ลำดับและอนุกรม

โ ร ง เ รี ย น เ บ ญ จ ม ร า ช รั ง ส ฤ ษ ฎิ์

ลำดับ และ
อนุกรม

สรุปเนื้อหา และ แบบฝึกหัด
ลำดับและอนุกรม




เสนอ
คุณครูรัตนา วิหกเหิร

แบบทดสอบก่อนเรียน แบบทดสอบหลังเรียน

สารบัญ หน้า

เรื่อง 1
4
เนื้อหาลำดับ 7
เนื้อหาอนุกรม 13
ลำดับและอนุกรมอนันต์ 24
แบบฝึกหัด 25
เฉลย
เฉลยละเอียด

1

ลำดับ

ถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, …, n } เรียกว่า
ลำดับจำกัด

ถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, … } เรียกว่า ลำดับ
อนันต์

ความหมายของลำดับในการเขียนลำดับจะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์
เรียงกันไป
กล่าวคือ ถ้า a เป็น ลำดับจำกัด จะเขียนแทนด้วย a1, a2, a3, …, an
และ ถ้า a เป็น ลำดับอนันต์ จะเขียนแทนด้วย a1, a2, a3, …, an, …
เรียก a1 ว่า พจน์ที่ 1 ของลำดับ
เรียก a2 ว่า พจน์ที่ 2 ของลำดับ


เรียก a3 ว่า พจน์ที่ 3 ของลำดับ

และเรียก an ว่า พจน์ที่ n ของลำดับ หรือพจน์ทั่วไปของลำดับ

2

ลำดับ

1) 4,7,10 เป็นลำดับจำกัด

ที่มี a1 = 4

aa32==170


และ

an=3n + 1 2) – 2,1,6, … เป็นลำดับอนันต์

ที่มี a1 = – 2

a2 = 1

a3 = 6


และ 2

an = n – 3

การเขียนลำดับนอกจากจะเขียนโดยการแจงพจน์แล้ว อาจจะเขียน
เฉพาะพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไปพร้อมทั้งระบุสมาชิกในโดเมน

3

ลำดับ

ลำดับเลขคณิต คือ
ลำดับที่มีผลต่างที่ได้จากการนำพจน์ที่ n+1 ลบด้วยพจน์ที่ n แล้วมีค่าคงที่เสมอ
และเรียกผลต่างที่มีค่าคงที่ว่า ผลต่างร่วม
ถ้า a1, a2, a3, …, an, an+1 , … เป็นลำดับเลขคณิต แล้ว

จะได้ a2 – a1 = a3 – a2 = … = an+1 – an เท่ากับ ค่าคงที่
เรียกค่าคงที่นี้ว่า “ผลต่างร่วม” เขียนแทนด้วย “d”

an=a1+(n-1)d

ลำดับเรขาคณิต
คือ ลำดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n+1 ต่อพจน์ที่ n เป็นค่าคงที่
ทุกค่าของจำนวนนับ n และเรียกค่าคงที่นี้ว่า “ อัตราส่วนร่วม ”
ถ้า a1,a2,a3,…,an,an+1 เป็นลำดับเรขาคณิต แล้ว จะได้ เท่ากับค่าคงที่ เรียก


ค่าคงที่นี้ว่า “อัตราส่วนร่วม” เขียนแทนด้วย “r”

an=a1 x rn-1

4

อนุกรม

a1 + a2 + a3 + … + an ว่า อนุกรมจำกัด

ทำนองเดียวกัน ถ้า a1, a2, a3, …, an, … เป็น ลำดับ
อนันต์

จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกในรูป a1+a2+a3+…+an+ …
ว่าอนุกรมอนันต์

ความหมายของอนุกรมและสัญลักษณ์แทนการบวก
กำหนด a1, a2, a3, … , an เป็นลำดับจำกัด
จะได้ a1+a2+a3+ … +an เป็นอนุกรมจำกัด
และ เมื่อ a1, a2, a3, …, an, … เป็นลำดับอนันต์
จะได้ a1+a2+a3+…+an+ … เป็นอนุกรมอนันต์

5

อนุกรม

อนุกรมเลขคณิต

มี a1 เป็นพจน์แรกของอนุกรม และ d เป็นผลต่างร่วมของอนุกรม
เลขคณิต
จากบทนิยาม จะได้ว่า ถ้า a1, a2, a3, …, an เป็น ลำดับเลขคณิต
ที่มี n พจน์
จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป
a1+a2+a3+…+an ว่า อนุกรมเลขคณิต
และผลต่างร่วม ( d ) ของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรม
เลขคณิตด้วย

Sn = (n/2)(a1+an)

โดยที่

an=a1+(n-1)d

6

อนุกรม

อนุกรมเรขาคณิต

กำหนด a1, a1r, a1r2, …, a1r n-1 เป็นลำดับเรขาคณิต
จะได้ a1 + a1r + a1r2 + … + a1r n-1 เป็นอนุกรมเรขาคณิต
ซึ่งมี a1 เป็นพจน์แรก และ r เป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรม

เรขาคณิต
จากบทนิยาม จะได้ว่า ถ้า a1, a2, a3, …, an เป็น ลำดับเรขาคณิต
ที่มี n พจน์
จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป
a1 + a2 + a3 + … + an ว่า อนุกรมเรขาคณิต
และอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิต จะเป็นอัตราส่วนร่วมของ
อนุกรมเรขาคณิตด้วย

_S_n__=_a_1__x__(_1
_-r__n_) r ไม่เท่ากับ 1

1-r

ลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ 7

ลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ 8

ลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ 9

ลำดับอนันต์ 10

อนุกรมอนันต์ 11

อนุกรมอนันต์ 12

13

แบอบฝนึุกกหัดรม

1.

2.


3.

14

อนุกรม

4.

5.

6.

15

อนุกรม

7.

8.

9.

16

อนุกรม

10.

11.

12.




13.

17

อนุกรม

14.

15.


16.

18

อนุกรม

17.

18.

19.




20.

21.




22.

19

อนุกรม

23.

24.

25.

26.




27.

20

อนุกรม

28.

29.

30.


31.

21

อนุกรม

32.

33.

34.

22

อนุกรม

35.

36.

37.

23

อนุกรม

38.

39.

40.

24

อนุกรม

เฉลย

25

เฉอนลุกยรม

วิธีทำ

1.

2.

26

อนุกรม

3.

4.

27

อนุกรม

5.

6.

28

อนุกรม

7.

8.

29

อนุกรม

9.

10.

30

อนุกรม

11.

12.

31

อนุกรม

13.

14.

32

อนุกรม

15.

16.

33

17.

18.

34

อนุกรม

19.

20.

35

21.

22.

22

23.

36

24.

25.

26.

37

อนุกรม

27.

28.

38

อนุกรม

29.

30.

39

อนุกรม

31.

32.

40

อนุกรม

33.

41

อนุกรม

34.

35.

42

อนุกรม

36.

43

อนุกรม

37.

44

อนุกรม

38.

39.

45

อนุกรม

40.

45

อนุกรม