετιασξούύτταοιυμςε. το

Η σχέση αυτή γράφεται εναλλακτικά και με τη μορφή dp  ΣF  dt ή επίσης Δp  ΣF  Δt που

δείχνει ότι η ορμή μεταβάλλεται εφόσον στο σώμα ασκούνται δυνάμεις με ΣF  0 .

Με τη βοήθεια της σχέσης αυτής μπορούμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα ή το χρόνο που
διαρκεί η κίνηση, αρκεί η συνισταμένη δύναμη που δρά στο σώμα να είναι σταθερή, ενώ έχουμε

με αλγεβρική μορφή: p  p0  ΣF  Δt ⇔ m  υ  m  υO  ΣF  Δt .

ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ΕΝΟΣ ΣΩΜΑΤΟΣ:

Αν σε ένα σώμα ασκούνται δυνάμεις που η συνισταμένη τους ισούται με μηδέν τότε η ορμή του
παραμένει σταθερή.

Εφόσον ΣF  0 ⇔ Δp  0 ⇔ p  pO  0 ⇔ p  pO επίσης m  υ  m  υO οπότε

υ  υO δηλαδή επιβεβαιώνεται ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα της Αδράνειας.

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 3

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ΕΝΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΩΜΑΤΩΝ (Α.Δ.Ο.):

Ονομάζουμε σύστημα σωμάτων ένα σύνολο σωμάτων που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Οι

δυνάμεις που ασκούνται μεταξύ των σωμάτων (μελών), ονομάζονται εσωτερικές και υπακούουν

στον τρίτο νόμο του Νεύτωνα (Δράση-Αντίδραση). Αυτό σημαίνει ότι οι δυνάμεις είναι αντίθετες,

με αποτέλεσμα οι δυνάμεις αυτές να μην προκαλούν μεταβολή στην ορμή του συστήματος αφού

για αυτό έχουν συνισταμένη ίση με μηδέν αλλά σίγουρα να προκαλούν μεταβολή στην ορμή

κάθε μέλους αυτού.

Οι δυνάμεις που ασκούνται αντίστοιχα στα μέλη του συστήματος από άλλα σώματα που δεν

ανήκουν στο σύστημα ονομάζονται εξωτερικές, οι οποίες μπορούν να προκαλέσουν μεταβολή

σdτηdpνtολορμΣήFετσοωυτ συστήματος: dp ολ  ή Δp ολ    Δt
dt  ΣFεξωτ ΣFεξωτ

 ΣFεξωτ ⇔

Αν σε ένα σύστημα σωμάτων ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις που η συνισταμένη τους ισούται με

μηδέν το σύστημα χαρακτηρίζεται μονωμένο, οπότε η ορμή του συστήματος παραμένει

σταθερή, (Α.Δ.Ο.). ⇔ Δp ολ 0 ⇔ p ολ(μετά)  p ολ(πριν) 0 ⇔ p ολ(πριν )  p ολ(μετά)


Εφόσον ΣFεξωτ  0

p1  p 2  p1  p2 ⇔ p1  p1  p2  p 2 ⇔ Δp1  Δp 2 .

Διαπιστώνουμε λοιπόν ότι η μεταβολή της ορμής του πρώτου σώματος είναι πάντα αντίθετη της

μεταβολής της ορμής του δεύτερου σώματος.

ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Κρούση χαρακτηρίζουμε το φαινόμενο της απότομης μεταβολής της κινητικής κατάστασης ενός ή
δύο σωμάτων, εξαιτίας της δράσεως ισχυρών δυνάμεων που ασκούνται μεταξύ των
συγκρουόμενων σωμάτων, για πολύ μικρή χρονική διάρκεια.

Η κρούση είναι δυνατό να πραγματοποιείται είτε με επαφή των σωμάτων, μηχανική κρούση, είτε
χωρίς επαφή όπως συμβαίνει στο μικρόκοσμο όταν αλληλεπιδρούν στοιχειώδη σωματίδια
(πρωτόνια, ηλεκτρόνια ή πυρήνες) και ονομάζεται σκέδαση.

Με κριτήριο τη διεύθυνση των ταχυτήτων των συγκρουόμενων σωμάτων πριν και μετά την κρούση,
αυτές διακρίνονται στις α) κεντρικές ή μετωπικές κατά τις οποίες τα διανύσματα των ταχυτήτων
βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία, β) στις έκκεντρες όπου οι φορείς των ταχυτήτων πρίν την κρούση
είναι παράλληλοι μεταξύ τους και γ) στις πλάγιες όπου οι διευθύνσεις των ταχυτήτων είναι τυχαίες.

Με κριτήριο την ύπαρξη απωλειών μηχανικής ενέργειας του συστήματος κατά τη διάρκεια της
κρούσης, αυτές διακρίνονται στις ελαστικές και στις ανελαστικές. Στις ελαστικές κρούσεις δεν
υπάρχει απώλεια μηχανικής ενέργειας του συστήματος, ενώ στις ανελαστικές κρούσεις υπάρχει
απώλειά της η οποία μετατρέπεται σε θερμότητα.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:
Η μηχανική ενέργεια εκφράζει το άθροισμα της κινητικής και της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας.
Κατά την πολύ μικρή διάρκεια της κρούσης όμως, τα σώματα δεν αλλάζουν την υψομετρική τους θέση,
οπότε η βαρυτική δυναμική ενέργειά τους δεν μεταβάλλεται. Αυτό σημαίνει ότι πιθανή απώλεια της
μηχανικής ενέργειας αφορά μόνο την κινητική ενέργεια οπότε ισχύει:

ΔΕμηχ  Δ(Kολ  Uβαρ(ολ))  ΔKολ  ΔUβαρ(ολ) ⇔ ΔΕμηχ  ΔKολ .

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 4

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Στις ελαστικές κρούσεις ισχύει: ΔEμηχ  0 ⇔ Δ(Kολ  Uβαρ(ολ))  0 ⇔ ΔKολ  ΔUβαρ(ολ)  0 ⇔
ΔKολ  0 ⇔ Kολ(πριν)  Kολ(μετά) ⇔ K1  K 2  K1  K2 ⇔ K1  K1  K2  K2 ⇔ ΔΚ1  ΔΚ 2

Στις ανελαστικές κρούσεις υπάρχει απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήματος, οπότε

K ολ(πριν )  K ολ(μετά) , η οποία μετατρέπεται σε θερμότητα.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ:

Η αρχή διατήρησης της ορμής ισχύει ακόμη και στην περίπτωση που ενώ ασκούνται εξωτερικές

δυνάμεις με ΣFεξωτ  0 , η χρονική διάρκεια δράσης τους είναι πολύ μικρή Δt→0, όπως στην

περίπτωση των κρούσεων.
Παράδειγμα αποτελεί η τριβή ολίσθησης, η οποία παρά την ύπαρξή της δεν ακυρώνει την ισχύ
της αρχής διατήρησης της ορμής κατά τις κρούσεις.

