เวกเตอร์ (vector)

vector

จัดทำโดย

นายเกียรติศักดิ์ พื้นชมภู เลขที่ 2
นางสาวคำแก้ว ธรรมนิยม เลขที่ 13
นางสาวเบญจมาศ ศรีจันทร์ เลขที่ 37

เสนอ

คุณครู กนกอร พันธ์ุไพโรจน์

เวกเตอร์ ปริมาณที่ใชใ้ นทางคณติ ศาสตรแ์ ละวทิ ยาศาสตร์ แบ่งออกเปน็ 2 ประเภท คือ

1.ปริมาณสเกลาร์ คือปรมิ าณที่มแี ต่เพยี งขนาด เช่น น้าหนกั เวลา ความสูง ปริมาตร เปน็ ตน้
2.ปรมิ าณเวกเตอร์ คือปริมาณท่ีมีทังขนาดและทิศทาง เช่น แรง ความเร็ว ความเรง่

บทนยิ าม

ให้ ⃑ และ ⃑ แทนเวกเตอร์ ในระนาบ ⃑ = ⃑ กต็ ่อเม่ือ |⃑| = |⃑| และ ⃑ กบั ⃑ มีทศิ เดียวกัน

นเิ สธของเวกเตอร์

นิเสธของเวกเตอร์ ⃑ คอื เวกเตอรท์ ี่มีขนาดเท่ากับ ⃑ แต่มที ศิ ทางตรงขา้ มกบั ⃑ ถ้า ⃑ คือเวกเตอร์ในระนาบ
นเิ สธของ ⃑ คอื ⃑

การขนานกนั ของเวกเตอร์

เวกเตอร์ ⃑ ขนาน ⃑ แทนด้วย ⃑ // ⃑ เมอื่ ⃑ และ ⃑ มที ิศทางเดียวกัน

ตวั อยา่ งโจทย์ กา้ หนดให้ ABCDEF เปน็ รูปหกเหล่ยี มด้านเทา่

1.จงหาเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกบั เวกเตอรท์ ี่ก้าหนดให้
⃑⃑⃑⃑ มที ิศทางเดียวกับ ⃑⃑⃑⃑
⃑⃑⃑⃑ มีทิศทางเดยี วกบั ⃑⃑⃑
⃑⃑⃑⃑ มีทศิ ทางเดยี วกบั ⃑⃑⃑

2.จงหาเวกเตอรท์ ี่ขนานกับเวกเตอร์ที่ก้าหนดให้
⃑⃑⃑⃑ ขนานกับ ⃑⃑⃑⃑
⃑⃑⃑⃑ ขนานกบั ⃑⃑⃑
⃑⃑⃑⃑ ขนานกับ ⃑⃑⃑

3.จงหาเวกเตอรท์ ี่เทา่ กับเวกเตอร์ท่กี ้าหนดให้
⃑⃑⃑⃑ เท่ากบั ⃑⃑⃑⃑
⃑⃑⃑⃑ เท่ากับ ⃑⃑⃑
⃑⃑⃑⃑ เทา่ กบั ⃑⃑⃑

4.จงหาเวกเตอรท์ เ่ี ป็นนเิ สธของ ⃑⃑⃑⃑ มาทุกเวกเตอร์
⃑⃑⃑ และ ⃑⃑⃑⃑

การบวกและการลบเวกเตอร์

การบวกเวกเตอร์

การลบเวกเตอร์

⃑ - ⃑ = ⃑ + ( ⃑)

ตัวอยา่ งโจทย์

1. กำหนดเวกเตอร์ใหด้ ังรูป

จงหำ
1.⃑⃑⃑⃑ + ⃑⃑⃑⃑ = ⃑⃑⃑⃑
2.⃑⃑⃑⃑ + ⃑⃑⃑⃑ = ⃑⃑⃑⃑
3.⃑⃑⃑⃑ - ⃑⃑⃑⃑ = ⃑⃑⃑⃑ – ( -⃑⃑⃑⃑⃑) = ⃑⃑⃑⃑+⃑⃑⃑⃑ = ⃑⃑⃑⃑+ ⃑⃑⃑⃑ = ⃑⃑⃑⃑
4. .⃑⃑⃑⃑ + ⃑⃑⃑⃑ + ⃑⃑⃑⃑ + ⃑⃑⃑⃑ = ⃑⃑⃑⃑ + ⃑⃑⃑⃑ + ⃑⃑⃑⃑ = 2⃑⃑⃑⃑ + ⃑⃑⃑⃑

