The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน สัมประสิทธิ์แปรผัน

Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Published by khun vechviriyapanich, 2020-05-20 21:40:02

วัดการกระจายข้อมูล

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน สัมประสิทธิ์แปรผัน

Keywords: khun7

บทที$ 7

การวดั การกระจายของข้อมูล

1. การวดั การกระจายของข้อมูล เป็นการดูวา่ ขอ้ มูลมีการกระจายจากค่ากลางของขอ้ มูลมากนอ้ ยอยา่ งไร
(ขอ้ สงั เกต ถา้ มีค่ามากแสดงวา่ ขอ้ มูลมีการกระจายมาก หรือไม่อยใู่ นกลุ่มนนัA เอง)

ตวั อย่างที$ 7.1 จากผลการทดสอบความรู้พFืนฐานวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรียน 2 กลุ่ม ปรากฏผล ดงั นFี
กลุ่มทีA 1 20 30 52 43 11 17 37
กลุ่มทีA 2 23 34 26 32 24 38 33

วธิ ีทาํ ขFนั ทAี1 หาค่าเฉลAีย ( x ) ทFงั 2 กลุ่มไดด้ งั นFี

ค่าเฉลAียกลุ่มทีA 1 x1 = åx = 20 + 30 + 52 + 43 +11+17 + 37 = 210 = 30
ค่าเฉลAียกลุ่มทีA 2 7 7
N

x2 = åx = 23 + 34 + 26 + 32 + 24 + 38 + 33 = 210 = 30
7 7
N

สรุป ทFงั 2 กลุ่มมีค่าเฉลAีย ( x ) = 30 เท่ากนั แสดงวา่ นกั เรียนทFงั สองกลุ่มมีความรู้พFืนฐานพอๆ กนั

ขFนั ทAี 2 การวดั การกระจายสมั พนั ธ์ของขอ้ มูลทFงั 2 กลุ่ม ไดด้ งั นFี

สมั ประสิทธTิของพิสยั กลุ่มทAี 1 = xmax - xmin = 52 -11 = 41 = 0.65
xmax + xmin 52 + 11 63

สมั ประสิทธTิของพิสยั กลุ่มทีA 2 = xmax - xmin = 38 - 23 = 1651 = 0.25
xmax + xmin 38 + 23

สรุป ขอ้ มูลนกั เรียนกลุ่มทีA 1 มีการกระจายตวั มากกวา่ กลุ่ม 2 แสดงวา่ นกั เรียนกลุ่ม 1
มีความรู้พFืนฐานแตกต่างกนั มากกวา่ กลุ่มทAี 2

2. การวดั การกระจายของข้อมูลมี 2 แบบ คือ
2.1 การวดั การกระจายสัมบูรณ์ (Absolute Variation)

เราจะมาศึกษาการจดั การกระจายแบบสมั บูรณ์ (Absolute Variation) ซAึงเป็นการจดั การกระจายของขอ้ มูลเพียงชุด
เดียววา่ มีการกระจายมากนอ้ ยเพียงใด ซAึงทาํ ได้ 4 วธิ ี คือ

2.1.1 พสิ ัย (Range)
1. ขอ้ มูลไม่แจกแจงความถAี
สูตร พิสยั = X max - X min

เมAือ Xmax คือ ค่าสูงสุดของขอ้ มูล
Xmin คือ ค่าตAาํ สุดของขอ้ มูล

2. ขอ้ มูลแจกแจงความถAี
สูตร พิสยั = ขอบเขตของอนั ตรภาคชFนั สูงสุด – ขอบเขตของอนั ตรภาคชFนั ตAาํ สุด

2.1.2 ส่วนเบย$ี งเบนควอไทล์ (Quartile Deviation)
1. ขอ้ มูลไม่แจกแจงความถีA

สูตร Q.D. = Q3 - Q1
2

เมAือ Q1 คือ ตาํ แหน่งควอไทลท์ ีA 1
Q3 คือ ตาํ แหน่งควอไทลท์ Aี 3

การหาค่าของ Q1, Q3 ไดจ้ ากสูตรขา้ งล่างนFี

สูตร Qr = r (N +1)
4

เมืAอ r คือ ตาํ แหน่งของ Q
N คือ จาํ นวนขอ้ มูลทFงั หมด

2. ขอ้ มูลมีการแจกแจงความถAี

สูตร Qr = L é rN -å fL ù I
ê 4 fQr ú
+ ê ú
ê ú
ëû

เมAือ L คือ ขอบเขตล่างทAี Qr อยู่

rN คือ ตาํ แหน่งของ Qr
4
å fL คือ ความถีAสะสมของชFนั ทAีอยตู่ Aาํ กวา่ Qr อยู่
fQr คือ ความถAีทAี Qr อยู่

I คือ ความกวา้ งของอนั ตรภาคชFนั

2.1.3 ส่วนเบ$ียงเบนเฉลยี$ (Mean Deviation)
กรณีทAี 1 ขอ้ มูลไม่มีการแจกแจงความถีA

n
å xi - x
สูตร M.D. = N
i =1

กรณีทAี 2 ขอ้ มูลมีการแจกแจงความถีA

n
å fi xi -x
สูตร M.D. = N
i =1

เมAือ N คือ จาํ นวนขอ้ มูลทFงั หมดหรือความถAีทFงั หมด

2.1.4 ส่วนเบย$ี งเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)
กรณีทAี 1 ขอ้ มูลไม่มีการแจกแจงความถีA

