บทที$ 7
การวดั การกระจายของข้อมูล
1. การวดั การกระจายของข้อมูล เป็นการดูวา่ ขอ้ มูลมีการกระจายจากค่ากลางของขอ้ มูลมากนอ้ ยอยา่ งไร
(ขอ้ สงั เกต ถา้ มีค่ามากแสดงวา่ ขอ้ มูลมีการกระจายมาก หรือไม่อยใู่ นกลุ่มนนัA เอง)
ตวั อย่างที$ 7.1 จากผลการทดสอบความรู้พFืนฐานวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรียน 2 กลุ่ม ปรากฏผล ดงั นFี
กลุ่มทีA 1 20 30 52 43 11 17 37
กลุ่มทีA 2 23 34 26 32 24 38 33
วธิ ีทาํ ขFนั ทAี1 หาค่าเฉลAีย ( x ) ทFงั 2 กลุ่มไดด้ งั นFี
ค่าเฉลAียกลุ่มทีA 1 x1 = åx = 20 + 30 + 52 + 43 +11+17 + 37 = 210 = 30
ค่าเฉลAียกลุ่มทีA 2 7 7
N
x2 = åx = 23 + 34 + 26 + 32 + 24 + 38 + 33 = 210 = 30
7 7
N
สรุป ทFงั 2 กลุ่มมีค่าเฉลAีย ( x ) = 30 เท่ากนั แสดงวา่ นกั เรียนทFงั สองกลุ่มมีความรู้พFืนฐานพอๆ กนั
ขFนั ทAี 2 การวดั การกระจายสมั พนั ธ์ของขอ้ มูลทFงั 2 กลุ่ม ไดด้ งั นFี
สมั ประสิทธTิของพิสยั กลุ่มทAี 1 = xmax - xmin = 52 -11 = 41 = 0.65
xmax + xmin 52 + 11 63
สมั ประสิทธTิของพิสยั กลุ่มทีA 2 = xmax - xmin = 38 - 23 = 1651 = 0.25
xmax + xmin 38 + 23
สรุป ขอ้ มูลนกั เรียนกลุ่มทีA 1 มีการกระจายตวั มากกวา่ กลุ่ม 2 แสดงวา่ นกั เรียนกลุ่ม 1
มีความรู้พFืนฐานแตกต่างกนั มากกวา่ กลุ่มทAี 2
2. การวดั การกระจายของข้อมูลมี 2 แบบ คือ
2.1 การวดั การกระจายสัมบูรณ์ (Absolute Variation)
เราจะมาศึกษาการจดั การกระจายแบบสมั บูรณ์ (Absolute Variation) ซAึงเป็นการจดั การกระจายของขอ้ มูลเพียงชุด
เดียววา่ มีการกระจายมากนอ้ ยเพียงใด ซAึงทาํ ได้ 4 วธิ ี คือ
2.1.1 พสิ ัย (Range)
1. ขอ้ มูลไม่แจกแจงความถAี
สูตร พิสยั = X max - X min
เมAือ Xmax คือ ค่าสูงสุดของขอ้ มูล
Xmin คือ ค่าตAาํ สุดของขอ้ มูล
2. ขอ้ มูลแจกแจงความถAี
สูตร พิสยั = ขอบเขตของอนั ตรภาคชFนั สูงสุด – ขอบเขตของอนั ตรภาคชFนั ตAาํ สุด
2.1.2 ส่วนเบย$ี งเบนควอไทล์ (Quartile Deviation)
1. ขอ้ มูลไม่แจกแจงความถีA
สูตร Q.D. = Q3 - Q1
2
เมAือ Q1 คือ ตาํ แหน่งควอไทลท์ ีA 1
Q3 คือ ตาํ แหน่งควอไทลท์ Aี 3
การหาค่าของ Q1, Q3 ไดจ้ ากสูตรขา้ งล่างนFี
สูตร Qr = r (N +1)
4
เมืAอ r คือ ตาํ แหน่งของ Q
N คือ จาํ นวนขอ้ มูลทFงั หมด
2. ขอ้ มูลมีการแจกแจงความถAี
สูตร Qr = L é rN -å fL ù I
ê 4 fQr ú
+ ê ú
ê ú
ëû
เมAือ L คือ ขอบเขตล่างทAี Qr อยู่
rN คือ ตาํ แหน่งของ Qr
4
å fL คือ ความถีAสะสมของชFนั ทAีอยตู่ Aาํ กวา่ Qr อยู่
fQr คือ ความถAีทAี Qr อยู่
I คือ ความกวา้ งของอนั ตรภาคชFนั
2.1.3 ส่วนเบ$ียงเบนเฉลยี$ (Mean Deviation)
กรณีทAี 1 ขอ้ มูลไม่มีการแจกแจงความถีA
n
å xi - x
สูตร M.D. = N
i =1
กรณีทAี 2 ขอ้ มูลมีการแจกแจงความถีA
n
å fi xi -x
สูตร M.D. = N
i =1
เมAือ N คือ จาํ นวนขอ้ มูลทFงั หมดหรือความถAีทFงั หมด
2.1.4 ส่วนเบย$ี งเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)
กรณีทAี 1 ขอ้ มูลไม่มีการแจกแจงความถีA
สูตร S.D. หรือ S = ån ( xi - x )2
i =1
N
n
å= xi2
i =1 - ( x )2
N
โดยทีA S.D. แทน ส่วนเบีAยงเบนมาตรฐาน
Xi แทน ขอ้ มูลตวั ทAี i (i = 1, 2,3,...n)
X แทน ค่าเฉลAียเลขคณิต
N แทน จาํ นวนขอ้ มูลทFงั หมด
กรณีทีA 2 ขอ้ มูลมีการแจกแจงความถีA
n2
