กำหนดการเชิงเส้น

บทท่ี 10

กำหนดกำรเชิงเสน้
(Linear Programming)

กำหนดกำรเชิงเสน้ (Linear programming) คือวธิ ีกำรทำงคณิตศำสตร์ประยกุ ต์ เพื่อช่วยในกำร
ตดั สินใจเก่ยี วกบั กำรใชท้ รพั ยำกรที่มอี ยอู่ ย่ำงจำกดั ใหเ้ กิดประโยชนส์ ูงสุด ทรัพยำกร คือ เครื่องจกั ร เวลำ
กำลงั คน วตั ถุดบิ หรือเงนิ ลงทนุ กไ็ ด้

กำรแกป้ ัญหำโดยใชว้ ิธีกำรกำหนดกำรเชิงเส้น มีอยู่หลำยดำ้ น อำทิ
- ดำ้ นกำรผลิต ตอ้ งวำงแผนกำรผลิตท่ีไดก้ ำไรสูงสุด โดยใชว้ ตั ถดุ บิ และเครื่องจกั รทมี่ ีอยูอ่ ย่ำงจำกดั
- ดำ้ นโภชนกำร ตอ้ งวำงแผนอำหำรท่ีมคี ณุ คำ่ ต่อร่ำงกำย โดยเสียคำ่ ใชจ้ ่ำยนอ้ ยที่สุด
- ดำ้ นกำรศกึ ษำ ตอ้ งวำงแผนกำรบริหำรใหเ้ กดิ ประสิทธิภำพสูงสุด โดยมนี กั เรียน นกั ศกึ ษำจำนวน

มำก ภำยใตข้ อ้ จำกดั ของจำนวนครู สถำนที่ และอปุ กรณก์ ำรเรียน เป็นตน้
ควำมคิดพ้นื ฐำน รวมท้งั เทคนิคของกำรกำหนดกำรเชิงเส้น ชว่ งในกำรตดั สินใจเกย่ี วกบั กำรใช้
ทรัพยำกรที่มอี ยอู่ ย่ำงจำกดั ใหเ้ กิดประโยชนส์ ูงสุด เพ่อื ชว่ ยใหผ้ ูบ้ ริหำรตดั สินใจไดถ้ กู ตอ้ ง จงึ จำเป็น ตอ้ ง
ศึกษำปัญหำเกีย่ วกบั กำรสร้ำงกรำฟหำค่ำสูงสุด หรือคำ่ ต่ำสุด ภำยใตเ้ งื่อนไขที่กำหนดมำสรำ้ งแบบจำลอง
กำหนดกำรเชิงเสน้

1) กรำฟเส้นตรง

1.1 ระนำบพกิ ดั ฉำก
พิกดั (coordinate) ในระบบพิกดั ฉำก จะมเี ส้นจำนวนสองเสน้ ต้งั ฉำกตดั กนั ท่จี ดุ กำเนิด

(0,0) โดยแกน X และแกน Y เป็นเสน้ จำนวนตำมแนวนอนและแนวต้งั ตำมลำดบั โดยแบง่ ออกเป็น 4 ส่วน
เรียกวำ่ ควอดแรนท์ (quadrant) โดยเริ่มจำก Q1 ถึง Q4 ดงั รูป

1.2 กำรเขียนกรำฟเส้นตรง มีข้นั ตอนดงั น้ี
ข้นั ท่ี 1 นำสมกำรกรำฟ มำหำจุด 2 จุด โดยวิธีหำจุดตดั แกน X กบั จดุ ตดั แกน Y ดงั น้ี
หำจุดตดั บนแกน X ใหค้ ำ่ Y = 0 จะไดจ้ ดุ แรก คือ (X, 0)
หำจดุ ตดั บนแกน Y ใหค้ ่ำ X = 0 จะไดจ้ ุดแรก คอื (0, Y)

เช่น จำกสมกำร Y = 2X + 4 ใช้วิธีย้ายข้าง
หำจุดตดั บนแกน X ให้ Y = 0 จะได้ 0 = 2X + 4
-4 = 2X +=−
−4 = X =

2

-2 = X
จุดแรก คือ (-2, 0)

หำจดุ ตดั บนแกน Y ให้ X = 0 จะได้ Y = 2(0) + 4
Y=4

จดุ สอง คอื (0, 4)
ข้นั ที่ 2 นำจุด 2 จดุ ทีห่ ำไดจ้ ำกข้นั ที่ 1 มำวำดกรำฟบนระนำบพิกดั ฉำก ดงั น้ี