Η αρχή διατήρησης της ορμής έχει διανυσματικό χαρακτήρα, γι αυτό πρέπει πάντα να προσέχουμε
τις διευθύνσεις των διανυσμάτων των ταχυτήτων.
Εάν όμως τα διανύσματα των ταχυτήτων πρίν και μετά την κρούση βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τότε
το διανυσματικό άθροισμα των ορμών μεταπίπτει σε αλγεβρικό, ορίζοντας αυθαίρετα κάποια φορά ως
θετική.
Αν κάποια ταχύτητα είναι άγνωστης φοράς, τότε στην Α.Δ.Ο. λαμβάνεται θετική και από την
επίλυση του προβλήματος προκύπτει η πραγματική φορά.

ΣΧΕΣΗ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΡΜΗΣ: ταχύτητα υ , τότε θα έχει ορμή μέτρου p mυ (1)
Αν ένα σώμα μάζας
m κινείται μεταφορικά με

και κινητική ενέργεια K  1  m  υ2 (2).
2

Λύνουμε τη σχέση (1) ως προς υ και αντικαθιστούμε στη σχέση (2), οπότε προκύπτει:

υ p και K  1 m p 2  1 m p2 ⇔ K  1  p2 (3).
m 2 m 2 m2 2m

Η σχέση (3) βρίσκει τέλεια εφαρμογή στις περιπτώσεις εκείνες που ένα σώμα διατηρεί σταθερή

την ορμή του, οπότε η κινητική του ενέργεια είναι αντιστρόφως ανάλογη της μάζας του.

ΠΛΑΓΙΑ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ ΣΕ ΤΟΙΧΟ:

Θεωρούμε ότι σφαίρα μάζας m συγκρούεται πλάγια και ελαστικά υ υx x

σε λείο τοίχο με γωνία πρόσπτωσης π. υy 

Δεν υπάρχει απώλεια κινητικής ενέργειας οπότε οι ταχύτητες πριν

και μετά την κρούση είναι ίσες σε μέτρο υ  υ , οπότε αναλύοντας

αυτές σε άξονες χ, y έχουμε: υ2  υ2 ⇔ υx2  υy2  υ2x  υ2y (1). m
Επειδή η όαδπυύοτνόυανμυ,ηxθαFμυεxτπαο(β2υά)λδ,λοέεχπιεόμττόαενι οαηπτόησφτσηαυίνρσιαχσέτώσαηπσόα(1ττ)αοχνπύρτοτηκοτύίαχπςοτευιεy κίνκαααιιι yF
ή υy  υy (3)
όκυάχyιθεττηηυσυxεy υx υ
υ y
Τότε για τις γωνίες πρόσπτωσης και ανάκλασης από τον τοίχο ισχύουν:

ημπ  υx και ημα  υx οπότε ημπ  ημα άρα πα.
υ υ

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 5

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ:

Κεντρική ελαστική κρούση δύο συγκρουόμενων σωμάτων:

Θυε1ωκραοι ύυμ2ε ότι δύο σώματα Σ1 και Σ2 με μάζες m1, m2 κινούνται πάνω στην ίδια υε1υθκεαίια υμ2ε ταχύτητες
. Τα σώματα συγκρούονται μεταξύ τους και μετά αποκτούν ταχύτητες , οι οποίες

για να προσδιοριστούν πρέπει να εφαρμόσουμε τις αρχές διατήρησης της ορμής και της κινητικής

ενέργειας του συστήματος. υ 1 υ2
(+) m1 m2 (πριν)
Αpροχλ(ήπρδινι)ατήpρηολσ(μηεςτάτ) η⇔ς ορpμ1ής: p 2  p1  p2
p1  p2  p1  p2 (αλγεβρικό άθροισμα)

m1  υ1  m2  υ2  m1  υ1  m2  υ2 (1) υ1 υ2
m1  υ1  m1  υ1  m2  υ2  m2  υ2 m1 m2 (μετά)
m1  (υ1  υ1)  m2  (υ2  υ2 ) (2)

Αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας του συστήματος:

K  Kολ(πριν) ολ(μετά) ⇔ K1  K2  K1  K2 ⇔ 1 m1 υ12  1 m2  υ22  1 m1 υ12  1 m2  υ22
2 2 2 2

m1  υ12  m1  υ12  m2  υ22  m2  υ22 ⇔ m1  (υ12  υ12 )  m2  (υ22  υ22 )

m1  (υ1  υ1)  (υ1  υ1)  m2  (υ2  υ2 )  (υ2  υ2 ) οπότε από τη σχέση (2) προκύπτει

υ1  υ1  υ2  υ2 (3), που αποτελεί το αλγεβρικό άθροισμα των ταχυτήτων (ΑΛ.Α.ΤΑ.) των

δύο σωμάτων πρίν και μετά την κρούση.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:
Αν λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων που προκύπτει από το συνδυασμό της αρχής διατήρησης

μτηεςτάοτρωμνήκςρκοαύιστηουυα1 λκγαειβυρ2ικ.ού αθροίσματος των ταχυτήτων προκύπτουν οι ταχύτητες των σωμάτων

υ1   m1  m2   υ1   2  m2  υ2 & υ2   2 m1  υ1   m2  m1  υ2
m1  m2 m1  m2 m1  m2 m1  m2

Κεντρική ελαστική κρούση δύο σωμάτων της ίδιας μάζας:

Θταεχωύρτηοτύεμςευό1τικαδιύυο2 σώματα Σ1 και Σ2 με μάζες m1=m2=m κινούνται πάνω στην ίδια υε1υθκεαίιαυμ2ε,
. Τα σώματα συγκρούονται μεταξύ τους και μετά αποκτούν ταχύτητες

οι οποίες για να προσδιοριστούν πρέπει να εφαρμόσουμε τις αρχές διατήρησης της ορμής και της

κινητικής ενέργειας του συστήματος.

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 6

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Αρχή διατήρησης της ορμής: υ 1 υ2

p ολ(πριν)  p ολ(μετά) ⇔ p1  p 2  p1  p2 (+) m m (πριν)
p1  p2  p1  p2 (αλγεβρικό άθροισμα) υ1 υ2

m1  υ1  m2  υ2  m1  υ1  m2  υ2 (1)

m υ1  m υ1  m υ2  m υ2 m m (μετά)
υ1  υ1  υ2  υ2 (2)

Αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας του συστήματος:

K  Kολ(πριν) ολ(μετά) ⇔ K 1  K 2  K 1  K 2 ⇔ 1 m1  υ12  1 m2  υ22  1 m1  υ12  1 m2  υ22
2 2 2 2

m  υ12  m  υ12  m  υ22  m  υ22 ⇔ υ12  υ12  υ22  υ22
(υ1  υ1)(υ1  υ1)  (υ2  υ2 )(υ2  υ2 ) οπότε από τη σχέση (2) προκύπτει υ1  υ1  υ2  υ2 (3),

που αποτελεί το αλγεβρικό άθροισμα των ταχυτήτων (ΑΛ.Α.ΤΑ.) των δύο σωμάτων πρίν και μετά

την κρούση.

