Geometri Bidang dan Ruang

Beberapa sifat bangun datar datar Trapesium yaitu sebagai berikut:
1) mempunyai empat sisi
2) Mempunyai sepasang sisi sejajar
3) Mempunyai empat titik sudut

c. Rumus Keliling Trapesium c
Perhatikan gambar dibawah ini! C
b
D
d

AB
a

untuk menghitung keliling bangun datar dilakukan dengan menghitung jumlah panjang
setiap sisinya.

Keliling = panjang AB + panjang BC + panjang CD + panjang DA
K=a+b+c+d

Keterangan:
 K : Keliling trapesium
 a, b, c, d : panjang masing-masing sisi trapesium

d. Rumus Luas Trapesium bC

Perhatikan gambar berikut
D

A B
a

Pada gambar tersebut terdapat dua buah segitiga, yaitu segitiga ABC dan segitiga

ACD. Untuk menentukan luas trapesium tersebut, dapat dengan menentukan luas

kedua segitiga.

45

Luas trapesium ABCD = Luas segitiga ABC + Luas segitiga ACD
Luas trapesium ABCD = ((1/2) x b x t) + ((1/2) x a x t)
L = (1/2) x t x (b + a)
Atau dapat ditulis
L = ((a + b) x t)/2

Keterangan:
L : Luas trapesium
a, b : panjang sisi-sisi sejajar trapesium
t : tinggi trapesium

Ayo berkreasi
Silahkan saudara desain sebuah Kapal atau perahu yang memiliki minimal 3 jenis Segi
empat!
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________

46

Tujuan Instruksional:

Mahasiswa mampu
mengaplikasikan
konsep dasar
Lingkaran
Indonesia
(Departemen

Pendidikan Nasional,

http://www.pelaut.xyz

Gambar di atas merupakan bentuk lingkaran putar dari lintasan sebuah kapal yang
bergerak. Lingkaran putar adalah lintasan yang di buat oleh titik putar kapal itu sewaktu
kapal tersebut berputar 360° atau lebih. Lintasan yang terjadi merupakan jejak kapal yang
di tinggalkan oleh titik berat ( G) kapal itu. Berdasarkan Gambar Lintasan Putar tersebut,
Tentukan Unsur Apa saja yang terdapat pada sebuah Lingkaran?

A. Pengertian Lingkaran r
Lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang datar yang P
berjarak sama terhadap suatu titik tertentu (Titik pusat). Jarak
yang sama tersebut dinamakan jari-jari. Nama lingkaran biasanya
sesuai dengan ama titik pusatnya, seangkan jari-jari lingkaran
biasanya dilambangkan dengan r. Misalkan lingkaran P
disamping berjari-jari r.

1. Unsur-Unsur Lingkaran yang Berupa Kurva atau Garis
a. Busur
Busur adalah himpunan titik-titik yang berupa kurva lengkung (baik terbuka
maupun tertutup) yang berimpit dengan lingkaran. Perhatikan gambar disamping.
Misalkan titik A dan titik B pada lingkaran P, maka kurva lengkung AB disebut
busur AB. Busur AB adalah busur yang menghubungkan titik A dan B. Pada

47

gambar lingkaran disbawah terdapat dua busur AB yaitu busur minor dan busur
mayor. Seterusnya busur AB ditulis ̂ . Busur minor (busur kecil) yaitu busur yang
panjangnya kurang dari atau sama dengan setengah lingkaran. Busur mayor (busur
besar) yaitu busur yang panjangnya lebih dari setengah lingkaran. Apabila tidak ada
keterangan, yang dimaksud ̂ adalah busur minor AB.

A Mayor A

Minor P
P

B B

Busur Minor AB Busur Minor AB

b. Jari-Jari P
Jari-jari adalah ruas garis yang menghubungkan titik pada
lingkaran dengan titik pusat. Panjang jari-jari lingkaran Q
dinyatakan dengan r. Misalkan titik Q pada lingkaran P,
maka ruas garis PQ merupakan jari-jari lingkaran P. merupakan jari-jari
Seterusnya ruas garis PQ ditulis . lingkaran P

c. Diameter M
Diameter adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada
lingkaran dan melalui titik pusat. Misal titik M dan titik N pada P
N
lingkaran P. Titik M, P, dan N segaris, maka merupakan
merupakan
diameter lingkaran P. Panjang diameter lingkaran dinyatakan diameter lingkaran P

dengan d. Pada gambar disamping, merupakan diameter K

lingkaran. dan merupakan jari-jari lingkaran. Hal ini

berarti panjang diameter lingkaran sama dengan dua kali

panjang jari-jari lingkaran yaitu .

d. Tali Busur P
Tali busur adalah ruas garis yang kedua titik ujungnya pada L
lingkaran atau ruas garis yang menghubungkan dua titik pada
lingkaran. Misalkan titik K dan titik L merupakan dua titik pada merupakan tali
busur lingkaran P

