L E M B A R K E R J A P E S E R T A D I D I K PEMBAGIAN POL INOMIAL MATA PELAJARAN : MATEMATIKA PEMINATAN KELAS/SEMESTER : XI MIPA/II Disusun Oleh : Nama : Vera Milakustina NIM : 22081000482 No. UKG : 201509211 PENDIDIKAN PROFESI GURU(PPG) DALAM JABATAN KATEGORI 1 GEL 2 UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JAKARTA 2023
LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD) Kompetensi Dasar : 3.5 Menganalisis keterbagian dan faktorisasi polinomial 4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan faktorisasi polinomial KELOMPOK : NAMA KELOMPOK : INDIKATOR : 3.5.1 Menentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak f(x) dengan (x – k) 3.5.2 Menentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak f(x) dengan (ax + b) 3.5.3 Menentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak f(x) dengan (ax2 + bx + c) 4.5.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pembagian suku banyak (polinomial) TUJUAN PEMBELAJARAN : Peserta didik dapat menentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak f(x) dengan (x – k) dengan benar Peserta didik dapat menentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak f(x) dengan (ax + b) dengan tepat Peserta didik dapat menentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak f(x) dengan (ax2 + bx + c) dengan benar Siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pembagian suku banyak (polinomial) dengan tepat 1. Bacalah setiap permasalahan dengan teliti, kemudian diharapkan kamu dapat menuliskan apa yang diketahui, apa yang ditanyakan, model matematika serta kemungkinan cara penyelesaiannya yang berhubungan dengan masalah tersebut. 2. Setelah itu diskusikan dalam kelompokmu, setiap orang dalam kelompok harus mendapat giliran mengeluarkan pendapat serta mendengarkan dengan seksama ide dari temanmu. Jika dalam kelompokmu mendapat masalah yang tidak dapat kamu selesaikan, kamu dapat bertanya kepada guru. 3. Setelah selesai, setiap kelompok masing-masing menuliskan jawabannya pada bagian yang telah disediakan.
Kegiatan 1 : Pembagian Tentukanlah pembagian dari 412 : 7 dengan cara bersusun pendek. Alternatif Penyelesaian : ...... Hasil bagi ....... 412 Bilangan yang dibagi ..... – ...... ...... – ..... Sisa pembagian Untuk menjawabnya, lakukan kegiatan berikut. Kawan, masih ingat nggak tentang pembagian dengan cara bersusun pendek? Untuk mengingat kembali ayo kita kerjakan kegiatan di bawah ini…^_^ ^_^ Pembagi Dari kegiatan di atas, diperoleh bahwa : = ........ + ……. 412 = ....... × ....... + ....... Dengan demikian, hubungan yang terdapat dalam pembagian bilangan bulat dapat dirumuskan sebagai berikut : bilangan yang dibagi = .................. × ............................ + ........................................... Bagaimana halnya dengan pembagian pada suku banyak? Apakah cara di atas dapat digunakan pada pembagian suku banyak? Atau adakah cara lainnya?
PEMBAGIAN SUKU BANYAK f(x) dengan (x – k) A. Cara Bersusun KEGIATAN 2 2. Tentukan hasil bagi dan sisa dari f(x) = 4x 3 – 7x 2 + 2x + 3 dibagi dengan (x – 2) dengan cara bersusun. Alternatif Penyelesaian : Nah, sekarang kalian sudah tahu pembagian suku banyak dengan cara bersusun kan.... Ayo kita berlatih!!! 1. Tentukan hasil bagi dan sisa dari f(x) = x 3 + 4x 2 – 2x + 4 dibagi dengan (x – 1) dengan cara bersusun. Alternatif Penyelesaian : ...... + ....... + ...... hasil bagi x – 1 x3 + 4x2 – 2x + 4 ..... – ...... – (1) ...... – 2x (2) pembagi ...... – ...... – (3) ...... + ...... (4) ...... – ...... – (5) ...... sisa Jadi, hasil baginya adalah ................................ dan sisanya adalah ......... Langkah Penyelesaian : (1) Bagilah suku pertama x 3 dengan x, diperoleh hasilnya ...... Kalikan hasil tersebut dengan pembagi (x–1) diperoleh .........(x–1) = ....................... Lalu kurangkan sehingga diperoleh sisanya ........ (2) Kemudian, turunkan suku kedua –2x menjadi ...... – 2x (perhatikan tanda panah biru) (3) Bagilah hasil dari langkah (2) dengan x, diperoleh hasilnya ....... Kalikan hasilnya dengan (x–1) diperoleh ........................ Lalu kurangkan sehingga diperoleh sisanya ........ (4) Kemudian, turunkan suku berikutnya 4 menjadi ....... + ....... (5) Bagilah hasil dari langkah (4) dengan x, diperoleh hasilnya ....... Kalikan hasilnya dengan (x–1) diperoleh ........................ Lalu kurangkan sehingga diperoleh sisanya ........ Jika semua suku dari suku banyak f(x) telah digunakan, maka pembagian selesai. Dari langkah-langkah tersebut, dapat dituliskan : x 3+4x 2 –2x+4 = (x – 1) (...........................) + .......... suku banyak pembagi hasil bagi sisa yang dibagi