สูตร S.D. หรือ S = ån ( xi - x )2

i =1

N

n
å= xi2
i =1 - ( x )2

N

โดยทีA S.D. แทน ส่วนเบีAยงเบนมาตรฐาน
Xi แทน ขอ้ มูลตวั ทAี i (i = 1, 2,3,...n)
X แทน ค่าเฉลAียเลขคณิต
N แทน จาํ นวนขอ้ มูลทFงั หมด

กรณีทีA 2 ขอ้ มูลมีการแจกแจงความถีA

n2
å fi ( xi - x )
สูตร S.D. หรือ S =
i =1

N

n
å fi xi2
i =1 -x2

=N

โดยทีA S.D. แทน ส่วนเบีAยงเบนมาตรฐาน
Xi แทน ขอ้ มูลตวั ทีA i (i = 1, 2,3,...k)
X แทน ค่าเฉลAียเลขคณิต
fi แทน ความถีAของแต่ละชFนั
N แทน จาํ นวนขอ้ มูลทFงั หมด

Ñ การหาค่าพสิ ัย (Range)

ข้อพจิ ารณา 1. เป็นการวดั การกระจายสมั บูรณ์
2. ขอ้ มูลมีเพียงชุดเดียว
3. การหาค่าพิสยั มีเพียง 2 กรณี คือ ขอ้ มูลมีการแจกแจงความถีAกบั ขอ้ มูลไม่มีการแจกแจงความถีA

กรณที ี$ 1 ข้อมูลไม่มกี ารแจกแจงความถี$ (ไม่มตี าราง)

สูตร พิสยั = ค่าสูงสุด – ค่าตAาํ สุด
พิสยั = X max - X min

ตวั อย่างท$ี 7.2 จงหาพิสยั ของอายุ (ปี ) ของนกั เรียนกลุ่มหนAึง ดงั นFี
15 17 16 15 22 19 21 20 23 17

วธิ ีทาํ สูตร พิสยั = X max - X min
แทนค่า พิสยั = 23 – 15
=8
\ พิสยั ของอายนุ กั เรียนกลุ่มนFี คือ 8 ปี ตอบ

ตวั อย่างที$ 7.3 จงหาพิสยั จากขอ้ มูลต่อไปนFี 11
8 10 17 6 14 4

วธิ ีทาํ สูตร พิสยั = X max - X min
แทนค่า พิสยั = 17 - 4
= 13 ตอบ

กรณที $ี 2 ข้อมูลมกี ารแจกแจงความถ$ี (มตี าราง)

สูตร พิสยั = ขอบเขตบนของอนั ตรภาคชFนั สูงสุด – ขอบเขตล่างของอนั ตรภาคชFนั ตAาํ สุด

ตวั อย่างท$ี 7.4 จงหาค่าพิสยั ของนFาํ หนกั ของนกั เรียน 70 คน ปรากฏดงั นFี

ชFนั ตาAํ สุด จะไดข้ อบเขตลา่ ง คอื นFาํ หนกั (กก.) จาํ นวนนกั เรียน
60 – 64
59.5 65 – 69 4
70 – 74 10
ชFนั สูงสุด จะไดข้ อบเขตบน คอื 75 – 79 16
80 – 84 15
89.5 85 – 89 14
11
รวม
N = 70

วธิ ีทาํ สูตร พิสยั = ขอบเขตบนของอนั ตรภาคชFนั สูงสุด – ขอบเขตล่างของอนั ตรภาคชFนั ตAาํ สุด
แทนค่า พิสยั = 89.5 – 59.5
= 30
\พิสยั ของนFาํ หนกั ของนกั เรียนกลุ่มนFี คือ 30 กิโลกรัม ตอบ

ตวั อย่างท$ี 7.5 จากตารางคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์พFืนฐานของนกั เรียนหอ้ งหนAึง จงหาพิสยั

ชFนั ตAาํ สุด จะไดข้ อบเขตล่าง คือ 20.5 ชFนั สูงสุด จะไดข้ อบเขตบน คือ 45.5

คะแนนสอบ 21 - 25 26 – 30 31 – 35 36 – 40 41 – 45
3 7 10 7 3
จาํ นวนนกั เรียน

วธิ ีทาํ สูตร พิสยั = ขอบเขตบนของอนั ตรภาคชFนั สูงสุด – ขอบเขตล่างของอนั ตรภาคชFนั ตAาํ สุด
แทนค่า พิสยั = 45.5 – 20.5
= 25
\พิสยั ของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์พFืนฐาน คือ 25 คะแนน ตอบ

Ñ การหาค่าส่วนเบย$ี งเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

ข้อพจิ ารณา 1. เป็นการวดั การกระจายสมั บูรณ์
2. ขอ้ มูลมีเพียงชุดเดียว
3. ดูวา่ ขอ้ มูลมีการแจกแจงความถีAหรือไม่มีการแจกแจงความถีA