ขอ้ สงั เกต

ขอ้ 1. สมกำรมตี วั แปร X อยำ่ งเดยี ว จะวำดกรำฟ ไดด้ งั น้ี

X=-4 X=2
ขอ้ 2. สมกำรมีตวั แปร Y อย่ำงเดยี ว จะวำดกรำฟ ไดด้ งั น้ี

Y= 3 Y = -2

ตวั อย่ำงที่ 1 จงเขยี นกรำฟจำกสมกำร 2Y + 3X = 12
ข้นั ท่ี 1 หำจดุ ตดั บนระนำบ X ให้ Y = 0 จะไดจ้ ดุ แรก ดงั น้ี
จำกสมกำร 2Y + 3X = 12
แทนคำ่ Y = 0 2(0) + 3X = 12
3X = 12
X = 12

3

X=4
จะไดจ้ ดุ แรก คอื (4,0)

หำจุดตดั บนระนำบ Y ให้ X = 0 จะไดจ้ ดุ แรก ดงั น้ี
จำกสมกำร 2Y + 3X = 12
แทนค่ำ X = 0 2Y + 3(0) = 12

2Y = 12
Y = 12

2

X=6
จะไดจ้ ดุ สอง คือ (0,6)
ข้นั ที่ 2 นำจุด 2 จุด คอื (4,0) กบั (0,6) มำวำดกรำฟได้ ดงั น้ี

2Y + 3X = 12

2) กรำฟอสมกำร

2.1 สญั ลกั ษณ์

< น้อยกวำ่
> มำกกวำ่
≥ มำกกวำ่ หรือเทำ่ กบั
≤ น้อยกวำ่ หรือ
= เทำ่ กบั
≠ ไมเ่ ท่ำกบั

2.2 รูปแบบทว่ั ไป ของอสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร
AX + BY + C < 0
AX + BY + C ≤ 0
AX + BY + C > 0
AX + BY + C ≥ 0

โดยท่ี A, B จะตอ้ งไมเ่ ป็น 0 พรอ้ มกนั และ
X, Y แทน ตวั แปร
A, B แทน สมั ประสิทธ์ิของตวั แปร X, Y ตำมลำดบั
C แทน ค่ำคงที่

2.3 กำรวำดกรำฟอสมกำรเชิงเสน้ มขี ้นั ตอนดงั น้ี
ข้นั ตอนที่ 1 ให้มองเคร่ืองหมำย > , < , ≥ , ≤ เป็นสญั ลกั ษณ์ = ก่อน

แลว้ หำจุดตดั บนแกน X ให้ค่ำ Y = 0 จะไดจ้ ดุ แรก คือ (X,0)
หำจุดตดั บนแกน Y ให้ค่ำ X = 0 จะไดจ้ ุดแรก คอื (0,Y)

นกั เรียนจะไดจ้ ุดมำ 2 จดุ คือ (X,0), (0,Y) เพื่อนำมำวำดกรำฟเสน้ ตรงไดห้ น่ึงเส้น สำหรบั อสมกำรของ
เงื่อนไขหน่ึงอสมกำร

ข้นั ตอนที่ 2 นำจุดทีไ่ ดจ้ ำกข้นั ตอนที่ 1 ของแตล่ ะอสมกำรเงอื่ นไขมำวำดกรำฟเส้นตรง
เพ่ือพ้ืนที่แรเงำ กำรหำทิศทำงของกรำฟอสมกำร ใหเ้ รียนกำหนดจดุ เช่น (0,0) (1,0) หรือ (0,1) แทนใน
อสมกำรเง่อื นไข ดงั น้ี

ถ้าเป็น จริง ให้แรเงาฝั่งทส่ี มุ่ จดุ มา
ถ้าเป็น เทจ็ ให้แรเงาฝ่ังตรงข้าม
ข้นั ตอนท่ี 3 พิจำรณำพ้นื ทแ่ี รเงำท่ซี ้อนทบั กนั ของอสมกำรเง่ือนไขท้งั หมด ซ่ึงเป็นบริเวณที่
มขี อบเขตจำกดั นนั่ เอง