2.จงเขยี นเวกเตอร์ทกี่ ำหนดให้อย่ใู นรูป ⃑ , ⃑ , ⃑ , ⃑ , ⃑ หรือ ⃑

1.⃑⃑⃑⃑ = ⃑⃑⃑⃑ + ⃑⃑⃑⃑ = ⃑ + ⃑ หรือ ⃑⃑⃑⃑ + ⃑⃑⃑⃑ = ⃑ - ⃑
2. ⃑⃑⃑⃑ = ⃑⃑⃑⃑ +⃑⃑⃑⃑ = ⃑ + ⃑ หรอื ⃑⃑⃑⃑ + ⃑⃑⃑⃑ = - ⃑ - ⃑
3. ⃑⃑⃑ = ⃑⃑⃑⃑ + ⃑⃑⃑⃑ + ⃑⃑⃑ = ⃑ + ⃑ + ⃑
4. ⃑⃑⃑ = ⃑⃑⃑⃑ + ⃑⃑⃑⃑ = ⃑ + ⃑







เวกเตอร์ในสามมิติ

ระบบพิกัดฉากสามมิติ

กาหนดเสน้ ตรง XX' YY' และ ZZ' เปน็ เส้นตรงท่ีผ่านจุด O และตัง้ ฉากซ่งึ กันและกัน ดัง รปู ที่ 1 ดังนัน้ ถ้าให้
เส้นตรงมั้งสามเปน็ เส้นจานวน ( real line) จะเรียกเสน้ ตรง XX' YY' และ ZZ' ว่า แกนพิกดั X แกนพกิ ดั Y
และ แกนพิกัด Z หรอื เรียกสั้นๆว่า แกน X (X-axis) แกน Y (Y-axis) และ แกน Z (Z-axis) ตามลาดับ และ
เรียกจดุ O ซ่งึ เปน็ จุดตดั ของแกน X แกน Y และแกน Z ว่า จดุ กาเนิด (origin)



เปรยี บเทยี บเวกเตอรใ์ นระบบพกิ ดั ฉาก

การเท่ากนั ของเวกเตอร์ 3 มติ ิ

2 มติ ิ ถ้า ⃑ = [ ] และ ⃑ = [ ] เป็นเวกเตอร์ใน
ระบบพกิ ัดฉากสามมติ ิ แล้ว ⃑ = ⃑ กต็ ่อเม่อื
ถ้า ⃑ = [ ] และ ⃑ = [ ] เป็นเวกเตอรใ์ น
ระบบพกิ ดั ฉากสองมิติ แลว้ ⃑ = ⃑ กต็ ่อเม่ือ = , = และ =
a=c และ b=d

เวกเตอรศ์ ูนย์ 3 มติ ิ

2 มติ ิ เวกเตอรใ์ นระบบพกิ ัดฉากสามมติ ิ หมายถึง

เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉากสองมิติ หมายถึง ⃑=[ ]
⃑=[ ]

นิเสธของเวกเตอร์

2 มติ ิ 3 มิติ

ถา้ ⃑ = [ ] เป็นเวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉากสอง ถ้า ⃑ = [ ] เป็นเวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉาก
มติ ิ แลว้ นิเสธของ ⃑ หมายถึง ⃑ = [ ]

สามมติ ิ แลว้ นิเสธของ ⃑ หมายถงึ ⃑ = [ ]

การบวกเวกเตอร์

2 มิติ 3 มติ ิ

ถา้ ⃑ = [ ] และ ⃑ = [ ] เปน็ เวกเตอร์ใน ถา้ ⃑ = [ ] และ ⃑ = [ ] เปน็ เวกเตอร์ใน

ระบบพิกดั ฉากสองมิติ ระบบพกิ ดั ฉากสามมิติ
แล้ว ⃑ + ⃑ = [ ]+[ ] =[
แลว้ ⃑ + ⃑ = [ ] + [ ] = [ + ] +
+
+]

