Dalam matematika, transformasi atau peta diri adalah suatu fungsi f, biasanya dengan beberapa dasar geometri, yang memetakan himpunan X ke dirinya sendiri, yaitu f: X → X. apa itu tranformasi dalam matematika?? Pambuka Pada pembahasan kali ini saya akan menyajikan materi Matematika kelas 9 Bab 3 yang membahas tentang Transformasi. Materi ini dirangkum dan disusun dari buku paket BSE K13 revisi terbaru terbitan Kemdikbud RI. Sehingga bahan belajar ini bersumber dari buku terpercaya dan bisa dijadikan sebagai bahan belajar yang tepat untuk siswa SMP. Pengertian Pencerminan (Refleksi) adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermim Pencerminan atau Refleksi Modul matematika kelas 9 bab 3 Transformasi disusun oleh Binar N.H 9f absen 10 mari masuk kepenjelasan lebih dalam →→→
ghjjhh A. MACAM - MACAM PENCERMINAN ADA BEBERAPA MACAM PENCERMINAN DALAM ILMU TRANSFORMASI BANGUN DATAR, YAITU : a. Pencerminan terhadap sumbu-x Dari gambar di samping, persegi panjang warna abu-abu merupakan bayangan dari persegi putih terhadap sumbu x. Rumus pencerminan terhadap sumbu x adalah : (, ) → ′(, −) Keterangan : A : titik A A' : titik A setelah pencerminan : titik pada sumbu x Y:titik pada sumbuh Y sbx: percerminan terhadap sumbuh x
b. Pencerminan terhadap sumbu y Dari gambar di samping, persegi panjang warna abu-abu adalah hasil dari pencerminan persegi panjang warna putih terhadap sumbu y. Rumus pencerminan terhadap sumbu y adalah : (, ) → ′(−, ) Keterangan : A : titik A A' : titik A setelah pencerminan : titik pada sumbu X : titik pada sumbu Y → : pencerminan terhadap sumbu Y
c. Pencerminan terhadap sumbu = Dari gambar di atas, persegi panjang warna abu abu adalah bayangan dari persegi panjang warana putih terhardap garis sumbu = 1. Rumus pencerminan terhadap sumbu = adalah : (, ) = → ′(, 2 − ) Keterangan : A : titik A A' : titik A setelah pencerminan : titik pada sumbu x : titik pada sumbu y k : bilangan dari sumbu y = → : pencerminan terhadap sumbu = ?
d. Pencerminan terhadap sumbu x = h Dari gambar di samping, persegi warna abu-abu adalah bayang dari pencerminan persegi warna putih terhadap gari = −1. Rumus pencerminan terhadap sumbu = ℎ adalah : (, ) = ℎ → ′(2ℎ − , ) Keterangan : A : titik A A' : titik A setelah pencerminan : titik pada sumbu x : titik pada sumbu y h : bilangan dari sumbu x =ℎ → : pencerminan terhadap sumbu = ℎ
e. Pencerminan terhadap titik pangkal (pusat koordinat) Dari gambar di atas, persegi panjang warna abu abu adalah bayangan dari persegi panjang warana putih terhardap titik pangkal (0,0). Rumus pencerminan terhadap titik pangkal adalah : (, ) ( 0 , 0) → ′(−, −) Keterangan : A : titik A A' : titik A setelah pencerminan : titik pada sumbu x : titik pada sumbu y (0,0) → : pencerminan terhadap titik pangkal
f.perceminan terhadap garis = . Dari gambar di samping, persegi panjang warna abu-abu adalah bayangan dari persegi panjang warana putih terhardap garis = . Rumus pencerminan terhadap sumbu = adalah : (, ) = → ′(, ) Keterangan : A : titik A A' : titik A setelah pencerminan : titik pada sumbu x : titik pada sumbu y = → : pencerminan terahadap garis y = x
g. Pencerminan terhadap garis = − Dari gambar di samping, persegi panjang warna abu-abu adalah bayangan dari persegi panjang warana putih terhardap garis = − Rumus pencerminan terhadap sumbu = − adalah : (, ) = − → ′(−, −) Keterangan : A : titik A A' : titik A setelah pencerminan : titik pada sumbu x : titik pada sumbu y =− → : pencerminan terahadap garis = −?