48

lingkaran P, maka ruas garis KL merupakan tali busur lingkaran
P. Dari pengertian tali busur dan diameter dapat disimpulkan
bahwa diameter llingkaran merupakan tali busur lingkaran. Di
antara semua tali busur suatu lingkaran, diameter merupakan tali
busur terpanjang.

e. Apotema A
Apotema adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan titik S
pusat dengan titik pada tali busur. Apotema selalu tegak lurus
terhadap tali busurnya. Misalnya pada lingkaran P di samping. PB
merupakan apotema terhaadap tali busur AB. Jika tali busur
AB sama dengan diameter, titik S berimpit dengan titik P yang merupakan
berarti PS bukan ruas garis dan tali busur AB tidak mempunyai apotema lingkaran P
apotema. Selain itu, titik S pastilah di dalam lingkaran P karena
S merupakan titik tengah tali busur. Dari kedua hal tersebut
dapat disimpulkan panjang lebih dari 0 dan kurang dari .

2. Unsur-Unsur Lingkaran yang Berupa Luasan

a. Juring

Juring adalah daerah di dalam lingkaran yang

dibatasi oleh busur dan dua jari-jari. Juring

lingkaran P yang dibatasi oleh ̂ , jari-jari PA

dan PB dinamakan juring APB dan dapat

digambarkan seperti di samping. Selanjutnya,

disepakati jika tanpa keterangan, maksud juring Juring Minor Juring Mayor
APB yaitu juring minor APB. Tembereng Mayor

b. Tembereng

Tembereng adalah daerah di dalam lingkaran yang dibatasi oleh

busur dan tali busurnya. Tembereng lingkaran P yang dibatasi

oleh ̂ dan tali busur AB dapat digambarkan seperti di

samping. Selanjutnya, disepakati jika tanpa keterangan, maksud

tembereng yaitu tembereng minor.

Tembereng Minor

49

3. Unsur Lingkaran yang Berupa Sudut (Sudut Pusat) A
Sudut pusat adalah sudut yang titik sudutnya di
titik pusat lingkaran. Kedua kaki sudut pusat P
berimpit dengan jari-jari lingkaran. Misalkan titik B
A dan B berada pada lingkaran P, maka sudut
pusat APB (APB) dapat digambarkan seperti di Sudut pusat APB = APB
samping. Perlu kamu ketahui, untuk menyatakan
besar suatu sudut disimbolkan dengan m di
depan tanda sudut.

Misalnya: mAPB = 45, artinya besar sudut APB
= 45

mPQR = 60, artinya besar sudut PQR
= 60

50

B. Keliling Lingkaran

a. Pengertian Keliling Lingkaran
Keliling lingkaran adalah panjang busur atau lengkung berbentuk lingkaran.

Keliling lingkaran dapat ditentukan dengan cara memotong lingkaran di suatu titik,
lalu meluruskan lengkung lingkaran tersebut, selanjutnya mengukur panjangnya.
Perhatikan gambar dibawah ini.

44 cm

7 cm

Lingkaran terbuat Lingkaran dipotong Diluruskan dan diukur
dari kawat di salah satu titiknya panjangnya

Jika kawat yang diluruskan diukur panjangnya menggunakan mistar atau penggaris
akan diperoleh Keliling lingkaran tersebut.

b. Rumus Keliling Lingkaran
Rumus lingkaran dapat ditentukan dengan melakukan kegiatan berikut.

Lingkarkan kawat atau benang ke benda yang mempunyai permukaan lingkaran,
seperti kaleng, pipa, atau gelas. Bandingkan ukuran diameter dan kelilingnya. Dari
kegiatan tersebut akan diperoleh kesimpulan bahwa nilai perbandingan antara keliling
lingkaran dan diameternya merupakan bilangan tetap.

1 3 ⋯
1 3

Selanjutnya, bilangan tetap tersebut disebut π (dibaca: pi) dan nilainya diambil 3,14
atau .

Secara umum dapat dituliskan:

Oleh karena maka ()

Dengan demikian, keliling lingkaran dirumuskan sebagai berikut.

atau

K = keliling
r = jari-jari
d = diameter

51

C. Luas Lingkaran
a. Pengertian Luas Lingkaran
Luas lingkaran adalah luas daerah bidang datar yang dibatasi
oleh satu lingkaran. Gambar disamping, lingkaran adalah luas daerah
yang diarsir.

b. Rumus Luas Lingkaran

Rumus luas lingkaran dapat diturunkan sebagai berikut.

Gambar di samping menunjukkan lingkaran berpusat di O yang

dibagi menjadi 12 juring sama besar. A r B
̂1
1 . O

Apabila juring-juring tersebut dipotong dan salah satu juring dibagi

dua, disusun seperti gambar disamping, bentuknya mendekati bentuk persegi panjang.
̂

Bayangkan lingkaran tersebut dibagi menjadi A πr B
r
n juring yang sama besar (n= tak hingga), lalu
C
disusun seperti di atas. Bentuk yang diperoleh adalah

bentuk persegi panjang sehingga:

Oleh karena D

1 , persamaan diatas ekuivalen dengan persamaan:

()
Jadi, diperoleh rumus luas lingkaran sebagai berikut.

atau

L = luas
r = jari-jari
d = diameter

52

Ayo berkreasi
Silahkan saudara desain unsur-unsur yang terdapat pada lingkaran menggunakan Gambar
Lingkaran putar dari lintasan sebuah kapal! Kemudian warnai untuk membedakan
masing-masing unsur!
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________

53

GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Tujuan
Instruksional:
Mahasiswa mampu
mengaplikasikan
konsep dasar garis
singgung lingkaran

Sumber: twitter.com
Jembatan Sultan Mahmud Riayat Syah atau dikenal juga dengan nama Jembatan 1 Dompak
merupakan jembatan yang menghubungkan Kota Tanjungpinang dengan Pulau Dompak, yaitu
pulau yang merupakan lokasi pusat pemerintahan Provinsi Kepulauan Riau. Jembatan ini memiliki
panjang 1,5 km, merupakan jembatan terpanjang ke-3 di Indonesia. Jika kita amati, konstruksi di
atas jembatan berupa 3 (tiga) lengkungan yang masing-masing menyerupai busur linkaran.
Ketiga busur lingkaran ini dipotong oleh sebuah tali busur yang sama yaitu penampang horizontal
badan jembatan. Dapatkah kamu menentukan garis singgung apa saja yang mungkin dibuat
pada 3 (lingkaran) yang didesain menyerupai konstruksi hiasan jembatan di atas?

A. PENGERTIAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN
AP
r

O
B

Gambar di atas menunjukkan sebuah lingkaran yang memiliki titik pusat O dan jari-jari r.
Garis AB memotong lingkaran tepat di satu titik yaitu titik P, sehingga P merupakan satu-
satunya titik persekutuan garis dengan lingkaran. Garis OP tegak lurus dengan garis AB di

54

titik P, dalam hal ini dapat dinyatakan jari-jari lingkaran tegak lurus dengan garis AB. Suatu

garis yang menyentuh (menyinggung) suatu lingkaran tepat di satu titik dan tidak pernah

melalui interior lingkaran dikenal dengan istilah garis singgung lingkaran.

Garis singgung lingkaran memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

1. Setiap garis singgung lingkaran tegak lurus terhadap diameter lingkaran yang ditarik

melalui titik singgungnya

P

O

2. Melalui titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis yang bersinggungan dengan

lingkaran P

h

O
g

Garis h bukan garis singgung lingkaran

3. Melalui sebuah titik di luar lingkaran dapat dibuat dua buah garis yang bersinggungan

dengan lingkaran AP

r

O
B

Q

4. Jika dua garis singgung lingkaran berpotongan pada suatu titik di luar lingkaran, maka
jarak antara titik potong tersebut dengan titik-titik singgung dari kedua garis singgung
lingkaran tersebut adalah sama.

55

B. MELUKIS GARIS SINGGUNG LINGKARAN
I. Melukis Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik pada Lingkaran
1. Lukis sebuah lingkaran dengan pusat di titik O kemudian buatlah sebuah titik P yang
tepat berada pada lingkaran seperti pada gambar berikut.

OP

2. Tarik garis dari O ke P dan perpanjanglah garis tersebut. Kemudian lukis sebarang busur
dengan pusat di P sehingga memotong di garis OP dan garis perpanjangan OP, yaitu di
titik A dan titik B.

O
A PB

3. Lukis kembali sebarang busur dengan pusat di titik A dan B dengan jari-jari yang sama,
sehingga berpotongan di titik C dan titik D.
C

O
A PB

D
56

4. Tarik garis yang menghubungkan titik C dan titik D. Garis CD ini dinamakan garis
singgung lingkaran yang melalui titik tepat pada lingkaran.
C

O
A PB

D
II. Melukis Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik Di Luar Lingkaran

1. Lukis sebuah lingkaran dengan titik pusat O, kemudian buat sebuah titik Q yang berada
di luar lingkaran.

OQ

2. Tarik garis dari O ke Q, kemudian lukis sebarang busur dengan pusat di titik O dan di
titik Q dengan jari-jari yang sama, sehingga berpotongan di titi A dan titik B.
A

OQ
B

57

3. Hubungkan titik A dengan titik B sehingga memotong garis OQ di titik K. kemudian
lukis sebuah lingkaran dengan jari-jari sepanjang KQ dan berpusat di titik K sehingga
memotong lingkaran yang berpusat di O, di titik D dan E.
A

D

OK Q
E

B

4. Lukis garis yang menghubungkan titik D dengan titik Q dan titik E dengan titik Q. garis

DQ dan EQ inilah yang disebut dengan garis singgung lingkaran yang melalui titik di

luar lingkaran. A

D

OK Q
E

B

58

C. RUMUS GARIS SINGGUNG LINGKARAN
1. Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik pada (dalam) Lingkaran

P’

R+r r d P
A p r

R B
O

Perhatikan bahwa segitiga PP’O merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di P’. Dengan
teorema phytagoras dapat diperoleh panjang PP’ yaitu sebagai berikut.

√ ()
Karena OP’ = OA + BP = R+r maka,

√ ()
Sehingga, rumus garis singgung persekutuan melalui titik (dalam) lingkaran dapat
dinyatakan dalam rumus di bawah.
Rumus mencari panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran:

√ ()

Rumus menentukan garis singgung
√()

Menentukan jari-jari lingkaran untuk

√
√

dimana :
AB = PP’= d = panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran
OP = p = jarak pusat dua lingkaran

59

R = jari-jari lingkaran pertama
R = jari-jari lingkaran kedua

2. Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik Di Luar Lingkaran

A l B
R P’ p r
O P

Perhatikan bahwa segitiga PP’O merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di P’. Dengan teorema
phytagoras dapat diperoleh panjang PP’ yaitu sebagai berikut.

√ ()
Karena OP’ = OA -BP = R-r maka,

√ ()
Sehingga, rumus garis singgung persekutuan melalui titik (luar) lingkaran dapat dinyatakan
dalam rumus di bawah.
Rumus mencari panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran :

√ ()
Rumus menentukan garis singgung

√()

Menentukan jari-jari lingkaran untuk
√
√

dimana:
OP = p = jarak pusat dua lingkaran
AB = PP’ = l = panjang garis singgung lingkaran luar
R = jari-jari lingkaran pertama
r = jari-jari

60

D. Ayo Berkreasi
Bersama anggota kelompokmu, buatlah sketsa 3 (tiga) buah lingkaran menggunakan
informasi yang terdapat pada gambar berikut! Kalian juga dapat mengunjunggi Jembatan
Sultan Mahmud Riayat Syah untuk mendapatkan gambaran nyata konstruksi jembatan
tersebut.

Gunakan pengetahuan dan pemahaman kalian tentang unsur-unsur lingkaran yang telah
dipelajari pada Bab IX. Lukislah sketsa garis singgung persekutuan antara dua atau lebih
yang mungkin lingkaran yang mungkin dibuat!

61

Tujuan
Instruksional:
Mahasiswa

mampu
mengaplikasikan
konsep bangun

ruang dalam
kehidupan

esar Bahasa

Anmon Resort merupakan tempat penginapan yang terletak di daerah Lagoi Kabupaten Bintan, Kepulauan
Riau. Resort ini mempunyai konsep seperti bumi perkemahan, dimana kamar nya berbentuk tenda. Bumi
perkemahan Bintan ini menyediakan berbagai fasilitas yang dapat dinikmati oleh pengunjung dan serasa
berada ditengah-tengah gurun pasir. Bisakah kamu menentukan berbentuk bangun apakah tenda yang dibuat
oleh Anmon Resort? dan berapakah luas minimal kain yang dibutuhkan untuk menutupi rangka tenda
tersebut? untuk memecahkan permasalahan tersebut marilah kita mempelajari materi bangun ruang berikut.

A. Definisi Bangun Ruang
Bangun ruang merupakan bangun geometri dimensi tiga dengan batas-batas berbentuk

bidang datar dan atau bidang lengkung. Berdasarkan bidang/sisi yang membatasi nya maka
bangun ruang terbagi menjadi bangun ruang sisi datar dan bangun ruang sisi lengkung.

B. Bangun Ruang Sisi Datar
Bangun ruang sisi datar merupakan bangun ruang yang sisi pembatasnya berupa

bidang datar. Contohnya yaitu Kubus, Balok, Prisma, dan Limas. Berikut penjelasan dari
masing-masing bangun ruang sisi datar.
1. Kubus

Kubus merupakan suatu bangun ruang yang dibatasi oleh enam sisi yang kongruen dan
berbentuk persegi. Seperti yang terlihat pada Gambar 9.1.

62

Gambar 9.1 Kubus KLMN.OPQR

a) Unsur-unsur Kubus
Berdasarkan gambar kubus di atas dapat kita ketahui unsur-unsur yang membangun
kubus tersebut, yaitu
 Sisi/Bidang

Bidang adalah daerah yang membatasi bagian dalam dengan bagian luar suatu bangun
ruang. Kubus memiliki 6 sisi (bidang) berbentuk persegi yang saling kongruen. Dari
gambar di atas, sisi-sisi tersebut adalah bidang KLMN, OPQR, KLPO, MNRQ,
LMQP, dan KNRO
 Rusuk
Rusuk adalah garis pertemuan atau garis potong dari dua bidang. Kubus memiliki 12
buah rusuk yang sama panjang, yaitu KL, LM, MN, KN, OP, PQ, QR, OR, KO, LP,
MQ, dan NO.
 Titik Sudut
Titik sudut adalah pertemuan tiga buah rusuk. Kubus memiliki 8 titik sudut, yaitu K,
L, M, N, O, P, Q, dan R.
 Diagonal Bidang
Diagonal bidang adalah garis yang menghubungkan dua buah titik sudut yang terletak
pada satu bidang tetapi terletak pada rusuk yang berbeda. Kubus memiliki 12 diagonal
bidang yang sama panjang, diantaranya adalah KM, LN, OQ, PR, KP, LO, LQ, MP,
MR, NQ, NO, dan KR.
 Diagonal Ruang
Diagonal ruang adalah garis yang menghubungkan dua titik sudut yang terletak pada
bidang yang berbeda. Kubus memiliki 4 diagonal ruang yang sama panjang dan
berpotongan di satu titik, yaitu KQ, LR, MO, dan NP.

