Fungsi dan Transformasi Kompleks

FUNGSI DAN
TRANSFORMASI

KOMPLEKS

BAB II
FUNGSI DAN TRANSFORMASI

KOMPLEKS

A. Capaian Pembelajaran Mata Kuliah (CPMK)

Mahasiswa memahami pengertian fungsi kompleks‚ transformasi‚
dan fungsi elementer.

FUNGSI DAN TRANSFORMASI KOMPLEKS

Indikator CPMK:
1. Memahami definisi fungsi kompleks
2. Memahami suatu pemetaan dari bidang z ke w.
3. Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan

transformasi linear.
4. Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan

transformasi pangkat.
5. Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi

invers.
6. Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan

transformasi bilinear.

B. Uraian Materi

2.1. Pengantar Fungsi

Bab ini m e m bahas berbagai fungsi elementer yang
memetakan suatu titik z di himpunan bilangan kompleks C
menjadi suatu titik w di C. Pembahasan fungsi kompleks atau peubah
kompleks pada dasarnya tidak berbeda jauh dari fungsi peubah real.
Misalnya y = f(x) suatu fungsi peubah real. Dengan menggantikan
peubah bebas x dengan z dan peubah tak bebas y dengan w‚

didefinisikan suatu fungsi kompleks w = f(z). Dengan kata lain‚ jika
pada setiap nilai yang merupakan suatu peubah kompleks z dapat
diandaikan terdapat satu atau lebih nilai peubah kompleks w‚ maka
kita katakan bahwa w adalah suatu fungsi dari z dan ditulis

w = f(z) atau w = g(z)
dan seterusnya.
Peubah z dinamakan peubah bebas sedangkan w dinamakan peubah
tak bebas. Huruf kecil f‚ g‚ h‚ … disebut fungsi peubah kompleks
atau disingkat fungsi kompelsks. Secara formal dapat dikatakan
bahwa fungsi peubah kompleks adalah pemadanan pasangan terurut
(z‚ w) yang diperoleh dari proses pemadanan yang mengawankan
setiap nilai peubah z pada daerah domain D ke nilai w yang tunggal
pada bidang datar.

Bidang z Bidang w

Gambar 2.1 Fungsi peubah kompleks

Beberapa contoh fungsi peubah kompleks adalah w= z‚ w = 5i, w
= |z|‚ w = z2 + z + 1. Besaran f(z) dinamakan nilai suatu fungsi f pada z
atau image (bayangan) z di bawah fungsi f. Misalnya‚ nilai suatu
fungsi f(z) di z = a ditulis f(a). Jadi‚ jika f(z) = z2 maka f(2i) = -4.

Dari bentuk bilangan kompleks yang terdiri atas bagian real dan
imagine‚ penyajian fungsi peubah kompleks f(z) dapat diuraikan
menjadi penjumlahan dua peubah real yakni

f(z) = u(x‚y) + i v(x‚y)
atau dalam bentuk kutub ditulis sebagai

f(z) = u(r‚ ) + iv(r‚ ).
Seperti halnya pendefinisian fungsi pada fungsi real‚ fungsi
kompleks f adalah suatu aturan yang memetakan atau
mentransformasikan suatu bilangan z = x + iy ∈ C menjadi
suatu bilangan kompleks w = u + iv ∈ C. Selanjutnya‚ fungsi
kompleks tersebut disebut pula sebagai transformasi
kompleks. D a l a m b e n t u k b i a s a ‚ n o t a s i f ungsi
kompleks dinyatakan sebagai w = f (z) atau w = u(x‚ y) + iv(x‚ y)
= f (x‚y). Secara geometri‚ fungsi f merupakan transformasi yang
memetakan s e t i a p titik di bidang-z ke suatu titik di bidang-w.
Dengan k a t a l a i n ‚ fungsi kompleks menyatakan suatu fungsi
dari R2 ke R2 yakni memetakan (x‚ y) di C menjadi (u‚ v) di C.

Misalkan C himpunan bilangan kompleks‚ suatu fungsi f
yang terdefinisi pada C adalah suatu aturan (relasi) yang
memasangkan setiap z di C dengan suatu bilangan kompleks w di C
secara tunggal. Dinotasikan dengan f: z  w atau f: z  f(z) = w.

Fungsi w = z2 + i memetakan z = 1 - i ke w = -i‚ demikian pula
halnya fungsi w = 2iz + i menstransformasikan persegi ABCD
menjadi persegi A’B’C’D’ seperti diberikan pada Gambar 2.3.

Gambar 2.3 Suatu transformasi suatu persegi ABCD menjadi
persegi A’B’C’D’ oleh oleh w = 2iz + i

Misalkan suatu fungsi f memetakan z0 ke w0. Berdasarkan
hal tersebut dapat dikatakan bahwa w0 adalah peta (image) z0 di
bawah f dan z0 adalah prapeta (preimage) w0. Akan tetapi‚ dalam
himpunan bilangan kompleks titik w boleh mempunyai lebih dari satu
prapeta di bawah suatu fungsi yang diberikan. Misalnya‚ oleh fungsi
w = z4 + 2‚ titik w = 2 mempunyai empat prapeta yaitu: z = 1‚ z= -1, z
= i‚ dan z = -i.

