บทที่ 3 การวัดแนวโน้มสู่ส่วนกลาง

บทที$ 3

การวดั ค่ากลางของข้อมูล

1) การวดั ค่ากลางของข้อมูล เป็นการหาค่ากลางท/ีเป็นตวั แทนของขอ้ มูลท9งั หมด

ประกอบดว้ ย 3 วธิ ี คือ 1. ค่าเฉลี/ยเลขคณิต (X)

2. ค่ามธั ยฐาน (Me)

3. ค่าฐานนิยม (Mo)

2) การหาค่าผลบวก ก่อนที/เราจะหาค่ากลางของขอ้ มูลเรามาเรียนรู้เกี/ยวกบั การหาผลบวกโดย

สญั ลกั ษณ์ท/ีเราจะตอ้ งเรียนรู้ คือ "å" อ่านวา่ “ ซิกมา (Sigma) ” คือใหแ้ ทนผลบวก

เช่น 3 ( i มีค่าเริ/มตน้ คือ 1 และเพิ/มทีละ 1 จนถึงตวั สุดทา้ ยคือ 3 )

å xi = x1 + x2 + x3
i =1

5 ( i เร/ิมท/ี 3 , เพ/ิมทีละ 1 จนถึงค่าสุดทา้ ยคือ 5)

å yi = y3 + y 4 + y5
i=3

n ( เป็นการบวกค่า z ถึง zn )
å zi 1
= z + z2 + z3 + ... + zn
1
i =1

@ คุณสมบตั ิการหาค่าผลบวก ถา้ x, y เป็นตวั แปร และ c,d เป็นค่าคงท/ี

1) n = nc

åc
i =1

nn

cxi = c xi
å å2)
i=1 i=1

nn

(cxi ± d ) = c xi ± nd
å å3)
i=1 i=1

n nn

(xi ± yi ) = xi ± yi
å å å4)
i=1 i=1 i=1

ตวั อยา่ งท/ี 3.1 เราจะใชค้ ุณสมบตั ิ ขอ้ 1. n แกป้ ัญหาโจทย์

å c = nc
i =1

1. จงหาค่า 3

å5 = ?
i =1

วธิ ีทาํ 3 หรือ

å5 = 3´5 = 15
i =1

3 ตอบ

å5 = 5 + 5 + 5 = 15

i =1

2. จงหาค่า 6

å2 =?
i=3

วธิ ีทาํ 1. ขอ้ สงั เกต โจทยน์ 9ีค่าเร/ิมที/ 3 ไม่ใช่ 1 นะครับ

ดงั น9นั นกั เรียนจะตอ้ งนบั วา่ ทาํ กี/คร9ังจากโจทยจ์ ะทาํ ท9งั หมด 4 คร9ัง

ดงั น9นั 6 (โดยค่า คือ i = 3 i = 4 i = 5 i = 6)

å2 = 4´2 =8
i=3

หรือ 6 ตอบ

å2 = 2+2+2+2 =8
i=3

ตวั อยา่ งท/ี 3.2 เราจะใชค้ ุณสมบตั ิขอ้ 2. n n แกป้ ัญหาโจทย์

å cxi = cå xi
i=1 i=1

1) จงหาค่า 3 =? โดยกาํ หนดให้ x1 = 1, x2 = 3, x3 = -2

å xi
i =1

วธิ ีทาํ 3

å xi = x1 + x2 + x 3

i =1

= 1 + 3 + (-2)

=1+ 3- 2

= 4-2 ตอบ
=2

2) จงหาค่า 4 กาํ หนดให้ x1 = 2, x2 = -1, x3 = 0, x4 = 5

å 3xi = ?
i =1

วธิ ีทาํ 44

å3xi = 3å xi
i=1 i=1

= 3(x1 + x2 + x3 + x 4)
= 3(2 + (-1) + 0 + 5)

= 3(2 -1 + 0 + 5)

= 3(6)

= 18 ตอบ

จงหาค่า 4

å 3xi = ?

i=2

วธิ ีทาํ 44

å3xi = 3å xi
i=2 i=2

= 3(x2 + x3 + x 4)

= 3(-1+ 0 + 5)

= 3(4)

= 12 ตอบ

ตวั อยา่ งท/ี 3.3 เราจะใชค้ ุณสมบตั ิขอ้ 3. nn

å (cxi ± d) = c å xi ± nd
i=1 i=1

ขอ้ สงั เกต คุณสมบตั ิ ขอ้ 3. เกิดจากคุณสมบตั ิ ขอ้ 1. กบั ขอ้ 2. รวมกนั

จาก n nn

å (cxi m d) = å cxi ± n å d
i=1 i=1 i=1

n

= c å xi ± nd
i=1
(คุณสมบตั ิ ขอ้ 2. และ ขอ้ 1.)

