ค ำชี้แจง จงเติมข้Ăคüำมที่ถูกต้Ăงลงในช่Ăงü่ำง 1. กำรüัดมุม Āน่üยการüัดมี 2 ลักþณะ คืĂ ................................... และ ..................................... 1.1 Āน่üยขĂงมุมเป็นĂงýำ (degree) กำรüัดมุมในทิýทางทüนเข็มนาāิกา ค่าขĂงมุมจะเป็นบüก m( ˆ PAQ) = …………….. กำรüัดมุมในทิýทางตำมเข็มนาāิกา ค่าขĂงมุมจะเป็นลบ m(YBZˆ ) = …………….. Āน่üยที่เป็นĂงýานั้นยังÿามารถแบ่งเป็นĀน่üยย่Ăยๆ ได้ ดังนี้ 1 Ăงýา = 60 ลิปดา ( เขียนแทนด้üย 1 60 ) 1 ลิปดา = 60 ฟิลิปดา ( เขียนแทนด้üย 1 60 ) 1.2 Āน่üยขĂงมุมเป็นเรเดียน (radian) ใĀ้ C เป็นüงกลมที่มี O เป็นจุดýูนย์กลาง และรัýมีเท่ากับ r เป็นมุมที่จุดýูนย์กลางซึ่งรĂงรับด้üยÿ่üนโค้งขĂงüงกลมที่ยาü a Āน่üย การüัดมุม ĀรืĂ AOBˆ ใĀ้มีĀน่üยเป็นเรเดียน ท าได้ดังนี้ = = a r เรเดียน กำรเปรียบเทียบĀน่üยขĂงกำรüัดมุม 360 = …………..…….. เรเดียน , 180 = …………..…….. เรเดียน 1 = …………..…….. เรเดียน , 1 เรเดียน = ……………..…... Ăงýา ĀมำยเĀตุ : มุมที่มีĀน่üยเป็นเรเดียนไม่นิยมเขียนĀน่üย แต่ถ้าĀน่üยเป็นĂงýาต้Ăงใÿ่Āน่üยเÿมĂ EX1 1) จงเปลี่ยนมุมต่Ăไปนี้ใĀ้มีĀน่üยเป็นเรเดียน (ใĀ้ตĂบในรูปเýþÿ่üนĂย่างต่ า ที่ติดค่า ) 202 30 = ………………………………………………………………………………………..….. เรเดียน 2) จงเปลี่ยนมุมต่Ăไปนี้ใĀ้มีĀน่üยเป็นĂงýำ 23 12 = ………………………………………………………………………………………….….. Ăงýา ห้อง .............. เลขที่ ............ ชื่อ สกุล ........................................................................... สรุป หัวใจ ส ำคัญของฟังก์ชันตรีโกณมิติพร้อมตัวอย่ำง คüามยาüขĂงÿ่üนโค้งที่รĂงรับมุม รัýมีขĂงüงกลม 3 15 go.a.iwnioiwia.at sink 09th 68bÑuW 40° _ 40° 21T IT I 180' 180' IT 405-81-9 - 202.5° × IT ,g, = - 202.50×70 ✗ IT = -20/25×-11 = -91T 788×70 180T 8 360L 72dg 23¥ × 118¥ V2 # = 23×15 = 345°
- 2 - ฟังก์ชันตรีโกณมิติ จัดท ำโดย ครูประกิตศรี เผ่ำเมือง 2. กำรüัดคüำมยำüÿ่üนโค้งและจุดปลำยÿ่üนโค้งขĂงüงกลมĀนึ่งĀน่üย ใĀ้ เป็นกำรüัดคüำมยำüÿ่üนโค้งขĂงüงกลมĀนึ่งĀน่üยจากจุด (1, 0) ถ้า > 0 Āมายถึง กำรüัดคüำมยำüขĂงÿ่üนโค้งจากจุด (1, 0) ไปในทิýทาง………..... เข็มนาāิกา ถ้า < 0 Āมายถึง กำรüัดคüำมยำüขĂงÿ่üนโค้งจากจุด (1, 0) ไปในทิýทาง………..…..เข็มนาāิกา ถ้า = 0 จุดปลำยÿ่üนโค้งคืĂจุด ………………………... คüำมยำüÿ่üนโค้งขĂงüงกลมĀนึ่งĀน่üย คืĂ มุม () ที่มีĀน่üยกำรüัดแบบ ………….......................... เพราะü่า EX2 จากรูป จงĀาค่า (มุมที่รĂงรับคüำมยำüÿ่üนโค้งขĂงüงกลมĀนึ่งĀน่üย) ทั้งแบบเรเดียน และĂงýำ üัดแบบทüนเข็มนำāิกำ (0, -1) (0, 1) (-1, 0) O (1, 0) (0, -1) (0, 1) (-1, 0) O (1, 0) (0, -1) (0, 1) (-1, 0) O (1, 0) (0, -1) (0, 1) (-1, 0) O (1, 0) =…..…. = …..…. =…..…. = …..…. =……... = ……... =…..…. = ……... üัดแบบตำมเข็มนำāิกำ (0, -1) (0, 1) (-1, 0) O (1, 0) (0, -1) (0, 1) (-1, 0) O (1, 0) (0, -1) (0, 1) (-1, 0) O (1, 0) (0, -1) (0, 1) (-1, 0) O (1, 0) =…..…. = …..…. =…..…. = …..…. =……... = ……... =…..…. = ……... 3. ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ จากรูป ถ้า P(x, y) เป็นจุดบนเÿ้นรĂบüงขĂงüงกลมĀนึ่งĀน่üย ซึ่งüัดจากจุด (1, 0) ไปยังเÿ้นโค้งยาü Āน่üย แล้ü ฟังก์ชันไซน์(sine) คืĂ เซตขĂงคู่Ăันดับ ( , ......) จะได้ü่า y = ……..……..…….. ฟังก์ชันโคไซน์(cosine) คืĂ เซตขĂงคู่Ăันดับ ( , ......) จะได้ü่า x = ……………..…….. โดย โดเมนขĂงฟังก์ชันไซน์และโคไซน์คืĂ .................................... เรนจ์ขĂงฟังก์ชันไซน์และโคไซน์คืĂ ...................................... y θ x 1 P(x, y) (1,0) (0,1) (-1,0) (0,-1) x y θ = MIN MIN 11,0 ) bd6Ñww IT 2 90 ' 31T 21T O ' / 360' IT 780 ' 2 270 . - 21T O ' / -360 ' - IT -180 ' - ¥ - go ' -3¥ -270 ' y Sino ✗ COSOR [ -1,1 ]
- 3 - ฟังก์ชันตรีโกณมิติ จัดท ำโดย ครูประกิตศรี เผ่ำเมือง EX3 จากรูปในข้Ă 3 ข้างบน ถ้า = 3 เรเดียน จงĀาพิกัดขĂงจุด P üิธีท ำ P(x, y) และ cos cos..... 3 x = …………….. sin sin..... 3 y = …………….. P(…...… , …..….) 4. กำรĀำค่ำ ที่ÿ ำคัญ ( = คüำมยำüÿ่üนโค้ง / มุมที่รĂงรับคüามยาüÿ่üนโค้งขĂงüงกลมĀนึ่งĀน่üยทั้งแบบ Ăงýำ และเรเดียน) ณ จุด B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O และ P พร้Ăมทั้งĀาพิกัดจุดปลำยขĂงÿ่üนโค้ง ที่ยาü เมื่Ă 0 2 ตัวอย่างเช่น ณ จุด A ตรงกับ = 0 0/ หรือ 360 2/ และพิกัดของจุด A คือ (1, 0) 0 0 / 0 ; 1, 360 2/ Q(, ) 2 0 2 Q( , ) 1 Q( , ) 3 2 Q(, ) 4 I 60 2 5 60 2 1 53 2 2 10 " ) ( I. E) I :?) 90° / % f-E. E) 120/2; 601¥ ( % , ? ) 135 ' / 31T 45° /¥ 4 IF :) 1- ÷ . :) 30 ' /% 150 ' / 180° /IT f- 1,0 ) ( ÷ . :) f-% , ;-) 330' 270 ' /71T / ¥ 6 F. i :| 1-Ei:) ( ' Ii - ¥ ) (; . - ) 315%7" 225/5-11 4 4 276 / ¥ 240/ 4¥ 300%5-11 ( 0 , - 1) 3
- 4 - ฟังก์ชันตรีโกณมิติ จัดท ำโดย ครูประกิตศรี เผ่ำเมือง 5. กำรĀำค่ำขĂงฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ใน 4 คüĂดรันต์ จะได้ü่า ( Ăยู่ในคüĂดรันต์ที่ ……… ) , cos( ) = ………………. , sin( ) = ………….….. ( Ăยู่ในคüĂดรันต์ที่ ……… ) , cos( ) = …………..….. , sin( ) = ……….…….. ( 2 Ăยู่ในคüĂดรันต์ที่ ..…... ) , cos(2 ) = …………..…. , sin(2 ) = ……….…….. EX4 จงĀาค่าขĂงฟังก์ชันต่Ăไปนี้โดยใช้ÿูตรในข้Ăที่ 5 1) 2 3 cos = ( ) 3 cos = 3 cos = ……………………..………………………………………………… 2) 3 4 sin = ( ) 4 sin = 4 sin = ……………………..………………………………………………… 3) 7 6 cos = cos ..... ( ) = ………………………………………………………………………………………….. 4) 4 3 sin = sin ..... ( ) = ………………………………………………………………………………………….. 5) 7 4 cos = cos ..... (2 ) = ………………………………………………………………………………………….. 6) 11 6 sin = sin ..... (2 ) = ………………………………………………………………………………………….. จากรูป ใĀ้ 0 2 ( Ăยู่ในคüĂดรันต์ที่ 1) x cos , y sin cos(มุมแกนนĂน ) = …………..……… , sin (มุมแกนนĂน ) = ……………..…… / 2 / 2 2 - COSA Sino 3 - COSQ - Sino 4 COSA - Sino ± cosa ± sine -1 - COS 60 ' = 2 E sin 45° = 2 IT _BIT - cos -6 = _ ( 0530 " = 2 6 I - I IT - sin 3 = - sin 60 ' = 2 3 cos = (0545 ' = £ IT 2 4 - 1 IT - sin ? = _ sin 30 ' = 2 6
