การวัดตำแหน่งข้อมูล

บทท$ี 4

การวดั ตาํ แหน่งของข้อมูล (Percentile)

1) การวดั ตาํ แหน่งข้อมูล

เพื$อท$ีจะบอกไดว้ า่ ขอ้ มูลที$อยใู่ นตาํ แหน่งใดของกลุ่มเป็นขอ้ มูลวดั หรือใชเ้ ป็น ตวั แทนของขอ้ มูล
นDนั ๆ ได้ ซ$ึงการวดั ตาํ แหน่งของขอ้ มูล มี 3 วธิ ี คือ

เปอร์เซ็นไทล์ (percentile) เป็นการแบ่งขอ้ มูลออกเป็น 100 ส่วน
เดไทล์ (Detile) เป็นการแบ่งขอ้ มูลออกเป็น 10 ส่วน
ควอร์ไทล์ (Quatiles) เป็นการแบ่งขอ้ มูลออกเป็น 4 ส่วน เท่า ๆ กนั
สาํ หรับในระดบั ปวช. เราจะเรียนรู้เฉพาะเปอร์เซ็นไทล์

2) เปอร์เซ็นไทล์ (Percentile)

เป็นการนาํ ขอ้ มูลชุดหน$ึงมาเรียงจากนอ้ ยไปมาก แลว้ แบ่งขอ้ มูลออก เป็น 100 ส่วนเท่า ๆ กนั
จะมีทDงั หมด 99 จุด เรียกวา่
เปอร์เซ็นไทล์ 1 แทนดว้ ย
เปอร์เซ็นไทล์ 2 แทนดว้ ย P1
…………………. ………..
P2

…
เปอร์เซ็นไทล์ 99 แทนดว้ ย P99

3) การหาค่าเปอร์เซ็นไทล์

จะมีการหา 2 วธิ ี ขDึนอยกู่ บั ขอ้ มูลวา่ มีการแจกแจงความถ$ี หรือ ไม่มีการแจกแจงความถ$ี ดงั นDี

@ วธิ ีที$ 1 กรณขี ้อมูลไม่มกี ารแจกแจงความถี$ มีขDนั ตอนการคาํ นวณ ดงั นDี

1) เรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปหามาก
2) หาตาํ แหน่งของเปอร์เซ็นไทลจ์ ากสูตร คือ

ตาํ แหน่ง Px = X (N +1)
100

โดยที$ X แทน ตาํ แหน่งที$ของเปอร์เซ็นไทล์
N แทน จาํ นวนขอ้ มูลทDงั หมด

คณิตศาสตร์และสถิตเิ พื1องานอาชีพ ครูคณุ เวชวิริยพาณิชย์

3) ค่าของเปอร์เซ็นไทล์ ใหด้ ูจากตาํ แหน่งที$คาํ นวณไดจ้ าก ขอ้ 2 แต่ถา้ ไดต้ าํ แหน่งท$ีอยู่
ระหวา่ ง 2 ตาํ แหน่งของขอ้ มูล ใหใ้ ชว้ ธิ ีเทียบบญั ญติไตรยางค์ เพื$อหาส่วนที$เกินจาก
ตาํ แหน่งแรก

ตวั อยา่ งท$ี 8.1 จากการทดสอบวชิ าคณิตศาสตร์ประยกุ ต์ 2 ของนกั เรียนหอ้ งหน$ึงปรากฏผลดงั นDี
80, 56, 48, 70, 58, 68, 90, 76, 62 คะแนน จากขอ้ มูลดงั กล่าวใหน้ กั เรียนหา
P80 , P75 และผทู้ ี$ไดค้ ะแนน 70 คะแนนวา่ อยทู่ ี$เปอร์เซ็นไทลเ์ ท่าไร

วธิ ีทาํ ขDนั ที$ 1 เราตอ้ งเรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปหามาก

48 56 58 62 68 70 76 80 90 (N = 9)

ขDนั ท$ี 2 หาตาํ แหน่งของเปอร์เซ็นไทลท์ $ี 80 (P80 ) (X = 80) จากสูตร

ตาํ แหน่ง Px = X (N +1)
100

แทนค่า P80 = 80(9 +1)
100

= 80 ´10
100

= 8 (ตาํ แหน่งของ P80 )