Suatu fungsi w = f(z) yang titik w-nya tidak mempunyai lebih
dari satu prapeta dinamakan pemetaan satu-satu (one-to-one); jika
tidak dinamakan fungsi banyak-ke-satu (many-to-one). Dengan
k a t a l a i n ‚ suatu fungsi f adalah satu-satu jika setiap dua titik
yang berbeda pada domainnya dipetakan ke titik-titik yang
berbeda pada kodomainnya. Secara simbolik‚ f disebut satu-satu bila
z1‚ z2  C‚ z1  z2 maka f(z1)  f(z2). Atau dengan menggunakan

kontraposisi‚ f disebut satu-satu bila z1‚ z2  C‚ f(z1) = f(z2) maka z1
= z2.

Suatu fungsi g(z) dinamakan inversi fungsi f(z) bila f(g(x)) =

g(f(x)) = z. Meskipun inversi suatu fungsi bisa tidak lagi merupakan
fungsi. Tetapi‚ jika f satu-satu‚ maka inversinya biasanya ditulis f-1
juga merupakan suatu fungsi. Sebaliknya‚ jika f merupakan suatu
fungsi banyak-ke-satu‚ maka inversinya pada umunya bukan inversi.

Contoh 2.1

Nyatakanlah fungsi w = z2 + z + 1 dalam bentuk biasa dan bentuk
kutub.
Penyelesaian
Misalkan z = x + iy. Dengan mensubstitusikan nilai z ke dalam fungsi
diperoleh bentuk fungsi w = (x2 – y2 + x + 1) + i (2xy + y) dimana
fungsi u(x‚y) = x2 – y2 + x + 1 dan v(x‚y) = 2xy + y.
Bila dimisalkan z = r (cos t + i sin t) maka diperoleh w = (r2 cos 2t + r
cos t + 1) + i (r2 sin 2t + r sin t).

Perlatihan 2.1

1. Tentukan nilai fungsi pada tiap-tiap titik yang ditunjuk.

a. f (z) = z2 – 2z – 1 Pada –1‚ 1 + 2i.

b. f (z) = 3x2 - i z Pada 2i‚ 2 - i
c. f (z) = (z + 1) / (z – 1) Pada i‚ -i‚ 3i.
d. f (z) = z2 – [R (z)]2 Pada 3 + i‚ -4 – 4i.
e. f (z) = ex cos y + iex sin y Pada 0‚ 1‚ 2‚1 + i.

2. Carilah bayangan z di bawah fungsi f berikut.
a. w = z‚ pada z = 0‚ i
b. w = z2 pada z = 0‚ i‚ 2i
c. w = ex cos y + i ex sin y pada z= 0‚ 1‚ i dan 2 +  i.

A d a p u n b e b e r a p a f u n g si yang dibahas d a l a m b a b
i n i a d a l a h fungsi linear‚ fungsi keb a l i kan ( resiprocal)‚
fungsi bilinear‚ fungsi pangkat‚ fungsi eksponen‚ fungsi logaritma‚
dan fungsi trigonometri.

2.2 Fungsi L i near

Definisi 2.2

Fungsi linear p a d a h i m p u n a n b i l a n g a n
k o m p l e k s C memiliki bentuk umum w = f (z) = az + b‚ a‚ b ∈
C. Dengan kata lain‚ suatu fungsi berbentuk f(z) = az + b dimana a
dan b adalah konstanta kompleks‚ dinamakan fungsi linear.
Berdasarkan definisi tersebut‚ f(z) = 4z -1 merupakan contoh dari
fungsi linear dan f(z) = 2z2 -1 bukan merupakan contoh dari fungsi
linear.

Sifat-sifat Fungsi Linear

 Untuk a = 0 maka fungsi linear t e r s e b u t menjadi fungsi
konstan f(z) = b.

 Untuk a  0 maka fungsi linear t e r s e b u t menjadi fungsi

satu-satu. Hal tersebut karena z1  z2 berakibat az1 + b 

az2 + b sehingga f(z1)  f(z2).

 Untuk a = 1 dan b = 0 maka fungsi linear t e r s e b u t

m e n j a d i fungsi identitas f(z) = z

 Untuk a  0‚invers dari z adalah = 1 − juga merupakan



fungsi linear, yang dapat dipikirkan sebagai pemetaan dari

bidang w “kembali” kebidang z.

 Akhirnya jika a = 1 dan b = 0‚ maka fungsi linier

berubah menjadi fungsi identitas

 Turunannya‚ f’(z) = a terdefinisi pada setiap z sehingga f

adalah fungsi menyeluruh.

 Fungsi linear f(z) = az + b dapat dinyakan sebagai kompossi (f

o g) (x) dengan g(z) = az dan f(z) = z + b. Oleh karena itu w

dapat dinyatakan sebagai bentuk w = az + b = f(g)x)).

Komposisi ini akan mempermudah kita dalam menentukan

daerah hasil pemetaan dan membuat sketsa grafik daerah

hasil pemetaan di bidang w.

2.3 Tranformasi Linear

Fungsi linear p e u b a h k o m p l e k s d a p a t d i p e l a j a r i
d e n g a n mentransformasikan suatu titik z di bidang-z menjadi w
di bidang- w. Fungsi linear dapat dipandang sebagai komposisi dua
transformasi‚ yaitu

w = az dan w=z, w + b = az + b.

Misalkan d a l a m b e n t u k k u t u b z = r cis t = |z| cis arg
z dan a = ρ cis θ = |a| cis arg a‚ maka w = az = rρ cis (t + θ) =
|a| |z| cis (arg a + arg z). Oleh karena itu‚ transformasi w= az
menghasilkan

|w| = |a||z| dan arg w = arg a + arg z.
Hal tersebut b e r m a k n a bahwa oleh transformasi w
mengakibatkan s e t i a p t i t i k z mengalami perbesaran atau
pengecilan (pengerutan) dengan faktor |a| (modulus z) dan
m e n g a l a i r o t a s i sejauh arg a.