B. Cara Horner / Sintetik Ayo Berlatih 2. Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak f(x) = x 5 – 2x 3 + 7x – 1 dengan (x + 2) dengan cara Horner. Alternatif Penyelesaian : 1. Tentukan hasil bagi dan sisa dari f(x) = x 3 + 4x 2 – 2x + 4 dibagi dengan (x – 1) dengan cara Horner. Alternatif Penyelesaian : Suku banyak f(x) = x 3 + 4x2 – 2x + 4 diperoleh : Koefisien x 3 : ..... Koefisien x 2 : ..... Koefisien x : ..... Koefisien konstanta (c) : ..... Pembuat nol pembagi : x – 1 berarti x – 1 = 0 atau x = ..... Bagan cara Horner diperlihatkan sebagai berikut : x 3 x 2 x c suku banyak f(x) 1 ..... ..... ..... koefisien f(x) 1 1 ..... ..... hasil kali dengan + pembagi yaitu 1 1 ..... ..... ...... sisa pembagi koefisien hasil bagi Jadi, hasil baginya adalah ................................ dan sisanya adalah ......... Langkah Penyelesaian : (1) Suku banyak ditulis dalam urutan pangkat menurun. Jika ada pangkat yang tidak ditulis dalam soal, tuliskan dengan memberi koefisien 0 untuk pangkat tersebut (2) Tentukan pembuat nol pembagi yaitu x – k = 0 atau x = k (3) Tuliskan koefisien – koefisien suku banyak f(x) dan gunakan cara bagan untuk menyelesaikannya (4) Tanda berarti kalikan dengan pembagi (5) Hasil bagi diperoleh dengan melihat koefisien pada bagian bawah bagan dan sisa pembagiannya terletak di bagian ujung kanan bagan Ingat ya..... Jika derajat suku banyak f(x) adalah n dan derajat pembagi p(x) adalah m maka derajat hasil bagi H(x) = (n – m) Derajat sisa pembagiannya merupakan konstanta
Apa yang dapat kamu amati dari pembagian suku banyak di atas dengan menggunakan cara bersusun maupun cara Horner? Berikan alasanmu. ............................................................................................................. ............................................................................................................. .............................................................................................. Dari kegiatan di atas, dengan menggunakan cara bersusun maupun cara Horner diperoleh : x 3+4x 2 –2x+4 = (x – 1) (...........................) + .......... Misalkan suku banyak yang dibagi adalah f(x)=x 3+4x2 –2x+4, pembaginya p(x) = (x–1), hasil baginya H(x) = ......................, dan sisanya S(x) = ....... Secara umum dapat dirumuskan dalam bentuk berikut : f(x) = p(x) ........ + ...... Dengan demikian, jika suku banyak f(x) dibagi dengan (x – k), hasil baginya H(x) dan sisanya S(x), maka berlaku f(x) = (..................) ........ + ......
CARA BERSUSUN CARA HORNER Untuk menjawabnya, lakukan kegiatan berikut : Ayo Analisis Dengan menggunakan pembagian suku banyak f(x) dengan ( − ), maka dapat dituliskan () ≡ ( − )() + () Jika + = ( − (− )), dengan memisalkan − = , maka dapat dituliskan + = (… −. … ). Karena − = , maka diperoleh: () ≡ ( − )() + () KEGIATAN 3 : PEMBAGIAN SUKU BANYAK f(x) DENGAN (ax + b) Apakah cara Horner dapat digunakan untuk pembagian suku banyak f(x) dengan (ax + b)?? Apakah hasil bagi dan sisanya akan sama dengan cara bersusun?? Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari suku banyak f(x) = 4x 3 – 2x 2 + 4x – 3 dibagi (2x + 3) dengan cara bersusun. Alternatif Penyelesaian : ............................... 2x + 3 4x 3 – 2x 2 + 4x – 3
() ≡ ( − (− )) () + () () ≡ ( … . . . . . +. … … . . ) () + () () ≡ (… . . +. … . ) ( () … . ) + () Berdasarkan uraian di atas diperoleh bahwa jika suku banyak f(x) dibagi dengan (ax + b) maka hasil baginya adalah ….…. …….. dan sisa pembagian ......... Hasil bagi ….…. …….. inilah yang akan digunakan dalam cara Horner. Nah, agar lebih memahami cara menentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak f(x) dengan (ax + b) menggunakan cara Horner, perhatikan kembali masalah pada kegiatan 3 dengan cara bersusun. \ KESIMPULAN Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (ax + b) dengan hasil baginya H(x) dan sisa S(x) maka dapat dituliskan sebagai berikut f(x) = (...... + ......) ……. ……. + S(x) Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari suku banyak f(x) = 4x 3 – 2x 2 + 4x – 3 dibagi (2x + 3) dengan cara Horner. Alternatif Penyelesaian : Suku banyak f(x) = 4x3 – 2x2 + 4x – 3 diperoleh : Koefisien x 3 : ..... Koefisien x 2 : ..... Koefisien x : ..... Koefisien konstanta (c) : ..... Pembagi : 2x + 3 = 2( − (− ⬚ ⬚ )) berarti a = ....... dan k = − ⬚ ⬚ Bagan cara Horner : 4 ...... ...... ...... − ⬚ ⬚ ...... ...... ...... + 4 ...... ...... ...... H(x) Dari bagan tersebut diperoleh hasil baginya adalah () = ………………….………. ….. = .............................. dan sisanya adalah ......... Jadi, diperoleh H(x) = ....................... dan S(x) = ......
