Buku Digital Matematika

A+

Ebook Pembelajaran

TRIGONOMETRI

Ebook ini dibuat dari berbagai kumpulan
sumber

Deni DWi Putra (2225200088)

TRIGONOMETRI

Kompetensi Dasar

3.8 Menggeneralisasi rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran
dan sudut-sudut berelasi.
3.8. Menggeneralisasi rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran dan Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan rasio
sudut-sudut berelasi. trigonometri sudut-sudut di berbagai kuadran dan sudut-sudut berelasi.
4.8 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan rasio trigonometri
sudut-sudut di berbagai kuadran dan sudut-sudut berelasi Indikator Pencapaian Kompetensi

4.88

3.8. Menggeneralisasi rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran dan
sudut-sudut berelasi.
4.8 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan rasio trigonometri
sudut-sudut di berbagai kuadran dan sudut-sudut berelasi

8

3.9.1 Menentukan rasio trigonometri untuk sudut-sudut di kuadran I.
3.9.2 Menentukan rasio trigonometri untuk sudut-sudut di kuadran II.
3.9.3 Menentukan rasio trigonometri untuk sudut-sudut di kuadran III.
3.9.4 Menentukan rasio trigonometri untuk sudut-sudut di kuadran IV.
4.9.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan rasio trigonometri sudut-sudut

di kuadran tertentu.

Prasyarat PETA KONSEP

Rasio Trigonometri pada
Segitiga Siku-siku

Pembagian Kuadran pada
Koordinat Cartesius

Rasio Rasio Rasio Rasio
Trigonometri Trigonometri Trigonometri Trigonometri
untuk sudut di untuk sudut di untuk sudut di untuk sudut di
kuadran III kuadran IV
kuadran I kuadran II

TRIGONOMETRI

Rasio Trigonometri pada Segitiga Siku-siku

sin = = cosec = =



cos = = sec = =



tan = = cotan = =



Pembagian Kuadran pada Koordinat Cartesius

Mengenal Alat Navigasi di Laut
Pada saat teknologi belum

secanggih sekarang ini, para pelaut sudah
memiliki patokan dalam menentukan arah
mata angina dengan menggunakan benda-
benda langit. Pada siang hari,mereka
menggunakan acuan posisi matahari,
sedangkan pada malam hari, mereka
menggunakan acuan rasi bintang sebagai
penunjuk arah. Misalnya rasi bintang biduk atau ursa mayor yang selalu menunjuk arah
utara.
Seiring dengan perkembangan teknologi, manusia mulai menciptakan alat sebagai
penunjuk arah yang bisa digunakan meskipun cuaca sedang
buruk. Alat tersebut bernama kompas. Kompas adalah alat
navigasi untuk menentukan arah berupa sebuah panah penunjuk
magnetis yang bebas menyelaraskan dirinya dengan medan
magnet bumi secara akurat.

TRIGONOMETRI

Alat navigasi di laut yang lebih canggih daripada
kompas adalah marine radar. Marine radar tidak hanya
dapat digunakan untuk menunjukkan arah tetapi juga
digunakan untuk mendeteksi kapal lain, cuaca/awan yang
dihadapi di depan sehingga bisa menghindar dari bahaya
yang ada di depan kapal.

Pembagian Kuadran pada Koordinat Cartesius
Pembagian sudut pada tiap
kuadran yaitu :
Kuadran I = 0° < < 90°
Kuadran II = 90° < < 180°
Kuadran III = 180° < < 270°
Kuadran IV = 270° < < 360°

Sudut 0°, 90°, 180°, 270°, dan 360° disebut pembatas kuadran.

TRIGONOMETRI

Rasio Trigonometri untuk Sudut-sudut di Berbagai Kuadran

Kuadran I Rasio trigonometri sudut
yang dibentuk oleh sumbu
dan ruas garis !

( , ) 1) sin = (Positif)

′

2) cos = (Positif)



3) tan = (Positif)


4) cosec = (Positif)



5) sec = (Positif)



6) cotan = (Positif)



Kuadran II

Rasio trigonometri sudut
yang dibentuk oleh sumbu
dan ruas garis !

