1 ম্যাথ শর্টকার্ট অঙ্ক-সংখ্যা-স্থানীয় ম্ান: ১০ টি অঙ্কের মঙ্কযে ০ বাঙ্কে বাকী ৯ িা অেঙ্কক সার্ থক অে বঙ্কে। যদে বো হয় ৬৪৮৪০৩১ সংখ্োটিঙ্কে ৮ এর স্থাদিয় মাি কে,েঙ্কব দেখ্ঙ্কে হঙ্কব ৮ অংকটির পঙ্কর কেটি সংখ্ো আঙ্কে ,টিক দসই পদরমাি শূণ্ে বসাঙ্কে ৮ এর স্থািীয় মাি পাওয়া যাঙ্কব। এ দেঙ্কে ৮ এর স্থািীয় মাি হঙ্কব ৮০০০০। ম্ূলদ-অম্ূলদ: সংখ্োঙ্কক েুই ভাঙ্কে ভাে করা হয়। (বাস্তব সংখ্ো এবং অবাস্তব সংখ্ো) ম্ূলদ সংখ্যা: দয সকে সংখ্োঙ্কক a b আকাঙ্কর প্রকাশ করা যায় োঙ্কক মুেে সংখ্ো বঙ্কে। সকে পূি থ সংখ্ো মুেে সংখ্ো । সকে সাযারি ভগ্াংশ মূেে সংখ্ো । দযমি: ৫ ৩ সকে পূি থবে থ সংখ্োর বে থমূে মূেে সংখ্ো। দযমি:√৮১=৯ সংখ্োর ঘিমুে পুি থসংখ্ো হঙ্কে ো মুেে সংখ্ো। √৮ ৩ েশদমঙ্ককর পর অংক সংখ্ো দিদেথষ্ট হঙ্কে সংখ্োটি মূেে সংখ্ো। েশদমঙ্ককর পঙ্কর সংখ্ো যদে দপৌিঃপুদিক হয় েঙ্কব সংখ্োটি মুেে সংখ্ো। অম্ূলদ সংখ্যা: দয সকে সংখ্োঙ্কক a b আকাঙ্কর প্রকাশ করা যায় িা োঙ্কক অমুেে সংখ্ো বঙ্কে। পূি থবে থ িয় এমি স্বাভাদবক সংখ্োর বে থমুে অমুেে সংখ্ো।√২ , √৩ ইেোদে সংখ্োর ঘিমুে পুি থসংখ্ো িা হঙ্কে ো মুেে সংখ্ো। √৫ 3 েশদমঙ্ককর পঙ্করর অংক যদে দভন্ন দভন্ন এবং অদসম হয় েঙ্কব ো অমুেে সংখ্ো ককছুঅম্ুলদ সংখ্যা: অসীম্ √২ অসীম √৩ অসীম e অসীম √৩ 3 অসীম √১০ 3 অসীম মম্ৌকলক সংখ্যা,সহমম্ৌকলক সংখ্যা , কিভাজ্যতা: স্বভাদবক সংখ্োঙ্কক ইংঙ্করজিঙ্কে Natural Number বঙ্কে। স্বভাদবক সংখ্ো দেি প্রকার: ১) দমৌদেক সংখ্ো(Prime Number) ২)দযৌদেক সংখ্ো (Composite Number) ৩) এক (One) মম্ৌকলক সংখ্যা(Prime Number): সংগা: দয সকে সংখ্োর স্বভাদবক গুিিীয়ক েুটি োঙ্কক দমৌদেক সংখ্ো বঙ্কে। দযমি: ৭ এর েুটি গুিিীয়ক আঙ্কে ১ ও ৭ দেমি ভাঙ্কব ১৩ একটি দমৌদেক সংখ্ো। ম ৌকগক সংখ্যা(Composite Number):
2 সংগা: দয সকে সংখ্োর স্বভাদবক গুিিীয়ক েুটির দবদশ োঙ্কক দযৌদেক সংখ্ো বঙ্কে। দযমি: ৮ এর েুটির দবদশ গুিিীয়ক আঙ্কে ১ ,২,৪,৮ দেমি ভাঙ্কব ১৮ একটি দযৌদেক সংখ্ো। ১ মকন মম্ৌকলক সংখ্যা নয়: দমৌদেক সংখ্োর গুিিীয়ক র্াঙ্কক েুটি আর ১ এর গুিিীয়ক আঙ্কে একটি োই ১ দকাি দমৌদেক সংখ্ো িয়। সবঙ্কেঙ্কয় দোি দমৌদেক সংখ্ো হঙ্কো ২ । সব দেঙ্কয় বড় দমৌদেক সংখ্ো হঙ্কো ২ ৮২৫৮৯৯৩৩ − ১ । এই সংখ্োটিঙ্কে দমাি ২৪৮৬২০৪৮ টি সংখ্ো আঙ্কে। সহমম্ৌকলক সংখ্যা: সংগা: যদে েুই েঙ্কোদযক সংখ্োর মঙ্কযে ১ বেদেে দকাঙ্কিা সাযারণ্ উৎপােক িা র্াঙ্কক েঙ্কব সংখ্োগুঙ্কোঙ্কক সহঙ্কমৌদেক বঙ্কে। দযমি: ৭ ,২৫ এর মঙ্কযে ১ বেদেে দকাঙ্কিা সাযারণ্ উৎপােক দিই োই ৭ ,২৫ সহঙ্কমৌদেক। মেনার উপায়: ৪ ও ১৩ সহঙ্কমৌদেক দকিা িািঙ্কে প্রর্ঙ্কম সংখ্ো েুটিঙ্কক ভগ্াংশ আকাঙ্কর দেখ্ঙ্কে হঙ্কব। ৪ ১৩ ,এখ্ি দেখ্ঙ্কে হঙ্কব ৪ ও ১৩ অে েুটি ১ বেদেে অিে দকাি সংখ্ো দ্বারা ভাে করা যায় দকিা ,এখ্াঙ্কি ভাে করা যায় িা দবযায় ৪ ও ১৩ সহঙ্কমৌদেক সংখ্ো। ২১ ৪৫ ভগ্াংঙ্কশর অংক েুটি ১ বেদেে অিে সংখ্ো দ্বারা ভাে যায় োই ২১ ও ৪৫ সহঙ্কমৌদেক িয়। ১-১০০ প টন্ত মম্ৌকলক সংখ্যা সীম্া মম্ৌকলক সংখ্যা মম্ার্ ১-১০ ২,৩,৫,৭ ৪ টি ১১-২০ ১১,১৩,১৭,১৯ ৪ টি ২১-৩০ ২৩,২৯ ২ টি ৩১-৪০ ৩১,৩৭ ২ টি ৪১-৫০ ৪১,৪৩,৪৭ ৩ টি ৫১-৬০ ৫৩,৫৯ ২ টি ৬১-৭০ ৬১,৬৭ ২ টি ৭১-৮০ ৭১,৭৩,৭৯ ৩ টি ৮১-৯০ ৮৩,৮৯ ২ টি ৯১-১০০ ৯৭ ১ টি সমি টামম্ার্: ২৫ টর্ কিভাজ্যতা: ১ দ্বারা কিভাজ্য: পদৃর্বীর সকে পূি থসংখ্োই ১ দ্বারা দবভািে। ২ দ্বারা কিভাজ্য: সকে দিাড় সংখ্ো ২ দ্বারা দবভািে। ৩ দ্বারা কিভাজ্য: অেগুঙ্কোর দযােফে যদে ৩ দ্বারা দবভািে হয় েঙ্কব সংখ্োটিও ৩ দ্বারা দবভািে। অর্ থাৎ ২১৩ সংখ্োটির অেগুঙ্কোর দযােফে ২+১+৩= ৬ আর ৬ সংখ্ো ৩ দ্বারা দবভািে সুেরাং ২১৩ সংখ্োটি ৩ দ্বারা দবভািে। ৪ দ্বারা কিভাজ্য : দকাঙ্কিা সংখ্োর দশষ েুই অে দিঙ্কয় দয সংখ্ো হয় ো ৪ দ্বারা দবভািে হঙ্কে পুঙ্করা সংখ্োটি ৪ দ্বারা দবভািে। ৫ দ্বারা কিভাজ্য: দশষ অঙ্কে যদে ০ অর্বা ৫ র্াঙ্কক েঙ্কব সংখ্োটি ৫ দ্বারা দবভািে। ৬ দ্বারা কিভাজ্য: দকাঙ্কিা সংখ্ো একই সাঙ্কর্ ২ ও ৩ দ্বারা দবভািে হঙ্কে সংখ্োটি ৬ দ্বারা দবভািে।
3 ৭ দ্বারা কিভাজ্য: দকাঙ্কিা সংখ্োর দশঙ্কষর অঙ্কেঙ্কর দদ্বগুি বাদক সংখ্ো দর্ঙ্কক দবঙ্কয়াে করঙ্কে দবঙ্কয়ােফে ৭ দ্বারা দবভািে হঙ্কে সংখ্োটিও ৭ দ্বারা দবভািে। ৮ দ্বারা কিভাজ্য: দকাঙ্কিা সংখ্ো দশষ দেি অে দেঙ্কয় দয সংখ্ো হয় ো যদে ৮ দ্বারা দবভািে হয় , েঙ্কব সংখ্োটিও ৮ দ্বারা দবভািে। ৯ দ্বারা কিভাজ্য: দকাঙ্কিা সংখ্োর অেগুঙ্কো দযাে করঙ্কে যদে দযােফে ৯ দ্বারা দবভািে হয় । েঙ্কব সংখ্োটিও ৯ দ্বারা দবভািে। ১০ দ্বারা কিভাজ্য: দকাঙ্কিা সংখ্োর দশষ অঙ্কে ০ র্াকঙ্কে ো ১০ দ্বারা দবভািে। ১১ দ্বারা কিভাজ্য: দকাঙ্কিা সংখ্োর দবঙ্কিাড় স্থাঙ্কির অেগুঙ্কোর দযােফে এবং দিাড় স্থাঙ্কির অেগুঙ্কোর দযােফে দবর কঙ্কর দযােফে দ্বঙ্কয়র পার্ থকে যদে ০ অর্বা ১১ হয় , েঙ্কব সংখ্োটি ১১ দ্বারা দবভািে। ১২ দ্বারা কিভাজ্য: যদে দকাঙ্কিা সংখ্ো একই সাঙ্কর্ ৩ ও ৪ দ্বার দবভািে হয় , েঙ্কব সংখ্োটি ১২ দ্বারা দবভািে। ১৩ দ্বারা কিভাজ্য: দকাঙ্কিা সংখ্োর দশষ অঙ্কের োর গুি বাদক সংখ্োর সাঙ্কর্ দযাে করঙ্কে ,দযােফে যদে ১৩ দ্বারা দবভািে হয় ,েঙ্কব সংখ্োটি ১৩ দ্বারা দবভািে। ১৪ দ্বারা কিভাজ্য: যদে দকাঙ্কিা সংখ্ো একই সাঙ্কর্ ২ ও ৭ দ্বারা দবভািে হয় েঙ্কব সংখ্োটি ১৪ দ্বারা দবভািে। ১৫ দ্বারা কিভাজ্য: যদে দকাঙ্কিা সংখ্ো একই সাঙ্কর্ ৩ ও ৫ দ্বারা দবভািে হয় , েঙ্কব সংখ্োটি ১৫ দ্বারা দবভািে। ১৬ দ্বারা কিভাজ্য: দশষ োরটি অংক যদে ১৬ দ্বারা দবভািে হয় , েঙ্কব সংখ্োটিও ১৬ দ্বারা দবভািে। ১৭ দ্বারা কিভাজ্য: দকাঙ্কিা সংখ্োর দশষ অঙ্কের পােঁগুি বাদক সংখ্ো দর্ঙ্কক দবঙ্কয়াে করঙ্কে দবঙ্কয়ােফে ১৭ দ্বারা দবভািে হঙ্কে সংখ্োটিও ১৭ দ্বারা দবভািে। ১৮ দ্বারা কিভাজ্য: যদে দকাঙ্কিা সংখ্ো একই সাঙ্কর্ ২ ও ৯ দ্বারা দবভািে হয় েঙ্কব সংখ্োটিও ১৮ দ্বারা দবভািে। ১৯ দ্বারা কিভাজ্য: যদে দকাঙ্কিা সংখ্োর দশষ অঙ্কের দদ্বগুি কঙ্কর বাদক সংখ্োর সাঙ্কর্ দযাে কঙ্কর দযােফে ১৯ দ্বারা দবভািে হঙ্কে সংখ্োটিও ১৯ দ্বারা দবভািে। ২০ দ্বারা কিভাজ্য: যদে দকাঙ্কিা সংখ্ো একই সাঙ্কর্ ৪ ও ১০ দ্বারা দবভািে হয় , েঙ্কব সংখ্োটিও ২০ দ্বারা দবভািে। ভাজ্ক সংখ্যা কনন টয়: ভাজ্য: দয রাদশঙ্কক ভাে করা হয় োঙ্কক ভািে বঙ্কে। ভাজ্ক: দয রাদশ দ্বারা ভাে করা হয় োঙ্কক ভািক বঙ্কে। দব:দ্র: ভােঙ্কশষ সবসময় ভািক দর্ঙ্কক দোি হঙ্কব। ভাজ্ক সংখ্যা কনন টয় পদ্বকত: প্রেত্ত সংখ্োঙ্কক দমাি কেটি সংখ্ো দ্বারা ভাে করা যায় োই ঐ সংখ্োর ভািক সংখ্ো। দযমি:
4 = ২ ২ × ৩ ২ [একিােীয় সংখ্োগুঙ্কোর পাওয়ার উপঙ্কর দেখ্ঙ্কে হঙ্কব] োরপর প্রদে পাওয়াঙ্করর সাঙ্কর্ ১ দযাে কঙ্কর পাওয়ারগুঙ্কো গুি করঙ্কেই ৩৬ এর ভািক সংখ্ো পাওয়া যাঙ্কব। দবঙ্কিাড় ভািক সংখ্ো দবর করঙ্কে হঙ্কে দবঙ্কিাড় স্থাদিয় ভািক এর পাওয়াঙ্করর সাঙ্কর্ ১ দযাে করঙ্কে ভািক সংখ্ো পাওয়া যাঙ্কব। ম্জ্ার তথয: দকাঙ্কিা সংখ্ো পূণ্ থবে থহঙ্কে োর দমাি ভািক সংখ্ো দবঙ্কিাড় হয় এবং পূণ্ থবে থিা হঙ্কে ভািক সংখ্ো দিাড় হয়। ভগ্াংশ: ভগ্াংশ প্রযািে দেি প্রকার। ১) প্রকৃ ে ভগ্াংশ ২) অপ্রকৃ ে ভগ্াংশ ৩)দমশ্র ভগ্াংশ প্রকৃত ভগ্াংশ: দয ভগ্াংঙ্কশর হর েঙ্কবর দেঙ্কয় বড় োঙ্কক প্রকৃ ে ভগ্াংশ বঙ্কে। অপ্রকৃত ভগ্াংশ: দয ভগ্াংঙ্কশর হর েঙ্কবর দেঙ্কয় দোি োঙ্কক অপ্রকৃ ে ভগ্াংশ বঙ্কে। কম্শ্র ভগ্াংশ: একটি পূণ্ থঅংশ আঙ্করকটি প্রকৃ ে ভগ্াংশ দিঙ্কয় দমশ্র ভগ্াংশ েটিে। িৃহত্তম্ ও ক্ষু দ্রতম্ ভগ্াংশ কনন টয়: প্রর্ম ভগ্াংঙ্কশর েব এবং দদ্বেীয় ভগ্াংঙ্কশর হর আবার দদ্বেীয় ভগ্াংঙ্কশর েব এবং প্রর্ম ভগ্াংঙ্কশর হর গুি করঙ্কে হঙ্কব । যদে োরটি ভগ্াংঙ্কশর মঙ্কযে দোি বড় দিি থয় করঙ্কে বো হয়। োহঙ্কেও একই পদ্ধদেঙ্কে োরটি ভগ্াংঙ্কশর মঙ্কযে েুটি কঙ্কর বড় দোি দিি থয় করঙ্কে হঙ্কব।
5 সরলীকরণ: ক্রকম্ক িা ধারািাকহক সংখ্যা: িগ ট,ঘন, িগ টম্ূল:
6 িগ টও িগ টম্ূল: দকাঙ্কিা সংখ্োঙ্কক দসই সংখ্ো দ্বারা গুি করঙ্কে দয গুিফে পাওয়া যায় ,োঙ্কক ঐ সংখ্োর বে থবঙ্কে এবং সংখ্োটিঙ্কক গুিফঙ্কের বে থমূে বঙ্কে। দযমি: ৫ × ৫ বা ২৫ দক ৫ এর বে থএবং ৫ দক ২৫ এর বে থমূে বো হয়। মজ্াড় – কিমজ্াড়: 1. দিাড় সংখ্ো + দিাড় সংখ্ো= দিাড় সংখ্ো
7 2. দিাড় সংখ্ো + দবঙ্কিাড় সংখ্ো = দবঙ্কিাড় সংখ্ো 3. দবঙ্কিাড় সংখ্ো + দবঙ্কিাড় সংখ্ো = দিাড় সংখ্ো 4. দিাড় সংখ্ো × দিাড় সংখ্ো = দিাড় সংখ্ো 5. দিাড় সংখ্ো×দবঙ্কিাড় সংখ্ো = দিাড় সংখ্ো 6. দবঙ্কিাড় সংখ্ো × দবঙ্কিাড় সংখ্ো = দবঙ্কিাড় সংখ্ো অমঙ্কর স্থান কিকনম্য়: প্রঙ্কে যদে বো হয় একটি সংখ্োর একক স্থািীয় অংক x এবং েশক স্থািীয় অংক y হঙ্কে সংখ্োটি কে? জ্টর্ল সংখ্যা : এই দবষঙ্কয় সাযারিে প্রে আঙ্কসিা , েঙ্কব সাম্প্রদেক সমঙ্কয় দবদসএস ,বোংক পদরোয় এই দবষঙ্কয় প্রে আসঙ্কে দেখ্া যায়।
8
9 ভগ্াংশ িা দশকম্ক ভগ্াংশ মথমক শতকরায় রূপান্তর: ভগ্াংশ বা েশদমক ভগ্াংশঙ্কক ১০০% দেঙ্কয় গুি দেঙ্কে ভগ্াংশটি % এ পদরিে হঙ্কব। প্রঙ্কে যদে পূঙ্কব থর মূেে এবং বেথমাি মূেে অিুপাে দেয়া র্াঙ্কক এবং বো হয় বেথমাি মূেে দক পদরমাি দবঙ্কড়ঙ্কে েঙ্কববেথমাি অিুপাে−পূব থঅিুপাে পূব থঅিুপাে + ১০০% প্রঙ্কে যদে আয় বেয় অিুপাে দেয়া র্াঙ্কক আর সঞ্চয় আঙ্কয়র কে শোংশ িািঙ্কে োওয়া হয় েঙ্কবসঞ্চয় আয় + ১০০% [সঞ্চয় দবর করার দিয়ম: (আয় – বেয়)] প্রঙ্কে যদে েুটি পঙ্কণ্ের অিুপাে দেয়া র্াঙ্কক আর ো দর্ঙ্কক একটি পঙ্কণ্ের শেকরা পদরমাি িািঙ্কে োওয়া হয় েঙ্কব-িািঙ্কে োওয়া পিে %= িািঙ্কে োওয়া পিে দমাি পিে বা পিে গুঙ্কোর দযােফে + ১০০% শতকরার ম্ান কনন টয়: দকাঙ্কিা প্রঙ্কে যদে শেকরা দর্ঙ্কক মাি দিণ্ থয় করঙ্কে বো হয় েঙ্কব েুটি দবষয় মঙ্কি রাখ্ঙ্কে হঙ্কব এখ্াঙ্কি এর মাঙ্কি গুি আর % এর িায়োয় ১ ১০০ বদসঙ্কয় সমাযাি করা হয়। গুরুত্বপূণ টতথয: এসব অে করার সময় শুযুএকটি কর্া মঙ্কি