å fi ( xi - x )
สูตร S.D. หรือ S =
i =1
N
n
å fi xi2
i =1 -x2
=N
โดยทีA S.D. แทน ส่วนเบีAยงเบนมาตรฐาน
Xi แทน ขอ้ มูลตวั ทีA i (i = 1, 2,3,...k)
X แทน ค่าเฉลAียเลขคณิต
fi แทน ความถีAของแต่ละชFนั
N แทน จาํ นวนขอ้ มูลทFงั หมด
Ñ การหาค่าพสิ ัย (Range)
ข้อพจิ ารณา 1. เป็นการวดั การกระจายสมั บูรณ์
2. ขอ้ มูลมีเพียงชุดเดียว
3. การหาค่าพิสยั มีเพียง 2 กรณี คือ ขอ้ มูลมีการแจกแจงความถีAกบั ขอ้ มูลไม่มีการแจกแจงความถีA
กรณที ี$ 1 ข้อมูลไม่มกี ารแจกแจงความถี$ (ไม่มตี าราง)
สูตร พิสยั = ค่าสูงสุด – ค่าตAาํ สุด
พิสยั = X max - X min
ตวั อย่างท$ี 7.2 จงหาพิสยั ของอายุ (ปี ) ของนกั เรียนกลุ่มหนAึง ดงั นFี
15 17 16 15 22 19 21 20 23 17
วธิ ีทาํ สูตร พิสยั = X max - X min
แทนค่า พิสยั = 23 – 15
=8
\ พิสยั ของอายนุ กั เรียนกลุ่มนFี คือ 8 ปี ตอบ
ตวั อย่างที$ 7.3 จงหาพิสยั จากขอ้ มูลต่อไปนFี 11
8 10 17 6 14 4
วธิ ีทาํ สูตร พิสยั = X max - X min
แทนค่า พิสยั = 17 - 4
= 13 ตอบ
กรณที $ี 2 ข้อมูลมกี ารแจกแจงความถ$ี (มตี าราง)
สูตร พิสยั = ขอบเขตบนของอนั ตรภาคชFนั สูงสุด – ขอบเขตล่างของอนั ตรภาคชFนั ตAาํ สุด
ตวั อย่างท$ี 7.4 จงหาค่าพิสยั ของนFาํ หนกั ของนกั เรียน 70 คน ปรากฏดงั นFี
ชFนั ตาAํ สุด จะไดข้ อบเขตลา่ ง คอื นFาํ หนกั (กก.) จาํ นวนนกั เรียน
60 – 64
59.5 65 – 69 4
70 – 74 10
ชFนั สูงสุด จะไดข้ อบเขตบน คอื 75 – 79 16
80 – 84 15
89.5 85 – 89 14
11
รวม
N = 70
วธิ ีทาํ สูตร พิสยั = ขอบเขตบนของอนั ตรภาคชFนั สูงสุด – ขอบเขตล่างของอนั ตรภาคชFนั ตAาํ สุด
แทนค่า พิสยั = 89.5 – 59.5
= 30
\พิสยั ของนFาํ หนกั ของนกั เรียนกลุ่มนFี คือ 30 กิโลกรัม ตอบ
ตวั อย่างท$ี 7.5 จากตารางคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์พFืนฐานของนกั เรียนหอ้ งหนAึง จงหาพิสยั
ชFนั ตAาํ สุด จะไดข้ อบเขตล่าง คือ 20.5 ชFนั สูงสุด จะไดข้ อบเขตบน คือ 45.5
คะแนนสอบ 21 - 25 26 – 30 31 – 35 36 – 40 41 – 45
3 7 10 7 3
จาํ นวนนกั เรียน
วธิ ีทาํ สูตร พิสยั = ขอบเขตบนของอนั ตรภาคชFนั สูงสุด – ขอบเขตล่างของอนั ตรภาคชFนั ตAาํ สุด
แทนค่า พิสยั = 45.5 – 20.5
= 25
\พิสยั ของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์พFืนฐาน คือ 25 คะแนน ตอบ
Ñ การหาค่าส่วนเบย$ี งเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)
ข้อพจิ ารณา 1. เป็นการวดั การกระจายสมั บูรณ์
2. ขอ้ มูลมีเพียงชุดเดียว
3. ดูวา่ ขอ้ มูลมีการแจกแจงความถีAหรือไม่มีการแจกแจงความถีA
กรณที $ี 1 ข้อมูลไม่มกี ารแจกแจงความถ$ี (ไม่มตี าราง)
สูตรทีA 1 S.D. หรือ S = ån ( xi - x )2
i =1
N
n
å xi2
สูตรทAี 2 S.D. หรือ S = i =1 - ( x )2
N
เมAือ N = จาํ นวนขอ้ มูลทFงั หมด
x = ค่าเฉลAียเลขคณิต
xi = ค่าของขอ้ มูลแต่ตวั เมืAอ xi = 1, 2, …, n
ตวั อย่างที$ 7.6 จงหาค่าส่วนเบAียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์พFืนฐานของนกั เรียนจาํ นวน 5 คน
ปรากฏดงั นFี 32 28 30 23 37
วธิ ีทาํ สูตรทีA 1 S.D. = ån ( xi - x )2
i =1
N
ขGนั ที$ 1 จากโจทยเ์ ราจะทราบวา่ 1. N = 5
2. xi แต่ละตวั คือ 32 28 30 23 37
x1 x2 x3 x4 x5
5
å= xi
ขGนั ที$ 2 สAิงทีAตอ้ งหา คือ ค่า x จากสูตร
x i=1