Αν λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων που προκύπτει αυπ1όκατοι υσ2υ.νδυασμό των σχέσεων (2) & (3)
προκύπτουν οι ταχύτητες των σωμάτων μετά των κρούση

Προσθέτω κατά μέλη τις σχέσεις (2) & (3) οπότε: 2  υ1  2  υ2 οπότε: υ2  υ1 και υ1  υ2 .

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι τα δύο σώματα ίδιας μάζας m1=m2 ανταλλάσουν ταχύτητες μετά την
κεντρική ελαστική κρούση τους.

εΚΘυνεε1ώνωτκρρταοιοικύΣήυμ2ε2εελ,ίόανοτσαιιτι διοακύπήκοοίνκίεσηρςώτοούμγσιαυαητ2ανκαιΣν10οπκύρ. αμοΤιεσανΣδοσ2ιουώμρμεσισαώμττομάαύαζσνετουςπςγmρκμρέ1άπ,οζεύmαιος2ννmατααπ1ιεόμμφεεταατάραλμοξλόύποσοτοαίοαυρυμχςτεοικκάΣατιι1ςαμκκαειίννρτάεηχίτέταοαςπισοδμώκιεταμοτατύήανμρχάύητζατσαηχηςύτςατmητυτ2ηε.1ςς,

ορμής και της κινητικής ενέργειας του συστήματος, που συνδυαζόμενες δίνουν το αλγεβρικό

άθροισμα των ταχυτήτων (ΑΛ.Α.ΤΑ.). υ 1 υ 2  0
(+) m1 m2 (πριν)
Αpροχλ(ήπρδινι)ατήpρηολσ(μηεςτάτ) η⇔ς ορpμ1ής: p 2  p1  p2
p1  p2  p1  p2 (αλγεβρικό άθροισμα) υ1 υ2
m1  υ1  0  m1  υ1  m2  υ2 (1)

m1  υ1  m1  υ1  m2  υ2 m1 m2 (μετά)
m1  (υ1  υ1)  m2  υ2 (2)

Αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας του συστήματος:

K  Kολ(πριν) ολ(μετά) ⇔ K 1  K 2  K 1  K 2 ⇔ 1 m1  υ12  0  1 m1  υ12  1 m2  υ22
2 2 2

m1 υ12  m1 υ12  m2 υ22 ⇔ m1 (υ12  υ12 )  m2 υ22 m1 (υ1  υ1)(υ1  υ1)  m2 υ2 υ2 οπότε
από τη σχέση (2) προκύπτει υ1  υ1  υ2 (3 ), που αποτελεί το αλγεβρικό άθροισμα των

ταχυτήτων (ΑΛ.Α.ΤΑ.) των δύο σωμάτων πρίν και μετά την κρούση.

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 7

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Αντικαθιστώντας τη σχέση (3) στη σχέση (1) προκύπτει:

m1  υ1  0  m1  υ1  m2  (υ1  υ1) ⇔ m1  υ1  m1  υ1  m2  υ1  m2  υ1
m1  υ1  m2  υ1  m1  υ1  m2  υ1 ⇔ (m1  m2 )  υ1  (m1  m2 )  υ1 οπότε

προκύπτει: υ1  m1  m2  υ1 (4) που με αντικατάσταση στη σχέση (3) δίνει:
m1  m2

υ2  υ1  m1  m2  υ1 ⇔ υ2  1 m1  m2  υ1 ⇔ υ2  2 m1  υ1 (5).
m1  m2 m1  m2 m1  m2

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ (4) & (5):

Τα συγκρουόμενα σώματα έχουν την ίδια μάζα m1 = m2 :

Τότε προκύπτουν οι σχέσεις: υ1  υ2 και υ2  υ1 οπότε τα σώματα ανταλλάσουν ταχύτητες.

Το αρχικά κινούμενο σώμα Σ1 έχει πολύ μεγαλύτερη μάζα από το αρχικά ακίνητο σώμα Σ2,
m1 >> m2 :

Τότε ισχύουν: m1  m2  m1 και m1  m2  m1 οπότε: υ1  υ1 & υ2  2  υ1.

Το αρχικά κινούμενο σώμα Σ1 μετά την κρούση κινείται με την ίδια ταχύτητα, ενώ το αρχικά
ακίνητο σώμα Σ2 κινείται με διπλάσια ταχύτητα.

Το αρχικά κινούμενο σώμα Σ1 έχει πολύ μικρότερη μάζα από το αρχικά ακίνητο σώμα Σ2 ,
m1 << m2 :

Τότε ισχύουν: m1  m2  m2 και m1  m2  m2 οπότε: υ1  υ1 & υ2  0 .

Το αρχικά κινούμενο σώμα Σ1 μετά την κρούση κινείται με αντίθετη ταχύτητα, ενώ το αρχικά
ακίνητο σώμα Σ2 παραμένει ακίνητο.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:

Ποσοστό (%) της κινητικής ενέργειας του αρχικά κινούμενου σώματος Σ1 που μεταφέρεται στο
αρχικά ακίνητο σώμα Σ2.

Α.Δ.Κ.Ε.: K ολ(πριν )  K ολ(μετά) ⇔ K1  0  K1  K2 ⇔ K1  K1  K2

Π(%)  Δ K 1  100 (%) ⇔ Π(%)  K 1  K 1  100 (%)   K 2  100 (%)
K1 K1 K1

Π(%)   1 m2  υ22  100 (%)   m2   υ2  2  100 (%)   m2   2  m1 2 100(%)
2 m1 υ1 m1 m1  m2

1  m1  υ 2
2 1

  m2 4  m 2  100 (%) Π (%)   4 m1 m2  100 (%)
Π(%) m1   1 ⇔ (m 1  m 2 )2

m1  m2 2

Η μεταφορά κινητικής ενέργειας είναι μέγιστη όταν το αρχικά ακίνητο σώμα αποκτήσει ολόκληρη

την κινητική ενέργεια του αρχικά κινούμενου.

Δηλαδή το αρχικά κινούμενο σώμα θα σταματήσει οπότε K2  K1 και υ1  0 .

Τότε από τη σχέση (4) προκύπτει ότι τα συγκρουόμενα σώματα έχουν την ίδια μάζα m1 = m2.

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 8

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ:

Κεντρική ανελαστική κρούση δύο συγκρουόμενων σωμάτων:

Θυε1ωκραοι ύυμ2ε,όστιυδγκύροοσύώονμταατιαμΣε1τακξαύι Σ2 με μάζες m1, m2 κινούνται πάνω υστ1ηκναίιδιυα2ε.υΕθφείααρμμεόζτοαυχμύετηττηενς
τους και μετά αποκτούν ταχύτητες

αρχή διατήρησης της ορμής, ενώ υπάρχει απώλεια κινητικής ενέργειας του συστήματος, η οποία

μετατρέπεται σε θερμότητα που μεταβιβάζεται στο περιβάλλον.