+

การลบเวกเตอร์

2 มติ ิ 3 มิติ

ถา้ ⃑ = [ ] และ ⃑ = [ ] เปน็ เวกเตอรใ์ น ถ้า ⃑ = [ ] และ ⃑ = [ ] เปน็ เวกเตอร์ใน

ระบบพิกัดฉากสองมิติ ระบบพิกัดฉากสามมิติ

แล้ว ⃑ - ⃑ = [ ]- [ ] = [ - ] -
- แลว้ ⃑ - ⃑ = [ ]-[ ] =[ - ]

-

การคณู เวกเตอรด์ ้วยสเกลาร์

2 มิติ 3 มติ ิ

ถา้ ⃑ = [ ] เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสอง ถา้ ⃑ = [ ] เปน็ เวกเตอร์ในระบบพกิ ัดฉาก
มติ ิ และ เปน็ จานวนจรงิ แลว้
สามมติ ิ และ เป็นจานวนจริง แล้ว
⃑= [ ] = [ ]

⃑= [ ] =[ ]

ตวั อยา่ งโจทย์

1.จงหาเวกเตอร์ ⃑⃑⃑ และ ⃑⃑⃑ ในระบบพกิ ดั ฉาก เม่ือกาหนดจุด A และ B ใหด้ ังแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี

1.1 A( 1 , 8 ) , B( -2 , 3 )

⃑⃑⃑ = [ - ] =[ ]
-

⃑⃑⃑ = [ - ] =[ ]
-

1.2 A( 0 , 4 , 0) , B( 1 , -5 , 2)

-
⃑⃑⃑ = [ - ] = [ ]

-
-
⃑⃑⃑ = [ - ] = [ ]
-

2.จงหาจดุ สน้ิ สดุ ของเวกเตอร์ ⃑⃑⃑ (จุด B ) จากเงื่อนไขทก่ี าหนดให้ตอ่ ไปน้ี

2.1 ⃑⃑⃑ = [ ] , A( 2 , 3 )

วิธีทา [ ]=[ - ]
-

จะได้ 2 = x - 2 และ 7 = y – 3

X = 2+2 y =7+3

X = 4 y = 10

ดังน้นั จุด B คอื ( 4 , 10 )

3.จงหาจุดสนิ้ สุดของเวกเตอร์ ⃑⃑⃑ (จดุ A ) จากเงื่อนไขท่กี าหนดให้ต่อไปน้ี

3.1 ⃑⃑⃑ = [ ] , B( -1 , 3 )

วิธที า [ ] = [ -- ]

จะได้ 4 = - 1 – x และ 6 = 3 - y

X = -1 - 4 y =3-6

X = -5 y = -3

ดงั น้ัน จดุ B คือ ( -5 , -3 )

เวกเตอรห์ นงึ่ หนว่ ย

คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ 1 หน่วย

เวกเตอรห์ น่ึงหนว่ ย 2มติ ิ

1.เวกเตอร์หน่งึ หนว่ ย ⃑
คือเวกเตอรท์ ม่ี ีขนาดเท่ากบั หนง่ึ หนว่ ยในระบบพกิ ัดฉาก ทีข่ นานกบั แกน x และมีทิศทางบวก

2.เวกเตอร์หนึ่งหน่วย ⃑
คอื เวกเตอรท์ มี่ ีขนาดเท่ากบั หน่งึ หนว่ ยในระบบพิกดั ฉาก ทขี่ นานกบั แกน y และมที ิศทางบวก

ถา้ ⃑ = [ ] เปน็ เวกเตอร์ใดๆแลว้
⃑ = a⃑+ b⃑

เวกเตอรห์ นึ่งหนว่ ย 3 มิติ

1.เวกเตอร์หนง่ึ หน่วย ⃑
คอื เวกเตอร์ทม่ี ขี นาดเท่ากับหน่ึงหน่วยในระบบพิกัดฉาก ที่ขนานกบั แกน x และมที ิศทางบวก

2.เวกเตอร์หน่งึ หนว่ ย ⃑
คอื เวกเตอร์ท่มี ีขนาดเทา่ กับหน่งึ หน่วยในระบบพิกัดฉาก ทขี่ นานกับแกน y และมที ศิ ทางบวก

3.เวกเตอร์หนง่ึ หน่วย ⃑
คือเวกเตอร์ทม่ี ีขนาดเท่ากับหนง่ึ หน่วยในระบบพิกัดฉาก ทข่ี นานกับแกน z และมีทิศทางบวก