1) กาํ หนดให้ x1 = 1, x2 = 3, x3 = -1, x4 = 5

จงหาค่า 3

å (2xi + 4) = ?

i =1

วธิ ทาํ 3 33

å (2xi + 4) = å 2xi + å 4

i=1 i=1 i=1

33

= 2å 2xi + å 4
i=1 i=1

= 2(x1 + x2 + x3 ) + (3´ 4)

= 2(1+ 3 + (-1)) +12)

= 2(3) +12

= 6 + 12 ตอบ
= 18

ตวั อยา่ งที/ 3.4 เราจะใชค้ ุณสมบตั ิ ขอ้ 4. n nn

å å å(xi ± yi ) = xi ± y1
i=1 i=1 i=1

1) กาํ หนดให้ x1 = 2, x2 = 4, x3 = 5, x4 = -2, y1 = 1, y2 = 0, y3 = -1, y3 = 4

จงหาค่าของ 3

å (xi + yi ) = ?
i =1

วธิ ีทาํ 3 33

å å å(xi + yi ) = xi + yi

i=1 i=1 i=1

= (x1 + x2 + x3 ) + ( y1 + y2 + y3 )

= (2 + 4 + 5) + (1+ 0 + (-1))

= 11 + 0 ตอบ
= 11

2) จงหาค่า 3

å (2xi - yi ) = ?

i =1

วธิ ีทาํ 3 33

å å å(2xi - yi ) = 2xi - yi
i=1 i=1 i=1

33

= 2å xi - å yi
i=1 i=1

= 2(x1 + x2 + x3 ) - ( y1 + y2 + y3 )

= 2(2 + 4 + 5) - (1+ 0 + (-1))

= 2(11) - 0

= 22 ตอบ

ตวั อยา่ งที/ 3.5 ต่อไปเป็นโจทยท์ ี/นกั เรียนจะตอ้ งใชค้ ุณสมบตั ิหลาย ๆ ขอ้ มาแกป้ ัญหา

1) กาํ หนดให้ x1 = 2, x2 = 5, x3 = -2x4 = 3

y1 = 1, y2 = -3, y3 = 0, y4 = 2

จงหาค่าของ 4

å (3xi + 2 yi - 5) = ?
i =1

วธิ ีทาํ 4 44 4

å (3xi + 2 yi - 5) = å3xi + å 2yi - å5
i =1 i=1 i=1 i =1

4 44

= 3å xi + 2å yi - å5
i=1 i=1 i=1

= 3(x1 + x2 + x3 + x4 ) + 2( y1 + y2 + y3 + y4 ) - (4´5)
= 3(2 + 5 + (-2) + 3) + 2(1+ (-3) + 0 + 2)) - 20
= 3(8) + 2(0) - 20

= 24 + 0 - 20 ตอบ
=4

2) จงหาค่าของ 4

å ( y + 3)2 = ?
i =1

åวธิ ีทาํ 4

( y + 3)2 = ( y1 - 3)2 + ( y2 - 3)2 + ( y3 - 3)2 + ( y4 - 3)2

i =1

= (1- 3)2 + ((-3) - 3)2 + (0 - 3)2 + (2 - 3)2

= (-2)2 + (-6)2 + (-3)2 + (-1)2

= 4 + 36 + 9 + 1 ตอบ
= 50

ตวั อยา่ งที/ 3.6 ใหน้ กั เรียนฝึกทาํ คุณสมบตั ิของผลบวกโดยใหท้ าํ ยอ้ นกลบั หรือดูคุณสมบตั ิผลบวกจาก

หลงั ไปหนา้ (ขวา ® ซา้ ย)

1) จงเขียนผลบวกต่อไปน9ีใหอ้ ยใู่ นรูปของสญั ลกั ษณ์ å

å1.1 x2 + x3 + x4 + x5 = 5 xi ตอบ
i=2

å1.2 4
x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + x4 y4 = xi yi
i =1

å1.3 (2x1 + 3) + (2x2 + 3) + (2x3 + 3) = 3 (2xi + 3)
i =1

v สาํ หรับในส่วนน9ีนกั เรียนจะไดศ้ ึกษาการหาค่ากลางของขอ้ มูลดว้ ย ค่าเฉล/ียเลขคณิต (Aritmetic mean)
ค่ามธั ยฐาน (Median) และค่าฐานนิยม (Mode) ซ/ึงท9งั 3 ชนิดน9ี จะมีการหาค่าใน 2 กรณี คือ

กรณี 1 ขอ้ มูลท/ีไม่มีการแจกแจงความถ/ี (Ungrouped data)
กรณี 2 ขอ้ มูลที/มีการแจกแจงความถ/ี (Grouped data)

เรามาเรียนรู้กนั เลยวา่ แต่ละวธิ ีมีการหาค่ากลางของขอ้ มูลอยา่ งไรนะครับ

@ ค่าเฉลย$ี เลขคณติ (Mathmetic mean) สญั ลกั ษณ์ คือ X (เอก็ ซ์บาร์)

กรณี 1. ข้อมูลไม่มกี ารแจกแจงความถ$ี หาไดจ้ ากสูตร ดงั น9ี

n
åสูตร
xi
X = i=1
N

โดยที/ xi แทน ค่าของขอ้ มูลแต่ละตวั เมื/อ i = 1,2,..., n
แทน จาํ นวนขอ้ มูลท9งั หมด
N

