5 กฎของพีชคณิตบูลีนและทฤษฎีของดีมอร์แกน_0

กฎของพีชคณิตบูลนี และทฤษฎีของดมี อรแ์ กน 4

5

สาระสาคัญ
การแกไ้ ขปัญหาทางวงจรดจิ ิตอลด้วยการออกแบบวงจรดจิ ิตอลตามเง่ือนไขหรอื ฟงั ก์ชันจะเก่ียวข้อง

กบั หลกั การของพชี คณติ บลู ีน ประกอบดว้ ย สมการทแ่ี สดงความสัมพันธข์ องคา่ คงทแี่ ละค่าตัวแปร โดยค่าคงที่
ของพชี คณิตบลู ีน คอื คา่ ในเลขฐานสองมี 1 และ 0 เทา่ นนั้ ส่วนคา่ คงท่ีในพีชคณติ ท่ัวไป คือ เลขฐานสบิ ดงั นั้น
กฎตา่ ง ๆ ของพีชคณิตบูลนี จงึ มคี วามแตกต่างออกไป และตวั กระทาทางพีชคณิตบลู ีน มี 3 ตวั คอื แอนด์ (·)
คือ การคณู กัน ออร์ (+) คือ การบวกกนั และนอต (¯) คอื การคอมพลีเมนตค์ า่ ตวั แปร
ตัวกระทาดงั กลา่ วมี ความ สัมพันธก์ ับ สภาวะลอจกิ ในการทางานของวงจร สว่ นทฤษฎีของดมี อร์แกนน้นั มี
ประโยชน์ตอ่ การแก้สมการของพชี คณิตบลู นี โดยจะชว่ ยจดั รปู สมการให้สามารถแก้สมการได้งา่ ยข้ึน

สาหรับการออกแบบวงจรดิจติ อลจาเป็นต้องลดรูปสมการให้เหลือนอ้ ยท่สี ดุ เพื่อใหอ้ ปุ กรณท์ ใ่ี ช้
ประกอบในการสร้างวงจรลอจิกมีจานวนนอ้ ยเพ่ือความประหยดั และทาให้คา่ หน่วงเวลาในการทางานไมม่ าก
เกินไป ดังนัน้ เรือ่ งของการลดรูปวงจรลอจกิ โดยการใชก้ ฎของพีชคณิตบูลีนและทฤษฎีของดีมอรแ์ กนจงึ มี
ความสาคญั ต่อการออกแบบวงจรดิจิตอล

เน้ือหาสาระ
5.1 กฎของพีชคณิตบลู ีนและทฤษฎีของดีมอรแ์ กน
5.2 ตวั แปรแบบมนิ เทอม และ แมก็ ซ์เทอม
5.3 รูปแบบของสมการลอจกิ
5.4 การสร้างตารางความจริงจากสมการลอจกิ รูปแบบมาตรฐาน
5.5 ความสมั พนั ธร์ ะหว่างวงจรลอจิกกบั สมการลอจิก

จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้
จดุ ประสงค์ทว่ั ไป
เพ่ือให้มีความร้แู ละความเข้าใจเรือ่ งกฎของพชี คณติ บูลนี แล ะทฤษฎขี องดีมอร์แกนสามารถ
ลดรูปสมการลอจกิ ในการออกแบบระบบวงจรดิจิตอลและทางานรว่ มกับผอู้ ่นื อย่างมีกิจนิสยั ที่ดีได้
จดุ ประสงคเ์ ชงิ พฤติกรรม
1. ลดรูปสมการลอจกิ โดยใชก้ ฎของพชี คณติ บลู นี และทฤษฎขี องดมี อรแ์ กนได้
2. เขียนตัวแปรแบบมนิ เทอมและแม็กซเ์ ทอมได้
3. เขยี นสมการลอจกิ แบบผลบวกของผลคณู และผลคูณของผลบวกได้
4. สร้างตารางความจรงิ จากสมการลอจิกรูปแบบมาตรฐานได้
5. เขยี นวงจรลอจกิ จากสมการลอจกิ ได้
6. เขยี นสมการลอจกิ จากวงจรลอจิกได้

กฎของพีชคณติ บลู นี และทฤษฎขี องดีมอร์แกน 5

คณติ ศาสตร์ลอจิกในการออกแบบวงจรดจิ ติ อลเป็นพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ซ่งึ มีความจาเปน็ และ
สาคัญสาหรบั การศึกษาเร่อื งของการออกแบบวงจรลอจกิ ในระบบดิจิตอล คอื เรือ่ งของพชี คณิตบูลนี ซงึ่ มกี าร
ประยกุ ต์ใช้กันอยา่ งมากมาย ประกอบด้วย กฎและการใชท้ ฤษฎีและคณิตศาสตร์ลอจิก ในการศึกษากรณขี อง
พีชคณิตบูลีนคา่ ของตวั แปรท่ใี ชม้ เี พยี งหน่งึ ในสองคา่ เท่านั้นและตัวแปรทใี่ ช้ในบูลนี ดังเชน่ A หรอ้ B แสดงคา่
ของอินพตุ และเอาตพ์ ุตของสมการลอจิก โดยสมมติใหค้ ่าของตัวแปรเหล่านเี้ กดิ ข้นึ เพียงสองคา่ ทีแ่ ตกต่างกนั
เท่านน้ั โดยสัญลักษณ์ “0” และ “1” จะใชแ้ สดงค่าของความแตกตา่ งกันของสองค่านนั้ ดังนัน้ คา่ ตวั แปรใน
บลู นี จะเกิดขนึ้ เพยี งอยา่ งใดอยา่ งหน่ึงในขณะเวลาหนง่ึ คอื A = 0 หรอื A = 1 ซง่ึ สัญลักษณ์ “0” และ “1” ท่ี
ใช้คลา้ ยกับเลขฐานสองแต่ไม่ใชค้ ่าของเลขฐานสอง สัญลักษณ์ไม่มีค่าทางตวั เลขแตส่ ญั ลักษณ์ “0” จะใชแ้ ทน
คา่ ของแรงดันทตี่ า่ กวา่ (LOW) และ สญั ลกั ษณ์ “1” จะใชแ้ ทนค่าของแรงดนั ทสี่ งู กว่า (HIGH)

5.1

ผคู้ ดิ คน้ พชี คณติ บลู นี คือ นักคณติ ศาสตรช์ าวองั กฤษช่ือ จอรจ์ บลู (George Boole) ปี พ.ศ. 2390
ใช้สาหรับวิเคราะหว์ งจรลอจกิ ซึง่ สามารถเขียนออกมาได้ในรปู คณติ ศาสตรเ์ ลขฐานสอง และในรปู แบบวงจร
อิเลก็ ทรอนกิ ส์หรือวงจรลอจิกเกต เปน็ ทฤษฎีพื้นฐานสาคัญทางดา้ นดิจติ อล และสามารถแสดงการทางานของ
คา่ ลอจิกของสมการบูลีน ซงึ่ เกี่ยวข้องกบั ตวั แปร (variable) โดยตัวแปรเป็นสัญลกั ษณ์ท่แี ทน คา่ ของจานวน
ลอจิก ตวั แปรหนึ่งตัวจะมีคา่ เป็น 1 หรือ 0 ก็ได้ ส่วนการคอมพลีเมนต์เปน็ การหาคา่ ตรงกันขา้ มของตัวแปร ซ่ึง
เขยี นโดยใชส้ ัญลกั ษณ์ขีด เสน้ บนตัวแปรตวั นน้ั เชน่ A มคี อมพลีเมนต์ คือ A ถา้ A =1 ดงั นนั้ A = 1 = 0
การอา่ นค่าคอมพลีเมนต์ของตวั แปร A คือ “นอตเอ”้หรอื “เอบาร์”้และอาจจะใช้สญั ลักษณ์ไพ ร์ม (prime)

แทนเส้นท่ีขดี บนตัวแปรก็ได้ เช่น A′ ซ่งึ ก็คือ คอมพลีเมนตข์ อง A

พชี คณติ บูลนี มกี ฎและขอ้ บังคับต่าง ๆ เพอ่ื นามาใชใ้ นการหาคา่ ผลลพั ธ์ของ สมการบูลนี ( Boolean-
Expression) ลอจกิ ฟังกช์ นั (Logic Function) หรอื สมการลอจิก การลดรปู สมการลอจกิ เพื่อนาไปสร้าง
วงจรลอจกิ และสามารถพสิ จู น์ความถูกตอ้ งด้วยตารางความจริงได้ นาไปประยกุ ต์ใช้ออกแบบวงจรลอจิกเกตได้
ถูกตอ้ งเหมาะสม การเขียนและการสรา้ งวงจรลอจกิ คือ การรวมกันของลอจิกเกตหลายชนดิ นามาต่อวงจรตาม
สมการลอจิกทีเ่ ขียนขน้ึ เพื่อทาใหว้ งจรสามารถทางานได้ตามตอ้ งการ โดยลักษณะการต่อวงจรลอจิกจากการ
เขียนวงจรลอจกิ ท่ีแปลงมาจากสมการลอจกิ ทีละส่วนนามารวมกนั เปน็ ลาดบั ข้ันจนได้ผลรวมสุดท้ายเปน็
เอาต์พุต การเขียนวงจรลอจิกต้องพิจารณาจากสมการโดยส่วนทีค่ ูณกนั จะถกู แทนด้วยแอนด์เกต ส่วนทบี่ วกกัน
จะถูกแทนดว้ ยออร์เกต และสว่ นคอมพลีเมนต์จะแทนดว้ ยนอตเกต นอกจากน้ันยังสามารถแทนสมการด้วย
นอรเ์ กต แนนดเ์ กต เอ็กซค์ ลูซีฟออรเ์ กต และเอก็ ซค์ ลูซีฟนอร์เกต โดยขน้ึ อยกู่ ับสมการลอจกิ เม่้อนาลอจกิ เกต
มาต่อรว่ มกันจะได้วงจรลอจกิ หรือวงจรลอจกิ เชงิ จัดหมู่ขน้ึ มา โดยวงจรลอจกิ เชงิ จัดหมแู่ ตล่ ะวงจรจะมรี ูปแบบ
ของฟงั กช์ นั สมการซงึ่ เขยี นในรูปของพีชคณติ บูลีนอยา่ งแตกต่างกนั พชี คณติ บลู นี ยังสามารถชว่ ยลดรปู สมการ
ลอจิกใหม้ ขี นาดสั้นลงแต่ยงั คงให้ผลลัพธท์ ี่เอาต์พตุ เหมือนเดิม ท้งั สมการลอจิกและวงจรลอจกิ เกตต่างกม็ ี
ความสัมพันธ์ต่อกัน รปู แบบมาตรฐานของสมการลอจกิ ท่ีแสดงดว้ ยพชี คณติ บูลนี มอี ยดู่ ้วยกัน 2 รปู แบบ คือ
ผลบวกของผลคณู (Sum of Product หรอื SOP) และผลคูณของผลบวก (Product of Sum หรือ POS)