Η ανελαστική κρούση παρατηρείται σε σώματα που παραμορφώνονται κατά την κρούση ή όταν ένα

βλήμα διαπερνά κάποιο άλλο σώμα. υ 1 υ2

Αpρολχ(πήρινδ) ιατpήορλη(μσετηά )ς της pο1ρμήpς2:  p1  p2 (+) m1 m2 (πριν)
⇔ υ1 υ2

p1  p2  p1  p2 (αλγεβρικό άθροισμα)

m1  υ1  m2  υ2  m1  υ1  m2  υ2 (1)

Απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήματος: m1 m2 (μετά)

Προφανώς ότι K ολ(μετά)  K ολ(πριν) οπότε

ΔKολ  K ολ(μετά)  K ολ(πριν)  0

Για να υπολογίσουμε την απώλεια βρίσκουμε την απόλυτη τιμή της: ΔKολ  Kολ(πριν)  Kολ(μετά) ⇔

ΔΚ ολ  ( K 1  K 2 )  ( K 1  K 2 ) ⇔ ΔΚολ  1 m1  υ12  1 m2  υ22  1 m1  υ12  1 m2  υ22 (2)
2 2 2 2

Θερμότητα λόγω κρούσης: Q  ΔKολ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:
Ποσοστό (%) της αρχικής κινητικής ενέργειας του συστήματος που χάνεται κατά την κρούση και
μετατρέπεται σε θερμότητα.

Π (%)  Δ K ολ  100 (%)  K ολ(μετά)  K ολ (πριν )  100 (%)   K ολ(μετά)  1  100 (%) ⇔
K ολ ( πριν ) K ολ (πριν ) K ολ ( πριν
)

Π(%)   K 1  K 2  1  100 (%) .
K  K
1 2

ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ:

Κεντρική πλαστική κρούση δύο συγκρουόμενων σωμάτων:
Σ2 με μάζες m1, m2 κινούνται πάνω στην ίδια ευθεία με ταχύτητες υ1 και
Θυε2ω, ρσουύγμκεροόύτιοδνύτοαισμώεμταατξαύ Σ1 και
τους ενώ μετά την κρούση προσκολλώνται μεταξύ υτοK υ. ς και δημιουργείται
ταχύτητα που χαρακτηρίζεται κοινή ταχύτητα
ένα συσσωμάτωμα που αποκτά

Αυτή η ιδιάζουσα ανελαστική κρούση ονομάζεται πλαστική κρούση.

Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής, ενώ υπάρχει απώλεια κινητικής ενέργειας του

συστήματος, η οποία οφείλεται στις δυνάμεις αντίστασης που εμφανίζονται κατά την κρούση. Εκφράζει δε

την απαιτούμενη ενέργεια για την προσκόλληση των σωμάτων που τελικά μετατρέπεται σε θερμότητα και

μεταβιβάζεται στο περιβάλλον.

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 9

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Αpροχλ(ήπρδινι)ατήpρηολσ(μηεςτάτ) η⇔ς ορpμ1ής:p 2  p συσσ. υ 1 υ2
p1  p2  pσυσσ. (αλγεβρικό άθροισμα)
m1  υ1  m2  υ2  (m1  m2 )  υΚ (1) (+) m1 m2 (πριν)

Απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήματος: υK

Προφανώς θα ισχύει ότι: K  Kολ(μετά) ολ(πριν) οπότε m1  m2 (μετά)

ΔK ολ  K ολ(μετά)  K ολ(πριν)  0

Για να υπολογίσουμε την απώλεια βρίσκουμε την απόλυτη τιμή της: ΔK ολ  K  Kολ(πριν) ολ(μετά) ⇔

ΔΚ ολ  K 1  K 2  K συσσ. ⇔ ΔΚολ  1 m1  υ12  1 m2  υ22  1 (m1  m2 )  υΚ2 (2)
2 2 2

Θερμότητα λόγω κρούσης: Q  ΔKολ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:
Ποσοστό (%) της αρχικής κινητικής ενέργειας του συστήματος που χάνεται κατά την κρούση και
μετατρέπεται σε θερμότητα.

Π(%)  Δ K ολ  100 (%) ⇔ Π(%)  K  Kολ(μετά) ολ ( πριν )  100 (%)
K ολ ( πριν )
K ολ ( πριν )

Π(%)   K ολ(μετά)  1  100 (%) ⇔ Π(%)   K συσσ.  1 100 (%)
K ολ ( πριν K1
) K 2

ΠΛΑΓΙΑ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ:

Πλάγια (έκκεντρη) ελαστική κρούση ενός κινούμενου σώματος μάζας m1 με ένα άλλο αρχικά

δΘσαιφκεείαωύνίθηρρυεοτνοςύσμσσηευώγτόμηκταςρι οδμούύάποοζοναίσατςαφςmιαδκί2εαρ.νιεμςβεΣρτ1ίάσκκααεπιτοαΣκι2τπομάύεννμωτάαζσχετύςητηmδτιε1ά,ςκmευν21ταρκπόαόιτοτυιυς2ς,ο,οπειονοίώεπςοηίηεςΣΣ2σ1χεκηίιννμαεαιίττίααζοκι υίμννεηγττωηαχνυίύατ2ηφταμ0ευτ.α1ξΟηύι

τους. Για να προσδιοριστούν πρέπει να εφαρμόσουμε τις αρχές διατήρησης της ορμής και της

κινητικής ενέργειας του συστήματος.

m1 υ 1 m1 υ1 (φ  θ1  θ2 ) p1 p1
υ2  0
(πριν) m2 θ1 φ

m2 θ2 υ2 p2

(μετά)

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 10

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Αρχή διατήρησης της ορμής: p ολ(πριν)  p ολ(μετά) ⇔ p1  0  p1  p2 , όπου η διανυσματική

τπηρςόσpθ1εσεφηατωρμνόοζρομυώμεν γίνεται με τον κανόνα του παραλληλογράμμου ενώ για τον υπολογισμό του μέτρου

το γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα: p12  p12  p22  2p1 p2  συνφ (1)

Αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας του συστήματος:

K ολ(πριν)  Kολ(μετά) ⇔ K 1  K 2  K 1  K 2 ⇔ 1 m1  υ12  0  1 m1  υ12  1 m2  υ22 (2)
2 2 2

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:

Αν οι συγκρουόμενες σφαίρες έχουν την ίδια μάζα (m1 = m2 = m) ισχύει:

p12  p12  p22  2 p1  p2  συνφ ⇔ m2υ12  m2υ12  m2υ22  2mυ1 mυ2  συνφ

υ12  υ12  υ22  2  υ1  υ2  συνφ(3), 1 m  υ 2 0  1 m 1  υ 12  1 m 2  υ22 ⇔ υ12  υ12  υ22 (4)
2 1 2 2

Από τις σχέσεις (3) & (4) προκύπτει ότι: 2υ1 υ2  συνφ  0 οπότε συνφ  0 δηλαδή φ  90o .

Οι σφαίρες μετά την κρούση τους κινούνται σε κάθετες διευθύνσεις.