กรณที $ี 1 ข้อมูลไม่มกี ารแจกแจงความถ$ี (ไม่มตี าราง)

สูตรทีA 1 S.D. หรือ S = ån ( xi - x )2

i =1

N

n
å xi2
สูตรทAี 2 S.D. หรือ S = i =1 - ( x )2

N

เมAือ N = จาํ นวนขอ้ มูลทFงั หมด
x = ค่าเฉลAียเลขคณิต
xi = ค่าของขอ้ มูลแต่ตวั เมืAอ xi = 1, 2, …, n

ตวั อย่างที$ 7.6 จงหาค่าส่วนเบAียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์พFืนฐานของนกั เรียนจาํ นวน 5 คน
ปรากฏดงั นFี 32 28 30 23 37

วธิ ีทาํ สูตรทีA 1 S.D. = ån ( xi - x )2

i =1

N

ขGนั ที$ 1 จากโจทยเ์ ราจะทราบวา่ 1. N = 5

2. xi แต่ละตวั คือ 32 28 30 23 37

x1 x2 x3 x4 x5

5
å= xi
ขGนั ที$ 2 สAิงทีAตอ้ งหา คือ ค่า x จากสูตร
x i=1
5

x = 32 + 28 + 30 + 23 + 37
5

x = 150
5
x = 30

ขGนั ที$ 3 แทนค่าเพAือหาค่า S.D. จากสูตร S.D. = å5 ( xi - x )2

i =1

N

= (32 - 30)2 + (28 - 30)2 + (30 - 30)2 + (23 - 30)2 + (37 - 30)2
5

= (2)2 + (-2)2 + (0)2 + (-7)2 + (7)2

5

= 4 + 4 + 0 + 49 + 49
5

= 106
5

= 21.2
= 4.6

n
å xi2
สูตรทีA 2 S.D. = i =1 - ( x )2
แทนค่า
N

S.D. = (32)2 + (28)2 + (30)2 + ( 23)2 + (37)2 - (30)2

5

= 1024 + 784 + 900 + 529 + 1369 - (900)
5

= 4606 - (900)
5

= 921.2 - 900

= 21.2 ตอบ
= 4.6
\ ส่วนเบAียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์พFืนฐาน คือ 4.6 คะแนน

ตวั อย่างที$ 7.7 จากขอ้ มูลต่อไปนFี 8, 14, 6, 4, 17, 10, 11 จงหาค่าส่วนเบีAยงเบนมาตรฐาน

n
å xi2
วธิ ีทาํ สูตร S.D. = i =1 - ( x )2

N

ขGนั ที$ 1 จากโจทยเ์ ราจะทราบค่า 1. N = 7
2. ค่า xi แต่ละตวั 8, 14, 6, 4, 17, 10, 11

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

ขGนั ที$ 2 หาค่าเฉลีAยเลขคณิตจากสูตร 7

å= xi

x i=1
N

= 8 +14 + 6 + 4 +17 +10 + 11
7

= 70
7
= 10

7
å xi2
ขGนั ท$ี 3 แทนค่า S.D. = i =1 - ( x )2

N

= æ 82 + 142 + 62 + 42 +172 + 102 + 112 ö - (10)2
ç 7 ÷
è ø

= 117.42 -100
= 17.42
= 4.17 ตอบ

ตวั อย่างท$ี 7.8 กาํ หนดให้ 50 ( xi - x )2 = 450 , 50 xi2 = 1250 และ N = 50 จงหาค่าเฉลีAยเลขคณิต และ

å å
i=1 i=1

ส่วนเบAียงเบนมาตรฐาน

วธิ ีทาํ สูตรทAี 1 S.D. = ån ( xi - x )2

i =1

N

แทนค่า S.D. = 450
50
สูตรทAี 2
แทนค่า =9
จะไดว้ า่ =3

7
å xi2
S.D. = i =1 - ( x )2

N

S.D. = æ 1250 ö - ( x )2
èç 50 ø÷

= 25 - ( x )2

9 = 25 - ( x )2 ตอบ

9 = 25 - ( x )2
( x )2 = 25 - 9
( x )2 = 16

x = 16
x=4

กรณที ี$ 2 ข้อมูลมกี ารแจกแจงความถี$ (มตี าราง)

สูตรทีA 1 S.D. = ån fi ( xi - x )2
สูตรทAี 2 S.D. =
i =1

N

n
å fi xi2
i =1 - ( x )2

N

เมAือ xi คือ ค่ากAึงกลางของอนั ตรภาคชFนั

N = n f i คือ จาํ นวนขอ้ มูลทFงั หมด หรือ ผลรวมของความถีA

å
i =1

x คือ ค่าเฉลีAยเลขคณิต

ตวั อย่างท$ี 7.9 จากตารางต่อไปนFีเป็นคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์พFืนฐานของนกั เรียน 30 คน ปรากฏดงั นFี

