สมการเชิงเส้นตัวเเปรเดียว (1)

สมการ

เชิงเส้น

ตัวเเปร

เดียว

ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1

สมาชิก

นางสาวธนพร พึ่งโภคา เลขที่ 6
นางสาวภัคธีมา นาดี เลขที่ 10
นางสาวฐิติมา ทองชั้น เลขที่ 17
นางสาวขวัญปวีณ์ โทธานี เลขที่ 18

E-Book

คำนำ

สมการเชิงเส้นตัวเเปรเดียว ชั้นมัธยมศึกษาปีที่1

วัตถุประสงค์ของการเขียนหนังสือเล่มนี้ เพื่อให้ผู้เรียนได้เรียนรู้ในสาระ

การเรียนคณิตศาสตร์ตามมาตรฐานการเรียนรู้เเละตัวชี้วัด เน้นการเชื่อมโยงความ

รู้กับกระบวนการทักษะการเรียนรู้ในศตวรรษที 21 ฝึกทักษะตามสาระเพื่อวัดผล

ประเมินผลตนเอง มีกิจกรรมส่งเสริมให้เกิดทักษะเเละกระบวนการทาง

คณิตศาสตร์ มีความสามารถในการเเก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสาร
การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ การนำเสนอ การเชื่อมโยงความรู้ต่างๆ ทาง

คณิตศาสตร์เเละเชื่อมโยงคณิตศาสตร์เเละศาสตร์อื่นๆ ให้เกิดความคิดริเริ่มที่

สร้างสรรค์เเละมีความเชื่อมั่นในตนเอง เเละมีส่วนร่วมในการจัดกิจกรรมการเรียน

รู้ตลอดการวัดเเละประเมินผลการเรียนรู้ของผู้เรียน

ท้ายนี้ต้องขอบคุณเป็นอย่างสูงที่ท่านได้เลือกใช้หนังสือเรียนเล่มนี้เป็น

สื่อการเรียนรู้ผู้เรียบเรียงหวังเป็นอย่างยิ่งว่า หนังสื่อเรียน E-BOOK เล่มนี้จะเป็น

ประโยชน์ต่อครู นักเรียน เเละผู้ที่สนใจโดยส่งผลต่อการพัฒนา ทั้งทางด้านความ

รู้ ทักษะ ค่านิยมเเละคุณลักษณะอันพึงประโยชน์อันพึงประสงค์ ตามเจตนารมณ์

ที่กำหนดไว้ในหลักสูตร

คณะผู้จัดทำ

สารบัญ

ตัวชี้วัดชั้นปี

หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 สมการเชิงเส้นตัวเเปรเดียว เข้่าใจเเละใช้สมบัติของการเท่ากันเเละสมบัตรของจำนวน
1. สมการเชิงเส้นตัวเเปรเดียว เพื่อวิเคราะห์เเละเเก้ปัญหาโดยใช้สมการเชิงเส้นตัวเเปรเดียว
(ค 1.3 ม. 1/1 )

1.1 สมการเชิงเส้นตัวเเปรเดียว 1

1.2 คำตอบของสมการเชิงเส้นตัวเเปรเดียว 3

1.3 สมบัติของการเท่ากัน 3

2.การเเก้สมการเชิงเส้นตัวเเปรเดียว 5

3.การนำความรู้เกี่ยวกับการเเก้สมการเชิงเส้นตัวเเปรเดียวไปใช้ในชีวิตจริง 8

สรุป 14

เเบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ 15

เเบบฝึกหัดที่ 1 สมการเชิงเส้นตัวเเปรเดียว เเบบฝึกหัดที่ 2 การเเก้สมการเชิงเส้นตัวเเปร

เดียว
4
7
เเบบฝึกหัดที่ 3 การนำความรู้เกี่ยวกับการ

เเก้สมการเชิงเส้นตัวเเปรเดียว กิจกรรมตรวจสอบการเรียนรู้
11
9

1

คุณครูอายุมากกว่าหนูเนย 15 ปี

หนูเนยอายุ 12 ปี

คุนณักคเรรูีอยานยุรกูี้ไ่ปหี มว่า

เเนวคิดหลัก

สมการเป็นประโยคสัญลักษณ์ที่แสดงความสัมพันธ์โดยใช้เครื่องหมายเท่ากับ (=) สมการอาจจะมีตัวแปรหรือ

