ลำดับ

ใบความรู้ท่ี 1
เรอ่ื ง ลาดบั

ถา้ ให้ y  f (x) โดยที่ x เปน็ จานวนเตม็ บวก เราจะเรียก f (1), f (2), f (3),..., f (n),...วา่
ลาดบั เช่น y  f (x)  5x  2 จะไดว้ า่

f (1)  5(1)  2  7
f (2)  5(2)  2 12
f (3)  5(3)  2  17

การเขียนลาดบั นิยมเขียนเฉพาะเรนจข์ องฟังกช์ ัน คอื

f (1)  7
f (2)  12
f (3)  17

ถา้ ใหโ้ ดนเมนของฟังกช์ นั เป็นจานวนเต็มบวก n จานวนแรก คือ f (1), f (2), f (3),..., f (n) เรา
เรยี ก ว่า ลาดบั จากัด ( finite sequence) เชน่

น้องแหมยี ว หยอดเหรียญ 1 บาท จานวน 5 เหรียญ ในกระปุกออมสินทุกวนั เมื่อถงึ 60 วัน
น้องเหมียว จะมีเงนิ ในกระปุกออมสนิ กบ่ี าท

เขียนเป็นลาดับไดว้ ่า 5, 10, 15, … , 300 เรยี กลาดับนว้ี ่า ลาดับจากดั

ถ้าใหโ้ ดนเมนของฟงั ก์ชันเป็นจานวนเตม็ บวก คอื f (1), f (2), f (3),..., f (n),... เราเรียก วา่
ลาดับอนันต์ (inf inite sequence) เช่น

เช้ือราขยายพันธุใ์ นสมองมนุษย์ในแต่ละวันในรปู f (x)  2x 1 เมื่อ x เป็นจานวนวนั และ y
เป็นจานวนเชือ้ ราในแต่ละวัน

เขยี นเปน็ ลาดบั ไดว้ า่ 3, 5, 7, 9, … เรียกลาดบั นวี้ า่ ลาดบั อนนั ต์

บทนิยาม

ลาดบั คอื เซตของคู่อนั ดบั ท่ีมจี านวนเตม็ บวก n ตัวแรกเป็นโดเมน หรือฟงั ก์ชนั ทีม่ โี ดเมนเปน็ เซต
ของจานวนเต็มบวก และเขยี น f (n) แทนลาดบั นั้น

ลาดับทีม่ ีโดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ บวก n ตวั แรก เรียกวา่ ลาดับจากดั ( finite sequence)
ลาดบั ทมี่ โี ดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ บวก เรียกว่า ลาดบั อนนั ต์ (inf inite sequence)

ถา้ a เป็นเปน็ ลาดับจากดั จะเขียนแทนด้วย a1, a2 , a3 ,...,an

ถ้า a เป็นลาดบั อนันต์จะเขียนแทนดว้ ย a1, a2 , a3 ,...,an...

เรยี ก a1 วา่ พจนท์ ่ี 1 ของลาดบั
a2 ว่า พจน์ท่ี 2 ของลาดบั
a3 ว่า พจน์ที่ 3 ของลาดับ

⋮
an ว่า พจน์ที่ n ของลาดับ
ตัวอยา่ งท่ี 1 จงเขยี นลาดบั ต่อไปนีใ้ ห้อยใู่ นรูปแจงพจน์

1. 1 , 3 , 6 , 10 , 15 เป็นลาดับจากดั ท่ีมี

a1 =1 , a2 =3 , a3 =6 , a4 =10 , a5 =15
2. 1 , 3 , 5 , 7 , 9, … , 2n-1, … เป็นลาดบั อนันต์ท่ีมี

a1 =1 , a2 =3 , a3 =5 , a4 =7 , a5 =9 , an =2n-1
ตัวอยา่ ง 2 ลาดับทก่ี าหนดให้ตอ่ ไปนเ้ี ป็นลาดับจากัดหรือลาดับอนนั ต์