คะแนน ความถAี ( fi )
21-25 3
26-30 7
31-35 10
36-40 7
41-45 3

วธิ ีทาํ สูตรทAี 1 S.D. = ån fi ( xi - x )2

i =1

N

ขGนั ที$ 1 จากโจทยเ์ ราทราบวา่ 1. ค่า fi ของแต่ละอนั ตรภาคชFนั 2. ค่า N = 30
ขGนั ท$ี 2 หาค่า xi และ x ดงั นFี

คะแนน ความถAี ( fi ) ค่ากAึงกลาง ( xi ) fi × xi xi - x ( xi - x )2 fi ( xi - x )2
21-25 3 100 300
26-30 7 23 69 -10 25
31-35 28 196 -5 0 175
36-40 10 33 330 0 25 0
41-45 7 38 266 5 100 175
3 43 129 10 300

N = n fi = 30 n fi × xi = 990 n fi ( xi - x )2 = 950

å å å
i =1 i =1 i =1

n
å fi × xi
หาค่า x= i =1
แทนค่า
N

x = 990
30
x = 33

หาค่า S.D. = ån fi ( xi - x )2

i =1

N

แทนค่า S.D. = 950
30

= 31.67
= 5.62 ตอบ

ตวั อย่างที$ 7.10 ตารางต่อไปนFีแสดงนFาํ หนกั คิดเป็นกิโลกรัมของนกั เรียน 50 คน

นFาํ หนกั (กิโลกรัม) ความถีA ( fi )
20-22 1
23-25 0
26-28 12
29-31
32-34 17
35-37 11
38-40 7
2

N = n fi = 50

å
i =1

จงหาค่า เฉลAียเลขคณิต ( x ) และค่าเบAียงเบนมาตรฐาน (S.D.)

วธิ ีทาํ ขGนั ที$ 1 จากโจทยเ์ ราทราบค่า 1. N = n fi = 50

å
i =1

ขGนั ท$ี 2 หาค่าเฉลีAยเลขคณิต ( x ) 2. ค่า fi ของแต่ละอนั ตรภาคชFนั

7
å fi xi
จากสูตร x= i =1

N

นFาํ หนกั (กิโลกรัม) ความถีA ( fi ) ค่ากAึงกลาง ( xi ) fi × xi xi2 fi xi2
1 21
20-22 21 441 441

23-25 0 24 0 576 0
26-28 12 27 324 729 8748
29-31 17 30 510 900 15300
32-34 11 33 363 1089 11979
35-37 7 36 252 1296 9072
38-40 2 39 78 1521 3024

N = n fi = 50 7 fi xi = 1548 7 fi xi 2 = 48582

å å å
i =1 i =1 i =1

x = 1548 = 30.96 ตอบ
50

ขGนั ท$ี 3 หาค่าส่วนเบAียงเบนมาตรฐาน (S.D.)

n
å fi xi2
จากสูตร S.D. = i =1 - ( x )2

N

= 48582 - ( 30.96 )2
50

= 971.64 - 958.52

= 13.12 ตอบ
= 3.62

ตวั อย่างท$ี 7.11 ดาํ แดง และขาว ต่างช่างนFาํ หนกั แลว้ นาํ ผลมาคาํ นวณหาค่า x = 50 และค่า S.D. = 0 ถา้ นาํ นFาํ หนกั
ของสุดามาคาํ นวณดว้ ยปรากฏวา่ ค่า x = 45 จงหาค่าส่วนเบAียงเบนมาตรฐาน (S.D.) ของนFาํ หนกั ทFงั 4 คนนFี

วธิ ีทาํ ขGนั ที$ 1 พิจารณาโจทยเ์ ราทราบวา่ 1. ขอ้ มูลเป็นแบบไม่แจกแจงความถAี
2. ค่า S.D. = 0 แสดงวา่ ขอ้ มูลของดาํ แดง และขาว จะเท่ากนั

หมด (คุณสมบตั ิขอ้ 4)

ขGนั ท$ี 2 หานFาํ หนกั ของดาํ แดง และขาวไดด้ งั นFี

สูตร 3
แทนค่า
å= xi

x i=1
N

50 = x1 + x2 + x3
3

50 = 3x
3
x = 50
\ แดง ดาํ และขาว มีนFาํ หนกั เท่ากนั คือ 50 กิโลกรัม ตอบ

ขGนั ท$ี 3 หานFาํ หนกั ของสุดาไดด้ งั นFี

4
å= xi
สูตร
x i=1
N

แ\ทนสคุด่าาม1ีน8Fาํ 0ห4–น511กั´58343040050=====กx1X1ิโ1สา55าสล50ุ0ดกุ0ด4ร+++ัมxxxาาสสสาุุดดุด ตอบ

ขGนั ท$ี 4 หาค่าส่วนเบีAยงเบนมาตรฐาน (S.D.) ของคนทFงั 4 คน ดงั นFี

4 fi xi2
åS.D. =
สูตร i =1 - ( x )2

N

S.D. = æ 2500 + 2500 + 2500 + 900 ö - ( 45)2
çè 4 ÷ø

S.D. = æ 8400 ö - 2025
çè 4 ÷ø

S.D. = 2100 - 2025
S.D. = 75
S.D. = 8.66 ตอบ

ตวั อย่างท$ี 7.12 นกั เรียนกลุ่มหนAึง 12 คน มีเงินค่ารถโดยสารรวมกนั 120 บาท และผลรวมของกาํ ลงั สองของเงินค่า
รถโดยสารของแต่ละคนเท่ากบั 2,172 บาท จงหาส่วนเบAียงเบนมาตรฐาน (S.D.) ของเงินค่ารถโดยสารของนกั เรียน
กลุ่มนFี