กฎของพีชคณิตบูลีนและทฤษฎีของดมี อร์แกน 6

5.1.1 นยิ ามศัพทท์ ่ีเก่ียวขอ้ งกับพชี คณติ บูลีน
1. ตัวคงท่ี (Constant) ในพีชคณิตบูลนี คอื ตัวคงท่ีประกอบด้วยตัวเลข “0”้และ “1”้
2. ตัวแปร (Variable) คือ ตัวอกั ษรหรือสัญลกั ษณท์ ี่ใช้แทนหรอื กาหนดค่าคงที่ โดยอาจอย่ใู นรูป

ปกติ เช่น A, B, C, X, Y และ Z หรืออยู่ในรปู คอมพลเี มนต์ (Complement) เช่น A, B, C, X, Y และ Z
3. ตวั กระทา (Operator) มีอยู่ 3 ตัว ได้แก่
3.1 ตวั กระทาแอนด์ (AND) ใช้สัญลักษณ์ (·) อ่านวา่ แอนด์ โดยผลการแอนดจ์ ะเป็นลอจกิ

“1”้กต็ ่อเมอ่ื ตวั แปรหรือตวั คงทนี่ น้ั ๆ เป็น ลอจิก “1”้ทง้ั หมด ไดแ้ ก่
0·0=0
0·1=0
1·0=0
1·1=1

3.2 ตัวกระทาออร์ (OR) ใช้สัญลกั ษณ์ (+) อา่ นวา่ ออร์ โดยผลการออร์จะเป็นลอจิก “1”้
เมอ่ื ตัวแปรหรอื ตวั คงท่นี ้ัน ๆ ตวั ใดตัวหนึง่ หรือท้ังสองตวั เป็นลอจกิ “1”้ได้แก่

0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=1
3.3 ตัวกระทานอต (NOT) ใชส้ ญั ลกั ษณ์ (¯) อ่านวา่ บาร์ หรอื นอต คณุ สมบตั ิของตัวกระทา
นอต คือ จะทาใหค้ า่ คงท่ีน้ันกลับไปเป็นคา่ ตรงกนั ขา้ ม คือ จากลอจิก “0”้เป็น “1”้หรอื จากลอจกิ “1”้เปน็
“0”้เช่น A = 0, A = 1
4. เทอม (Term) หมายถงึ การนาตัวแปรมากระทากนั มี 2 แบบ คอื
4.1 ตัวแปรมินเทอม (Min Term) คอื การนาตัวแปรตงั้ แต่สองตวั มากระทากันด้วยการแอนด์
โดยตวั แปรในรูปปกตจิ ะถกู แทนด้วยลอจิก “1”้และตวั แปรในรปู คอมพลเี มนตจ์ ะถูกแทนดว้ ยลอจิก “0”้เช่น
A · B หรอื A · B · C หรือ X · Y · Z อาจเขยี นรูปแบบ AB หรอื ABC หรอื XYZ
4.2 ตัวแปรแมก็ ซ์เทอม (Max Term) คอื การนาตวั แปรตงั้ แตส่ องตัวมากระทากนั ดัวย การ
ออร์ โดยตวั แปรในรปู ปกติจะถูกแทนด้วยลอจกิ “0”้และตวั แปรในรปู คอมพลีเมนต์ จะถูกแทนดว้ ยลอจิก “1”้
เชน่ A +B หรอื A + B + C หรือ X + Y + Z
5. ฟังกช์ นั (Function) อาจเรียกว่าลอจกิ ฟงั กช์ นั (Logic Function) หรอื บูลนี ฟงั ก์ชัน (Boolean-
Function) ก็ได้ หมายถงึ สมการทแี่ สดงให้ทราบถึงความสัมพนั ธห์ รอื ผลการถกู กระทาของเทอม หรือนิพจน์
ทางลอจิกตา่ ง ๆ เช่น
Y = AB + ABC + ABCD
Y = ( A +B + C )( B + C )( A +B )
6. นิพจนท์ างลอจิก (Expression) คือ สมการลอจกิ ทม่ี ีการนาเทอมของตัวแปรมากระทากัน ไดแ้ ก่
6.1 สมการผลบวกของผลคณู เปน็ การนา ตวั แปรมินเทอมตัง้ แต่สองเทอมมากระทากันด้วย
สญั ลักษณ์ (+) เช่น AB + ABC หรอื ABC+ ABC หรอื AB + ABC+ ABCD
6.2 สมการผลคูณของผลบวก เปน็ การนาตวั แปรแม็กซ์เทอมต้งั แต่สองเทอมมากระทากัน
ด้วยสญั ลักษณ์ (·) เชน่ ( A +B ) · ( A + B ) หรอื อาจเขยี นในอีกลกั ษณะ คือ
( A +B )( A + B ) หรอื ( A +B + C )( A + B + C ) หรอื ( A +B + C +D )( A + B + C +D )( A +B + C + D )

กฎของพีชคณิตบูลีนและทฤษฎีของดมี อรแ์ กน 7

7. คอมพลีเมนต์ฟังก์ชนั (Complement Function) หมายถึง การนาตัวกระทานอตมากระทาทั้ง
ฟังก์ชนั ทาใหฟ้ งั กช์ นั เดมิ ถกู กลบั เปน็ ตรงกันข้าม เช่น คอมพลเี มนตฟ์ งั ก์ชันของ AB + C คอื AB + C

8. ดอู ัลลติ ี้ฟงั กช์ นั (Duality Function) หมายถงึ การเปลี่ยนตวั กระทาของฟังก์ชันเดิมจากแอนด์
เปน็ ออร์ หรอื จากออร์เป็ นแอนด์ และเปล่ียนตัวคงทีจ่ าก “0”้ เป็น “1”้ หรอื จาก “1”้ เปน็ “0”้ ส่วนตัว

กระทานอตไมเ่ ปลยี่ น เช่น

A ·B + C คอื A +B · C
A + 1 = 1 คอื A · 0 = 0

ตารางความจรงิ (Truth Table) เปน็ ตารางทแ่ี สดงระดับลอจิกเอาต์พตุ ท่ีเกดิ จากการจัดหมู่
(Combinations) หรอื วธิ กี ารผสมของตวั แปรลอจิกทางด้านอนิ พตุ โดยสภาวะทางลอจกิ ในตารางความจริงจะ
คานวณไดโ้ ดยใชส้ ตู ร 2n เมอ่ื n คือจานวนตัวแปรทางดา้ นอินพุต เชน่ อินพุต 2 ตวั แปรเมื่อนาไปแสดงค่าลอจกิ
ในตารางความจรงิ จะมีจานวนบรรทดั หรือจานวนสภาวะทางลอจกิ เทา่ กบั 22 = 4 บรรทัด

ตารางที่ 5.1 ตัวอยา่ งตารางความจริงขนาด 2 ตวั แปร

อนิ พุต เอาต์พุต
Y
AB

00
01
10
11

5.1.2 กฎ ขอ้ บงั คับของพีชคณติ บูลีน
กฎหรือข้อบังคบั ต่าง ๆ ของพชี คณิตบลู ีนที่เขียนขึ้นมาจากการกระทาตามตัวกระทาของตวั แปร

หรอื คา่ คงที่ใด ๆ กบั ตัวแปร สรา้ งไว้สาหรบั การรวมหรอื การกาจัดตวั แปรใน การลดรปู สมการ เพื่อใหส้ มการ
เขยี นอยูใ่ นรูปแบบทง่ี า่ ยข้ึนและมขี นาดของสมการเล็กลง ซึ่งแยกได้ออกเป็น 7 กลมุ่ รวม 23 ข้อ ดงั นี้

กลุ่มที่ 1 กฎของนอต
1. 0 = 1
2. 1 = 0
3. A  0; ( A  1)
4. A  1; ( A  0 )

5. A  A

กลมุ่ ที่ 2 กฎของแอนด์

6. A · 0 = 0

7. A · 1 = A

8. A · A = A
9. A · A = 0

กฎของพีชคณติ บูลนี และทฤษฎีของดีมอร์แกน 8

กลุ่มที่ 3 กฎของออร์
10. A + 0 = A
11. A + 1 = 1
12. A + A = A
13. A + A = 1

กลุ่มท่ี 4 กฎของการสลับท่ี (Commutative Law)
14. A + B = B + A

15. A · B = B · A

กลุ่มที่ 5 กฎของการจดั หมู่ (Associative Law)
16. A + (B + C) = (A + B) +C = A + B + C
17. A(BC) = (AB)C = ABC

