Handout Matematika Wajib Kelas 10

HANDOUT

MATEMATIKA WAJIB KELAS X SMA/MA

OLEH:
FIRMADELA NAMIDA OLIVIANI, M.Pd.

SIMBOL NILAI MUTLAK
Nilai mutlak disimbolkan dengan | |
| | dibaca “nilai mutlak dari ”
| | dibaca “nilai mutlak dari ”
| | dibaca “nilai mutlak dari ”
|2| dibaca “nilai mutlak dari 2”
|−5| dibaca “nilai mutlak dari −5”

KETERKAITAN KONSEP NILAI MUTLAK DENGAN JARAK

Dalam kehidupan sehari-hari, kalian tentu sering mendengar kata “jarak”.
Pernakah kalian menyebut atau mendengar pernyataan “jarak rumahnya dengan
pasar adalah -500 meter”? Adakah jarak suatu tempat tertentu ke tempat lain
bernilai negatif?
Ya, jawabannya memang tidak ada, karena jarak selalu bernilai negatif.

Selanjutnya, secara khusus konsep jarak terkait dengan konsep nilai mutlak pada
matematika, perhatikan beberapa contoh berikut.

1. |2| : jarak bilangan 2 dari bilangan nol pada garis bilangan

|−2| : jarak bilangan -2 dari bilangan nol pada garis bilangan

−

22

Oleh karena itu,

|2| = 2 dan |−2| = −(−2) = 2

2. |5| : jarak bilangan 5 dari bilangan nol pada garis bilangan

|−5| : jarak bilangan -5 dari bilangan nol pada garis bilangan

−

55

Oleh karena itu,

|5| = 5 dan |−5| = −(−5) = 5

3. |7| : jarak bilangan 7dari bilangan nol pada garis bilangan

|−7| : jarak bilangan -7 dari bilangan nol pada garis bilangan

−
Oleh karena itu, 7
7

|7| = 7 dan |−7| = −(−7) = 7

Dengan melihat beberapa contoh di atas, maka nilai mutlak selalu bernilai
positif.

Sehingga, jika kita definisikan nilai mutlak yaitu:

|x| = {−xx, ,uunntutukkxx≥<00

Sekarang bagaimana jika ada pertanyaan:

1. Berapakah nilai x, jika |x| = 4 ?
Ya, jawabannya adalah x = 4 atau x = −4 (sesuai definisi)
Alternatif kedua untuk menjawab pertanyaan di atas bisa juga menggunakan
konsep jarak pada garis bilangan.


44

|x| = 4 berarti jarak x dari nol pada garis bilangan adalah 4. Maka, letak x
mungkin berjarak 4 satuan ke kanan dari nol atau 4 satuan ke kiri dari nol.
Sehingga, untuk |x| = 4, maka x = 4 atau x = −4.
2. Berapakah nilai x, jika |x| = −4 ?

Jawabannya adalah tidak ada nilai x yang memenuhi, karena ingat: nilai
mutlak selalu bernilai positif, sedangkan pada pertanyaan |x| = −4, mutlak
x bernilai negatif.

KONSEP PERSAMAAN NILAI MUTLAK

Persamaan nilai mutlak memiliki tiga bentuk umum, yaitu:

1. | ( )| = , dengan syarat ≥
keterangan: f(x) adalah suatu fungsi dan c adalah konstanta. Konstanta c ≥
0 maksudnya c adalah nol atau bilangan positif (sesuai dengan
definisi nilai mutlak).
Contoh:
Diketahui |2x − 1| = 3, tentukan nilai x yang memenuhi.
Dari contoh soal di atas, fungsinya adalah 2x − 1 dan konstantanya adalah 3.
Selanjutnya akan ditunjukkan penyelesaiannya melalui dua cara,
a. Cara Definisi
Berdasakarkan definisi, jika |2x − 1| = 3 maka 2x − 1 = 3 atau 2x − 1 =
−3.
(i). Untuk 2x − 1 = 3
2x − 1 = 3
2x = 3 + 1
2x = 4
x=2
(ii). Untuk 2x − 1 = −3
2x − 1 = −3
2x = −3 + 1
2x = −2
x = −1
Jadi, nilai x yang memenuhi |2x − 1| = 3 adalah x = 2 atau x = −1.
b. Cara Menguadratkan Kedua Ruas
*cara ini boleh dipakai jika kedua ruas bernilai positif*
Pada |2x − 1| = 3, |2x − 1| selalu bernilai positif (sesuai definisi) dan 3
adalah bilangan positif, sehingga
|2x − 1|2 = 32 (kedua ruas dikuadratkan)
(2x − 1)2 = 32

(2x − 1)2 − 32 = 0

Ingat: − = ( + )( − )

Sehingga,

((2x − 1) + 3)((2x − 1) − 3) = 0

(2x − 1 + 3)(2x − 1 − 3) = 0

(2x + 2)(2x − 4) = 0

2x + 2 = 0 atau 2x − 4 = 0

2x = −2 atau 2x = 4

x = −1 atau x=2

2. | ( )| = | ( )|

keterangan: f(x) dan g(x) adalah suatu fungsi.

Contoh:

Diketahui |2x − 1| = |x + 3|, tentukan nilai x yang memenuhi.

Dari contoh soal di atas, fungsinya adalah 2x − 1 dan x + 3.

Penyelesaian:

|2x − 1|2 = |x + 3|2

(2 − 1)2 = ( + 3)2

(2 − 1)2 − ( + 3)2 = 0

Ingat: − = ( + )( − )

Sehingga,

((2x − 1) + (x + 3))((2x − 1) − (x + 3)) = 0

(2x − 1 + x + 3)(2x − 1 − x − 3) = 0

(3x + 2)(x − 4) = 0

3x + 2 = 0 atau x − 4 = 0

3x = −2 atau x=4

x = −2

3

Jadi, nilai x yang memenuhi |2x − 1| = |x + 3| adalah x = − 2 atau x = 4.

3

3. | ( )| = ( )

keterangan: f(x) dan g(x) adalah suatu fungsi.

Contoh:

Diketahui x − 2 = |3x + 1|. Tentukan nilai x yang memenuhi.

Penyelesaian:

Agar bentuk x − 2 = |3x + 1| sesuai dengan bentuk, maka terlebih dahulu

kita balik, yang bertanda mutlak diletakkan di ruas kiri.

|3x + 1| = x − 2

Selanjutnya, sesuai definisi maka 3x + 1 = x − 2 atau 3x + 1 = −(x − 2)

(i) 3x + 1 = x − 2

3x − x = −2 − 1

2x = −3

x = −3

2

(ii) 3x + 1 = −(x − 2)

3x + 1 = −x + 2

3x + x = 2 − 1

4x = 1

x=1

4

Apakah = − dan = keduanya memenuhi | + | = − ?