ตวั อยา่ งท/ี 3.7 จงหาค่าเฉล/ียเลขคณิตของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ประยกุ ต์ 2 ของนกั เรียน
จาํ นวน 9 คน ปรากฏผล ดงั น9ี 15, 19, 12, 16, 17, 19, 14, 13, 18

วธิ ีทาํ จากโจทยเ์ ราจะทราบค่าต่าง ๆ คือ N = 9 เพราะมีนกั เรียน 9 คน ทาํ ขอ้ สอบ
และทราบวา่ x1 = 15, x2 = 19,..., x9 = 18 นาํ ค่าท/ีไดไ้ ปแทนในสูตร

9
åสูตร xi
X= = x1+ x2 + x3 + ... + x9
i=1

NN

แทนค่า X = 15 +19 +12 +16 +17 +19 +14 +13 +18
9

X = 15.89 คะแนน ตอบ

ตวั อยา่ งท/ี 3.8 รายไดข้ องพนกั งานขาย 6 คน เป็นดงั น9ี 4500, 6200, 5000, 7800, 5200,
4000 บาท จงหาค่าเฉลี/ยเลขคณิต

วธิ ีทาํ จากโจทยน์ กั เรียนจะทราบ 1. ค่า N = 6 เพราะมีพนกั งานขาย 6 คน
2. ค่า x1 = 4500, x2 = 6200,..., x6 = 4000

6
åX = xi
จากสูตร = x1+ x2 + x3 + ...x6
i=1

NN

แทนค่า X = 4500 + 6200 + 5000 + 7800 + 5200 + 4000
6

= 32700
6

= 5450 บาท ตอบ

@ การหาค่าเฉลยี$ เลขคณติ แบบถ่วงนําD หนัก

ใชก้ รณีที/ขอ้ มูลแต่ละตวั มีความสาํ คญั หรือมีน9าํ หนกั ไม่เท่ากนั

k
ååสูตร wixi
X= = w1x1+ w2x2 + ... + wkxk
i=1 w1+ w2 + ... + wk
k

wi

i=1

โดยที/ xi แทน ค่าของขอ้ มูลตวั ที/ i (i = 1, 2,..., k)

wi แทน ความสาํ คญั หรือน9าํ หนกั ของขอ้ มูลตวั ที/ i
k แทน จาํ นวนขอ้ มูลท9งั หมด

ตวั อยา่ งที/ 3.9 ใหน้ กั เรียนคาํ นวณเกรดเฉล/ียของนกั เรียนคนหน/ึง ซ/ึงมีผลการเรียน ดงั น9ี

ราย วชิ า เกรดท/ีได้ (xi ) จาํ นวนหน่วยกิต(น9าํ หนกั (wi ) xi wi
คณิตศาสตร์ประยกุ ต์ 2 2 2
3 2 4
วทิ ยาศาสตร์ 4 3 6
ภาษาองั กฤษ 2 3 12
การบญั ชี 1 3 4 6
คอมพิวเตอร์ 1 12

k k

å wi = 14 å = wi xi = 40

i =1 i =1

วธิ ีทาํ จากรายวชิ าต่าง ๆ จะมีจาํ นวนหน่วยกิตไม่เท่ากนั (น9าํ หนกั ) หรือมีความสาํ คญั ของแต่รายวชิ า
ไม่เท่ากนั ดงั น9นั เราตอ้ งใชว้ ธิ ีหาค่าเฉลี/ยเลขคณิตแบบถ่วงน9าํ หนกั ซ/ึงจากโจทย์ นกั เรียนจะทราบวา่

1. ค่า xi คือ เกรดท/ีนกั เรียนสอบได้ (x1 = 2, x2 = 3...., x5 = 3)
2. ค่า wi คือ ค่าถ่วงน9าํ หนกั ขอ้ มูลคือจาํ นวนหน่วยกิตของแต่ละวชิ า

3. ค่า k (w1 = 2, w2 = 2, w3 = 3, w4 = 3, w5 = 4)

คือ จาํ นวนรายวชิ าท9งั หมด (k = 5)

k
å wixi
นาํ ค่าท/ีไดไ้ ปแทนค่าในสูตร X= i=1
k
å wi
i=1

แทนค่า X = (2 ´ 2) + (3´ 2) + (4 ´ 3) + (2 ´ 3) + (3´ 4)
2+2+3+3+4

= 40
14

= 2.86

\ นกั เรียนคนน9ีมีเกรดเฉล/ีย คือ 2.86 ตอบ

@ การหาค่าเฉลยี$ เลขคณติ รวม ขอ้ มูลจะมีลกั ษณะ ดงั น9ี

1. ขอ้ มูลเป็นเรื/องเดียวกนั แต่มีหลายชุด
2. ขอ้ มูลแต่ละชุดมีจาํ นวนไม่เท่ากนั
3. ทราบค่าเฉล/ียเลขคณิตของขอ้ มูลแต่ละชุดดว้ ย

h การหาค่าเฉลี/ยเลขคณิตรวม จะใชส้ ูตร ดงั น9ี

X รวม = n1 X1 + n2 X2 + ... + nk Xk
n1+ n2 + ... + nk

โดยท/ี Xi แทน ค่าเฉลี/ยเลขคณิตของขอ้ มูลตวั ท/ี (i = 1,2,....,k)
ni แทน จาํ นวนขอ้ มูลแต่ละชุด