Secara lebih khusus jika |a| < 1 maka modulus z
b e r m a k a p e n g e c i l a n ( p e n g e r u t a n ) d a n j ika |a| > 1
maka modulus z mengalami perbesaran (dilatasi)‚ dan modulus z
tetap jika |a| = 1.
Selanjutnya‚ jika dimisalkan b = b1 +i2 maka w1 mengalami
pergeseran horisontal sejauh b1 dilanjutkan pergeseran vertikal
sejauh b2 untuk menghasilkan w = w1 + b.
Jadi oleh transformasi linear w = az + b‚ titik z
mengalami penskalaan sebesar |a|‚ rotasi sejauh arg a dan
pergeseran sejauh b.

Contoh 2.2

Tentukan bayangan dari titik A(-1‚2) di bawah transformasi linear w =
-2iz + 1 -3i.

Penyelesaian
Dari bentuk w = -2iz + 1 -3i misalkan g(z) = -2iz. Titik P(-1‚2) dapat
digambarkan sebagai berikut.

Gambar 2.5 Titik P(-1,2)

Selanjutnya‚ karena g(z) = 2iz‚ diperoleh |2i| = 2 maka arg z = arg (2i)
= 3/2 = -/2.

Titik P(-1‚2) diperbesar dengan faktor 2 berarti terjadi pembesaran 2
kali sehingga P’(-2‚4).

Gambar 2.6 Titik P(-1‚2) diperbesar dengan faktor 2

Selanjutnya‚ P’(-2‚4) diputar dengan rotasi (O‚ -/2 ) diperoleh

′ cos − −sin − (−42) (42)
= ( 2 2 ) =
′ sin − cos −

22

Gambar 2.7 Hasil rotasi titik P(-2,4) sejauh -/2
Kemudian P’(4‚2) digeser 1 satuan ke kanan dan 3 satuan ke
bawah diperoleh P’’(5‚-1).

Gambar 2.8 Hasil transalasi titik P’(4,2) dengan vektor (31)

Contoh 2.3

Carilah transformasi dari daerah persegi panjang s e p e r t i p a d a
G a m b a r 2 . 9 d i bidang-z oleh w (1+i)z + 3 -1 di bidang-w.

Gambar 2.9 Daerah persegi panjang dengan titik sudut A dan B

Transformasi itu dapat ditulis dalam dua transformasi‚ yaitu dengan f
o g(z) = w dengan g(z) = (1 + i) z dan f(z) = g(z0 + 3 – 1.

a. Berdasarkan g(z)= (1 + i) z berarti |1 + i| = 2 dan arg (1+i) = 4 . Hal
tersebut berarti bahwa setiap titik z mengalami perbesaran 2 kali dan
selanjutnyan mengalami rotasi sejauh 4 . Perhatikan gambar berikut.

Gambar 2.10 Rotasi persegi panjang sebesar
4

b. Berdasarkan f(z) = g(z + 3 – 1 berarti bahwa hasil dari point (a)‚
g(z) mengalami pergeseran sejauh 3 satuan ke kanan searah
sumbu real positif sejauh tiga satuan dan diikuti pergeseran ke
bawah searah sumbu imaginer negatif sejauh 1 satuan. Hasilnya
seperti pada gambar berikut.

Gambar 2.12 Hasil rotasi persegipanjang Gambar

Perlatihan S
A. Kuis Benar – Salah (setiap jawaban benar diberi skor 4)
1. Jika z = p + qi‚ p‚ q  R‚ maka R(z2) + I(z2 )= (p + q)2 B

2. Satuan imajiner I pada C memenuhi i-1 = -i = i BS
3. Jika z  C memenuhi z-1 = z maka z =  1 BS

4. Hubungan r cis t =  cis  menghasilkan r =  dan t = 

BS
5. Argumen dari bilangan real adalah 2k‚ k bilangan bulat

BS
6. Jika z = cis t‚maka z terletak pada lingkaran x2 + y2 = 1B S

7.  z  C berlaku arg z + arg z = 2k‚ k bilangan bulat B S

8. Pada C terdapat tiga nilai z yang memenuhi z = 3 i BS
9. Jika 0 < arg z < ‚ maka z terletak di kuadran I BS
10. Jika R(z + 1) > 0‚ maka |z| = 1 BS

B. Kuis Isian Singkat (setiap jawaban benar diberi skor 6)
1. Jika i satuan imajiner‚ maka i99 = -i karena

………………………………………………………………..
2. Dalam bentuk a + bi‚ (1 + i)180 =

……………………..…………………………………………
3. Hubungan |z2| = |z|2 berlaku  z  C‚ karena

…………………………………...………………………….

4. Untuk menuliskan garis y = x dalam bentuk z(1-i) = z (1 + i)‚ kita

gunakan rumus
……………………………………………………………….

5. Kesalahan proses pada bentuk:

1 = 1  (1)(1)  1. 1  i.i  i2  1

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

terjadi pada langkah ke ….

6. Hubungan |z – 2i| = |z| ‚  z  C merupakan

…………………………………………………………………

C. Soal Esai : Jawab di belakang halaman ini.
1. Tentukan semua z  C yang memenuhi z3 + i = 0 dan gambarkan.

Skor 15
2. Buktikan |z/w| = |z| / |w|‚ untuk semua z  C.

Skor 19

2.4. Fungsi Pangkat
Definisi 2.4

Fungsi pangkat untuk setiap bilangan kompleks z
didefinisikan sebagai fungsi f (z) = zn‚ n= 2‚ 3‚ 4‚ .... Fungsi
pangkat lebih mudah dipahami menggunakan bentuk kutub
bilangan kompleks.

