TEKS GARIS SUDUT BULAT

BAB2GARISAN, SUDUT DAN
BULATAN

• Melukis dan membahagi garisan dengan kaedah geometri
• Melukis pelbagai sudut dengan kaedah geometri
• Melukis bulatan mengikut ciri-ciri yang diberi

Standard
Kandungan

“Eye on Malaysia” telah dipasang dan beroperasi di Taman Tasik
Titiwangsa, Kuala Lumpur sebagai suatu tarikan pelancong sempena
Tahun Melawat Malaysia 2007. Ia mempunyai 42 unit gondola yang
boleh memuatkan lapan orang setiap satu unit dan setiap pusingan
mengambil masa 12 minit. Untuk setiap pusingan, pengunjungnya dapat
menyaksikan pemandangan 360° sejauh 12 km persegi sekitar bandar
raya. Roda Ferris yang mencapai ketinggian 60 m ini kemudiannya
dipindahkan ke Melaka pada tahun 2008.
Dapatkah anda melihat garisan, sudut dan bulatan dalam reka
bentuk “Eye on Malaysia” ini?

36

37

Grafik Komunikasi Teknikal | Tingkatan 4

2.1 Melukis dan Membahagi Garisan dengan
Kaedah Geometri

Standard Garisan Serenjang
Pembelajaran
Garisan serenjang ialah dua garisan yang bersilang di suatu titik
Murid boleh: pada sudut tepat, iaitu 900.
• melukis garisan Kaedah melukis garisan serenjang menggunakan kaedah
geometri pada satu titik di garisan dan melukis garisan serenjang
serenjang pada pada satu titik di luar garisan ditunjukkan dalam Rajah 2.1.1 dan
-- satu titik di garisan Rajah 2.1.2.
-- satu titik di luar garisan (a) Melukis garisan serenjang pada satu titik di garisan

dengan kaedah geometri X
• melukis garisan selari
Diberi satu garisan dan titik X.
dengan kaedah geometri
• melukis dan membahagi

dua sama garisan dengan
kaedah geometri
• melukis dan membahagi
garisan kepada beberapa
bahagian yang sama
dengan kaedah geometri
• melukis dan membahagi
garisan mengikut nisbah
tertentu dengan
kaedah geometri

Langkah 1 Langkah 2

C

A XB A XB

Dengan membina lengkok yang memotong Dengan membina lengkok berjejari yang sama
garisan berpusat di X, titik di A dan B diperoleh. berpusat di A dan B, titik C diperoleh.

Langkah 3

C

AX B

Lukiskan garisan serenjang X-C.

Rajah 2.1.1 Kaedah melukis garisan serenjang pada satu titik di garisan.

38

Bab 2 | Garisan, Sudut dan Bulatan

(b) Melukis garisan serenjang pada satu titik di luar garisan X

Langkah 1

X

Diberi satu garisan dan titik X. AB

Berpusat di X bina lengkok yang memotong
di garisan. Titik A dan B diperoleh.

Langkah 2 Langkah 3

X X

AB AB

C C

Dengan membina lengkok berjejari sama Lukis garisan serenjang X-C.
berpusat di A dan B, titik persilangan C diperoleh.

Rajah 2.1.2 Kaedah melukis garisan serenjang pada satu titik di luar garisan.

Garisan Selari

Garisan selari bermaksud dua atau lebih garisan yang mempunyai jarak serenjang yang sama
di sepanjang garisan. Kaedah melukis garisan selari dengan kaedah geometri ditunjukkan dalam
Rajah 2.1.3.

Langkah 1

t

A B AB

Diberi garisan AB dan jarak t. Lukis dua garisan serenjang pada garisan AB.

39

Grafik Komunikasi Teknikal | Tingkatan 4

Langkah 2 D Langkah 3 D

C C

tt t

A BA B

Bina lengkok dengan jejari t yang bersilang Lukis garisan CD. Garisan CD adalah selari
pada titik C dan D. dengan garisan AB.

Rajah 2.1.3 Kaedah melukis garisan selari.

Membahagi Garisan kepada Dua Bahagian yang Sama Panjang

Langkah 1 C

AB AB

Diberi satu garisan AB. D

Berpusat di A dan B bina dua lengkok berjejari
sama. Titik persilangan C dan D diperoleh.

Langkah 2 C

AB

D

Lukiskan garisan CD yang membahagi
serenjang AB.

Rajah 2.1.4 Kaedah melukis membahagi garisan kepada dua bahagian yang sama panjang.
40

Bab 2 | Garisan, Sudut dan Bulatan

Membahagi Garisan kepada Beberapa Bahagian yang Sama

Langkah 1

AB AB

Diberi satu garisan AB. Bahagikan kepada lima Bina satu garisan condong dari titik A.
bahagian yang sama.
Langkah 3
Langkah 2
5
5 4
4 3
3 2
2 1
1

AB A B

Bahagikan garisan condong kepada lima Bina garisan dari B ke 5.
bahagian yang sama besar menggunakan
jangka lukis.

Langkah 4 Langkah 5

5 0 1 2 34 5
4 AB
3
2 Garisan AB telah dibahagikan kepada lima
1 bahagian yang sama.

AB

Bina garisan yang selari dengan garisan B5
pada titik 1, 2, 3 dan 4. Lima bahagian yang
sama diperoleh.

Rajah 2.1.5 Kaedah melukis membahagi garisan kepada beberapa bahagian yang sama.

41

Grafik Komunikasi Teknikal | Tingkatan 4

Membahagi Garisan Mengikut Nisbah

Langkah 1

AB AB

Diberi satu garisan AB. Bahagikan kepada Berpusat di A bina garisan condong.
nisbah 2:3.
Langkah 3
Langkah 2
5
5 4
4 3
3 2
2 1
1

AB A B

Bahagikan garisan condong kepada lima Bina garisan dari B ke 5.
bahagian yang sama panjang menggunakan
jangka lukis. Langkah 5

Langkah 4

5
4
3
2
1

A BA B

23 23

Bina garisan yang selari dengan garisan B5 Garisan AB telah dibahagikan kepada nisbah 2:3.
pada titik 2. Pembahagian dengan nisbah 2:3
diperoleh.

Rajah 2.1.6 Kaedah melukis membahagi garisan mengikut nisbah.

42

Bab 2 | Garisan, Sudut dan Bulatan

2.1

1. Jika satu garisan panjangnya 50 mm dibahagikan kepada 11 bahagian yang sama, apakah
kaedah yang sesuai digunakan?

2. Bina satu garisan 80 mm dan bahagikan kepada tujuh bahagian yang sama.
3. Diberi satu garisan lurus dengan panjang 120 mm. Bahagikan kepada dua bahagian dengan

nisbah 3:4.
4. Lukis semula Rajah 1 di bawah dengan menggunakan kaedah geometri. Diberi jarak AG=40 mm,

GE=60 mm AB=BC, CD=DH, garisan FH adalah serenjang dengan garisan FE dan nisbah
CD:DE ialah 1:3.

AB C

I HD

G FE
Rajah 1

5. Lukis semula Rajah 2 berikut dengan menggunakan kaedah geometri. AB selari dengan DC
dan BC adalah separuh bulatan.

AB

30

D C
60

Rajah 2

43

Grafik Komunikasi Teknikal | Tingkatan 4

2.2 Melukis Pelbagai Sudut dengan Kaedah Geometri

Standard Sudut terbentuk apabila berlaku persilangan di antara dua
Pembelajaran garisan. Satu bulatan mempunyai sudut 360°, manakala satu garis
lurus pula mempunyai sudut 180°.
Murid boleh:
• menamakan pelbagai Mengenali Pelbagai Jenis Sudut

jenis sudut Sudut boleh dibahagikan kepada enam jenis utama, iaitu:
-- sudut tirus
-- sudut tepat (a) Sudut Tirus (b) Sudut Tepat
-- sudut cakah (x < 90°) (x = 90°)
-- sudut penggenap
-- sudut refleks x° x°
-- sudut pelengkap
• membahagi dua sama sudut (c) Sudut Cakah (d) Sudut Penggenap
dengan kaedah geometri (x > 90°) (x + y = 180°)
• membina pelbagai sudut
dengan menggunakan
sesiku set
• memindahkan sudut dengan
kaedah geometri
• menghasilkan semula
gambar rajah yang
mengandungi beberapa
garisan dan sudut dengan
tepat dan jitu

x° y°
x°

(e) Sudut Refleks (f) Sudut Pelengkap
(180° < x < 360°) (x + y = 90°)
x°
x°

y°

Rajah 2.2.1 Pelbagai jenis sudut.

44

Bab 2 | Garisan, Sudut dan Bulatan

Membahagi Dua Sama Sudut Langkah 1 CCC

CC EEE

AA BB AAA A, bina lenDDDgkok yang BBB
F
Diberi sudut ∠BAC. Berpusat di menyilang
sudut ∠BAC. Titik D dan E diperoleh.

Langkah 2 C Langkah 3 C

E EF

AB AB
D D

Dengan membina lengkok berjejari sama di D Lukiskan garisan AF. Sudut ∠BAF=∠CAF
dan C, titik F diperoleh. diperoleh.

Rajah 2.2.2 Kaedah membahagi dua sama sudut.

Melukis Pelbagai Sudut dengan Menggunakan Sesiku Set

Melukis sudut 30°, 60° dan 75° dengan menggunakan sesiku set ditunjukkan dalam Rajah 2.2.3 (a),
Rajah 2.2.3 (b) dan Rajah 2.2.3 (c).

(a) Melukis sudut 30° Langkah 1

A 60°

30°
A

Diberi garisan dan titik A. Letakkan sesiku 30° di atas sesiku-T. Bina
garisan dari titik A.
Langkah 2

A 30°
Garisan yang bersudut 30° siap dilukis.

Rajah 2.2.3 (a) Kaedah melukis sudut 30° menggunakan sesiku set.

45

Grafik Komunikasi Teknikal | Tingkatan 4 Langkah 1

(b) Melukis sudut 60° 30°
A
A
60°

Diberi garisan dan titik A. Letakkan sesiku 60° di atas sesiku-T. Bina
garisan dari titik A.
Langkah 2

A 60°
Garisan yang bersudut 60° siap dilukis.

Rajah 2.2.3 (b) Kaedah melukis sudut 60° menggunakan sesiku set.

(c) Melukis sudut 75° Langkah 1

60°

A 30°
A 45°

Diberi garisan dan titik A. Letakkan sesiku 30° dan 45° di atas sesiku-T
seperti pada rajah. Bina garisan dari titik A.
Langkah 2

A 75° Pelbagai sudut selain 30°, 45°,
Garisan bersudut 75° siap dilukis. 60° dan 75° boleh juga dibina
menggunakan gabungan sesiku
set. Contohnya sudut 105°
adalah gabungan sudut 45°
dan 60°.

Rajah 2.2.3 (c) Kaedah melukis sudut 75° menggunakan sesiku set.

46

Bab 2 | Garisan, Sudut dan Bulatan

1. Bina sudut berikut menggunakan sesiku set. (b) 45°
(a) 30° (d) 75°
(c) 60°

2. Namakan tiga lagi sudut lain yang boleh dibina menggunakan sesiku set.

Melukis Pelbagai Sudut dengan Kaedah Geometri

Melukis sudut 60°, 30°, 90°, dan 45° dengan menggunakan kaedah geometri ditunjukkan dalam Rajah
2.2.4 (a), Rajah 2.2.4 (b), Rajah 2.2.4 (c) dan Rajah 2.2.4 (d).

(a) Melukis sudut 60° Langkah 1

A J

Diberi satu garisan dan titik A. AB

Langkah 2 Dengan membina lengkok berjejari J berpusat
di A, titik B diperoleh.
C
Langkah 3

C

J 60º B
AB A

Dengan membina lengkok berjejari J berpusat Dengan membina garisan AC, ∠BAC 60°
di B, titik C diperoleh. diperoleh.

Rajah 2.2.4 (a) Kaedah melukis sudut 60°.

47

Grafik Komunikasi Teknikal | Tingkatan 4 Langkah 1 C

(b) Melukis sudut 30°

A A B

Diberi satu garisan dan titik A. ∠BAC 60° dibina.

Langkah 2 Langkah 3

C C

E EF

A DB A DB
Dengan membina lengkok berpusat di A dan Dengan membina lengkok yang berjejari sama
menyilang sudut ∠BAC, titik D dan E diperoleh. berpusat di D dan E, titik F diperoleh.

Langkah 4 C

EF Pelbagai sudut berasaskan sudut 60° dan 90°

boleh dibina menggunakan kaedah geometri.

Contohnya, sudut 30° dan 45° adalah hasil

bahagi dua sama sudut 60° dan 90°. Sudut 22.5°

A DB hasil bahagi dua sama sudut 45° manakala, sudut
67.5° adalah hasil tambah 45° dan 22.5°.

Dengan membina garisan AF yang membahagi
dua sudut ∠BAC, sudut 30° diperoleh.
∠BAF =∠CAF.
Rajah 2.2.4 (b) Kaedah melukis sudut 30°.

(c) Melukis sudut 90° Langkah 1

A B AC

Diberi garisan dan titik A. Dengan membina lengkok berpusat di A yang
memotong garisan, titik B dan C diperoleh.
48

Bab 2 | Garisan, Sudut dan Bulatan

Langkah 2 D Langkah 3 D

BAC B AC

Dengan melukis lengkok yang berjejari sama Dengan melukis garisan serenjang AD,
berpusat di B dan C, titik D diperoleh. ∠BAD=∠CAD 90° diperoleh.

Rajah 2.2.4 (c) Kaedah melukis sudut 90°.

(d) Melukis sudut 45° Langkah 1

A B AC

Diberi satu garisan dan titik A. ∠BAD=∠CAD 90° dibina.

Langkah 2 D Langkah 3 D F

E E

BAC BA C

Dengan membina lengkok berpusat di A, titik Berpusat di C dan E, lukis lengkok yang sama
C dan E diperoleh. jejari. Persilangan F diperoleh.

Langkah 4 D

F

E 1. Bina sudut yang berikut menggunakan
kaedah geometri.
B AC (a) 15° (b) 75°
(c) 105° (d) 135°
Lukis garisan AF. Garisan 45° ∠CAF=∠DAF
diperoleh. 2. Namakan tiga lagi sudut lain yang boleh
dibina menggunakan kaedah geometri.

Rajah 2.2.4 (d) Kaedah melukis sudut 45°.

49

Grafik Komunikasi Teknikal | Tingkatan 4

Membina dan Memindahkan Sudut dengan Kaedah Geometri

Sesuatu sudut boleh dipindahkan kepada kedudukan yang baharu. Langkah-langkah memindahkan
sudut adalah seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2.2.5.

CC BB

A AB BA A

Diberi sudut ∠BAC. Diberi kedudukan baharu garis AB.

Langkah 1 Langkah 2

C C BB
E E

Jx D Jx D

Jx Jx AA

A DA B D B Dengan menggunakan jejari Jx yang sama
di kedudukan baharu AB berpusat di A, titik
Pada rajah asal, dengan membina lengkok D diperoleh.
berjejari Jx, titik D dan C diperoleh.

Langkah 3 Langkah 4

C C Jy B Jy B
E E EE

Jy Jy Jx D Jx D

Jx Jx

A D AB DB A A

Pada rajah asal, bina lengkok jejari Jy berpusat Dengan membina lengkok berjejari Jy
di D. di kedudukan baharu AB, titik E diperoleh.

Langkah 5

Jy B
E

Jx D

A

Dengan melukis garis AC, sudut ∠BAC telah
dipindahkan ke kedudukan baharu AB.

Rajah 2.2.5 Kaedah membina dan memindahkan sudut.

50

Bab 2 | Garisan, Sudut dan Bulatan

Melukis Gambar Rajah Menggunakan Pelbagai Garisan dan Sudut

Kombinasi garisan dan sudut akan menghasilkan gambar rajah. Langkah pembinaan poligon dalam
Rajah 2.2.6 berikut boleh dijadikan panduan untuk membina semula gambar rajah dengan betul.

C Langkah 1

120

B D A 60 D
105˚ Bina garisan AD.
C
40 Langkah 3

A
60

Langkah 2

120

B

40 B 45˚

AD 60˚

Dengan membina garisan serenjang berukuran AD
40 mm pada A, titik B diperoleh.
Dengan membina sudut 105° pada titik B
berukuran 120 mm, titik C diperoleh.

Langkah 4 C

B

AD

Sambungkan garisan CD untuk melengkapkan
rajah yang bakal diperoleh.

Rajah 2.2.6 Kaedah melukis gambar rajah menggunakan pelbagai garisan dan sudut.

51

Grafik Komunikasi Teknikal | Tingkatan 4

2.2

1. Tunjukkan pembinaan sudut-sudut berikut menggunakan kaedah geometri.
(a) Sudut tirus 22.5o
(b) Sudut cakah 120o
(c) Sudut refleks 300o
2. Pindahkan sudut Rajah 1 dengan kaedah geometri kepada kedudukan baharu seperti berikut:

A x° B
60

Rajah 1

(a) B (b) (c) A
B
BA

A

3. Bina semula rajah di bawah menggunakan kaedah geometri.
(a)
C 70

D

135° E
80

30°

45°

B A

(b) 130
F

50 120° G H
D E A

30 B 70
C 140

52

Bab 2 | Garisan, Sudut dan Bulatan

2.3 Melukis Bulatan

Standard Bulatan boleh ditakrifkan sebagai lokus bagi titik yang bergerak
Pembelajaran dari satu titik tetap kepada suatu jarak malar. Titik tetap tersebut
dinamakan pusat bulatan manakala jarak malar tersebut disebut
Murid boleh: sebagai jejari. Beberapa istilah dan ciri-ciri bulatan ditunjukkan
• menyatakan istilah dan ciri pada Rajah 2.3.1.

bulatan; jejari, diameter, Lilitan
pusat, lilitan, tembereng,
perentas, sukuan, lengkok Sukuan Tembereng
dan sektor Perentas
• menggunakan kaedah Jejari Diameter
membahagi dua sama
serenjang sesuatu perentas Sektor
untuk menentukan pusat
bulatan dan lengkok Lengkok
• melukis bulatan dan lengkok
apabila diberi; jejari, Rajah 2.3.1 Ciri-ciri bulatan.
diameter dan tiga titik
• melukis bulatan terterap
lilit pada segi tiga
• melukis bulatan terterap
dalam segi tiga

Menentukan Pusat Bulatan dengan Kaedah Membahagi Dua Sama Serenjang
Suatu Perentas
Langkah 1

C
A

Diberi satu bulatan. B

Langkah 2 Bina dua garisan perentas AB dan BC.

Langkah 3

C OC
AA

B B

Bina garisan pembahagi dua sama serenjang Persilangan garisan pembahagi dua perentas
pada perentas AB dan BC. adalah pusat bulatan O.

Rajah 2.3.2 Kaedah menentukan pusat bulatan melalui membahagi dua sama serenjang.

53

Grafik Komunikasi Teknikal | Tingkatan 4

Menentukan Pusat Lengkok dengan Kaedah Membahagi Dua Sama Serenjang
Suatu Perentas
Langkah 1

C

A

Diberi satu lengkok. Bina dua garisan perentasBAB dan BC.

Langkah 2 Langkah 3

A O C O C

A

B B

Bina garisan pembahagi dua sama serenjang Persilangan garisan pembahagi dua perentas
pada perentas AB dan BC. adalah pusat bulatan.

Rajah 2.3.3 Kaedah menentukan pusat lengkok dengan membahagi
dua sama serenjang suatu perentas.

Melukis Bulatan dan Lengkok Apabila diberi Jejari, Diameter atau Tiga Titik

Diberi Jejari Langkah 1

J O

Diberi satu jejari, J. Tentukan kedudukan pusat bulatan
atau lengkok.
Langkah 2

OJ

Berpusat di O lukiskan bulatan atau lengkok
dengan jejari J.

Rajah 2.3.4 (a) Kaedah melukis bulatan apabila diberi jejari.
54

Diberi Diameter Bab 2 | Garisan, Sudut dan Bulatan

x Langkah 1

O

Diberi satu diameter, x. Bahagi dua sama diameter untuk menentukan
pusat O.
Langkah 2

O
x

Berpusat di O lukiskan bulatan berjejari 1 x.
2
Rajah 2.3.4 (b) Kaedah melukis bulatan apabila diberi diameter.

Diberi Tiga Titik Langkah 1

A A

CO C

B B

Diberi tiga titik iaitu A, B dan C. Bina garisan AB dan BC, dan bahagi dua sama
garisan-garisan tersebut untuk menentukan
Langkah 2 pusat O.
A

OC

B

Berpusat di O lukis bulatan berjejari
OA=OB=OC.

Rajah 2.3.4 (c) Kaedah melukis bulatan apabila diberi tiga titik.

55

Grafik Komunikasi Teknikal | Tingkatan 4 C

Melukis Bulatan Terterap Lilit pada Segi Tiga

Langkah 1

AA

CO

BB

Diberi segi tiga ABC. Bahagi dua sama sisi AB dan BC untuk
menentukan pusat O.

Langkah 2

A

O C Kaedah mendapatkan
pusat bulatan:
B 1. Untuk membina bulatan

Berpusat di O, lukiskan bulatan B dengan jejari terterap lilit, pilih
sama ada OA, OB atau OC. mana-mana dua sisi
segi tiga.
Rajah 2.3.5 Kaedah melukis bulatan terterap lilit pada segi tiga. 2. Untuk membina bulatan
terterap dalam, pilih
Melukis Bulatan Terterap Dalam pada Segi Tiga mana-mana dua sudut
segi tiga.
3. Untuk mendapatkan
jejari bulatan, garis
serenjang boleh dilukis
di mana-mana sisi
segi tiga.

Langkah 1

AA

C OC

B B

Diberi segi tiga ABC. Bahagi dua sama sudut ∠ABC dan ∠ACB
untuk menentukan kedudukan pusat O.

56

Langkah 2 Bab 2 | Garisan, Sudut dan Bulatan
A
Langkah 3

A

O C OC

D D
B B

Bina garisan serenjang OD. Berpusat di O dengan jejari OD lukiskan bulatan.

Rajah 2.3.6 Kaedah melukis bulatan dalam segi tiga.

2.3

1. Lengkapkan label pada rajah di bawah dengan ciri dan istilah bagi bulatan yang betul.
(a) (ii) (b)

(iv)
(vii)

(i) (iii) (v)
50
(viii)

(vi)

2. Tentukan kedudukan pusat bulatan bagi rajah di bawah.
(a) C (b) C

50 50 A
B 30˚
A
10

B 50

3. Lukiskan bulatan terterap lilit dan terterap dalam bagi setiap segi tiga berikut.
(a) C (b) C

B 70 30 A
50
60˚ 30˚
A B

57

Grafik Komunikasi Teknikal | Tingkatan 4

Latihan Pengukuhan

1. Bina satu garisan dengan ukuran 70 mm. Bahagikan garisan tersebut kepada:
(a) Dua bahagian yang sama
(b) Lapan bahagian yang sama
(c) Nisbah 2:3:4

2. Bina rajah berikut dengan kaedah geometri.
(a) B
C

45°

(b) 70

45° 75°
A

50 D

C 120° E
40
F
105° 20

B 100 A
D
(c)

C 30° E

30 135°
75°
B A
50

58

Bab 2 | Garisan, Sudut dan Bulatan

3. Lukis semula rajah di bawah dengan skala penuh menggunakan kaedah geometri.

(a) 20 20 30

CD

25

EF
25

BA
100

(b) 25 25
D
25
20
F 10
CE 10

30

BA
25

(c) 40
D

40 E F 20

CB 40
Separuh
40 30° bulatan
A

40

59