ตวั อยา่ งที/ 3.10 ในการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ประยกุ ต์ 2 ของนกั เรียน ปวช. จาํ นวน 4 หอ้ ง ได้
ค่าเฉล/ียเลขคณิตของคะแนนสอบ และจาํ นวนนกั เรียนในแต่ละหอ้ ง ดงั น9ี

หอ้ ง ปวช. 1/1 ปวช. 1/2 ปวช. 1/3 ปวช. 1/4
ค่าเฉล/ียเลขคณิต (Xi ) 65 75 60 85
จาํ นวนนกั เรียน (ni ) 34 28 30 32

วธิ ีทาํ สูตร X รวม = n1 x1 + n2 x2 + ... + nk xk
n1 + n2 + ... + nk

แทนค่า X รวม = (34 ´ 65) + (28 ´ 75) + (30 ´ 60) + (32 ´ 85)
34 + 28 + 30 + 35

= 2210 + 2100 + 1800 + 2720
124

= 8830
124

= 71.21 คะแนน ตอบ

กรณที ี$ 2 ข้อมูลมกี ารแจกแจงความถ$ี หาไดจ้ ากสูตร ดงั น9ี

k
åสูตร fixi

X= i=1
k
å fi
i=1

โดยท/ี fi แทน ความถ/ีของขอ้ มูลตวั ที/ (i = 1, 2,...., k)
แทน ค่าก/ึงกลางขอ้ มูลตวั ท/ี i
xi

ตวั อยา่ งที/ 3.11 จงหาค่าเฉล/ียเลขคณิต จากการสอบวชิ าคณิตศาสตร์ประยกุ ต์ 2 ของนกั เรียนจาํ นวน 30 คน
ปรากฏผลดงั ตารางต่อไปน9ี

ช่วงคะแนน จาํ นวนนกั เรียน (fi)
30 – 39 2
40 – 49 3
50 – 59 12
60 – 69 7
70 – 79 3
80 – 89 2
90 – 99 1
ผลรวม 30

วธิ ีทาํ จากโจทยท์ /ีกาํ หนดให้ นกั เรียนจะทราบค่าความถ/ีของขอ้ มูลแต่ละช9นั ( fi ) ซ/ึงยงั ขาดค่าก/ึงกลาง
ของขอ้ มูลแต่ละตวั (xi ) ซ/ึงนกั เรียนจะตอ้ งหาจากบทท/ีแลว้ (บทที/7) เราสามารถหาค่าก/ึงกลาง
ขอ้ มูล (xi ) ไดจ้ ากสูตร ดงั น9ี

ค่าก/ึงกลาง (xi ) = ขอบเขตล่าง + ขอบเขตบน
2

เช่นอนั ตรภาคช9นั ที/ 2 x2 = 39.5 + 49.5 = 44.5
สามารถคาํ นวณหาค่า xi ไดจ้ ากตาราง ดงั น9ี 2

ช่วงคะแนน จาํ นวนนกั เรียน ( fi ) จุดก/ึงกลาง ( xi ) fi xi
2
30 – 39 3 34.5 69.0
40 – 49 12 44.5 133.5
50 – 59 7 54.5 654.0
60 – 69 3 64.5 451.5
70 – 79 2 74.5 223.5
80 – 89 1 84.5 169.0
90 – 99 94.5 94.5
9
9
å fi = 30
å fi xi = 1795
i =1
i =1

9
å fi xi
จากสูตร X= i =1
แทนค่า 9
å fi
i =1

X = 1795
30

= 59.83

\ ค่าเฉล/ียเลขคณิตของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ประยกุ ต์ 2 คือ 59.83 คะแนน ตอบ

ตวั อยา่ งที/ 3.12 จากขอ้ มูลในตารางจงหาค่าเฉลี/ยเลขคณิต

ช่วงคะแนน ความถี/ ( fi )
13 – 17 3
18 – 22 4
23 – 27 2
28 – 32 1

4

å fi = 10

i =1

วธิ ีทาํ นกั เรียนจะตอ้ งหาค่าก/ึงกลางของขอ้ มูลในแต่ละช9นั ดงั น9ี

ช่วงคะแนน ความถ/ี ( fi ) ค่าก/ึงกลาง ( xi ) fi xi
13 – 17 3 15
18 – 22 4 20 45
23 – 27 2 25 80
28 – 32 1 30 50
30
4
4
å fi = 10
å fi xi = 205
i =1
i =1
4
å fi xi ตอบ
จากสูตร X= i =1
แทนค่า 4
å fi
i =1

X = 205
10

= 20.5 คะแนน

ควรจาํ สมบัตขิ องค่าเฉลยี$ เลขคณติ

1) ผลคูณของค่าเฉล/ียเลขคณิต กบั จาํ นวนขอ้ มูลท9งั หมดมีค่าเท่ากบั ผลรวมของขอ้ มูลทุก ๆ ค่า

n
å xi
นนั/ คือ X= i=1
จะได้
N

n (ใชว้ ธิ ียา้ ยขา้ ง)