ΠΛΑΓΙΑ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ:

Πλάγια πλαστική κρούση δύο κινούμενων σωμάτων μαζών m1 , m2. υ1 και η Σ2

Θμεεωταρχούύτμηεταότυι 2δύοοι σφαίρες Σ1 και Σ2 με μάζες m1, m2 όπου η Σ1 κινείται με ταχύτητα Οι σφαίρες
πρέπει να
συγκρούονται και μδειετάυθύανπσοεκιτςούτων νκοοπινοήίωνταδχύεντηβταρίσυκKοντ,αι πάνω στη διάκεντρό τους.
που για να προσδιοριστεί

εφαρμόσουμε την αρχή διατήρησης της ορμής ενώ υπάρχει απώλεια της κινητικής ενέργειας του

συστήματος. υ2 (μετά) υK p 2 p συσσ.
φ υ 1 p1
m1 θ φθ

(πριν)

m2 (m1  m2 )

Αρχή διατήρησης της ορμής: p ολ(πριν )  p ολ(μετά) ⇔ p1  p 2  p συσσ. , όπου η διανυσματική

πμρέτόρσοθυεστηηςτωpνσυοσρσμ. ώενφαγρίνμεόταζιουμμεεττοον κανόνα του παραλληλογράμμου ενώ για τον υπολογισμό του
γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα:

pσυσσ  p12  p22  2 p1  p2  συνφ (1) όπου pσυσσ  (m1  m2 )υΚ , p1  m1 υ1 και p2  m2 υ2

και της κατεύθυνσης με τη σχέση: ημθ  p2  ημφ (2)
p συσσ

Απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήματος:

Προφανώς ισχύει ότι: K ολ(μετά)  K ολ(πριν) οπότε ΔKολ  Kολ(μετά)  Kολ(πριν)  0

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 11

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Για να υπολογίσουμε την απώλεια βρίσκουμε την απόλυτη τιμή της: ΔK ολ  K  Kολ(πριν) ολ(μετά) ⇔

ΔΚ ολ  K 1  K 2  K συσσ. ⇔ ΔΚολ  1 m1  υ12  1 m2  υ22  1 (m1  m2 )  υΚ2 (3)
2 2 2

Θερμότητα λόγω κρούσης: Q  ΔKολ

Πλάγια πλαστική κρούση βλήματος μάζας m με σώμα μυάοζαπςουΜσπχοηυμαετίνίζαειι δεμένο στο άκρο νήματος.
Θεωρούμε ότι βλήμα μάζας m κινούμενο με ταχύτητα γωνία φ με την οριζόντια

διεύθυνση, σσυεγακυρτοόύ.εΜταει τμάετησνώκμραομύάσζηαςτοΜσυπσοσυωμκάρτέωμμεταααι παοπκότάτοκοάινκήροταχκύαττηατκαόρυυκφποουυ νήματος, και
σφηνώνεται είναι κάθετη

στο νήμα, οπότε οι διευθύνσεις των ταχυτήτων δυεονσεείναδιύσοτησνυίνδιισατώευσθεεςίαυ.ο( x ) και υο(y) , οπότε η αρχή
Στην περίπτωση αυτή αναλύουμε την ταχύτητα

διατήρησης της ορμής μπορεί να εφαρμοστεί μόνο στον άξονα χ, γιατί μετά την κρούση το

συσσωμάτωμα δεν έχει ταχύτητα στον άξονα y.

Αpροχλ(ήπρδινι)αx τήρpηοσλ(ημεςτάτ)ηx ς ορμής: υο(x) ℓ 
⇔ T

m  υo(x)  (m  M)  υΚ ⇔ (+)

m  υo  συνφ  (m  M) υΚ φ υ0 υκ
Μ
οπότε: υΚ  m υo  συνφ . υ ο( y ) υο m
mM
 w ολ (Μ+m)
Γενικευμένος 2ος νόμος του Νεύτωνα στον άξονα y:

Είναι προφανές ότι όταν δεν ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής ισχύει ΣF  0 , οπότε εφαρμόζεται ο

γενικευμένος 2ος νόμος του Νεύτωνα στον άξονα y και υπολογίζουμε τη μέση τάση του νήματος που

αΣσFκyείταΔι σpΔτοοtλ(σyώ) μα κατά τη διάρκεια Δt της κρούσης. ⇔ ΣFy  p  pολ(μετά)y ολ(πριν) y
ή
αλγεβρικά: ΣFy  Δpολ(y) Δt
Δt

Τ  w ολ  0  (m  υo(y) ) ⇔ Τ  (Μ  m)g  mυo ημφ
Δt Δt

Πλάγια πλαστική κρούση βλήματος μάζας m με σώμα μάζας Μ που βρίσκεται σε οριζόντιο ή

κεκλιμένο επίπεδο. m κινούμενο με ταχύτητα υ ο που σχηματίζει γωνία φ με το δάπεδο,
Θεωρούμε ότι βλήμα μάζας

συγκρούεται με υσκώπμοαυμάείζνααςι Μ και σφηνώνεται σε αυτό. Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα αποκτά
κοινή ταχύτητα παράλληλη στο δάπεδο, οπότε οι διευθύνσεις των ταχυτήτων δεν είναι

στην ίδια ευθεία. αναλύουμε την ταχύτητα υ ο σε δύο συνιστώσες υο(x) και υο(y) , οπότε η αρχή
Στην περίπτωση αυτή

διατήρησης της ορμής μπορεί να εφαρμοστεί μόνο στον άξονα χ, γιατί μετά την κρούση το

συσσωμάτωμα δεν έχει ταχύτητα στον άξονα y.

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 12

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

υ0(x) υ0
υ0(y) φ
υ ο(x)  m Μ  υκ
φ υ0 N N
υοm Μ υ ο
(+)
υ ο( y ) φ w ολ(x) φ
υκ φ w ολ
w ολ(y)
w ολ (Μ+m)

Αρχή διατήρησης της ορμής: p ολ(πριν)x  p ολ(μετά)x ⇔ m  υo(x)  (m  M)  υΚ ⇔

m  υo  συνφ  (m  M) υΚ οπότε: υΚ  m υo  συνφ .
mM

Γενικευμένος 2ος νόμος του Νεύτωνα στον άξονα y: 

Είναι προφανές ότι όταν δεν ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής ισχύει ΣF  0 , οπότε εφαρμόζεται ο

γενικευμένος 2ος νόμος του Νεύτωνα στον άξονα y και υπολογίζουμε τη μέση κάθετη δύναμη που

αΣστοκείτοαριισζτόονστιώομαεπκαίπτεάδτοη:διάρκεΣιαFyΔt τηΔςpΔκορtλ(οyύ) σης. ή αλγεβρικά: ΣFy  Δp ολ( y ) ⇔
Δt

ΣFy  p  pολ(μετά)y ολ(πριν) y N  wολ  0  (m  υo(y) ) N  (Μ  m) g  mυo ημφ
Δt Δt
Δt ⇔ ⇔

Στο κεκλιμένο επίπεδο: N  wολ(y)  0  (m  υo(y) ) ⇔ N  (Μ  m)  g  συνφ  m  υo  ημφ
Δt Δt

ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ:

Γενικότερα πρέπει να πούμε ότι η αρχή διατήρησης της ορμής ισχύει σε κάθε περίπτωση που η
συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων ισούται με μηδέν.

