M U H . AB D U L JA B A R A LKA R I M CAMAT SIMPEL C A T A T A N M A T E M A T I K A S I M P A N A N P E L A J A R J ILID 1 Logaritma, fungsi & nilaimutlak.
i KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena dapat terselesaikannya modul Matematika Berisi 3 BAB untuk SMA/MA kelas X yang diberi nama CAMAT SIMPEL (Catatan Matematika Simpanan Pelajar) Jilid 1. Modul ini bertujuan untuk membantu siswa MA/SMA dalam memahami materi agar lebih mudah dan terarah. Kami berharap bahwa modul ini juga dapat menambah referensi bagi siswa dalam pembelajaran. Modul ini didalamnya terdapat pokok bahasan yang berkaitan dengan “Logaritma, Fungsi dan Nilai Mutlak”. Selain itu untuk memudahkan pemahaman juga terdapat rangkuman dan contoh latihan soal beserta penyelesaiannya. Akhirnya, kami mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam
ii penyusunan modul ini, semoga dapat memberikan manfaat bagi siswa dalam mempelajari Matematika khususnya. Kami menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penyusunan modul ini. Untuk itu, kritik dan saran sangat kami harapkan untuk kesempurnaan modul ini. Bekasi, Nopember 2022 Penulis P e n u l i s
iii DAFTAR ISI Kata Pengantar…………………………………………………… i Daftar Isi……………………………………………………………. ii BAB 1 Logaritma A. Menyatakan bentuk logaritma…………………….. 1 B. Menggambar grafik fungsi logaritma……………. 2 C. Sifat Logaritma…………………………………….............. 4 D. Aplikasi sifat logaritma……………………………………… 9 E. Persamaan Logaritma………………………………………. 10 BAB 2 Fungsi A. Menyatakan fungsi…………………………………….. 16 B. Mengetahui Domain, Kodomain dan Range fungsi.. 17 C. Nilai fungsi………………………………………………………. 19 D. Operasi Al jabar Fungsi…………………………………….. 21 E. Contoh aplikasi operasi aljabar fungsi…………………. 24 F. Komposisi fungsi………………………………………………. 25 G. Invers Fungsi…………………………………………………… 26 H. Invers komposisi 2 fungsi………………………………….. 27 I. Komposisi 3 fungsi……………………………………………. 28 BAB 3 Nilai Mutlak A. Mengenal Nilai Mutlak………………………………………… 30 B. Persamaan Nilai Mutlak……………………………………….. 36 C. Pertidaksamaan Nilai Mutlak……………………………….. 40
iv DAFTAR PUSTAKA………………………………………………………. 43 RIWAYAT PENULIS……………………………………………………… 44 16 DAFTAR PUSTAKA 23
1 BAB 1 LOGARITMA A. Menyatakan bentuk logaritma Jika b=an maka dapat dinyatakan menjadi a log b = n Contoh 1 : Nyatakan bentuk berikut : a. 9 = 32 b. 25 = 52 Jawab : a. 9=32 harus kita ketahui a, b dan n kemudian setelah itu dicocokan dengan bentuk a log b = n. Diketahui : a= 3 , b= 9 dan n = 2 sehingga dirubah menjadi : a log b = n 3 log 9 = 2 b. 25 =52 harus kita ketahui a, b dan n kemudian setelah itu dicocokan dengan bentuk a log b = n. Diketahui : a= 5 , b= 25 dan n = 2 sehingga dirubah menjadi : a log b = n 5 log 25 = 2
