Disusun oleh:
1DAFTAR ISIDaftar Isi ............................................................................................................................................... 1Glosarium ............................................................................................................................................. 2Peta Konsep .......................................................................................................................................... 3Pendahuluan ......................................................................................................................................... 4A. Identitas Modul ....................................................................................................................... 4B. Capaian Pembelajaran Mata Kuliah (CPMK) .................................................................... 4C. Deskripsi Singkat Materi ....................................................................................................... 4D. Petunjuk Penggunaan Modul ................................................................................................ 4E. Materi Pembelajaran .............................................................................................................. 5Definisi Fungsi Pembangkit ................................................................................................................ 6Fungsi Pembangkit Biasa .................................................................................................................... 6Fungsi Pembangkit Eksponensial ....................................................................................................... 7Konvolusi .............................................................................................................................................. 8Latihan ................................................................................................................................................ 11Rangkuman .........................................................................................................................................11
2GLOSARIUMFungsi Pembangkit (Generating Function) : Fungsi yang digunakan untuk merepresentasikan sebuah deret bilangan (biasanya koefisien) sebagai fungsi formal dalam variabel, sehingga memudahkan analisis kombinatorial dan aljabar.Deret Formal (Formal Series) : Deret tak hingga yang koefisiennya berasal dari suatu himpunan bilangan atau polinomial, digunakan dalam konteks fungsi pembangkit tanpa memperhatikan konvergensi.Koefisien (Coefficient) : Angka atau bilangan yang menyertai pangkat tertentu dari variabel dalam fungsi pembangkit, biasanya menunjukkan jumlah objek atau cara tertentu dalam kombinatorik.Fungsi Pembangkit Biasa (FPB) : Fungsi pembangkit yang merepresentasikan sebuah deret (??)sebagai ?(?) = ?0 + ?1? + ?2?2 +......Fungsi Pembangkit Eksponensial (FPE) : Fungsi pembangkit yang menggunakan factor ???! untuk merepresentasikan deret (??):?(?) = ?0 + ?1?1!+ ?2?22!+......Kombinatorik (Combinatorics) : Cabang matematika yang mempelajari penghitungan, penyusunan, dan pengaturan objek-objek dalam himpunan. Fungsi pembangkit banyak digunakan dalam kombinatorik.Transformasi Fungsi Pembangkit : Proses memanipulasi fungsi pembangkit (misal perkalian, penjumlahan, diferensiasi) untuk mendapatkan informasi tentang deret koefisien atau pola kombinatorial.Konvolusi (Convolution) : Operasi pada fungsi pembangkit yang menghasilkan deret baru, di mana koefisiennya merupakan jumlah tertentu dari perkalian koefisien fungsi pembangkit asal.Aplikasi Fungsi Pembangkit : Fungsi pembangkit digunakan untuk menghitung kombinasi, deret bilangan terkenal (Fibonacci, Catalan), solusi persamaan rekursif, dan analisis probabilitas.Polinomial (Polynomial) : Fungsi matematis berupa jumlah suku yang berbentuk ????, yang juga dapat dianggap sebagai kasus khusus dari fungsi pembangkit dengan deret terbatas.
3PETA KONSEP
4PENDAHULUANA. Identitas ModulMata Kuliah : Matematika DiskritSemester : 5 (Lima)Alokasi Waktu : 2 JPJudul Modul : Fungsi Pembangkit B. Capaian Pembelajaran Mata Kuliah (CPMK)CPMK 3 : Mahasiswa mampu memecahkan masalah fungsi pembangkitSUB-CPMK : Mahasiswa mampu menerapkan fungsi pembangkitC. Deskripsi Singkat MateriFungsi pembangkit (Generating Functions) merupakan salah satu konsep penting dalam Matematika Diskrit yang digunakan untuk merepresentasikan barisan bilangan ke dalam bentuk fungsi melalui deret pangkat. Melalui representasi ini, berbagai sifat barisan dapat dianalisis secara lebih efektif dengan memanfaatkan operasi aljabar dan teori fungsi. Materi ini memiliki peran penting dalam penyelesaian berbagai persoalan kombinatorik, seperti menentukan jumlah cara penyusunan objek, menyelesaikan persamaan rekurensi, menemukan rumus eksplisit barisan, serta menganalisis masalah peluang secara matematis. Dengan demikian, penguasaan fungsi pembangkit tidak hanya memberikan pemahaman teoritis, tetapi juga menjadi alat yang kuat untuk menyelesaikan masalah perhitungan diskrit secara sistematis dan efisien.D. Petunjuk Penggunaan ModulAdapun petunjuk penggunaan modul ini adalah :1. Pahami Konsep Barisan dan Deret Terlebih Dahulu.Modul ini mengembangkan fungsi pembangkit berdasarkan barisan dan deret. Oleh karena itu, mahasiswa disarankan meninjau kembali konsep barisan, deret pangkat, dan notasi sigma sebelum memulai.2. Pelajari Definisi dan Notasi Secara Teliti.Fungsi pembangkit digunakan untuk merepresentasikan barisan dalam bentuk fungsi. Perhatikan definisi formal, notasi ?(?), serta simbol dasar yang muncul pada setiap subbab.3. Ikuti Penurunan Rumus Langkah demi Langkah.