Tidak, karena = − tidak memenuhi | + | = − , yaitu


| (− ) + | = − −



|− + | = − −



|− + | = −


|− | = − (tidak memenuhi)



Jadi, nilai x yang memenuhi |3x + 1| = x − 2 adalah x = 1 saja.
4

Coba Renungkan!!

Bisakah kamu menentukan nilai x yang memenuhi:

1. | + | = −
2. | + | − | − | =

Kegiatan Menemukan Sifat-sifat Nilai Mutlak

Untuk mengetahui cara menemukan sifat-sifat nilai mutlak, mari kita lakukan beberapa kegiatan
berikut ini.

1. Menemukan Hubungan | | dan |− |

baris Lengkapi tabel berikut.
ke-3
− − − −
− −
−

| |

|− |

Pada tabel di atas, amati baris ke tiga dan ke empat. Bagaimana hasil yang kamu peroleh?

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………

2. Menemukan Hubungan dan | | serta | | dan √

Lengkapi tabel berikut.

− − − −

| |



| |

√

Berdasarkan tabel di atas,

a. Amati baris ke tiga dan ke empat. Bagaimana hasil yang kamu peroleh?

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

b. Amati baris ke dua dan ke lima. Bagaimana hasil yang kamu peroleh?

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………

3. Menemukan Hubungan | × | dan | | × | | serta | | dan | |
| |


Lengkapi tabel berikut.

− − − −

− − − − −
| |
| |



× − −

| × |

| | × | |

−


| |

| |
| |

Berdasarkan tabel di atas,

a. Amati baris ke enam dan ke tujuh. Bagaimana hasil yang kamu peroleh?

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

b. Amati baris ke sembilan dan ke sepuluh. Bagaimana hasil yang kamu peroleh?

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………

4. Menemukan Hubungan + , | | + | |, | + |

Lengkapi tabel berikut.

− − − −

− −

| |

| |

+ − −

| + |

| | + | |

Berdasarkan tabel di atas,

a. Amati baris ke lima dan ke tujuh. Bagaimana hasil yang kamu peroleh?

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………

b. Amati baris ke enam dan ke tujuh. Bagaimana hasil yang kamu
peroleh?

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………

PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Seperti Apa Bentuk Umum Pertidaksamaan Nilai Mutlak?

Bentuk Umum Pertidaksamaan Nilai Mutlak:

|f(x)| > |f(x)| > |g(x)| |f(x)| > ( )
|f(x)| ≥ c |f(x)| ≥ |g(x)| |f(x)| ≥ g(x)
|f(x)| < |f(x)| < |g(x)| |f(x)| < ( )
|f(x)| ≤ c |f(x)| ≤ |g(x)| |f(x)| ≤ g(x)

Dengan c adalah konstanta (bilangan real), f(x) dan g(x) adalah fungsi
dalam variabel x.

Bagaimana Contoh Pertidaksamaan Nilai Mutlak?

Contoh Pertidaksamaan Nilai Mutlak:
1. |x| < 3
2. |x + 4| > 5
3. |3x + 9| ≥ −3
4. |3x| ≥ 20 − x
5. |5x − 6| ≤ |4x + 1|

Bagaimana Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak?

A. Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Menggunakan

Definisi Nilai Mutlak

Misalkan |x| adalah nilai mutlak dari x dan c adalah suatu bilangan real.

1. Jika |x| ≤ c maka −c ≤ x ≤ c

2. Jika |x| ≥ c maka x ≤ −c atau x ≥ c

Contoh:

Tentukan nilai x yang memenuhi:

1. |x| < 3

2. |x| − 1 ≥ 3

4

3. 4 + | | ≤ 2

Penyelesaian:

1. |x| < 3 maka sesuai definisi−3 < < 3.

Jadi, nilai x yang memenuhi |x| < 3 adalah −3 < < 3.

2. |x| − 1 ≥ 3

4

|x| ≥ 1 + 3
4

|x| ≥ 4 + 3
4 4

|x| ≥ 7
4

Karena |x| ≥ 7, sesuai definisi maka x ≤ − 7 atau x ≥ 7

4 44

Jadi, nilai x yang memenuhi |x| − 1 ≥ 3 adalah x ≤ −7 atau x ≥ 7
4 4
4

3. 4 + | | ≤ 2

| | ≤ 2 − 4

| | ≤ −2

Ingat bahwa nilai mutlak selalu positif. Jadi, untuk 4 + | | ≤ 2 tidak

ada nilai x yang memenuhi. Mengapa?

Selanjutnya, konsep nilai mutlak x diperluas pada fungsi nilai mutlak.

1. Jika |f(x)| ≤ c maka −c ≤ f(x) ≤ c

2. Jika |f(x)| ≥ c makaf(x) ≤ −c atau f(x) ≥ c

Contoh:

Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan:

1. |x + 4| > 5

Penyelesaian:
|x + 4| > 5 sesuai definisi maka x + 4 < −5 atau x + 4 > 5
a. Untuk x + 4 < −5
x < −5 − 4
x < −9
Atau
b. Untuk x + 4 > 5
x>5−4
x>1
Jadi, nilai x yang memenuhi |x + 4| > 5 adalah x < −9 atau x > 1.

2. |24 − 2x| ≤ 6

Penyelesaian:
|24 − 2x| ≤ 6 sesuai definisi maka,

−6 ≤ 24 − 2x ≤ 6

−6 − 24 ≤ 24 − 24 − 2x ≤ 6 − 24 (masing-masing ruas dikurangi
24 agar hanya tersisa bilangan
bervariabel x, karena yang akan
dicari adalah nilai x)

−30 ≤ −2x ≤ −18
: −2

15 ≥ x ≥ 9

9 ≤ x ≤ 15
Jadi, nilai x yang memenuhi |24 − 2x| ≤ 6 adalah 9 ≤ x ≤ 15

3. ||9 − 2x| + 3| − 1 > 5

Penyelesaian:

||9 − 2x| + 3| − 1 > 5

||9 − 2x| + 3| > 5 + 1 (selain fungsi yang bertanda mutlak
dipindah ke ruas kanan untuk memudahkan
penyelesaian)

||9 − 2x| + 3| > 6

Tanda mutlak paling luar dapat dihilangkan menggunakan cara

definisi menjadi: atau |9 − 2x| + 3 > 6
|9 − 2x| + 3 < −6

|9 − 2x| < −6 − 3 |9 − 2x| > 6 − 3
|9 − 2x| < −9…(i) |9 − 2x| > 3…(ii)

Untuk (i):

|9 − 2x| < −9

Bilangan positif<Bilangan negatif

(TM)

Untuk (ii):

|9 − 2x| > 3

9 − 2x < −3 atau 9 − 2x > 3

−2x < −3 − 9 −2x > 3 − 9

−2x < −12 −2x > −6
: − : −

x>6 x<3

Jadi, nilai x yang memenuhi ||9 − 2x| + 3| − 1 > 5adalah x < 3

atau x > 6.

