นกั เรียนไดศ้ ึกษาเรืองของสมการเชิงเส้นมาแลว้ จะเห็นวา่ สมการจะเขียนในรูปของตวั แปร x, y
เช่น 2x + 3y − 5 = 0 แต่ถา้ เป็ นสมการของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติจะเขียนอยใู่ นรูปของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ
คือ sinθ ,cosθ , tanθ เช่น sin2 x + 6sin x + 9 = 0 ซึงการหาค่าสมการ จะใชว้ ธิ ีแยกตวั ประกอบ
เหมือนกบั สมการทวั ไป โดยคาํ ตอบของสมการตรีโกณมิติจะเป็นค่าของ θ
. sinθ ⋅ cosceθ = 1
. sinθ ⋅ cosceθ = 1
. tanθ ⋅ cotθ = 1
. tanθ = sinθ
cosθ
. cotθ = cosθ
sin θ
. sin2 θ + cos2 θ = 1
. sin2 θ − tan2 θ = 1
. cos ec2θ − cot2 θ = 1
. sin 2θ = 2sinθ cosθ = 2 tanθ
1 + tan2 θ
. cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ
ตวั อยา่ งที . จงหาค่า x จากสมการ 2sin x −1 = 0
วธิ ีคิด ขนั จากสมการ 2sin x −1 = 0
2sin x = 1 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)
sin x = 1 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)
2
ขนั ใชว้ งกลมหนึงหน่วย หาค่ามุม x เพราะค่าทีไดจ้ ะมี ค่า
y
Q2 Q1
sinθ , cosecθ เป็ น + ทุกฟังกช์ นั เป็น +
มุม (180 −θ ) มุม θ
x
tanθ , cotθ เป็ น + cosθ ,secθ เป็ น +
มุม (180 + θ ) มุม (360 −θ )
Q3 Q4
จากวงกลมหนึงหน่วย เราจะทราบวา่ sin x อยใู่ น Q1 และ Q2
หาค่า sin x = 1 ในจตุภาค (Q1)
2
จาก sin x = 1 (มุมคือ θ )
2
sin 30 = 1 (ใชก้ ฎมือซา้ ย จะไดม้ ุม 30 )
2
∴ จะได้ x = 30
หาค่า sin x = 1 ในจตุภาค (Q2)
2
จาก sin x = 1 (มุม 180 − θ )
2
sin = 150 = 1 (180 − 30 = 150 )
2
∴ จะได้ x = 150
ดงั นนั x = 30 และ 150 ตอบ
ตวั อยา่ งที . จงหาค่า x จากสมการ 2sin2 x − 3sin x + 1 = 0
วธิ ีคิด ขนั
จากสมการ 2sin2 x − 3sin x + 1 = 0
วธิ ีแยกตวั ประกอบ 2sin x ⋅ sin x 1×1
(2 sin x − 1)(sin x − 1) = 0
−1sin x
−2sin x
−3sin x
นาํ ค่าแต่ละวงเลบ็ ใหเ้ ท่ากบั ศูนย์ แลว้ ใชว้ ธิ ียา้ ยขา้ งเพอื หาค่ามุมของแต่ฟังกช์ นั
2sin x −1 = 0 sin x −1 = 0
2sin x = 1 sin x = 1
sin x = 1
2
จากการแกส้ มการดว้ ยวธิ ีแยกตวั ประกอบ จะได้ sin x = 1 และ sin x = 1
2
ขนั ใชว้ งกลมหนึงหน่วย และกฎมือซา้ ย
Q2 y Q1
sinθ , cosecθ เป็ น + ทุกฟังกช์ นั เป็น +
มุม (180 −θ ) มุม θ
tanθ , cotθ เป็ น + x
มุม (180 + θ )
cosθ ,secθ เป็ น +
Q3 มุม (360 −θ )
Q4
หาคาํ ตอบกรณีที 1 sin x = 1 อยใู่ นจตุภาคที และ
หาค่า
2