- 5 - ฟังก์ชันตรีโกณมิติ จัดท ำโดย ครูประกิตศรี เผ่ำเมือง 6. กำรĀำค่ำขĂงฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ขĂงจ ำนüนจริงใดๆ 6.1 cos( ) = ………..………....… sin( ) = ………..………....… 6.2 ใĀ้ 2n เมื่Ă 0 2 และ n I ( เป็นคüามยาüÿ่üนโค้งขĂงüงกลมĀนึ่งĀน่üยเกิน 1 รĂบ) EX5 จงĀาค่าขĂงฟังก์ชันต่Ăไปนี้ 1) 31 6 cos = 31 6 cos = cos 4 ...... = ..………………………………….……………..……… = ..………………………………….……………..……… 2) 31 6 sin = 31 6 sin = sin 4 ...... = ………………………………….……………….……. = ..………………………………….……………..……… -θ θ y -y (x, -y) (x, y) (1,0) (0,1) (-1,0) (0,-1) x y cos(2n ) = ………..………....… sin(2n ) = ………………......… y x (0,-1) (-1,0) (0,1) (1,0) (x, y) Āมุนตำมเข็มนาāิกา Āมุนทüนเข็มนาāิกา Cos ⊖ - sino Cosa Sina 7- IT 71T - COS 6 = - (05270° 6 F) =r - * 2 2 , - sin = - sina.no . 71T 1- - f- E) =z #
- 6 - ฟังก์ชันตรีโกณมิติ จัดท ำโดย ครูประกิตศรี เผ่ำเมือง 7. ฟังก์ชันตรีโกณมิติĂื่นๆ (รüมทั้งĀมด 6 ฟังก์ชัน) จงเติมค่า (เรเดียน) และค่ำฟังก์ชันตรีโกณมิติขĂงมุมที่ÿ ำคัญลงในตาราง (Ăงýา) (เรเดียน) 0 30 45 60 90 …….…. …….…. …….…. …….…. ….……. sin cos sin ; cos 0 co tan s 1 ; sin 0 si cosec n 1 ; cos 0 cos sec cos ; sin 0 si cot n ลักþณะเครื่ĂงĀมำยขĂงแต่ละฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มุม Ăยู่ในแต่ละคüĂดรันต์ มีดังนี้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ Y X Q3 Q4 Q2 Q1 ทุกฟังกชัน์ ตรีโกณมิติ มีค่าเป็ น + ......... ......... นอกนั้นเป็ น – .......... .......... นอกนั้นเป็ น – .......... .......... นอกนั้นเป็ น – (+, +) (+, -) (-, +) (-, -) cos sin win clip it ÷ ÷ ÷ ÷ O ra is ' - _ _ 1 2 2 2 52 7 1 I - - 0 2 2 2 o ' - v5 1 if Minibar'bñ 2 2 eenoiibsifoi 2 T2 53 I 2 I r, ¥ 2 uioiifaifoi eenohiifsifoi F 7 V3 0 Sino cosec Otano COSQ Coto Seco
- 7 - ฟังก์ชันตรีโกณมิติ จัดท ำโดย ครูประกิตศรี เผ่ำเมือง EX6 จงĀาค่าขĂงฟังก์ชันต่Ăไปนี้(ใช้คüามรู้จากข้Ă 7) 1) 5 tan 6 = ………………………………………………………………………………………………………..……………… [ üิธีคิด : มุมĂยู่ใน Q2 : tan – ÿัมพันธ์กับมุม 6 = 30 เพราะü่า 5 6 6 ] 2) sec300 = ……………………………………………………………………………………………………………………… [ üิธีคิด : มุมĂยู่ใน Q4 : sec + ÿัมพันธ์กับมุม 60 เพราะü่า 300 360 60 ] 3) 11 6 cosec = ……………………………………………………………………………………………………………………… [ üิธีคิด : มุมĂยู่ใน……. : cosec ……. ÿัมพันธ์กับมุม…….… เพราะü่า 11 2 6 ] 4) cot 210 = ……………………………………………………………………………………………………………………… [ üิธีคิด : มุมĂยู่ใน……. : cot ……. ÿัมพันธ์กับมุม….… เพราะü่า 210 180 ] I + an / " - %) = - tan ? = - tan 30° = - F # Sec / 360 ' -60 ' ) = Sec 60° = 2 # [ 0sec ( 21T - * f) = - cosec %) = - cosec 30° = - 2 # I 6 = 30° IT Q4 - 6 cot ( 180 ' + 30 ' ) = cot 30° = 53# Q} t 30° 30°
- 8 - ฟังก์ชันตรีโกณมิติ จัดท ำโดย ครูประกิตศรี เผ่ำเมือง 8. คüำมÿัมพันธ์ระĀü่ำงฟังก์ชันตรีโกณมิติต่ำงๆ จากÿมกำรขĂงüงกลมĀนึ่งĀน่üย คืĂ ............................................................................. ท าใĀ้ได้เĂกลักþณ์ขĂงตรีโกณมิติที่ÿ าคัญ คืĂ 2 cos ……………….. = ………… และ 2 1 ............. sec , 2 cot 1 .................... EX7 จงĀาค่าขĂง 2 22222 tan 80 cosec 54 cos 25 sec 80 sin 25 cot 54 üิธีท ำ จากโจทย์จัดกลุ่มใĀม่จะได้ 2 2 2 2 2 2 (tan 80 sec 80 ) (cot 54 cosec 54 ) (cos 25 sin 25 ) = ……………………………..……………………………………………………………………………… 9. ÿูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติขĂงผลบüกและผลต่ำงขĂงมุม 2 มุมใดๆ มีดังนี้ cos( ) = …………………………….……….………...… , cos( ) = …………………………….……….………...… sin( ) = …………………………….……….………...… , sin( ) = …………………………….……….………...… tan( ) = …………………………….……….………...… , tan( ) = …………………………….……….………...… EX8 จงĀาค่าขĂง 1) cos105 = cos(60 45 ) = ………………………………………………………………………..… = ………………………………………………………………………………………………………..…… 2) sin15 = sin(60 45 ) = ………………………………………………………………………….. = ……………………………………………………………………………………………………………... 3) 5 12 tan = 5 tan 12 = tan 4 6 = …………………………………………….. = ………………………………………………………………………………………………………..……. rinclip ✗ 2+12=1 tan 80° _ Sec? 800 sin? ⊖ y ◦ MIMI 7 + tan20-sec200-iboitan20-o.ec = -1?0- tanf cosec ' f i. 1- 9h28 ° _ Sec ? 80° = - y cot 254° - cosec ' 54° 07najnccot20-i-1-coseiooifoicol-20-cose.CO = -1 linkin,wn;Ñw ) i.co/-2540-cosec2540=-1cos2250-sin22s- ° ↓, % ¥ 0777,018 COSZQ + sing =p - 11-1-17 +1 = -1-7+1 = -2+1 = -1 i. c.052250 + sin? 250=1 cosdcosp - sinasinp cosacosptsindsinp sindcosptcosasinp sindcosp - cosasinp 1- and + tanp 1- and - tanp 1- tanatanp I + tanatanp cosdcosps - sindsinp cos 6070545° - sinbésin 45° = { ( E ) - {(F) = YÉ - I 4 = F- To - 2-2B$ 4 * sindcosp - cosasinp 56-52 sin 60.0545° _ cosbisini.si = { (E) - 1- (E) = -F 4 = 4 * tan / - A) - [ tan + tan " ( ÷:) = 1- tan tani] -4¥) 3 = - [ an45°+tan3o° = - (4%+2%3) = - ( Ftl ✗ 1- tan45°tan3o° ] 3- ¥,) = - i ¥ = - ✗ + 1) ( ☐ + 1) = - 2-B* B- I (-11%1) = - [ H+Ñ ] I 153 - 7)(53+1) ✗ 53 " [ """" """ ] ) = - Ff, + ¥ (B)2- 12 It% - % = - U (3+253+1) 3- 1
- 9 - ฟังก์ชันตรีโกณมิติ จัดท ำโดย ครูประกิตศรี เผ่ำเมือง 10. ÿูตร โค-ฟังก์ชันตรีโกณมิติ(เฉพาะคüĂดรันต์ที่ 1) มีดังนี้ แต่ถ้าเป็นมุม A 2 จะĂยู่ในคüĂดรันต์ที่ .............. 3 A 2 จะĂยู่ในคüĂดรันต์ที่ .............. 3 A 2 จะĂยู่ในคüĂดรันต์ที่ .............. EX9 จงĀาค่าขĂง (ค าแนะน า : ใช้โคฟังก์ชันตรีโกณมิติเปลี่ยนมุมให้เป็นมุมชุดเดียวกันก่อน) 1) cos80 sin 70 cos10 sin 20 = cos80 cos sin sin 20 = cos = ……………………………..…….. 2) tan130 cot80 1 cot 40 tan10 = tan130 tan 1 tan tan10 = tan = …………………………………………………………..……..…….. Q1 sin A 2 = ………………….……… , cos A 2 = ………………….……… tan A 2 = ………………….……… , cot A 2 = ………………….……… sec A 2 = ………………….……… , cosec A 2 = ………………….……… ฟังก์ชันตรีโกณมิติ( A 2 ) = …………………………………………………………….…………. ตัวอย่างเช่น sin1 cos , tan80 cot , sec15 cosec ฟังก์ชันตรีโกณมิติ(มุมแกนตั้ง A ) = …………………………………….………………….…… 3 2 2 / ควอดรันต์อื่นๆ COSA Sina Cota tana [ 0sec A SECA in - ntsñÑwA 10 7- 5 1 89 sin / 90° - i) = cos 89° { tan / 90° -80° ) = Cotai \ see / 90° -15° ) = cosec 75° 2 sinocose.co 3 tant Cosa 4 Coto Seco + - in -W%ñÑwA 20 80 1 sin / 90° -70°) { ◦ s( 90° -70°) 80 20 (0560° = & = cos 20° = sin 80° / 180 ' -50 . / IT - 8) → tan bÑw⊖ - cot / 90° -80° ) = tan 200 10 - 50 10 50 ( cot / 90° -40° ) - tanto ' = -B = tan # 50°
- 10 - ฟังก์ชันตรีโกณมิติ จัดท ำโดย ครูประกิตศรี เผ่ำเมือง 11. ÿูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติขĂงมุม 2 เท่ำ ขĂงมุมใดๆ มีดังนี้ sin 2 = …………………………….……….………...… cos 2 = …………………………….………. = …………………………….………. = …………………………….………. (มี 3 ÿูตร) tan 2 = …………………………….……….………...… EX10 จงĀาค่าขĂง 1) 2 5 1 2sin 12 = cos 2 ....... = …………….…………………………………………………... 2) 2 2 tan 8 1 tan 8 = tan 2 ....... = …………….…………………………………………………... 3) cos36 sin 36 cos12 sin12 = sin12 cos36 cos12 sin 36 sin12 cos12 = sin( ) sin12 cos12 = sin( ) sin12 cos12 = ( sin ) (sin12 c 2 2 os12 ) = …………….……………. 12. ÿูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติขĂงมุม 3 เท่ำ และ 1 2 เท่ำ ขĂงมุมใดๆ มีดังนี้ sin 3 = …………………………….……….………..……...… , cos3 = ………………………………….…….…….……………...… sin 2 = ………………..……..……….… , cos 2 = ……………...………………… , tan 2 = ……………..…….…………… EX11 จงĀาค่าขĂง (ค าแนะน า : ข้อ 1) ใช้โคฟังก์ชันตรีโกณมิติเปลี่ยนมุมให้เป็นมุมชุดเดียวกันก่อน) 1) 3 3cos 40 4sin 50 = 3 3sin 4sin 50 = sin = ………………………… 2) 3 5 5 12 12 4cos 3cos = cos ......... = ………………………………………………………….………… EX12 ถ้า 2 และ 3 cosec 1 5 จงĀาค่าขĂง tan 2 üิธีท ำ Ăยู่ใน Q2 tan 2 = …………………..……… = …………………..…………………………… 2 Ăยู่ใน Q1 cos = ……………… sin เป็ น + cos เป็ น – ? 13 5 2 tan เป็ น + Zsindcosa cos 'd - sin'd l - 25in 't 2C 0529 - n Hana 7- tank 51T COS?⃝✗ 51T) = Cos 51T = (05150 " = - t 72 * 6 2 # 6 IT tan -211T = tant = 1 * 8 8- 4 4 12 36 - 24 12 21- Sinti ) = -25inch 2. sin 1270512 Sint = -2# 35in d- 45in > a 4. cos > ✗ - 3 cost -ᵗ1-co?⃝ ±1+g ± 2 1-cIt cost 50 3150' ) sin 1500 = { * \ cos / 90 ' -40 ' ) Isin 50' 51T - I ¥51T COS ¢ = C. 05225° = 2 # ¥ DID = I / in Sino Qz 132 = 92+52 7 - ( 050 169 = 92+25 , , , .gg 1 - f! } ) 169-25=92 1+1-1,} ) 744 = 92 07h iii.af in ¥ᵗ÷[ = :# = s - 12 12=9 ÷ - ÷ 12 In 73 * V7 cos 6h4 @ 66MW? 'RE
- 11 - ฟังก์ชันตรีโกณมิติ จัดท ำโดย ครูประกิตศรี เผ่ำเมือง 13. ÿูตรผลคูณขĂงฟังก์ชันตรีโกณมิติ มีดังนี้ 2sin cos ………………………………..…………………… , 2cos sin ………………..…………………………………… 2cos cos ……………………………..…………………….. , 2sin sin …………………………………………..………… EX13 จงĀาค่าขĂง 1) 2sin 75 cos15 = sin ...... ....... sin ...... ....... = …………………..………….……………….…… 2) 4cos195 sin105 = 2 2cos195 sin105 = 2 sin ...... ....... sin ...... ....... = ……………………………………………………………………………………………………..…………………. 3) cos15 cos 255 = cos15 cos 255 2 2 = cos15 cos 255 1 2 2 = cos(..... .......) cos(..... .... 1 2 ...) = ……………………..…..………………….. = ……………………………………………………………………………………………………..…………………. 4) 8sin15 sin 75 = 4 2sin15 sin 75 = 4 cos ...... ....... cos ...... ....... = ……………………………………………………………………………………………………..…………………. 14. ÿูตรผลบüกและผลต่ำงขĂงฟังก์ชันตรีโกณมิติ มีดังนี้ sin sin ………………………………..…………………… , sin sin ………………..…………………………………… cos cos ……………………………..…………………….. , cos cos …………………………………………..………… EX14 จงĀาค่าขĂง 1) sin195 sin105 = 2sin cos 2 2 = …………………..………….………………… = ……………………………………………………………………………………………………..………………….. 2) sin195 sin105 = 2cos ................ sin ................ = …………………..………….……………………. = ……………………………………………………………………………………………………..………………….. 3) cos195 cos105 = 2cos ................ cos ................ = …………………..………….……………………. = ……………………………………………………………………………………………………..………………….. 4) cos195 cos105 = 2sin ................ sin ................ = …………………..………….………………….. = ……………………………………………………………………………………………………..…………………. sin / ✗ + B) + sin / a- p ) cos / atp ) + costa - p ) sin / ✗ + B) - sin / x-p) cos (9+13) - cos / d- p) ( RN 2 75° 15° 75° 15° sin 90° t sin 60° : It if = 2+53 2 2 * / cos / 180 't 15° ) = sin 150 15° 105° 75° 105° 2 / sinizci - Sinai ) = 2ft - ↑" ? g) = -25 - * = F- 2 # y 2 2 I / COS / 90 ' -7-5) = sin 7g ' 15 15° 255 { [ sin / 750+1-15 )) - sin (75-1-157)] loose -15 ) = - Sinti 1- lsinoésinai > = :( E- 1) = :(÷ - 3) = :(3) = 2 -1¢ # / sin /90°-75°) = costs: Muniz 75° 15° 75° 15° ( sin / 90° -15°) = [0515° 4( cos 60° - cos 90° ) = 441 - O ) = -4T¥ = 2 # I zsin / %" / cost? ) zoos / %" / sin / ° ? ) 20s ( FB ) cos 471 _ zsin / %" / sin / • ¥ ) nasi 105° 195° 105° zsin cos /É 2. sin 150 . Cos 45° = 25in -3020545' = ✗ (Lg ) / ?) = ( 180 ' -30 . * sin it - f) → Qz , sin 68W -0 45 ' 795 't 105° 795° _ 105° z "" (¥É)sin(¥) 2 205150° sin 45° = 20530's in 45 ' = 24¥/ ( %-) = - t ( 780 ' _ 30 ' 2 # COS / IT - f) → Qz , cos 6826-0 45 ' 195+105 795° - 105° " , zoos )cos( ) 2 2. cos 150°C 0545° = 2053020545° = ✗ f- ) ( Eg ) = - V6 ( 780 ' -30 ' z # COS / IT - f) → Qz , cos bÑW -0 ¢5 ' 195+105 795° - 105° " z - zsin )sin( ) 2 - 25in 150 - sin 45° = - 25in 30'sin45' = -É( ( ? ) = _ E ( 180 ' _ 30 ' 2 # sin / IT - ⊖ ) → Qz , sin bÑw⊕
- 12 - ฟังก์ชันตรีโกณมิติ จัดท ำโดย ครูประกิตศรี เผ่ำเมือง 15. ลักþณะกรำฟขĂงฟังก์ชันตรีโกณมิติ 15.1 ลักþณะกรำฟขĂงฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐำน ทั้ง 6 ฟังก์ชัน ในช่üง 0, 2 1) y = sin x 2) y = cos x 3) y = tan x กรำฟ โดเมน เรนจ์ คำบ แĂมพลิจูด 4) y = cosec x 5) y = sec x 6) y = cot x กรำฟ โดเมน เรนจ์ คำบ แĂมพลิจูด 15.2 ลักþณะกรำฟขĂงฟังก์ชันตรีโกณมิติเมื่Ăมีค่าพารามิเตĂร์ a , b เพิ่มเข้ามาในฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชัน y si ) a n( xb ĀรืĂ y co ) a s( xb เมื่Ă a 0 และ b 0 จะได้ü่า โดเมนขĂงฟังก์ชัน คืĂ ................................... เรนจ์ขĂงฟังก์ชัน คืĂ ..................................... คำบขĂงฟังก์ชัน เท่ากับ ............................... แĂมพลิจูดขĂงฟังก์ชัน เท่ากับ ...................... naina.n1uÑW" sina.ae ^^ ;gowoÑN '"ˢ / cos sin /2h-11+0) = Sino b , wbÑww Éw as as jigs \ Q1 % Q2 Q3 Q4 ☆ ⊕ ↑ A ☆ riot ⊖ cos R R { × / ✗ =/ n -11+7 ;nEI} " " [-1,1 ] [-1,1 ] R Ruano { 21T 21T IT Nash 45 1 1 ( from 1- 1- 1) = > 2nF's V09 2 = 1) ( from 1- 1- 1) = > znÉgvogz = 1) %ÑÑᵈ { × / ✗ =/ hit baton C- I] { × / ✗ =/ hit + ¥ baton c- I} { ✗ / ✗ =/ NIT baton c- I } 1- • , - 1) V11 , co ) ( - as , - 1) vk.co) R 21T 21T IT ifaiai Iain Iain * * basis ** R flat , / at ] 21T 191 IN
- 13 - ฟังก์ชันตรีโกณมิติ จัดท ำโดย ครูประกิตศรี เผ่ำเมือง EX15 จงเขียนกรำฟขĂงฟังก์ชันที่ก าĀนดใĀ้ โดยใช้ปากกาต่างÿีกัน เมื่Ă 2 x2 พร้Ăมทั้งĀาคำบ แĂมพลิจูด และเรนจ์ 1) x y sin 2 1 2 และ x y si 2 2 n 1 üิธีท ำ ต้Ăงเลื่Ăนแกนทางขนานไปที่เÿ้นตรง............... คำบ เท่ากับ .............................................. แĂมพลิจูด เท่ากับ .................................... และเรนจ์ เท่ากับ ...................................... 2) y cos 2 2x 1 และ y co 2 sx 1 2 üิธีท ำ ต้Ăงเลื่Ăนแกนทางขนานไปที่เÿ้นตรง............... คำบ เท่ากับ .............................................. แĂมพลิจูด เท่ากับ .................................... และเรนจ์ เท่ากับ ...................................... nonWoon I ÑO * nainwiosou * 3 ✗ 41T [- 1 , 3 ] IT 2 ✗ ☒V11I [ - 2 , 2 ] No oÑww 8in:mirrors in; * ioniaii.us *
- 14 - ฟังก์ชันตรีโกณมิติ จัดท ำโดย ครูประกิตศรี เผ่ำเมือง 16. ฟังก์ชันĂินเüĂร์ÿขĂงฟังก์ชันตรีโกณมิติ การĀาตัüผกผัน ĀรืĂ...................ขĂงฟังก์ชัน ท าได้โดยการ.................................................................... ขĂงแต่ละคู่Ăันดับที่เป็นÿมาชิกขĂงฟังก์ชัน และฟังก์ชัน.................................เท่านั้นที่มีตัüผกผันเป็นฟังก์ชัน แต่เนื่Ăงจากฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่เป็นฟังก์ชัน............................. ดังนั้น ตัüผกผันขĂงฟังก์ชัน ตรีโกณมิติจึงไม่เป็น........................ แต่ถ้าต้ĂงการýึกþาตัüผกผันขĂงฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เป็นฟังก์ชัน เราจ าเป็นต้Ăงก ำĀนดช่üงขĂง โดเมนใĀ้เĀมำะÿมเพื่Ăท าใĀ้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติดังกล่าüเป็นฟังก์ชัน.......................... โดยที่……………ขĂงฟังก์ชัน ยังคงมีลักþณะเĀมืĂนเดิม 1) sin Y X - π 2 π 2 -1 1 ฟังก์ชัน sine ฟังก์ชัน arcsine y sin x y arcsin x [ĀรืĂ x sin y ] โดเมน เรนจ์ ตัüĂย่ำง sin 2 ………. ………. arcsin1 2) cos Y X π 0 -1 1 ฟังก์ชัน cosine ฟังก์ชัน arccosine y cos x y arccos x [ĀรืĂ x cos y ] โดเมน เรนจ์ ตัüĂย่ำง cos ………. ………. arccos( 1)
- 15 - ฟังก์ชันตรีโกณมิติ จัดท ำโดย ครูประกิตศรี เผ่ำเมือง 3) tan Y X -∞ π ∞ 2 - π 2 ฟังก์ชัน tangent ฟังก์ชัน arctangent y tan x y arctan x [ĀรืĂ x tan y ] โดเมน เรนจ์ ตัüĂย่ำง tan 3 ……..…. ……..…. arctan( 3) ในกำรแก้ปัญĀำเกี่ยüกับฟังก์ชันĂินเüĂร์ÿขĂง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ นักเรียนÿามารถท าได้โดยการ เปลี่ยนกลับไปĂยู่ในรูปขĂงฟังก์ชันตรีโกณมิติ แล้üใช้คüามรู้ขĂงฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เรียนมาแล้üแก้ปัญĀา แต่ต้Ăงไม่ลืมü่ำ โดเมนและเรนจ์ขĂงฟังก์ชันต้Ăงเป็นไปตำมนิยำม เÿมĂ arcsin = A ก็ต่Ăเมื่Ă sin A = arccos = B ก็ต่Ăเมื่Ă …………………………… arctan = C ก็ต่Ăเมื่Ă …………………………… EX16 ถ้า arccos x arcsin x 6 แล้ü จงĀาค่าขĂง arccos x arctan 2x üิธีท ำ ใĀ้ arccos x A จะได้ cos A ........ ใĀ้ arcsin x B จะได้ sin B ......... เนื่Ăงจาก cos A sin B จะได้ A B .......... จาก arccos x arcsin x 6 จะได้ A B ......... + จะได้ 2A ............................... ดังนั้น A .......... cos A cos....... ......... x ......... ใĀ้ arctan 2x C จะได้ tan C ............ ........................ .. เมื่Ă C , 2 2 ดังนั้น C ......... นั่นคืĂ arccos x arctan 2x = A C = ………………………………………….. # 1 2
- 16 - ฟังก์ชันตรีโกณมิติ จัดท ำโดย ครูประกิตศรี เผ่ำเมือง 17. กฎขĂงไซน์และโคไซน์ เป็นคüำมÿัมพันธ์ที่ใช้กับรูปÿำมเĀลี่ยมใดๆ ที่ทราบÿ่üนประกĂบบางÿ่üน ได้แก่ คüามยาüด้าน ขนาดขĂงมุม เพื่ĂĀาค่าขĂงÿ่üนประกĂบที่เĀลืĂ มีประโยชน์กับการýึกþาเรขำคณิตüิเครำะĀ์ และเüกเตĂร์ มีÿูตรดังนี้ ในรูป ABC ใดๆ ถ้า a , b , c เป็นคüามยาüขĂงด้านตรงข้ามมุม A, B และ C ตามล าดับ จะได้ กฎขĂงไซน์ คืĂ …………………………………………………..……… กฎขĂงโคไซน์ คืĂ ………………………………..………………………… ……………………………..…………………………… ……………………………..…………………………… EX17 ก าĀนดรูป ABC ดังรูป จงĀาคüามยาüขĂงด้าน BC (a) และขนาดขĂงมุม C üิธีท ำ จำกกฎขĂงโคไซน์ ; 2 a = 2 b ........ ............................ = ……………………………………………………….. = ……………………………………………………….. ดังนั้น a = ……………………… นิ้ü # จำกกฎขĂงไซน์ ; sin C c = sin A a จะได้ sin C 4 = sin 60 ........ sin C = ……………………………………………………….. ดังนั้น C = arcsin ............ # C b = 5 นิ้ ว c = 4 นิ้ ว Āำได้จำกกำรกดเครื่Ăงคิดเลขแบบüิทยำýำÿตร์โดยใช้ฟังก์ชัน arcsin / sin-1