4. 2|3 − x|2 − |3 − x| ≥ 3

Penyelesaian:
Perhatikan pertidaksamaan 2|3 − x|2 − |3 − x| ≥ 3, fungsi yang

berada di dalam tanda mutlak sama, sehingga dapat dimisalkan

sebagai berikut.
Misal: |3 − x| = p, maka pertidaksamaan 2|3 − x|2 − |3 − x| ≥ 3

menjadi:
2p2 − p ≥ 3

2p2 − p − 3 ≥ 0

(2p − 3)(p + 1) ≥ 0

Pembuat nol:

(2p − 3)(p + 1) = 0

2p − 3 = 0 atau p + 1 = 0

2p = 3 p = −1
3
Uji titik: −
p=2
+
+

−


Sehingga diperoleh p ≤ −1 atau p ≥ 3.

2

(i) Untuk p ≤ −1

|3 − x| ≤ −1

(TM)

(ii) Untuk p ≥ 3
2

|3 − x| ≥ 3
2

3 − x ≤ − 3atau 3−x≥3

2 2

−x ≤ − 3 − 3 −x ≥ 3 − 3

2 2

−x ≤ − 3 − 6 −x ≥ 3 − 6

22 22

−x ≤ − 9 −x ≥ − 3

2 2

x≥9 x≤3

2 2

Jadi, nilai x yang memenuhi 2|3 − x|2 − |3 − x| ≥ 3 adalah x ≤ 3
2

atau x ≥ 9.

2

B. Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak dengan
Menguadratkan Kedua Ruas

Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak dengan cara
menguadratkan kedua ruas hanya dapat digunakan jika
kedua ruas positif.

Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak dengan

menguadratkan kedua ruas:

Contoh:
1. Interval nilai x yang memenuhi pertidaksamaan |2x − 3| + 5 > 9

adalah …

Penyelesaian:
Bentuk pertidaksamaan |2x − 3| + 5 > 9 dapat disederhanakan

menjadi:

|2x − 3| > 9 − 5

|2x − 3| > 4

Pada |2x − 3| > 4 , kedua ruas sudah positif, langkah selanjutnya

adalah menguadratkan kedua ruas:

|2x − 3|2 > 42

Ingat: (2x − 3)2 > 42 (jadikan ruas kanan nol)
− = ( + )( − ) (2x − 3)2 − 42 > 0

Dengan memisalkan: ((2x − 3) + 4)((2x − 3) − 4) > 0
(2x − 3 + 4)(2x − 3 − 4) > 0
2x-3 = a dan 4 = b, (2x + 1)(2x − 7) > 0

Maka

( − ) − =
(( − ) + )(( − ) − )

Pembuat nol: 2x − 7 = 0
(2x + 1)(2x − 7) = 0 2x = 7
2x + 1 = 0 atau x=7
2x = −1
x = −1 2

2

Uji Titik:

+ −+


−

Jadi, interval nilai x yang memenuhi pertidaksamaan |2x − 3| + 5 >

9 adalah x < − 1 ataux > 7
2 2

2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x + 6| − |3x + 4| ≤ 0

adalah…

Penyelesaian:
|x + 6| − |3x + 4| ≤ 0

|x + 6| ≤ |3x + 4|

Ingat bahwa mutlak selalu bernilai positif, dan perhatikan pada

|x + 6| ≤ |3x + 4| kedua ruas telah positif, sehingga kedua ruas

dapat dikuadratkan menjadi:
|x + 6|2 ≤ |3x + 4|2
(x + 6)2 ≤ (3x + 4)2
(x + 6)2 − (3x + 4)2 ≤ 0


[(x + 6) + (3x + 4)][(x + 6) − (3x + 4)] ≤ 0

(x + 6 + 3x + 4)(x + 6 − 3x − 4) ≤ 0

(4x + 10)(2 − 2x) ≤ 0

Pembuat nol:

(4x + 10)(2 − 2x) = 0

4 + 10 = 0atau 2 − 2x = 0

4 = −10 2x = 2
x = − 10 = − 5 x=1

Uji titik: 42

−+ −


−
Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

|x + 6| − |3x + 4| ≤ 0 adalah {x|x ≤ −5 atau x ≥ 1, x ∈ ℝ}.

2

C. Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak dengan Menganalisis
Nilai x
Semua bentuk pertidaksamaan nilai mutlak sebenarnya dapat
diselesaikan dengan cara menganalisis nilai x, namun saya
menyarankan menggunakan cara ini hanya untuk pertidaksamaan yang
di dalamnya memuat fungsi yang diberi tanda mutlak dan tidak, atau
untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang memuat lebih dari satu
fungsi yang diberi tanda mutlak.
Contoh:
1. Penyelesaian dari |5x − 10| + 2 < + 3 adalah …
Penyelesaian:
Berikut ini langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan dengan
menganalisis nilai x:
a. Menentukan pembuat nol dari fungsi yang dimutlak.
Pada |5x − 10| + 2 < + 3, fungsi yang di dalam mutlak
adalah 5x − 10, maka pembuat nolnya:
5x − 10 = 0
5x = 10
10
x= 5 =2
b. Meletakkan pembuat nol pada garis bilangan sehingga
membentuk interval nilai yang dibatasi oleh pembuat nol dari
langkah (a).
Dari langkah (a) diperoleh pembuat nolnya adalah 2, selanjutnya
diletakkan pada garis bilangan dan membentuk interval:

Untuk daerah ≤ berlaku: Untuk daerah ≥ berlaku:
| − | = −( − ) | − | = −

2

c. Menentukan pertidaksamaan setiap nilai mutlak untuk nilai x
pada setiap interval dan menentukan penyelesaiannya.
Menentukan irisan dari penyelesaian yang diperoleh dengan
interval pembicaraan.
(i) Untuk x ≤ 2
|5x − 10| + 2 < + 3

−(5x − 10) + 2 < + 3

−5x + 10 + 2 < + 3

−5x + 12 < + 3

−5x − x < 3 − 12

−6x < −9 :-6
3

x>2

irisan x ≤ 2 dan x > 3 jika digambar pada garis bilangan

2

yaitu:




(ii) Untuk x ≥ 2

|5x − 10| + 2 < + 3

5x − 10 + 2 < + 3

5x − 8 < + 3

5x − x < 3 + 8

4x < 11

11 3
x < 4 = 24

irisan x ≥ 2 dan x < 2 3 jika digambar pada garis bilangan
4

yaitu:




d. Penyelesaian akhir merupakan gabungan dari penyelesaian yang

diperoleh pada setiap interval pada langkah (c).