রাখ্া উদেে,দসিা হঙ্কো ‘এর’ বা of এ িায়োয় ‘গুি’ এবং % এর িায়োয় ১ ১০০ বসঙ্কব। ম্ান মথমক কত শতাংশ তা কনণ টয়: প্রঙ্কে শোংশ বা % এর মাি দবর করঙ্কে বেঙ্কে দযই সংখ্োর পর ‘এর’ র্াকঙ্কব ো দেঙ্কয় অিে সংখ্োঙ্কক ভাে কঙ্কর ১০০% দেঙ্কয় গুি করঙ্কে হঙ্কব। ম্যাজজ্ক কনয়ম্: যার পর ’এর’ র্াকঙ্কব ো দেঙ্কয় অিে সংখ্োঙ্কক ভাে কঙ্কর ১০০% দেঙ্কয় গুি করঙ্কে হঙ্কব। ম ম্ন: ২৫০ এর কে % সমাি ২৫ ? উত্তর: ২৫×১০০ ২৫০ % =১০% সংখ্যার শতকরা ম্ান মথমক সংখ্যাটর্ কনণ টয়: প্রঙ্কে অিািা সংখ্োর শোংঙ্কশর মাি দেওয়া র্াকঙ্কে এবং অিািা সংখ্োটি দবর করঙ্কে বেঙ্কে – ১০০×মাি সংখ্ো %এর সংখ্ো দযমি: দকাি সংখ্োর ৫% এর মাি ৩০? উত্তর: ১০০×৩০ ৫ =৬০০ শতকরা তুলনা , হ্রাস-িৃজি/ম াগ-কিময়াগ: দকাঙ্কিা প্রঙ্কে েুটি দভন্ন দভন্ন অংঙ্কশর শেকরা দেওয়া র্াকঙ্কে এবং একটি অপরটির কে কম/দবদশ িািঙ্কে োইঙ্কে- দযমি: ৩০০ এ ৫ শোংশ ,৩০০ এর ১০ শোংঙ্কশর কে কম?
10 আবার যদে বো হয়- দকাঙ্কিা সংখ্োর ৩% বৃজদ্ধ দপঙ্কয় ৩০৯ হয় ,সংখ্োটি কে? োহঙ্কে প্রর্ঙ্কম অিািা সংখ্োটিঙ্কক X যঙ্কর দিঙ্কে হঙ্কব।এরপর অিািা সংখ্োটি ৩% অর্ থাৎ X এর ৩% দযাে করঙ্কে ো ৩০৯ এর সমাি হঙ্কব। অঙ্কিকঙ্কেঙ্কে প্রঙ্কে হ্রাস-বৃজদ্ধর পদরবঙ্কেথসরাসদর দযাে দবঙ্কয়াে উঙ্কেখ্ র্াঙ্কক। েখ্ি উপঙ্করর দিয়ঙ্কম সমাযাি করঙ্কে হঙ্কব। শতকরার উপর শতকরা: দকাঙ্কিা প্রঙ্কে যদে শেকরার উপর শেকরা দেওয়া র্াঙ্কক োহঙ্কে প্রর্ম মাি A এবং দদ্বেীয় মাি B যরঙ্কে সূে হয়: A+B+ 100 A বা B এর মাি বসাঙ্কিার সময় বৃজদ্ধ দপঙ্কে + মাি বসাঙ্কে হঙ্কব আর হ্রাস দপঙ্কে – মাি বসাঙ্কে হঙ্কব।
11 দযমি: একটি পঙ্কণ্ের োম প্রর্ঙ্কম ৪০% বাড়াঙ্কিা হঙ্কো ,োরপর ১০% কমাঙ্কিা হঙ্কো । দমাঙ্কির উপর কে % কমাঙ্কো বা বাড়ঙ্কো? উত্তর: A+B+ ১০০ =৪০+(-১০)+ ৪০×(−১০) ১০০ =৩০-৪ =২৬% [উত্তর + আসঙ্কে বৃজদ্ধ পায়] শতকরা পাশ-মেল: Formula-1: অন্তে একটি দবষঙ্কয় পাশ = ১ম দবষঙ্কয় পাশ + ২য় দবষঙ্কয় পাশ – উভয় দবষঙ্কয় পাশ অন্তে একটি দবষঙ্কয় দফে= ১ম দবষঙ্কয় দফে + ২য় দবষঙ্কয় দফে – উভয় দবষঙ্কয় দফে [ ১ টি দবষয়= ১ম দবষয়+২য় দবষয়-উভয় দবষয় ] Formula-2: উভয় দবষঙ্কয় পাশ = দমাি দশোর্ী – অন্তে একটি দবষঙ্কয় দফে উভয় দবষঙ্কয় দফে= দমাি দশোর্ী – অন্তে একটি দবষঙ্কয় পাশ প্রশ্ন ধরন: দকাঙ্কিা পরীোয় ৭০% দশোর্ী বাংোয় ,৫০% দশোর্ী ইংঙ্করিীঙ্কে পাশ কঙ্কর। উভয় দবষঙ্কয় ৪০% দশোর্ী পাশ করঙ্কে অন্তে একটি দবষঙ্কয় কেিি পাশ কঙ্কর। উত্তর: অন্তে একটি দবষঙ্কয় পাশ= ১ম দবষঙ্কয় পাশ + ২য় দবষঙ্কয় পাশ – উভয় দবষঙ্কয় পাশ = ৭০%+৫০%-৪০% =১২০%-৪০% =৮০% জ্নসংখ্যা: প্রঙ্কে দকাঙ্কিা শহঙ্করর বেথমাি িিসংখ্ো , িিসংখ্ো বৃজদ্ধর হার দেওয়া র্াকঙ্কে দিদেথষ্ট বের পর ঐ শহঙ্করর দমাি িিসংখ্ো দবর করঙ্কে বো হঙ্কে। মকৌশল: বেথমাি িিসংখ্োর সাঙ্কর্ গুি কঙ্কর , িিসংখ্ো বৃজদ্ধর হার যে দেওয়া র্াকঙ্কব োর সাঙ্কর্ ১০০ দযাে কঙ্কর যা হঙ্কব ো উত্তর। ম ম্ন: িিসংখ্ো বৃজদ্ধর হার ৫% দেওয়া র্াকঙ্কে ১০০+৫ = ১০৫ দেখ্ঙ্কে হঙ্কব এবং যে বের বো হঙ্কব েঙ্কো বার গুি করঙ্কে হঙ্কব। সূে: বেথমাি িিসংখ্ো × (িিসংখ্ো বৃজদ্ধর হার + ১০০ ) যে হয় ো [যে বের দেওয়া র্াকঙ্কব েঙ্কো বার দেখ্ঙ্কে হঙ্কব] যদর, ৩০০০০×(৫+১০০)%= ৩০০০০×১০৫%[এক বের হঙ্কে একবার] যদে েুই বের হয় েঙ্কব েুই বার % এর সংখ্ো দেখ্ঙ্কে হঙ্কব ৩০০০০×১০৫%×১০৫% কি:দ্র: েক্রিৃজির অঙ্ক একই কনয়মম্ করা ায়। দটুর্ কভন্ন অংমশর একমে শতকরা হার:
12 প্রঙ্কে েুটি দভন্ন দভন্ন অংঙ্কশর দভন্ন দভন্ন শেকরা হার দেওয়া র্াকঙ্কে। এসব প্রঙ্কে সাযারিে েুটি অংশ র্াঙ্কক যদে ১ম অংশ A এবং এর শেকরা পদরমাি X এবং ২য় অংশ B এবং এর শেকরা পদরমাি y হয় োহঙ্কে - সূে: + + প্রে যরি: একটি দবেোেঙ্কয় ২৪০ িি োঙ্কের মঙ্কযে ১৫% অিুপদস্থে এবং ১৬০ িি োেীর মঙ্কযে ৫% অিুপদস্থে। দমাি শেকরা কেিি োে-োেী অিুপদস্থে? উত্তর: ২৪০×১৫+১৬০×৫ ২৪০+১৬০ =১১ শতকরা িা % মথমক কহমসি মির করা : দকাঙ্কিা প্রঙ্কে যার % দেওয়া র্াকঙ্কব যদে োরই দমাি সংখ্ো িািঙ্কে োওয়া হয় োহঙ্কে দমাি সংখ্োটি দেঙ্কখ্ ‘এর’ দেঙ্কয় ঐ % টি দেঙ্কখ্ কািাকাটি কঙ্কর উত্তর দবর করা হয়। প্রে: দকাঙ্কিা দকঙ্কে পদরোর্ী ১২০০ যার ৫৫% োে । োহঙ্কে োেী সংখ্ো কে? ম্ূলয ও িযিহার হ্রাস-িৃজি সংক্রান্ত: দকাঙ্কিা প্রঙ্কে পঙ্কণ্ের মূেে বৃজদ্ধ বা হ্রাঙ্কসর পর বেবহার কী পদরমাি হ্রাস বা বৃজদ্ধ করঙ্কে খ্রে অপদরবদেথে র্াকঙ্কব ো দিি থয় করঙ্কে বো হঙ্কে।
13 সূে: মূেে বৃজদ্ধর দেঙ্কে বেবহার কমাঙ্কে হঙ্কব: বেবহার হ্রাস= মূেে বৃজদ্ধ×১০০ ১০০+মূেে বৃজদ্ধ % মূেে হ্রাঙ্কসর দেঙ্কে বেবহার বাড়াঙ্কে হঙ্কব: বেবহার হ্রাস= মূেে হ্রাস×১০০ ১০০−মূেে বৃজদ্ধ % প্রশ্ন ধরন: সবজির োম ২০% দবঙ্কড় দেে। োঙ্কের বেবহার শেকরা কে কমাঙ্কে োে বাবে অদেদরক্ত দকাঙ্কিা খ্রে হঙ্কব িা? ককম্শমনর শতকরা: দকাঙ্কিা দকাঙ্কিা প্রঙ্কে কদমশঙ্কির শেকরা পদরমাি উঙ্কেখ্ কঙ্কর বস্তুটির প্রকৃ ে মূেে দবর করঙ্কে বো হয়। লাভ-ক্ষকত
14 শতকরা লাভ-ক্ষকত: শেকরা োভ বা েদে= দমাি োভ বা েদে ক্রয় মূেে ×১০০ একই ম্ূমলয কভন্ন কভন্ন পকরম্ান ক্রয়-কিক্রয়:
15 ক্রয়ম্ূলয,কিক্রয়ম্ূলয,ক্রময়র পকরম্ান , কিক্রময়র পকরম্ান কভন্ন হয়: প্রশ্ন: ১০ িাকায় ১২ টি েকঙ্কেি ক্রয় কঙ্কর ১২ িাকায় ৮ টি েকঙ্কেি দবক্রয় করঙ্কে শেকরা কে োভ হঙ্কব? কিক্রয়ম্ূূ্লয কনন টয়: প্রঙ্কে ক্রয়মূেে দেঙ্কয় দবক্রয় মূেে দবর করঙ্কে বো হঙ্কে –ক্রয়মূূ্েে সবেথা ১০০% হয় োই ১০০% সমাি প্রঙ্কে প্রেত্ত ক্রয়মূেে দেঙ্কখ্ এরপর যে % োভ হয় ো ১০০% এর সাঙ্কর্ দযাে অর্বা যে % েদে ১০০% দর্ঙ্কক দবঙ্কয়াে কঙ্কর ঐদকক দিয়ঙ্কম এর মাি দবর করঙ্কে হঙ্কব।
16 প্রে যরি: একটি কেঙ্কমর ক্রয়মূেে ১০ িাকা। ১০% োঙ্কভ এর দবক্রয় মূেে কে হঙ্কব? উত্তর: ১০০% = ১০ এরপর ১০% োঙ্কভ শেকরা দবক্রয়মূূ্েে (১০০%+১০%)=১১০% অর্ থাৎ,১০০%=১০ ১%= ১০ ১০০ ১১০%= ১০×১১০ ১০০ =১১ িাকা কিক্রয়ম্ূলয মথমক ক্রয়ম্ূলয কনন টয়:
17 কিক্রয়ম্ূলয আমরা মিকশ হমল ক্রয়ম্ূলয কনন টয়: দকাঙ্কিা পণ্ে এে % োভ বা েদেঙ্কে দবক্রয় করা হঙ্কয়ঙ্কে। দবক্রয়মূেে আঙ্করা এে িাকা দবদশ হঙ্কে এে % োভ বা েদে হঙ্কো। ক্রয়মূেে কে? দইুিার লাভ ক্ষকত থাকমল:
18 অনুপাত ও ভগ্াংশ: োভ-েদে অঙ্কে অিুপাে দবর করঙ্কে বেঙ্কে যার সাঙ্কর্ যার অিুপাে দবর করঙ্কে বেঙ্কব প্রর্ঙ্কম োঙ্কের মাি দবর কঙ্কর দিঙ্কয় োরপর অিুপাে আকাঙ্কর প্রকাশ করঙ্কে হয়। প্রে যরি: একটি কেম ১২৫ িাকায় দবজক্র করায় ২৫% োভ হয় । ক্রয়মূেে ও দবক্রয়মূঙ্কেের অিুপাে কে?