ถา้ ⃑ =[ ] เปน็ เวกเตอร์ใดๆแลว้

⃑ = a⃑+ b⃑+ c⃑

เวกเตอรห์ น่ึงหนว่ ยของ ⃑

ให้ ⃑ เปน็ เวกเตอรใ์ ดๆ เวกเตอร์หนึง่ หนว่ ยท่ีมที ิศทางเดียวกับ ⃑ คือ ⃑
|⃑|

การหาขนาดเวกเตอร์ 2มติ ิ

ให้ ⃑ = a⃑+ b⃑

จะได้ว่า |⃑⃑ | = √

การหาขนาดเวกเตอร์ 3มติ ิ

ให้ ⃑ = a⃑+ b⃑+ c⃑

จะไดว้ า่ |⃑⃑ | =√

ตัวอยา่ งโจทย์

1.จงเขยี น AB ในรูป ai + bj หรือ ai + bj + ck

1.1 A( 1 , 4 ) , B( 3 , 6 )

AB = 3-1 = 2
6-4 2

AB = 2i + 2j

1.2 A( 2 , 3 , 4 ) , B( -2 , 1 , 3 )

−2 - 2 −4
AB = 1 - 3 = −2
3 - 4 −1

AB = -4i - 2j - k

2.จงหาขนาดของเวกเตอร์

2.1 = √ + √

วธิ ีทา | | = √( ) ()

√ √

= √√ √

=√
=1
ดังน้นั | | = 1 หนว่ ย

3 2 −4

2.2 = 2

−4

วธิ ีทา | | = √3

= √ 4 16

= √2

ดงั นน้ั | | = √2 หน่วย

3. จงหาเวกเตอร์หน่งึ หน่วยที่ขนานกบั
3.1 = 6

วธิ ที า | | = √6
= √36 64
= √1
= 10

เวกเตอร์หนงึ่ หนว่ ยทขี่ นานกับ คือ | |
=

=+
=+

ดงั นน้ั เวกเตอร์หนึง่ หนว่ ยท่ีขนานกบั = 6 คอื +

ผลคูณเชงิ สเกลาร์

บทนิยาม

ผลคูณเชงิ สเกลาร์ของ ⃑ และ เขียนแทนดว้ ย ⃑
ถ้า ⃑ [ ] และ [ ] จะไดว้ า่ ⃑

ถ้า ⃑ [ ] และ [ ] จะได้ว่า ⃑

ตวั อย่าง

1. ถา้ ⃑ ̅ ̅ และ ̅ ̅ จงหา ⃑

⃑ [ ] และ [ ]

จาก ⃑
จะได้ ⃑ ( )( ) ( )( )

2. ให้ [ ] และ ⃑ [ ] จงหา ⃑ ()

จาก ⃑
⃑ ( )( ) ( )( ) ( )( )

สมบตั ิของผลคณู เชงิ สเกลาร์

1. ให้ ⃑ และ ̅ เป็นเวกเตอรใ์ ดๆในสองมติ ิหรอื สามมิตแิ ละ เป็นสเกลาร์ จะไดว้ ่า

1.1 ⃑ ⃑

1.2 ⃑ ( ⃑⃑ ) ⃑ ⃑ ⃑⃑

1.3 (⃑ ) ( ⃑ ) ⃑ ( )

1.4 ̅ ⃑

1.5 ⃑ ⃑ |⃑ |

1.6 ⃑ ⃑

⃑⃑

2. ถา้ เปน็ มุมระหว่าง ⃑ และ ซง่ึ แล้ว ⃑ |⃑ || | (มมุ

ระหว่างเวกเตอร์ หมายถึง มุมท่ีไมใ่ ช่มมุ กลับ ซ่งึ มีแขนของมมุ เปน็ รงั สที ขี่ นานและมที ิศทางเดยี วกนั กับ

เวกเตอรท์ ง้ั สอง)