5
x = 32 + 28 + 30 + 23 + 37
5
x = 150
5
x = 30
ขGนั ที$ 3 แทนค่าเพAือหาค่า S.D. จากสูตร S.D. = å5 ( xi - x )2
i =1
N
= (32 - 30)2 + (28 - 30)2 + (30 - 30)2 + (23 - 30)2 + (37 - 30)2
5
= (2)2 + (-2)2 + (0)2 + (-7)2 + (7)2
5
= 4 + 4 + 0 + 49 + 49
5
= 106
5
= 21.2
= 4.6
n
å xi2
สูตรทีA 2 S.D. = i =1 - ( x )2
แทนค่า
N
S.D. = (32)2 + (28)2 + (30)2 + ( 23)2 + (37)2 - (30)2
5
= 1024 + 784 + 900 + 529 + 1369 - (900)
5
= 4606 - (900)
5
= 921.2 - 900
= 21.2 ตอบ
= 4.6
\ ส่วนเบAียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์พFืนฐาน คือ 4.6 คะแนน
ตวั อย่างที$ 7.7 จากขอ้ มูลต่อไปนFี 8, 14, 6, 4, 17, 10, 11 จงหาค่าส่วนเบีAยงเบนมาตรฐาน
n
å xi2
วธิ ีทาํ สูตร S.D. = i =1 - ( x )2
N
ขGนั ที$ 1 จากโจทยเ์ ราจะทราบค่า 1. N = 7
2. ค่า xi แต่ละตวั 8, 14, 6, 4, 17, 10, 11
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
ขGนั ที$ 2 หาค่าเฉลีAยเลขคณิตจากสูตร 7
å= xi
x i=1
N
= 8 +14 + 6 + 4 +17 +10 + 11
7
= 70
7
= 10
7
å xi2
ขGนั ท$ี 3 แทนค่า S.D. = i =1 - ( x )2
N
= æ 82 + 142 + 62 + 42 +172 + 102 + 112 ö - (10)2
ç 7 ÷
è ø
= 117.42 -100
= 17.42
= 4.17 ตอบ
ตวั อย่างท$ี 7.8 กาํ หนดให้ 50 ( xi - x )2 = 450 , 50 xi2 = 1250 และ N = 50 จงหาค่าเฉลีAยเลขคณิต และ
å å
i=1 i=1
ส่วนเบAียงเบนมาตรฐาน
วธิ ีทาํ สูตรทAี 1 S.D. = ån ( xi - x )2
i =1
N
แทนค่า S.D. = 450
50
สูตรทAี 2
แทนค่า =9
จะไดว้ า่ =3
7
å xi2
S.D. = i =1 - ( x )2
N
S.D. = æ 1250 ö - ( x )2
èç 50 ø÷
= 25 - ( x )2
9 = 25 - ( x )2 ตอบ
9 = 25 - ( x )2
( x )2 = 25 - 9
( x )2 = 16
x = 16
x=4
กรณที ี$ 2 ข้อมูลมกี ารแจกแจงความถี$ (มตี าราง)
สูตรทีA 1 S.D. = ån fi ( xi - x )2
สูตรทAี 2 S.D. =
i =1
N
n
å fi xi2
i =1 - ( x )2
N
เมAือ xi คือ ค่ากAึงกลางของอนั ตรภาคชFนั
N = n f i คือ จาํ นวนขอ้ มูลทFงั หมด หรือ ผลรวมของความถีA
å
i =1
x คือ ค่าเฉลีAยเลขคณิต
ตวั อย่างท$ี 7.9 จากตารางต่อไปนFีเป็นคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์พFืนฐานของนกั เรียน 30 คน ปรากฏดงั นFี
คะแนน ความถAี ( fi )
21-25 3
26-30 7
31-35 10
36-40 7
41-45 3
วธิ ีทาํ สูตรทAี 1 S.D. = ån fi ( xi - x )2
i =1
N
ขGนั ที$ 1 จากโจทยเ์ ราทราบวา่ 1. ค่า fi ของแต่ละอนั ตรภาคชFนั 2. ค่า N = 30
ขGนั ท$ี 2 หาค่า xi และ x ดงั นFี
คะแนน ความถAี ( fi ) ค่ากAึงกลาง ( xi ) fi × xi xi - x ( xi - x )2 fi ( xi - x )2
21-25 3 100 300
26-30 7 23 69 -10 25
31-35 28 196 -5 0 175
36-40 10 33 330 0 25 0
41-45 7 38 266 5 100 175
3 43 129 10 300
N = n fi = 30 n fi × xi = 990 n fi ( xi - x )2 = 950
å å å
i =1 i =1 i =1
n
å fi × xi
หาค่า x= i =1
แทนค่า
N
x = 990
30
x = 33
หาค่า S.D. = ån fi ( xi - x )2
i =1
N
แทนค่า S.D. = 950
30
= 31.67
= 5.62 ตอบ
ตวั อย่างที$ 7.10 ตารางต่อไปนFีแสดงนFาํ หนกั คิดเป็นกิโลกรัมของนกั เรียน 50 คน
นFาํ หนกั (กิโลกรัม) ความถีA ( fi )
20-22 1
23-25 0
26-28 12
29-31
32-34 17
35-37 11
38-40 7
2
N = n fi = 50
å
i =1
จงหาค่า เฉลAียเลขคณิต ( x ) และค่าเบAียงเบนมาตรฐาน (S.D.)