19 ককম্শন সম্পককটত প্রশ্ন: কদমশি বা োঙ্কড়র অঙ্কে েুটি দবষয় মঙ্কি রাখ্ঙ্কে হঙ্কব প্রর্মে িাকার পদরমাি বা ক্রয়মূেে দেওয়া র্াকঙ্কে ো দর্ঙ্কক দহসাব শুরু করঙ্কে হঙ্কব এবং দদ্বেীয় কদমশি বা োঙ্কড়র অঙ্কে প্রর্ঙ্কম ক্রয়মূেে দর্ঙ্কক শেকরা োভ বা েদে দহঙ্কসব কঙ্কর দবক্রয়মূেে দবর করঙ্কে হঙ্কব। এরপর এই দবক্রয়মূেে সমাি কদমশি বা োঙ্কড় শেকরা দবক্রয়মূেে দেঙ্কখ্ ১০০% এর মাি দবর করঙ্কেই দেদখ্ে মূেে পাওয়া যাঙ্কব। প্রে যরি: একটি শাঙ্কিথদেদখ্ে মূঙ্কেের উপর ২৫% কদমশি দেঙ্কয়ও ২০% োভ হয়। এর ক্রয়মূেে ২০০ িাকা হঙ্কে দেদখ্ে মূেে কে?
20 দাম্ িাড়া িা কম্ার সামথ কিজক্র কম্া িা িাড়া সম্পককটত: দইুিার ক্রয়-কিক্রয়: দকাঙ্কিা প্রঙ্কে একটি পণ্ে েুইবার ক্রয় দবক্রয় হঙ্কে দমাি িাকার সাঙ্কর্ ’এর’ এর মাযেঙ্কম েুই বার গুি করঙ্কে হঙ্কব।
21 প্রমশ্ন কদ্বগুন,কতনগুন ইতযাকদ থাকমল: এ যরঙ্কির সমসোয় পণ্েটির ক্রয়মূেেঙ্কক x বা y যঙ্কর দিঙ্কয় সমীকরি েিি করঙ্কে হঙ্কব। পরবেীঙ্কে সমীকরিটির সমাযাি কঙ্কর ক্রয়মূেে দিি থয় করঙ্কে হঙ্কব। ক্রয়ম্ূলয ও কিক্রয়ম্ূলয সম্ান থাকমল শতকরা ক্ষকত কনন টয়: েুই রকঙ্কমর ফে েুই োঙ্কম ক্রয় কঙ্কর সবগুঙ্কো ফে েঙ্কড় দবজক্র করঙ্কে বেঙ্কে । প্রর্ঙ্কম ফঙ্কের সংখ্োগুঙ্কোর ে.সা.গু দবর করঙ্কে হঙ্কব । এরপর ে.সা.গু দক দমাি ফে যঙ্কর খ্ুব সহঙ্কিই সমাযাি করা যায়।
22 লাভ-ক্ষকত মথমক কিক্রয়ম্ূলয/পকরম্ান কনন টয়: ক্রয়মূেে বা দবক্রয়মূঙ্কেের িাকা অর্বা সংখ্ো সমাি িা র্াকঙ্কে এবং এঙ্কের দয দকাঙ্কিা একটি দবর করঙ্কে বেঙ্কে।
23 েম্ূ টলা: দবক্রয় সংখ্ো ক্রয় সংখ্ো = দবক্রয় িাকা ×১০০ ক্রয় িাকা ×(১০০+োভ/েদে প্রশ্নধরন: িাকায় ৫ টি েঙ্কর দেবুক্রয় কঙ্কর িাকায় কয়টি েঙ্কর দেবুদবজক্র করঙ্কে ২৫% োভ হঙ্কব। উত্তর: দবক্রয় সংখ্ো ক্রয় সংখ্ো = দবক্রয় িাকা × ১০০ ক্রয় িাকা × (১০০ + োভ/েদে ৫ = ১ × ১০০ ১ × (১০০ + ২৫ =৪ টর্ সরল ম্ুনাো (Simple Profit/Interest): প্রকত িছর প্রারকিক আসল/ম্ূলধমনর উপর ম ম্ুনাো কহসাি করা হয় তাই সরল ম্ুনাো। সরল ম্ুনাোর সূে: ম্ুনাো= আসল ×সম্য় ×ম্ুনাোর হার I=Pnr এখ্ামনI= সরল ম্ুনাো [simple interest] P= আসল [Principal] n= সম্য়(িছর) [Number of years] r = ম্ুনাোর হার(%) [Rate of Interest] A= ম্ুনাো-আসল/সুদাসল[সরল ম্ুনাোয়] সরল ম্ুনাোয় ম্ুনাো-আসল=আসল+ম্ুনাো A=P+I A=P+Pnr A=p(1+nr) আসল,ম্ুনাোর হার, সম্য়, ও ম্ুনাো এই োরটর্র ম মকামনা কতনটর্ জ্ানা থাকমলই িাককটর্ I=Pnr সূে কদময় মির করা ায়। প্রশ্ন ধরন: িাকষ টক ৫% হার ম্ুনাোয় ৫০০ র্াকার ৪ িছমরর ম্ুনাো কত?