Kegiatan 4 Pembagian Suku Banyak f(x) dengan + + , ≠ Faktorkan persamaan-persamaan kuadrat berikut. a. 2 + 7 + 12 = 0 b. 3 2 − 11 − 4 = 0 Alternatif Penyelesaian : a. 2 + 7 + 12 = 0 ( +. … . )( +. … . ) = 0 (… … … … ) = 0 ∨ (… … … … ) = 0 =. … . . .∨ =. … … b. 3 2 − 11 − 4 = 0 (3+. … . )(−. … . ) = 0 (… … … … ) = 0 ∨ (… … … … ) = 0 3 =. … … ∨ =. … … =. … . . .∨ =. … … A. CARA BERSUSUN Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak f(x) = x 4 – 3x 2 + 2x – 1 dengan x 2 – x – 2 dengan cara bersusun. Alternatif Penyelesaian : ................................ x 2 – x – 2 x 4 – 3x 2 + 2x – 1 Teman-teman, masih ingatkan cara memfaktorkan suatu persamaan kuadrat??? Yuk, kita kerjakan soal-soal berikut... Apakah pembagian suku banyak f(x) dengan pembagi berbentuk persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan cara bersusun dan
B. CARA HORNER Kalau persamaan kuadratnya tidak dapat difaktorkan, apakah bisa digunakan cara bersusun dan Horner?? Langkah Penyelesaian : (1)Tentukan faktor dari pembagi ax2 + bx + c atau dapat dituliskan a(x – k1) (x – k2), a≠0. (2)Dengan menggunakan bagan, bagilah suku banyak f(x) dengan (x – k1), maka diperoleh () ≡ ( − 1 )1 () + 1 (3)Hasil bagi 1 () dibagi lagi dengan (x – k2), diperoleh 1 () ≡ ( − 2 )2 () + 2 Jika 1 () disubstitusi ke bentuk kesamaan (), diperoleh : () = ( 2 + + ) 2 () + 2 ( − 1 ) + 1 sisa hasil bagi (4)Dari persamaan di atas, maka diperoleh : hasil bagi () = 2 () sisa () = 2 ( − 1 ) + 1 Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak f(x) = x 4 – 3x 2 + 2x – 1 dengan x 2 – x – 2 dengan cara Horner. Alternatif Penyelesaian : Faktor dari x 2 – x – 2 = (x – ......) (x + ......) (1) Bagan Horner dengan pembagi (x – ......) = 0 atau x = ..... (2) 1 ...... ...... ...... ...... ....... ...... ...... ...... ...... + 1 ...... ...... ...... ...... S1 H1(x) Hasil bagi H1(x) = ..................................... dan S1 = ...... Bagan Horner dengan pembagi (x + ......) = 0 atau x = ..... (3) 1 ...... ...... ...... ....... ...... ...... ..... + 1 ...... ...... ...... S2 H2(x) Hasil bagi H2(x) = ................................... dan S2 = ........ Substitusi S2 = ........ dan S1 = ....... ke persamaan () = 2 ( − 1 ) + 1 (4) =. … . (−. … . . )+. … .. =. … … … … … … .. Jadi, diperoleh () = ................................................ dan () = ...........................
Bagan Horner hanya dapat digunakan untuk pembagi yang dapat difaktorkan saja. Jika pembagi tidak dapat difaktorkan, maka hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak itu dapat ditentukan dengan cara bersusun. KESIMPULAN Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (ax2 + bx + c) dengan hasil baginya 2 () dan sisa 2 ( − 1 ) + 1 maka dapat dituliskan sebagai berikut : () = (… … . . +. … . . +. … . ) … … … … + 2 ( − . … . . ) + 1 Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak f(x) = x 3 + x 2 + 2x + 10 dengan x 2 – x + 3 dengan cara bersusun. Alternatif Penyelesaian : ................................... x 2 – x + 3 x 3 + x 2 + 2x + 10