ไม่มี ตัวแปรก็ได้ ซึ่งสามารถหาค่าของตัวแปรได้โดยหาจํานวนมาแทนค่าในตัวแปรแล้วทำให้สมการนั้นเป็นจริงและ

เรียกจํานวน นั้นว่าคำตอบของสมการ หรืออาจใช้สมบัติของการเท่ากันเพื่อช่วยในการหาคำตอบ กระบวนการหาคำ

ตอบของสมการ เรียกว่า การแก้สมการ ซึ่งความรู้เกี่ยวกับการแก้สมการสามารถนำไปแก้ปัญหาในชีวิตจริงได้

1. สมการเชิงเส้นตัวเเปรเดียว

เเนวคิดสำคัญ ประโยคสัญลักษณ์ที่แสดงความสัมพันธ์ ที่เท่ากันเป็นสมการ

ทั้งนี้ประโยคสัญลักษณ์นั้น อาจจะมีตัวแปรหรือไม่มีตัวแปรก็ได้
สมการเป็นประโยค

สัญลักษณ์ที่ แสดงความสัมพันธ์
ให้พิจารณาประโยคสัญลักษณ์จากข้อ (1) ถึงข้อ (10) ต่อไปนี้

โดยใช้เครื่องหมาย เท่ากับ
แล้วตอบคำถาม
สมการอาจจะมีตัวแปรหรือไม่มี

ตัวแปรก็ได้ สมการที่ไม่มีตัวแปร
(1) 2+3 = 5 (6) W +1 =2
สามารถ บอกได้ว่าสมการนั้น
(2) 2+4=7 3
เป็นจริงหรือเป็นเท็จ แต่ ถ้า
(3) 2X = 6
สมการที่มีตัวแปรยังไม่สามารถ
(4) 3Y+1 = 7 (7) P+1 < 5
บอกได้ว่า เป็นจริงหรือเท็จ
(5) Z =3 (8) A + 2 =3
จนกว่าจะทราบค่าของ ตัวแปร
(9) 2A +1 =5
แต่เมื่อนำจำนวนมาแทนค่าตัว
5 (10) C-1 > 2
แปร ในสมการแล้วทําให้สมการ

นั้นเป็นจริงจะ เรียกจํานวนนั้นว่า

ค่าตอบของสมการ

2

1. ประโยคสัญลักษณ์ใดมีเครื่องหมายเท่ากับ
2. ถ้าเรียกตัวอักษร เช่น X, Y, Z, ... ในประโยคสัญลักษณ์ว่า ตัวแปร ดังนั้น จากคำตอบใน
ข้อ 1 ประโยคสัญลักษณ์ในข้อใดมีตัวแปร
ตอบ 1. ประโยคสัญลักษณ์ในข้อ (1), (2), (3), (4), (5), (6) และ (9) มีเครื่องหมายเท่ากับ
2. ประโยคสัญลักษณ์ในข้อ (3), (4), (5), (6) และ (9) มีตัวแปร

ประโยคสัญลักษณ์ในข้อ (1), (2), (3), (4), (5), (6) และ (9) เป็น สมการ
สมการในข้อ (1) และข้อ (2) ไม่มีตัวแปร จึงตรวจสอบได้ว่าสมการในข้อ (1) เป็นสมการที่เป็น

จริง ส่วนสมการในข้อ (2) เป็นสมการที่เป็นเท็จ
สมการในข้อ (3), (4), (5), (6) และ (9) เป็นสมการที่มีตัวแปร ซึ่งยังไม่สามารถบอกได้ว่า เป็น

จริงหรือเป็นเท็จจนกว่าจะทราบค่าของตัวแปร สมการ คือประโยคสัญลักษณ์ที่มีเครื่องหมายเท่ากับ )

สมการ คือประโยคสัญลักษณ์ที่มีเครื่องหมายเท่ากับ

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว



คือ สมการที่มีตัวแปรเพียงตัวแปรเดียว ถ้ายังไม่เข้าใจเกี่ยวกับตัวแปรสามารถกลับไปทบทวนใน


เรื่อง พหุนาม โดยสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ต้องมีตัวแปรที่มีดีกรีหนึ่ง เท่านั้น