วธิ ีทาํ ขGนั ที$ 1 จากโจทยเ์ ราทราบค่า 1. N = n fi = 50
å
i =1
ขGนั ท$ี 2 หาค่าเฉลีAยเลขคณิต ( x ) 2. ค่า fi ของแต่ละอนั ตรภาคชFนั
7
å fi xi
จากสูตร x= i =1
N
นFาํ หนกั (กิโลกรัม) ความถีA ( fi ) ค่ากAึงกลาง ( xi ) fi × xi xi2 fi xi2
1 21
20-22 21 441 441
23-25 0 24 0 576 0
26-28 12 27 324 729 8748
29-31 17 30 510 900 15300
32-34 11 33 363 1089 11979
35-37 7 36 252 1296 9072
38-40 2 39 78 1521 3024
N = n fi = 50 7 fi xi = 1548 7 fi xi 2 = 48582
å å å
i =1 i =1 i =1
x = 1548 = 30.96 ตอบ
50
ขGนั ท$ี 3 หาค่าส่วนเบAียงเบนมาตรฐาน (S.D.)
n
å fi xi2
จากสูตร S.D. = i =1 - ( x )2
N
= 48582 - ( 30.96 )2
50
= 971.64 - 958.52
= 13.12 ตอบ
= 3.62
ตวั อย่างท$ี 7.11 ดาํ แดง และขาว ต่างช่างนFาํ หนกั แลว้ นาํ ผลมาคาํ นวณหาค่า x = 50 และค่า S.D. = 0 ถา้ นาํ นFาํ หนกั
ของสุดามาคาํ นวณดว้ ยปรากฏวา่ ค่า x = 45 จงหาค่าส่วนเบAียงเบนมาตรฐาน (S.D.) ของนFาํ หนกั ทFงั 4 คนนFี
วธิ ีทาํ ขGนั ที$ 1 พิจารณาโจทยเ์ ราทราบวา่ 1. ขอ้ มูลเป็นแบบไม่แจกแจงความถAี
2. ค่า S.D. = 0 แสดงวา่ ขอ้ มูลของดาํ แดง และขาว จะเท่ากนั
หมด (คุณสมบตั ิขอ้ 4)
ขGนั ท$ี 2 หานFาํ หนกั ของดาํ แดง และขาวไดด้ งั นFี
สูตร 3
แทนค่า
å= xi
x i=1
N
50 = x1 + x2 + x3
3
50 = 3x
3
x = 50
\ แดง ดาํ และขาว มีนFาํ หนกั เท่ากนั คือ 50 กิโลกรัม ตอบ
ขGนั ท$ี 3 หานFาํ หนกั ของสุดาไดด้ งั นFี
4
å= xi
สูตร
x i=1
N
แ\ทนสคุด่าาม1ีน8Fาํ 0ห4–น511กั´58343040050=====กx1X1ิโ1สา55าสล50ุ0ดกุ0ด4ร+++ัมxxxาาสสสาุุดดุด ตอบ
ขGนั ท$ี 4 หาค่าส่วนเบีAยงเบนมาตรฐาน (S.D.) ของคนทFงั 4 คน ดงั นFี
4 fi xi2
åS.D. =
สูตร i =1 - ( x )2
N
S.D. = æ 2500 + 2500 + 2500 + 900 ö - ( 45)2
çè 4 ÷ø
S.D. = æ 8400 ö - 2025
çè 4 ÷ø
S.D. = 2100 - 2025
S.D. = 75
S.D. = 8.66 ตอบ
ตวั อย่างท$ี 7.12 นกั เรียนกลุ่มหนAึง 12 คน มีเงินค่ารถโดยสารรวมกนั 120 บาท และผลรวมของกาํ ลงั สองของเงินค่า
รถโดยสารของแต่ละคนเท่ากบั 2,172 บาท จงหาส่วนเบAียงเบนมาตรฐาน (S.D.) ของเงินค่ารถโดยสารของนกั เรียน
กลุ่มนFี
วธิ ีทาํ ขGนั ที$ 1 จากโจทยเ์ ราทราบ 1. ค่า N = 12
2. ค่า 12 xi2 = 2,172
å
i =1
3. ขอ้ มูลไม่มีการแจกแจงความถAี
4. ค่า 12 xi = 120
å
i =1
ขGนั ที$ 2 หาค่าเฉลAียเลขคณิต ( x ) ดงั นFี
สูตร å= 12
แทนค่า
x xi2
i =1
x = 120
12
x = 10
ขGนั ที$ 3 หาค่าส่วนเบAียงเบนมาตรฐาน (S.D.) ดงั นFี
12
å xi2
สูตร S.D. = i =1 - ( x )2
N
แทนค่า S.D. = 2172 - (10 )2
12
S.D. = 181-100
S.D. = 81
S.D. = 9 ตอบ
Ñ การหาค่าความแปรปรวน (Variance)