24 সম্াধান: I=Pnr ৫০০×৪×৫% = ৫০০×৪× ৫ ১০০ =১০০ িাকা সম্য় ম্ামস থাকমল ম্ুনাো (সুদ) কনন টয়: ম্ুনাোর হার কনন টয়: সম্য় কনন টয়:
25 আসল কনন টয়:
26 সুদ-আসমল কদ্বগুন,কতনগুন,োরগুন থাকমল: সুেকষার অঙ্কে সুঙ্কে-আসঙ্কে দদ্বগুি,দেিগুি,োরগুি এমি উঙ্কেখ্ র্াকঙ্কে I=Pnr সূে িযিহার কমর সম্াধান করা ায়। সুদ-আসল ভগ্াংশ:
27 ত-তত থাকমল: দটুর্ কভন্ন সম্ময়র সুদ-আসল মদয়া থাকমল: একমে দটুর্ ম্ূলধমনর মম্ার্ ম্ুনাো মদয়া থাকমল:
28 ম্ুনাোর হার হ্রাস-িৃজি: মম্ার্ ম্ূলধন মথমক ম্ুনাো কনন টয়:
29 সরল ও েক্রিৃজি ম্ুনাোর পাথ টকয: প্রঙ্কে েক্রবৃজদ্ধ মুিাফা ও সরে মুিাফার পার্ থকে দবর করঙ্কে বেঙ্কে – প্রর্ঙ্কম েক্রবৃজদ্ধর মুিাফা ও পঙ্কর সরে মুিাফা দবর কঙ্কর দবঙ্কয়াে করঙ্কে হঙ্কব। সরে মুিাফা সূে: I=Prn শর্টকার্ট: ১) ২ বেঙ্করর সরে ও েক্রবৃজদ্ধ মুিাফার পার্ থকে=2 ২)৩ বেঙ্করর সরে ও েক্রবৃজদ্ধ মুিাফার পার্ থকে=2 ( + 3) প্রশ্ন ধরন: ১০% হাঙ্কর ১০০০ িাকার ২ বেঙ্করর সরে মুিাফা ও েক্রবৃজদ্ধ মুিাফার পার্ থকে কে? উত্তর: পার্ থকে=2 =১০০০×(১০) 2 = ১০০০×( ১০ ১০০) 2 =১০০০×০.১×০.১ =১০ ত্রেম্াকসক/ষন্মাকসক েক্রিৃজি:
30 ল.সা.গু –গ.সা.গু: গ.সা.গু (HCF= Higher Common Factor): ে.সা.গু করঙ্কে দেঙ্কে এর ফোফে হঙ্কব সব দেঙ্কয় দোি সংখ্োর সমাি বা োর দেঙ্কয় দোি। প্রর্ঙ্কম দেখ্ঙ্কে হঙ্কব দোি সংখ্ো দেঙ্কয় বাদক সংখ্োগুঙ্কো দি:দেঙ্কষ ভাে হয় দকিা। যদে িা হয় েঙ্কব দোি সংখ্োটির অঙ্কয থক কঙ্কর দেখ্ঙ্কে হঙ্কব েঙ্কব অঙ্কয থক সংখ্োটি অবশেই পূি থসংখ্ো হঙ্কে হঙ্কব। যদে পূি থসংখ্ো িা হয় েঙ্কব দোি সংখ্োটিঙ্কক ৩,৪,৫ এভাঙ্কব কঙ্কর ভাে কঙ্কর পূি থসংখ্ো দবর কঙ্কর দিঙ্কে হঙ্কব। এমি পূি থসংখ্ো দবর করঙ্কে হঙ্কব দযি বাদক সংখ্োগুঙ্কোও দসই সংখ্ো দেঙ্কয় ভাে যায়। দযমি: ২৫,৩০,৩৫ এর ে.সা.গু এর দেঙ্কে-২৫ সব দেঙ্কয় দোি োই আঙ্কে দেখ্ঙ্কে হঙ্কব বাদক সংখ্োগুঙ্কো দি:দেঙ্কষ ভাে যায় দকিা ,দযঙ্কহেুযায় িা োই ২৫ এর অয থকঙ্কর দেখ্ঙ্কে হঙ্কব ২৫ এর অয থপূি থসংখ্ো দকিা ,িা হঙ্কে গুদিেক দবর করঙ্কে হঙ্কব দয গুদিেক দেঙ্কয় বাদক সংখ্োগুঙ্কো ভাে যাঙ্কব দসটিই ে.সা.গু।৫ দেঙ্কয় বাদক সংখ্ো গুঙ্কো ভাে করা যায়। ল.সা.গু (LCM=Least Common Multiple): ে.সা.গু সব সময় বড় সংখ্োটি হঙ্কে পাঙ্কর েঙ্কব সংখ্োটি অবশেই অিে সংখ্োগুঙ্কো দেঙ্কয় ভাে দযঙ্কে হঙ্কব। যদে িা যায় েঙ্কব বড় সংখ্োটির গুদিেক বেবহার কঙ্কর দেখ্ঙ্কে হঙ্কব বাদক সংখ্োগুঙ্কো দেঙ্কয় ভাে করা যায় দকিা। দযমি: ৪,৬,৮ এর ে.সা.গু এর দেঙ্কে- ে.সা.গু ৮ এর সমাি বা বড় হঙ্কব । ৪,৬ েুটি সংখ্ো দেঙ্কয়ই ৮ দক ভাে করা যায় িা োই ৮ এর গুদিেক দেখ্ঙ্কে হঙ্কব। ৮×২=১৬ এটি দেঙ্কয়ও যায় িা ৮×৩=২৪ এটি ৪ ও ৬ দেঙ্কয় ভাে যায় োই ২৪ ে.সা.গু কভন্ন কভন্ন ভাগমশষ থাকমল ল.সা.গু:
31 কনকদটষ্ট সংখ্যা ম াগ/কিময়ামগর মক্ষমে ল.সা.গু: সংখ্যাগুমলার গ.সা.গু=ভাজ্ক:
32 একই িা কভন্ন কভন্ন ভাগমশষ থাকমল গ.সা.গু: অনুপামতর মক্ষমে ল.সা.গু ও গ.সা.গু:
33 গুনেমলর মক্ষমে ল.সা.গু ও গ.সা.গু:
34 আবার প্রঙ্কে েুটি সংখ্োর ে.সা.গু ও ে.সা.গু এবং একটি অপরটির দদ্বগুি,দেিগুি,এক-েৃেীয়াংশ,দোি বড় ইেোদে র্াকঙ্কে সংখ্ো েুটি দবর করার িিে দোি সংখ্োটি ‘ক’ এবং বড় সংখ্োটি যে গুি েে ‘ক’ যরঙ্কে হঙ্কব। ভগ্াংশ র্াকঙ্কে দযমি: েুই েৃেীয়াংশ হঙ্কে দোি সংখ্োটি ২ক ও বড় সংখ্োটি ৩ক যঙ্কর সমাযাি করঙ্কে হঙ্কব। দযমি: আপিাঙ্কক বো হঙ্কো, েুটি সংখ্োর ে.সা.গু ৯৬ এবং ে.সা.গু ১৬। একটি অপরটির ১.৫ গুি হঙ্কে বড় সংখ্ো কে? োহঙ্কে প্রর্ঙ্কম দোি সংখ্োটি ‘ক’ যরঙ্কে হঙ্কব এবং বড় সংখ্োটি হঙ্কব ো ১.৫ গুি অর্ থাৎ ১.৫ক। এরপর সংখ্ো েুটির গুিফে সমাি ে.সা.গু×ে.সা.গু দেঙ্কখ্ ‘ক’ এর মাি দবর করঙ্কে হঙ্কব। দোি সংখ্ো দযঙ্কহেু‘ক’ োহঙ্কে দোি সংখ্োর উত্তর ’ক’ এর মাি। দযঙ্কহেুপ্রঙ্কে বড় সংখ্ো দবর করঙ্কে বঙ্কেঙ্কে এবং বড় সংখ্োটি ১.৫ক । োই ১.৫ এর সাঙ্কর্ ‘ক’ এর মাি গুি করঙ্কেই বড় সংখ্োটি পাওয়া যাঙ্কব।
35 ভগ্াংমশর মক্ষমে ল.সা.গু/গ.সা.গু: অনুপাত-সম্ানুপাত:
36 েুটি সমিােীয় রাদশর েু েিাঙ্কক অিুপাে বঙ্কে। মজ্মন রাখ্া ভামলা: অিুপাঙ্কের প্রর্ম রাদশঙ্কক পূব থরাদশ ও দদ্বেীয় রাদশঙ্কক বঙ্কে উত্তর রাদশ। অিুপাে একটি ভগ্াংশ যাঙ্কে প্রর্ম রাদশ েব এবং দদ্বেীয় রাদশ হর। অিুপােঙ্কক সবসময় েু দ্রেম আকাঙ্কর প্রকাশ করঙ্কে হয়। অর্ থাৎ ৫০:৪০ িা দেঙ্কখ্ ৫:৪ দেখ্ঙ্কে হঙ্কব। সাধারন অনুপাত,ভগ্াংমশর অনুপাত: অনুপাত ও মম্ার্ পকরম্ান মথমক ম্ান কনন টয়:
37 অনুপাত ও কম্/মিকশ মদওয়া থাকমল ম্ান কনন টয়: অনুপাত মথমক শতকরা কনন টয়: ম াগ কিময়াগ /ম াগেল-কিময়াগেল সম্পককটত অনুপাত:
38
39 সম্ানুপাত:
40
41 একাকধক কভন্ন অনুপাতমক এক অনুপামত পকরনত করা:
42 কু কু র-খ্রমগাশ অনুপাত:
43
44 গড়: সাধারন গড় সম্পককটত সম্সযা: সূে: রাদশগুঙ্কোর েড়= রাদশগুঙ্কোর সমটষ্ট রাদশগুঙ্কোর সংখ্ো রাদশর সংখ্ো = রাদশগুঙ্কোর সমটষ্ট েড় রাকশগুমলার সম্টষ্ট= রাকশগুমলার গড়×রাকশগুমলার সংখ্যা প্রশ্ন ধরন: ৭,১২,১৭,৩,১১,৬,১৩,৩ সংখ্োগুঙ্কোর েড় কে? উত্তর: রাদশগুঙ্কোর েড়= রাদশগুঙ্কোর সমটষ্ট রাদশগুঙ্কোর সংখ্ো = ৭+১২+১৭+৩+১১+৬+১৩+৩ ৮ =৯ সংখ্যার গড় সম্পককটত সম্সযা:
45 ধারািাকহক সংখ্যার গড়: খ্ুব সহঙ্কিই দয দকাঙ্কিা যারাবাদহক সংখ্োর েড় দবর করা যায়। দয সংখ্োগুঙ্কোর েড় দবর করঙ্কে বো হঙ্কব োঙ্কের ১ম পে ও দশষ পে দযাে কঙ্কর ২ দেঙ্কয় ভাে করঙ্কেই উত্তর পাওয়া যাঙ্কব।
46 েড়= ১ম পে+দশষ পে ২ েঙ্কব দিাড় – দবঙ্কিাড় সংখ্োর েড় দিি থঙ্কয়র দেঙ্কে সাবযাঙ্কি প্রর্ম ও দশষ পে দিি থয় করঙ্কে হঙ্কব। দকিিা দিাড় সংখ্োর েড় োইঙ্কে ১ম ও দশষ পঙ্কের দিাড় সংখ্ো পয থন্ত দিঙ্কে হঙ্কব। দযমি:১ দর্ঙ্কক ৪১ পয থন্ত দিাড় সংখ্োর েড় োওয়া হঙ্কে- ১ম পে যরঙ্কে হঙ্কব ১ এর পর প্রর্ম দিাড় ২ দক এবং দশষ দিাড় হঙ্কব ৪০ দকিিা ৪১ দবঙ্কিাড়। িয়মসর গড় সংক্রান্ত সম্সযা:
47 জক্রমকর্ মখ্লা সংক্রান্ত সম্সযা :
48
49 ঐককক কনয়ম্: কাজ্ ও সম্য় কিষয়ক ঐককক অঙ্ক:
50 অকতকরক্ত জ্ন আসা িা ককছুজ্ন েমল াওয়া: