ประยุกต์ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

จากทีนกั เรียนไดศ้ ึกษาเกียวกบั ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ ซึงนกั เรียนสามารถนาํ ความรู้ทีเรียนมาใช้
ประยกุ ตใ์ นชีวติ ประจาํ วนั ได้ เช่น นกั เรียนตอ้ งเขา้ แถวหนา้ เสาธงของโรงเรียนทุกวนั ถา้ นกั เรียนอยาก
ทราบวา่ เสาธงโรงเรียนสูงเท่าไร นกั เรียนสามารถนาํ ความรู้เรืองตรีโกณมิติมาใชห้ าความสูงได้ ดงั นี

จากเสาธงใหน้ กั เรียนเดินออกห่างจากฐานของเสาธง ม. แลว้ มองไปทียอดเสาธงเป็น

มุม องศา (ดงั ภาพขา้ งบน)

เราจะทราบความยาวดา้ น (AB) = 4 เมตร และความยาวดา้ น (AC) คือความสูงของเสาธง

และ มุม θ = 60

จะได้ ตรง = AC
แทนค่า AB
tan 60 =

ชิด

3 = AC
4

4 3 = AC

6.928 = AC

∴ เสาธงสูง 6.928 เมตร

สรุป การนําตรีโกณมิตมิ าแก้ปัญหาโจทย์ นักเรียนจะต้องมคี วามรู้ คอื

) อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ ทัง ฟังก์ชันได้ คอื

. sinθ = ตรง = c . cosceθ = ฉาก =a
ฉาก a ตรง c

. cosθ = ชิด = b . secθ = ฉาก =a
ฉาก ชิด b
a

. tanθ = ตรง = c . cotθ = ชิด =b
ชิด b ตรง c

) สูตรปิ ทาโกรัสหาค่าด้านทสี าม

c2 = a2 +b2

) กฎมอื ซ้ายหาค่ามุม 0 , 30 , 45 , 60 , 90

. วงกลมหนึงหน่วยหาค่ามุมทีเกนิ 360

Q2 y Q1

sinθ , cosecθ เป็ น + ทุกฟังกช์ นั เป็น +

มุม (180 − θ ) มุม θ

x

tanθ , cotθ เป็ น + cosθ , secθ เป็ น +
มุม (180 + θ ) มุม (360 −θ )

Q3 Q4

ตวั อยา่ งที . จอ๊ บยนื ห่างจากเสาโทรศพั ท์ เมตร สังเกตเห็นเสาทาํ มุม องศา ถา้ จอ๊ บ
มีความสูง . เมตร เสาโทรศพั ทส์ ูงเท่าไร

วธิ ีคิด จากรูป

จะไดว้ า่ tanθ =

แทนค่า tan 60 = h ( tan 60 = 3 = 3 )
6
1
3=h
6 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)

1.732 × 6 = h

10.392 = h

ความสูงเสาโทรศพั ท์ = h + ความสูงของจอ๊ บ

= 10.392 +1.5 ตอบ

= 11.892 เมตร

ตวั อยา่ งที . นอ้ งฟ้ า อยบู่ นประภาคารสูง ฟุต มองเห็นเรือ ลาํ อยใู่ นแนวเดียวกนั เป็ นมุม
กบั 30 และ 45 ตามลาํ ดบั อยากทราบวา่ เรือทงั ลาํ อยหู่ ่างกนั เท่าไร

วธิ ีคิด ……………………………………………………………… … ระดบั สายตา

ฟุต ทะเล
ประภาคาร

จากรูป เรือจะอยหู่ ่างกนั เท่ากบั X2- X1

หาค่า X1 คือ เรือลาํ ที อยหู่ ่างจากประภาคารสูง 90 ฟุต และทราบมุม θ = 30

จะได้ tan 30 = X1 ( tanθ = ตรง )

90 ชิด
1 = X1
3 90

90 = X1 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)
1.732
51.96 = X1

หาค่า X 2 คือ เรือลาํ ที อยหู่ ่างจากประภาคารสูง 90 ฟุต และทราบมุม θ = 45

จะได้ tan 45 = X 2 ( tanθ = ตรง )
ชิด
90

1= X2 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)
90

1×90 = X 2

90 = X 2

∴ เรือทงั สองลาํ อยหู่ ่างกนั เท่ากบั X2 – X1 = 90 − 51.96 = 38.04 ฟุต ตอบ

กาํ หนดให้ ABC เป็ นสามเหลียมใด ๆ มี a เป็นความยาวตรงขา้ มมุม A
b เป็นความยาวตรงขา้ มมุม B
c เป็นความยาวตรงขา้ มมุม C

จะไดว้ า่ a = b = c

sin A sin B sin C

ตวั อยา่ งที . ให้ ABC เป็ นรูป ใด ๆ กาํ หนดให้ a,b,c เป็ นความยาวดา้ นตรงขา้ มมุม A, B
และ C ตามลาํ ดบั ถา้ a = 10, A = 30 ,B =120 จงหาความยาวดา้ น b

วธิ ีคิด

จากรูป เราจะใช้ a=b
แทนค่า sin A sin B

10 = b ตอบ
sin 30 sin120

10 = b
13
22
20 = b ⋅ 2

3
3 ⋅ 20 = b
2

17.32 = b

ตวั อยา่ งที . ให้ ABC เป็ นรูป ใด ๆ ถา้ b = 6 และ c = 2 3 และมุม B = 30
จงหามุม C

วธิ ีคิด

จากรูป b = c

sin B sin C

แทนค่า 6 = 2 3

sin 30 sin C

6=2 3
1 sin C
2

2 6= 2 3
sin C

sin C = 2 3
26

sin C = 3
3⋅ 2

sin C = 1
2

sin 45 = 1 ( 2 = 2 . 2 = 2 = 1 )

2 2 2 2 22 2

∴ C = 45 ตอบ

จะไดว้ า่ กาํ หนดให้ เป็นสามเหลียมใด ๆ มี
a เป็นความยาวตรงขา้ มมุม
b เป็นความยาวตรงขา้ มมุม
c เป็นความยาวตรงขา้ มมุม

a2 = b2 + c2 − 2bc COS A
b2 = a2 + c2 − 2ac COS B
c2 = a2 + b2 − 2ac COS C

ตวั อยา่ งที . ให้ ABC เป็ นสามเหลียมใด ๆ ถา้ มุม B = 120 ความยาว a = 2 c = 4
วธิ ีคิด จงหาความยาวดา้ น b

จากรูป b2 = a2 + c2 − 2ac COS B

แทนค่า b2 = (22 ) + (42 ) − 2(2)(4) COS 120

b2 = 4 + 16 − 16 COS 120

b2 = 20 − 16  − 1 
 2 

b2 = 20 + 8

b2 = 28 (ใชค้ ่าบวก)
b = ± 28
b=2 7

ตอบ

ตวั อยา่ งที . ชายคนหนึงนาํ บนั ไดยาว ฟุต พาดกบั กาํ แพง โดยปลายบนของบนั ไดชิดกาํ แพง
พอดี เขาสังเกตเห็นบนั ไดทาํ มุม 60 กบั พืนราบ จงหาความสูงของกาํ แพงและระยะห่างระหวา่ ง
ปลายล่างของบนั ไดถึงกาํ แพง

วธิ ีคิด

หาความสูงของกาํ แพง (h)

จากโจทยเ์ ราทราบ มุม θ = 60 และดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก = 60 ฟุต และตอ้ งการหาความสูง
กาํ แพง (h) ไดจ้ าก

sinθ = ตรง
ฉาก

แทนค่า sin 60 = h

60

3= h
2 60

60 ⋅ 3 = h ( 3 = 1.732 )
2

30 ×1.732 = h

51.96 = h

หาระยะทางระหว่างปลายล่างของบนั ไดถงึ กาํ แพง

จากรูป x2 = (60)2 + (51.96)2 − (60)(51.96) cos 60

x2 = 3600 + 2699.84 − 3117.60 cos 60
x2 = 6299.84 − 3117.60(0.5)

x2 = 6299.84 − 1558.80 ตอบ
x2 = 4741.04
x = ± 4741.04

x = 68.85 ฟุต