กลุม่ ท่ี 6 กฎของการกระจาย (Distributive Law)
18. A (B + C ) = ( AB ) + ( AC )
19. A + (BC ) = ( A +B )( A + C )

กลมุ่ ที่ 7 กฎของการซ้าซอ้ น (Redundance Law)
20. A + AB = A
21. A + AB = A + B
22. A + AB = A + B
23. A· ( A + B ) = A

การพสิ ูจนก์ ฎของพีชคณติ บลู ีนด้วยตารางความจรงิ มีดงั ตัวอยา่ งตอ่ ไปนี้

ตัวอย่างท่ี 5.1 พิสจู น์ขอ้ 20 A + AB = A

ตารางที่ 5.2 แสดงการพสิ จู นก์ ฎของบูลนี A + AB = A

A B AB A + AB
000 0
010 0
100 1
111 1

กฎของพชี คณิตบูลีนและทฤษฎขี องดีมอรแ์ กน 9

ตัวอยา่ งท่ี 5.2 พิสูจนข์ อ้ 21 A + AB = A + B

ตารางที่ 5.3 แสดงการพสิ ูจนก์ ฎของบูลนี A + AB = A + B

A B A AB A + AB A +B

0010 0 0
0111 1 1
1000 1 1
1100 1 1

ตัวอย่างที่ 5.3 พสิ จู น์ข้อ 22 A + AB = A + B
ตารางท่ี 5.4 แสดงการพสิ จู น์กฎของบลู ีน A + AB = A + B

A B A AB A + AB A +B

0010 1 1
0110 1 1
1000 0 0
1101 1 1

5.1.3 ทฤษฎขี องดีมอร์แกน (Demorgan’s Theorems)
ดี มอรแ์ กนเป็นนกั คณิตศาสตรท์ เ่ี สนอทฤษฎที ี่มีความสาคัญต่อพชี คณิ ตบลู ีน เพ่ือใช้ในการลดรปู

ของสมการลอจกิ ได้ดงั น้ี
1. AB= A + B

2. A + B = A · B

การพสิ ูจน์ทฤษฎีของดมี อรแ์ กนดว้ ยตารางความจรงิ มีดังตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี

ตวั อยา่ งท่ี 5.4 พิสูจน์ 1 AB = A + B

ตารางท่ี 5.5 แสดงการพสิ ูจน์ทฤษฎขี องดมี อรแ์ กน AB = A + B

A B A B A + B AB

0011 11

0110 11

1001 11

1100 00

กฎของพีชคณติ บูลนี และทฤษฎีของดีมอรแ์ กน 10

ตวั อย่างท่ี 5.5 พสิ ูจน์ 2 A + B= A · B

ตารางท่ี 5.6 แสดงการพสิ จู น์ทฤษฎขี องดีมอรแ์ กน A + B = A · B

A B A B AB A·B

00111 1
01100 0
10010 0
11000 0

ตัวอย่างที่ 5.6 การประยกุ ตท์ ฤษฎีของดมี อรแ์ กนกบั สมการ ABC และ A + B + C

วธิ ีทา

ABC = A + B + C

A+B+C= A ·B·C ตอบ

ตวั อย่างที่ 5.7 การประยกุ ต์ใชท้ ฤษฎีดีมอรแ์ กนกับสมการ (A + B + C)D

วิธที า กาหนดให้ A + B + C = X และ D = Y ดังน้นั สมการ (A + B + C)D อยใู่ นรปู ของ

XY = X + Y จะได้

(A + B + C)D = A + B + C + D

ใช้ทฤษฎีดีมอร์แกนกบั เทอม A + B + C

A+B+ C+D = A B C+D ตอบ

ตวั อยา่ งท่ี 5.8 การประยกุ ตใ์ ชท้ ฤษฎีดมี อรแ์ กนกับสมการ ABC + DEF

วิธที า กาหนดให้ ABC = X และ DEF = Y ดังนัน้ สมการ ABC + DEF อยู่ในรปู ของ

X+Y= XY

ABC + DEF = (ABC)(DEF)

ใชท้ ฤษฎีดีมอร์แกนกบั เทอม ABC และ DEF

(ABC)(DEF) = ( A + B + C )( D + E + F ) ตอบ

ตวั อยา่ งท่ี 5.9 AB  CD  EF

วิธีทา กาหนดให้ AB = X และ CD = Y และ EF = Z ดังนน้ั นิพจน์ AB  CD  EF
อย่ใู นรูปของ X + Y + Z = X Y Z

AB  CD  EF = (AB) (CD) (EF)
ใชท้ ฤษฎีดีมอรแ์ กนกับพจน์ AB และ CD และ EF

(AB) (CD) (EF) = ( A + B )( C + D )( E + F ) ตอบ

กฎของพีชคณติ บลู ีนและทฤษฎขี องดีมอร์แกน 11

ตัวอยา่ งที่ 5.10 การประยกุ ตใ์ ช้ทฤษฎีดีมอรแ์ กนกบั สมการ

วิธที า
5.10.1 (A + B) + C = (A + B) C
= A B C ตอบ

5.10.2 (A + B)CD + E + F = ((A + B)CD)(E + F) ตอบ

= ((A + B) + CD) E F
= (A B+C+D)E F

5.1.4 การประยุกต์ใช้กฎของพชี คณติ บลู นี และทฤษฎีของดีมอรแ์ กน ลดรปู สมการลอจกิ

ตวั อย่างที่ 5.11 จงลดรปู สมการ BC ( C + CA ) + ( A + C )( AB + AC )

วิธีทา

= BC C (1 + A ) + A AB + A AC + ABC + ACC

= BC + AB + AC + ABC

= BC + AC + AB(1 + C )

= BC + AC + AB ตอบ

ตัวอย่างท่ี 5.12 จงลดรปู สมการ (AC + BC + ABC + ABCD ) ตอบ
วิธีทา

= AC + BC + ABC + ABCD
= AC + BC + ABC (1+D)
= AC + BC + ABC
= AC + B (C + A C )
= AC + B (C + A )
= AC + BC + AB
= AC + BC (1) + AB
= AC + BC (A + A ) + AB
= AC + ABC + ABC + AB
= AC (1 + B) + AB (1+ C)

= AC  AB

ตวั อยา่ งท่ี 5.13 จงลดรปู สมการ ABC  AB  ABC  AC  ABC
วธิ ที า

= A(BC  B  C)  A  B  C  ABC

= A(C  B  C)  A  B  C  ABC

= A(1  B)  A  B  C  ABC

กฎของพชี คณิตบูลีนและทฤษฎีของดมี อรแ์ กน 12

= A  A  B  C  ABC ตอบ

= 1  B  C  ABC
=1
=0

ตวั อยา่ งท่ี 5.14 จงลดรปู สมการ A(B  C)  BCD ตอบ
วิธที า

= A(B  C)  BCD

= A(B  C)(BCD)

= (A  B  C)(BCD)
= ( A + B C )(BCD)
= ABCD + B C BCD
= ABCD

ตัวอยา่ งท่ี 5.15 จงลดรูปสมการ (A + B)(A + BC)( C + D) + ABD

วธิ ีทา

= (AA + ABC + AB + BBC)( C + D) + ABD

= (A + BC)( C + D) + ABD

= AC + AD +BCC + BCD+ABD

= AC + AD + ABD + BCD

= AC + AD(1 + B) + BCD

= AC + AD + BCD ตอบ

ตัวอยา่ งท่ี 5.16 จงลดรูปสมการ (X + Z )(X + Y + Z )(Y + Z )

วิธีทา

= (X + Z )(X + Y + Z )(Y + Z )

= (XX + XY + X Z + X Z + Y Z + Z Z )(Y + Z )

= (X + XY+ X Z + Y Z + Z )(Y + Z )

= (X + X Z + Y Z + Z )(Y + Z )

= ((X (1 + Z ) + Z (Y+1))(Y + Z )

= (X + Z )(Y + Z )

= XY + X Z + Z Y + Z Z

= XY + Z (X + 1) + Z Y

= XY + Z + Z Y

= XY + Z (1 + Y)

= XY + Z ตอบ

กฎของพีชคณติ บลู นี และทฤษฎขี องดมี อรแ์ กน 13

ตัวอย่างท่ี 5.17 จงลดรปู สมการ A  BC  D(E  F) ตอบ
วิธีทา จากทฤษฎขี องดี มอรแ์ กน X + Y = X Y
A  BC = X และ D(E  F) = Y
A  BC  D(E  F) = ( A  BC )(D(E  F) )
= (A + BC )(D(E  F) )
= (A + BC )( D + ( (E  F) )

= (A + BC )( D + E + F )

ตวั อยา่ งที่ 5.15 จงลดรูปสมการ (X + Z )( Z  WY ) + (VZ + WX )( Y  Z )

วธิ ที า

= (X + Z ) Z ( W + Y ) + (VZ + WX ) Y Z

= (X Z + Z )( W + Y ) + VZY Z + WX Y Z

= Z (X + 1)( W + Y ) + WX Y Z

= Z ( W + Y ) + WXYZ

= Z W + Z Y + WXYZ

= Z W + Z Y (1 + WX )

=ZW +ZY

= Z (W + Y) ตอบ

5.2 (Minterm) (Maxterm)

5.2.1 ตัวแปรมนิ เทอม
ตัวแปรมนิ เทอม หรือการเขียนตวั แปรเป็นเทอมของการคณู (Product Term) คือ การเขยี น