sinθ =
sin x = 1 ในจตุภาคที ดงั นี
sin 30 = 1 = 1
2 22
จาก sin x = 1
2
sin 30 = 1 #
2
จะได้ x = 30
หาค่า sin x = 1 ในจตุภาคที ดงั นี
2
จาก sin x = 1 มุมในจตุภาคที 2 คือ (180 −θ )
2
sin150 = 1 (มุม 180 − 30 = 150 )
2
จะได้ x = 150 #
หาคาํ ตอบกรณีที sin x = 1 อยใู่ นจตุภาคที และ
หาค่า sin x = 1 ในจตุภาคที ดงั นี ซ้าย
จาก sin x = 1 sinθ =
sin 90 = 1 2
จะได้ x = 90 sin 90 = 4 = 2 = 1
22
หาค่า sin x = 1 ในจตุภาคที ดงั นี
จาก sin x = 1 มุมในจตุภาคที 2 คือ (180 −θ )
sin 90 = 1 (180 − 90 = 90 )
จะได้ x = 90
ดงั นนั x = 30 ,90 ,150 ตอบ
ตวั อยา่ งที . จงหาค่า x จากสมการ tan2 x − 3 = 0
วธิ ีคิด ขนั จากสมการ tan2 x − 3 = 0
tan2 x = 3 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)
tan x = ± 3 (วธิ ีรากที )
จะได้ tan x = 3 เท่านนั (tan x = − 3 หาคาํ ไม่ได)้
ขนั ใชว้ งกลมหนึงหน่วย และกฎมือซา้ ย
Q2 y Q1
sinθ , cosecθ เป็ น + ทุกฟังกช์ นั เป็น + x
มุม (180 −θ ) มุม θ
tanθ , cotθ เป็ น + cosθ ,secθ เป็ น +
มุม (180 + θ ) มุม (360 −θ )
Q3 Q4
∴จะเห็นวา่ tan x = 3 จะอยใู่ นจตุภาค และจตุภาค เพราะค่าเป็ นบวก
หาวา่ tan x = 3 ในจตุภาค ดงั นี
จาก tan x = 3 ซ้าย
tan 60 = 3 tan 60 =
จะได้ x = 60 ขวา
tan 60 = 3 = 3
1
หาวา่ tan x = 3 ในจตุภาค ดงั นี
จาก tan x = 3 มุมในจตุภาคที 3 คือ (180 +θ )
tan 240 = 3 (180 + 60 = 240 )
จะได้ x = 240
ดงั นนั x = 60 และ 240 ตอบ
ตวั อยา่ งที . จงหาค่า x จากสมการ 4 cos2 x −1 = 0 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)
วธิ ีคิด ขนั จากสมการ 4 cos2 x −1 = 0 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)
(หารากที )
4 cos2 x = 1 (ใชเ้ ฉพาะค่าบวก)
cos2 x = 1
4
cos x = ± 1
4
cos x = 1
4
cos x = 1
2
ขนั ใชว้ งกลมหนึงหน่วย จะได้ cos x = 1 อยใู่ นจตุภาคที และ เพราะวา่
2
ค่า cos เป็ น + ดงั รูป
Q2 y Q1
sinθ , cosecθ เป็ น + ทุกฟังกช์ นั เป็น +
มุม (180 −θ )
มุม θ
tanθ , cotθ เป็ น +
มุม (180 + θ ) x
Q3 cosθ ,secθ เป็ น +
มุม (360 −θ )
Q4
หาค่า cos x = 1 อยใู่ นจตุภาค ดงั นี ฎมือซา้ ย cosθ = ขวา
2 2
จาก cos x = 1
2
cos = 60 = 1 cos 60 = 1 = 1
2 22
จะได้ x = 60
หาค่า cos x = 1 อยใู่ นจตุภาค ดงั นี
2
จาก cos x = 1 มุมในจตุภาคที 4 คือ (360 −θ)
2
cos 300 = 1 (360 − 60 = 300 )
2
จะได้ x = 300
ดงั นนั x = 60 และ 300 ตอบ