ขDนั ท$ี 3 ค่าของเปอร์เซ็นไทลท์ ี$ 80(P80 )อยตู่ าํ แหน่งท$ี 8 ของขอ้ มูล

ขอ้ มูลท$ีเรียงแลว้ 48 56 58 62 68 70 76 80 90

ตาํ แหน่งขอ้ มูล 123456789

\ค่าของ P80 = 80 คะแนน ตอบ

? หาค่าของ P75 ไดด้ งั นDี

ขDนั ที$ 1 เรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปหามาก ซ$ึงไดท้ าํ แลว้

48 56 58 62 68 70 76 80 90 (N = 9)

ขDนั ที$ 2 หาตาํ แหน่งของเปอร์เซ็นไทลท์ $ี 75 (P75 ) (X = 75) จากสูตร

ตาํ แหน่ง Px = X (N +1)
100

คณิตศาสตร์และสถิตเิ พื1องานอาชีพ ครูคณุ เวชวิริยพาณิชย์

แทนค่า N = 9 และ X = 75 ในสูตร ดงั นDี

ตาํ แหน่ง P75 = 75(9 + 1)
100

= 75 ´10
100

= 7.5 (ตาํ แหน่งของ P75)

ฉะนDนั ตาํ แหน่ง P75จะอยรู่ ะหวา่ งตาํ แหน่งที$ 7 และ 8 เราจะตอ้ งใช้

วธิ ีเทียบบญั ญตั ิไตรยางค์ หาส่วนต่างไดด้ งั นDี

ขDนั ที$ 3 ขอ้ มูล 48 56 58 62 68 70 76 80 90

ตาํ แหน่ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ตาํ แหน่ง่ต่างกนั 8 - 7 = 1 คะแนนต่างกนั 80 - 76 = 4 คะแนน

“ “ 8 - 7.5 = 0.5 “ “ = 4´1 คะแนน
0.5

\คะแนนส่วนต่าง = 8 คะแนน

ดงั นDนั P75 คือ 76 + 8 = 84 คะแนน
ตอบ

? หาผู้ทไ$ี ด้คะแนน 70 คะแนนวา่ อยตู่ าํ แหน่งท$ีเปอร์เซ็นไทลเ์ ท่าไร
ขDนั ที$ 1 เรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปหามาก ซ$ึงไดท้ าํ แลว้ ดงั นDี
ขอ้ มูล 48 56 58 62 68 70 76 80 90 (N = 9)
ตาํ แหน่ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9
เพราะฉะนDนั คะแนน 70 คะแนน อยทู่ $ีตาํ แหน่งเปอร์เซ็นไทลท์ ี$ 6

คณิตศาสตร์และสถิตเิ พื1องานอาชีพ ครูคณุ เวชวิริยพาณิชย์

ขDนั ที$ 2 หาตาํ แหน่งเปอร์เซ็ฯไทล์ จากสูตร ดงั นDี

ตาํ แหน่ง Px = X (N +1)
100

แทนค่า 6= X (9 + 1)
100

6 = X ´10
100

6 ´100 = X ( ใชว้ ธิ ียา้ ยขา้ ง )
10

60 = X

คะแนน 70 คะแนน คือ P60 ตอบ

ตวั อยา่ งที$ 8.2 นกั เรียน 8 คน มีส่วนสูงดงั นDี 156, 169, 152, 150, 157, 151, 149, 154 เซนติเมตร
จงหาส่วนสูงท$ีแสดงวา่ มีนกั เรียนจาํ นวน 35% ของนกั เรียนทDงั หมดมีส่วนสูงต$าํ กวา่ ส่วนสูงนDนั

วธิ ีทาํ ขDนั ท$ี 1 เรียงขอ้ มูลจาก นอ้ ยไปหามาก (N = 8)
149 150 151 152 154 156 157 169

ขDนั ท$ี 2 หาตาํ แหน่งของเปอร์เซ็นไทลท์ $ี 35 (P35 ) (X=35) จากสูตร

ตาํ แหน่ง Px = X (N +1)
100

แทนค่า N = 8 และ X = 35 จะได้

ตาํ แหน่ง P35 = 35(8 + 1)
100

= 35 ´ 9
100

= 3.15 (อยทู่ $ีตาํ แหน่ง 3 และ 4)

ขDนั ที$ 3 จากขอ้ มูล 149 150 151 152 154 156 157 169

ตาํ แหน่ง 1 2 3 4 5 6 7 8

คณิตศาสตร์และสถิตเิ พื1องานอาชีพ ครูคณุ เวชวิริยพาณิชย์

! เทียบบญั ญตั ิไตรยางศ์ หาค่าผลต่าง ไดด้ งั นDี

ตาํ แหน่งต่างกนั 4-3=1 ส่วนสูงต่างกนั 152-151= 1 ซม.