h. Pencerminan terhadap titik P(a,b) Dari gambar di samping, persegi panjang warna abu-abu adalah bayangan dari persegi panjang warana putih terhardap titik P(a,b) Rumus pencerminan terhadap sumbu (, ) adalah : (, ) ( , ) → ′(2 − , 2 − ) Keterangan : A : titik A A' : titik A setelah pencerminan x : titik pada sumbu x y : titik pada sumbu y (,) → : pencerminan terahadap titik P(a,b)
B. Pergeseran (Translasi) Transformasi pada bangun yang ditranslasikan tidak berubah bentuknya dan ukurannya. Bangun yang ditranslasikan hanya akan berubah posisinya. Contoh x, y, a, dan b merupakan bilangan real. Translasi titik A (x, y) dengan T (a, b) menggeser absis x sejauh a dan menggeser ordinat y sejauh b, sehingga diperoleh titik A’ (x + a, y + b). CCOONNTTOOHH SSOOAALL :: Contoh Soal 1: Bayangan dari titik (1,4) yang dicerminkan terhadap sumbu x adalah .... Jawab : = 1 = 4 (, ) → ′(, −) (1, 4) → ′(1, −4) Maka hasil pencerminan dari titik (1,4) terhadap sumbu x adalah (1,-4) dan untuk membuktikannya lihat saja pada gambar di atas. Contoh Soal 2: Bayangan dari titik (1,4) yang dicerminkan terhadap sumbu y adalah .... Jawab : = 1 = 4 (, ) → ′(−, ) (1, 4) → ′(−1, 4) Maka hasil pencerminan dari titik (1,4) terhadap sumbu y adalah (-1,4) dan untuk membuktikannya lihat saja pada gambar di atas.
CCOONNTTOOHH SSOOAALL Contoh Soal 3 : Bayangan dari titik (1,4) yang dicerminkan terhadap sumbu y adalah .... Jawab : = 1 = 4 (, ) → ′(−, ) (1, 4) → ′(−1, 4) Maka hasil pencerminan dari titik (1,4) terhadap sumbu y adalah (-1,4) dan untuk membuktikannya lihat saja pada gambar di atas. Contoh Soal 4 : Bayangan dari titik (1,4) yang dicerminkan terhadap sumbu = −1 adalah .... Jawab : = 1 = 4 (, ) = ℎ → ′(2ℎ − , ) (1, 4) = − 1 → ′(2(−1) − 1, 4) = ′(−2 − 1, 4) = ′(−3, 4) Maka hasil pencerminan dari titik (1,4) terhadap sumbu = − adalah (-3,4) dan untuk membuktikannya lihat saja pada gambar di atas.
CCOONNTTOOHH SSOOAALL Contoh Soal 5 : Bayangan dari titik (1,4) yang dicerminkan terhadap titik pangkal adalah .... Jawab : = 1 = 4 (, ) (0 , 0) → ′(−, −) (1, 4) (0 , 0) → ′(−1, −4) Maka hasil pencerminan dari titik (1,4) terhadap titik pangkal adalah (-1,-4) dan untuk membuktikannya lihat saja pada gambar di atas. Contoh Soal 6 : Bayangan dari titik (3,8) yang dicerminkanterhadap garis = adalah .... Jawab : = 3 = 8 (, ) = → ′(, ) (3, 8) = → ′(8, 3) Maka hasil pencerminan dari titik (3,8) terhadapgaris y = x adalah (8,3) dan untuk membuktikannya lihat saja pada gambar di atas.
CCOONNTTOOHH SSOOAALL Contoh Soal 7 : Bayangan dari titik (3,8) yang dicerminkan terhadap garis = − adalah .... Jawab : = 3 = 8 (, ) =− → ′(−, −) (3, 8) =− → ′(−8,−3) Maka hasil pencerminan dari titik (3,8) terhadap garis = − adalah (-8,-3) dan untuk membuktikannya lihat saja pada gambar di atas. Contoh Soal 8 : Bayangan dari titik (3,8) yang dicerminkan terhadap titik P(11,8) adalah .... Jawab : = 3 = 8 = 1 = 8 (, ) ( , ) → ′(2 − , 2 − ) (3, 8) (11 , 8) → ′(2(11) − 3, 2(8) − 8) = ′ (22 − 3, 16 − 8) = ′(19, 8) Maka hasil pencerminan dari titik (3,8) terhadap garis y = x adalah (19,8) dan untuk membuktikannya lihat saja pada gambar di atas.