(−3,4) 1) sin = (Positif)



2) cos = − (Negatif)



3) tan = (Negatif)

−

4) cosec = (Positif)



5) sec = (Negatif)

−

6) cotan = − (Negatif)

′



TRIGONOMETRI

Kuadran III Rasio trigonometri sudut
′ yang dibentuk oleh sumbu
dan ruas garis !

1) sin = − (Negatif)



2) cos = − (Negatif)


3) tan = − = (Positif)

−

4) cosec = (Negatif)

−

5) sec = (Negatif)

−

6) cotan = − = (Positif)

−

(−3, −4)

Kuadran IV ′ Rasio trigonometri sudut
(3, −4)
yang dibentuk oleh sumbu

dan ruas garis !

1) sin = − (Negatif)



2) cos = (Positif)



3) tan = − (Negatif)



4) cosec = (Negatif)

−

5) sec = (Positif)



6) cotan = (Negatif)

−

TRIGONOMETRI

Ayo Menyimpulkan

Rasio trigonometri sudut-sudut di semua kuadran adalah sebagai berikut.

Rasio Kuadran III Kuadran IV
Kuadran I Kuadran II
− −
Trigonometri − +
+ −
sin + + − −
cos + − − +
tan + − + −
cosec + +
sec + −
cotan + −

Tips Cerdas

Kuadran II: Kuadran I:
Sin bernilai positif Semua positif (All)

SA
TC

Kuadran III: Kuadran IV:
Cos bernilai positif Tan bernilai positif

NILAI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

UNTUK SUDUT-SUDUT BERELASI

Indikator Pencapaian Kompetensi

3.9.5 MenentukTanurjuumauns sudut-sudut yang berelasi di kuadran I.

3.9.6 Menentukan rumus sudut-sudut yang berelasi di kuadran II.
3.9.7 Menentukan rumus sudut-sudut yang berelasi di kuadran III.
3.9.8 Menentukan rumus sudut-sudut yang berelasi di kuadran IV.
4.9.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan rumus

sudut-sudutyang berelasi pada setiap kuadran.

Tujuan

Melalui pendekatan saintifik dengan model Discovery Learning (DL)
berbasis 4C, literasi, dan PPK serta menggunakan metode tanya jawab
dan diskusi kelompok, peserta didik dapat:
1. menentukan rumus sudut-sudut yang berelasi di kuadran I dengan

benar;
2. menentukan rumus sudut-sudut yang berelasi di kuadran II dengan

benar;
3. menentukan rumus sudut-sudut yang berelasi di kuadran III dengan

benar;
4. menentukan rumus sudut-sudut yang berelasi di kuadran IV dengan

benar; dan
5. menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan rumus sudut-sudut yangberelasi pada
setiap kuadran dengan tepat

TRIGONOMETRI

Ayo melakukan literasi

PESAWAT PERTAMA DI INDONESIA

Presiden Indonesia ketiga BJ Habibie memiliki beberapa karya di bidang ilmu pengetahuan dan
teknologi. Karyanya bahkan digunakan sebagai standar keamanan di industri pesawat di dunia.
1. Theory of Habibie (Teori Crack Propagation)

Pria kelahiran 25 Juni 1936 ini telah menemukan
teori crack propagation point atau letak titik awal retak an
pada pesawat. Temuannya menjadi solusi menge nai
masalah panjang yang dapat ditimbulkan oleh retakn ya
bagian sayap dan badan pesawat akibat mengala mi
guncangan selama take off dan landing.

Habibie melakukan perhitungan detil bahkan perhitungannya sampai tingkat atom- atom
pesawat terbang. Ini adalah penemuan yang sangat b esar di dunia penerbangan. Teori yang juga
disebut sebagai theory of Habibie yang telah dipakai di industri penerbangan di seluruh dunia,
karena berhasil meningkatkan standar keamanan pesawat. Sehingga dia dijuluki sebagai "Mr.
Crack".

2. Pesawat N250 Gatot Kaca, Pesawat Buatan Indonesia Pertama
Pada tahun 1995, Habibie berhasil memimpin pembuatan pesawat N250 Gatot Kaca yang

merupakan pesawat buatan Indonesia yang pertama. Pesawat tersebut adalah hasil rancangan
Habibie yangb didesain sedemikian rupa dan berhasil terbang melewati Dutch Roll (pesawat oleng)
berlebihan. Teknologi pesawat itu canggih dan dipersiapkan untuk 30 tahun kedepan.