Gabungan dari (i) dan (ii):




2


Jadi, berdasarkan langkah (a)-(d), penyelesaian dari |5x − 10| +
2 < + 3 adalah 3 < < 2 3

24

Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan
Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Langkah-langkah yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak yaitu:

1. Membaca masalah/soal dengan seksama. Jika perlu, ulangi membaca lebih
dari satu kali.

2. Menyusun model matematika dari informasi yang diberikan pada
masalah/soal.

3. Menentukan penyelesaian dari model tersebut.
4. Menafsirkan hasil penyelesaian yang diperoleh.

Contoh:
1. Suatu pabrik memproduksi baut dengan diameter standar 21 mm. Baut yang

diproduksi dapat diterima jika
diameternya memiliki selisih sebesar
0,85 mm dari diameter standar. Jika
ukuran baut yang dapat diterima
dinyatakan dengan , tentukan batas
minimum dan maksimum diameter
yang masih dapat diterima.

Pembahasan:
Informasi yang diperoleh dari masalah di atas:
(i) Diameter standar baut: 21
(ii) Selisih diameter yang dapat diterima dari diameter standar : 0,85

(artinya: diameter yang dapat diterima berkisar di angka 0,85 kurang
atau lebihnya dari 21)

− , + ,

21
(iii) Ukuran baut yang dapat diterima dimisalkan:
Dari poin (i)-(iii) diperoleh model matematika:

| − 21| = 0,85

Selanjutnya, penyelesaian dari model matematika di atas,

| − 21| = 0,85

− 21 = −0,85atau − 21 = 0,85

= −0,85 + 21 = 20,15 = 0,85 + 21 = 21,85

Jadi, batas minimum dan maksimum diameter yang masih dapat diterima

adalah 20,15mm dan 21,85mm.

2. Pada mobil-mobil baru, angka kilometer per liternya tergantung pada
bagaimana mobil itu digunakan, apakah sering digunakan untuk perjalanan
jarak jauh atau hanya untuk perjalanan jarak dekat (dalam kota). Untuk suatu
merek mobil tertentu, angka
kilometer per liternya berkisar
di angka 2,8 kurang atau
lebihnya dari 12 km/L.
Berapakah jangkauan dari
angka km/L dari mobil
tersebut?
Pembahasan:
Diketahui angka km/L dari suatu mobil berkisar di angka 2,8 kurang atau
lebihnya dari 12 km/L.

Misalkan m adalah angka km/L dari mobil tersebut. Maka, selisih m dan 12
tidak boleh lebih dari 2,8, atau dapat dituliskan ke dalam |m – 12| ≤ 2,8.

Sehingga jangkauan dari angka km/L mobil tersebut adalah dari angka 9,2
km/L sampai 14,8 km/L.

SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)
(Bagian 1)

Sebelum memasuki materi SPLTV, perhatikan terlebih dahulu permasalahan di bawah
ini.

Tiara ingin memesan makanan di KFC Shodanco
Blitar melalui aplikasi GrabFood dengan pilihan
seperti yang tertera pada gambar di samping.Saat
melihat Paket Super Family OR, Paket Super
Besar 1 OR, dan Paket Super Besar 2 OR, Tiara
penasaran ingin menghitung harga 1 pc Chicken
OR pada harga paket, karena yang dicantumkan
pada aplikasi hanya harga normal 1 pc Chicken
OR yaitu Rp. 18.500.
*Chicken OR: Chicken Original*

Menurut kalian, berapa harga 1 pc Chicken OR
pada harga paket? Apakah harga 1 pc Chicken
OR pada harga paket lebih mahal, lebih murah,
atau sama saja dengan harga normal 1 pc
Chicken OR?

Untuk menyelesaikan masalah di atas, kalian dapat menggunakan Sistem Persamaan
Linear Tiga Variabel (SPLTV) yang akan kalian pelajari pada bab ini.

Masih Ingatkah dengan Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel (SPLDV)?

Pada jenjang sebelumnya, kalian telah mengenal Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel (SPLDV). Berikut ini saya ingatkan kembali beberapa contoh SPLDV.

1. − = … ( )
+ = … ( )

2. − = − … ( )
+ = … ( )

3. + = … ( )
+ = … ( )

Dari beberapa contoh di atas, ada berapakah variabel yang terdapat pada setiap
persamaan anggota SPLDV? Berapakah pangkat variabel-variabel tersebut? Mengapa
persamaan itu disebut persamaan linear? Ada berapa persamaan pada setiap SPLDV
contoh di atas?
*
*
*
Yaa, benar. Jadi, pada setiap persamaan anggota SPLDV memilik dua variabel.
Variabel-variabel tersebut berpangkat satu. Persamaan tersebut disebut persamaan linear
karena pangkat tertinggi pada variabelnya adalah pangkat satu. Pada setiap SPLDV
memiliki dua persamaan.
Dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan di atas, berarti kalian telah mengingat ciri-
ciriSPLDV.
Lalu, apakah kalian juga masih ingat bagaimana cara menyelesaikan SPLDV? Ada
berapa cara yang dapat kalian gunakan untuk menyelesaikan SPLDV?
Coba carilah himpunan penyelesaian dari tiga contoh SPLDV di atas!
Untuk mengecek apakah jawaban kalian sudah benar atau belum, silahkan cek video di
bawah ini:

https://youtu.be/rvPifWOZD28

Latihan Soal SPLDV

Carilah Himpunan Penyelesaian dari:

1. 3x − y = 7 … (i)
2x + 3y = 1 … (ii)

2. 5a + 4b = 1 … (i)
3a − 6b = 2 … (ii)

3. 4x − 3y − 1 = 0 … (i)
4x − 7 + 3y = 0 … (ii)

4. 1 − 1 = 1 … (i)

ab

11
a + b = 5 … (ii)

SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)
(Bagian 2)

Bentuk Umum SPLTV

Persamaan linear tiga variabel memiliki bentuk umum ax + by + cz = d dengan a, b,
c, dan d merupakan anggota bilangan real. Persamaan linear tiga variabel memiliki
penyelesaian berupa tiga bilangan yang mewakili x, y, dan z yang memenuhi
persamaan. Penyelesaian persamaan linear tiga variabel secara umum ditulis (x, y, z).

Contoh:
Tentukan penyelesaian dari persamaan 2x + 3y + z = 15.
Penyelesaian dari persamaan linear tersebut antara lain x = 4, y = 2, z = 1; atau x =
2, y = 3, z = 2; atau x = −1, y = −2, z = 23, dst.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) merupakan sistem persamaan
yang memuat persamaan-persamaan linear tiga variabel. SPLTV memiliki bentuk
umum:

a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3

dengan a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, dan d3 merupakan anggota bilangan real;
nilai a1, b1, c1 tidak ketiganya nol; nilai a2, b2, c2 tidak ketiganya nol; nilai a3, b3, c3
tidak ketiganya nol.

Contoh:
2x + y + z = 4

1. { x + 2y + 2z = 5
3x − y + 2z = −5
x+y+z = 4

2. { x − 2y − z = 1
2x − y − 2z = −1

Cara Menyelesaikan SPLTV

SPLTV dapat diselesaikan melalui cara substitusi, eliminasi, atau eliminasi-substitusi
(gabungan). Selanjutnya, silahkan menggunakan cara yang menurut kalian paling
mudah di antara ketiga cara tersebut.
A. Substitusi

B. Eliminasi

C. Eliminasi-Substitusi (Gabungan)

Penjelasan menyelesaikan SPLTV dengan cara eliminasi-substitusi juga dapat
dilihat pada video berikut.
https://youtu.be/cYp6r05r6RA

Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan
SPLTV

Perhatikan kembali masalah yang pada awal materi berikut.