ΚΡΟΥΣΕΙΣ:
Σε κάθε κρούση όπως είδαμε κεντρική ή πλάγια, ελαστική ή ανελαστική.

ΕΚΤΟΞΕΥΣΗ ΒΛΗΜΑΤΟΣ ΑΠΌ ΟΠΛΟ ΠΟΥ ΑΝΑΚΡΟΥΕΤΑΙ Ή ΣΩΜΑΤΟΣ ΑΠΌ ΔΙΣΚΟ ΠΟΥ ΕΙΧΕ

ΤΟΠΟΘΕΤΗΘΕΙ:

Θεωρούμε ένα σώμα μάζας m που εκτοξεύεται από όπλο ή δίσκο μάζας Μ, τότε εξαιτίας των

εσωτερικών δυνάμεων δράσης – αντίδρασης που αναπτύσσονται μεταξύ τους, τα σώματα θα κινηθούν

σε αντίθετες κατευθύνσεις. p ολ(πριν)  p ολ(μετά) ⇔ p1  p 2  p1  p2 ή p1  p2  p1  p2
Αρχή διατήρησης της ορμής:

(αλγεβρικό άθροισμα) ⇔ 0  0  m υ0  M υ ⇔ M υ  m υ0 ⇔ υ  m  υ0
M

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 13

υ=0 υ=0 m Φυσική Γ΄ Λυκείου
m m Μ ΚΡΟΥΣΕΙΣ
Μ
Μ (+) υ ο

υ m υο υ

Μ ΚΚ

ΕΚΡΗΞΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΑΣΗ ΕΝΟΣ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΟΜΜΑΤΙΑ:

Θεωρούμε ένα σώμα μάζας Μ που εκρήγνυται εξαιτίας εσωτερικού μηχανισμού και διασπάται σε δύο

κομμάτια με μάζες m1 και m2. Εξαιτίας των εσωτερικών δυνάμεων δράσης – αντίδρασης που
αναπτύσσονται μεταξύ τους, τα σώματα θα κινηθούν σε αντίθετες κατευθύνσεις, αν το σώμα Μ ήταν

αρχικά ακίνητο. υ=0 υ0
Μ (+)
Μ

υ2 m2 m1 υ1 υ2 υ1

m2 m1

Αρχή διατήρησης της ορμής: p  p ολ(μετά) ⇔ p  p1  p 2 ⇔ p  p1  p2
ολ(πριν )

(αλγεβρικό άθροισμα) 0  m1  υ1  m2  υ2 ⇔ m1  υ1  m2  υ2 ⇔ υ1  m2 .
υ2 m1

Δηλαδή ο λόγος των ταχυτήτων που αποκτούν τα σώματα είναι αντιστρόφως ανάλογος του λόγου των

ΑμΑμπανροζχτώροήενίσδτνώιοααυμτκαςήι.νρμηηάθσζεαηίςςείΜττεηοςκμιονόερρίμτραήοιςπα:αρεχpίιτκοελά(απμρνιετνί)ρτραοχpύπατοηλ(ττμαηετςάυ)υ0 0⇔τό. τε μετά την έκρηξη το δεύτερο σώμα μάζας m2

p  p1  p 2 ⇔ p  p1  p2

(αλγεβρικό άθροισμα) M  υ0  m1  υ1  m2  υ2 .

ΕΚΤΊΝΑΞΗ ΣΩΜΑΤΩΝ ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΣΕ ΕΠΑΦΗ ΜΕ ΤΑ ΑΚΡΑ ΕΝΟΣ ΑΡΧΙΚΑ ΣΥΣΠΕΙΡΩΜΕΝΟΥ
ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΑΠΕΛΕΥΘΕΡΩΣΗ ΤΟΥ:

Θεωρούμε δύο σώματα με μάζες m1 και m2 που βρίσκονται ακίνητα σε λείο οριζόντιο δάπεδο σε
επαφή με συσπειρωμένο ιδανικό ελατήριο σταθεράς Κ.

Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα που συγκρατεί τα άκρα του ελατηρίου οπότε αυτό απελευθερώνεται

ασκώντας δυνάμεις στα σώματα m1 και m2 που χάνουν την επαφή τους με αυτό όταν αποκτά το φυσικό
του μήκος ℓ0.

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 14

 Κ  Φυσική Γ΄ Λυκείου
 υ=0 N2 Κ N1 υ=0 ΚΡΟΥΣΕΙΣ
F2 m2
m1 
υ2 w 2 w 1 F1 (+)

m2 υ1

m1

Τότε για να υπολογίσουμε τις ταχύτητες υ1 καιℓυ02 που αποκτούν τελικά πρέπει να εφαρμόσουμε:
Αρχή διατήρησης τη⇔ς ορpμ1ής αpφ2ού τpο1σύσpτ2ημα⇔είναιpμ1ονωpμ2ένοp(Ν1 =wp)2, ΣFεξωτ  0 .
p  p ολ(μετά) (αλγεβρικό άθροισμα)
ολ(πριν ) ⇔

0  m1  υ1  m2  υ2 ⇔ m1  υ1  m2  υ2 ⇔ υ1  m2 .
υ2 m1

Αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας: Έχουμε διατηρητικές δυνάμεις οπότε , Ε  Ε(αρχ) ( τελ )
μηχ μηχ

⇔ K  U(ααρχ (αρχ )  U(αρχ )  K ( τελ )  U( τελ )  U( τελ ) ⇔ 1 Κ  Δ2  1  m  υ12  1  m  υ22
ολ βαρ ελ ολ βαρ ελ 2 2 2

όπου Δℓ η αρχική συσπείρωση του ελατηρίου.

ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΙ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ:

Έργο σταθερής δύναμης λόγωμεταφορικής κίνησης: y υ 
Έστω ότι η σταθερή δύναμη F ασκείται στο σώμα μάζας m με Fy F

διεύθυνση που σχηματίζει γωνία φ με το οριζόντιο επίπεδο. Κατά τη φ Fx x
μετατόπιση Δχ του δίσκου παράγεται έργο λόγω μεταφορικής κίνησης

σύμφωνα με τη σχέση WF  F  Δχ  συνφ .

ΙFσxοδ,ύFνyαμααπόμπτιοςροοπύομίεεςναη αναλύσουμε τη δύναμη σε δύο συνιστώσες
Fy δεν παράγει έργο αφού είναι κάθετη στη


μετατόπιση ενώ η συνιστώσα Fx εκτελεί έργο WF  WFx   Fx  Δχ .

Το έργο μFιxαςείδνύανι αομμηόςρρποουπηπρτηοςκατλαεχίύμτεηττααφςορυά, FεxνόςσώυμαοτοπςότεείναWι θFετικFό,x όταν η συνιστώσα της
δύναμης .
 Δχ

Το έργο μιας εδίνύανιααμνητςίρπροουπηπρτοηκςατλαεχί ύμτεηττααφςορυά, Fεxνός σώυμαοτοπςότεείναιWαρF νητικόF,x όταν η συνιστώσα της
δύναμης Fx
 Δχ .