Habibie memerlukan waktu 5 tahun untuk melengkapi desain awal. Pesawat ini merupakan
satu-satunya pesawat turboprop di dunia yang menggunakan Fly by Wire. Menurut Habibie, pesawat
tersebut sudah terbang selama 900 jam dan akan masuk program sertifikasi FAA (Federal Aviation
Administration).

TRIGONOMETRI

Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Berelasi

A. Kuadran I

Sudut untuk 0° < < 90° , memiliki relasi dengan sudut-sudut di kuadran I
meliputi: relasi sudut dengan sudut ( ° − ) dan relasi sudut dengan
sudut ( ° + ).

1. Relasi sudut dengan sudut ( ° − )

Perhatikan gambar berikut.

Diketahui sebuah lingkaran
yang berpusat dititik (0,0)
dan berjari-jari , titik ( , )
dan ∠ ′ = .

Untuk mengetahui relasi sudut
dengan sudut (90° + ),
maka titik ( , ) dicerminkan
terhadap garis = .

Berdasarkan data diatas, maka dipeorleh data sebagai berikut.

Nilai perbandingan trigonometri Simpulan

Sudut Sudut ( ° − ) Relasi sudut dengan sudut
( ° − )
dengan ( , ) dengan ′( , )
sin(90° − )= cos
sin = sin(90° − ) = cos(90° − )= sin

tan(90° − ) = 1

cos = cos(90° − ) = tan



tan = tan(90° − ) =



TRIGONOMETRI

Dari tabel diatas terdapat beberapa perbandigan trigonometri sudut dan sudut
(90° − ) yang bernilai sama, misalnya sin = cos(90° − ) = , ekivalen dengan



sudut lainnya.

2. Relasi sudut dengan sudut ( ° + )

′( , ) Diketahui sebuah lingkaran
( , ) yang berpusat dititik (0,0)
dan berjari-jari , titik ( , )
dan ∠ ′ = .

(360° + ) Untuk mengetahui relasi


sudut dengan sudut

(360° + ), rotasikan titik

( , ) berlawanan arah

jarum jam sejauh 360°.

Berdasarkan data diatas, lengkapilah tabel berikut.

Nilai perbandingan trigonometri Simpulan

Sudut Sudut ( ° + ) Relasi sudut dengan sudut
dengan ′( , ) ( ° + )
dengan
( , ) dan sin(360° + ) = sin(360° + ) = sin
cos(360° + ) = cos
sin = tan(360° + ) = tan

cos(360° + ) =

cos =

tan(360° + ) =

tan =



TRIGONOMETRI

Dari tabel terdapat beberapa perbandingan trigonometri sudut dengan sudut (360° + )

yang bernilai sama, misalnya sin(360° + ) = = sin , ekivalen dengan sudut lainnya.



TRIGONOMETRI

B. Kuadran II

Sudut untuk 0° < < 90° , memiliki relasi dengan sudut-sudut di kuadran II
meliputi: relasi sudut dengan sudut ( ° + ) dan relasi sudut dengan
sudut ( ° − ).

1. Relasi sudut dengan sudut ( ° + )

Perhatikan gambar berikut.

Diketahui sebuah lingkaran
yang berpusat dititik (0,0)
dan berjari-jari r, titik ( , )
dan ∠ ′ = .

Untuk mengetahui relasi sudut
dengan sudut (90° + ) ,
maka titik ( , ) diputar
sejauh 90° berlawanan arah
jarum jam.

Berdasarkan data diatas maka diperoleh: Simpulan
Nilai perbandingan trigonometri

Sudut Sudut ( ° + ) Relasi sudut dengan sudut
dengan dengan ′( , ) ( ° + )
( , ) dan
sin(90° + ) = cos
sin(90° + ) =
sin = cos(90° + ) = −sin

1
cos(90° + ) = − tan(90° + ) = − tan
cos =

tan(90° + ) = −
tan =


TRIGONOMETRI

Dari tabel terdapat beberapa perbandingan trigonometri sudut dengan sudut
(90° + ) yang bernilai sama, misalnya sin(90° + ) = = cos , ekivalen dengan



sudut lainnya.