วธิ ีทาํ ขGนั ที$ 1 จากโจทยเ์ ราทราบ 1. ค่า N = 12

2. ค่า 12 xi2 = 2,172

å
i =1

3. ขอ้ มูลไม่มีการแจกแจงความถAี

4. ค่า 12 xi = 120

å
i =1

ขGนั ที$ 2 หาค่าเฉลAียเลขคณิต ( x ) ดงั นFี

สูตร å= 12
แทนค่า
x xi2
i =1

x = 120
12
x = 10

ขGนั ที$ 3 หาค่าส่วนเบAียงเบนมาตรฐาน (S.D.) ดงั นFี

12
å xi2
สูตร S.D. = i =1 - ( x )2

N

แทนค่า S.D. = 2172 - (10 )2
12

S.D. = 181-100
S.D. = 81
S.D. = 9 ตอบ

Ñ การหาค่าความแปรปรวน (Variance)

ความแปรปรวน (Variance) เป็นค่าของส่วนเบีAยงเบนมาตรฐานยกกาํ ลงั สอง โดยใชส้ ญั ลกั ษณ์ S2 หรือ
S.D.2 แทนค่าความแปรปรวน

กรณที ี$ 1 ข้อมูลไม่มกี ารแจกแจงความถี$

สูตรทีA 1 å ( )n xi - x 2
สูตรทีA 2
=S 2 i=1

N

n
å= ( )xi2
S2 i =1 - x2

N

กรณที $ี 2 ข้อมูลมกี ารแจกแจงความถ$ี

สูตรทีA 1 å ( )n f1 xi - x 2
สูตรทAี 2
=S 2 i=1

N

n
å= ( )fi xi2
S2 i =1 - x2

N

เมืAอ xi คือ ขอ้ มูลแต่ละค่า เมAือ i = 1, 2, …, n
N คือ จาํ นวนขอ้ มูลทFงั หมด
x คือ ค่าเฉลAียเลขคณิต
f1 คือ ความถีAของแต่ละอนั ตรภาคชFนั

ตวั อย่างที$ 7.13 จงหาค่าความแปรปรวนของขอ้ มูลต่อไปนFี 12, 10, 17, 13, 18

วธิ ีทาํ ขGนั ท$ี 1 จากโจทยเ์ ราทราบ 1. ค่า แต่ละค่า คือ 12, 10, 17, 13, 18
2. ค่า N = 5
3. ขอ้ มูลไม่มีการแจกแจงความถAี
ขGนั ที$ 2 หาค่าเฉลีAยเลขคณิต ( x ) ดงั นFี

n
å= xi
สูตร
x i=1
N

x = 12 + 10 + 17 +13 +18
5

x = 70
5
x = 14

ขGนั ที$ 3 หาค่าความแปรปรวน ( S2 ) ดงั นFี

สูตรทAี 1 å ( )n f1 xi - x 2

=S 2 i=1

N

แทนค่า S2= (12 -14)2 + (10 -14)2 + (17 -14)2 + (13 -14)2 + (18 -14)2

5

S2= ( -2 )2 + (-4)2 + (3)2 + (-1)2 + (4)2

5

S2= 4 +16 + 9 +1+16
5

S2= 46
5
S 2 = 9.2

n
å= ( )fi xi2
สูตรทีA 2 S2 i =1 - x2
แทนค่า
N

S2 = æ (12)2 + (10)2 + (17)2 + (13)2 + (18)2 ö - (14)2
èçç ÷÷ø
5

S2= æ 144 +100 + 289 + 169 + 324 ö -196
èç 5 ø÷

S2= 1026 -196
5
S2 = 205.2 - 196
S 2 = 9.2 ตอบ

ตวั อย่างที$ 7.14 กาํ หนดให้ 100 xi = 7,500 åและ 100 = 575,000 จงหาความแปรปรวน
xi2
å
i=1 i=1

วธิ ีทาํ ขGนั ท$ี 1 จากโจทยเ์ ราทราบ 1. ค่า 100 = 7,500

å xi
i =1

2. ค่า 100 = 575,000

å xi2
i =1

3. ค่า N = 100
4. ขอ้ มูลไม่มีการแจกแจงความถAี

ขGนั ที$ 2 หาค่าเฉลAียเลขคณิต ( x ) ดงั นFี

n
å= xi
สูตร
x i=1
N

แทนค่า x = 7500
100
x = 75

ขGนั ท$ี 3 หาค่าความแปรปรวน ( S2 ) ดงั นFี

n
å= ( )xi2
สูตรทีA 2 S2 i =1 - x2

N

แทนค่า S2= 575000 - ( 75)2
100
S2 = 5750 - 5625
S 2 = 125 ตอบ

ตวั อย่างท$ี 7.15 ขอ้ มูลชุดหนAึงมีความแปรปรวนเท่ากบั 5 จงหาส่วนเบีAยงเบนมาตรฐาน
วธิ ีทาํ ขGนั ที$ 1 จากโจทยเ์ ราทราบ 1. ค่า S2 = 5