ตวั อย่ำงท่ี 2 จงวำดกรำฟอสมกำรและหำพ้นื ทแ่ี รเงำ 2X – Y ≤ 6 ใช้วธิ ยี ้ายข้าง
วธิ ีทำ ข้นั ท่ี 1 กรำฟของสมกำรเส้นตรง 2X – Y = 6
+=−
ข้นั ที่ 2 หำจดุ ตดั บนแกน X ให้ Y = 0 =
จำกสมกำรเสน้ ตรง 2X – Y = 6
แทนค่ำ Y= 0 2X – 0 = 6
จะได้ 2X = 6

X=6

2

X=3
จะได้จดุ แรก (3,0)

หำจดุ ตดั บนแกน Y ให้ X = 0
จำกสมกำรเสน้ ตรง 2X – Y = 6
แทนค่ำ X= 0 2(0) – Y = 6
จะได้ - Y = 6

-6 = Y
จะได้จุดสอง (0,-6)
ข้นั ท่ี 3 นำจดุ (3,0) กบั (0,-6) มำวำดกรำฟและหำพ้นื ทแี่ รเงำ

กำหนดจุดบนกรำฟเพ่ือหำทศิ ทำงพ้ืนทีแ่ รเงำ ดงั น้ี
กำหนดจุด (1,0) นำไปแทนในอสมกำรเงื่อนไข 2X – Y ≤ 6
จะได้ 2 ≤ 6 เป็นจริง ให้แรเงำฝั่งทส่ี ่มุ จุดมา ดงั รูปข้างบน

ตวั อย่ำงท่ี 3 จงวำดกรำฟอสมกำรและหำพ้นื ท่แี รเงำ X ≤ 0
วิธีทำ ข้นั ท่ี 1 กรำฟของสมกำรเส้นตรง X = 0

ข้นั ท่ี 2 จะไดก้ รำฟเส้นตรงท่ีทบั แกน Y ดงั รูป

ข้นั ท่ี 3 กำหนดจดุ บนกรำฟเพ่อื หำทศิ ทำงพ้นื ท่แี รเงำ ดงั น้ี
กำหนดจดุ (-1,0) นำไปแทนในอสมกำรเง่ือนไข X ≤ 0
จะได้ -1 ≤ 0 เป็นจริง ใหแ้ รเงำฝั่งทส่ี ่มุ จุดมา ดงั รูปข้างบน

ตวั อย่ำงที่ 4 จงวำดกรำฟอสมกำรและหำพ้นื ทแ่ี รเงำ X + 2Y ≥ 6
X+Y ≥4
X ≥0
Y ≥0

วธิ ีทำ ข้นั ที่ 1 วำดกรำฟของสมกำรเส้นตรง X + 2Y = 6 --------- 1
X + Y = 4 --------- 2

ข้นั ที่ 2 จำกสมกำรเสน้ ตรง X + 2Y = 6 หำจดุ ตดั บนแกน X ให้ Y = 0
จำกสมกำรเสน้ ตรง X + 2Y = 6
แทนคำ่ Y= 0 X + 2(0) = 6
จะได้ X = 6
จะได้จุดแรก (6,0)

หำจดุ ตดั บนแกน Y ให้ X = 0

จำกสมกำรเส้นตรง X + 2Y = 6

แทนค่ำ X= 0 (0) + 2Y = 6 ใช้วธิ ยี ้ายข้าง

จะได้ 2Y = 6 +=−

Y=6  = 
2
Y=3

จะได้จดุ สอง (0,3)

จำกสมกำรเส้นตรง X + Y = 4 หำจดุ ตดั บนแกน X ให้ Y = 0

จำกสมกำรเสน้ ตรง X + Y = 4

แทนค่ำ Y= 0 X + 0 = 4

จะได้ X = 4 ใช้วธิ ยี ้ายข้าง
จะได้จดุ แรก (4,0)
หำจดุ ตดั บนแกน Y ให้ X = 0 +=−
=

จำกสมกำรเส้นตรง X + Y = 4

แทนค่ำ X= 0 0 +Y=4

จะได้ Y = 4

จะได้จุดสอง (0,4)

ข้นั ท่ี 3 นำจดุ (6,0) , (0,3) และ (4,0) , (0,4) มำวำดกรำฟและหำพ้ืนทแี่ รเงำ

กำหนดจดุ บนกรำฟเพ่ือหำทศิ ทำงพ้ืนที่แรเงำ ดงั น้ี
กำหนดจุด (1,0) นำไปแทนในอสมกำรเงื่อนไข X + 2Y ≥ 6 จะได้ 1 ≥ 6 เป็นเท็จ ใหแ้ รเงำฝั่ง

ตรงขำ้ ม และ แทนในอสมกำรเงื่อนไข X + Y ≥ 4 จะได้ 1 ≥ 4 เป็นเทจ็ ใหแ้ รเงำฝง่ั ตรงขำ้ ม และ x ≥ 0,
y ≥ 0 ดงั รูปขำ้ งบน

3) กำรหำคำ่ สูงสุด หรือ ค่ำตำ่ สุด

เทคนิคของกำหนดกำรเชิงเส้น ชว่ ยในกำรตดั สินใจเก่ียวกบั ปัญหำทรัพยำกรทม่ี อี ยอู่ ยำ่ งจำกดั ให้เกิด
ประโยชนส์ ูงสุด ซ่ึงกำรแกป้ ัญหำกำหนดกำรเชิงเสน้ จึงเป็นกำรศึกษำปัญหำเกี่ยวกบั กำรหำค่ำสูงสุด หรือคำ่
ต่ำสุดของฟังกช์ นั จุดประสงค์

ปริมำณท่ีเรำตอ้ งกำรหำคำ่ สูงสุด หรือค่ำตำ่ สุด อำจข้ึนกบั ปริมำณอนื่ อีก 2 ปริมำณ เชน่
o ควำมแขง็ ของทองเหลอื ง จะข้ึนกบั ปริมำณทองแดง และปริมำณสงั กะสี
o กำไรของสินคำ้ จะข้ึนกบั งบประมำณกำรผลติ และ งบโฆษณำ เป็นตน้

ซ่ึงในเร่ืองน้ี สำมำรถกำหนดตวั แปรได้ 2 ตวั แปร คอื X กบั Y

การแก้ปัญหากาหนดการเชิงเส้น โดยวธิ กี ารวาดกราฟ

ส่ิงทีโ่ จทยก์ ำหนดให้ มี 2 อยำ่ ง คือ ฟังกช์ นั จุดประสงค์ กบั อสมกำรเงือ่ นไข โดยข้นั ตอนกำร
แกป้ ัญหำ มดี งั น้ี

ข้นั ท่ี 1 หำฟังกช์ นั จุดประสงค์ (P)
ข้นั ที่ 2 หำอสมกำรเงื่อนไข แลว้ หำจุดตดั บนแกน X และจุดตดั บทแกน Y นำมำวำดกรำฟ บน

ระนำบพกิ ดั ฉำก เพอ่ื หำพ้นื ท่ีซอ้ นทบั
ข้นั ที่ 3 หำจดุ มมุ จำกพ้นื ท่ซี อ้ นทบั ซ่ึงจะมีหลำยจดุ
ข้นั ที่ 4 นำจุดมุมทไ่ี ดจ้ ำกข้นั ท่ี 1 แทนในฟังกช์ นั จุดประสงค์ (P) เพ่อื หำค่ำสูงสุดหรือคำ่ ตำ่ สุด

ตวั อยำ่ งที่ 5 จงหำคำ่ สูงสุดของ P = 2X + 3Y เม่อื กำหนดอสมกำรเง่ือนไข ดงั น้ี
X+Y≤6
2X + Y ≤ 8
X ≥0
Y≥0

วธิ ีทำ ข้นั ที่ 1 ฟังก์ชนั จุดประสงค์ คอื P = 2X + 3Y โจทยบ์ อกให้
ข้นั ที่ 2 อสมกำรเงอื่ นไข โจทยบ์ อกให้ คอื
X+Y≤6
2X + Y ≤ 8
X ≥0
Y≥0
ข้นั ท่ี 3 วำดกรำฟ จำกอสมกำรเงอ่ื นไข (ใหเ้ ปล่ียนสัญลกั ษณ์ ≥ , ≤ เป็น = ) แลว้ หำจดุ ตดั บน

แกน X กบั Y จะไดจ้ ดุ สองจุด นำมำวำดกรำฟเสน้ ตรง เพ่ือใช้หำพ้นื ท่ซี อ้ นทบั ดงั น้ี

จำกอสมกำรเงือ่ นไข X + Y ≤ 6 จำกอสมกำรเงือ่ นไข 2X + Y ≤ 8
เขียนสมกำรเส้นตรง X + Y = 6 เขยี นสมกำรเส้นตรง 2X + Y = 8
หำ X ให้ Y = 0 จะไดจ้ ุดแรกคอื (6,0) หำ X ให้ Y = 0 จะไดจ้ ดุ แรกคอื (4,0)
หำ Y ให้ X = 0 จะไดจ้ ุดสองคือ (0,6) หำ Y ให้ X = 0 จะไดจ้ ุดสองคอื (0,8)

ข้นั ท่ี 4 จำกกรำฟ จะไดจ้ ดุ มุมคือ (0,0) (4,0) (0,6) และจดุ มุมทีเ่ กดิ จำกสมกำรเสน้ ตรงสองเส้น

ตดั กนั สำมำรถหำไดจ้ ำกกำรแกส้ มกำรเชิงเส้นสองตวั แปร ดว้ ยวิธีขจดั ตวั แปร ดงั น้ี

จำกสมกำร X + Y = 6 ----- (1)

และ 2X + Y = 8 ----- (2)

นำสมกำร (2) – (1) X=2

นำคำ่ x=2 แทนใน (1) 2 + Y = 6

Y=6–2

Y=4

จะไดจ้ ดุ มุม คอื (2,4)

นำจุดมุมท้งั หมดแทนในฟังกช์ นั จดุ ประสงค์ P = 2X + 3Y ตอบ

จุดมุม (0,0) จะได้ P = 2(0) + 3 (0) = 0
จดุ มมุ (4,0) จะได้ P = 2(4) + 3 (0) = 8
จุดมุม (0,6) จะได้ P = 2(0) + 3 (6) = 18
จดุ มุม (2,4) จะได้ P = 2(2) + 3 (4) = 16
ค่ำสูงสุดของฟังกช์ นั จุดประสงค์ (P) = 18 เมื่อ X=0 , Y=6

ตวั อย่ำงที่ 6 โรงงำนแห่งหน่ึงผลติ เส้ือ ไดก้ ำไรตวั ละ 50 บำท และถำ้ ผลิตกำงเกงไดก้ ำไรตวั ละ 30 บำท ถำ้
โรงงำนแห่งน้ีผลติ เส้ือวนั ละ X ตวั และผลติ กำงเกงวนั ละ Y ตวั และมีเงอ่ื นไขกำรผลติ ดงั น้ี

6X + 3Y ≤ 900
3X + 4Y ≤ 600
จงหำวำ่ โรงงำนมีกำไรต่อวนั มำกทส่ี ุดเท่ำไร

วิธีทำ ข้นั ท่ี 1 ฟังก์ชนั จุดประสงค์ คือ P = 50X + 30Y
ข้นั ท่ี 2 อสมกำรเงือ่ นไข โจทยบ์ อกให้ คือ
6X + 3Y ≤ 900
3X + 4Y ≤ 600
X ≥0
Y≥0

ข้นั ที่ 3 วำดกรำฟ จำกอสมกำรเงื่อนไข (ให้เปล่ียนสญั ลกั ษณ์ ≥ , ≤ เป็น = ) แลว้ หำจดุ ตดั บน
แกน X กบั Y จะไดจ้ ดุ สองจดุ นำมำวำดกรำฟเส้นตรง เพือ่ ใชห้ ำพ้นื ทีซ่ ้อนทบั ดงั น้ี

จำกอสมกำรเงอ่ื นไข 6X + 3Y ≤ 900 จำกอสมกำรเงือ่ นไข 3X + 4Y ≤ 600
เขียนสมกำรเสน้ ตรง 6X + 3Y = 900 เขียนสมกำรเส้นตรง 3X + 4Y = 600
หำ X ให้ Y = 0 จะไดจ้ ดุ แรกคอื (150,0) หำ X ให้ Y = 0 จะไดจ้ ุดแรกคอื (200,0)
หำ Y ให้ X = 0 จะไดจ้ ดุ สองคือ (0,300) หำ Y ให้ X = 0 จะไดจ้ ุดสองคอื (0,150)

ข้นั ท่ี 4 จำกกรำฟ จะไดจ้ ดุ มมุ คอื (0,0) (150,0) (0,150) และจดุ มุมที่เกดิ จำกสมกำรเส้นตรงสอง

เส้นตดั กนั สำมำรถหำไดจ้ ำกกำรแกส้ มกำรเชิงเสน้ สองตวั แปร ดว้ ยวิธีขจดั ตวั แปร ดงั น้ี