63

 Bidang Diagonal
Bidang diagonal adalah bidang yang dibatasi oleh dua buah diagonal bidang dan dua
rusuk yang saling berhadapan. Kubus memiliki 6 bidang diagonal yang berbentuk
persegi panjang yang saling kongruen, diantaranya bidang KMQO, LNRP, KNQP,
LMRO, KLQR, dan MNOP

b) Jaring-Jaring Kubus
Jaring-jaring kubus adalah rangkaian sisi-sisi yang jika dipadukan akan membentuk
suatu kubus. Berikut contoh dari jaring-jaring kubus.

Gambar 9.2 Jaring-jaring Kubus
Silahkan gambarkan model jaring-jaring kubus lainnya.
c) Luas Permukaan Kubus
Luas permukaan kubus adalah jumlah seluruh luas sisi kubus. Karena kubus memiliki
6 buah sisi kongruen yang berbentuk persegi maka luas permukaan kubus adalah:

()

Jadi, luas permukaan kubus dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut.

d) Volume Kubus

Volume adalah seberapa banyak ruang yang bisa ditempati dalam suatu objek.

Volume suatu ruang ditentukan oleh bentuk alasnya. Untuk menentukan volume

kubus yaitu: = Luas alas x tinggi
Volume Kubus

= (s x s) x s

= s3

Jadi, volume kubus adalah s3

64

2. Balok
Balok merupakan bangun ruang yang dibatasi oleh tiga pasang sisi yang berhadapan yang
memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Seperti yang terlihat pada Gambar 9.3 berikut.

Gambar 9.3 Balok

a) Unsur-unsur balok
Perhatikan Gambar 9.3, unsur-unsur dari balok adalah sebagai berikut:
 Balok memiliki 6 sisi berbentuk persegi panjang yang tiap pasangnya kongruen.

Balok memiliki 3 pasang bidang persegi panjang yang kongruen, yaitu ABFE =
DCGH, ADHE = BCGF, dan ABCD = EFGH.
 Balok memiliki 12 rusuk, dengan kelompok rusuk yang sama panjang. AB = DC =
EF = HG, AE = DH = BF = CG, dan AD = BC = EH = FG.
 Balok memiliki 8 titik sudut, yaitu titik A, B, C, D, E, F, G, dan H.
 Balok memiliki 12 diagonal bidang, yaitu AC, BD, EG, HF, AF, EB, CH, DG, AH,
ED, BG, dan CF.
 Balok memiliki 4 diagonal ruang yang sama panjang dan berpotongan di satu titik,
yaitu AG, BH, CE, dan DF
 Balok memiliki 6 bidang diagonal persegi panjang dan tiap pasangannya saling
kongruen, yaitu ACGE, BDHF, ABGH, BGHA, CDEF, BCHE, dan ADGF.
b) Jaring-jaring balok
Sama halnya dengan kubus, bahwa jaring-jaring balok merupakan rangkaian sisi-sisi
yang jika dipadukan akan membentuk suatu balok. Rancanglah jaring-jaring balok

65

c) Luas permukaan balok
Luas permukaan balok adalah jumlah seluruh luas sisi balok. Karena balok memiliki 3
pasang sisi yang kongruen berbentuk persegi panjang, maka luas permukaan balok
adalah
Luas Permukaan Balok = 2 (p x l) + 2 (p x t) + 2 (l x t)
= 2 (pl + pt + lt)

d) Volume balok

Volume suatu ruang ditentukan oleh bentuk alasnya. Untuk menentukan volume

balok yaitu: = Luas alas x tinggi
Volume Balok

= ( p x l) x t

= plt

3. Prisma
Prisma merupakan bangun ruang yang dibatasi oleh dua bidang yang sejajar dan
kongruen serta sisi tegak yang berbentuk persegi panjang.
a) Sifat-sifat Prisma
 Sisi alas dan atap kongruen dan sejajar
 Sisi tegak berbentuk persegi panjang
 Jarak antara sisi alas dan atas merupakan tinggi prisma

b) Jenis-jenis Prisma
Penamaan Prisma tergantung bentuk alasnya, contohnya:
1) Prisma Segi Tiga
Prisma ini merupakan prisma yang alas dan atap nya berbentuk segitiga.

Atap

Sisi Tegak

Beberapa sifat prisma segi tiga, antara lain:
 Prisma segi tiga mempunyai 5 sisi, 3 sisi di samping yang bentuknya persegi

panjang dan 2 sisi alas dan atap yang bentuknya segi tiga.