X.N = å xi
i =1

2) ผลรวมของกาํ ลงั สองของผลต่างค่าของขอ้ มูลแต่ละตวั กบั ค่าเฉล/ียเลขคณิตของขอ้ มูลชุดน9นั จะมีค่า
เท่ากบั ศูนยเ์ สมอ

นนั/ คือ n

å xi (xi - X)2 = 0

i =1

3) ผลรวมของกาํ ลงั สองของผลต่างระหวา่ งค่าของขอ้ มูลแต่ละตวั กบั ค่าเฉลี/ยเลขคณิตของขอ้ มูลชุดน9ี
จะมีค่านอ้ ยท/ีสุด

นน/ั คือ n xi ( xi - a)2 มีค่านอ้ ยท/ีสุดเมื/อ a=X

å
i =1

4) ค่าเฉล/ียเลขคณิตของขอ้ มูลชุดใด จะมีค่าอยรู่ ะหวา่ งค่าต/าํ สุดและค่าสูงสุดของขอ้ มูลชุดน9นั

หมายเหตุ เราสามารถนาํ คุณสมบตั ิของค่าเฉล/ียเลขคณิตมาแกป้ ัญหาโจทยไ์ ด้ ดงั น9ี

ตวั อยา่ งที/ 3.13 ค่าเฉล/ียเลขคณิตของขอ้ มูล 100 จาํ นวน คือ 10 แต่ต่อมาเราทราบวา่ อ่านขอ้ มูลผดิ
ไป 2 ค่า คือ 7 อ่านเป็น 1 และ 13 อ่านเป็น 18 จงหาค่าเฉล/ียเลขคณิตท/ีถูกตอ้ งมีค่าเท่าไร

วธิ ีทาํ จากโจทยเ์ ป็นอ่านขอ้ มูลผดิ ไป 2 ค่า ซ/ึงนกั เรียนสามารถนาํ คุณสมบตั ิขอ้ 1

คือ n มาใชห้ าค่าเฉลี/ยที/ถูกตอ้ งได้ ดงั น9ี

XN = å xi
i =1

จาคุณสมบตั ิที/วา่ n

XN = å xi
i =1

1) จากโจทยค์ ่าเฉลี/ยเลขคณิตท/ีคาํ นวณผดิ คือ 10(X =10) จากขอ้ มูล 100 จาํ นวน

(N = 100) เราจะได้ n ท/ีผดิ

å10´100 = xi
i =1

n ที/ผดิ

å1000 = xi
i =1

2) แต่ค่าผลรวมของขอ้ มูลที/ถูกตอ้ งจะตอ้ งเพิ/มข9ึน คือ อ่าน 7 เป็น 1 ขาดไป 6
อ่าน 13 เป็น 18 เกินไป 5
สรุปว่า ผลรวมขอ้ มูลขาดไป 1

\ 100 ถูกตอ้ ง คือ 1000+1 = 1001

å xi
i =1

100
å xi
เราจะไดค้ ่า X ท/ีถูกตอ้ ง i =1 ถูกตอ้ ง
=
N

แทนค่า X ที/ถูกตอ้ ง 1001
= 100

= 10.01 ตอบ

@ ค่ามธั ยฐาน (Median)

ค่ามธั ยฐาน เป็นค่าของตาํ แหน่งที/อยตู่ รงกลางขอ้ มูล เม/ือนาํ ขอ้ มูลมาเรียงจาก นอ้ ย ไปหา มาก
หรือ มาก ไปหา นอ้ ย โดยใชส้ ญั ญาลกั ษณ์ Me

กรณที $ี 1 ข้อมูลไม่มกี ารแจกแจงความถี$ มี 2 ข9นั ตอน ในการหาค่ามธั ยฐาน

1) เรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปหามาก หรือ มากไปหานอ้ ยกไ็ ด้

2) หาตาํ แหน่งมธั ยฐาน จาก N +1 ( N แทนจาํ นวนขอ้ มูลท9งั หมด)

2

หมายเหตุ ถา้ ตาํ แหน่งอยรู่ ะหวา่ ง 2 ตาํ แหน่ง ใหน้ าํ ค่าที/ไดม้ าหาค่าเฉล/ียอีกคร9ัง

ตวั อยา่ งท/ี 3.14 จงหาค่ามธั ยฐานของ 6, 3, 4, 9, 7, 8, 4

วธิ ีทาํ ข9นั ที/1 เรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปหามาก ดงั น9ี

ขอ้ มูล 3 4 4 6 7 8 9

ตาํ แหน่ง 1 2 3 4 5 6 7

ข9นั ท/ี 2 หาตาํ แหน่งมธั ยฐาน จาก N +1 (N = 7)
2

= 7 +1
2

= 8
2

= 4 (ค่ามธั ยฐานอยตู่ าํ แหน่งที/ 4)