Misalkan z = c (cos t + i sin t). Maka tranformasi
bentuk pangkat ini menggunakan pangkat tinggi yang
diperoleh menggunakan zn = rn (cos nt + i sin nt). Dari bentuk
terakhir ini diketahui bahwa setiap titik z dengan modulus r
dipetakan ke suatu titik dengan modulus rn dan argumen nt.

Contoh 2.4
Bila kita mempunyai pangkat w = z3‚ maka untuk titik z

= 2 (cos + i sin ) di bawah fungsi w = zn dipetakan ke w =
23 (cos 3  + i sin 3) = 8 (0 –i) = -8

Contoh 2.5
Carilah peta dari daerah segitiga yang dibatasi oleh titik (0‚0)‚ (0‚1)‚
dan (1‚0) oleh w = z2 (seperti Gambar)

Penyelesaian:

Misalkan z = x + iy.

Maka w = z2 = (x + iy)2 = x2 – y2 + 2ixy. Gambar 2.14

Berdasarkan irformasi tersebut diperoleh u = x2 – y2 dan v = 2ixy.

Selanjutnya‚ untuk kasus sumbu X‚ maka y = 0. Akibatnya

u = x2 – y2 = x2 – 02 = x2

v = 2xy = 2(x)(0) = 0
Selanjutnya‚ untuk kasus sumbu Y‚ maka x = 0.

Akibatnya
u = x2 – y2 = 02 – y2 = -y2 dan v = 2xy = 2(0)(y) = 0
Karena sumbu Y membawa titik A(0‚0) dan C(0‚1) maka pemetaannya
menjadi A’(0‚0) dan C’(-1‚0)

Selanjutnya perhatikan persamaan garis yang melalui B(1.0) dan
C(0‚1). Perssamaan garis tersebut adalah y = x + 1. Dengan

mensubstitusikan nilai y ke persamaan u dan v diperoleh
u = x2 – (1-x)2 = 2x -1 atau x =(u+1)/2

v = 2xy = 2x (1-x) atau v = ½ + ½ u2

Bila digambarkan‚ persamaan v = ½ + ½ u2 merupakan parabola
seperti Gambar berikut

(-1‚0) (1‚0)
Gambar 2.15

Perlatihan

Berikan alasan untuk pembenaran masalah berikut.

1. Transformasi w = z2 memetakan kuadran I menjadi {z| I(z) < 0}

2. Transformasi w = z2 memetakan garis x = c mejadi parabola

2.5. Fungsi Kebalikan

Definisi 2.5

Suatu fungsi kompleks dengan bentuk f(z) = 1 dinamakan



fungsi kebalikan. Fungsi kebalikan merupakan fungsi satu-satu antara

bidang-z ‚ (kecuali z=0 ) dengan bidang w (kecuali w=0). Turunan

fungsi kebalikan f(z) diberikan oleh f’(z) = − 1 . Hal ini bermakna
2

bahwa fungsi kebalikan turunannya ada untuk semua z  0. Jadi

fungsi kebalikan bersifat analitik pada seluruh bidang kecuali pada
pusat koordinat O(0‚0).

Misalkan z = r (cos t + i sin t). Maka dibawah fungsi

kebalikan‚ w = 1 = 1 { (− ) + (− ). Dari bentuk terakhir ini


dapat disimpulkan bahwa oleh suatu fungsi kebalikan pada himpunan

bilangan kompleks (lihat pembahasan lebih lanjut pada bab Fungsi

Analitik).

2.6. Transformasi Bilinear

Definisi 2.6

Jika a‚ b‚c dan d konstanta kompleks‚ maka:

= ( ) = + ‚ untuk − ≠0

+

dinamakan transformasi bilinear. Kita asumsikan ≠ 0 guna

menghindari persamaan bilinear berubah menjadi persamaan linear.
Analog dengan transformasi kebalikan‚ maka transformasi bilinear

juga memetakan garis dan lingkaran menjadi garis atau lingkaran.

Pemetaan bilinear = ( ) = + = ( ∘ ℎ ∘ )( ) merupakan

+

komposisi dari fungsi-fungsi berikut:

( ) = + ‚ ℎ( ) = 1 ‚ ( ) = + −


Jadi‚ transformasi bilinear merupakan gabungan dari transformasi
linear diikuti dengan transformasi kebalikan dan dilanjutkan dengan
transformasi linear sekali lagi.

Teorema 2.6
Jika 1 ≠ 2 ≠ 3 sebarang titik pada bidang-Z dan 1 ≠ 2 ≠

3 sebarang titik pada bidang-W‚ maka terdapat fungsi transformasi
bilinear yang memetakan ke dengan = 1‚2‚3 adalah:

( − 1)( 2 − 3) = ( − 1)( 2 − 3)
( − 3)( 2 − 1) ( − 3)( 2 − 1)

Bukti:

= + ‚ 1 = 1+ ‚ 2 = 2+ ‚ 3 = 3+
+ 1+ 2+ 3+

dengan − ≠ 0

− 1 = + − 1 +
+ 1 +

= ( + )( 1+ )−( 1+ )( + )
( + )( 1+ )

= 1+ 1+ + − 1− − 1−
( + )( 1+ )

= − ( − 1)+ ( − 1)
( + )( 1+ )

= ( − )( − 1)
( + )( 1+ )

2 − 3 = 2 + − 3 +
2 + 3 +

= 2 3+ 2 + 3+ − 2 3− 2− 3 −
( 2+ )( 3+ )