Διατηρητικές (συντηρητικές) δυνάμεις:
Είναι οι δυνάμεις εκείνες που σε κλειστή διαδρομή εκτελούν έργο μηδέν, ενώ σε ανοιχτή διαδρομή το
έργο τους δεν εξαρτάται από την ακολουθούμενη διαδρομή αλλά μόνο από την αρχική και την τελική
θέση. Παραδείγματα διατηρητικών δυνάμεων στη μηχανική είναι το βάρος και η δύναμη που ασκεί ένα
παραμορφωμένο ελατήριο, για τις οποίες ορίζονται οι αντίστοιχες δυναμικές ενέργειες.

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 15

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Η βαρυτική Uβαρ  m  g  h όπου h είναι το ύψος του κέντρου μάζας του στερεού από ένα οριζόντιο

επίπεδο αναφοράς στο οποίο λαμβάνουμε ότι Uβαρ  0 και η ελαστική Uελ  1 Κ  Δ2 όπου Δℓ
2

είναι η παραμόρφωση του ελατηρίου όπως τη μετράμε από τη θέση του φυσικού μήκους.

Το έργο μιας διατηρητικής δύναμης ισούται με την αρνητική μεταβολή της δυναμικής της ενέργειας:

W AB  ΔUβαρ  UΑ  UΒ και αντίστοιχα W AB  ΔUελ  UΑ  UΒ .
w βαρ βαρ Fελ ελ ελ

Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε.):

Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σώματος είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των έργων

όλων των ασκουμένων δυνάμεων: ΔΚ  ΣW .

Το θεώρημα αυτό μπορούμε να το εφαρμόσουμε σε κάθε περίπτωση που θέλουμε να συσχετίσουμε
μεγέθη όπως η ταχύτητα, η δύναμη, η μετατόπιση, ή οτιδήποτε άλλο εκτός από το χρόνο κίνησης ή
την επιτάχυνση του σώματος.

Το θεώρημα ισχύει πάντοτε άσχετα από το άν οι ασκούμενες δυνάμεις είναι διατηρητικές ή όχι.

Το θεώρημα μπορεί να εφαρμοστεί με τον ακόλουθο τρόπο:

ΔΚ  ΣW ⇔ Κ τελ  Καρχ  ΣW όπου K  1  m  υ2 και WF  WFx   Fx  Δχ ενώ οι δυνάμεις
2

του άξονα y που είναι κάθετος στη μετατόπιση έχουν μηδενικό έργο.

Η μέθοδος που ακολουθούμε για την εφαρμογή του (Θ.Μ.Κ.Ε.) έχει ως εξής:

1) Σχεδιάζουμε όλες τις ασκούμενες δυνάμεις στο σώμα και αναλύουμε όσες χρειάζεται σε ορθογώνιους
άξονες χ , y ώστε ο χ να συμπίπτει με τη διεύθυνση της κίνησης και ο y να είναι κάθετος σε αυτή.

2) Βρίσκουμε τις αντίστοιχες συνιστώσες τριγωνομετρικά και θέτουμε ΣFy  0 εφόσον δεν έχουμε

κίνηση στον άξονα y, υπολογίζοντας την κάθετη δύναμη Ν και εφόσον υπάρχει την τριβή ολίσθησης,

T  μ  Ν ή ακόμη Tστ(max)  μστ  Ν.

3) Εφαρμόζουμε το (Θ.Μ.Κ.Ε.) λαμβάνοντας υπόψη όσα περιγράψαμε για την περίπτωση του έργου
μιας δύναμης και λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει υπολογίζοντας το άγνωστο μέγεθος.

Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας (Α.Δ.Μ.Ε.):

Η μηχανική ενέργεια ενός σώματος ή ενός συστήματος σωμάτων διατηρείται σταθερή εφόσον οι
ασκούμενες δυνάμεις είναι διατηρητικές ή έχουν μηδενικό έργο. Κατά την εφαρμογή της (Α.Δ.Μ.Ε.)
ενδιαφερόμαστε μόνο για την αρχική και την τελική θέση του σώματος και όχι για τη διαδρομή που
ακολουθεί το σώμα, για να βρούμε μεγέθη όπως η ταχύτητα, η δύναμη, η μετατόπιση, ή οτιδήποτε
άλλο εκτός από το χρόνο κίνησης ή την επιτάχυνση.

Η μηχανική ενέργεια εκφράζει το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας (βαρυτικής ή
ελαστικής) τις οποίες εξισώνουμε στην αρχική και την τελική θέση:

Ε  Εαρχ τελ ⇔ K αρχ  Uαρχ  U αρχ  K τελ  U τελ  U τελ όπου:
μηχ μηχ βαρ ελ βαρ ελ

Α) K  1 m υ2 εκφράζει την κινητική ενέργεια του σώματος,
2

Β) Uβαρ  m  g  h εκφράζει τη βαρυτική δυναμική ενέργεια του σώματος και

Γ) Uελ  1  Κ  Δ 2 εκφράζει την ελαστική δυναμική ενέργεια του ελατηρίου, όπου Δℓ είναι η
2

παραμόρφωση του ελατηρίου όπως τη μετράμε από τη θέση του φυσικού του μήκους (Θ.Φ.Μ.).

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 16

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας (Α.Δ.Ε.):

Είναι η γενικότερη αρχή διατήρησης, η οποία εφαρμόζεται σε κάθε περίπτωση, αφού περιλαμβάνει
πάσης φύσεως μετατροπές ενέργειας από μια μορφή σε μία άλλη άσχετα από το αν οι ασκούμενες
δυνάμεις είναι διατηρητικές ή όχι.

Έτσι στην αρχική μηχανική ενέργεια του συστήματος προσθέτουμε αλγεβρικά τα έργα των
δυνάμεων που βοηθούν την κίνηση προσφέροντας ενέργεια στο σύστημα, ή αντιστέκονται στην
κίνηση όπως η τριβή ολίσθησης ή άλλης ανθιστάμενης δύναμης οι οποίες αφαιρούν ενέργεια από το
σύστημα οπότε βρίσκουμε την τελική μηχανική ενέργεια του συστήματος.

Εαρχ  WF  WΤ  Ετελ όπου WΤ   WΤ
μηχ μηχ

Αν ζητηθεί η θερμότητα που εκλύεται κατά τη διάρκεια κάποιας κρούσης, τότε από την (Α.Δ.Ε.) για το
σύστημα των δύο σωμάτων προκύπτει ότι:

Qκρουσ.  ΔΚ ολ ή Qκρουσ .  Κ πριν  Κ μετά  (Κ 1  Κ 2 )  (Κ1  Κ2 ) όπου Κ 1 ,Κ 2 ,Κ 1,Κ 2 είναι οι
ολ ολ

κινητικές ενέργειες των μελών του συστήματος πρίν και μετά την κρούση.

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Ασκήσεις στις οποίες ένα σώμα κινείται μεταξύ δύο θέσεων πάνω σε οριζόντιο ή κεκλιμένο
επίπεδο (λείο ή όχι) και ζητείται να βρεθεί η ταχύτητα ή τη μετατόπιση ή κάποια δύναμη, χωρίς να
ζητείται ο χρόνος κίνησης.