≠สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว จะอยู่ในรูป

Ax + B = 0 เมื่อ A 0 และ a , b เป็นค่าคงที่มี x เป็นตัวแปร
หลักในกา
รทำโจทย์

ให้เป็นผลสำเร็จโดยการจัดรูปให้ตัวแปรและค่าคงที่อยู่คนละข้างกัน

ตัวอย่างที่ 1 สมการข้อใดเป็นสมการเชิงเส้นตัวเเปรเดียว

(1) 2X-5 =12 22 เฉลย
(2) 3X2-4Y =4
(3) 4X-25 =0 (4) X+Y =16
(5) 3 = 9Y-11
(6) 2Z =3+9Z

3
คำตอบของสมการเชิงเส้นตัวเเปรเดียว

ตัวไม่ทราบค่า เช่น x, y, z, ... ในสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เรียกว่า ตัวแปร และจำนวนที่นำมา


แทนค่าตัวแปรในสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวสมการใดแล้วทำให้สมการนั้นเป็นจริง เรียกว่า คำตอบของ


สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ให้พิจารณาสมการ 3x+7 = 19 แล้วตอบคำถามต่อไปนี้

1. สมการ 3x+7 = 19 เป็นจริงหรือเป็นเท็จ

2. ถ้าแทน x ด้วย 2 จะได้สมการที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จ

3. ถ้าแทน x ด้วย 4 จะได้สมการที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จ

เมื่อตอบคำถามแล้วให้ตรวจสอบคำตอบว่าถูกต้องหรือไม่ ซึ่งคำตอบมีดังนี้

1. ยังบอกไม่ได้ว่าสมการเป็นจริงหรือเป็นเท็จ เนื่องจากยังไม่ทราบค่าของ x

2. ถ้าแทน x ด้วย 2 จะได้ 3(2)+7 = 19

หรือ 13 = 19 เป็นสมการเท็จ

3. ถ้าแทน x ด้วย 4 จะได้ 3(4)+7 = 19

หรือ 19 = 19 เป็นสมการที่เป็นจริง

สมบัติการเท่ากัน
เมื่อ a , b และ c แทนจำนวนใด ๆ



สมบัติ รายละเอียด

สมบัติการสะท้อน a=a

สมบัติสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a

การถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c

สมบัติการบวก ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
สมบัติการคูณ ถ้า a = b แล้ว ac = bc

4

เฉลยจ้า

5

2. การแก้สมการเชิงเส้นตัวเเปรเดียว




สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เป็นหัวข้อที่มีความจำเป็นในการศึกษามาก เพราะเป็นหัวข้อที่สามารถใช้ในชีวิต
ประจำวันได้ง่าย สามารถนำไปต่อยอดได้ และยังเป็นพื้นฐานสำคัญสำหรับคณิตศาสตร์หัวข้ออื่น ๆ อย่าง

มาก การจะศึกษาในบท สมการนี้ได้อย่างดี เราต้องมีความพยายามในการทำความเข้าใจ รวมถึงมีความ

รอบคอบในการทำเป็นอย่างมาก มาเริ่มกันเลยดีกว่า

สมการ

สมการ คือ ประโยคที่แสดงถึงการเท่ากันของจำนวน โดยใช้สัญลักษณ์ “ = “ เพื่อแสดงความเท่ากันของจำนวน

ส่วนคำตอบของสมการ คือ จำนวนที่แทนในตัวแปรแล้วทำให้สมการดังกล่าวเป็นจริง




ตัวอย่างเช่น

สมการ x + 2 = 5


คำตอบของสมการนี้ คือ x = 3

เพราะเมื่อนำ x = 3 แทนในสมอการแล้วเป็นจริง 3 + 2 = 5

โดยในการหาคำตอบของสมการนั้น จะใช้วิธีการที่เรียกว่า การแก้สมการ โดยการแก้สมการนั้น คือ


การหาคำตอบจากการใช้สมบัติการเท่ากันในการแก้ ซึ่งเราจะได้ศึกษากันในหัวข้อถัดไป




การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว



• สมบัติสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a เมื่อ a และ b แทนจำนวนใดๆ
• สมบัติถ่ายทอด ถ้า a = b แล้ว b = c แล้ว a = c เมื่อ a, b และ c แทนจำนวนใดๆ
• สมบัติการเท่ากันเกี่ยวกับการบวก : ถ้ามีจํานวนสองจํานวนเท่ากันๆเมื่อนําอีกจํานวน มาบวก
แต่ละจํานวนที่เท่ากัน แล้วผลลัพธ์จะเท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c เมื่อ a, b และ c