เพราะฉะน9นั ค่ามธั ยฐาน คือ 6 ตอบ

ตวั อยา่ งท/ี 3.15 จงหาค่ามธั ยฐานของ 15, 17, 19, 20, 18, 20

วธิ ีทาํ ข9นั ท/ี 1 เรียงขอ้ มูลจาก นอ้ ย ไปหา มาก ดงั น9ี

ขอ้ มูล 15, 17, 18, 19, 20, 20
ตาํ แหน่ง 1 2 3 45 6

ข9นั ที/ 2 หาตาํ แหน่งของมธั ยฐานจาก N +1 (N = 6)
2

แทนค่า N = 6 +1
2

= 7
2

= 3.5 (มธั ยฐานอยตู่ าํ แหน่งท/ี 3, 4)

ดงั น9นั เราทราบวา่ ค่ามธั ยฐานอยตู่ าํ แหน่งท/ี 3 กบั 4

เพราะฉะน9นั มธั ยฐาน คือ 18 + 19 = 37 = 18.5 ตอบ
2 2

กรณที $ี 2 ข้อมูลมกี ารแจกแจงความถี$ มี 3 ข9นั ตอน ในการหาค่า Me ดงั น9ี

1) หาความถี/สะสม

2) หาตาํ แหน่งที/มธั ยฐาน อยจู่ าก N
2

3) หาค่ามธั ยฐานจากสูตร หรือ เทียบบญั ญตั ิไตรยางศ์

สูตร åMe é N - fL ù I
L+ ê 2 fm ú
= ê ú
ê
ú
ëû

โดยท/ี แทน L ขอบเขตล่างของช9นั ที/มธั ยฐานอยู่

แทน å fL ความถ/ีสะสมของช9นั ที/ต/าํ กวา่ มธั ยฐานอยู่

แทน fm ความถ/ีท/ีช9นั มธั ยฐานอยู่
แทน I ความกวา้ งของอนั ตรภาคช9นั
แทน N จาํ นวนขอ้ มูลท9งั หมด

ตวั อยา่ งท/ี 3.16 จากตารางแจกแจงความถี/ ของคะแนนสอบวชิ าสถิติของนกั เรียนปรากฏผล ดงั น9ี
จงหาค่ามธั ยฐาน (Me)

ช่วงคะแนน จาํ นวนนกั เรียน ( fi ) ความถี/สะสม
2 2
30 – 39 3
40 – 49 5 å fL
50 – 59 fm 15
60 – 69 8 20
70 – 79 7 28
80 – 89 3 35
90 – 99 2 38
40
7

å fi = 40

i =1

วธิ ีทาํ ข9นั ที/ 1 หาค่าความถ/ีสะสม (ดูตารางขา้ งบน)

ข9นั ที/ 2 หาตาํ แหน่งของมธั ยฐาน จาก N
2

มีจาํ นวนนกั เรียน 40 คน (N = 40) = 40
2

= 20 (ดูช่องความถี/สะสม)

จากตารางแจกแจงความถ/ีจะทราบวา่ มธั ยฐานอยชู่ 9นั 3

ข9นั ที/ 3 หาค่ามธั ยฐานจากสูตร åMe L é N - fL ù I
ê 2 fm ú
= + ê ú
ê
ú
ëû

จากที/เราทราบวา่ Me อยอู่ นั ตราภาคช9นั ที/ 3 นกั เรียนจะรู้ค่า

L = 49.5

å fL = 5

fm = 15

I = 10

N = 20
2

นาํ ค่าต่าง ๆ ที/ได้ ไปแทนในสูตร จะไดว้ า่

Me = 49.5 + é 20 - 5 ùúû 10
ëê 15

= 49.5 + é15 ûùú10 = 5
êë15

= 49.5 + 10

= 59.5 ตอบ

ฉะน9นั ค่ามธั ยฐาน ของคะแนนสอบวชิ าสถิติ คือ 59.5 คะแนน

@ การคาํ นวณโดยใช้วธิ ีเทยี บบญั ญตั ไิ ตรยางค์ ไดด้ งั น9ี

- นกั เรียนทราบวา่ มธั ยฐานอยทู่ /ีอนั ตรภาคช9นั ที/ 3 æN = 40 = 20 ö ดูท/ีช่องความถี/สะสม
çè 2 2 ÷ø

นกั เรียนเพ/ิมข9ึน 20 - 5 = 15 คน คะแนนเพิ/มข9ึน 59.5 - 49.5 = 10 คะแนน

นกั เรียนเพ/ิมข9ึน 20 - 5 = 15 คน คะแนนเพิ/มข9ึน = 10 ´15 คะแนน
15

คะแนนเพ/ิมข9ึน = 10 คะแนน

ฉะน9นั ค่ามธั ยฐาน ของคะแนนสอบวชิ าสถิติคือ 49.5 +10 = 59.5 คะแนน ตอบ

ตวั อยา่ งท/ี 3.17 จากตารางแสดงวา่ ใชจ้ ่ายรายวนั ของนกั เรียนในวทิ ยาลยั แห่งหน/ึงปรากฎ ดงั น9ี

จาํ นวนเงิน (บาท) จาํ นวนนกั เรียน ( fi ) ความถ/ีสะสม
51 – 60 1
61 – 70 6 1
71 – 80
81 – 90 fm 8 7 å fL
5
15
4 20