Τρόπος εργασίας:

Α) Σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα και αναλύουμε όσες χρειάζεται σε
ορθογώνιους άξονες χ,y όπου ο άξονας χ συμπίπτει με τη διεύθυνση της κίνησης ενώ ο άξονας y είναι
κάθετος σε αυτή.

Β) Βρίσκουμε τις αντίστοιχες συνιστώσες τριγωνομετρικά και εφόσον στον άξονα y δεν υπάρχει κίνηση

θέτουμε ΣFy  0 . Από τη σχέση αυτή βρίσκουμε την κάθετη αντίδραση του δαπέδου Ν και κατόπιν την
τριβή ολίσθησης T  μ  Ν .

Γ) Όσες δυνάμεις βρίσκονται στον άξονα y, είναι κάθετες στη μετατόπιση οπότε έχουν μηδενικό έργο.
Από τις δυνάμεις του άξονα χ όσες είναι ομόρροπες με τη μετατόπιση έχουν θετικό έργο, ενώ όσες
είναι αντίρροπες με τη μετατόπιση έχουν αρνητικό έργο, όπως για παράδειγμα η τριβή ολίσθησης

WΤ  T  Δχ .

Φυσικά το έργο της τριβής ολίσθησης μετατρέπεται σε θερμότητα και μεταβιβάζεται στο περιβάλλον,

Q τριβής  WΤ .

Δ) Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε.) υπολογίζοντας όπως

είπαμε τα έργα των δυνάμεων του άξονα χ της κίνησης , ΔΚ  ΣW ⇔ Κ τελ  Καρχ  ΣW .

Θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε την Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας (Α.Δ.Ε.).

Ασκήσεις στις οποίες ένα σώμα είναι δεμένο στο άκρο αβαρούς και μη εκτατού νήματος, το άλλο
άκρο του οποίου δένεται σε σταθερό σημείο, έτσι ώστε να διαγράφει κύκλο ή τόξο κύκλου.

Τρόπος εργασίας:

Α) Το σώμα κινείται από κάποια αρχική σε κάποια τελική θέση, οπότε για να υπολογίσουμε μεγέθη
όπως η ταχύτητα σε κάποια θέση, η γωνία εκτροπής του νήματος, το ύψος από κάποιο επίπεδο
αναφοράς, χωρίς να εμπλέκεται ο χρόνος κίνησης εφαρμόζουμε τα ακόλουθα.

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 17

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

i) Αν οι μόνες ασκούμενες δυνάμεις είναι το βάρος του σώματος που είναι δύναμη διατηρητική και
η τάση του νήματος που είναι πάντα κάθετη στην ταχύτητα οπότε έχει μηδενικό έργο, εφαρμόζουμε

την Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας (Α.Δ.Μ.Ε.): Εαρχ  Ε Kτελ ⇔ αρχ  Uαρχ  K τελ  Uτελ .
μηχ μηχ βαρ βαρ

Το ύψος h στον τύπο της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας του σώματος, υπολογίζεται από κάποιο
οριζόντιο επίπεδο αναφοράς που επιλέγεται συνήθως στην κατώτερη θέση του σώματος.
Η προτιμότερη επιλογή όταν ζητείται η γωνία εκτροπής του νήματος είναι το επίπεδο αυτό να περνά
από το σημείο ανάρτησης του νήματος.

ii) Αν επιπλέον ασκούνται και άλλες δυνάμεις που είτε βοηθούν είτε αντιστέκονται στην κίνηση τότε

εφαρμόζουμε την Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας (Α.Δ.Ε.):

Εαρχ  WF  Ε τελ ⇔ K αρχ  Uαρχ  WF  K τελ  Uτελ .
μηχ μηχ βαρ βαρ

Β) Για να υπολογίσουμε την τάση του νήματος σε κάποια θέση, εφαρμόζουμε την ικανή και αναγκαία

συνθήκη εκτέλεσης κυκλικής κίνησης , που είναι η ύπαρξη της απαραίτητης κεντρομόλου δύναμης.

Σχεδιάζουμε ττοηνβάwρxοεςφκααπι ττοημνετνάικσάη του κνύήκμλαοτυοκςακι ατηι νανwαλyύαοκυτμινεικεάφ.όΗσοκνενχτρρεοιμάζόελτοαςι το βάρος σε δύο
συνιστώσες, του δύναμη εκφράζει

τη συνισταμένη των ασκούμενων δυνάμεων πάνω στη διεύθυνση της ακτίνας της κυκλικής τροχιάς.

m υ2
Fκεντρ.  ΣFακτιν.  ΣFy  T  wy  

Γ) Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος σε κάποια θέση υπολογίζεται από τη σχέση:

dp  ΣF  ΣFχ2  ΣFy2 m υ2
dt όπου ΣFx  w x και ΣFy  T  wy  

Δ) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος σε κάποια θέση ως προς το κέντρο του

κύκλου Ο υπολογίζεται από τη σχέση: dL  Στ(O)  τw  τ T  τw  τwx  wx .
dt

Ασκήσεις στις οποίες ένα σώμα είναι δεμένο στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου ή απλά είναι σε
επαφή με αυτό, και κινείται μεταξύ δύο θέσεων δεχόμενο την ελαστική δύναμη.

Τρόπος εργασίας:

Α) Το σώμα κινείται από κάποια αρχική σε κάποια τελική θέση, οπότε για να υπολογίσουμε μεγέθη
όπως η ταχύτητα σε κάποια θέση, το διάστημα που διανύει το σώμα, ή την παραμόρφωση του
ελατηρίου, χωρίς να εμπλέκεται ο χρόνος κίνησης εφαρμόζουμε τα ακόλουθα.

i) Αν δεν ασκείται κάποια εξωτερική δύναμη F και δεν υπάρχει τριβή ολίσθησης, τότε επειδή το βάρος

του σώματος και η δύναμη του ελατηρίου είναι δυνάμεις διατηρητικές, εφαρμόζουμε την Αρχή

Διατήρησης της Μηχανικής ενέργειας, Ε  Εαρχ τελ ⇔ K αρχ  Uαρχ  Uαρχ  K τελ  U τελ  U τελ .
μηχ μηχ βαρ ελ βαρ ελ

ii) Αν ασκείται κάποια εξωτερική δύναμη F ή υπάρχει τριβή ολίσθησης στην κίνηση του σώματος, τότε

εφαρμόζουμε την Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας, (Α.Δ.Ε.): Εαρχ  WF  WΤ  Ετελ ⇔
μηχ μηχ

K αρχ  Uαρχ  Uαρχ  WF  WT  Kτελ  Uτελ  Uτελ .
βαρ ελ βαρ ελ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:

Εφόσον το σώμα δεν είναι δεμένο με το ελατήριο, αλλά βρίσκεται σε επαφή με το άκρο του, τότε όταν το
ελατήριο αποκτήσει το φυσικό του μήκος (Θ.Φ.Μ.), το σώμα χάνει την επαφή του με αυτό.

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 18