เทอมบูลีนในรปู ผลคูณของตวั แปรทุกตวั โดยตวั แปรแต่ละตวั จะมคี ่าไดส้ องค่ า คอื ค่าปกติ (A) และค่าคอมพลี
เมนต์ (A) แต่ในเทอมเดยี วกนั จะมีไดเ้ พียงคา่ เดียว จานวนเทอมทีไ่ ด้จะข้นึ อยู่กับจานวนตัวแปร คือ 2 n เมื่อ n
คือ จานวนของตวั แปร เช่น ถ้ามีอินพตุ 3 ตวั แปร คือ A, B และ C มมี นิ เทอมเท่ากบั 23 = 8 ตัว ส่วนคา่ ของตวั
แปรมนิ เทอมนัน้ ค่าตัวแปรปกติจะถกู แทนคา่ ด้วย (A = 1) ส่วนคา่ ตัวแปรคอมพลีเมนตจ์ ะแทนค่าดว้ ย ( A = 0)

5.2.2 ตัวแปรแมก็ ซ์เทอม
ตวั แปรแมก็ ซ์เทอม หรือการเขียนตวั แปรเปน็ เทอมของการบวก (Sum Term) คือ การเขยี น

เทอมบลู ีนในรปู ผลบวกของตวั แปรทกุ ตัว โดยตัวแปรแต่ละตัวจะมคี า่ ไดส้ องคา่ คอื คา่ ปกติและคา่ คอมพลเี มนต์
เชน่ เดยี วกัน แต่ในเทอมเดียวกันจะมไี ด้เพยี งค่าเดียว จานวนเทอมท่ไี ด้จะข้ึนอยกู่ ับจานวนตัวแปร คือ 2 n เมอื่
n คือจานวนของตัวแปร เช่น ถ้ามอี นิ พทุ 3 ตัวแปร คือ A, B และ C มีแมก็ ซ์เทอมเท่ากับ 2 3 = 8 ตวั ส่วนคา่
ของตัวแปรแมก็ ซเ์ ทอมนน้ั คา่ ตวั แปรปกติจะถูกแทนค่าด้วย (A = 0) สว่ นคา่ ตวั แปรแบบคอมพลเี มนตส์ ามารถ
แทนด้วย ( A = 1) แสดงได้ดังตารางที่ 5.7 ถงึ ตารางที่ 5.9

กฎของพชี คณติ บูลนี และทฤษฎีของดีมอรแ์ กน 14

ตารางท่ี 5.7 การเขยี นตัวแปรแบบมนิ เทอมและแม็กซเ์ ทอมจากตวั แปร 2 ตัว

เลขฐานสิบ ตัวแปร มนิ เทอม สัญลกั ษณ์ แม็กซ์เทอม สญั ลกั ษณ์
AB มินเทอม แม็กซเ์ ทอม

0 0 0 AB m0 A+B M0

1 0 1 AB m1 A+B M1

2 1 0 AB m2 A+B M2

3 1 1 AB m3 A+B M3

ตารางท่ี 5.8 การเขยี นตัวแปรแบบมินเทอมและแม็กซเ์ ทอมจากตวั แปร 3 ตัว

เลขฐานสบิ ตัวแปร มินเทอม สัญลักษณ์ แม็กซเ์ ทอม สญั ลักษณ์
ABC มินเทอม แมก็ ซเ์ ทอม

0 0 0 0 ABC m0 A+B+C M0
1 0 0 1 ABC m1 A+B+C M1
2 0 1 0 ABC m2 A+B+C M2
3 0 1 1 ABC m3 A+B+C M3
4 1 0 0 ABC m4 A+B+C M4
5 1 0 1 ABC m5 A+B+C M5
6 1 1 0 ABC m6 A+B+C M6
7 1 1 1 ABC m7 A+B+C M7

ตารางท่ี 5.9 การเขยี นตวั แปรแบบมนิ เทอมและแม็กซ์เทอมจากตัวแปร 4 ตัว

เลขฐานสิบ ตัวแปร มนิ เทอม สัญลกั ษณ์ แมก็ ซ์เทอม สญั ลกั ษณ์
ABCD มนิ เทอม แม็กซ์เทอม

0 0 0 0 0 ABCD m0 A+B+C+D M0
1 0 0 0 1 ABCD m1 A+B+C+D M1
2 0 0 1 0 ABCD m2 A+B+C+D M2
3 0 0 1 1 ABCD m3 A+B+C+D M3
4 0 1 0 0 ABCD m4 A+B+C+D M4
5 0 1 0 1 ABCD m5 A+B+C+D M5
6 0 1 1 0 ABCD m6 A+B+C+D M6
7 0 1 1 1 ABCD m7 A+B+C+D M7
8 1 0 0 0 ABCD m8 A+B+C+D M8
9 1 0 0 1 ABCD m9 A+B+C+D M9

กฎของพีชคณติ บูลนี และทฤษฎขี องดมี อร์แกน 15

ตารางท่ี 5.9 (ต่อ) การเขยี นตวั แปรแบบมินเทอมและแมก็ ซเ์ ทอมจากตวั แปร 4 ตวั

เลขฐานสิบ ตัวแปร มินเทอม สญั ลกั ษณ์ แม็กซ์เทอม สญั ลกั ษณ์
ABCD มนิ เทอม แม็กซ์เทอม

10 1 0 1 0 ABCD m0 A+B+C+D M0
11 1 0 1 1 ABCD m1 A+B+C+D M1
12 1 1 0 0 ABCD m2 A+B+C+D M2
13 1 1 0 1 ABCD m3 A+B+C+D M3
14 1 1 1 0 ABCD m4 A+B+C+D M4
15 1 1 1 1 ABCD m5 A+B+C+D M5

5.3

รปู แบบทวั่ ไปของสมการลอจิกทแี่ สดงด้วยพชี คณิตบลู นี มี 2 รูปแบบ คือ สมการผลบวกของผลคูณ
และสมการผลคณู ของผลบวก สามารถนามาเขยี นในรูปแบบของผลบวกของตวั แปรมนิ เทอม และผลคูณของตัว
แปรแม็กซเ์ ทอม เพ่อื นามาใชก้ บั การลดรูปสมการลอจกิ ดว้ ยพีชคณติ บลู ีนได้

5.3.1 สมการลอจิกแบบผลบวกของผลคูณ
สมการลอจิกแบบผลบวกของผลคณู หมายถงึ การบวกกนั ระหว่างเทอมของตัวแปรท่คี ณู กนั

ตวั อยา่ งของสมการรปู แบบผลบวกของผลคณู อาจประกอบด้วยเทอมซง่ึ มีเพียงตัวแปรเดยี ว เช่น
A + ABC + BCD หรอื ลกั ษณะการเขียนของสมการในรูปแบบต่าง ๆ ดังนี้

f ( A ,B ) = AB+ AB+ AB
f ( A ,B , C ) = ABC+ ABC + ABC
f ( A ,B , C ,D ) = AB+ABC+ ABCD + ABCD

นอกจากนีเ้ คร่ืองหมายบาร์ทปี่ รากฏบนตัวแปรของสมการรปู แบบนีจ้ ะ สามารถปรากฏอยู่บน
ตวั แปรได้เพียงตัวแปรเดียวเท่านน้ั เช่น A, B และ C แตไ่ มอ่ าจปรากฏเครอ่ื งหมายบารข์ องเทอมได้ เชน่ ABC

การสรา้ งวงจรลอจกิ จากสมการแบบผลบวกของผลคณู ประกอบด้วย 2 ส่วน คอื เทอมผลคณู
ซง่ึ สรา้ งวงจรได้โดยใช้เกตแบบแอนด์ และอกี ส่วนก็ คอื เทอมผลบวก โดยการนาเทอมต่าง ๆ มาดาเนินการ
แบบออรโ์ ดยการใช้ออร์เกต ดังนนั้ วงจรของสมการลอจิกหรือ นิพจน์ จะประกอบด้วย ลอจกิ เกตแอนด์กบั ออร์
ซึ่งเอาตพ์ ตุ ของ เทอมผลคณู ตา่ ง ๆ ของเกตแบบแอนด์จะถกู เชอื่ มเปน็ อนิ พุตใหก้ ับเกตแบบออร์ ซง่ึ สามารถ
แสดงตวั อย่างได้ดงั รปู ท่ี 5.1 เปน็ วงจรลอจิกของสมการ AB+ ABC + ABC โดยมี Y เป็นเอาตพ์ ตุ

A A BC C กฎของพีชคณติ บลู นี และทฤษฎขี องดีมอรแ์ กน 16

Y = AB+ABC+ABC

รปู ที่ 5.1 วงจรลอจกิ ของสมการแบบผลบวกคูณ AB+ ABC + ABC

การเปลยี่ นสมการลอจกิ ท่วั ไปใหอ้ ยใู่ นรปู แบบสมการผลบวกของผลคณู สมการลอจกิ สามารถเปลยี่ นให้
อย่ใู นรปู ของสมการแบบผลบวกของผลคูณโดยใช้วิธีการทางพชี คณติ แสดงดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปนี้

ตัวอย่างที่ 5.19 จงเปลี่ยนสมการลอจกิ ตอ่ ไปนใ้ี หอ้ ยใู่ นรปู แบบของสมการผลบวกของผลคูณ

1. AB+B(CD+EF) = AB+B(CD + EF) = AB + BCD + BED
2. (A+B)(B+C+D) = (A + B)(B+ C+ D) = AB + AC + AD + BB + BC + BD
3. (A + B) + C = (A + B) C = AC + BC

5.3.2 รูปแบบมาตรฐานของสมการผลบวกของผลคณู (Canonical Sum of Product From)

ตวั อย่างที่ 5.20 f ( A ,B ) = m (0, 1, 2, 3)