å fi = 20

i =1

วธิ ีทาํ ข9นั ท/ี 1 หาความถี/สะสม (ดูจากตารางขา้ งบน)

ข9นั ที/ 2 หาตาํ แหน่งของมธั ยฐาน = N
2

มีนกั เรียน 20 คน (N = 20) = 20
2

= 10 (ดูท/ีความถ/ีสะสม)

จากตาํ แหน่งของมธั ยฐาน คือ 10 แสดงวา่ มธั ยฐานอยบู่ นอนั ตรภาคช9นั ท/ี 3

โดยนาํ ค่า 10 (ตาํ แหน่งมธั ยฐาน) ที/ไดม้ าหาวา่ อยใู่ นค่าใดของความถี/สะสม

ข9นั ที/ 3 จากการที/เราทราบวา่ มธั ยฐานอยใู่ นอนั ตรภาคช9นั ที/ 3

เราทราบค่าของ L = 70.5

å fL = 7

fm = 8
I = 10
N = 20

จากสูตร Me L é N -å fL ù I
ê 2 ú
= + ê fm ú
ê ú
ëû

แทนค่า Me = 70.5 + é10 - 7 úùû10
êë 8

= 70.5 + é 83 úùû 10
êë

= 7.0.5 + 3.75

= 74.25 ตอบ

ดงั น9นั ค่ามธั ยฐานของค่าใชจ้ ่ายรายวนั คือ 74.25 บาท

@ การคาํ นวณโดยใช้วธิ ีเทยี บบญั ญตั ไิ ตรยางค์

จากตารางเราทราบวา่ ตาํ แหน่งมธั ยฐานอยชู่ 9นั ที/ 3 æ N = 20 = 10 ö
çè 2 2 ÷ø

นกั เรียนเพ/ิมข9ึน15 - 7 = 8 คน ค่าใชจ้ ่ายเพ/ิม 80.5 - 5 = 10 บาท

นกั เรียนเพ/ิมข9ึน10 - 7 = 3 คน ค่าใชจ้ ่ายเพ/ิม = 10 ´ 3 บาท
ดงั น9นั มธั ยฐานของค่าใชจ้ ่ายคือ 8 บาท

ค่าใชจ้ ่ายเพ/ิม = 3.75

70.5 + 3.75 = 74.25 บาท ตอบ

@ ฐานนิยม (Mode) ฐานนิยม เป็นค่าของขอ้ มูลท/ีมีความถี/สูงสุด หรือ ซ9าํ กนั มากท/ีสุด

เราใชส้ ญั ลกั ษณ์ Mo แทน ฐานนิยม

กรณที $ี 1 ข้อมูลไม่มกี ารแจกแจงความถี$ ใหน้ กั เรียนดูขอ้ มูลที/ซ9าํ กนั มากท/ีสุด

ตวั อยา่ งท/ี 3.18 จงหาค่าฐานนิยมของขอ้ มูล 2, 2, 5, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 11, 12

ฐานนิยม คือ 8 เพราะซ9าํ กนั มากที/สุด ตอบ

ตวั อยา่ งท/ี 3.19 จงหาค่าฐานนิยมของขอ้ มูล 2 , 3, 6, 6, 6, 8, 9, 9, 9
ไม่มีฐานนิยม เพราะซ9าํ มากท/ีสุดมี 2 ค่า คือ 6, 8
ตอบ

ตวั อยา่ งที/ 3.20 จงหาค่ามธั ยฐานของขอ้ มูล 2, 5, 7, 8, 9, 12, 15
ไม่มีฐานนิยม เพราะไม่มีค่าใดมีความถี/สูงสุด
ตอบ

กรณที $ี 2 ข้อมูลมกี ารแจกแจงความถี$

การาหาค่าฐานนิยมกรณีที/มีการแจกแจงความถ/ี มี 2 ข9นั ตอน คือ
1) หาอนั ตรภาคช9นั (แถว) ที/ฐานนิยมอยโู่ ดยดูจากความถี/สูงสุด
2) หาค่าฐานนิยม(Mo) จากสูตร หรือใชจ้ ุดก/ึงกลางของอนั ตรภาคช9นั ที/มีความถี/สูงสุดจะไดค้ ่า
โดยประมาณ

สูตร Mo = L + é D1 D1 ù I
ê + D2 ú
ë û

โดยท/ี L แทน ขอบเขตล่างของช9นั ท/ีฐานนิยมอยู่
แทน ผลต่างของความถ/ีช9นั ที/ฐานนิยมอยู่ กบั ความถ/ี
D1
ของช9นั ที/ต/าํ กวา่ ฐานนิยมอยู่
D2 ( D1= ความถ/ีช9นั ฐานนิยมอยู่ – ความถ/ีช9นั ท/ีต/าํ กวา่ ฐานนิยมอย)ู่
I แทน ผลต่างของความถ/ีช9นั ท/ีฐานนิยมอยกู่ บั ความถี/ช9นั ท/ีสูงกวา่ มธั ยฐานอยู่
( D2 = ความถี/ช9นั ที/ฐานนิยมอยู่ – ความถี/ที/สูงกวา่ ฐานนิยมอย)ู่
แทน ความกวา้ งของอนั ตรภาคช9นั