“----------------“ 4-3.15=0.85 “---------------------“= 1´ 0.85 ซม.
1

ส่วนสูงต่างกนั = 0.85 ซม.

ดงั นDนั P35 คือ 151+ 0.85 = 151.85ซม. ตอบ

@ วธิ ีท$ี 2 กรณขี ้อมูลมกี ารแจกแจงความถ$ี ขDนั ตอนการคาํ นวณ ดงั นDี

1) หาความถ$ีสะสม
2) หาตาํ แหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ จากสูตร

ตาํ แหน่งที$ของ Px = NX
100

3) หาค่าเปอร์เซ็นไทลจ์ ากสูตร หรือใชว้ ธิ ีเทียบบญั ญตั ิไตรยางศ์

é NX ù
åสูตร ê - fL ú
Px L ê 100 f px ú I
= +

ê ú
ëû

โดยท$ี L แทน ขอบเขตล่างของชDนั ท$ีเปอร์เซ็นไทลอ์ ยู่

å fL แทน ความถ$ีสะสมของชDนั ท$ีต$าํ กวา่ เปอร์เซ็นไทลอ์ ยู่
ความถี$ที$ชDนั เปอร์เซ็นไทลอ์ ยู่
f px แทน ความกวา้ งของอนั ตรภาคชDนั
I แทน

N แทน จาํ นวนขอ้ มูลทDงั หมด

คณิตศาสตร์และสถิตเิ พ1ืองานอาชีพ ครูคณุ เวชวิริยพาณิชย์

ตวั อยา่ งที$ 8.3 ผลการสอบวชิ าคณิตศาสตร์ประยกุ ต์ 2 ของนกั เรียนกลุ่มหน$ึงปรากฏ ดงั นDี

ช่วงคะแนน คาํ นวณนักเรียน(ความถ)$ี

30-39 2

40-49 5

50-59 8

60-69 24

70-79 10

80-89 10

90-99 1

จงหาค่าของ
1) เปอร์เซ็นไทลท์ ี$ 35 (P35 )
2) เปอร์เซ็นไทลท์ $ี 90 (P90 )
3) คะแนน 55 ตรงกบั เปอร์เซ็นไทลท์ ี$เท่าไร

วธิ ีทาํ จากตารางแจกแจงความถี$

อนั ตราภาคชNัน ช่วงคะแนน ความถี$ ความถสี$ ะสม

1 30-39 2 2
5 7
I

2 40-49

3 50-59 8 15 å fL
+ ÷2 = L
39
4 60-69 fpx 24 49 ชัน# ท'ี P35 อยู่

5 70-79 10

6 80-89 10 59

7 90-99 1 60

N = 60

คณิตศาสตร์และสถิตเิ พื1องานอาชีพ ครูคณุ เวชวิริยพาณิชย์

ขDนั ท$ี 1 หาความถ$ีสะสม = ความถ$ีของชDนั นDนั + ความถี$ของชDนั ท$ีอยตู่ $าํ กวา่ ทDงั หมด

ขDนั ท$ี 2 หาตาํ แหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ (ดูท$ีช่องความถ$ีสะสม) จากสูตร ดงั นDี

ตาํ แหน่งท$ีของ P35 = 60 ´ 35
100

= 21 (นาํ ค่านDีไปดูท$ีความถ$ีสะสม)

เราจะทราบวา่ เปอร์เซ็นไทลท์ ี$ 35 อยใู่ นอนั ตรภาคชDนั ท$ี 4

ขDนั ที$ 3 หาค่าเปอร์เซ็นไทลท์ $ี 35 ไดด้ งั นDี

åสูตร é NX - f L ù
ê 100 f PX ú
P35 = L + ê ú I
ê
ú
ëû

ก่อนอ$ืนนกั เรียนจะตอ้ งหาค่าต่าง ๆ ก่อน จากที$เราทราบวา่ อยชู่ Dนั ท$ี 4 เฉพาะนDนั

เราจะทราบค่าต่าง ๆ ดงั นDี L = 59.5

å fL = 15

fPX = 24

I = 10

NX = 21
100

แทนค่าต่าง ๆ ลงในสูตร åP L é NX - fL ù I
X ê 100 f PX ú
= + ê ú
ê
ú
ëê ûú

P35 = 59.5 + é 21 -15 ûùú10
ëê 24

= 59.5 + é 6 úùû10
ëê 24

= 59.5 + 5
2

= 59.5 + 2.5 ตอบ

= 62 คะแนน

คณิตศาสตร์และสถิตเิ พื1องานอาชีพ ครูคณุ เวชวิริยพาณิชย์

@ ใช้วธิ ีเทยี บบญั ญตั ไิ ตรยางค์

ความถ$ีสะสมต่างกนั 39 -15 = 24 คะแนนต่างกนั 69.5 - 59.5 = 10 คะแนน

“---------------------“ 21 -15 = 6 “---------------“ --------------“ = 10 ´ 6 คะแนน
24