2 Contoh 2 : Nyatakan bentuk berikut : a. 5 log 1 b. 6 log 216 Jawab : a. 5 log 1 , agar bisa sesuai dengan bentuk a log b = n , maka menjadi 5 log 1 = n Sehingga, 5 log 1 = n 1 = 5n 5 0 = 5n n=0 , sehingga 5 log 1 = 0 b. 6 log 216 , agar bisa sesuai dengan bentuk a log b = n , maka menjadi 6 log 216 = n Sehingga, 6 log 216 = n 216 = 6n 6 3 = 6n n=3 , sehingga 6 log 216 = 3 B. Menggambar grafik fungsi logaritma Langkah : - Buatlah table fungsi
3 - Jadikan fungsi selain f(x) sebagai patokan mencari nilai x - Isi angka penyesuaian pada kolom f(x) - Buatlah grafik fungsinya Contoh 1 : Buatlah grafik fungsi logaritma dari f(x) = 3 logx dan g(x) = 3x ! Jawab : - Table fungsi 3 -2 3 -1 3 0 3 1 3 2 Patokan g(x) F(x) -2 -1 0 1 2 3 x x 1/9 1/3 1 3 9 - Membuat grafik fungsi f(x) = 3 logx 2 1 x -2 -1 0 1/9 1/3 1 3 9 -1 -2 F(x) Contoh 2 :
4 Buatlah grafik fungsi logaritma dari f(x) = 1/5logx dan g(x) = (1/5)x ! Jawab : - Table fungsi (1/5)-2 (1/5)-1 (1/5)0 (1/5)1 (1/5)2 Patokan g(x) F(x) -2 -1 0 1 2 (1/5)x x 25 5 1 1/5 1/25 - Membuat grafik fungsi f(x) = 3 logx 2 1 x -2 -1 0 1/25 1/5 1 5 25 -1 -2 F(x) C. Sifat Logaritma 1) Bentuk a log a = 1 Contoh : Tentukan nilai dari 3 log3 ! Jawab : 3 log3 = 1
5 2) Bentuk a log b = n Contoh : Tentukan nilai dari 5 log 125 ! = 5 log 125 = 5 log 53 = 3 Sehingga 5 log 125 = 3 3) Bentuk a log b + a log c = a log b x c Contoh : Tentukan nilai dari : a. 6 log 12 + 6 log 3 Jawab : = 6 log 12 + 6 log 3 = 6 log 12 x 3 = 6 log 36 = 6 log 62 = 2 b. 5 log 12,5 + 5 log 2 Jawab : = 5 log 12,5 + 5 log 2 = 5 log 12,5 x 2 = 5 log 25 = 5 log 52 4) Bentuk a log b - a log c = a log b/c Contoh : Tentukan nilai dari : a. 5 log 100 - 5 log 4
6 Jawab : = 5 log 100 - 5 log 4 = 5 log 100/4 = 5 log 25 = 5 log 52 = 2 b. 2 log 5 - 2 log 2,5 Jawab : = 2 log 5 - 2 log 2,5 = 2 log 5/2,5 = 2 log 2 = 1 5) Bentuk n a log b = a log bn Contoh : Sederhanakan bentuk : a. 3 x log 2 Jawab : = 3 x log 2 = x log 23 = x log 8 b. 2 p log 5 – 3 p log 2 Jawab : = 2 p log 5 – 3 p log 2 = p log 52 – p log 23 = p log 25 – p log 8 = p log 25/8 c. 2 2 log 3 + 3 2 log 3 Jawab : = 2 2 log 3 + 3 2 log 3 = 2 log 32 + 2 log 33 = 2 log 9 + 2 log 27
7 = 2 log 9 x 27 = 2 log 243 6) Bentuk log = log Contoh : Tentukan penyelesaian dari : a. 8log 27 Jawab : = 8log 27 = 2 3 log 3 3 = 3 3 2log 3 = 1. 2log 3 = 2log 3 b. 16log 125 Jawab : = 16log 125 = 2 4 log 5 3 = 3 4 2log 5 c. 36log 16 + 216log 27 Jawab : = 36log 16 + 216log 27 = 6 2 log 2 4 + 6 3 log 3 3 = 4 2 6log 2 + 3 3 6log 3 =2. 6log 2 +1. 6log 3 = 6log 2 2 + 6log 3 = 6log 4 + 6log 3
8 = 6log 4 × 3 = 6log 12 7) Bentuk log = Contoh : Tentukan penyelesaian dari : a. 6 6log 5 Jawab : = 6 6log 5 = 5 b. √2 2log 25 Jawab : = 2 1 2 2 log 25 = 2 2 log 25 1 2 = 2 2log √25 = 2 2log 5 = 5 c. 273log2 Jawab : = 3 3 3 log 2 = 3 3log 2 3 = 3 3log 8 = 8 8) Bentuk a logb = log log Contoh :