Tiara ingin memesan makanan di KFC
Shodanco Blitar melalui aplikasi
GrabFood dengan pilihan seperti yang
tertera pada gambar di samping.Saat
melihat Paket Super Family OR, Paket
Super Besar 1 OR, dan Paket Super Besar
2 OR, Tiara penasaran ingin menghitung
harga 1 pc Chicken OR pada harga paket,
karena yang dicantumkan pada aplikasi
hanya harga normal 1 pc Chicken OR
yaitu Rp. 18.500.
*Chicken OR: Chicken Original*

Menurut kalian, berapa harga 1 pc
Chicken OR pada harga paket? Apakah
harga 1 pc Chicken OR pada harga paket
lebih mahal, lebih murah, atau sama saja dengan harga normal 1 pc Chicken
OR?

Secara umum, langkah-langkah menyelesaikan masalah dengan menggunakan
SPLTV adalah sebagai berikut.

1. Memisalkan nilai yang belum diketahui dalam suatu variabel.
Pada contoh masalah di atas,
Misalkan:
x: harga 1 pc chicken OR
y: harga 1 porsi nasi
z: harga 1 cup coca cola

2. Menyusun model matematika berbentuk SPLTV dari masalah yang diketahui.
Pada contoh masalah di atas berarti bentuk SPLTVnya sebagai berikut.
a. Paket Super Family OR

5 pcs Chicken OR + 3 pcs rice + 3 cups Coca Cola = 134.000
Persamaan linear: 5x + 3y + 3z = 134.000

b. Paket Super Besar 1 OR
1 pc Chicken OR + 1 pcs rice + 1 cups Coca Cola = 36.000
Persamaan linear: x + y + z = 36.000

c. Paket Super Besar 2 OR
2 pcs Chicken OR + 1 pcs rice + 1 cups Coca Cola = 52.000
Persamaan linear: 2x + y + z = 52.000

3. Menyelesaikan SPLTV
Perhatikan bentuk SPLTV,
5x + 3y + 3z = 134.000 ... (1)
x + y + z = 36.000 ... (2)
2x + y + z = 52.000 ... (3)
Penyelesaian SPLTV di atas dengan menggunakan metode substitusi adalah
sebagai berikut.
Dari persamaan 2, diperoleh:
y + z = 36.000 – x ... (4)
selanjutnya, substitusi persamaan (4) ke persamaan 3 menjadi:
2x + 36.000 – x = 52.000
x = 52.000 - 36.000
x = 16.000

4. Menafsirkan penyelesaian SPLTV sesuai dengan permasalahan semula
Pada penyelesaian di atas diperoleh nilai x = 16.000 sehingga harga 1 pc
chicken OR adalah Rp.16.000,00. Sedangkan harga normalnya Rp.18.500,00.
Jadi kesimpulannya adalah harga 1 pc chicken OR pada paket lebih murah
daripada harga normal.

PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
(PtdLDV)

A. Bentuk Umum Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtdLDV)

Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

1. x − y < 4 5. −2x + y > 2

2. 3x + 2y > 6 6. x − 3y < 6

3. 2x + 5y ≤ 10 7. – x + 2y ≥ 4

4. 4x − 3y ≥ 12 8. 4x − y ≤ 8

Dari beberapa contoh PtdLDV di atas terlihat bahwa pada setiap pertidaksamaan

memiliki dua variabel dan setiap variabel berpangkat satu. Sehingga, bentuk umum

pertidaksamaan linear dua variabel dapat dituliskan:

ax + by ≥ c

ax + by ≤ c

ax + by >

ax + by <

dengan a, b, c ∈ ℝ dan a, b keduanya tidak nol.

Keterangan:

a : koefisien dari variabel x

b : koefisien dari variabel y

c: konstanta (suatu bilangan yang merupakan anggota dari bilangan real)

B. Menentukan Daerah Penyelesaian PtdLDV
Penyelesaian dari suatu pertidaksamaan linear dua variabel adalah himpunan
pasangan bilangan (x, y) yang memenuhi pertidaksamaan linear dua variabel
tersebut. Jika penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel digambarkan dalam
bidang koordinat kartesius, himpunan pasangan (x, y) tersebut berada dalam suatu
daerah yang dinamakan daerah penyelesaian (DP).

DP dari suatu PtdLDV dapat ditentukan dengan mengikuti langkah-langkah
berikut.
Misalkan akan ditentukan DP dari x − 3y < 6.
(i) Langkah 1: Menggambar garis pembatas x − 3y < 6

Untuk menggambar garis pembatas dari suatu pertidaksamaan, terlebih
dahulu ubah tanda pertidaksamaan ( ≥, ≤, >, < ) menjadi persamaan
(“=”) dan ingat bahwa minimal ada dua titik untuk menggambar suatu garis

Untuk menentukan dua titik yang melalui x − 3y = 6, gunakan bantuan titik

potong sumbu yang ditunjukkan pada tabel di bawah ini.

x0 6

y −2 0

(x, y) (0, −2) (6, 0)

Keterangan tabel:

saat x = 0, maka x − 3y = 6 menjadi 0 − 3y = 6
6

y = −3
y = −2
saat y = 0, maka x − 3y = 6 menjadi x − 3(0) = 6
x−0 = 6

x=6
Berdasarkan tabel di atas diketahui bahwa garis x − 3y = 6 melalui titik

(0, −2) dan (6, 0). Diperoleh gambar garis pembatas x − 3y = 6 sebagai

berikut.

y

0 6x
−

Catatan aturan menggambar garis pembatas:
a. Jika tanda pada PtdLDV berupa ≥ atau ≤ maka garis digambar utuh ( )
b. Jika tanda pada PtdLDV berupa > < maka garis digambar putus-

putus ( )
(ii) Langkah 2: Melakukan uji titik untuk menentukan DP dari x − 3y < 6

Uji titik dapat dilakukan dengan melakukan tahapan sebagai berikut.
a. Pilih sebarang titik yang ada di luar garis x − 3y = 6 sebagai titik uji.