ตวั อยา่ งท/ี 3.21 จากตารางแจกแจงความถี/ของคะแนนสอบวชิ าสถิติของนกั เรียนปรากฏผล ดงั น9ี

จงหาค่าฐานนิยม (Mo)

ช่วงคะแนน จาํ นวนนกั เรียน ( fi )
30 – 39
40 – 49 2
50 – 59 3 D1
60 – 69 15
70 – 79 8 D2
80 – 89 7
90 – 99 3
2

7

å fi = 40

i =1

วธิ ีทาํ ข9นั ท/ี 1 หาวา่ ฐานนิยมอยอู่ นั ตรภาคช9นั ใดโดยดูที/ความถี/สูงสุด
จากตาราง นกั เรียนจะทราบวา่ ช9นั ที/ฐานนิยม (Mo) อยคู่ ือ ช9นั ที/ 3

ข9นั ท/ี 2 หาค่าฐานนิยม (Mo) จากสูตร ดงั น9ี

สูตร Mo = L + é D1 D1 ù I
ê + D2 ú
ë û

จากท/ีเราทราบวา่ ฐานนิยมอยอู่ นั ตรภาคช9นั ที/ 3 ทาํ ใหเ้ ราทราบค่า

L = 49.5

D1 = 15 - 3 = 12

D2 = 15 - 8 = 7

I = 10

แทนค่าในสูตร Mo = 49.5 + é 12 7 ûùú10
êë12 -

= 49.5 + é12 ùúû10
êë 5

= 49.5 + 24

= 73.5 ตอบ

ฉะน9นั ค่าฐานนิมยของการสอบวชิ าสถิติ คือ 73.5คะแนน

การคาํ นวณโดยใช้จุดกง$ึ กลางของชDันทมี$ คี วามถสี$ ูงสุด

จากตารางเราทราบวา่ ฐานนิยมอยอู่ นั ตภาคช9นั ท/ี 3 เพราะมีความถ/ีสูงสุด

ฉะน9นั ค่าก/ึงกลาง คือ 49.5 + 59.5 = 54.5 คะแนน ตอบ
2

ตวั อยา่ งที/ 3.22 จากตารางแสดงค่าใชจ้ ่ายรายวดั ของนกั เรียนในวทิ ยาลยั แห่งหน/ึง ปรากฏดงั น9ี
วธิ ีทาํ ข9นั ท/ี 1 หาวา่ ฐานนิยมอยอู่ นั ตรภาคช9นั ท/ี 3 เพราะมีความถี/สูงสุด

ข9นั ที/ 2 หาฐานนิยมจากสูตร Mo = L + é D1 D1 ù I
ê + D2 ú
ë û

จากข9นั ท/ี 1 เราทราบวา่ ฐานนิยมอยอู่ นั ตรภาคช9นั ท/ี 3 เราจะทราบค่าของ

L = 70.5
D1 = 8 - 6 = 2
D2 = 8 - 5 = 3
I = 10

แทนค่าในสูตร Mo = 70.5 + é 2 3 úùû 10
êë 2 +

= 70 + é 2 úûù10
ëê 5

= 70.5 + 4

= 74.5 บาท ตอบ

ฉะน9นั ค่าฐานนิยมของค่าใชจ้ ่าย คือ 74.5

การคาํ นวณโดยใช้จุดกง$ึ กลางของชDันทม$ี คี วามถสี$ ูงสุด

จากตารางเราทราบวา่ ฐานนิยมอยอู่ นั ตรภาคช9นั ท/ี 3 มีความถี/สูงสุด

จุดก/ึงกลางของอนั ตรภาคช9นั คือ 70.5 + 80.5 = 75.5
2

ฉะน9นั ค่าฐานนิยมของค่าใชจ้ ่ายโดยประมาณคือ 75.5 บาท ตอบ

@ ความสัมพนั ธ์ของค่ากลางของข้อมูล

X - Mo = 3(X - Me)

ขอ้ สงั เกต การใชค้ ่ากลางของขอ้ มูล
1) จะใชข้ อ้ มูลทุกตวั มาคาํ นวณ แต่ Me, Mo จะใชข้ อ้ มูลบางค่าเท่าน9นั
2) ถา้ ขอ้ มูลมีค่าสูงสุดและค่าต/าํ สุดห่างกนั มาก ๆ จะมีผลกบั X แต่จะไม่มีผลกบั Me, Mo
3) ถา้ ตารางแจกแจงความถ/ีเป็นแบบเปิ ด จะหาค่า X ไม่ไดแ้ ต่หาค่า Me, Mo ได้
4) Me สามารถหาไดจ้ ากกราฟเสน้ โคง้ ความถี/สะสม ส่วน Moหาไดจ้ ากกราฟฮิสโทแกรม
5) ขอ้ มูลเชิงคุณภาพ (Ouerlitative data) จะหาไดเ้ ฉพาะ Moเท่าน9นั

vvvvv 222 h 222 vvvvv