2. ขอ้ มูลไม่มีการแจกแจงความถีA

ขGนั ท$ี 2 เราทราบวา่ ค่าความแปรปรวนเกิดจากการนาํ ค่าส่วนเบีAยงเบนมาตรฐานมายกกาํ ลงั สอง ดงั นFนั
S.D. = 5 ตอบ

ตวั อย่างที$ 7.16 ตารางแจกแจงความถAีของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ จงคาํ นวณหาค่าความแปรปรวน ( S2 )

คะแนน ความถAี ( fi )
1-3 2
4-6 4
7-9 3
10-12 2
13-15 1

N= n = 12

å fi
i =1

วธิ ีทาํ ขGนั ท$ี 1 จากโจทยเ์ ราทราบ 1.ค่าความถีAของแต่ละอนั ตรภาคชFนั ( fi )

2. ค่า N = n = 12

å fi
i =1

3. ขอ้ มูลมีการแจกแจงความถีA

ขGนั ที$ 2 หาค่าเฉลีAยเลขคณิต ( x ) ดงั นFี

คะแนน ความถAี ( fi ) ค่ากAึงกลาง ( xi ) fi × xi xi2 fi × xi2
1-3 2 2
4-6 5 4 4 8
7-9 4 8 20 25 100
10-12 3 11 24 64 192
13-15 2 14 22 121 242
1 14 196 196

N= n = 12 n fi xi = 84 n fi xi2 = 738

å fi å å
i =1
i =1 i =1

n
å fi xi
สูตร
=x i=1

N

x = 84
12
x= 7

ขGนั ที$ 3 หาค่าความแปรปรวน ( S2 ) ดงั นFี

n
å= ( )fi xi2
สูตรทีA 2 S2 i =1 - x2

N

แทนค่า S2= 738 - ( 7 )2
12
S2 = 61.50 ตอบ

ตวั อย่างท$ี 7.17 ตารางแสดงจาํ นวนโทรทศั นต์ ่อเดือนของพนกั งานขาย 10 คน ของบริษทั แห่งหนAึง จงหาความ
แปรปรวนของจาํ นวนโทรทศั นท์ Aีขายไดต้ ่อเดือน

จาํ นวนโทรทศั น์ 0-2 3-5 6-8 9-11 12-14

จาํ นวนพนกั งานขาย (คน) 1 2 3 0 4

วธิ ีทาํ ขGนั ที$ 1 จากโจทยเ์ ราทราบ 1. ค่าความถAีของแต่ละอนั ตรภาคชFนั ()

2. ค่า N= n =10

å fi
i =1

3.ขอ้ มูลมีการแจกแจงความถีA
ขGนั ท$ี 2 หาค่าเฉลAียเลขคณิต ( x ) ดงั นFี

จาํ นวนโทรทศั น์ พนกั งานขาย ( fi ) ค่ากAึงกลาง ( xi ) fi × xi xi2 fi × xi2
1
0-2 1 1 1 1
3-5 2 4 8 16 32
6-8 3 7 21 49 147
9-11 10 100
12-14 0 13 0 169 0
4 52 676

N= n = 10 n fi xi = 82 n fi xi2 = 856

å fi å å
i =1
i =1 i =1

สูตร n
แทนค่า
å fi xi

=x i=1

N

x = 82
10
x = 8.2

ขGนั ที$ 3 หาค่าความแปรปรวน ( S2 ) ดงั นFี

n
åสูตร = ( )fi xi2
S2 i =1 - x2

N

แทนค่า S2= 856 - (8.2)2
10
S2 = 85.6 – 67.24
S2 = 18.36

\ ความแปรปรวนของจาํ นวนโทรทศั นต์ ่อเดือนเท่ากบั 18.36 ตอบ

2.2 การวดั การกระจายสัมพนั ธ์

การวดั ค่าการกระจายสมั พนั ธ์ เป็นการวดั ค่าการกระจายของขอ้ มูลตFงั แต่สองชุดขFึนไป ซAึงนาํ ไป
เปรียบเทียบวา่ ขอ้ มูลชุดใดมีการกระจายมากนอ้ ยกวา่ กนั ได้ การวดั การกระจายสมั พนั ธ์มี 4 วธิ ี คือ

2.2.1 สมั ประสิทธTิของพิสยั (Coefficient of Range)

สูตร สมั ประสิทธTิของพิสยั = X max - X min
X max + X min

เมAือ Xmax คือ ค่าสูงสุดของขอ้ มูล
Xmin คือ ค่าตAาํ สุดของขอ้ มูล

2.2.2 สมั ประสิทธTิของส่วนเบีAยงเบนควอไทล์ (Coefficient of Quartile Deviation)

สูตร สมั ประสิทธTิของส่วนเบีAยงเบนควอไทล์ = Q3 - Q1
Q3 + Q1

เมืAอ Q1 คือ ตาํ แหน่งของควอไทลท์ ีA 1
Q3 คือ ตาํ แหน่งของควอไทลท์ Aี 3

2.2.3 สมั ประสิทธTิของส่วนเบีAยงเบนเฉลีAย (Coefficient of Mean Deviation)