5Banyak materi disajikan dalam bentuk persamaan dan transformasi aljabar. Bacalah proses penurunan rumus secara runtut karena akan membantu dalam menyelesaikan rekurensi dan persoalan kombinatorik.4. Perhatikan Contoh Aplikasi dalam Kombinatorika.Setiap konsep disertai studi kasus seperti perhitungan distribusi objek, pemilihan dengan syarat tertentu, dan pemecahan rekurensi. Pelajari setiap langkah agar pemahaman tidak hanya bersifat teoritis tetapi juga aplikatif.5. Gunakan Latihan Soal untuk Menguji PemahamanKerjakan latihan soal pada akhir subbab serta evaluasi modul. Latihan dirancang untuk mengasah kemampuan manipulasi fungsi pembangkit dan penyelesaian masalah nyata dalam kombinatorika.6. Manfaatkan Glosarium dan Ringkasan KonsepModul menyediakan glosarium istilah serta rangkuman konsep kunci. Gunakan bagian ini sebagai referensi cepat saat menemui simbol atau istilah baru seperti ordinary generating function, exponential generating function, dan recurrence solving.7. Diskusikan Hasil dan TemuanJika terdapat bagian yang sulit dipahami, lakukan diskusi dengan dosen atau teman sekelas. Diskusi sangat membantu memperdalam pemahaman terutama pada bagian manipulasi deret dan pembentukan model.E. Materi PembelajaranPada modul ini, materi fungsi pembangkit disajikan dalam tiga pokok bahasan utama yaitu :1. Fungsi Pembangkit Biasa (FPB)2. Fungsi Pembangkit Eksponensial (FPE)3. Konvolusi
6DEFISINI FUNGSI PEMBANGKITPengertian Fungsi PembangkitFungsi pembangkit (Generating Function) adalah sebuah representasi deret tak hingga dalam bentuk fungsi yang digunakan untuk menganalisis dan memecahkan masalah kombinatorika, rekursi, dan perhitungan peluang.FUNGSI PEMBANGKIT BIASAFungsi pembangkit biasa (FPB) atau Ordinary Generating Function (OGF), jika terdapat barisan?0, ?1, ?2, ?3, …. maka fungsi pembangkit biasa (FPB) didefinisikan sebagai :?(?) = ∑???? = ?? + ??? + ???? + ???? + ⋯∝?=?Fungsi pembangkit memungkinkan kita untuk:• Menyelesaikan deret• Menyelesaikan relasi rekursif• Menghitung jumlah cara pada masalah kombinatorika• Menyelesaikan persoalan probabilitas diskritContoh 1 :Cari barisan (??) yang fungsi pembangkit biasanya (FPB) ?(?) = 1 +11−?Penyelesaian :?(?) = 1 +11 − ? = 1 + (1 + ? + ?2 + ?3 + ⋯ ) = 2 + ? + ?2 + ?3 + ⋯Jadi, barisan dari fungsi pembangkit tersebut adalah ?? = (2,1,1,1, … )Contoh 2 :Tulis bentuk sederhana fungsi pembangkit biasa dari barisan (0,0,0, 1,1,1,1,....)Penyelesaian :
7FUNGSI PEMBANGKIT EKSPONENSIALFungsi pembangkit eksponensial dari barisan ?? adalah :?(?) = ∑?????!= ?? + ??? + ?????!+ ?????!+ ⋯∝?=?Contoh 3 :Cari barisan (??) yang fungsi eksponensialnya ?(?) = 4 + 4? + 4?2 + 4?3 + ⋯Contoh 4 :Tulis fungsi pembangkit eksponensial dari barisan (3,3,3,3,...)Penyelesaian :
8Contoh 5 :Diketahui deret (??) memiliki fungsi pembangkit eksponensial ?(?) = ?3?. Tentukan rumus umum ?? !Penyelesaian :?(?) = ∑ ?????!∝?=?KONVOLUSIKonvolusi merupakan operasi pada dua deret yang menghasilkan deret baru. Dalam fungsi pembangkit (generating function), konvolusi memiliki peran penting karena perkalian fungsi pembangkit identik dengan konvolusi koefisiennya. Dengan demikian, diperoleh pernyataan berikut :Jika, ?(?) = ∑????∝?=???? ?(?) = ∑ ????∝?=?Maka,
9?(?) ± ?(?) = ∑(?? ± ??)??∝?=?Dan apabila keduanya dikalikan, maka diperoleh :?(?).?(?) = (?0 + ?1? + ?2?2 + ?3?3 + ⋯ + ???? + ⋯ ) . (?0 + ?1? + ?2?2 + ?3?3+ ⋯ + ???? + ⋯ )= ?0?0 + (?0?1 + ?1?0)? + (?0?2 + ?1?1 + ?2?0)?2 + ⋯ + (?0?? +?1??−1 + ⋯ + ????−? + ⋯ + ???0)?? + ⋯ = ∑(∑????−?)????=?∝?=?Keterangan :n = indeks ke berapa hasil konvolusi dihitungk = indek penjumlahan (shift)Nilai pada indeks dibalik menjadi ??−?Sifat Konvulasi pada Fungsi PembangkitSifat Bentuk Konvolusi Implikasi pada Fungsi PembangkitKomutatif ? × ? = ? × ? ?(?) × ?(?) = ?(?) × ?(?)Asosiatif (? × ?) × ? = ? × (? × ?) (?(?) × ?(?)) × ?(?) = ?(?) × (?(?) × ?(?))Distributif ? × (? + ?) = ? × ? + ? × ? ?(?) × (?(?) + ?(?)) = ?(?) × ?(?) + ?(?) × ?(?)Identitas ? × ? = ? ?(?) = 1 (?????? ? = (1,0,0,0, … ))Aplikasi Konvolusi pada KombinatorikaDalam kombinatorika, sering muncul permasalahan menghitung jumlah cara melakukan suatu proses secara bertahap atau terpisah. Jika tiap proses memiliki pilihan tersendiri, maka total cara biasanya dihitung dengan penjumlahan pilihan yang terdistribusi pada jumlah tertentu. Konvolusi digunakan karena kita menjumlahkan kontribusi dari dua proses independen untuk mencapai total yang sama. Adapun konvolusi pada fungsi pembangkit yaitu :
10Contoh 6 :Penyelesaian :Contoh 7 :Diketahui Hitung ? × ? !Penyelesaian : Jadi, ? × ? = 1,3,6
11Contoh 8 :Diketahui :Hitung ?? = ? × ? !Penyelesaian :Jadi, (? × ?)? =?(?+1)2LATIHAN Setelah mempelajari konsep fungsi pembangkit, cobalah untuk menguji pemahaman Anda melalui latihan soal berikut. Latihan ini dirancang untuk membantu Anda memahami hubungan antara fungsipembangkit dan konvolusi.1. Diberikan barisan ?? = 2?. tentukan fungsi pembangkit dari barisan tersebut !2. Tentukan fungsi pembangkit dari barisan seluruh bilangan bilat non-negatif berurutan : 0,1,2,3,4,5,...3. Tentukan fungsi pembangkit eksponensial untuk ?? = ?!4. Diketahui ?? = 3? + 1. Tentukan fungsi eksponensialnya !5. Diketahui ?(?) =11−?dan ?(?) =1(1−?)2Tentukan koefisien ?? dari C(x) = A (x) × B (x) !
12RANGKUMAN1. Fungsi Pembangkit Biasa adalah sebuah representasi suatu barisan dalam bentuk fungsi (biasanya fungsi dalam variabel ?). Fungsi ini digunakan untuk mendefinisikan, menganalisis, serta menemukan pola/rumus eksplisit suatu barisan.2. Fungsi Pembangkit Biasa (FPB) atau Ordinary Generating Function (OGF) adalah suatufungsi dalam variabel ? yang digunakan untuk mewakili suatu barisan bilangan dalam bentukjumlah tak hingga (deret pangkat). Fungsi ini membangkitkan setiap suku barisan melaluikoefisien dari pangkat ?3. Fungsi Pembangkit Eksponensial (FPE) atau Exponential Generating Function (EGF) adalah suatu fungsi dalam variabel ? yang merepresentasikan sebuah barisan bilangan, di mana setiap suku barisan dikaitkan dengan pangkat ? dan dibagi dengan faktorial pangkatnya yaitu n!. EGF banyak digunakan untuk barisan yang muncul dari fenomena yang memiliki sifat pengaturan (permutasi) atau label dalam kombinatorika.4. Konvolusi merupakan operasi pada dua deret yang menghasilkan deret baru. Dalam fungsi pembangkit (generating function), konvolusi memiliki peran penting karena perkalian fungsi pembangkit identik dengan konvolusi koefisiennya