ความแปรปรวน (Variance) เป็นค่าของส่วนเบีAยงเบนมาตรฐานยกกาํ ลงั สอง โดยใชส้ ญั ลกั ษณ์ S2 หรือ
S.D.2 แทนค่าความแปรปรวน
กรณที ี$ 1 ข้อมูลไม่มกี ารแจกแจงความถี$
สูตรทีA 1 å ( )n xi - x 2
สูตรทีA 2
=S 2 i=1
N
n
å= ( )xi2
S2 i =1 - x2
N
กรณที $ี 2 ข้อมูลมกี ารแจกแจงความถ$ี
สูตรทีA 1 å ( )n f1 xi - x 2
สูตรทAี 2
=S 2 i=1
N
n
å= ( )fi xi2
S2 i =1 - x2
N
เมืAอ xi คือ ขอ้ มูลแต่ละค่า เมAือ i = 1, 2, …, n
N คือ จาํ นวนขอ้ มูลทFงั หมด
x คือ ค่าเฉลAียเลขคณิต
f1 คือ ความถีAของแต่ละอนั ตรภาคชFนั
ตวั อย่างที$ 7.13 จงหาค่าความแปรปรวนของขอ้ มูลต่อไปนFี 12, 10, 17, 13, 18
วธิ ีทาํ ขGนั ท$ี 1 จากโจทยเ์ ราทราบ 1. ค่า แต่ละค่า คือ 12, 10, 17, 13, 18
2. ค่า N = 5
3. ขอ้ มูลไม่มีการแจกแจงความถAี
ขGนั ที$ 2 หาค่าเฉลีAยเลขคณิต ( x ) ดงั นFี
n
å= xi
สูตร
x i=1
N
x = 12 + 10 + 17 +13 +18
5
x = 70
5
x = 14
ขGนั ที$ 3 หาค่าความแปรปรวน ( S2 ) ดงั นFี
สูตรทAี 1 å ( )n f1 xi - x 2
=S 2 i=1
N
แทนค่า S2= (12 -14)2 + (10 -14)2 + (17 -14)2 + (13 -14)2 + (18 -14)2
5
S2= ( -2 )2 + (-4)2 + (3)2 + (-1)2 + (4)2
5
S2= 4 +16 + 9 +1+16
5
S2= 46
5
S 2 = 9.2
n
å= ( )fi xi2
สูตรทีA 2 S2 i =1 - x2
แทนค่า
N
S2 = æ (12)2 + (10)2 + (17)2 + (13)2 + (18)2 ö - (14)2
èçç ÷÷ø
5
S2= æ 144 +100 + 289 + 169 + 324 ö -196
èç 5 ø÷
S2= 1026 -196
5
S2 = 205.2 - 196
S 2 = 9.2 ตอบ
ตวั อย่างที$ 7.14 กาํ หนดให้ 100 xi = 7,500 åและ 100 = 575,000 จงหาความแปรปรวน
xi2
å
i=1 i=1
วธิ ีทาํ ขGนั ท$ี 1 จากโจทยเ์ ราทราบ 1. ค่า 100 = 7,500
å xi
i =1
2. ค่า 100 = 575,000
å xi2
i =1
3. ค่า N = 100
4. ขอ้ มูลไม่มีการแจกแจงความถAี
ขGนั ที$ 2 หาค่าเฉลAียเลขคณิต ( x ) ดงั นFี
n
å= xi
สูตร
x i=1
N
แทนค่า x = 7500
100
x = 75
ขGนั ท$ี 3 หาค่าความแปรปรวน ( S2 ) ดงั นFี
n
å= ( )xi2
สูตรทีA 2 S2 i =1 - x2
N
แทนค่า S2= 575000 - ( 75)2
100
S2 = 5750 - 5625
S 2 = 125 ตอบ
ตวั อย่างท$ี 7.15 ขอ้ มูลชุดหนAึงมีความแปรปรวนเท่ากบั 5 จงหาส่วนเบีAยงเบนมาตรฐาน
วธิ ีทาํ ขGนั ที$ 1 จากโจทยเ์ ราทราบ 1. ค่า S2 = 5
2. ขอ้ มูลไม่มีการแจกแจงความถีA
ขGนั ท$ี 2 เราทราบวา่ ค่าความแปรปรวนเกิดจากการนาํ ค่าส่วนเบีAยงเบนมาตรฐานมายกกาํ ลงั สอง ดงั นFนั
S.D. = 5 ตอบ
ตวั อย่างที$ 7.16 ตารางแจกแจงความถAีของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ จงคาํ นวณหาค่าความแปรปรวน ( S2 )
คะแนน ความถAี ( fi )
1-3 2
4-6 4
7-9 3
10-12 2
13-15 1
N= n = 12
å fi
i =1
วธิ ีทาํ ขGนั ท$ี 1 จากโจทยเ์ ราทราบ 1.ค่าความถีAของแต่ละอนั ตรภาคชFนั ( fi )
