10

Judul Modul MODUL 10
Judul Kegiatan Belajar
(KB) LOGIKA MATEMATIKA
KB 1 Kalimat, Pernyataan dan Tabel Kebenaran
No Butir Refleksi KB 2 Kuantor, Tautologi, dan Kontradiksi
1 Garis besar materi KB 3 Aljabar Proposisi, Argumen, dan Metode Inferensi
KB 4 Aturan Bukti Bersyarat dan Bukti Tak Langsung
yang dipelajari
Respon/Jawaban
KB 1 Kalimat, Pernyataan dan Tabel Kebenaran
A. Kalimat dan Pernyataan

• Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut
tata bahasa dan mengandung arti.

• Pernyataan adalah kalimat-kalimat yang berarti
menerangkan (kalimat deklaratif )

B. Kalimat Terbuka
• Kalimat Terbuka adalah kalimat yang belum/tidak
dapat ditentukan nilai kebenarannya. Dalam
matematika, kalimat terbuka bisa berbentuk persamaan
(kalimat terbuka yang menggunakan tanda “=”) atau
berbentuk pertidaksamaan (kalimat terbuka yang
menggunakan tanda “≠”, “<”, “>”, “≤”, atau “≥”).

C. Pernyataan Majemuk
Pernyataan Majemuk adalah pernyataan yang terdiri

atas beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan
kata hubung seperti atau, dan, jika … maka …, serta jika
dan hanya jika

1. Negasi
Negasi suatu pernyataan adalah pernyataan yang
bernilai salah jika pernyataan semula benar, dan
sebaliknya.

2. Konjungsi
Konjungsi merupakan pernyataan majemuk dengan
kata penghubung “dan”, “tetapi”, “meskipun”, atau
“walaupun”

3. Disjungsi
Disjungsi merupakan pernyataan majemuk dengan
kata penghubung “atau”.
1. Disjungsi inklusif
2. Disjungsi ekslusif

4. Implikasi
Implikasi merupakan pernyataan yang dibuat dari 2
pernyataan tunggal p dan yang dinyatakan dalam
bentuk kalimat “jika maka ”.

5. Biimplikasi
Biimplikasi merupakan pernyataan yang dibuat dari
2 pernyataan tunggal dan yang dinyatakan dalam
bentuk kalimat “ jika dan hanya jika ”.

6. Kuantor

KB 2. Kuantor, Tautologi, dan Kontradiksi
A. Kuantor
• Kuantor Universal ( ∀ )
Kata-kata yang biasa digunakan dalam kuantor
universal adalah “semua”, “setiap”, “untuk semua”
atau “untuk setiap”. Kuantor universal dilambangkan
dengan ∀.
• Kuantor Eksistensial (∃)
Pernyataan matematika yang dilengkapi dengan
kata-kata “terdapat”, “ada”, “sekurang-kurangnya
satu”, atau “beberapa” merupakan pernyataan
berkuantor eksistensial. Kuantor eksistensial
dilambangkan dengan ∃.
• Negasi Pernyataan Kuantor Teorema DeMorgan
Misalkan ( ) adalah sebuah fungsi proposisional
pada , maka:
a. ~(∀ ∈ ) ( ) ≡ (∃ ∈ )~ ( );
b. ~(∃ ∈ ) ( ) ≡ (∀ ∈ )~ ( ).

B. Tautologi
Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk
setiap substitusi pernyataan tunggalnya dinamakan
tautologi. Dengan kata lain, tautologi merupakan
pernyataan yang selalu bernilai benar dalam kondisi apa
pun.

C. Kontradiksi
Kontradiksi adalah pernyataan yang selalu bernilai salah
untuk setiap substitusi nilai kebenaran pernyataan
tunggalnya.