2. Relasi sudut dengan sudut ( ° − )

Diketahui sebuah lingkaran
yang berpusat dititik (0,0)
dan berjari-jari , titik ( , )
dan ∠ ′ = .

Untuk mengetahui relasi
sudut dengan sudut

(180° − ), cerminkan titik
( , ) terhadap sumbu .

Berdasarkan data diatas, maka diperoleh Simpulan
Nilai perbandingan trigonometri

Sudut Sudut ( ° − ) Relasi sudut dengan sudut
dengan (− , ) ( ° − )
dengan
( , ) sin (180° − ) = sin
sin = sin(180° − ) = cos(180° − ) = −cos
tan(180° − ) = −tan


cos =
cos(180° − ) = −

tan =

tan(180° − ) = −


Dari tabel terdapat beberapa perbandingan trigonometri sudut dengan sudut
(180° − ) yang bernilai sama, misalnya cos(180° − ) = − = −cos , ekivalen



dengan sudut yang lainnya.

TRIGONOMETRI

C. Kuadran III

Sudut untuk 0° < < 90°, memiliki relasi dengan sudut-sudut di kuadran
III meliputi: relasi sudut dengan sudut ( ° − ) atau relasi sudut
dengan sudut ( ° + ).

1. Relasi sudut dengan sudut ( ° − )

Perhatikan gambar berikut.

Diketahui sebuah lingkaran
yang berpusat dititik (0,0) dan
berjari-jari , titik ( , ) dan
∠ ′ = .
Untuk mengetahui relasi sudut
dengan sudut (270° − ),
maka cerminkan titik
( , ) terhadap garis = ,
dan dilanjutkan rotasi sejauh
180° berlawanan arah jarum
jam.

Berdasarkan data diatas, maka diperoleh. Simpulan
Nilai perbandingan trigonometri

Sudut Sudut (270° − ) Relasi sudut dengan sudut
dengan (− , − ) (270° − )
dengan
( , ) sin(270° − ) = − sin(270° − ) = −cos
sin =
cos(270° − ) = −sin
cos(270° − ) = − 1
cos =
tan(270° − ) = tan

tan(270° − ) =
tan =


TRIGONOMETRI

Dari tabel terdapat beberapa perbandingan trigonometri sudut dengan sudut
(270° − ) yang bernilai sama dengan tanda positif dan negatif yang berbeda/sama.

2. Relasi sudut dengan sudut ( ° + )

Perhatikan gambar berikut.

Diketahui sebuah lingkaran
yang berpusat dititik (0,0)
dan berjari-jari , titik ( , )
dan ∠ ′ = .

Untuk mengetahui relasi sudut
dengan sudut (180° + θ) ,
maka titik ( , ) dirotasikan
sejauh 180° berlawanan arah
jarum jam.

data diatas, lengkapilah tabel berikut. Berdasarkan data diatas, maka diperoleh:

Nilai perbandingan trigonometri Simpulan

Sudut Sudut ( ° + ) Relasi trigonometri sudut
dengan Q(− , − ) dengan sudut ( ° + )
dengan
( , ) sin(180° + ) = − sin (180° + ) = − sin
sin = cos (180° + ) = −cos
tan(180° + ) = tan

cos(180° + ) = −
cos =


tan = tan(180° + ) =



Dari tabel terdapat beberapa perbandingan trigonometri sudut dengan sudut
(180° + ) yang bernilai sama dan tanda positif/negatif yang sama/berbeda.

TRIGONOMETRI

D. Kuadran IV

Sudut untuk 0° < < 90°, memiliki relasi dengan sudut-sudut di kuadran III meliputi:
relasi sudut dengan sudut ( ° + ) atau relasi sudut dengan sudut ( ° − ).

1. Relasi sudut dengan sudut ( ° + )

Perhatikan gambar berikut.