66

 Prisma segi tiga mempunyai 6 titik sudut.
 Prisma segi tiga mempunyai 9 rusuk, 3 di antara rusuk tersebut adalah rusuk

tegak.
2) Prisma Segi Empat

Prisma ini merupakan prisma yang alas dan atap nya berbentuk segi empat.

Sifat Prisma segi empat
 Prisma segi empat mempunyai 6 sisi, 4 sisi samping yang bentuknya persegi

panjang dan 2 sisi alas dan atap yang bentuknya segi empat.
 Prisma segi empat mempunyai 8 titik sudut.
 Prisma segi empat mempunyai 12 rusuk, 4 di antara rusuk tersebut adalah

rusuk tegak.
3) Prisma Segi Lima

Prisma ini merupakan prisma yang alas dan atap nya berbentuk segi lima.

Sifat Prisma Segi Lima :
 Prisma segi lima mempunyai 10 titik sudut.
 Prisma segi lima mempunyai 15 rusuk, 5 di antara rusuk adalah rusuk tegak.
 Prisma segi lima mempunyai 7 sisi, 5 sisi samping yang bentuknya persegi

panjang dan 2 sisi ada di alas dan atap yang bentuknya segi lima

67

4) Prisma Segi Enam
Prisma ini merupakan prisma yang alas dan atap nya berbentuk segi enam.

Sifat Prisma Segi Enam
 Prisma segi enam mempunyai 12 titik sudut.
 Prisma segi enam mempunyai 18 rusuk, 6 di antara rusuk adalah rusuk tegak.
 Prisma segi enam mempunyai 8 sisi, 6 sisi di samping dan bentuknya adalah

persegi panjang dan 2 sisi ada di alas dan atap yang bentuknya segi enam

c) Jaring-jaring Prisma
Contoh jaring-jaring prisma segilima

Gambarkan model jaring-jaring prisma lainnya.

d) Luas Permukaan Prisma

Luas permukaan prisma merupakan merupakan jumlah luas sisi-sisi prisma tersebut.

( )( )

Buktikan luas permukaan Prisma tersebut!

e) Volume Prisma
Volume prisma ditentukan oleh bentuk alasnya, sehingga volume prisma dapat
ditentukan dengan cara sebagai berikut:

68

4. Limas
Limas merupakan suatu bangun ruang sisi datar yang dibatasi oleh sebuah sisi alas yang
berupa segibanyak dan sisi-sisi tegak yang berbentuk segitiga. Salah satu titik sudut dari
masing-masing segitiga tersebut bertemu pada satu titik yaitu titik puncak limas.
Pemberian nama pada limas berdasarkan bentuk alasnya.

a) Sifat-sifat Limas segi n
Berikut merupakan sifat-sifat yang dimiliki bangun ruang limas segi-n.
 Banyak sisi

Banyak sisi pada limas segi-n adalah n + 1 buah, sebuah sisi alas dan n buah sisi tegak
berbentuk segitiga.
 Banyak titik sudut
Titik sudut pada limas segi-n ada sebanyak n + 1. Sebuah titik sudut merupakan titik
puncak limas (pertemuan titik-titik sudut dari sisi tegak) dan n buah sudut merupakan
sudut yang terbentuk pertemuan titik sudut segi-n dengan sisi tegak.
 Banyak rusuk
Banyak rusuk pada bangun limas segi-n adalah 2n buah.
b) Jaring-jaring Limas

Gambarkan model jaring-jaring limas lainnya!

69

c) Luas Permukaan Limas
Luas permukaan limas dapat diperoleh dengan cara menghitung jumlah luas sisi-sisi
yang membangunnya atau dengan kata lain jumlah luas bangun datar dari jaring-
jaring limas yang terbentuk.

d) Volume Limas
Volume Limas segi n dapat ditentukan oleh rumus sebagai berikut:

Buktikan rumus volume Limas tersebut!

C. Bangun Ruang Sisi Lengkung

Bangun ruang sisi lengkung merupakan bangun ruang yang sisi pembatasnya berupa
bidang lengkung. Contohnya yaitu Tabung, Kerucut dan Bola.
1. Tabung

Tabung merupakan bangun ruang sisi lengkung yang memiliki bidang alas dan bidang
atas berbentuk lingkaran yang sejajar dan kongruen. Sifat-sifat tabung menurut Sumanto
dkk. (2008: 146) sebagai berikut:

 Sisi tabung ada 3, yaitu sisi alas, sisi atas dan sisi lengkung atau selimut tabung
 Tabung tidak mempunyai titik sudut
 Bidang alas dan atas berbentuk lingkaran dan kongruen.
 Tabung memiliki 2 buah rusuk lengkung

a) Unsur-unsur Tabung
Perhatikan gambar Tabung di atas! Tabung memiliki unsur sebagai berikut:

 Sisi alas, yaitu sisi yang berbentuk lingkaran dengan pusat , dan sisi atas, yaitu
sisi yang berbentuk lingkaran dengan pusat
70