Karena titik (0, 0) berada di luar garis x − 3y = 6, maka akan lebih mudah
menggunakan titik (0, 0) sebagai titik uji.

b. Substitusi titik (0, 0) pada x − 3y < 6, sehingga diperoleh:
x − 3y < 6

0 − 3(0) < 6
0 < 6 (pernyataan nol kurang dari 6 bernilai benar)

Karena pernyataan 0 < 6 bernilai benar, maka daerah yang memuat titik
(0, 0) merupakan DP (seandainya pada kasus lain ditemukan pernyataan
bernilai salah, maka daerah yang memuat titik tersebut bukan DP).
Pada gambar di bawah ini, DP ditunjukkan dengan daerah yang diarsir.

y

DP 6x
0
−

C. Menyusun PtdLDV dari Suatu Daerah Penyelesaian
Perhatikan daerah penyelesaian suatu PtLDV pada gambar di bawah ini.
y

DP x
-2 0

-3

PtdLDV dari daerah penyelesaian tersebut dapat ditentukan dengan mengikuti
langkah-langkah berikut.
(i) Langkah 1: Menentukan persamaan garis pembatas DP

Ingat bahwa jika suatu garis melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) maka persamaan
garis dapat ditentukan dengan rumus:

y − y1 = x − x1
y2 − y1 x2 − x1

Selanjutnya, misalkan suatu garis melewati titik (0, a) dan (b, 0) maka
diperoleh persamaannya,

y−a x−0
0−a=b−0
y−a x
−a = b
by − ab = −ax
ax + by = ab

Pada gambar di atas, daerah penyelesaian dibatasi oleh garis yang melewati
titik (0, -3) dan (-2, 0). Sehingga persamaan garisnya,

−3x − 2y = (−3)(−2)
−3x − 2y = 6

3x + 2y = −6
(ii) Langkah 2: Menentukan tanda ketidaksamaan dengan melakukan uji titik

a. Ambil sebarang titik di dalam DP untuk dijadikan sebagai titik uji.
Pada gambar terlihat bahwa titik (0,0) termuat pada DP, sehingga titik (0,0)
dijadikan sebagai titik uji.

b. Substitusi titik (0,0) ke 3x + 2y lalu membandingkan hasilnya dengan −6.
Aturan menentukan tanda ketidaksamaan:
1. Jika garis pembatas DP digambar utuh ( ), pilih tanda ≥ atau ≤
2. Jika garis pembatas DP digambar putus-putus ( ), pilih tanda >
atau <
Sehingga,
3(0) + 2(0) = 0 dan 0 ≥ −6 (dipilih ≥ karena garis pembatas 3x + 2y =
−6 digambar utuh).

Berdasarkan langkah (i) dan (ii) diperoleh pertidaksamaan 3x + 2y ≥ −6.

SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
(SPtLDV)

A. Menentukan Daerah Penyelesaian SPtLDV

Untuk mengetahui langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari SPtLDV,
perhatikan beberapa contoh berikut.

1. Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan

{x − y > −2
y≤4

Langkah-langkah penyelesaian:

a. Langkah 1: Menggambar garis pembatas x − y = −2 dan y = 4 pada suatu
bidang koordinat
Menentukan dua titik yang dilalui garis x − y = −2 dan y = 4

Persamaan Garis x y Titik yang Dilalui

− = − 02 (0, 2)
−2 0 (−2, 0)

= 04 (0, 4)

24 (2, 4)

Gambar garis x − y = −2 dan y = 4 seperti berikut.

y x − y = −2
y=4

4

2

− 0 2 x

b. Langkah 2: Melakukan uji titik untuk menentukan daerah penyelesaian
Berdasarkan gambar pada langkah 1, titik (0, 0) terletak di luar garis x − y =
−2 dan y = 4, sehingga titik (0, 0) dipilih sebagai titik uji.
Substitusikan titik (0, 0) ke pertidaksamaan x − y > −2 dan y ≤ 4

Pertidak- Hasil Substitusi Titik (0, 0) Daerah
samaan Penyelesaian
− > − 0 − 0 > −2 Memuat titik (0,0)
0 > −2
≤ Memuat titik (0,0)
(pernyataan bernilai benar)
0≤4
(pernyataan bernilai benar)

Mengarsir daerah penyelesaian setiap pertidaksamaan dan diperoleh irisan
arsiran sebagai berikut.

y x − y = −2
y=4

4

2

− 0 2 x

Selanjutnya, irisan arsiran daerah penyelesaian dari setiap persamaan tersebut
adalah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan x − y > −2 dan y ≤ 4
(arsiran berwarna merah).

2. Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan

{2−xx++3yy < 6
≤ 1

Langkah-langkah penyelesaian:

a. Langkah 1: Menggambar garis pembatas 2x + 3y = 6 dan −x + y = 1 pada
suatu bidang koordinat
Menentukan dua titik yang dilalui garis 2x + 3y = 6 dan −x + y = 1

Persamaan Garis x y Titik yang Dilalui

+ = 02 (0, 2)
30 (3, 0)

− + = 01 (0, 1)
−1 0 (−1, 0)

Gambar garis 2x + 3y = 6 dan −x + y = 1 seperti berikut.

b. Langkah 2: Melakukan uji titik untuk menentukan daerah penyelesaian
Berdasarkan gambar pada langkah 1, titik (0, 0) terletak di luar garis 2x + 3y =
6 dan −x + y = 1, sehingga titik (0, 0) dipilih sebagai titik uji.
Substitusikan titik (0, 0) ke pertidaksamaan 2x + 3y < 6 dan −x + y ≤ 1

Pertidak- Hasil Substitusi Titik (0, 0) Daerah
samaan Penyelesaian
+ < 2(0) − 3(0) < 6 Memuat titik (0,0)
0<6
− + ≤ Memuat titik (0,0)
(pernyataan bernilai benar)
−0 + 0 ≤ 1

0≤1
(pernyataan bernilai benar)

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan 2x + 3y < 6 dan −x + y ≤ 1
sebagai berikut.

B. Menyusun SPtLDV dari Daerah Penyelesaian
Misalkan diketahui daerah penyelesaian berikut ini.

Misalkan:
garis adalah garis yang memotong sumbu Y di titik (0, 1) dan memotong sumbu X di
titik (3, 0).
garis ℎ adalah garis yang memotong sumbu Y di titik (0, -2) dan memotong sumbu X di
titik (1, 0).
Dari gambar terlihat DP dibatasi oleh garis dan ℎ. Untuk menentukan sistem
pertidaksamaan dari DP tersebut, ikuti langkah berikut.
a. Langkah 1: Menentukan persamaan garis pembatas

Ingat bahwa persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0) adalah ax + by = ab.
Sehingga diperoleh:
1. Persamaan garis adalah x + 3y = 3
2. Persamaan garis ℎ adalah −2x + y = −2

b. Langkah 2: Melakukan uji titik untuk menentukan tanda ketidaksamaan
Dari gambar terlihat titik (1, 2) terletak di dalam daerah penyelesaian sehingga titik
(1, 2) dipilih sebagai titik uji.
1. Substitusikan titik (1, 2) ke x + 3y lalu bandingkan hasilnya dengan 3.
x + 3y = 1 + 3(2) = 7.
Karena 7 lebih besar dari 3 dan garis x + 3y = 3 digambarkan putus-putus maka
diperoleh pertidaksamaan x + 3y > 3.
2. Substitusikan titik (1, 2) ke −2x + y lalu bandingkan hasilnya dengan −2.
−2x + y = −2(1) + 2 = 0.
Karena 0 lebih besar dari −2 dan garis −2x + y = −2 digambarkan utuh, maka
diperoleh pertidaksamaan −2x + y ≥ −2.