3. ถา้ ⃑ และ เป็นเวกเตอร์ที่ไมใ่ ช่เวกเตอร์ศนู ย์ ⃑ ตั้งฉากกับ ก็ตอ่ เมอ่ื ⃑

**ควรจา**

1. |⃑ | |⃑ | | | ⃑

2. |⃑ | |⃑ | | | ⃑

3. |⃑ | |⃑ | |⃑ | | |

4.|⃑ | |⃑ | ⃑

5.(⃑ ) (⃑ ) |⃑ | | |

ตัวอยา่ ง

จงหามมุ ซง่ึ เปน็ มุมระหว่าง ⃑ กบั

1. ⃑ ̅

วิธที า จาก ⃑ |⃑ || |

⃑ ( )( ) ( )( )
⃑

⃑

√( ) ( ) √( ) ()

√√

√√

√( )( )( )

( )( )

2. ⃑ √
วิธีทา จาก ⃑ |⃑ || |
( )( ) ( √ )( )
⃑

√( ) ( √ ) √( ) ()

√√
√√
( )( )

3. ให้ ⃑ และ เป็นเวกเตอร์ 1 หนว่ ย ถา้ ⃑ ตงั้ ฉากกับ ⃑ แลว้ เวกดตอร์ ⃑
มขี นาดเท่าใด

วธิ ที า จากโจทยใ์ ห้ ให้ ⃑ และ เป็นเวกเตอร์ 1 หน่วย จะได้ |⃑ | และ | |

( ⃑ ) (⃑ ) นั่นคอื

( ⃑ ) (⃑ )

|⃑ | ⃑ ⃑ ||

() ⃑ ()

⃑

⃑

⃑

จะได้ | ⃑ | | ⃑ | | | ⃑

|⃑ | | | ()

() () ()
() ()

|⃑ |

|⃑ | √

|⃑ | √

4. จงหามมุ แหลมที่ √ ทากบั แกน y

วิธที า ⃑ [√] []
⃑
( )( ) ( √ )( )

⃑√

|⃑ | √( ) ( )

|⃑ | √
|⃑ |

| | √( ) ( √ )

|| √

|| √

||

ได้ ⃑⃑
|⃑ ||⃑ |

√
( )( )

√

5. จงหามมุ ป้านที่ √ ทากบั แกน x

วิธีทา ⃑ [√] []
⃑
( )( ) ( √ )( )

⃑√

|⃑ | √( ) ( )

|⃑ | √
|⃑ |

| | √( ) ( √ )

|| √

|| √

||

ได้ ⃑⃑
|⃑ ||⃑ |

( )( )

ผลคูณเชงิ เวกเตอร์

ให้ ⃑ [ ] และ [ ] ผลคณู เชิงเวกเตอรข์ อง ⃑ กับ

แทนด้วย ̅ ̅ โดย

⃑[ ⃑ ̅ ⃑⃑⃑⃑̅ ] | | ⃑̇̅ | || |⃑

ตวั อย่าง จงหา ⃑ ในแตล่ ะข้อต่อไปน้ี

1. ⃑ [ ] และ [] ] (ขา้ งบนได้เทา่ ไหรใ่ ห้คูณ-1เข้าไป)
วธิ ีทา ⃑ [
⃑ ⃑
][ ⃑

⃑
⃑

⃑

2. ให้ ⃑ และ ⃑ จงหา ⃑
วิธที า ⃑ ⃑

[ ][ ] ⃑

⃑
⃑

ความแตกตา่ งระหวา่ งผลคูณเชงิ เวกเตอรแ์ ละผลคูณเชงิ สเกลาร์

1. ผลคณู เชงิ เวกเตอรห์ าไดเ้ ฉพาะใน 3 มิติน้นั ส่วนผลคูณเชิงสเกลารห์ าได้ทง้ั เวกเตอรใ์ น 2 มิติ และ 3
มติ ิ

2. ผลคูณเชิงเวกเตอร์ของเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ เปน็ เวกเตอร์ สว่ นผลคูณเชงิ สเกลาร์เปน็ สเกลาร์

สมบตั ิของผลคูณเชงิ เวกเตอร์

1. ⃑ ⃑ ⃑⃑
2. ⃑ ⃑⃑ ⃑ ⃑⃑

3. ⃑⃑ ⃑⃑

4. ⃑ ⃑

ข้อสงั เกต การคูณเชิงเวกเตอรไ์ มม่ คี ุณสมบตั สิ ลบั ทแี่ ละเปลีย่ นกลุ่มแตย่ งั คงคุณสมบตั ิการกระจาย ดงั นนั้
การเขยี นผลคณู เชงิ เวกเตอร์ของเวกเตอร์ 3 เวกเตอร์ จึงตอ้ งจัดกลุม่ ให้ชัดเจน โดยการใส่วงเลบ็ การเขยี น
⃑ ̅ ไมม่ คี วามหมาย