= ( 2− 3)+ ( 2− 3)
( 2+ )( 3+ )

= ( − )( 2− 3)
( 2+ )( 3+ )

− 3 = + − 3 +
+ 3 +

= 3+ + 3+ − 3− 3− −
( + )( 3+ )

= ( − 3)− ( − 3)
( + )( 3+ )

= ( − )( − 3)
( + )( 3+ )

2 − 1 = 2 + − 1 +
2 + 1 +

= 1 2+ 2+ 1+ − 1 2− 1 − 2−

( 2+ )( 1+ )

= ( 2− 1)− ( 2− 1)
( 2+ )( 1+ )

= ( − )( 2− 1)
( 2+ )( 1+ )

( − 1)( 2 − 3) = ( − )( − 1) ∙ ( − )( 2− 3)
( − 3)( 2 − 1) ( + )( 1+ ) ∙ ( 2+ )( 3+ )
( − )( − 3) ( − )( 2− 1)
( + )( 3+ ) ( 2+ )( 1+ )

=

( − )( − 1)( − )( 2− 3)( + )( 3+ )( 2+ )( 1+ )
( − )( − 3)( − )( 2− 1)( + )( 1+ )( 2+ )( 3+ )

= ( − 1)( 2− 3)
( − 3)( 2− 1)

(Terbukti

Non-contoh:
Bayangan dari titik (−1‚2) di bawah transformasi = −2 + 1 −
3 . Karena fungsi linear‚ maka transformasinya menggunakan
transformasi fungsi

Contoh 2.5

Carilah transformasi bilinear dari titik 1 = ‚ 2 = 0‚ 3 = 1 ke titik
1 = 2 ‚ 2 = + 1 dan 3 = −

Jawab:

Dengan menggunakan Teorema 2‚

( − 1)( 2 − 3) = ( − 1)( 2 − 3)
( − 3)( 2 − 1) ( − 3)( 2 − 1)

( − 2 )(1 + 2 ) ( + 1)(−1)
( + 1)(1 − ) = ( − )(1)

( − 2 )(1 + 2 )( − 1)( ) = ( + 1)(1 − )( + )(−1)

( + 2 − 2 + 4)( − ) = (− − )( − + + 1)

− 2 + 2 + 4 − + 2 − 2 − 4

= − + − − − − + 1 −

− 2 − + 2 + − + +

= −2 − 4 + 2 + 4 − − + 1 −

( − 2 − + 2 + − + + 1)

= (−2 − 4 − − 1) + 2 + 1 −

(− + 3) = (−3 − 5 ) + 3 −

− + 3

Jadi‚transformasi bilinear yang memetakan adalah:

(−3 − 5 ) + 3 −
= − + 3

Contoh 2.6

Tentukan peta ( ) > 0 oleh transformasi bilinear = −

+

Jawab:

= ( ) = −
+

− 2
= ( ) = + = 1 − + = ( ∘ ℎ ∘ )( )

( ) = + { = 1 = 1 + 0 {a|r g | ==10
=

ℎ( ) = 1


⌈ ⌉ = 2

( ) = 1 − 2 = −2 + 1 { = −2 = 0 − 2 {arg = 3
2

= 1

y y
( ) > 0 Digeser 1 satuan ( ) > 0

x x
Gambar 2.17
Gambar 2.16

ℎ( ) = 1


= 1 atau − 1 = 0

11
( 2 + 2) − 1 ( 2 + 2) = 0

1
2 + 2 − 2 + 2 = 0

− − ( 2 + 2) = 0

− − 2 − 2 = 0

+ 2 + 2 = 0

2 + ( + 1)2 − 1 = 0 atau 2 + ( + 1)2 = 1
4 4
2 2

Jadi‚ diperoleh lingkaran dengan pusat (0‚ − 1) dan = 1

2 2

vv

u

(0,-1/2) Diperbesar 2 kali (0,-1)

Dirotasikan sebesar 3
2
Digeser 1 satuan ke kakan

(-1,0) (0,0)

Gambar 2.20 Gambar 2.21

Berikut ini diberikan cara lain untuk menentukan hasil transformasi

oleh = −

+

Caranya adalah

Nyatakan dalam ‚ sehingga = −

+

( + ) = −

+ = −

− = − −

( − 1) = − −

= − (1+ ) ‚ dengan = +

−1

= − ( + +1)

+ −1

= − (( +1)+ )
( −1)+

= − ( +1)+
( −1)+

= − ( +1)+ ∙ ( −1)−
( −1)+ ( −1)−

= (− ( +1)+ )(( −1)− )
( −1)2+ 2

= (− − + )( −1− )
( −1)2+ 2

= − 2− + + + − − − − 2
( −1)2+ 2

= −2 + (− 2− 2+1)
( −1)2+ 2 ( −1)2+ 2

Jadi peta dari ( ) > 0 oleh transformasi = − adalah

+

( ) > 0

−( 2+ 2−1) > 0
( −1)2+ 2

−( 2 + 2 − 1) > 0

2 + 2 − 1 < 0

2 + 2 < 1

Contoh 2.7
Carilah transformasi bilinear yang memetakan berturut-turut 0‚ 1 dan i
ke -1‚0 dan i.