คะแนนต่างกนั = 2.5 คะแนน

ดงั นDนั P35 = 59.5 + 2.5 = 62 คะแนน ตอบ

! การหาเปอร์เซ็นไทล์ที$ 90 (P90 ) จากตารางแจกแจงความถ$ี

อนั ตราภาคชNัน ช่วงคะแนน ความถี$ ความถสี$ ะสม

1 30-39 2 2
2 5 7
3 I 8 15
4 24 39
5 40-49 10
6 50-59 fpx 10 49 å fL
7 60-69 1
70-79 59 ชัน# ท'ี P90 อยู่
60
+ ÷2 = L

80-89
90-99

N = 60

ขDนั ท$ี 1 หาความถี$สะสม = ความถ$ีของชDนั นDนั + ความถี$ของชDนั ที$ต$าํ กวา่ ทงั หมด ดงั ตาราง
ขDนั ที$ 2 หาตาํ แหน่งของเปอร์เซ็นไทลท์ $ี 90 จากสูตร ดงั นDี

ตาํ แหน่งท$ีของ PX = NX
แทนค่า 100

P90 = 60 ´ 90
100
= 54 (นาํ ไปดูท$ีช่องความถ$ีสะสม)

\ เปอร์เซ็นไทลท์ $ี 90 จะอยใู่ นอนั ตรภาคชDนั ที$ 6 (ช่องความถี$สะสม)

คณิตศาสตร์และสถิตเิ พื1องานอาชีพ ครูคณุ เวชวิริยพาณิชย์

ขDนั ท$ี 3 หาค่าเปอร์เซ็นไทลท์ ี$ 90 ไดจ้ ากสูตร

åสูตร PX L é NX - fL ù I
ê 100 f Px ú
= + ê ú
ê
ú
êë ûú

จากตารางเราจะทราบค่าของ L = 79.5

å fL = 49

fPx = 10

I = 10

NX = 54
100

é NX ù
åPX ê - fL ú
แทนค่าในสูตร L ê 100 f Px ú I
= +

ê ú
êë úû

P90 = 79.5 + é54 - 49 ûùú10
ëê 10

= 79.5 + é5 ûùú10
êë10

= 79.5 + 5 คะแนน ตอบ
= 84.5

! ใช้วธิ ีเทยี บบัญญตั ไิ ตรยางค์

ความถี$สะสมต่างกนั 59 - 49 = 10 คะแนนต่างกนั 89.5 - 79.5 = 10 คะแนน

“----------------------“ 54 - 49 = 5 “----------------“ = 10 ´ 5
10

คะแนนต่างกนั = 5 คะแนน

คณิตศาสตร์และสถิตเิ พื1องานอาชีพ ดงั นDนั P90 = 79.5 + 5 = 84.5 คะแนน

ตอบ

ครูคณุ เวชวิริยพาณิชย์

! หาทคี$ ะแนน 55 ตรงกบั เปอร์เซ็นไทล์เท่าไร (หน่วยของ x นน$ั เอง) จากตารางแจกแจงความถี$

อนั ตราภาคชNัน ช่วงคะแนน ความถี$ ความถส$ี ะสม

1 30-39 2 2
2 5
3 I fpx 8 7 å fL
4 24
5 40-49 10 15 ชัน# ท'คี ะแนน 55 อยู่
6 10 39
7 + ÷2 = L 1 49
59
50-59 N = 60 60
60-69
70-79
80-89
90-99

วธิ ีทาํ จากโจทยค์ ะแนน 55 คะแนน จะอยบู่ นอนั ตรภาคชDนั ที$ 3

ฉะนDนั เราจะแทนค่า L = 49.5 ( 50 + 49 = 99 = 49.5)
2 2

å fL = 7

f px = 8

N = 60

Px = 55

I = 10

é NX ù
åPx ê - f ú
จากสูตร ê 100 f px L ú
L I
= +

ê ú
ëû

แทนค่า é 60x - 7 ù
ê 100 1 úú10
คณิตศาสตร์และสถิตเิ พ1ืองานอาชีพ 55 = 49.5 + ê ú
ê 8

êë úû

ครูคณุ เวชวิริยพาณิชย์