ดีเทอร์มิแนนต์

ดเี ทอร์มแิ นนต์ (Determinant)

) ความหมาย

ดีเทอร์มิแนนต์ หมายถึง ผลการบวกของผลคูณระหวา่ งสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุม
กาํ หนดเมทริกซ์ A เป็ นเมทริกซ์จตั ุรัส ดีเทอร์มิแนนตข์ อง A เขียนแทนดว้ ย det A

) การหาค่าดเี ทอร์มแิ นนต์

กาํ หนดใหเ้ มทรืกซ์ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัสขนาด 2 × 2 การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ ไดด้ งั นี

ให้ A = aa1211 a12  2×2
a22 

−(a21 ⋅ a12 ) =

หาค่า det A = aa1211 a12  + ผลลพั ธ์
a22 

+(a11 ⋅ a22 ) =

เช่น กาํ หนดให้ A = 3 2 จงหาค่า det A
1 5

−(1× 2) = −2

แนวคิด det A A = 3 2 + 13
15

+(3 × 5) = 15

∴ det A = 13 ตอบ

เช่น กาํ หนดให้ A =  −1 3 จงหาค่า det A
−5 7

−(−5 × 3) = 15

แนวคิด −1 3 + 8
det A −5 7

+(−1× 7) = −7

∴ det A = ตอบ

กาํ หนดให้เมทริกซ์ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส ขนาด 3×3 การหาดีเทอร์มิแนนต์ ไดด้ งั นี

ให้ A = aa1211 a12 a13 
a22 a23 

a31 a32 a33 3×3

หาค่า a11 a12 a13 a11 a12

=det A a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

1 0 1 จงหา det A

เช่น กาํ หนดให้ A = 3 −1 2 −(2 × −1×1) = +2 −8
−(5 × 2 ×1) = −10
2 5 83×3 −(8 × 3× 0) = 0

1 0 11 0 + −1

แนวคิด det A = 3 -1 2 3 -1

2 5 82 5

+(1× 3× 5) = 15 +7
+(0 × 2 × 2) = 0
+(1× −1× 8) = −8

จะได้ det A = −1 ตอบ

 2 1 3

เช่น กาํ หนดให้ A = −1 0 1 จงหาค่า det A

 2 4 53×3

−0
−8 −3
+5

แนวคิด 2 1 32 1 + −13

det A = -1 0 1 -1 0

2 4 52 4

จะได้ det A = −13 −12
+2 −10
0

ตอบ

) คุณสมบตั ขิ องดเี ทอร์มิแนนต์

) ถา้ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส ขนาด n × n แลว้ มีแถว หรือ คอลมั นใ์ ดมีค่าเป็น ทงั หมด
แลว้ det A = 0

เช่น กาํ หนดให้ 1 0 2
A = 3 2 4

0 0 03×3

แนวคิด จากโจทย์ เมทริกซ์ A มีแถวที มีค่าเป็น ทงั หมด

สรุปวา่ det A = 0 เราพิสูจนไ์ ดด้ งั นี

0
00
0

1 0 31 0 +0

det A = 3 2 4 3 2

0 0 00 0

0 0
0
0

จะได้ det A = 0

) ถา้ เมทริกซ์ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส ขนาด n × n ซึงมี แถว หรือ คอลมั นใ์ ด ๆ เท่ากนั
แลว้ det A = 0

2 −2 1

เช่น A = 2 −2 1

3 1 03×3

แนวคิด จากโจทย์ เมทริกซ์ A มี แถวที และ แถวที มีค่าเท่ากนั จะได้ det A= 0
(ตามคุณสมบตั ิขอ้ ) เรามาพิสูจนโ์ ดยหาค่าของ det A ดงั นี

+6
−2 +4
−0

2 -2 1 2 -2 + 0
det A = 2 -2 1 ..2 -2

3 1 031

+2
−6 −4

..0

จะได้ det A = 0 ตอบ

) ถา้ เมทริกซ์ B เกิดจากการสลบั แถวใด ๆ หรือ คอลมั นใ์ ด ๆ ของเมทริกซ์ A
แลว้ det B = −det A

1 2 3 2 1 1 (สลบั แถว กบั )

เช่น 2 1 1 = 1 2 3

3 3 2 3 3 2

-9 -3 -8 = -20

det B = 1 2 31 2 +6
2 1 1 ..2 1
3 3 23 3

2+6 + 18 = 26

-6 -18 -2 = -26

2 1 121 + −6
det A = 1 2 3 ..1 2

3 3 23 3

+8+9+3 = +20 ตอบ

จะได้ det B = − det A

) ทราสโพสของเมทริกซ์ (Transport)

นิยาม กาํ หนดใหเ้ มทริกซ์ A มีขนาด m× n แลว้ ทรานสโพส์ของเมทริกซ์ A จะมี

ขนาดเป็ น n × m เขียนแทนดว้ ย At

สรุป การหาค่าทรานสโพส์ของเมทริกซ์ใด ๆ ใหเ้ ราเปลียนค่าของแถวไปเป็ นคอลมั น์ ดงั นี