 Selimut tabung, yaitu sisi lengkung tabung
 Diameter lingkaran alas, yaitu ruas garis AB, dan diameter lingkaran atas, yaitu

ruas garis CD dan , serta jari-jari lingkaran atas
 Jari-jari lingkaran alas (r), yaitu garis

(r), yaitu ruas garis dan
 Tinggi tabung, yaitu jarak antara alas tabung dan atas tabung (panjang ruas garis

)

b) Jaring-jaring Tabung
Contoh jaring-jaring Tabung

Gambarkan model jaring-jaring tabung yang lain!

c) Luas Permukaan Tabung

Luas permukaan tabung merupakan jumlah luas sisi-sisi tabung. Sehingga didapatkan

rumus untuk mencari luas permukaan tabung yaitu:

( ) Luas selimut tabung sama
( )( ) dengan luas persegi

() panjang yaitu : keliling
lingkaran x tinggi

d) Volume Tabung
Rumus volume tabung yaitu:

71

2. Kerucut
Kerucut merupakan bangun ruang sisi lengkung yang menyerupai limas segi-n beraturan
yang bidang alasnya berbentuk lingkaran. Sumanto dkk. (2008: 152) menyatakan bahwa
kerucut adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah sisi alas yang berbentuk lingkaran
dan sebuah sisi lengkung (selimut yang mengerucut ke atas, semakin ke atas semakin
kecil atau lancip). Sifat-sifat yang dimiliki oleh kerucut, yaitu
 Memiliki 2 sisi, yaitu sisi alas dan sisi lengkung kerucut
 Memiliki 1 rusuk lengkung
 Memiliki 1 titik sudut

a) Unsur-unsur Kerucut
Perhatikan gambar kerucut di atas! Kerucut memiliki unsur-unsur sebagai berikut:
 Bidang alas, yaitu sisi yang berbentuk lingkaran
 Diameter bidang alas (d), yaitu ruas garis AB.
 Jari-jari bidang alas (r), yaitu garis OA dan ruas garis OB.
 Tinggi kerucut (t), yaitu jarak dari titik puncak kerucut ke pusat bidang alas
(ruas garis CO).
 Selimut kerucut, yaitu sisi lengkung kerucut
 Garis pelukis (s), yaitu garis-garis pada selimut kerucut yang ditarik dari titik
puncak C ke titik pada lingkaran

b) Jaring-jaring Kerucut
Contoh jaring-jaring kerucut

72

c) Luas Permukaan Kerucut
Luas permukaan kerucut merupakan jumlah luas sisi alas dan luas selimut kerucut.
Luas Alas kerucut merupakan luas lingkaran. Sedangkan untuk menentukan luas
selimut kerucut yaitu sama dengan luas juring CDD', yaitu:

Jadi, luas selimut kerucut .

()
d) Volume Kerucut

Volume kerucut dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

Bisakah kamu menentukan kenapa volume kerucut luas alas x tinggi!

3. Bola
Bola adalah bangun ruang sisi lengkung yang dibentuk dari tak hingga lingkaran yang
memiliki jari-jari sama panjang dan berpusat pada titik yang sama.

a) Unsur-unsur Bola
Bola memiliki unsur-unsur sebagai berikut:

73

a. Bola memiliki 1 buat titik pusat. Titik pusat bola memiliki jarak sama tehadap
seluruh titik selimut bola mana saja.

b. Jari-jari pada bangun ruang bola adalah jarak dari titik pusat bola ke titik pada sisi
lengkung bola

c. Diameter bola adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada sisi bola yang
melewati titik pusat bola

d. Bola memiliki 1 sisi. Sisi bola adalah kumpulan titik yang mempunyai jarak sama
terhadap titik pusat bola. Sisi bola berbentuk lengkungan yang sering dinamakan
dengan selimut bola

b) Luas Permukaan Bola
Luas permukaan bola sama dengan 4 kali luas lingkaran yang memiliki jari-jari yang
sama atau dapat dituliskan sebagai berikut:

Bisakah kamu membuktikan rumus luas permukaan bola tersebut!
c) Volume Bola

Volume bola dapat ditentukan dengan rumus berikut:

Buktikan rumus volume bola tersebut!

74

Ayo Berkreasi
Perhatikan gambar Anmor Resort berikut! Anmon Resort merupakan tempat penginapan yang
teletak di daerah kawasan Lagoi Kabupaten Bintan Kepulauan Riau. Kamar yang berbentuk
tenda ini membuat pengunjung berasa sedang melakukan perkemahan. Jika tenda tersebut
berbentuk Limas Segi Enam Beraturan dan Prisma Segitiga, maka rancanglah ukuran tenda
tersebut agar terlihat indah dan membuat orang nyaman di dalamnya, serta tentukan berapa
meter minimal kain yang digunakan untuk menutupi tenda tersebut!