แทนจำนวนใดๆ
• สมบัติการเท่ากันเกี่ยวกับการคูณ : ถ้ามีจํานวนสองจำนวนเท่ากันๆเมื่อนําอีกจํานวน มาคูณแต่

ละจํานวนที่เท่ากัน แล้วผลลัพธ์จะเท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ca = cb เมื่อ a, b และ c
แทนจำนวนใดๆ

6

การแก้สมการ คือ การหาคำตอบทั้งหมดของสมการ

จงแก้สมการ 6 = 3(x - 2)

สมบัติการแจกแจง 6 = 3x - 3( 2)

สมบัติการเท่ากันเกี่ยวกับการบวก 6 + 6 = 3x - 6 + 6

สมบัติการเท่ากันเกี่ยวกับการคูณ 12 ( 3) = 3x ()

ได้คำตอบของสมการ 4=x

ข้อควรระวัง ถ้าต้องการถอดวงเล็บ ( ) , [ ] ควร

ถอดทีละวงเล็บและควรระวัง เครื่องหมายลบหน้า

ตัวอย่าง จงแก้สมการต่อไปนี้ 4X+2(X+1) = -10 วงเล็บ เวลาที่ต้องถอดวงเล็บให้กระจาย
เครื่องหมายลบเข้าไปในทุกจำนวนด้วย

ใช้สมบัติการแจกแจง

4x + 2x + 2 = -10

จัดรูปให้ตัวแปรกับค่าคงที่อยู่คนละข้าง จะเห็นได้ว่า เราต้องการ ย้าย 2 จากฝั่งซ้ายไปฝั่งขวา

วิธีที่ 1 ใช้สมบัติการบวก โดยบวก (-2) เข้าไปทั้งสองข้าง

4x + 2x + 2 -2 = -10 -2

4x + 2x = -12




วิธีที่ 2 เพื่อความรวดเร็วในการย้ายข้าง ให้สลับ
เครื่องหมายเป็นตรงข้ามก็ได้ แต่วิธีนี้ไม่ใช่วิธีที่


ถูกต้องทางคณิตศาสตร์ เป็นการลดรูปจากวิธีแรกให้เร็วขึ้น

4x + 2x +2 = -10

2 บวกอยู่เปลี่ยนไปเป็น ลบ

4x + 2x = -10 -2
6x = – 12

เพื่อหาค่า x ย้ายข้างให้เหลือ x เพียงตัวเดียว

•วิธีที่ 1 ใช้สมบัติการคูณ โดยคูณด้วย (1/6) เข้าไปทั้งสองข้าง
6x(1/6) = – 12(1/6)

x = -2

•วิธีที่ 2 เพื่อความรวดเร็วในการย้ายข้าง ให้สลับเครื่องหมายเป็นตรงข้ามก็ได้
6x = – 12

6 คูณอยู่เปลี่ยนไปเป็น หาร

x = -12 / 6

x = -2

7

เฉลยจ้า

8
3.การนำความรู้เกี่ยวกับการเเก้สมการเชิงเส้นตัวเเปรเดียวไปใช้ในชีวิตจริง

เเนวคิดสำคัญ ในการแก้ปัญหาโจทย์สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว มีขั้น

ตอน ดังนี้
การแก้โจทย์ปัญหาเมื่อ

โจทย์ไม่ได้ กำหนดตัวแปรมาให้
1. อ่านโจทย์ปัญหาแล้วพิจารณาว่า
ต้องวิเคราะห์โจทย์ ปัญหาว่า
1.1 โจทย์ถามอะไร
โจทย์ถามอะไรและโจทย์
1.2 โจทย์กำหนดอะไรให้บ้าง
กำหนด อะไรให้บ้าง กำหนด

ตัวแปรแทนสิ่งที่โจทย์ ถาม
2. โดยทั่วไปจะสมมติสิ่งที่โจทย์ถามเป็นตัวแปร เช่น

เขียนสมการจากข้อความที่โจทย์
โจทย์ต้องการหาว่า นายมั่งคั่งมีรายได้เดือนละเท่าไร ให้สมมติ