2. ค่า N = n = 12
å fi
i =1
3. ขอ้ มูลมีการแจกแจงความถีA
ขGนั ที$ 2 หาค่าเฉลีAยเลขคณิต ( x ) ดงั นFี
คะแนน ความถAี ( fi ) ค่ากAึงกลาง ( xi ) fi × xi xi2 fi × xi2
1-3 2 2
4-6 5 4 4 8
7-9 4 8 20 25 100
10-12 3 11 24 64 192
13-15 2 14 22 121 242
1 14 196 196
N= n = 12 n fi xi = 84 n fi xi2 = 738
å fi å å
i =1
i =1 i =1
n
å fi xi
สูตร
=x i=1
N
x = 84
12
x= 7
ขGนั ที$ 3 หาค่าความแปรปรวน ( S2 ) ดงั นFี
n
å= ( )fi xi2
สูตรทีA 2 S2 i =1 - x2
N
แทนค่า S2= 738 - ( 7 )2
12
S2 = 61.50 ตอบ
ตวั อย่างท$ี 7.17 ตารางแสดงจาํ นวนโทรทศั นต์ ่อเดือนของพนกั งานขาย 10 คน ของบริษทั แห่งหนAึง จงหาความ
แปรปรวนของจาํ นวนโทรทศั นท์ Aีขายไดต้ ่อเดือน
จาํ นวนโทรทศั น์ 0-2 3-5 6-8 9-11 12-14
จาํ นวนพนกั งานขาย (คน) 1 2 3 0 4
วธิ ีทาํ ขGนั ที$ 1 จากโจทยเ์ ราทราบ 1. ค่าความถAีของแต่ละอนั ตรภาคชFนั ()
2. ค่า N= n =10
å fi
i =1
3.ขอ้ มูลมีการแจกแจงความถีA
ขGนั ท$ี 2 หาค่าเฉลAียเลขคณิต ( x ) ดงั นFี
จาํ นวนโทรทศั น์ พนกั งานขาย ( fi ) ค่ากAึงกลาง ( xi ) fi × xi xi2 fi × xi2
1
0-2 1 1 1 1
3-5 2 4 8 16 32
6-8 3 7 21 49 147
9-11 10 100
12-14 0 13 0 169 0
4 52 676
N= n = 10 n fi xi = 82 n fi xi2 = 856
å fi å å
i =1
i =1 i =1
สูตร n
แทนค่า
å fi xi
=x i=1
N
x = 82
10
x = 8.2
ขGนั ที$ 3 หาค่าความแปรปรวน ( S2 ) ดงั นFี
n
åสูตร = ( )fi xi2
S2 i =1 - x2
N
แทนค่า S2= 856 - (8.2)2
10
S2 = 85.6 – 67.24
S2 = 18.36
\ ความแปรปรวนของจาํ นวนโทรทศั นต์ ่อเดือนเท่ากบั 18.36 ตอบ
2.2 การวดั การกระจายสัมพนั ธ์
การวดั ค่าการกระจายสมั พนั ธ์ เป็นการวดั ค่าการกระจายของขอ้ มูลตFงั แต่สองชุดขFึนไป ซAึงนาํ ไป
เปรียบเทียบวา่ ขอ้ มูลชุดใดมีการกระจายมากนอ้ ยกวา่ กนั ได้ การวดั การกระจายสมั พนั ธ์มี 4 วธิ ี คือ
2.2.1 สมั ประสิทธTิของพิสยั (Coefficient of Range)
สูตร สมั ประสิทธTิของพิสยั = X max - X min
X max + X min
เมAือ Xmax คือ ค่าสูงสุดของขอ้ มูล
Xmin คือ ค่าตAาํ สุดของขอ้ มูล
2.2.2 สมั ประสิทธTิของส่วนเบีAยงเบนควอไทล์ (Coefficient of Quartile Deviation)
สูตร สมั ประสิทธTิของส่วนเบีAยงเบนควอไทล์ = Q3 - Q1
Q3 + Q1
เมืAอ Q1 คือ ตาํ แหน่งของควอไทลท์ ีA 1
Q3 คือ ตาํ แหน่งของควอไทลท์ Aี 3
2.2.3 สมั ประสิทธTิของส่วนเบีAยงเบนเฉลีAย (Coefficient of Mean Deviation)
สูตร สมั ประสิทธTิของส่วนเบAียงเบนเฉลAีย =
2.2.4 สมั ประสิทธTิการแปรผนั (Coefficient of Variation)
สูตร สมั ประสิทธTิการแปรผนั = ส่วนเบีAยงเบนมาตรฐาน
ค่าเฉลยAี เลขคณิต
C.V. = S.D.