Dari pertidaksamaan (1) dan (2) diperoleh sistem pertidaksamaan

{−x2x++3yy > 3
≥ −2

PERTIDAKSAMAAN KUADRAT DUA VARIABEL
(PtdKDV)

A. Bentuk Umum Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel (PtdKDV)

Perhatikan beberapa contoh PtdKDV di bawah ini.

a. y > x2 − 8x + 12 e. x2 + y2 > 4

b. y ≤ x2 − 4x − 5 f. x2 − y2 + 2x − y < 0

c. y < x2 + x + 3 g. x2 + y2 − 3xy + 2x + y < 0

d. y ≥ 2x2 + x h. x2 + y2 − 2x + 3y ≥ 0

Berdasarkan contoh di atas, setiap pertidaksamaan memiliki dua variabel dan salah satu

variabel memiliki pangkat tertinggi dua. Pada materi ini, kita hanya akan membahas

PtdKDV yang memiliki bentuk umum berikut.

y ≥ ax2 + bx + c a ≠ 0, a, b, dan c ∈ bilangan real
y ≤ ax2 + bx + c a dan b adalah koefisien
y > ax2 + bx + c c adalah konstanta

y < ax2 + bx + c

B. Menentukan Daerah Penyelesaian PtdKDV
Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian PtdKDV sama seperti saat
menentukan daerah penyelesaian PtdLDV.
Dalam hal ini misalkan kita akan menentukan daerah penyelesaian dari y > x2 − 8x +
12, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
1. Langkah 1: Menggambar grafik y = f(x) = x2 − 8x + 12

a. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu X (syarat: y = 0)
x2 − 8x + 12 = 0
(x − 6)(x − 2) = 0
x = 6 atau x = 2

sehingga diperoleh titik potong grafik dengan sumbu X adalah di titik (2, 0)
dan (6, 0).
b. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu Y (syarat: x = 0)

y = x2 − 8x + 12
y = 02 − 8(0) + 12
y = 12
sehingga diperoleh titik potong grafik dengan sumbu Y adalah di titik (0, 12).

c. Menentukan titik puncak grafik

Titik puncak grafik y = f(x) = ax2 + bx + c dimisalkan titik (p, q) dengan p =

− b dan q = f(p).

2a

Titik puncak grafik dapat berupa titik maksimum atau minimum.

Untuk a > 0, grafik terbuka ke atas, sehingga memiliki titik minimum.

Untuk a < 0, grafik terbuka ke bawah, sehingga memiliki titik maksimum.
Pada y = x2 − 8x + 12, diperoleh:

p = − −8 = −(−4) = 4
2(1)

q = f(4) = 42 − 8(4) + 12 = −4

Karena pada y = x2 − 8x + 12 memiliki a = 1 maka a > 0 sehingga memiliki

titik minimum di (4, −4).
2. Langkah 2: Melakukan uji titik untuk menentukan daerah penyelesaian y > x2 −

8x + 12

Memilih sebarang titik di luar grafik y = f(x) = x2 − 8x + 12 sebagai titik uji.
Pada kasus ini, titik (0, 0) berada di luar grafik sehingga dipilih sebagai titik uji.
Selanjutnya, titik (0, 0) disubstitusi pada y > x2 − 8x + 12 sebagai berikut.

y > x2 − 8x + 12
0 > 02 − 8(0) + 12
0 > 12 (pernyataan bernilai salah)
Karena pernyataan bernilai salah, maka daerah yang memuat titik (0, 0) bukan
daerah penyelesaian.
Berdasarkan langkah 1 dan 2 diperoleh daerah penyelesaian dari y > x2 − 8x + 12
sebagai berikut.

4

C. Menyusun PtdKDV Suatu Daerah Penyelesaian

Salah satu hal terpenting saat menyusun PtdKDV dari suatu daerah penyelesaian yang
diketahui adalah dapat menentukan persamaan grafik y = ax2 + bx + c dengan

beberapa syarat seperti yang ditunjukkan pada tabel di bawah ini.

Syarat Persamaan Grafik Cara Menentukan Persamaan Grafik
y = ax2 + bx + c 1. Substitusikan titik A(x1, y1), B(x2, y2),
Grafik melalui tiga
dan C(x3, y3) ke persamaan grafik yang
titik, misalkan titik bersesuaian sehingga diperoleh SPLTV
A(x1, y1), B(x2, y2),
dan C(x3, y3) berikut.
y1 = ax12 + bx1 + c
Grafik memotong y = f(x)
= a(x − x1)(x − x2) {y2 = ax22 + bx2 + c
sumbu X di dua titik, y3 = ax32 + bx3 + c
y = f(x)
misalkan di titik = a(x − x1)2 2. Mencari nilai a, b, dan c menggunakan
A(x1, 0) dan
B(x2, 0) serta metode substitusi, eliminasi, atau
melalui titik
C(x3, y3) gabungan substitusi dan eliminasi.
Grafik menyinggung
3. Mensubstitusikan nilai a, b, dan c ke
sumbu X di satu persamaan grafik y = ax2 + bx + c.

titik, misalkan di 1. Mencari nilai a dengan
titik A(x1, 0) dan mensubstitusikan titik C(x3, y3) ke
melalui titik persamaan grafik y = f(x) =
B(x2, y2) a(x − x1)(x − x2) sehingga diperoleh
persamaan y3 = a(x3 − x1)(x3 − x2)
Grafik mempunyai y = f(x)
titik puncak (p, q) = a(x − p)2 + q 2. Mensubstitusikan nilai a ke persamaan
grafik y = f(x) = a(x − x1)(x − x2)
dan melalui titik
A(x1, y1) 1. Mencari nilai a dengan
mensubstitusikan titik B(x2, y2) ke
persamaan grafik y = f(x) =
a(x − x1)2 sehingga diperoleh
persamaan y2 = a(x2 − x1)2

2. Mensubstitusikan nilai a ke persamaan
grafik y = f(x) = a(x − x1)2

1. Mencari nilai a dengan
mensubstitusikan titik A(x1, y1) ke
persamaan grafik y = f(x) =
a(x − p)2 + q sehingga diperoleh
persamaan y1 = a(x1 − p)2 + q

2. Mensubstitusikan nilai a ke persamaan
grafik y = f(x) = a(x − p)2 + q

Untuk memahami langkah-langkah menentukan PtdKDV, ikuti kegiatan berikut ini.
1. Perhatikan gambar di bawah ini.