Jawab:

Diket: 1 = 0‚ 2 = 1‚ 3 = dan 1 = −1‚ 2 = 0‚ 3 =

( − 1)( 2 − 3) = ( − 1)( 2 − 3)
( − 3)( 2 − 1) ( − 3)( 2 − 1)

( − (−1))(0 − ) ( − 0)( − 1)
( − )(0 − (−1)) = ( − )(1 − 0)

( + 1)(− ) (1 − )
( − )1 = ( − )1
− − −
− = −

(− − )( − ) = ( − )( − )
− − − − 1 = − − −

− + + = + − − 1

+ = − 1

( + 1) = − 1

= −1

+1

Jadi transformasi bilinear yang memetakan adalah: = −1
+1

Contoh 2.8

Carilah bayangan garis ( ) = 1 di bawah pemetaan = 4

2 2 +

Jawab:

= ( ) = 4
2 +

= ( ) = 4 = −2 − 2 = ( ∘ ℎ ∘ )( )
2 + 2 +

| | = 2

( ) = 2 + { = 2 = 0 + 2 {arg = 2

=

ℎ( ) = 1


( ) = −2 − 2 = −2 − 2 { = −2 = −2 − 0 {ar| g | ==2
= −2

yy

Diperbesar 2 kali = 1
X
= 1

2

X

Gambar 2.22 y = 1/2 Gambar 2.23 Y = 1

y y

Diputar π⁄2 Digeser 1 satuan

x =-1 x =-1

Gambar 2.24 Gambar 2.25

ℎ( ) = 1


= −1

+ 1 = 0

11
( 2 + 2) + 1 ( 2 + 2) = 0

1
2 + 2 + 2 + 2 = 0

+ 2 + 2 = 0

( + 12 − 1 + 2 = 0
2) 4

( + 12 + 2 = 12
2) (2)

Jadi diperoleh lingkaran dengan pusat (− 1 ‚0) dan = 1

22

(-1/2, 0) Diperbesar 2 kali (-1, 0)
Gambar 2.26 Gambar

Digeser dgn translasi −2

Diputar sejauh

v

(-1, 0) (1,-2)

Gambar 2.28 Gambar 2.29

Contoh 2.9

Carilah bayangan setengah bidang ( ) ≥ 0 di bawah pemetaan


= − 1

Jawab:

= ( ) = 1
−

= ( ) = 1 = 1 + 1 1 = ( ∘ ℎ ∘ )( )
− −

( ) = − 1 { = 1 = 1 + 0 {a|r g | ==10
= −1

1
ℎ( ) = 2

( ) = 1 + = + 1 { = 1 = 1 + 0 {a|r g | ==10
= 1

y y
( ) ≥ 0 ( ) ≥ 0

( )

x x

Gambar 2.30 Gambar 2.31
v
1
ℎ( ) = ≥ 0
= 0

1
( 2 + 2) = 0


2 + 2 = 0
− = 0
= 0

v

≥ 0

( ) = 1 +

u u
Gambar 2.32
Jadi‚ diperoleh bidang ≥ 0. Gambar 2.33

BAB II - PELIMA
FUNGSI ELEMENTER
Pengantar
Fungsi elementer mencakup fungsi polynomial‚ fungsi aljabar
rasional‚ fungsi eksponensial‚ fungsi trigonometri‚ fungsi hyperbola‚
fungsi logaritmik‚ fungsi invers trigonometri‚ fungsi invers hyperbola‚
dan fungsi pangkat. Kedalam fungsi ini termasuk juga semua
turunannya yang diperoleh dengan operasi terhingga penjumlahan‚
pengurangan‚ perkalian‚ pembagian‚ dan akar. Pada pembahasan
berikut‚ kita tidak membicarakan tentang fungsi polynomial dan
fungsi rasional.

Indikator CPMK
1. Menemukan rumus fungsi eksponensial.
2. Menemukan rumusfungsi logaritmik.
3. Menemukan rumus eksponen kompleks.
4. Mampu mengaplikasikan rumus dan teorema tentang ketiga

fungsi di atas dalam pemecahan masalah.

2.7 Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial ditulis dengan f(z) = ez = ex + iy = ex. eiy .
Berdasarkan rumus Euler‚ eiy = cos y + i sin y‚ dengan y diukur dalam
radian‚ maka dapat dijabarkan lebih lanjut:

ez = ex (cos y + i sin y)

Demikian juga‚ dari definisi‚ kita dapat membuktikan sifat-sifat
eksponesial dalam bilangan kompleks:
1. 1 2 = 1+ 2
2. +2 =
3. | | = ex

Bukti sifat 1:
Misalkan z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + iy2. Karena x1 ‚ x2‚ y1‚ y2 ∈
R‚ maka

ez1 ez2 = ex1 + iy1 ex2 + iy2
= ex1 eiy1 ex2 eiy2
= e (x1 +iy1) + (x2 +iy2 )
= ez1 +z2

Bukti sifat 2:
+2 = . 2 = (cos 2k+ i sin 2k) =

Bukti sifat 3:

| | = |ex + iy| = |ex||e iy| = ex|cos y + i sin y|= ex √ 2 + 2 = ex
Catatan: ez ditulis juga dengan exp(z).
Contoh 2.10
Tentukan semua harga z sehingga
a. ez = -2, b. ez = 1 + i3, c. e2z - 1 = 1

Jawab:
ez = -2

 ln (ez ) = ln(-2)
 z = ln 2 + ln(-1)
 z = ln2 + ln [cos( + 2k) + i sin( + 2k)
 z = ln 2 + ln ei(+2k)
 z = ln 2 + i( + 2k)‚ k  Z.

b. ez = 1 + i√3

 ez = 2[cos   2k ) + i   2k )

( sin(
33

 ez =   2k )
2e i( 3

 ln (ez )= ln 2 + ln   2k )
e i( 3

 z = ln 2 + i   2k )

(
3

(soal c diserahkan pada pembaca untuk menyelesaikannya!)