พิจารณา [] [] [ ⃑
]⃑

ในทานองเดยี วกัน จะได้ ⃑
⃑⃑
⃑⃑ ⃑
⃑

ให้ ⃑ [ ] และ [ ]
| ⃑ | | ⃑ || |

ตวั อย่าง

1. กาหนด ⃑ ̅ และ ⃑

จงหาค่า เมอ่ื เป็นมมุ ระหวา่ ง ⃑ กบั

วิธีทา จาก | ⃑ | | ⃑ || |

|⃑ | | ⃑ ]
|[

(⃑ )( ⃑)
(⃑ )( ⃑)

|⃑ | √

√

√

√

√√ √

√√ √

√ √√

√

√

2. ให้ ⃑ [ ] และ [ ] ถ้าค่า มคี ่าเท่ากบั 1 จงหาค่า

วิธีทา จาก | ⃑ ̅| | ̅|| | ⃑
|[ ]
⃑|

⃑ ⃑
⃑
⃑
|⃑ | √
√
√

|| √
|| √
|| √
|| √
|| √
|| √

|⃑ ̅| | ̅|| | √
√ √ √
จากโจทย์กาหนดให้ค่า
จะได้ √ √

–

ดังนนั้ จงึ มคี ่าเท่ากบั -10

การหาพนื้ ที่

การใชเ้ วกเตอร์ในการหาพ้นื ท่ีของรูปสีเ่ หลี่ยมด้านขนาน

| | |⃑ |

⃑

พน้ื ท่ีของรูปส่ีเหล่ยี มดา้ นขนาน |⃑ || |

ตวั อยา่ ง

1 จงหาพื้นทรี่ ูปสีเ่ หลย่ี มดา้ นขนาน ABCD เมื่อ

̅̅̅̅ ⃑ และ ̅̅̅̅ ⃑

B C

A D ]

วิธที า จากสูตรพน้ื ทีส่ ่ีเหลย่ี มด้านขนาน |̅̅̅̅ ̅̅̅̅|

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ | ⃑
|[

⃑ ⃑
⃑ ⃑

⃑
|̅̅̅̅ ̅̅̅̅| √

√
√
√

√ ตร.หนว่ ย
ดังนั้น พ้นื ท่ีรปู ส่ีเหลย่ี มด้านขนาน ABCD เท่ากับ √ ตร.หน่วย

2. จงหาพืน้ ที่ของสีเ่ หลย่ี มดา้ นขนาน ABCD ท่มี ีจุด A (1,-1,3) , B (2,3,-2) , C (1,1,5) , D (0,-3,10)

วิธที า ̅̅̅̅ [ ] []

̅̅̅̅ [ ] []

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ | ⃑
|[ ]

⃑ ⃑
⃑ ⃑

⃑
|̅̅̅̅ ̅̅̅̅| √

√
√ ตร.หนว่ ย
ดังนั้น พ้ืนทร่ี ูปสี่เหลย่ี มด้านขนาน ABCD เทา่ กบั √ ตร.หน่วย

การหาปรมิ าตรของทรงสเี่ หลยี่ มดา้ นขนาน

̅ ⃑

h





กาหนดทรงสี่เหล่ยี มดา้ นขนานซ่งึ มี ⃑ ̅ และ เป็นด้าน

ปริมาตรของส่เี หลย่ี มด้านขนานทรงตัน เทา่ กับ |⃑ || | | ̅ |

|⃑ || | | | |⃑ |

ตัวอยา่ ง

1.จงหาปรมิ าตรของทรงสเ่ี หล่ียมด้านขนานที่มี ⃑ ⃑ และ ⃑
⃑
เป็นด้าน

วิธที า ปริมาตร |⃑ |

⃑ ]
| |[

⃑

⃑

⃑

⃑ ( )( ⃑)

|⃑ | √
√
ลบ.หนว่ ย

ดังน้ัน ปริมาตรของทรงสี่เหล่ียมดา้ นขนานเท่ากบั ลบ.หนว่ ย