9 Ubahlah bentuk 3 log7 ! Jawab : 3 log7 = log 7 log 3 D. Aplikasi sifat logaritma Contoh 1 : Diketahui 2 log3 = 1,52 dan 2 log5 = 2,64 maka tentukan nilai dari 2 log120 ! Jawab : Diketahui : 2 log3 = 1,52 2 log5 = 2,64 Ditanya 2 log120 ! 2 log120 = 2 log 3 x 5 x 8 (3 x 5 x 8 = 120) = 2 log 3 + 2 log 5 + 2 log 8 = 2 log 3 + 2 log 5 + 2 log 23 = 1,52 + 2,64 + 3 = 7, 16 Contoh 2 : Jika diketahui 3 = 1,59 2 dan 5 = 2,32 2 maka tentukan nilai dari : 60 2 ! Jawab : Angka yang menghasilkan 60 dari perkalian antara 3 x 5 x … ? 60 2 = 3 × 2 5 × 4 2 2
10 60 2 = 3 × 2 5 × 4 2 2 Urai 4 2 menjadi 2 2 2 sehingga : 60 2 = 3 × 2 5 × 2 2 2 2 60 2 = 3 + 2 5 + 2 2 60 2 = 1,59 + 2,32 + 2 60 2 = 5,91 E. Persamaan Logaritma 1. a log f(x) = a log p , maka f(x) = p Contoh : Tentukan penyelesaian dari 3 log 2x-7 = 3 log 25 ! Jawab : 3 log 2x-7 = 3 log 25 Ingat sifat : a log f(x) = a log p maka f(x) = p sehingga, Diketahui : f(x) = 2x – 7 dan p = 25 f(x) = p 2x-7 =25 2x = 25 + 7 2x = 32 X = 32/2 X = 16 2. a log f(x) = a log g(x) , maka f(x) = g(x)
11 contoh : Tentukan penyelesaian dari 2 log 5x + 9 = 2 log 2x – 3 ! Jawab : 2 log 5x + 9 = 2 log 2x – 3 Ingat sifat : a log f(x) = a log g(x) , maka f(x) = g(x) sehingga, Diketahui : F(x) = 5x + 9 dan g(x) = 2x – 3 f(x) = g(x) 5x + 9 = 2x – 3 5x -2x + 9 = -3 3x + 9 = -3 3x = -3 – 9 3x = -12 X = -12/3 X = -4 3. a log f(x) = b log f(x) a>0 a≠ 0 a ≠b maka : f(x) = 1 contoh : Tentukan penyelesaian dari 5 log (3x – 14) = 7 log (3x – 14) ! Jawab :
12 a = 5 memenuhi a > 0 dan a≠ 0 b = 7 memenuhi a ≠ b maka f(x) = 1 diketahui f(x) = 3x – 14 sehingga, f(x) = 1 3x – 14 = 1 3x = 1 + 14 3x = 15 X = 15/3 X = 5 4. h(x)log f(x) = h(x)log g(x) h(x) > 0 h(x) ≠ 0 maka f(x) = g(x) Contoh : Tentukan penyelesaian dari x+3log (x + 2) = x+3log(3x – 2) ! Jawab : h(x) = x + 3
13 f(x) = x + 2 g(x) = 3x – 2 maka f(x) = g(X) f(x) = g(x) x+2 = 3x – 2 x-3x = -2-2 -2x = -4 X = -4/-2 X = 2 Bukti bahwa h(x) > 0 dan h(x) ≠ 0 H(x) = x+3 Subtitusi x = 2 sehingga, H(2) = 2+2 = 4 (terbukti) 5. P[a log2 f(x)]+ Q[a log f(x)] + C = 0 P[a log f(x)]2+ Q[a log f(x)] + C = 0 Misalkan a log f(x) = x sehingga, P[a log f(x)]2+ Q[a log f(x)] + C = 0 Px2 +Qx +C = 0 Contoh :
14 Tentukan nilai x dari persamaan logaritma 3 log2 x + 5.3 log x - 6 = 0 ! Penyelesaian : Missal 3 log x = p Sehingga : 3 log2 x = p2 5.3 log x = 5.p = 5p Maka persamaannya menjadi : 3 log2 x + 5.3 log x - 6 = 0 p 2 + 5p - 6 = 0 cara mencari akar-akar dari p2 + 5p - 6 = 0 sebagai berikut : Ambil angka 6 : 6 berasal dari 1x6 2x3 3x2 6x1 Ambil angka 5 : 5 berasal dari 6-1 6-1 = 5
15 Sehingga : p 2 + 5p - 6 = 0 (p+6)(p-1) P = -6 dan p = 1 Karena p = 3 log x Jadi : P = -6 3 log x = -6 X = 3-6 X = 1/36 X = 1/729 P = 1 3 log x = 1 X = 31 X = 3
16 BAB 2 FUNGSI A. Menyatakan fungsi Ada 3 cara menyatakan fungsi sebagai berikut : 1. Diagram panah Contoh : Diketahui himpunan A = (1,2,3) dan himpunan B = (1,2,3,4) dengan “lebih kecil 1 angka” merupakan hubungan antar A dan B, nyatakan dalam bentuk diagram panah ! Jawab : A B 1 1 2 2 3 3 4 2. Himpunan berurut Dengan melihat point a, kita bisa menyatakan himpunan berurut, dengan cara memasangkan anggota yang ada di A dan di B, sebagai berikut : Hb = (1,2)(2,3)(3,4) 3. Grafik fungsi Dengan melihat point b, maka kita bisa menggambar grafik fungsinya sebagai berikut :