2.8 Fungsi Logaritma

Fungsi logaritmik didasarkan pada penyelesaian persamaan

ew = z‚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

dengan keterangan bahwa z sembarang bilangan kompleks
tidak nol. Selesaian persamaan ini adalah ln ew = ln z‚ atau w = ln z.

Sudah dibicarakan bahwa z dapat ditulis dalam bentuk z = r ei (-  <

 ≤ ) dan w = u + iv. Dengan demikian‚ persamaan ew = z dapat

ditulis dengan:

eu eiv = r ei
Berdasarkan kesamaan dua bilangan kompleks‚ diperoleh

eu = r dan eiv = ei

u = ln r dan v =  + 2k
Karena itu‚ persamaan (1) akan dipenuhi jika dan hanya jika w

memenuhi salah satu nilai berikut.

w = u + iv

= ln r + i ( + 2k) (k bilangan bulat)

Dari sini diperoleh rumus:

ln z = = ln r + i ( + 2k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

(k bilangan bulat)
Catatan: Dari persamaan di atas diperoleh hubungan ln = .

Contoh 2.11. Hitung semua nilai dari ln(3i)
Penyelesaian:
Dari bilangan kompleks 3i didapat x = 0 dan y = 3 sehingga r =
√ 2 + 2 = 3 dan  = arg(3i) =  . Berdasarkan rumus (2) di atas

2
diperoleh:

ln(3i) = ln 3 + i (  + 2k)‚ k bilangan bulat.
2

Catatan:
Beberapa pengarang menulis fungsi logaritma dari bilangan kompleks
dengan log z‚ dan nilai utama dari log z ditulis dengan Log z‚
misalnya Log (-1) = i. Tetapi bila z bilangan real positif‚ misalnya z
= r‚ maka log berubah menjadi ln‚ sehingga log r = ln r. Jadi rumus
(2) di atas dapat ditulis dengan:

log z = ln r + i ( + 2k)‚ (k bilangan bulat)

Perlatihan

Hitung semua nilai z dan nilai utama dari:
1. ln(-1 - i√3)

2. ln(-4)
3. ln(√3 - 1)

Kunci jawaban:

1. ln 2 + (k – 1 ) 2 i (k bilangan bulat); ln 2 – 2
3
3

2. ln 4 + ( + 2 k ) i (k bilangan bulat); ln 4 +  i

3. ln 2 + (116 + 2 k)i (k bilangan bulat); ln 2 + 11
6

4. Tunjukkan bahwa selesaian dari ln(i½) sama dengan selesaian

dari ½ ln i‚ yaitu ( 1 + k) i‚ k bilangan bulat.
4

5. Tunjukkan bahwa selesaian dari ln(i2) tidak sama dengan

selesaian dari 2ln i.

6. Tentukan semua akar dari ln z = i/2 (Jwb. z = i).

2.9 Eksponen Kompleks

Jika c sembarang bilangan kompleks‚ maka berdasarkan
catatan di atas‚ kita peroleh fungsi zc sebagai berikut:

zc = ln ‚ z ≠ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

ln z adalah fungsi logaritmik bernilai ganda.

Contoh 2.12 Hitung semua nilai dari ii.

Penyelesaian:
Berdasarkan rumus diperoleh ii = ln ‚ dan ln i dapat dihitung

dengan rumus ln z = ln r + i ( + 2k). Pada bilangan kompleks i

didapat r = 1 dan  = arg(i) = ‚ sehingga ln(i) = ln 1 + i( + 2k) =
2 2

i( + 2k)‚ k bilangan bulat. Dengan demikian ii = ln =
2

− ( 2 + 2k) ‚ sehingga nilai utamanya adalah − . Jelas bahwa nilai
2

utama dari ii merupakan sebuah bilangan real.

Perlatihan

Hitung nilai utama (principal value) dari:

1. i-2i (jwb. exp())
2. (-i)i (jwb. exp( 2 ))

Indikator CPMK
1. Menemukan rumus fungsi trigonometri.
2. Menemukan rumus fungsi hyperbola.
3. Menemukan rumus invers trigonometri.
4. Menemukan rumus invers hyperbola.
5. Mampu mengaplikasikan rumus dan teorema tentang keempat

fungsi di atas dalam pemecahan masalah.

2.10 Fungsi Trigonometri

Telah kita pelajari mengenai rumus Euler‚ yaitu:

 = cos  + i sin  dan −  = cos  - i sin 
Jika kedua persamaan tersebut dijumlahkan atau dikurangkan‚

diperoleh:

cos  = + −  ‚ sin  = − − 

2 2

Berdasarkan hal ini‚ secara alamiah fungsi sinus‚ cosinus‚

tangen‚ cotangen‚ secan‚ dan cosecan dengan peubah kompleks dapat

didefinisikan sebagai berikut:

cos z = z+ − z ‚ sin z = z− − z

2 2

tan z = sin = z− − z cot z = cos = ( z+ − z)
cos ( z+ − z) sin
z− − z

sec z = 1 = 2 csc z = 1 = 2
cos z+ − z sin z− − z

Semua sifat yang berlaku pada fungsi trigonometri real‚ juga berlaku

pada fungsi trigonometri kompleks. Misalnya:

(1) sin (z1 + z2) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2
(2) sin (z1 - z2) = sin z1 cos z2 - cos z1 sin z2
(3) cos (z1 + z2) = cos z1 cos z2 - sin z1 sin z2
(4) cos (z1 - z2) = cos z1 cos z2 + sin z1 sin z2
(5) sin2z + cos2z = 1
(6) 1 + tan2z = sec2 z
(7) 1 + cot2z = csc2 z
(8) sin(-z) = - sin z
(9) cos(-z) = cos z
(10) tan (-z) = - tan z
(11) sin 2z = 2 sin z cos z
(12) cos 2z = cos2z - sin2z
(13) sin z1 sin z2 = ½ [sin (z1 + z2) + sin (z1 - z2)]

Contoh 2.13
Kita akan membuktikan sifat (8) dan (13)‚ sedangkan sifat-sifat

lainnya diserahkan kepada pembaca.