จำกสมกำร 6X + 3Y = 900 ----- (1)

และ 3X + 4Y = 600 ----- (2)

นำ 2 คณู ตลอดสมกำร (2) 6X + 8Y = 1200 ---- (3)

นำสมกำร (3) – (1) 5Y = 300

Y = 300

5

Y = 60

นำคำ่ y=60 แทนใน (1) 6X + 3(60) = 900

6X + 3(60) = 900

6X + 180 = 900

6X = 900 - 180

6X = 720

X = 720

6

X = 120

จะไดจ้ ดุ มุม คือ (60,120)

นำจุดมมุ ท้งั หมดแทนในฟังกช์ นั จุดประสงค์ P = 50X + 30Y

จุดมมุ (0,0) จะได้ P = 50(0) + 30 (0) = 0
จุดมุม (150,0) จะได้ P = 50(150) + 30 (0) = 7500
จดุ มุม (0,150) จะได้ P = 50(0) + 30 (150) = 4500
จดุ มุม (60,120) จะได้ P = 50(60) + 30 (120) = 7800

โรงงำนมกี ำไรสูงสุดคอื 7800 บำท ตอบ

ตวั อยำ่ งท่ี 7 กำหนดให้ฟังก์ชนั จดุ ประสงค์ P = 4X + 3Y และอสมกำรเง่ือนไขคือ
2X + 3Y ≥ 12
2X + Y ≥ 8
X ≥0
Y≥0

จงหำว่ำ P มคี ่ำนอ้ ยที่สุดเป็นเทำ่ ไร

วธิ ีทำ ข้นั ท่ี 1 ฟังกช์ นั จดุ ประสงค์ คอื P = 4X + 3Y โจทยบ์ อกให้
ข้นั ท่ี 2 อสมกำรเง่อื นไข โจทยบ์ อกให้ คือ
2X + 3Y ≥ 12
2X + Y ≥ 8
X ≥0
Y≥0

ข้นั ท่ี 3 วำดกรำฟ จำกอสมกำรเง่ือนไข (ใหเ้ ปลยี่ นสัญลกั ษณ์ ≥ , ≤ เป็น = ) แลว้ หำจดุ ตดั บน
แกน X กบั Y จะไดจ้ ดุ สองจดุ นำมำวำดกรำฟเส้นตรง เพอ่ื ใชห้ ำพ้ืนท่ซี ้อนทบั ดงั น้ี

จำกอสมกำรเงอ่ื นไข 2X + 3Y ≥ 12 จำกอสมกำรเงือ่ นไข 2X + Y ≥ 8
เขียนสมกำรเส้นตรง 2X + 3Y = 12 เขยี นสมกำรเสน้ ตรง 2X + Y = 8
หำ X ให้ Y = 0 จะไดจ้ ุดแรกคือ (6,0) หำ X ให้ Y = 0 จะไดจ้ ดุ แรกคอื (4,0)
หำ Y ให้ X = 0 จะไดจ้ ดุ สองคอื (0,4) หำ Y ให้ X = 0 จะไดจ้ ุดสองคือ (0,8)

ข้นั ท่ี 4 จำกกรำฟ จะไดจ้ ดุ มุมคอื (6,0) (0,8) และจุดมุมที่เกิดจำกสมกำรเสน้ ตรงสองเส้นตดั กนั

สำมำรถหำไดจ้ ำกกำรแกส้ มกำรเชิงเสน้ สองตวั แปร ดว้ ยวิธีขจดั ตวั แปร ดงั น้ี

จำกสมกำร 2X + 3Y = 12 ----- (1)

และ 2X + Y = 8 --------- (2)

นำสมกำร (1) – (2) 2Y = 4

Y=4

2

Y=2

นำค่ำ y=2 แทนใน (2) 2X + 2 = 8

2X = 8 – 2

2X = 6

X=6

2

X=3

จะไดจ้ ุดมุม คือ (3,2)

นำจดุ มมุ ท้งั หมดแทนในฟังก์ชนั จุดประสงค์ P = 4X + 3Y

จดุ มุม (6,0) จะได้ P = 4(6) + 3(0) = 24
จุดมมุ (0,8) จะได้ P = 4(0) + 3(8) = 24
จดุ มุม (3,2) จะได้ P = 4(3) + 3(2) = 18

ฉะน้นั P มคี ำ่ นอ้ ยท่ีสุดคอื 18 ตอบ