x
เมAือ S.D. คือ ส่วนเบีAยงเบนมาตรฐาน
x คือ ค่าเฉลีAยเลขคณิต
Ñ การหาค่าสัมประสิทธJิของพสิ ัย (Coefficient of Range)
ข้อพจิ ารณา 1. เป็นการวดั การกระจายสมั พนั ธ์
2. มีขอ้ มูลตFงั แต่สองชุดขFึนไป
3.เป็นการเปรียบเทียบการกระจายวา่ ขอ้ มูลกลุ่มใดมีการกระจายมากนอ้ ยกวา่ กนั
ตวั อย่างท$ี 7.18 จงหาสมั ประสิทธTิของพิสยั ของขอ้ มูลต่อไปนFี
5 4 8 7 10 6 9
วธิ ีทาํ ขGนั ที$ 1 จากโจทยเ์ ราทราบ
1. ค่า Xmax = 10
2. ค่า Xmin = 4
3. สูตรสมั ประสิทธTิของพิสยั
ขGนั ท$ี 2 หาค่าสมั ประสิทธTิของพิสยั ดงั นFี
สูตร สมั ประสิทธTิของพิสยั = X max - X min
X max + X min
แทนค่า สมั ประสิทธTิของพิสยั = 10 - 4
10 + 4
= 6
14
= 3
7
= 0.43 ตอบ
ตวั อย่างท$ี 7.19 จงเปรียบเทียบการกระจายรายไดข้ อง 2 ครอบครัว ดงั นFี
รายไดข้ องครอบครัวทAี 1 3500 2400 6400 4200 5100
รายไดข้ องครอบครัวทีA 2 3080 2100 2000 3200 2300 2600 1750
วธิ ีทาํ ขGนั ที$ 1 จากโจทยเ์ ราทราบ 1. เป็นการวดั การกระจายสมั พทั ธ์ มีขอ้ มูล 2 ชุด
2. ครอบครัวทีA 1 มี Xmax = 6400, Xmin = 2400
3.ครอบครัวทAี 2 มี Xmax = 3200, Xmin = 1750
ขGนั ที$ 2 หาสมั ประสิทธTิของพิสยั ดงั นFี
สูตร สมั ประสิทธTิของพิสยั = X max - X min
X max + X min
ครอบครัวทAี 1 สมั ประสิทธTิของพิสยั = 6400 - 2400
6400 + 2400
= 4000
8800
= 5
11
= 0.45
ครอบครัวทีA 2 สมั ประสิทธTิของพิสยั = 3200 -1750
3200 +1750
= 1450
4950
= 29
99
= 0.29
\ ครอบครัวทAี 1 มีการกระจายรายไดม้ ากกวา่ ครอบครัวทีA 2 ตอบ
ตวั อย่างที$ 7.20 ค่าสมั ประสิทธTิของพิสยั เท่ากบั 0.125 และคะแนนสอบสูงสุดของนกั เรียนในชFนั เป็น 45 คะแนน จง
หาคะแนนตAาํ สุด
วธิ ีทาํ ขGนั ที$ 1 จากโจทยเ์ ราทราบ 1. สมั ประสิทธTิของพิสยั = 0.125
2. ค่า Xmax = 45
3. เป็นการวดั การกระจายสมั พทั ธ์
ขGนั ท$ี 2 จากสูตร สมั ประสิทธTิของพิสยั = X max - X min
X max + X min
แทนค่า 0.125 = 45 - X min
45 + X min
0.125 (45 + X min ) = 45 - X min
5.625 + 0.125 X min = 45 - X min
1 Xmin + 0.125 Xmin = 45 – 5.625
1.125 Xmin = 39.375
X min = 39.375
1.125
X min = 35
\คะแนนตAาํ สุดของนกั เรียนในชFนั คือ 35 คะแนน ตอบ
Ñ การหาค่าสัมประสิทธJิแปรผนั (Coefficient of Variation)
ข้อพจิ ารณา 1. เป็นการวดั การกระจายสมั พทั ธ์
2. มีขอ้ มูลตFงั แต่ 2 ชุดขFึนไป
3. เป็นการเปรียบเทียบวา่ ขอ้ มูลชุดใดมีการกระจายตวั มากนอ้ ยกวา่ กนั
ตวั อย่างท$ี 7.21 จงหาสมั ประสิทธTิแปรผนั ของราคาสินคา้ 2 ชนิด ดงั นFี
ราคาสินคา้ ชนิดทีA 1 7 3 5 6 12
ราคาสินคา้ ชนิดทAี 2 60 52 44 45 39
วธิ ีทาํ ขGนั ท$ี 1 จากโจทยเ์ ราทราบ 1. สูตรสมั ประสิทธTิแปรผนั C.V. = S.D.