สูตร สมั ประสิทธTิของส่วนเบAียงเบนเฉลAีย =

2.2.4 สมั ประสิทธTิการแปรผนั (Coefficient of Variation)

สูตร สมั ประสิทธTิการแปรผนั = ส่วนเบีAยงเบนมาตรฐาน
ค่าเฉลยAี เลขคณิต

C.V. = S.D.
x

เมAือ S.D. คือ ส่วนเบีAยงเบนมาตรฐาน
x คือ ค่าเฉลีAยเลขคณิต

Ñ การหาค่าสัมประสิทธJิของพสิ ัย (Coefficient of Range)

ข้อพจิ ารณา 1. เป็นการวดั การกระจายสมั พนั ธ์
2. มีขอ้ มูลตFงั แต่สองชุดขFึนไป
3.เป็นการเปรียบเทียบการกระจายวา่ ขอ้ มูลกลุ่มใดมีการกระจายมากนอ้ ยกวา่ กนั

ตวั อย่างท$ี 7.18 จงหาสมั ประสิทธTิของพิสยั ของขอ้ มูลต่อไปนFี
5 4 8 7 10 6 9
วธิ ีทาํ ขGนั ที$ 1 จากโจทยเ์ ราทราบ
1. ค่า Xmax = 10
2. ค่า Xmin = 4
3. สูตรสมั ประสิทธTิของพิสยั
ขGนั ท$ี 2 หาค่าสมั ประสิทธTิของพิสยั ดงั นFี

สูตร สมั ประสิทธTิของพิสยั = X max - X min
X max + X min

แทนค่า สมั ประสิทธTิของพิสยั = 10 - 4
10 + 4

= 6
14

= 3
7
= 0.43 ตอบ

ตวั อย่างท$ี 7.19 จงเปรียบเทียบการกระจายรายไดข้ อง 2 ครอบครัว ดงั นFี
รายไดข้ องครอบครัวทAี 1 3500 2400 6400 4200 5100
รายไดข้ องครอบครัวทีA 2 3080 2100 2000 3200 2300 2600 1750

วธิ ีทาํ ขGนั ที$ 1 จากโจทยเ์ ราทราบ 1. เป็นการวดั การกระจายสมั พทั ธ์ มีขอ้ มูล 2 ชุด
2. ครอบครัวทีA 1 มี Xmax = 6400, Xmin = 2400
3.ครอบครัวทAี 2 มี Xmax = 3200, Xmin = 1750

ขGนั ที$ 2 หาสมั ประสิทธTิของพิสยั ดงั นFี

สูตร สมั ประสิทธTิของพิสยั = X max - X min
X max + X min

ครอบครัวทAี 1 สมั ประสิทธTิของพิสยั = 6400 - 2400
6400 + 2400

= 4000
8800

= 5
11
= 0.45

ครอบครัวทีA 2 สมั ประสิทธTิของพิสยั = 3200 -1750
3200 +1750

= 1450
4950

= 29
99
= 0.29
\ ครอบครัวทAี 1 มีการกระจายรายไดม้ ากกวา่ ครอบครัวทีA 2 ตอบ

ตวั อย่างที$ 7.20 ค่าสมั ประสิทธTิของพิสยั เท่ากบั 0.125 และคะแนนสอบสูงสุดของนกั เรียนในชFนั เป็น 45 คะแนน จง
หาคะแนนตAาํ สุด
วธิ ีทาํ ขGนั ที$ 1 จากโจทยเ์ ราทราบ 1. สมั ประสิทธTิของพิสยั = 0.125
2. ค่า Xmax = 45
3. เป็นการวดั การกระจายสมั พทั ธ์

ขGนั ท$ี 2 จากสูตร สมั ประสิทธTิของพิสยั = X max - X min
X max + X min

แทนค่า 0.125 = 45 - X min
45 + X min

0.125 (45 + X min ) = 45 - X min

5.625 + 0.125 X min = 45 - X min
1 Xmin + 0.125 Xmin = 45 – 5.625
1.125 Xmin = 39.375

X min = 39.375
1.125
X min = 35
\คะแนนตAาํ สุดของนกั เรียนในชFนั คือ 35 คะแนน ตอบ

Ñ การหาค่าสัมประสิทธJิแปรผนั (Coefficient of Variation)

ข้อพจิ ารณา 1. เป็นการวดั การกระจายสมั พทั ธ์
2. มีขอ้ มูลตFงั แต่ 2 ชุดขFึนไป
3. เป็นการเปรียบเทียบวา่ ขอ้ มูลชุดใดมีการกระจายตวั มากนอ้ ยกวา่ กนั

ตวั อย่างท$ี 7.21 จงหาสมั ประสิทธTิแปรผนั ของราคาสินคา้ 2 ชนิด ดงั นFี
ราคาสินคา้ ชนิดทีA 1 7 3 5 6 12
ราคาสินคา้ ชนิดทAี 2 60 52 44 45 39