Diketahui sebuah lingkaran
yang berpusat dititik (0,0)
dan berjari-jari , titik ( , )
dan ∠ ′ = .
Untuk mengetahui relasi sudut
dengan sudut (270° + ) ,
maka cerminkan titik
( , ) terhadap garis = ,
dan dilanjutkan pencerminan
terhadpa sumbu

Berdasarkan data diatas, maka diperoleh: Simpulan
Nilai perbandingan trigonometri Relasi sudut dengan sudut

Sudut Sudut (270° + ) (270° + )
dengan ( , ) dengan ( , − ) sin(270° + ) = −cos

sin = sin(270° + ) = − cos(270° + ) = sin
tan(270° + ) = − 1

tan
cos = cos(270° + ) =


tan(270° + ) = −
tan =


Dari tabel terdapat beberapa perbandingan trigonometri sudut dengan sudut (270° − )
yang bernilai sama dibedakan tanda negatif atau positif

TRIGONOMETRI

2. Relasi sudut dengan sudut ( ° − )

Perhatikan gambar berikut.

Diketahui sebuah lingkaran
yang berpusat dititik (0,0)
dan berjari-jari , titik ( , )
dan ∠ ′ = .

Untuk mengetahui relasi sudut
dengan sudut (360° − θ) ,
maka titik ( , )
dicerminkan terhadap sumbu
X.

Diketahui sebuah lingkaran yang berpusat dititik O(0,0) dan berjari-jari r,
titik P(x,y) dan ∠ ′ = .
Untuk mengetahui relasi sudut dengan sudut (180° − ), maka titik P(x,y)
diputar sejauh 90° berlawanan arah jarum jam.

Berdasarkan data diatas, maka diperoleh: Simpulan
Nilai perbandingan trigonometri Relasi sudut dan sudut

Sudut dengan Sudut (360° − ) (360° − )
sin (360° − ) = − sin
( , ) dengan Q( , − )
cos (360° − ) = cos
sin = sin(360° − ) = −
tan(360° − ) = − tan


cos = cos(360° − ) =



tan =
tan(360° − ) = −


TRIGONOMETRI

Dari tabel terdapat beberapa perbandigan trigonometri sudut dan sudut (360° − ) yang
bernilai sama, misalnya sin(360° − ) = − = − sin



TRIGONOMETRI

TRIGONOMETRI
Nilai-nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-sudut Berelasi

MATA PELAJARAN Kompetensi Dasar
MATEMATIKA
3.8 Menggeneralisasi rasio trigonometri untuk sudut-sudut
di berbagai kuadran dan sudut-sudut berelasi.

4.8 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan
dengan rasio trigonometri sudut-sudut di berbagai
kuadran dan sudut-sudut berelasi.

Indikator :

1. Menentukan rumus rasio trigonometri sudut negatif.
2. Menentukan rumus rasio trigonometri sudut lebih dari

360°.

Peta Konsep :

Nilai-nilai Perbandingan
Trigonometri untuk...

Sudut negatif Sudut lebih dari 360°

TRIGONOMETRI

1. Nilai-nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut Negatif
Setiap sudut memiliki relasi dengan sudut (− ), sebagai berikut:

Relasi dengan (− )

( , ) Diketahui titik ( , ),
O = serta ∠ = .
Titik ( , ) dicerminkan
terhadap sumbu , sehingga
′ ( , − ) diperoleh:

1) Bayangan titik
yaitu ′( , − ),

2) ∠ ′ = − , dan

3) ′ = =

Berdasarkan gambar diperoleh :

Untuk ( , ) dan sudut Untuk ′( , − ) dan sudut (− )

sin = cosec = sin(− ) = − cosec(− ) = −



cos = sec = cos(− ) = sec(− ) =



tan = cotan = tan(− ) = − cotan(− ) = −







Kesimpulan dari uraian di atas yaitu :

Relasi dengan (− )

sin(− ) = −sin cosec(− ) = −cosec

TRIGONOMETRI

cos(− ) = cos sec(− ) = sec
tan(− ) = − tan cotan(− ) = −cotan

2. Nilai-nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut Lebih dari °

Perbandingan trigonometri untuk sudut yang lebih dari 360° dapat ditentukan

dengan cara:

(i) rubah bentuk sudut tersebut menjadi bentuk + ∙ 360°, dengan =

1, 2, 3, … .

(ii) Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut lebih dari 360° mengikuti

aturan pada tabel berikut.

sin( + ∙ 360°) = sin cosec( + ∙ 360°) = cosec

cos( + ∙ 360°) = cos sec( + ∙ 360°) = sec

tan( + ∙ 360°) = tan cotan( + ∙ 360°) = cotan