75

Daftar Pustaka

Anglin, W. S. 1994. Mathematics: A Concise History and A Philosophy. Springer Verlag.
New York

As’ari, Abdur Rahman, dkk. 2017. Matematika SMP/MTs Kelas VIII Semester 2 Edisi Revisi
2017. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan

Boyer, Carl B. 1968. A History of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc. New York

Coxeter. 1969. Introduction to Geometry. University of Toronto Press:Toronto of Canada
Fitzpatrick Richard. Euclid’s Elements of Geometry. 1885. The Greek text, Heiberg

History of Geometry. www.wyzant.com/geometry/history-of-geometry.html.
Kresnoadi. 2018. “Serba-Serbi Segitiga: Garis, Sudut, dan Bangun Istimewa | Matematika

Kelas 7”, https://www.ruangguru.com/blog/segitiga, diakses pada 12 April 2021.

Marasabessy, R. (2021). Teorema Pythagoras: Aplikasinya terhadap Teorema Heron dan
Dimensi Tiga. PRISMA, Prosiding Seminar Nasional Matematika 4, 743-754

Ngapiningsih. dkk. 2014. Buku PR Matematika SMP/MTs Kelas VIII Semester 2. Klaten: PT
Intan Pariwara

Sitorus. 1990. Pengantar Sejarah Matematika dan Pembaharuan Pengajaran Matematika di
Sekolah. Tarsito. Bandung.

Subarinah, S. (2006). Inovasi Pembelajaran Matematika SD. Depdiknas.

Subchan, Winarni, Syifa’ul, M.M., et. al. (2018). Matematika SMP/Mts Kelas IX.
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan: Jakarta

GLOSARIUM

Altar :Bangunan apapun di mana kurban atau persembahan lainnya

dipersembahkan untuk tujuan religious, atau tempat sacral di mana upacara

keagamaan berlangsung

Aksioma :Anggapan dasar yang disepakati benar tanpa harus dibuktikan kebenarannya

Astronomi :Ilmu alam yang meneliti benda langit seperti bintang,planet, komet, dan lain-

lain serta fenomena-fenomena alam yang terjadi di luar atmosfer bumi

Deduktif :Pernyataan yang mendukung gagasan utama, mengacu pada memulai

dengan kesimpulan umum atau pernyataan atau argumen khusus atau khusus

untuk mendukung tuisan

Definisi :Rumusan tentang ruang lingkup dan ciri-ciri suatu konsep yang menjadi

pokok pembicaraan

Filsafat :Kajian masalah mendasar dan umum tentang persoalan seperti eksistensi,

pengetahuan, akal, pikiran dan bahasa

Geometri :Cabang dari matematika yang memuat konsep mengenai titik, garis, bidang

dan benda-benda ruang beserta sifat-sifat dan ukurannya

Intuitif :Kemampuan memahami sesuatu tanpa melalui penalaran rasional dan

intelektualitas

Invarian :Sebuah besaran sistem fisik yang bersifat tetap jika diterapkan suatu fungsi

transformasi

Kolinier :Terletak dalam satu garis lurus

Kongruen : Dua bangun yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama

Konstruksi :Merupakan suau kegiatan membangun sarana maupun prasarana

Maritim :Ilmu yang mempelajari tentang kelautan, sumber daya, manusia dan

linkgungan hidup

Papirus :Sumber informasi utama dari matematika bangsa Mesir dalam sebuah

dokumen

Perahu jong :Merupakan permainan rakyat khas melayu yang melegenda di Kepulauan

Riau, berlayar dengan mengandalkan tiupan angin

Proyektif :Kajian sifat-sifat geometris yang imvarian di bawah transformasi projektif

Ruas garis :Himpunan titik yang memanjang dengan posisi lurus dan dibatasi oleh dua

buah titik

77

Relativitas :Teori yang membahas mengeni kecepatan dan percepatan yang diukur
secara berbeda melalui kerangka acuan

Sinar garis :Bagian dari garis yang memanjang ke satu arah dengan panjang tidak
terhingga
Sulbasutra :Panduan untuk pembangunan altar-altar untuk pemujaan dan menjelaskan

sejarah geometri bangsa India
Transformasi :Suatu fungsi yang memetakan kedudukan setiap titik dari posisi awl menjadi

posisi baru
Teorema :Anggapan sementara yang harus dibuktikan kebenarannya melalui

serangkaian pembuktian deduktif

78

INDEKS S
sulbasutra,2
A
Aksioma, 7, T
Astronomi, 1 thales, 4
transformasi, 1
B
Barelang, 31, 38
Bengkalis, 20

D
Deduktif, 4, 7

E
Einstein, 4,
Eliptik, 4
Euclid, 1, 3, 4, 5, 7

F
Filsafat, 4

G
geometri, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 31, 38, 62

I
intuitif, 2,
invarian, 1

K
Kepulauan riau, 6, 12, 20, 31
Kolinier, 9

M
Maritim, 39
Melayu, 12, 20

P
papirus, 2
Perahu jong, 12
Plato, 4
Pythagoras, 2, 4, 31, 32, 35

79