Contoh soal 9 :. Titik P (2, 1) dicerminkan terhadap sumbu y, maka P' adalah .... a. (1, 2) b. (-1, -2) c. (-2, 1) d. (2, 1) Pembahasan : (, ) → ′(−, ) (2, 1) → ′(−2, 1) Jawaban yang benar adalah C CCOONNTTOOHH SSOOAALL Contoh soal 10 : Titik B (3, 2) dicerminkan terhadap sumbu x, maka B' adalah .... a. (2, 3) b. (-3, -2) c. (-3, 2) d. (3, -2) Pembahasan : (, ) ′(, −) (3, 2) → ′(3, −2) jawaban yg benar adalah D
CCOONNTTOOHH SSOOAALL Contoh soal 11: Titik ( 4, 2) direfleksikan terhadap garis = − . Koordinat titik bayangannya adalah .... a. (2, -4) b. (-2, 4) c. (2, 4) d. (4, -2) Pembahasan : (, ) =− → ′(−, −) (−4, 2) =− → ′(−2, 4) Jawaban yang benar adalah B Contoh soal 12 : Jika titik Q (7, 5) dicerminkan terhadap garis =3,maka koordinat titik bayangannya adalah .... a. (5, -1) b. (5, 1) c. (-1, 5) d. (-1, -5) Pembahasan : (, ) = → ′(2 − , ) (7, 5) = 3 → ′(2(3) − 7, 5) = ′(6 − 7, 5) = ′(−1, 5) Jawaban yang benar adalah C
CCOONNTTOOHH SSOOAALL Contoh soal 14: Bayangan dari titik A(-3, 2) yang direfleksikan terhadap garis = −2 dilanjutkan terhadap garis = 3 adalah .... a. A'(-1, 4) b. A'(4, -1) c. A'(1, -4) d. A'(-4, 1) Pembahasan : Soal ini kita hanya perlu melakukan dua kali refleksi Refleksi I : terhadap garis = −2. (, ) = → ′(2 − , ) (−3, 2) =− 2 → ′(2(−2) − (−3), 2) = ′(−4 + 3, 2) = ′(−1, 2) Refleksi II : terhadap garis = 3. (, ) = → ′(, 2 − ) " (−1, 2) = 3 → (-1, 2(3)-2)=A" (-1, 6-2)= A" (−1, 4) Jawaban yang benar A Contoh soal 13 : Bayangan titik P( 4, 5) oleh refleksi terhadap garis = − dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis = 2 adalah .... a. P’(-5, 4) b. P’ (4, -5) c. P’ (9, 4) d. P, (-4, 9) Pembahasan : Soal ini kita hanya perlu melakukan dua kali refleksi Refleksi I : terhadap garis = − (, ) =− → ′(−, −) (−4, 5) =− → ′(−5, 4) Refleksi II : terhadap garis = 2 (, ) = → ′(2 − , ) ′(−5, 4) = 2 → " (2(2)-(-5), 4)=P"(4+5, 4)= " (9, 4) Jawaban yang benar C
Rotasi dan dilatasi ROTASI : Transformasi pada bangun yang diputar tidak berubah bentuknya dan ukurannya. Bangun yang diputar hanya berubahan posisinya. Berikut adalah jenis-jenis rotasi: o Rotasi dengan sudut 270 berlawanan jarum jam dan pusat rotasi (0, 0). Jika sebuah titik (, ) diputar dengan sudut 270 berlawanan jarum jam dan pusat putar (0, 0), maka koordinat bayangan adalah ′(−, −). o Rotasi dengan sudut 180 berlawanan jarum jam dan pusat rotasi (0, 0) . Jika sebuah titik (, ) di putar dengan sudut 180 berlawanan jarum jam dan pusat putar (0, 0), maka koordinat bayangan adalah ′(−, −). o Rotasi dengan sudut 90 berlawanan jarum jam dan pusat rotasi (0, 0) . Jika sebuah titik (, ) di putar dengan sudut 90 berlawanan jarum jam dan pusat putar (0, 0), maka koordinat bayangan adalah ′(−, ). o Rotasi dengan sudut – 90 berlawanan jarum jam dan pusat rotasi (0, 0) Jika sebuah titik (, ) di putar dengan sudut 90 berlawanan jarum jam dan pusat putar (0, 0), maka koordinat bayangan adalah ′(−, −) . o Rotasi dengan sudut –180 berlawanan jarum jam dan pusat rotasi (0, 0) Jika sebuah titik (, ) di putar dengan sudut 180 berlawanan jarum jam dan pusat putar (0, 0), maka koordinat bayangan adalah ′(−, −). o Rotasi dengan sudut –270 berlawanan jarum jam dan pusat rotasi (0, 0) Jika sebuah titik (, ) diputar dengan sudut 270 berlawanan jarum jam dan pusat putar (0, 0), maka koordinat bayangan adalah ′(−, ). Ingat koordinat ′(−, ). Rotasi