x
2. ทราบค่า xi ของขอ้ มูลแต่ละชนิด และค่า N = 5
3. เป็นการวดั การกระจายสมั พทั ธ์
ขGนั ท$ี 2 หาค่าเฉลAียเลขคณิต ( x ) ของขอ้ มูลแต่ละชุด ดงั นFี
สูตร n
แทนค่า
แทนค่า å= xi
x i=1
N
x1 = 7 + 3 + 5 + 6 +12 = 33 = 6.6
5 5
x2 = 60 + 52 + 44 + 45 + 39 = 240 = 48
5 5
ขGนั ที$ 3 หาค่าส่วนเบAียงเบนมาตรฐาน (S.D.) ของขอ้ มูลแต่ละชุด ดงั นFี
สูตร S.D. = ån ( xi - x )2
i =1
N
แทนค่า ( S.D.)1 = (7 - 6.6)2 + (3 - 6.6)2 + (5 - 6.6)2 + (6 - 6.6)2 + (12 - 6.6)2
5
= (0.4)2 + (-3.6)2 + (-1.6)2 + (-0.6)2 + (5.4)2
5
= 0.16 +12.96 + 2.5 + 0.36 + 29.16
5
= 45.2
5
= 9.04
= 3.01
แทนค่า (S.D.)2 = (60 - 48)2 + (52 - 48)2 + (44 - 48)2 + (45 - 48)2 + (39 - 48)2
5
= (12)2 + (4)2 + (-4)2 + (-3)2 + (-9)2
5
= 144 +16 +16 + 9 + 81
5
= 266
5
= 53.2
= 7.29
ขGนั ท$ี 4 หาค่าสมั ประสิทธTิแปรผนั ของขอ้ มูลแต่ละชุด ดงั นFี
สูตร C.V. = S.D.
แทนค่า x
(C.V .)1 = 3.01
6.6
= 0.46
แทนค่า (C.V .)2 = 7.29
48
= 0.15
\ราคาสินคา้ ชนิดทAี 1 มีการกระจายตวั มากกวา่ ราคาสินคา้ ชนิดทAี 2 ตอบ
ตวั อย่างที$ 7.22 จงหาสมั ประสิทธTิแปรผนั ของขอ้ มูลต่อไปนFี
8 10 5 7 6 4 9
วธิ ีทาํ ขGนั ที$ 1 จากโจทยเ์ ราทราบ 1. สูตรสมั ประสิทธTิแปรผนั C.V. = S.D.
x
2. ค่าของ xi ของขอ้ มูลแต่ละตวั
3. ค่าของ N = 7
ขGนั ที$ 2 หาค่าเฉลีAยเลขคณิต ( x ) ดงั นFี
สูตร n
แทนค่า
å= xi
x i=1
N
x = 8 +10 + 5 + 7 + 6 + 4 + 9
7
= 49
7
=7
ขGนั ที$ 3 หาค่าส่วนเบีAยงเบนมาตรฐาน (S.D.)
สูตร S.D. = ån fi ( xi - x )2
i =1
N
แทนค่า S.D. = (8 - 7)2 + (10 - 7)2 + (5 - 7)2 + (7 - 7)2 + (6 - 7)2 + (4 - 7)2 + (9 - 7)2
7
= (1)2 + (3)2 + (-2)2 + (0)2 + (-1)2 + (-3)2 + (2)2
7
= 1+9+ 4+0+1+9+ 4
7
= 284
7
=4
=2
ขGนั ท$ี 4 หาสมั ประสิทธTิแปรผนั (C.V.) ดงั นFี
สูตร C.V. = S.D.
แทนค่า x
C.V. = 2
7
= 0.29 ตอบ
ตวั อย่างที$ 7.23 ขอ้ มูลชุดหนAึงมี 10 จาํ นวน ถา้ หาค่าสมั ประสิทธTิแปรผนั ไดเ้ ท่ากบั 5% และ 10 = 400 จงหาค่า
å xi
i =1
ส่วนเบีAยงเบนมาตรฐานของขอ้ มูลชุดนFี
วธิ ีทาํ ขGนั ท$ี 1 จากโจทยเ์ ราทราบ 1. ค่า N = 10
2. ค่า 10 = 400
å xi
i =1
3. ค่า C.V. = 5% หรือ C.V. = 0.05
4. สูตร C.V. = S.D.
x
ขGนั ที$ 2 หาค่าเฉลAียเลขคณิต ( x ) ดงั นFี
สูตร n
แทนค่า
å= xi
x i=1
N
x = 400
10
= 40
ขGนั ท$ี 3 หาค่าส่วนเบAียงเบนมาตรฐาน (S.D.) จากสูตร C.V. ดงั นFี
สูตร C.V. = S.D.
x
แทนค่า 0.05 = S.D.
40
0.05´ 40 = S.D.
S.D. = 2
\ค่าส่วนเบีAยงเบนมาตรฐานของขอ้ มูลชุดนFีคือ 2 ตอบ
!!! @@@ &&& @@@ !!!