KB 3. Aljabar Proposisi, Argumen, dan Metode Inferensi

A. Aljabar Proposisi

Beberapa hukum aljabar proposisi adalah sebagai

berikut :

• Hukum Idempoten
▪ ∨ ≡
▪ ∧ ≡ p

• Hukum Asosiatif
▪ ( ∨ ) ∨ ≡ ∨ ( ∨ )
▪ ( ∧ ) ∧ ≡ ∧ ( ∧ )

• Hukum Komutatif
▪ ∨ ≡ ∨ 50
▪ ∧ ≡ ∧ p

• Hukum Distributif
▪ ∨ ( ∧ ) ≡ ( ∨ ) ∧ ( ∨ )
▪ ∧ ( ∨ ) ≡ ( ∧ ) ∨ ( ∧ )

• Hukum Identitas
▪ ∨ ≡
▪ ∧ ≡

• Hukum null/ Dominasi
▪ ∧ ≡
▪ ∨ ≡

• Hukum Komplemen (Negasi)
▪ ∨ ∼ ≡
▪ ∧ ∼ ≡
▪ ∼ ≡
▪ ∼ ≡

• Hukum Involusi (Negasi Ganda)
▪ ∼ (∼ ) ≡

• Hukum Penyerapan (Absorpsi)
▪ ∨ ( ∧ ) ≡
▪ ∧ ( ∨ ) ≡

• Hukum Transposisi
▪ ⇒ ≡ ∼ ⇒∼

• Hukum Implikasi
▪ ⇒ ≡ ∼ ∨

• Hukum Ekivalensi
▪ ⟺ ≡ ( ⇒ ) ∧ ( ⇒ )
▪ ⟺ ≡ ( ∧ ) ∨ ( ∼ ∧ ∼ )

• Hukum Eksportasi
▪ ( ∧ ) ⇒ ≡ ⇒ ( ⇒ )

• Hukum DeMorgan
▪ ∼ ( ∨ ) ≡∼ ∧ ∼
▪ ∼ ( ∧ ) ≡ ∼ ∨ ∼

B. Argumen dan Inferensi
• Premis Pernyataan-pernyataan yang digunakan
untuk menarik kesimpulan.
• Argumen kumpulan kalimat yang terdiri atas satu
atau lebih premis yang mengandung bukti- bukti
(evidence) dan suatu (satu) konklusi.
• Inferensi Proses atau cara untuk menarik atau
menurunkan kesimpulan dalam suatu argumen dari
beberapa proposisi (premis).

C. Metode Inferensi
• Modus Ponens (Penalaran Langsung)
• Modus Tollens (Penalaran Tak Langsung)
• Silogisme Hipotesis
• Silogisme Disjungtif
• Simplifikasi (Penyederhanaan Konjungtif)
• Penambahan Disjungtif
• Konjungsi
• Dilema (Pembagian Kasus)
• Dilema Konstruktif
• Dilema Destruktif

KB 4 Aturan Bukti Bersyarat dan Bukti Tak Langsung
A. Aturan Bukti Bersyarat (ABB)
Dapat digunakan apabila konklusi argumen tersebut
merupakan implikasi. Langkah-langkah pembuktian
aturan bukti bersyarat yaitu:
a. Menulis premis-premis yang diketahui.
b. Menarik anteseden dari konklusi menjadi premis
baru (premis tambahan) dan konsekuennya
merupakan konklusi dari argumen (konklusi baru).
c. Menggunakan aturan penyirnpulan dan hukum
penggantian untuk menemukan konklusi sesuai
dengan konklusi baru.

B. Aturan Bukti Tak Langsung
Untuk melakukan pembuktian argumen dengan bukti tak
langsung, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :
a. Menulis premis-premis yang diketahui.

2 Daftar materi yang b. Menarik ingkaran dari konklusi menjadi premis baru
sulit dipahami di (premis tambahan).
modul ini
c. Dengan menggunakan aturan penyirnpulan dan
3 Daftar materi yang hukum penggantian ditunjukkan adanya kontradiksi.
sering mengalami
miskonsepsi d. Setelah ditemukan kontradiksi kita tinggal
menggunakan prinsip Adisi dan Silogisme
Disjungtif .

1. Penerapan Metode Inferensi
2. Contoh aturan buktik bersyarat dan langsung

1. Inferensi
2. Penggunaan aturan penggantian