Dilatasi : Transformasi pada bangun yang dilatasi (dikalikan) dengan skala k akan mengubah ukuran objek atau tetap ukuran objek dan tidak mengubah bentuk objek. Jika > 1, maka bangun akan diperbesar dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan objek tersebut. Bangun yang diperbesar dengan skala k akan mengubah ukuran objek dan tidak mengubah bentuk objek. Jika = 1, maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran objek dan juga pada letak objek Dilatasi titik (, ) dengan pusat O (0, 0) dan faktor skala , maka koordinat bayangannya adalah ′(, ). Dilatasi titik (, ) dengan pusat (, ) dan faktor skala , maka koordinat bayangannya adalah ′( − + , − + ). Dilatasi
Rotasi : Contoh soal 1 : Gambarlah bayangan titik (3, 4) yang di putar dengan sudut 90 berlawanan jarum jam dan pusat (0, 0) ! Pembahasan: Rotasi dengan pusat O (0, 0) berlawanan jarum jam dengan sudut 90 : (, ) → ′(−, ) Rotasi dengan pusat O (0, 0) berlawanan jarum jam dengan sudut 90 : (3, 4) → ′(−4, 3) Dilatasi : Contoh soal 1 : Bayangan titik (5, 7) yang dilatasi dengan pusat (0, 0) dan faktor skala 4! Pembahasan: Dilatasi dengan pusat (, ) dan faktor skala : (, ) → ′(, ) (5, 7) = 4 → ′(4(5), 4(7)) = ′(20, 28) Contoh soal 2 : Gambarlah bayangan titik (6, 3) yang dilatasi dengan pusat (1, 7) dan faktor skala 2! Pembahasan : Dilatasi dengan pusat (, ) dan faktor skala : (, ) [ , 2] → ′( − + , − + ) Dilatasi dengan pusat (1, 7)dan faktor skala 2 : (6, 3) [ ( 1 , 7 ), 2] → ′(2(6) − 2(1) + 1, 2(3) − 2(7) + 7) = ′(11, −1)
ROTASI 1.Carilah bayangan titik (6, −2) yang di putar dengan sudut 90 berlawanan jarum jam dan pusat O (0, 0). 2.Carilah bayangan titik (−1, −2) yang di putar dengan sudut 180 berlawanan jarum jam dan pusat O (0, 0). 3.Carilah bayangan titik (5, 7) yang di putar dengan sudut 90 searah jarum jam dan pusat O (0, 0). 4.Carilah bayangan titik (−8, 3) yang di putar dengan sudut 180 searah jarum jam dan pusat O (0, 0). 5.Carilah bayangan titik (4, 12) yang di putar dengan sudut 270 berlawanan jarum jam dan pusat O (0, 0). 6.Carilah bayangan titik (−3, −5) yang di putar dengan sudut 270 berlawanan jarum jam dan pusat O (0, 0) Contoh soal 1 : Bayangan titik (5, 7) yang dilatasi dengan pusat (0, 0) dan faktor skala 4! Pembahasan: Dilatasi dengan pusat (, ) dan faktor skala : (, ) → ′(, ) (5, 7) = 4 → ′(4(5), 4(7)) = ′(20, 28) Contoh soal 2 : Gambarlah bayangan titik (6, 3) yang dilatasi dengan pusat (1, 7) dan faktor skala 2! Pembahasan : Dilatasi dengan pusat (, ) dan faktor skala : (, ) [ , 2] → ′( − + , − + ) Dilatasi dengan pusat (1, 7)dan faktor skala 2 : (6, 3) [ ( 1 , 7 ), 2] → ′(2(6) − 2(1) + 1, 2(3) − 2(7) + 7) = ′(11, −1)
Thank You FOR YOUR PURCHASE