วิธีทา โจทย์กาหนด f ( A ,B ) แสดงวา่ มีตัวแปร 2 ตัว

m หมายถึง ผลบวกของตัวมินเทอม

f ( A ,B ) = m (0, 1, 2, 3) จงึ หมายถงึ การนามนิ เทอมตวั ที่ m0, m1, m2, m3 มาบวกกนั
โดยเขียนอยใู่ นรปู ของผลบวกของผลคูณ

f ( A ,B ) = m (0, 1, 2, 3)

= AB + AB + AB + AB ตอบ

ตวั อย่างท่ี 5.21 f ( A ,B , C ) = m (0, 2, 4, 6) ตอบ

วิธีทา โจทยก์ าหนด f ( A ,B , C ) แสดงวา่ มีตัวแปร 3 ตวั
f ( A ,B , C ) = m (0, 2, 4, 6)
= ABC + ABC + ABC + ABC

ตัวอย่างที่ 5.22 f ( A ,B , C ,D ) = m (0, 2, 4, 6)

วิธที า โจทยก์ าหนด f ( A ,B , C ,D ) แสดงว่ามีตวั แปร 4 ตวั
f ( A ,B , C ,D ) = m (0, 2, 4, 6)
= ABCD + ABCD + ABCD + ABCD ตอบ

กฎของพชี คณิตบูลีนและทฤษฎขี องดีมอร์แกน 17

5.3.3 การเปลี่ยนสมการลอจิกใหอ้ ย่ใู นรปู แบบมาตรฐานสมการผลบวกของผลคณู
ในการเขียนสมการผลบวกของผลคูณจะเห็นว่า เทอมผลคูณบาง เทอม ประกอบด้วย ตัวแปร

เพยี งบางตัวเท่านนั้ เช่น สมการ AB + ABC + ABCD ซึ่งประกอบดว้ ยตัวแปร A, B, C และ D เทอมแรก
ของสมการนีไ้ ม่มตี วั แปร C หรอื C และ D หรอื D เทอมท่สี องไม่มีตัวแปร D หรอื D สมการรปู แบบผลบวก
ของผลคูณ มาตรฐานจะต้องประกอบด้วยผลบวกของเทอมผลคูณที่มีตัวแปรทุกตัวปรากฏอยใู่ นแต่ละ เทอมผล
คูณ ตัวอยา่ ง เช่น ABCD + ABCD + ABCD ซ่ึงรูปแบบมาตรฐานนี้จะถูกนาไปใช้ในการสรา้ งตารางความจรงิ
และการลดรูปของสมการโดยวิธีแผนผังคาร์โนห์ สาหรบั สมการลอจิกแบบผลบวกของผลคูณซง่ึ ไมอ่ ย่ใู นรปู แบบ
มาตรฐานสามารถเปลยี่ นให้อย่ใู นรปู แบบมาตรฐานได้

การเปล่ยี นสมการผลบวกของผลคูณให้อยใู่ นรปู แบบมาตรฐานเทอมของผลคูณ ในสมการ
ผลบวกของผลคณู อาจจะประกอบดว้ ยตวั แปรเพยี งบางตัวเทา่ นน้ั จึงต้องเพม่ิ ตวั แปรทีข่ าดหายไปโดยใช้กฎข้อ
13 ของพีชคณิตบูลีน ( A  A =1) เข้ามาชว่ ย ขัน้ ตอนการเปลีย่ นมดี งั น้ี

นาเทอมผลคณู ท่ีไม่ได้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานคูณด้วยผลบวกของตัวแปร และคอมพลเี มนตข์ อง
ตัวแปรทีข่ าดหายไปจนกระท่ังเทอมผลคณู ประกอบดว้ ยตวั แปรทกุ ตวั ที่ปรากฏในสมการแบบผลบวกของผลคณู
การเปลย่ี นสมการแสดงได้ดังตวั อย่างตอ่ ไปนี้

ตวั อยา่ งที่ 5.23 จงเปล่ยี นสมการลอจิก AB  ABC  ABCD ใหอ้ ยูใ่ นรูปแบบมาตรฐานของ สมการแบบ
ผลบวกของผลคูณ
วิธที า จะเห็นวา่ สมการจะประกอบด้วยตัวแปร A, B, C และ D ดังนนั้ เทอมผลคูณใดที่ตัวแปรขาด
หายไปจะถูกดาเนินการดังนี้

เทอมแรก AB = AB(C+ C )
= ABC + ABC
= ( ABC + ABC )(D + D )
= ABCD  ABCD  ABCD  ABCD

เทอมสอง ABC = ABC(D + D )
= ABCD  ABCD

เทอมสามเปน็ แบบมาตรฐานแลว้
ดงั นน้ั รูปแบบมาตรฐานของสมการแบบผลบวกของผลคณู AB  ABC  ABCD เปน็ ดังนี้
ABCD  ABCD  ABCD  ABCD + ABCD  ABCD  ABCD ตอบ

5.3.4 สมการลอจกิ แบบผลคณู ของผลบวก
สมการลอจิกแบบ ผลคูณของผลบวก หมายถงึ การคณู กันระหวา่ งเทอมของตวั แปรทบ่ี วกกนั
ตวั อย่างเช่น ( A + D )( A +B + C ) หรือ ลักษณะการเขยี นของสมการในรปู แบบตา่ ง ๆ ดังนี้

f ( A ,B ) = ( A +B )( A + B )( A +B )
f ( A ,B , C ) = ( A +B + C )( A +B + C )( A + B + C )( A + B + C )
f ( A , B , C ,D ) = ( A + B )( A + B + C )( A + B + C +D )( A +B + C + D )

ข้อสงั เกต สมการลอจิกแบบผลคณู ของผลบวก อาจประกอบดว้ ยพจนข์ องตวั แปรเดย่ี ว ๆ
เช่น A ( A +B + C )( B +C+D ) นอกจากนเ้ี ครอื่ งหมายบารบ์ นตวั แปรจะปรากฏบนตัวแปรเพียงตวั แปรเดียว

เทา่ น้ัน เชน่ A + B + C แตไ่ มส่ ามารถปรากฏบนเทอม A  B  C ได้

กฎของพีชคณติ บูลนี และทฤษฎีของดมี อร์แกน 18

การสร้างวงจรลอจิกจากสมการแบบผลคูณของผลบวก จะประกอบด้วย 2 ส่วนคือ เทอมผลบวก ซึง่
สรา้ งวงจรได้โดยใชเ้ กตแบบ ออร์ และอกี ส่วนก็คอื เทอมผลคณู โดยการนาเทอมตา่ ง ๆ มาดาเนินการแบบ
แอนด์ โดยการใช้แอนด์เกต ดังน้ันวงจรของสมการลอจกิ หรอื นพิ จน์ จะประกอบด้วย ลอจกิ เกตแอนด์กบั ออร์
ซงึ่ เอาตพ์ ุตของ เทอมผลบวกตา่ ง ๆ ของเกตแบบ ออร์จะถูกเชอื่ มเปน็ อนิ พตุ ใหก้ ับเกตแบบ แอนด์ ซึง่ แสดง
ตวั อยา่ งดงั รูปที่ 5.2 เป็นวงจรลอจกิ ของสมการ ( A + B )( A +B + C )( A + B + D ) โดยมี Y เป็นเอาตพ์ ุต

A AB BC CD D

Y = (A+B)(A+B+C)(A+B+D)

รปู ที่ 5.2 วงจรลอจกิ ของสมการแบบผลบวกคณู ( A + B )( A +B + C )( A + B + D )

5.3.5 รปู แบบมาตรฐานของสมการผลคูณของผลบวก (Canonical Product of Sum From)

ตวั อยา่ งที่ 5.24 f ( A ,B ) = M (0, 1, 2, 3)
วธิ ที า โจทยก์ าหนด f ( A ,B ) แสดงว่ามตี วั แปร 2 ตัว

πM หมายถึงผลบวกของตวั แมก็ ซ์เทอม
f ( A ,B ) = πM (0, 1, 2, 3) หมายถึงการนาแมก็ ซ์เทอม M0, M1, M2, M3 มาคูณกนั

= ( A +B )( A +B )( A + B )( A + B ) ตอบ

ตัวอยา่ งที่ 5.25 f ( A ,B , C ) = πM (0, 2, 4, 6)
วธิ ีทา โจทยก์ าหนด f ( A ,B , C ) แสดงว่ามตี วั แปร 3 ตวั

f ( A ,B , C ) = πM (0, 2, 4, 6)
= (A + B + C)(A + B + C)( A + B + C)( A + B + C ) ตอบ

ตวั อย่างที่ 5.26 f ( A ,B , C ,D ) = πM (0, 2, 4, 6) ตอบ
วธิ ีทา โจทยก์ าหนด f ( A ,B , C ,D ) แสดงวา่ มีตัวแปร 4 ตวั

f ( A ,B , C ,D ) = πM (0, 2, 4, 6)
= ( A +B + C +D )( A +B + C +D )( A + B +C+D )( A + B + C +D )

กฎของพชี คณติ บูลนี และทฤษฎขี องดีมอรแ์ กน 19

5.3.6 การเปลย่ี นสมการลอจกิ ให้อย่ใู นรปู แบบมาตรฐานสมการผลคณู ของผลบวก
บางเทอมของสมการแบบ ผลคณู ของผลบวกไม่ได้ประกอบดว้ ยตวั แปรทกุ ตวั ที่ ปรากฏ อยู่ใน

สมการตัวอย่างเชน่ ( A + B )( A +B + C )( A + B + D ) เป็นสมการซ่งึ ประกอบด้วยตัวแปร A, B, C และ D แต่
เทอมผลบวกชุดแรกขาดตวั แปร C และ D เทอมผลบวกชดุ สองขาดตัวแปร D และเทอมผลบวกชดุ ที่สามขาด
ตวั แปร C จงึ ตอ้ งทาการแปลงเทอมท่ัวไปให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานสมการผลคณู ของผลบวก ตัวอย่างเช่น
( A +B + C +D )( A +B + C +D )( A +B + C + D )

การเปลย่ี นสมการผล คณู ของผลบวกให้อยใู่ นรปู แบบมาตรฐาน เทอมของผลคูณใน สมการ
ผลบวกของผลคณู อาจจะประกอบดว้ ยตัวแปรเพียงบางตัวเท่าน้ัน จงึ ต้องเพิม่ ตวั แปรท่ีขาดหายไปโดยใช้ กฎข้อ

ท่ี 8 ของพีชคณิตบลู ีน ( A · A = 0) เข้ามาชว่ ย ขั้นตอนการเปลี่ยนมีดงั น้ี

ขั้นที่ 1 นาเทอมผลบวกทตี่ ัวแปรขาดหายไปบวกกับผลคูณของตัวแปรและคอมพลีเมนตข์ องตวั แปร
ทข่ี าดหายไป

ขน้ั ท่ี 2 ใชข้ ้อบังคบั กลุ่มท่ี 6 กฎการกระจาย (Distributive Law)
ขอ้ 19. A + BC = ( A +B )( A + C )

ขั้นที่ 3 ทาซ้าขั้นตอน 1 และ 2 จนกระท่ังเทอมของผลบวกประกอบด้วยทุกตวั แปร ทุกเทอม และ
ตวั อยา่ งของการเปลย่ี นสมการผลคณู ของผลบวกใหอ้ ยใู่ นรูปแบบมาตรฐานแสดงไดด้ ังต่อไปน้ี

ตัวอย่างที่ 5.27 จงเปลย่ี นสมการลอจกิ ( A + B )( A +B + C )( A + B + D ) ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานของ
สมการแบบผลคณู ของผลบวก
วิธที า จะเห็นว่าตวั แปรของ สมการกค็ ือ A, B, C และ D ลาดับต่อไปให้ทาการ พิจารณาแต่ละ เทอมท่ีไมอ่ ยู่ใน
รปู แบบมาตรฐาน

เทอมแรก ( A + B ) ขาดตัวแปร C และ D
= ( A + B )  CC
= ( A + B + C )( A + B + C )
= (A +B +C) DD
= ( A + B + C +D )( A + B + C + D )
= (A +B + C ) DD
= ( A + B + C +D )( A + B + C + D )

เทอมสอง (A + B + C ) ขาดตวั แปร D
= (A +B+ C ) DD
= ( A +B + C +D )( A +B + C + D )

เทอมสาม ( A + B + D ) ขาดตัวแปร C
= ( A + B + D )  CC
= ( A +B + C + D )( A +B + C + D )

ดังน้นั รูปแบบมาตรฐานของสมการ ( A + B )( A +B + C )( A + B + D ) จะได้ดงั นี้
( A + B + C +D ) ( A + B + C + D )( A +B + C +D )( A +B + C + D )( A +B +C + D )( A +B + C + D ) ตอบ

กฎของพีชคณติ บูลีนและทฤษฎีของดมี อรแ์ กน 20

5.3.7 การเปลย่ี นสมการจากรูปแบบผลบวกของผลคูณเป็นรปู แบบผลคูณของผลบวก
วธิ ีการ เปล่ียนระหว่างสมการ จากรปู แบบ ผลบวกของผลคณู กับ รปู แบบ ผลคูณของผลบวก

ดงั ต่อไปนี้

ตวั อยา่ งท่ี 5.28 จงเปลยี่ นสมการ ABC + ABC + ABC + ABC จากรูปแบบผลบวกของผลคณู
เปน็ สมการแบบผลคณู ของผลบวก

วธิ ีทา หาค่าผลรวมมินเทอมของสมการรูปแบบผลบวกของผลคณู จะได้
f ( A ,B , C ) = m (0, 3, 4, 5)

เนอ่ื งจาก สมการประกอบด้วย 3 ตวั แปร ดังนนั้ จงึ มีอินพตุ เชิงผสมท่ีเกดิ ขน้ึ ได้ทัง้ หมด 8 กรณี
เน่อื งจากสมการผลบวกของผลคณู นป้ี ระกอบด้วย เทอมของอนิ พตุ เชิงผสม 4 กรณี ดงั น้ันจงึ เหลอื 4 กรณี คอื
เทอม 1, 2 6, และ 7 จงึ นากรณเี หลา่ น้ีมาเขียนเปน็ สมการแบบผลคณู ของผลบวกไดด้ งั นี้

f ( A ,B , C ) = πM (1, 2, 6, 7)
= ( A +B + C )( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C ) ตอบ

ตวั อย่างท่ี 5.29 จงเปล่ยี นสมการ ( A +B + C )( A + B + C )( A +B +C )( A +B+ C ) จากรูปแบบผลบวกของผล
คูณเป็นสมการแบบผลคูณของผลบวก
วธิ ที า หาคา่ ผลรวมมินเทอมของสมการรูปแบบผลบวกของผลคณู จะได้

f ( A ,B , C ) = πM (0, 3, 4, 5)
เนือ่ งจากสมการประกอบดว้ ย 3 ตัวแปร ดงั นัน้ จงึ มีอินพุตเชิงผสมทเ่ี กดิ ขน้ึ ได้ท้ังหมด 8 กรณี
เน่ืองจากสมการผลบวกของผลคูณ น้ีประกอบด้วย เทอมของอินพตุ เชิงผสม 4 กรณี ดงั นัน้ จึงเหลอื 4 กรณี คือ
เทอม 1, 2, 6, และ 7 จงึ นากรณีเหลา่ นี้มาเขยี นเป็นสมการแบบผลบวกของผลคณู ไดด้ งั น้ี
f ( A ,B , C ) = m (1, 2, 6, 7)

= ABC + ABC + ABC + ABC ตอบ

5.4

การสรา้ งตารางความจรงิ จากสมการลอจกิ แบบมาตรฐานทาได้โดยใช้คา่ ฐานสองของแต่ละ เทอม ซง่ึ ค่า
ตารางความจริงทไี่ ดม้ ีไว้เพ่อื บอกการดาเนินทางลอจกิ ของวงจรใชแ้ สดงเงื่อนไขต่าง ๆ ของอนิ พุตทีส่ ัมพนั ธ์กบั
เอาต์พุต

5.4.1 การสรา้ งตารางความจรงิ จากสมการรูปแบบผลบวกของผลคูณ
ขัน้ ตอนแรกจะตอ้ งสรา้ งตารางเง่อื นไขของตัวแปรอนิ พุตทั้งหมดที่ปรากฏในสมการ กรณีของ

จานวนอนิ พุตเชิงผสม จากน้นั แปลงสมการรูปแบบผลบวกของผลคูณให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ขน้ั ตอนสดุ ทา้ ย
เตมิ ค่า 1 ให้กับเอาตพ์ ตุ ที่คา่ ตัวแปรแบบมนิ เทอมท่ีปรากฏอยูใ่ นสมการและเตมิ ค่า 0 ใหก้ บั เอาตพ์ ตุ ทเ่ี หลอื

กฎของพีชคณติ บลู นี และทฤษฎขี องดมี อรแ์ กน 21

ตัวอย่างที่ 5.30 จงสรา้ งตารางความจริงจากสมการผลบวกของผลคณู ABC + ABC + ABC + ABC
วธิ ที า เนื่องจากนิพจน์ประกอบดว้ ย 3 ตัวแปร ดังนน้ั เง่ือนไขของอนิ พุตเชิงผสมทจ่ี ะเกิดขึน้ ทัง้ หมด
23 = 8 กรณี ซง่ึ ปรากฏอยใู่ น 3 คอลมั น์ ทางซ้ายของตารางความจรงิ ตารางที่ 6.4 ค่าเลขฐานสองของ สมการนี้
จะมีคา่ เป็น 1 เมื่อเทอมผลคณู พจนใ์ ด เทอมหน่งึ มีคา่ เป็น 1 ดงั น้ันคา่ เลขฐานสองทที่ าให้ เทอมผลคูณแตล่ ะ
เทอมมีค่าเป็น 1 คือ ABC = 000, ABC =011, ABC = 100 และ ABC =101 จากนน้ั เตมิ คา่ 1 ในตาราง
เอาต์พุตสาหรับค่า เลขฐานสองของแตล่ ะ เทอมผลคณู และแทนคา่ 0 ที่ค่าของเทอม เอาตพ์ ตุ ทเี่ หลือ ตาราง
ความจรงิ ของสมการลอจิกทีก่ าหนดให้ แสดงไดด้ ังตารางที่ 5.10

ตารางที่ 5.10 ตารางความจริงของสมการ ABC + ABC + ABC + ABC

อินพตุ เอาตพ์ ตุ
ABC Y
000 1
001 0
010 0
011 1
100 1
101 1
110 0
111 0

5.4.2 การเปลย่ี นสมการรปู แบบผลคูณของผลบวกเปน็ ตารางความจรงิ
เน่อื งจากสมการแบบผลคูณของผลบวก เปน็ 0 เม่ือเทอมผลบวกเทอมใดเทอมหนึง่ เป็น 0

ดงั นน้ั จะพิจารณากรณขี องอินพุตที่ทาใหเ้ อาตพ์ ุตของนิพจน์เปน็ 0 แตก่ ่อนทีจ่ ะพิจารณาจุดนีจ้ ะต้องสร้าง
ตารางความจรงิ ของอินพุตเชงิ ผสมก่อน จากน้นั เปลีย่ นสมการ รูปแบบคณู ของผลบวก ใหอ้ ยูใ่ นรูปมาตรฐาน
เม่ือถึงขัน้ ตอนนี้ใหเ้ ติมค่า 0 ท่เี อาตพ์ ตุ ของอินพตุ เชิงผสมทที่ าใหน้ พิ จนเ์ ป็นศนู ย์ ตวั แมก็ ซเ์ ทอมทป่ี รากฏอยู่ใน
สมการ และเติมค่า 1 ท่เี อาต์พุตทีเ่ หลือ การสร้างตารางความจริงอธบิ ายได้ดงั ตัวอย่างตอ่ ไปนี้

ตวั อย่างที่ 5.31 จงสรา้ งตารางความจริงของสมการแบบผลคณู ของผลบวก
( A +B + C )( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )

วิธีทา เนอ่ื งจากเป็นสมการรูปแบบ 3 ตวั แปร ดงั นนั้ อินพุตเชิงผสมทเ่ี ปน็ ไปไดม้ ีทง้ั หมด 23 = 8 กรณี ดังแสดง
ใน 3 คอลัมน์แรกของตารางที่ 5.11 จากนนั้ หาค่าเลขฐานสองของเทอมผลบวกทที่ าใหเ้ ทอมผลบวกมลี อจกิ เป็น
0 ได้แก่ A +B + C = 001, A + B + C = 010, A + B + C = 110 และ A + B + C = 111 เม่อื ได้ค่าเลขฐานสอง
แล้วเติมค่า 0 ที่เอาต์พตุ ของแต่ละเทอมผลบวกของสมการ จากนั้นเตมิ ค่า 1 ใหก้ บั เอาต์พตุ ท่เี หลือ

กฎของพีชคณติ บลู ีนและทฤษฎขี องดีมอรแ์ กน 22

ตารางท่ี 5.11 ตารางความจรงิ ของสมการ ( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )

อนิ พุต เอาต์พตุ
ABC Y
000 1
001 0
010 0
011 1
100 1
101 1
110 0
111 0

5.4.3 การเขียนสมการลอจกิ แบบมาตรฐานจากตารางความจรงิ
การเขียนสมการผลบวกของผลคณู แบบ มาตรฐานจากตารางความจริง คือ การเขียนคา่

เลขฐานสองของตวั แปรอินพุตทุกตวั ท่ีทาให้เอาตพ์ ุตมีคา่ เปน็ 1 จากนน้ั แปลงค่า เลขฐานสองที่ไดใ้ หอ้ ยู่ใน
รปู แบบของตวั แปรมนิ เทอม แล้วนาแตล่ ะเทอมมาบวกกัน

ถ้าต้องการ เขียนสมการผลคณู ของผลบวกแบบ มาตรฐานจากตารางความจริง ทาได้โดยหาค่า
เลขฐานสองทท่ี าใหเ้ อาต์พตุ เป็น 0 จากนนั้ แปลงคา่ เลขฐานสองทไ่ี ด้ใหอ้ ยู่ใน รปู แบบของตัวแปรแม็กซ์เทอม
แลว้ นาแตล่ ะเทอมมาคณู กัน

ตัวอย่างท่ี 5.32 จงเขยี นรปู แบบของสมการผลบวกของผลคูณและสมการผลคูณของผลบวกของตารางท่ี 5.12

ตารางที่ 5.12 ตารางความจรงิ แสดงการทางานเพ่ือใช้เขยี นสมการลอจิก

อนิ พุต เอาตพ์ ตุ
ABC Y
000 0
001 1
010 1
011 0
100 0
101 0
110 1
111 1

กฎของพชี คณติ บลู นี และทฤษฎขี องดีมอร์แกน 23

วธิ ีทา คา่ ของเทอมอนิ พตุ มินเทอมท่ีทาใหเ้ อาต์พุตเปน็ 1 คอื
f ( A ,B , C ) = m (1, 2, 6, 7)
เปลีย่ นเป็นค่าของเลขฐานสองไดแ้ ละเปลีย่ นเป็นตัวแปรแบบมินเทอม
= m (001, 010, 110, 111)
= ABC, ABC , ABC , ABC
ดังนัน้ สมการแบบผลบวกของผลคณู สาหรบั เอาตพ์ ุต Y คอื
Y = ABC + ABC + ABC + ABC
สาหรบั สมการแบบผลคณู ของผลบวกหาไดด้ งั น้ี
f ( A ,B , C ) = πM (0, 3, 4, 5)
เปล่ยี นเปน็ คา่ ของเลขฐานสองไดแ้ ละเปล่ยี นเปน็ ตวั แปรแบบแมก็ ซเ์ ทอม
= πM (000, 011, 100, 101)
= ( A +B + C ), ( A + B + C ), ( A +B + C ), ( A +B + C )
ดงั นั้น สมการแบบผลคณู ของผลบวกสาหรับเอาตพ์ ตุ Y คอื
Y = ( A +B + C )( A + B + C )( A +B + C )( A +B + C ) ตอบ

5.5

5.5.1 การเขียนวงจรลอจิกจากสมการลอจิก
การเขยี นวงจรลอจกิ จากสมการลอจิกโดยใชห้ ลักในการเขียนวงจรดงั นี้

1. กรณที เ่ี ป็นสมการแบบผลบวกของผลคณู ให้ใช้แอนดเ์ กตแทนมนิ เทอมจานวนอินพุต
เทา่ กบั จานวนตวั แปรที่ประกอบเป็นมนิ เทอมน้ัน ๆ

2. กรณีท่ีเปน็ สมการแบบผลคณู ของผลบวกใหใ้ ช้ออรเ์ กตแทนแมก็ ซเ์ ทอมจานวนอนิ พุต
เท่ากับจานวนตัวแปรท่ีประกอบเป็นแม็กซเ์ ทอมนัน้ ๆ

3. กรณเี ป็นสมการแบบผสมจะตอ้ งใช้ลอจิกเกตแทนเทอม ตัวแปรท่ีอยูใ่ นวงเลบ็ ก่อน ซึ่ง

อาจเปน็ มนิ เทอมหรอื แมก็ ซ์เทอม
4. เทอมตวั แปรทค่ี ณู กนั ให้ใช้ แอนดเ์ กต และเทอมทบ่ี วกกนั ใหใ้ ช้ ออร์เกตพจิ ารณาตัว

แปรท่ีเปน็ คา่ คอมพลเี มนตใ์ ห้ใช้นอตเกตก่อน
5. พิจารณาตวั แปรมนิ เทอมหรือแมก็ ซ์เทอม ทีเ่ ป็นค่าคอมพลีเมนต์ จะต้องใช้ แนนด์เกต

หรอื นอร์เกตแทนตามลาดับ

ตัวอยา่ งท่ี 5.33 การเขียนวงจรลอจกิ เกตจากสมการแบบผลบวกของผลคณู Y  ABC  AB

A BC A

B ABC

Y=ABC+AB

AB

รปู ท่ี 5.3 แสดงวงจรลอจกิ ของสมการ Y  ABC  AB

กฎของพีชคณิตบลู ีนและทฤษฎีของดมี อร์แกน 24

ตัวอย่างท่ี 5.34 การเขียนวงจรลอจิกเกตจากสมการแบบผลบวกของผลคูณ Y  AB  (DE)C

A BCD E

AB
Y= AB+(DE)C

DE (DE)C

รูปท่ี 5.4 วงจรลอจกิ ของสมการ Y  AB  (DE)C

ตวั อย่างท่ี 5.35 การเขียนวงจรลอจกิ เกตจากสมการแบบผลคูณของผลบวก ( A + B + C )( A +B )

A BC A
B A+B+C

Y = (A+B+C)(A+B)

A+B

รปู ท่ี 5.5 วงจรลอจิกของสมการ ( A + B + C )( A +B )

ตัวอยา่ งที่ 5.36 การเขยี นวงจรลอจิกเกตจากสมการแบบผลคูณของผลบวก Y  (A  B  C)(AB)  (AC)

A BC A+B+C Y = (A+B+C)[(AB)+(AC)]
AB
B AC (AB)+(AC)
A
C

รปู ท่ี 5.6 วงจรลอจกิ ของสมการ Y  (A  B  C)(AB)  (AC)

กฎของพชี คณติ บูลีนและทฤษฎขี องดมี อร์แกน 25

5.5.2 การเขียนสมการลอจกิ จากวงจรลอจกิ
การเขยี นสมการลอจกิ จากวงจรลอจกิ โดยใช้หลกั ในเขียนสมการดังนี้
1. การเขยี นสมการลอจิกจากวงจรลอจกิ น้ันต้องเร่ิมต้นจากอนิ พตุ ไปหาเอาตพ์ ตุ
2. พิจารณาตวั กระทาของเกตแตล่ ะตัวในวงจร เช่น แอนด์เกต ออรเ์ กตหรอื นอตเกต
3. ให้สงั เกตอนิ พุตของเกตตวั ใดตวั หนงึ่ อาจเปน็ เอาต์พตุ ของเกตตวั อ่ืน ๆ
4. เขียนสมการเอาต์พตุ ของเกตแต่ละตัวออกมาตามลาดับจนถงึ เอาตพ์ ตุ ของเกตตวั

สดุ ท้าย

ตวั อย่างท่ี 5.37 การเขียนสมการลอจกิ จากวงจรลอจิกรูปท่ี 5.7

A BC 1

2 4 (Y)

3

รปู ที่ 5.7 แสดงวงจรลอจกิ ของตัวอย่างที่ 5.34

วิธีทา 1 = (A + B)
2 = (A + B) + C

3 = (ABC)
4 = (A + B + C)(ABC)
ดงั นน้ั Y = (A + B + C)(ABC) ตอบ

ตวั อยา่ งที่ 5.38 การเขยี นสมการลอจกิ จากวงจรลอจกิ รปู ที่ 5.8

A BC

1

2 3
4
5 (Y)

รปู ที่ 5.8 แสดงวงจรลอจกิ ของตัวอยา่ งที่ 5.35

กฎของพีชคณติ บูลีนและทฤษฎีของดมี อร์แกน 26

วิธที า 1 = A + B + C 8 (Y)
2= B
3 = (A + B + C)( B )(C)
4 = AB
5 = (A + B + C)( B )(C)AB

ดังนั้น Y = (A + B + C)( B )(C)  AB ตอบ

ตัวอยา่ งท่ี 5.39 การเขียนสมการลอจิกจากวงจรลอจกิ รปู ที่ 5.9

A BC

4

1 57
2
3 6

รปู ท่ี 5.9 แสดงวงจรลอจิกของตวั อย่างท่ี 5.36

วิธีทา 1 = B
2= A
3= C

4= ABC
5 = AB

6 = AC

7 = AB +AC

8 = A  B  C  (AB  AC)

ดงั นัน้ Y = A  B  C  (AB  AC) ตอบ

ตัวอยา่ งท่ี 5.40 การเขยี นสมการลอจกิ จากวงจรลอจกิ รูปที่ 5.10

A BC

4

12 6 (Y)

35

รปู ที่ 5.10 แสดงวงจรลอจิกของตัวอยา่ งที่ 5.37

กฎของพชี คณติ บูลีนและทฤษฎขี องดมี อรแ์ กน 27

วิธที า 1 = B 5 (Y)
2= AB
3 = AC
4= ABC
5 = (A  B)(AC)
6 = ( A  B  C ) (A  B)(AC)

ดงั น้ัน Y = ( A  B  C ) (A  B)(AC) ตอบ

ตวั อยา่ งที่ 5.41 การเขียนสมการลอจิกจากวงจรลอจิกรปู ท่ี 5.11

A BCD E

13

4
2

รูปที่ 5.11 แสดงวงจรลอจกิ ของตวั อย่างที่ 5.38

วิธที า 1 = A
2 = (D + E)
3 = AB
4 = (D  E)C
5 = AB  (D  E)C

ดงั นน้ั Y = AB  (D  E)C ตอบ

กฎของพีชคณติ บลู ีนและทฤษฎขี องดีมอรแ์ กน 28

พชี คณิตบูลนี มกี ฎและข้อบงั คับต่าง ๆ เพือ่ นามาใชใ้ นการหาคา่ ผลลัพธ์ของ สมการบูลีน ลอจกิ ฟังกช์ ัน
หรอื สมการลอจกิ ทีเ่ ขยี นขึ้นมาจากการกระทาของตวั แปรอินพุตหรอื คา่ คงที่ใด ๆ กับตัวแปร ดว้ ยการรวมหรือ
การกาจดั ตัวแปรใน การลดรปู สมการเพอ่ื ใหส้ มการเขยี นอยใู่ นรูป แบบที่ง่ายข้ึนและมีขนาดเลก็ ลงก่อน นาไป
สรา้ งเปน็ วงจรลอจกิ ในการออกแบบวงจรดิจติ อลดว้ ยลอจกิ เกตต่าง ๆ และการใช้ทฤษฎีของดี มอร์แกนเพ่อื
ชว่ ยใน การ จัดรูปของ สมการลอจิกเพ่ือให้งา่ ยต่อการลดรปู และสามารถออกแบบให้วงจร มีเพียงเกต
เอนกประสงค์ อยา่ งเดียว ได้ โดยรูปแบบของ อนิ พตุ ตวั แปรของสมการลอจิก มีอยู่ 2 รูปแบบ คอื ตัวแปรแบบ
ปกติ และ ตัวแปรคอมพลีเมนต์ ทจ่ี ะอย่ใู นรูปของตวั แปรมนิ เทอมและตัวแปรแมก็ ซ์เทอม คา่ ของตัวแปรมเี พยี ง
2 คา่ คือ 0 และ 1 ทีใ่ ชแ้ ทนคา่ แรงดันสภาวะลอจิกในการทางานของวงจรดิจิตอล และตัวแปรดังกล่าวจะนามา
เขียนเปน็ สมการลอจิกที่แสดงดว้ ยพชี คณติ บลู นี 2 รปู แบบ คอื รูปแบบทว่ั ไปและ รปู แบบมาตรฐาน ของสมการ
ผลบวกของผลคูณและ สมการผลคูณของผลบวก เพ่ือนาไปใช้ในการ สร้างตารางความจริง และการลดรูปของ
สมการโดยวิธีแผนผังคาร์โนห์ ซง่ึ การวเิ คราะหแ์ ละตรวจสอบความถกู ตอ้ งของสมการลอจิกสามารถแทนคา่ ตาม
คณุ สมบัติของตวั กระทาในสมการเพ่ือดูผลการทางานของเอาตพ์ ุตแต่ละ สภาวะการทางานท่เี กดิ จากการ จัดหมู่
หรือเง่อื นไขของการรวมกัน ของอนิ พุตได้ หรอื การใช้ ตารางความจรงิ ท่ีแสดง ความสมั พันธ์ของ ระดบั ลอจกิ
ทางดา้ นเอาต์พตุ ที่เกดิ จากการตวั แปรลอจกิ ทางดา้ น อินพตุ ทาใหม้ องเห็นการทางานโดยภาพรวมทง้ั หมดของ
วงจรลอจกิ ที่ออกแบบ และหลังจากที่ไดส้ มการลอจิกทีผ่ ่านการลดรูปสมการและตรวจสอบความถูกตอ้ ง
เรยี บร้อยแลว้ ขั้นตอนตอ่ ไป คอื การนาไปเขียนเปน็ วงจรลอจิกทีใ่ ช้สาหรับการสร้างวงจรลอจกิ ท่จี ะใช้ในการ
ปฏิบัติงานจรงิ ตามเงอื่ นไขของการออกแบบวงจรควบคมุ การทางานทีต่ อ้ งการ

กฎของพชี คณติ บูลีนและทฤษฎีของดมี อร์แกน 29

Digital 22

Application

คาสง่ั จงทาเครอ่ื งหมายกากบาท (X) เลอื กคาตอบทถี่ ูกต้องทส่ี ดุ เพยี งข้อเดียว

1. AB + ( A + AB) เม่ือพสิ ูจน์แล้วมคี า่ เทา่ กับขอ้ ใด
ก. A + B

ข. 1
ค. AB
ง. A + B
จ. AB + A

2. ( A + C )( A +B + C )(B + C )เม่ือพสิ ูจน์แลว้ มคี ่าเท่ากบั ขอ้ ใด
ก. A + BC

ข. 0
ค. AB + C
ง. AC + B
จ. (A  B)(B  C)

3. A(B  C)  A  B  ABC เม่อื พิสจู น์แล้วมีคา่ เทา่ กับขอ้ ใด
ก. A +B + C

ข. A + B + C
ค. ABC

ง. ABC
จ. (A  B)(B  C)

4. A  B  (A  B  C)(A  B)  CD เมื่อพสิ จู น์แลว้ มีคา่ เทา่ กบั ขอ้ ใด
ก. A +BC

ข. A + BC
ค. B(C  D)

ง. A (B + C )

จ. (AB)(C  D)

กฎของพีชคณิตบลู ีนและทฤษฎขี องดมี อรแ์ กน 30

5. Y = ( A + B + C ) ( A + B + C ) สามารถเปลีย่ นใหอ้ ยู่ในรปู แบบของผลบวกของผลคูณตามข้อใด
ก. ABC + ABC

ข. ABC + ABC
ค. ABC + ABC

ง. ABC + ABC
จ. (A  B)(B  C)

6. Y = ABC + ABC สามารถเปลยี่ นใหอ้ ยู่ในรปู แบบของผลคณู ของผลบวกตามข้อใด
ก. ( A +B + C )( A + B + C )

ข. ( A + B + C )( A +B + C )
ค. ( A +B + C )( A + B + C )

ง. ( A )(B + C )( B + C )
จ. (A  B)(B  C)

7. เม่อื สมการ f ( A ,B , C ) = m (0, 2, 5, 6) จะได้สมการลอจิกในข้อใด
ก. ( A +B )( A + C )(B + C )( A + C )
ข. ABC + ABC + ABC+ ABC

ค. ( A +B + C )( A + B +D )( A +B + C )( A + B + C )
ง. ABC + ABC+ ABC + ABC
จ. (B + C )( A + B + C )( A + B + C )

8. รูปแบบมาตรฐานของสมการลอจกิ เมื่อ f (A, B, C, D) = m (4, 8, 10, 12) คือขอ้ ใด
ก. ABCD + ABCD + ABCD + ABCD

ข. ABCD + ABCD + ABCD + ABCD
ค. ABCD + ABCD + ABCD + ABCD
ง. ABCD + ABCD + ABCD + ABCD
จ. ABCD + ABCD + ABCD + ABCD

9. รปู แบบมาตรฐานของสมการลอจิกเม่ือ f (A, B, C) = πM (0, 5, 7) คอื ข้อใด
ก. ( A + B + C )( A +B + C )( A + B + C )

ข. ( A +B + C )( A +B + C )( A + B + C )
ค. ( A +B + C )( A +B + C )( A + B + C )
ง. ( A + B + C )( A + B + C )( A +B + C )
จ. ( A + B + C )( A +B + C )( A + B + C )

10. รูปแบบมาตรฐานของสมการลอจิกเมื่อ f (A, B, C, D) = πM (9, 12, 13) คอื ข้อใด
ก. ( A + B + C +D )( A +B + C + D )( A +B + C +D )

ข. ( A + B + C +D )( A +B + C +D )( A + B + C + D )
ค. ( A +B + C + D )( A + B + C +D )( A + B + C + D )
ง. ( A +B + C + D )( A +B + C +D )( A + B + C + D )
จ. ( A +B + C + D )( A +B + C +D )( A + B + C + D )