เปลียน แถว → คอลมั น์

เช่น ให้ A = 1 3 2 14
4 5 0  2×3 35
20

1 4
At = 3 5
03×2
2

) ไมเนอร์ (Minor)

นิยาม กาํ หนดให้ A = aij  แลว้ ไมเนอร์ของ aij คือ ดีเทอร์มิแนนตข์ องเมทริกซ์

n×n

ทีได้ จากการตดั แถวที i และคอลมั นท์ ี j ของเมทริกซ์ A ออก เขียนแทนดว้ ย Mij

สรุป การหาค่าไมเนอร์

1) ตอ้ งเป็ นเมทริกซ์จตั ุรัส ขนาด n × n
2) หาไมเนอร์ของ Mij ใหต้ ดั แถวที i และคอลมั น์ j ออก

เช่น ให้ A = aa1211 a12 a13 
a22 a23 

a31 a32 a33 3×3

หา M11 =  a11 a12 a13  ใหต้ ดั แถวที คอลมั นท์ ี ออก
 a21 a22 a23 
 
a31 a32 a33 3×3

M11 =  a22 a23 
 a32 a33 
2×2

) หาค่า det M11

ตวั อยา่ งที 7.1 กาํ หนดให้ A = 2 4 จงหาค่า M11, M12 , M 21 และ M 22
3 1
2×2

วิธีคิด ) หา M11 ใหต้ ดั แถวที คอลมั น์ ออก ดงั นี

M11 = 2 4
3 1

M11 = 1 det (M11 ) = 1

) หา M12 ใหต้ ดั แถวที คอลมั น์ ออก ดงั นี

M12 = 2 4
3 1

M12 = 3 det (M12 ) = 3

) หา M21 ใหต้ ดั แถวที คอลมั น์ ออก ดงั นี

M 21 = 2 4
3 1

M 21 = 4 det (M21 ) = 4

) หา M22 ใหต้ ดั แถวที คอลมั น์ ออก ดงั นี

M 22 = 2 4
3 1

M 22 = 2 det ( M22 ) = 2 ตอบ

1 4 1 

ตวั อยา่ งที 7.2 กาํ หนดให้ A = 3 1 −1 จงหาไมเนอร์ของเมทริกซ์ A

2 −2 3 3×3

1 4 1 

วธิ ีคิด หา M11 = 3 1 −1 ตดั แถว 1 คอลมั น์ 1 ออก

2 −2 3 

M11 = 1 −1
−2 3 

-2

det M11 = 1 −1 = 1
−2 3

+3

1 4 1  ตดั แถว 1 คอลมั น์ 2 ออก

หา M12 = 3 1 −1 11

2 −2 3 

M12 = 3 −1
2 3 

+2

det M12 = 3 −1 =
2 3

+9

1 4 1  ตดั แถว คอลมั น์ ออก

หา M13 = 3 1 −1 −8

2 −2 3 

M13 = 3 1
2 −2

-2

det M13 = 3 1 =
2 −2

-6

1 4 1  ตดั แถว คอลมั น์ ออก

หา M21 = 3 1 −1 14

2 −2 3  ตดั แถว คอลมั น์ ออก

M 21 = 4 1 1
−2 3
ตดั แถว คอลมั น์ ออก
+2
−10
det M 21 = 4 1 =
−2 3

+12

1 4 1 

หา M22 = 3 1 −1

2 −2 3 

M 22 = 1 1
2 3

-2

det M 22 = 1 1 =
2 3

+3

1 4 1 

หา M23 = 3 1 −1

2 −2 3 

M 23 = 1 4
2 −2

-8

det M 23 = 1 4 =
2 −2

-2

1 4 1  ตดั แถว คอลมั น์ ออก

หา M31 = 3 1 −1 −5

2 −2 3  ตดั แถว คอลมั น์ ออก

M 31 = 4 1 −4
1 −1

-1

det M 31 = 4 1 =
1 −1

-4

1 4 1 

หา M32 = 3 1 −1

2 −2 3 

M 32 = 1 1
3 −1

-3

det M 32 = 1 1 =
3 −1

-1

1 4 1  ตดั แถว คอลมั น์ ออก

หา M33 = 3 1 −1 −11

2 −2 3  ตอบ

M 33 = 1 4
3 1

-12

det M 33 = 1 4 =
3 1

+1

. โคแฟกเตอร์ (Cofactor)

นิยาม กาํ หนดให้ A = aij  โคแฟกเตอร์ของผลคูณของ aij คือ ผลคูณของ (−1)i+ j

n×n

และ Mij (A) เขียนแทนดว้ ย Cij ดงั นี

Cij = (−1)i+ j Mij

สรุป การหาโคแฟกเตอร์

) เป็ นเมทริกซ์จตั ุรัส ขนาด n × n
) หาไมเนอร์ของ Mij ตามทีไดศ้ ึกษามาแลว้ นนั คือ