1. 7 , 14 , 21 , 28 , 35 , 42 เป็นลาดบั จากัด

2. 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , … , (n+1)2 , … เปน็ ลาดบั อนันต์

3. an =2n+1,n{1,2,3,...,20} เป็นลาดับจากัด

4. an=n12 เปน็ ลาดับอนนั ต์

5. an =2n2-1 เป็นลาดับอนนั ต์

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาสพี่ จน์แรกของลาดับ an =3n-2

วธิ ีทา แทน n ใน an =3n-2 ด้วย 1 , 2 , 3 , 4 จะได้ส่ีพจนแ์ รกของลาดับดังน้ี

a1 = 3(1)- 2 = 1

a2 = 3(2)- 2 = 4

a1 = 3(3)- 3 = 7

a4 = 3(4)- 4 = 10
ดงั น้ัน ส่ีพจน์แรกของลาดับนี้คอื 1 , 4 , 7 , 10

ตัวอย่างท่ี 4 จงหาสพี่ จน์แรกของลาดับ an  2n(n  1)
วธิ ีทา แทน n ใน an  2n(n  1) ดว้ ย 1 , 2 , 3 , 4 จะได้สี่พจนแ์ รกของลาดบั ดังนี้

an  2n(n  1)
a1  2(1)(1  1)  4
a2  2(2)(2  1)  12
a3  2(3)(3  1)  24
a4  2(4)(4  1)  40

ดงั น้ัน สี่พจน์แรกของลาดับนี้คอื 4, 12, 24, 40

ตัวอย่างที่ 5 จงหาสี่พจน์แรกของลาดับ an  10 n  1
10 n

วธิ ีทา แทน n ใน an  10 n 1 ด้วย 1,2,3,4 จะไดส้ ่ีพจนแ์ รกของลาดบั ดังนี้
10 n

an  10 n  1
10 n

a1  101 1  99  9.9
101 10

a2  10 2 1  9,999  99.99
10 2 100

a3  103 1  999,999  999.999
10 3 1000

a4  10 4 1  99,999,999  9,999.9999
10 4 10,000

ดงั นั้น ส่ีพจน์แรกของลาดับนี้คอื 9.9, 99.99, 999.999, 9,999.9999

ตัวอย่างท่ี 6 ให้หาพจน์ทวั่ ไปของ 1, 4, 9, 16, 25

วธิ ที า a1  1 = 11 = 12

a2  4 = 22 = 22

a3  9 = 33 = 32

a4  16 = 44 = 42

a5  25 = 55 = 52

ดงั นั้นรูปทวั่ ไป คือ an  n2 เม่อื n = 1, 2, 3, 4, และ 5

ตวั อยา่ งท่ี 7 ใหห้ าแบบรูปทั่วไปของลาดบั 1 , 1 , 1 , 1 ,

10 15 20 25

วธิ ที า a1 = 1= 1 = 1
52 5(1  1)
10
1
a2 = 1= 1 = 5(2 1)
53
15 1
5(3 1)
a3 = 1= 1 =
54 1
20 5(4 1)

a4 = 1= 1 =
55
25

ดังน้นั แบบรปู ทั่วไป คือ an  1 เมื่อ n= 1, 2, 3 และ 4

5n  1

ขอ้ สงั เกต
การเขยี นแบบรปู ท่วั ไปสว่ นมากจะเขยี นสองส่วน คือ ส่วนที่เป็นคา่ คงตัว อีกส่วนหน่ึงจะเป็นจานวนนับ

1 เม่อื เป็นจานวนคีบ่ วก
ตวั อยา่ งท่ี 8 ถา้ ลาดบั หนงึ่ เป็นดงั นี้  เมื่อ เป็นจานวนคู่บวก
ให้หา a3  a4 an   n 2

n  1

วธิ ที า จาก an  1 เมือ่ n เปน็ จานวนคี่บวก
n2

 a3  1 1
32 9

และ an  n  1 เมือ่ n เปน็ จานวนคู่บวก

 a4  4 1 5

ดังนัน้ a3  a4 = 1 5 = 46
9 9