วธิ ีทาํ ขGนั ท$ี 1 จากโจทยเ์ ราทราบ 1. สูตรสมั ประสิทธTิแปรผนั C.V. = S.D.
x
2. ทราบค่า xi ของขอ้ มูลแต่ละชนิด และค่า N = 5
3. เป็นการวดั การกระจายสมั พทั ธ์

ขGนั ท$ี 2 หาค่าเฉลAียเลขคณิต ( x ) ของขอ้ มูลแต่ละชุด ดงั นFี

สูตร n
แทนค่า
แทนค่า å= xi

x i=1
N

x1 = 7 + 3 + 5 + 6 +12 = 33 = 6.6
5 5

x2 = 60 + 52 + 44 + 45 + 39 = 240 = 48
5 5

ขGนั ที$ 3 หาค่าส่วนเบAียงเบนมาตรฐาน (S.D.) ของขอ้ มูลแต่ละชุด ดงั นFี

สูตร S.D. = ån ( xi - x )2

i =1

N

แทนค่า ( S.D.)1 = (7 - 6.6)2 + (3 - 6.6)2 + (5 - 6.6)2 + (6 - 6.6)2 + (12 - 6.6)2

5

= (0.4)2 + (-3.6)2 + (-1.6)2 + (-0.6)2 + (5.4)2

5

= 0.16 +12.96 + 2.5 + 0.36 + 29.16
5

= 45.2
5

= 9.04
= 3.01

แทนค่า (S.D.)2 = (60 - 48)2 + (52 - 48)2 + (44 - 48)2 + (45 - 48)2 + (39 - 48)2

5

= (12)2 + (4)2 + (-4)2 + (-3)2 + (-9)2

5

= 144 +16 +16 + 9 + 81
5

= 266
5

= 53.2
= 7.29
ขGนั ท$ี 4 หาค่าสมั ประสิทธTิแปรผนั ของขอ้ มูลแต่ละชุด ดงั นFี

สูตร C.V. = S.D.
แทนค่า x

(C.V .)1 = 3.01
6.6
= 0.46

แทนค่า (C.V .)2 = 7.29
48
= 0.15
\ราคาสินคา้ ชนิดทAี 1 มีการกระจายตวั มากกวา่ ราคาสินคา้ ชนิดทAี 2 ตอบ

ตวั อย่างที$ 7.22 จงหาสมั ประสิทธTิแปรผนั ของขอ้ มูลต่อไปนFี
8 10 5 7 6 4 9

วธิ ีทาํ ขGนั ที$ 1 จากโจทยเ์ ราทราบ 1. สูตรสมั ประสิทธTิแปรผนั C.V. = S.D.
x
2. ค่าของ xi ของขอ้ มูลแต่ละตวั
3. ค่าของ N = 7

ขGนั ที$ 2 หาค่าเฉลีAยเลขคณิต ( x ) ดงั นFี

สูตร n
แทนค่า
å= xi

x i=1
N

x = 8 +10 + 5 + 7 + 6 + 4 + 9
7

= 49
7
=7

ขGนั ที$ 3 หาค่าส่วนเบีAยงเบนมาตรฐาน (S.D.)

สูตร S.D. = ån fi ( xi - x )2

i =1

N

แทนค่า S.D. = (8 - 7)2 + (10 - 7)2 + (5 - 7)2 + (7 - 7)2 + (6 - 7)2 + (4 - 7)2 + (9 - 7)2

7

= (1)2 + (3)2 + (-2)2 + (0)2 + (-1)2 + (-3)2 + (2)2

7

= 1+9+ 4+0+1+9+ 4
7

= 284
7

=4
=2
ขGนั ท$ี 4 หาสมั ประสิทธTิแปรผนั (C.V.) ดงั นFี

สูตร C.V. = S.D.
แทนค่า x

C.V. = 2
7
= 0.29 ตอบ

ตวั อย่างที$ 7.23 ขอ้ มูลชุดหนAึงมี 10 จาํ นวน ถา้ หาค่าสมั ประสิทธTิแปรผนั ไดเ้ ท่ากบั 5% และ 10 = 400 จงหาค่า

å xi
i =1

ส่วนเบีAยงเบนมาตรฐานของขอ้ มูลชุดนFี
วธิ ีทาํ ขGนั ท$ี 1 จากโจทยเ์ ราทราบ 1. ค่า N = 10

2. ค่า 10 = 400

å xi
i =1

3. ค่า C.V. = 5% หรือ C.V. = 0.05

4. สูตร C.V. = S.D.
x

ขGนั ที$ 2 หาค่าเฉลAียเลขคณิต ( x ) ดงั นFี

สูตร n
แทนค่า
å= xi

x i=1
N

x = 400
10
= 40

ขGนั ท$ี 3 หาค่าส่วนเบAียงเบนมาตรฐาน (S.D.) จากสูตร C.V. ดงั นFี

สูตร C.V. = S.D.
x

แทนค่า 0.05 = S.D.
40
0.05´ 40 = S.D.
S.D. = 2
\ค่าส่วนเบีAยงเบนมาตรฐานของขอ้ มูลชุดนFีคือ 2 ตอบ

!!! @@@ &&& @@@ !!!


Click to View FlipBook Version