กำาหนดให้ แก้สมการเพื่อหาค่า
รายได้ต่อเดือนของนายมั่งคั่งเป็น X บาท หรือ จะเป็น A, B,

ของตัวแปร และตรวจสอบค่า
C, …… ก็ได้
ตอบของสมการโดยน่ จํานวนมา

แทนค่าในตัวแปรในสมการ ถ้า
3. เขียนความสัมพันธ์จากสิ่งที่โจทย์กำหนดให้ และสิ่งที่

สมการเป็นจริงจะได้ว่าค่าของ
โจทย์ถามในรูปสมการ
ตัวแปรนั้น เป็นค่าตอบทีต้องการ
4. แก้สมการโดยใช้สมบัติของการเท่ากัน
5. ตรวจสอบความถูกต้องจากโจทย์ปัญหาเดิม พึงระวังว่า ถ้า

ตรวจสอบกับสมการที่สร้างขึ้น อาจเกิดความผิดพลาด เนื่องจาก

สร้างสมการไม่ถูกต้องได้
เพื่อเป็นการฝึกการเขียนประโยคสัญลักษณ์ จึงจะเริ่มจาก

ปัญหาง่ายๆ ในตัวอย่างที่ 1 ซึ่งนักเรียน ควรทําด้วยตนเองก่อนที่

จะดูค่าตอบ

ตัวอย่างที่ 1 ปัจจุบันสมชายมีอายุ 3 ปี เขียนสัญลักษณ์แสดงอายุ

ปัจจุบันของคนที่เกี่ยวข้องกับสมชาย X เมื่อกำหนดเงื่อนไขดังนี้

(1) เก่งมีอายุมากกว่าสมชาย 7 ปี
(2) เล็กมีอายุน้อยกว่าสมชาย 5 ปี
(3) ปิงมีอายุเป็น 3 เท่าของสมชาย
(4) สวยมีอายุมากกว่า 3 เท่าของสมชายอยู่ 4 ปี
(5) หญิงมีอายุน้อยกว่า 3 เท่าของสมชายอยู่ 3 ปี
(6) เมื่อ 5 ปีที่แล้ว แก้วมีอายุเท่ากับอายุปัจจุบันของสมชาย

วิธีทำ

9
เฉลยจ้า

10
เฉลยจ้า

11


่

่

12

13

14

สรุป

15

เเบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์

1. แต่ละข้อต่อไปนี้ใช้สมบัติของการเท่ากันข้อใด
(1) ถ้า a = 3 เเล้ว a x 5 = 3 x 5

55
(2) ถ้า a+ 7 = 5 และ 5 = 8−3 แล้ว a+ 7 = 8−3
(3) (- 2) X( a- 4) = [(- 2) Xa]-[(- 2) X4] = - 2a+ 8
2. แก้สมการต่อไปนี้ พร้อมทั้งตรวจสอบคำตอบ

(1) 3X - 6 = 12 (2) 5x- 6= 3x+ 8
5
(4) 1( x - 3) = 8x - 2
(2) 2.8X - 8 = 4.8X + 12
(5) 4( X- 8)+ 3( 5+ 3X) = 7X+ 25 5
(6) 3( 4- x)-( 4x+ 1)= 9- 3( x+ 3)

3. ถ้า 3(y-1) = 5-2y แล้ว 10y มีค่าเท่าไร
4. เขียนสมการจากข้อความที่กำหนดให้ต่อไปนี้ พร้อมทั้งหาคำตอบของสมการ

(1) สองเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งรวมกับ 4 มีค่าเท่ากับ 20
(2) สองเท่าของผลบวกระหว่างจำนวนจำนวนหนึ่งกับ 4 มีค่าเท่ากับ 20
5. จงหาจำนวนเต็มสามจำนวนเรียงกัน ซึ่งผลบวกของทั้งสามจำนวนมากกว่าจำนวนที่สอง
อยู่ 20
6. ถ้าด้านที่หนึ่งของรูปสามเหลี่ยมยาวเป็นหนึ่งในสามของความยาวรอบรูป ด้านที่สองยาว
10 เซนติเมตร และด้านที่สามยาวเป็นหนึ่งในสี่ของความยาวรอบรูป จงหาความยาวรอบรูป
ของ รูปสามเหลี่ยมรูปนี้

ขอบคุณที่รับชม

ขอบคุณค่ะ