Akan dibuktikan sin (-z) = - sin z

Bukti:

Langsung dari definisi kita peroleh:

sin z = z− − z  sin (-z) = (−z)− − (−z)

2 2

= (−z)− z

2

= – z − − z
2

= – sin z (Terbukti)

Selanjutnya akan dibuktikan sin z1 sin z2 = ½ [sin (z1 + z2) + sin (z1 -
z2)]
Bukti:
Alternatif 1‚ gunakan sifat 1 dan sifat 2‚ dan jumlahkan.
sin (z1 + z2) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2
sin (z1 - z2) = sin z1 cos z2 - cos z1 sin z2

+
sin (z1 + z2) + sin (z1 + z2) = 2 sin z1 cos z2
sin z1 cos z2 = ½ [sin (z1 + z2) + sin (z1 - z2)]
Alternatif 2.
Gunakan definisi sin z dan cos z‚ dan kalikan secara aljabar!

Perlatihan
1. Carilah z sehingga sin z = 2.

Jawab: z = (1 + 4k)/2  i ln(2 + 3)
2. Selesaikan persamaan cos z = 2.

Jawab: z = 2k  i ln (1 + 2)
3. Tunjukkan bahwa akar-akar sin z = 0 dan cos z = 0 adalah

bilangan real‚ kemudian hitunglah akar-akar tersebut.
Jawab z = k‚ k bilangan bulat; z = (k + ½ ) ‚ k bilangan bulat.

2.11 Fungsi Hyperbola

Fungsi hyperbola didefinisikan sebagai berikut.

(1). cosh z = z+ −z ‚ (2). sinh z = z− −z
2 2

(3). tanh z = sinh = z− −z (4). coth z = cosh = z+ −z)
cosh z+ −z) sinh z− −z

(5). sech z = 1 = 2 (6). csch z = 1 = 2
cosh z+ −z sinh z− −z

Perlatihan

Tunjukkan bahwa pada fungsi hyperbola berlaku sifat-sifat berikut.

1. sinh (z1 + z2) = sinh z1 cosh z2 + cosh z1 sinh z2

2. sinh (z1 - z2) = sinh z1 cosh z2 - cosh z1 sinh z2

3. cosh (z1 + z2) = cosh z1 cosh z2 - sinh z1 sinh z2

4. cosh (z1 - z2) = cosh z1 cosh z2 + sinh z1 sinh z2
5. sinh2z – cosh2z = – 1
6. 1 – tanh2z = sech2 z
7. coth2z – 1 = csch2 z

8. i sinh z = sin iz

9. cosh z = cos iz

10. i tanh z = tan iz

11. sinh iz = i sin z

12. cosh iz = cos z

13. tanh iz = i tan z

2.12 Fungsi Invers Trigonometri

Fungsi invers sinus z dapat diperoleh dari persamaan sin w = z.
Dari sini didefinisikan fungsi inversnya w = sin–1 z‚ dan dibaca invers
sinus z atau arcus sinus z‚ merupakan fungsi bernilai banyak (multiple
valued function). Berdasarkan definisi sinus kita peroleh:
z = sin w

= w− − w

2

w − − w = 2iz

2 w − 2 − w – 1 = 0‚

merupakan persamaan kuadrat dalam w‚ dan dengan menyelesaikan

dalam w serta mengabaikan tambahan konsanta 2ki (k bilangan

bulat) kita peroleh

w = iz + √1 + 2 ‚ sehingga

w = – i ln(iz + √1 + 2)
Kembali pada w = sin–1 z‚ maka kita peroleh rumus

(1) sin–1 z = – i ln(iz + √1 + 2)

Dengan cara yang sama dapat kita peroleh rumus-rumus fungsi invers

trigonometri lainnya sebagai berikut.

(2) cos–1 z = – i ln(z + √ 2 − 1)

(3) tan–1 z = − ln(1+ )
2
1−

(4) cot–1 z = − ln( + )
2
−

(5) sec–1 z = − ln(1 + √1− 2)

2

(6) csc–1 z = − ln(i + √ 2−1)

2

2.13 Fungsi Invers Hyperbola
w = sinh–1 z dinamakan fungsi invers hyperbola‚ dibaca invers

sinus hyperbola z; dapat juga ditulis dengan w = arcsin z. Persamaan
w = sinh–1 z dapat diubah menjadi

z = sinh w = w− −w
2

ew – e-w = 2z

e2w – 2zew – 1 = 0‚ merupakan persamaan kuadrat dalam e2w .

Diselesaikan dengan cara yang sama seperti di atas‚ kita peroleh

rumus sinh–1 z. Berikut ini disajikan semua rumus invers hyperbola.

(1) sinh–1 z = ln(z + √1 + 2)

(2) cosh–1 z = ln(z + √−1 + 2)

(3) tanh–1 z = 1 ln(1+ )

2 1−

(4) coth–1 z = 1 ln( +1)
2
−1

(5) sech–1 z = ln(1 + √1− 2)

2

(6) csch–1 z = ln(1 + √1+ 2)
2