17 A 3 2 1 0 1 2 3 4 B B. Mengetahui Domain, Kodomain dan Range fungsi Contoh 1 : Diketahui himpunan A = (1,2,3) dan himpunan B = (1,2,3,4) dengan “lebih kecil 1 angka” merupakan hubungan antar A dan B, manakah domain, kodomain dan range fungsinya ! Jawab : Lihat pada diagram panah point 1a : - Anggota pada A : (1,2,3) merupakan domain - Anggota pada B : (1,2,3,4) merupakan kodomain - Sedangkan hasil pemetaan dari A dan B yaitu A-> B : (2,3,4) adalah range fungsi Contoh 2 : Tentukan domain dari f(x) = 1 2+3−10 ! Jawab :
18 - Jika bentuk 1 () maka g(x) ≠ 0 - Cari akar-akar g(x) nya g(x) ≠ 0 2 + 3 − 10 ≠ 0 (x + 5)(x – 2) ≠ 0 x ≠ −5 x ≠ 2 Sehingga, D = (x ≠ −5 , x ≠ 2 , x ∈ ) Contoh 3 : Tentukan Range dari f(x) = 2+5 −6 ! Jawab : - Penyebut ≠ 0 - Ubah f(x) menjadi y - Ubah y menjadi x - Ubah x menjadi f(y) () = 2 + 5 − 6 = 2 + 5 − 6 ( − 6) = 2 + 5 − 6 = 2 + 5
19 − 2 = 5 + 6 ( − 2) = 5 + 6 ( − 2) = 6 + 5 = 6 + 5 − 2 () = 6 + 5 − 2 Setelah membentuk f(y), berikutnya Penyebut ≠ 0, sehingga, − 2 ≠ 0 ≠ 0 + 2 ≠ 2 Jadi, Range = ( ≠ 2, ∈ ) C. Nilai fungsi Contoh 1 : Jika diketahui f(x) = 2x + 4 , maka tentukan : 1. F(4) 2. F(1/2) 3. F(x-5) Jawab : 1. F(4) F(x) = 2x + 4 F(4) = 2(4) + 4
20 F(4) = 8 + 4 F(4) = 12 2. F(1/2) F(x) = 2x + 4 F(1/2) = 2(1/2) + 4 F(1/2) = 1 + 4 F(1/2) = 5 3. F(x-5) F(x) = 2x + 4 F(x-5) = 2(x-5) + 4 F(x-5) = 2x – 10 + 4 F(x-5) = 2x – 6 Contoh 2 : Jika diketahui f(x) = 2−5 −2 , maka tentukan : 1. F(3) 2. F(4x-1) Jawab : 1. F(3) f(x) = 2−5 −2 f(2) = 2(3)−5 (3)−2 f(2) = 6−5 1 f(2) = 1 2. F(4x-1) f(x) = 2−5 −2
21 f(x) = 2(4−1)−5 (4−1)−2 f(x) = 8−2 −5 4−1−2 f(x) = 8−7 4−3 D. Operasi Al jabar Fungsi Terdapat 4 operasi yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. 1. Penjumlahan Contoh : Jika diketahui f(x) = 2x + 7 dan g(x) = 5x – 3 maka tentukan : a) (f+g)(x) Jawab : Diketahui : f(x) = 2x + 7 dan, g(x) = 5x – 3 jadi, (f+g)(x) = f(x) + g(x) = (2x + 7) + (5x – 3) = 2x + 7 + 5x – 3 = 2x + 5x + 7 – 3 = 7x + 4 b) (f+g)(5) Untuk mengerjakan soal ini, patokannya adalah jawaban dari nomor 1) Sehingga,
22 (f+g)(x) = 7x + 4 (f+g)(5) = 7(5) + 4 = 35 + 4 = 39 Contoh 2 : Jika diketahui f(x) = 5+7 6 dan g(x) = 3 5 , maka tentukan penyelesaian dari (f+g)(x) ! Jawab : Diketahui : f(x) = 5+7 6 dan, g(x) = 3 5 jadi, (f+g)(x) = f(x) + g(x) = ( 5+7 6 ) + ( 3 5 ) = 5+7 6 + 3 5 = 5(5+7)+6(3) 6.5 = 25+35 +18 30 = 25 +18 +35 30 = 43 +35 30 2. Pengurangan Contoh : Jika diketahui f(x) = 7x – 9 dan g(x) = 10x + 8 maka tentukan :
23 a) (f-g)(x) Jawab : Diketahui : f(x) = 7x – 9 dan g(x) = 10x + 8 jadi, (f-g)(x) = f(x) – g(x) = (7x – 9) – (10x + 8) = 7x – 9 – 10x – 8 = 7x – 10x – 9 – 8 = -3x – 17 b) (f-g)(5) Jawab : Untuk mengerjakan soal ini, patokannya adalah jawaban dari nomor 1) Sehingga, (f-g)(x) = -3x – 17 (f-g)(5) = -3(5) – 17 = -15 – 17 = - 32 Contoh 2 : Jika diketahui f(x) = 9−5 4 dan g(x) = 2x - 3 , maka tentukan penyelesaian dari (f-g)(x) ! Jawab : Diketahui : f(x) = 9−5 4 dan, g(x) = 2x - 3
24 jadi, (f-g)(x) = f(x) - g(x) = ( 9−5 4 ) – (2x – 3) = 9−5 4 − 2 + 3 = (9−5)−4(2)+4(3) 4 = 9−5−8+12 4 = 9−8−5+12 4 = +7 4 E. Contoh aplikasi operasi aljabar fungsi Contoh : Diketahui f(x) = x2 – 2 hitunglah f(x2 + 1) + f(x2 ) – f(1) ! JAWAB : Diketahui f(x) = x2 – 2 Sehingga: : f(x2 + 1) + f(x2 ) – f(1) : ((x2 + 1)2 – 2) + ((x2 ) 2 – 2) – ((1)2 – 2) : ((x2 + 1) (x2 + 1) – 2 ) + (x2x2 – 2) – (1– 2 ) : ((x2 .x2 + 1x2 + 1x2 +1.1) – 2 ) + (x4 – 2) – (-1) : ((x2+2 + 2 x2 + 1) – 2) + (x4 – 2 ) + 1 : ((x4 + 2 x2 + 1) – 2) + (x4 – 2 ) + 1 : (x4 + 2 x2 + 1 – 2) + x4 – 2 + 1 : (x4 + 2 x2 – 1) + x4 – 1 : x4 + 2 x2 – 1 + x4 – 1 : x4 + x4 + 2 x2 – 1 – 1 : 2x4 + 2 x2 – 2
25 F. Komposisi fungsi Contoh : Diketahui f(x) = 2x + 5 dan g(x) = 4x maka tentukan : 1. (f o g)(x) 2. (g o f)(x) 3. (f o g)(2) JAWAB : 1. (f o g)(x) … ? Diketahui : f(x) = 2x + 5 g(x) = 4x (f o g)(x) = f(g(x)) = f (4x) = 2 (4x) + 5 = 8x + 5 2. (g o f)(x)…? Diketahui : f(x) = 2x + 5 g(x) = 4x (g o f)(x) = g(f(x)) = g (2x + 5) = 4 (2x + 5)
26 = 8x + 20 3. (f o g)(2) … ? Diketahui : (f o g)(x) = 8x + 5 (f o g)(2) = 8 (2) + 5 = 16 + 5 = 21 G. Invers Fungsi f(x) = y x = f(y) f(y) = f’(x) Contoh : 1. Diketahui f(x) = x + 4 maka tentukan f’(x) ! 2. Diketahui g(x)= 2x - 5 maka tentukan g’(x) ! Jawab : 1. f(x) = x + 4 y = x + 4 y – 4 = x x = y – 4 f(y) = y – 4 f’(x) = x – 4 2. g(x) = 2x – 5 y = 2x – 5
27 y + 5 = 2x 2x = y + 5 x = +5 2 g(y) = +5 2 g’(x) = +5 2 H. Invers komposisi 2 fungsi Ingat : (f o g)(x) = y x = (f o g)(y) (f o g)(y) = (f o g)-1 (x) Contoh : Diketahui f(x) = 2x + 5 dan g(x) = x + 2 , tentukan (f o g)-1 (x) ! Jawab : (f o g)(x) = f(g(x)) (f o g)(x) = f(x + 2) (f o g)(x) = 2 (x + 2) + 5 (f o g)(x) = 2x + 4 + 5 (f o g)(x) = 2x + 9 (f o g)(x) = 2x + 9 y = 2x + 9 y – 9 = 2x 2x = y – 9 x = −9 2
28 (f o g)(y) = −9 2 (f o g)-1 (x) = −9 2 I. Komposisi 3 fungsi Bentuk : (f o g o h)(x) Langkah 1 : Urai bentuk (g o h)(x) = g(h(x)) Langkah 2 Urai bentuk (f o g o h)(x) = f o (g o h)(x) Contoh : Jika f(x) = x + 1 , g(x) = 2x dan h(x) = 2x + 2 , maka tentukan : 1. (f o g o h)(x) 2. (f o g o h)(2) Jawab : 1. Diketahui : f(x) = x + 1
29 g(x) = 2x h(x) = 2x + 2 langkah 1 : Urai (g o h)(x) (g o h)(x) = g(h(x)) = g(2x + 2) = 2 (2x + 2) = 4x + 4 Langkah 2 : (f o g o h)(x) = f o (g o h)(x) = f (4x + 4) = (4x + 4) + 1 = 4x + 5 2. Diketahui : (f o g o h)(x) = 4x + 5 Sehingga, (f o g o h)(2) = 4(2) + 5 = 8 + 5 = 13
30 BAB 3 NILAI MUTLAK A. Mengenal Nilai Mutlak 1. Pengertian Nilai mutlak Nilai mutlak merupakan satuan nilai yang selalu bersifat positif, nilai mutlak menandakan jarak sebuah titik dari titik awal yaitu 0, Adapun sifat dan contohnya sebagai berikut : Sifat : || yaitu a > 0 |−| yaitu a <0 Contoh : |6| = 6 nilai mutlak 6 yaitu 6, karena jarak tidak ada yang bernilai negatif |−6| = 6 nilai mutlak -6 yaitu 6, hal ini juga menandakan jarak tidak ada yang bernilai negatif Begitupun dengan contoh-contoh lainnya, baik yang memuat
31 angka positif ataupun negative maka nilai mutlak dari angka tersebut akan selalu positif. 2. Operasi Nilai Mutlak A. Penjumlahan dan pengurangan | − | = | − | = Adapun contoh operasi sederhana nilai mutlak ini yaitu pada penjumlahan dan pengurangan, sifat pada operasi ini menyatakan bahwasannya | − | = | − | = dengan syarat a dan b berupa bilangan bulat dan memperoleh hasil dari pengoperasiannya berupa nilai c yang positif, contohnya sebagai berikut : |2 − 5| = |5 − 2| = |3| = 3 pada operasi tersebut dinyatakan bahwasannya 2-5 adalah -3, maka nilai mutlak dari -3 yaitu 3 positif, atau bisa Langkah pengerjaannya dibalik dengan cara 5-2 yaitu 3 kemudian, menghasilkan nilai mutlak dari 3 yaitu 3 positif. |9 − 2| = |2 − 9| = |−7| = 7 pada operasi tersebut dinyatakan bahwasannya 9-2 adalah 7, maka nilai mutlak dari 7 yaitu 7 positif, atau bisa Langkah
32 pengerjaannya dibalik dengan cara 2-9 yaitu -7 kemudian, menghasilkan nilai mutlak dari -7 yaitu 7 positif. |7 + 3| = |3 + 7| = |10| = 10 pada operasi tersebut dinyatakan bahwasannya 7+3 adalah 10, maka nilai mutlak dari 10 yaitu 10 positif, atau bisa Langkah pengerjaannya dibalik dengan cara 3+7 yaitu 10, kemudian menghasilkan nilai mutlak dari 10 yaitu 10 positif. |−2 + 9| = |9 + (−2)| = |9 − 2| = |7| = 7 pada operasi tersebut dinyatakan bahwasannya -2+9 adalah 7, maka nilai mutlak dari 7 yaitu 7 positif, atau bisa Langkah pengerjaannya dibalik dengan cara 9-2 yaitu 7, kemudian menghasilkan nilai mutlak dari 7 yaitu 7 positif. |−2 − 6| = |−6 − 2)| = |−8| = 8 pada operasi tersebut dinyatakan bahwasannya -2-6 adalah -8, maka nilai mutlak dari -8 yaitu 8 positif, atau bisa Langkah pengerjaannya dibalik dengan cara -6-2 yaitu -8, kemudian menghasilkan nilai mutlak dari -8 yaitu 8 positif. |9 + (−6)| = |9 − 6)| = |−6 + 9)| = |3| = 3
33 pada operasi tersebut dinyatakan bahwasannya 9+(-6)=9-6 adalah 3, maka nilai mutlak dari 3 yaitu 3 positif, atau bisa Langkah pengerjaannya dibalik dengan cara -6+9 yaitu 3, kemudian menghasilkan nilai mutlak dari 3 yaitu 3 positif. B. Penjumlahan dan pengurangan | − | = − Adapun untuk operasi | − | = − berlaku jika a merupakan bilangan akar ataupun bentuk lain yang bukan bilangan bulat dan nilainya lebih besar daripada b sebagai contoh berikut ini : |√5 − 2| = √5 − 2 Pada operasi tersebut hasilnya tetap karena nilai dari √5 =2,24 yaitu lebih besar dari pada 2, sehingga nilai mutlak dari √5 − 2 yaitu √5 − 2. | − 3| = − 3 Pada operasi tersebut hasilnya tetap karena nilai dari = 3,14 yaitu lebih besar dari pada 3, sehingga nilai mutlak dari − 3 yaitu − 3.
34 |10 − √3| = 10 − √3 Pada operasi tersebut hasilnya tetap karena nilai dari √3 = 1,73 yaitu lebih kecil dari pada 10, sehingga nilai mutlak dari 10 − √3 yaitu 10 − √3. |7 − | = 7 − Pada operasi tersebut hasilnya tetap karena nilai dari = 3,14 yaitu lebih kecil dari pada 7, sehingga nilai mutlak dari 7 − yaitu 7 − . |10 + √3| = 10 + √3 Pada operasi tersebut hasilnya akan selalu tetap tanpa harus membandingkan lebih besar atau lebih kecilnya sebuah bilangan, karena operasinya adalah penjumlahan sehingga nilai mutlak dari 10 + √3 yaitu 10 + √3. | + 3| = + 3 Pada operasi tersebut hasilnya akan selalu tetap tanpa harus membandingkan lebih besar atau lebih kecilnya sebuah bilangan, karena operasinya adalah penjumlahan
35 sehingga nilai mutlak dari + 3 yaitu + 3. C. Contoh dan penyelesaian Penjumlahan dan pengurangan Tentukan hasil dari : a. |−11| = b. |−2 + 19| = ⋯ c. |−3 − 5| + |−5 + 9| = ⋯ d. ||−5 − 5| + |−2 + 4|| − ||2 − 3| − |7 − 9|| = ⋯ e. |12 − √9| =… Jawab : a. |−11| =11 b. |−2 + 19| = |19 − 2| = 17 c. |−3 − 5| + |−5 + 9| = |−8| + |4| = 8 + 4 = 12 d. ||−5 − 5| + |−2 + 4|| − ||2 − 3| − |7 − 9|| = ||−10| + |2|| − ||−1| − |−2|| = |10 + 2| − |1 − 2| = |12| − |−1| = 12 − 1 = 11 e. |12 − √9| = 12 − √9
36 B. Persamaan Nilai Mutlak 1. Mencari penyelesaian bentuk | − | = Adapun penyelsaian bentuk mutlak dari | − | = yaitu diantaranya : 1. Mencari penyelesaian dengan bentuk ax-b = c 2. Mencari penyelesaian dengan ax-b = -c Contoh soal dan penyelesaiannya sebagai berikut : Tentukan penyelesaian dari : a. |3 − 5| = 7 b. 2|4 − 6| = 8 c. |4 − 2| − 9 = 11 d. |2 − 7| = −7 Jawab : a. | − | = A. 3x – 5 = 7 3x = 7 + 5 3x = 12 X = 12/3 X = 4
37 B. 3x – 5 = -7 3x = -7 + 5 3x = -2 X = -2/3 b. | − | = | − | = | − | = 1. 4x – 6 = 4 4x = 4 + 6 4x = 10 X = 10/4 X = 5/2 2. 4x – 6 = -4 4x = -4 + 6 4x = 2 X = 2/4 X = ½
38 c. | − | − = | − | = + | − | = 1. 4x – 2 = 20 4x = 20 + 2 4x = 22 X = 22/4 X = 11/2 2. 4x – 2 = -20 4x = -20 + 2 4x = -18 X = -18/4 X = - 9/2 d. | − | = − Untuk bentuk ini, karena C nya adalah negatif yaitu -7, maka tidak memiliki penyelesaian, karena dalam nilai mutlak tidak ada yang bernilai akhir negatif atau C negatif.
39 2. Mencari penyelesaian bentuk | − | = | − | Adapun penyelsaian bentuk mutlak dari | − | = | − | yaitu diantaranya : 1. Mencari penyelesaian dengan bentuk ax-b = cx - d 2. Mencari penyelesaian dengan ax-b = - (cx – d ) Contoh soal dan penyelesaiannya sebagai berikut : Tentukan penyelesaian dari :| − | = | − | Jawab : | − | = | − | A. 7x – 6 = 2x – 5 7x – 2x – 6 = -5 5x – 6 = -5 5x = -5 + 6 5x = 1 X = 1/5 B. 7x – 6 = - (2x – 5)
40 7x – 6 = - 2x + 5 7x + 2x – 6 = 5 9x – 6 = 5 9x = 5 + 6 9x = 11 X = 11/9 C. Pertidaksamaan Nilai Mutlak 1. Mencari penyelesaian bentuk |ax-b|≤ c Adapun penyelesaian bentuk |ax-b|≤ c yaitu dengan cara sebagai berikut : |ax-b|≤ c = − ≤ − ≤ c = − + ≤ ≤ c + b = −+ ≤ ≤ c+b Catatan : jika tandanya adalah < maka penyelesaianpun sama seperti langkah di atas. Contohnya yaitu sebagai berikut : Tentukan himpunan penyelesaian dari : |3 − 6| ≤ 9 !
41 Jawab : |3 − 6| ≤ 9 −9 ≤ 3 − 6 ≤ 9 −9 + 6 ≤ 3 ≤ 9 + 6 −3 ≤ 3 ≤ 15 −3 3 ≤ ≤ 9 3 −1 ≤ ≤ 3 sehingga Himpunan penyelesaiannya yaitu −1 ≤ ≤ 3 2. Mencari penyelesaian bentuk |ax-b|≥ Adapun penyelesaian bentuk |ax-b|≥c yaitu dengan cara sebagai berikut : |ax-b| ≥ c : 1. ax – b ≥ 2. ax – b ≤ Catatan : jika tandanya adalah > maka penyelesaianpun sama seperti langkah di atas.
42 Contohnya yaitu sebagai berikut : Tentukan himpunan penyelesaian dari : |2 − 8| ≥ 10 ! Jawab : |2 − 8| ≥ 10 1. 2x – 8 ≥ 10 2x ≥ 10 + 8 2x ≥ 18 X ≥ 18 2 X ≥ 9 2. 2x – 8 ≤ −10 2x ≤ −10 + 8 2x ≤ −2 X ≤ − 2 2 X ≤ −1 Sehingga himpunan penyelesaiannya yaitu X ≥ 9 X ≤ −1
43 DAFTAR PUSTAKA Sukino, 2013, Matematika untuk SMA/MA kelas X jilid 1A kelompok wajib, Jakarta : Penerbit Erlangga. Sukino, 2016, Matematika untuk SMA/MA kelas X jilid 1 kelompok peminatan matematika dan ilmu ilmu alam, Jakarta : Penerbit Erlangga. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2017, Matematika Kelas X SMA/MA/SMA/MAK Edisi Revisi, Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
44 RIWAYAT PENULIS Muhammad Abdul Jabar Alkarim dilahirkan di Desa Bugel Kecamatan Patrol, Kabupaten Indramayu, pada tanggal 1 Januari 1994. Penulis merupakan anak Pertama dari Empat bersaudara dari pasangan Bapak Karsim dan Ibu Mahmudah. Penulis memulai pendidikan di SD Negeri Bugel 2 dan lulus pada tahun 2005, pada tahun yang sama 2005 penulis melanjutkan ke SMP Negeri 1 Indramayu selesai pada tahun 2008 dan MA Negeri Indramayu selesai pada tahun 2011. Pada tahun 2011 penulis melanjutkan pendidikan ke jenjang Sarjana (S1) Program Studi Pendidikan Matematika di Fakultas Keguruan dan Ilmu pendidikan Universitas Wiralodra Indramayu selesai pada tahun 2015. Kemudian pada tahun 2017 penulis melanjutkan studi pascasarjana nya di Universitas Indraprasta PGRI Jakarta pada Program Studi Pendidikan
45 Matematika IPA (MIPA) dan lulus pada tahun 2020. Sebelumnya penulis Pernah mengajar di beberapa sekolah diantaranya yaitu MAN 1 Indramayu tahun 2015-2016, SMP Bayt tamyiz 2016-2017 , MTs. Ma’arif An Nur tahun 2015- 2018 dan selanjutnya yaitu menjadi salah satu Guru di MAN 1 Kabupaten Bekasi 2019 – sekarang.