. หา Mij ใหต้ ดั แถวที i และคอลมั นท์ ี j ออก
. หา det Mij ก็จะไดไ้ มเนอร์ตามตอ้ งการ
) หาโคแฟกเตอร์จาก Cij = (−1)i+ j Mij

ตวั อยา่ งที 7.3 กาํ หนดให้ A = 1 −2 จงหาโคแฟกเตอร์ของเมทริกซ์ A
3 −4  2×2

วธิ ีคิด ขนั หาค่าไมเนอร์ ก่อนดงั นี

M 11 = 1 −2 ตดั แถว คอลมั น์ ออก M11 = −4
3 −4 ตดั แถว คอลมั น์ ออก M12 = 3
−2 ตดั แถว คอลมั น์ ออก M 21 = −2
M12 = 1 −4 ตดั แถว คอลมั น์ ออก M 22 = 1
3 −2
−4
M 21 = 1 −2
3 −4

M 22 = 1
3

ขนั หาค่าโคแฟกเตอร์ จาก Cij = (−1)i+ j Mij

C11 = (−1)1+1 ⋅ M11 = (−1)2 ⋅ (−4) = (1)(−4) = −4
C12 = (−1)1+2 ⋅ M12 = (−1)3 ⋅ (3) = (−1)(3) = −3
C21 = (−1)2+1 ⋅ M 21 = (−1)3 ⋅ (−2) = (−1)(−2) = 2
C22 = (−1)2+2 ⋅ M 22 = (−1)4 ⋅ (1) = (1)(1) = 1

Cof.(A) = −4 −3 ตอบ
 2 1 2×2

ข้อสังเกต นกั เรียนจะเห็นวา่ ค่าของ (−1)i+ j จะมีค่าไดเ้ พียง 2 ค่า คือ
−1 ถา้ i + j เป็ น จาํ นวนเลข คี
+1 ถา้ i + j เป็ น จาํ นวนเลข คู่

ตวั อยา่ งที 7.4 1 3 1  จงหาโคแฟกเตอร์ของเมทริกซ์
วธิ ีคิด
กาํ หนดให้ A = 0 −1 −1

1 2 4 3×3

ขนั หาไมเนอร์ของ Mij ไดด้ งั นี

+2

1 3 1  = −1 −1 = −2
M11 = 0 −1 −1 24

1 2 4 

-4

+1

1 3 1  = 0 −1 =1
M12 = 0 −1 −1 14

1 2 4 

0

+1

1 3 1  = 0 −1 =1
M13 = 0 −1 −1 12
0
1 2 4 

-2

1 3 1  =3 1 = 10
M 21 = 0 −1 −1 24

1 2 4 

+12

-1

1 3 1 =1 1 =3
M 22 = 0 −1 −1 14
2 4  +4
1

-3

1 3 1  =1 3 = −1
M 23 = 0 −1 −1 12
+2
1 2 4 

+1

1 3 1  = 3 1 =4
M31 = 0 −1 −1 −1 1
+3
1 2 4 

0

1 3 1  =1 1 = −1
M32 = 0 −1 −1 0 −1
-1
1 2 4 

0

1 3 1  =1 3 = −1
M33 = 0 −1 −1 0 −1
-1
1 2 4 

ขนั หาค่าโคแฟกเตอร์ จาก Cij = (−1)i+ j Mij ได้ ดงั นี

C11 = (−1)1+1 ⋅ M11 = (−1)2 (−2) = (1)(−2) = −2
C12 = (−1)1+2 ⋅ M12 = (−1)3 (1) = (−1)(1) = −1
C13 = (−1)1+3 ⋅ M13 = (−1)4 (1) = (1)(1) = 1
C21 = (−1)2+1 ⋅ M 21 = (−1)3 (10) = (−1)(10) = −10
C22 = (−1)2+2 ⋅ M 22 = (−1)4 (3) = (1)(3) = 3
C23 = (−1)2+3 ⋅ M 23 = (−1)5 (−1) = (−1)(−1) = 1
C31 = (−1)3+1 ⋅ M 31 = (−1)4 (4) = (1)(4) = 4

C32 = (−1)3+2 ⋅ M 32 = (−1)5 (−1) = (−1)(−1) = 1
C33 = (−1)3+3 ⋅ M 33 = (−1)6 (1) = (1)(−1) = −1

ตอบ

ข้อสังเกต การหาค่าโคแฟกเตอร์ เราจะเห็นวา่ ค่าทีไดเ้ กิดจากค่าของ (−1)i+ j
(ซึงมีค่าเป็น + หรือ − ) มาคูณกบั Mij จะเห็นวา่ เป็นการเปลียน
เครืองหมาย + หรือ − เท่านนั