y

3

-3 0 1 2 x

-5

Pada gambar grafik PtdKDV di atas, daerah yang diarsir menunjukkan daerah
penyelesaian. Grafik tersebut melalui titik (-3, -5), (..., 3), dan (2, ...). Langkah-
langkah menentukan PtdKDV daerah penyelesaian di atas yaitu:
a. Langkah 1: Menentukan persamaan grafik yang membatasi DP PtdKDV

(i) Substitusikan titik (-3, -5) ke persamaan grafik y = ax2 + bx + c sehingga
diperoleh:
a(−3)2 + b(−3) + c = −5
9a − ⋯ b + c = −5

(ii) Substitusikan titik (1, 3) ke persamaan grafik y = ax2 + bx + c sehingga
diperoleh:
a(1)2 + b(1) + c = ⋯
a+⋯+c = ⋯

(iii) Substitusikan titik (2, 0) ke persamaan grafik y = ax2 + bx + c sehingga
diperoleh:
a(… )2 + b(… ) + c = 0
… + 2b + c = 0
c = −4a − 2b

(iv) Substitusikan persamaan (iii) ke persamaan (i) diperoleh:
9a − 3b − ⋯ − ⋯ = −5
5a − ⋯ = −5
a − b = −1

(v) Substitusikan persamaan (iii) ke persamaan (ii) diperoleh:
a+b−⋯−⋯ =3

−3a − b = 3
Eliminasi “b” dari persamaan (iv) dan (v):

a − b = −1
−3a − b = 3

4a = ⋯
a = −1

Substitusi a = -1 ke persamaan (iv) diperoleh:
a − b = −1

−1 − b = −1
b=⋯

Substitusi a = -1 dan b = 0 ke persamaan (ii) diperoleh:
a+b+c = 3

−1 + 0 + c = 3
c=⋯

Selanjutnya, substitusikan nilai a, b, dan c yang telah diperoleh di atas ke
persamaan y = ax2 + bx + c, diperoleh y = ...............
b. Langkah 2: Melalukan uji titik untuk menentukan tanda ketidaksamaan
Dari gambar terlihat titik (0, 0) berada di dalam daerah penyelesaian, sehingga
titik (0, 0) dipilih sebagai titik uji.
Selanjutnya, mensubstitusikan x = 0 ke −x2 + 4 dan membandingkan hasilnya
dengan y = 0. Sehingga diperoleh pertidaksamaan y … − x2 + 4
Jadi, PtdKDV daerah penyelesaian adalah y ≤ −x2 + 4.
2. Diketahui daerah penyelesaian PtdKDV ditunjukkan dengan daerah yang diarsir
pada gambar di bawah ini.

Langkah-langkah menentukan PtdKDV:
a. Langkah 1: Menentukan persamaan grafik

Pada gambar di atas, grafik memotong sumbu X di dua titik yaitu (-2,...) dan
(...,0) sehingga persamaan grafik:

y = f(x) = a(x − x1)(x − x2)
= a(x − (−2))(x − ⋯ )
= a(x + 2)(x − ⋯ )

Grafik melalui titik (0, 8) sehingga x = 0 dan y = 8 disubstitusi pada persamaan
grafik menjadi:

a(0 + 2)(0 − ⋯ ) = 8
a(2)(… ) = 8
(… )a = 8
a=⋯

Substitusikan nilai a = ... pada persamaan y = f(x) = a(x + 2)(x − ⋯ ).
y = f(x) = a(x + 2)(x − ⋯ )

= (… ){x(x − ⋯ ) + 2(x − ⋯ )}
= (… )(x2 − ⋯ x + 2x − ⋯ )
= (… )(x2 − 2x − ⋯ )
= −x2 + 2x + ⋯
b. Langkah 2: Melakukan uji titik
Dari langkah 1 diperoleh persamaan grafik y = −x2 + 2x + ⋯ dan pada
gambar terlihat titik (0, 10) di dalam DP sehingga titik tersebut dipilih sebagai
titik uji.
Selanjutnya mensubstitusikan titik x = 0 ke −x2 + 2x + ⋯ dan
membandingkan hasilnya dengan y = 10.
Sehingga diperoleh pertidaksamaan y … −x2 + 2x + 8.

3. Perhatikan gambar daerah penyelesaian suatu PtdKDV di bawah ini.
y

02 x

-4

Daerah yang diarsir pada gambar di atas menunjukkan daerah penyelesaian dari
PtdKDV. Pada gambar di atas, grafik menyinggung sumbu X di titik (2, 0) dan
melewati titik (0, -4). Langkah-langkah menentukan PtdKDV yaitu:
a. Langkah 1: Menentukan persamaan grafik

.........
.........
.........
b. Langkah 2: Melakukan uji titik
.........
.........
.........
4. Diketahui daerah penyelesaian suatu PtdKDV di bawah ini.

Daerah yang diarsir pada gambar di atas menunjukkan daerah penyelesaian dari
PtdKDV. Pada gambar di atas, grafik mempunyai titik puncak di (3, -5) dan
melewati titik (0, 4). Langkah-langkah menentukan PtdKDV yaitu:
a. Langkah 1: Menentukan persamaan grafik

.........
.........
.........
b. Langkah 2: Melakukan uji titik
.........
.........
.........

SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT
(SPtLKDV)

A. Menentukan Daerah Penyelesaian SPtLKDV

Uji Titik:
Karena titik (0, 0) tidak dilalui grafik 2x + 4y = 12,
maka titik (0, 0) dapat digunakan sebagai titik uji.
Dengan mensubstitusi titik (0, 0) pada 2 + 3 ≥
12 menjadi 0 ≥ 12 dan pernyataan bernilai salah,
sehingga titik (0, 0) tidak masuk pada daerah
penyelesaian
Gambar DP 2 + 3 ≥ 12:

bb
P(− 2a , f(− 2a))

2
P(− 2(−1) , f(1))

P(1, 9)

Uji Titik:

Karena titik (0, 0) tidak dilalui parabola y = −x2 + 2x + 8, maka titik (0, 0) dapat
digunakan sebagai titik uji. Dengan mensubstitusi titik (0, 0) pada y ≤ −x2 +
2x + 8 menjadi 0 ≤ 8 dan pernyataan bernilai benar, sehingga titik (0, 0)
termasuk pada daerah penyelesaian.
Gambar DP y ≤ −x2 + 2x + 8:

B. Menyusun SPtLKDV
Perhatikan gambar di bawah ini.

Langah-langkah menentukan SPtLKDV dari daerah penyelesaian pada gambar
di atas yaitu:
1. Menyusun PtdLDV

Garis lurus pada gambar melalui titik (0, 2) dan (3, 0), sehingga
2x + 3y = (2)(3)
2x + 3y = 6
Titik (0, 3) berada pada daerah penyelesaian PtdLDV sebagai titik uji,
selanjutnya mensubstitusi titik (0, 3) pada 2x + 3y dan membandingkan
dengan 6. Diperoleh

2x + 3y ≥ 6

2. Menyusun PtdLKDV
Parabola memotong sumbu X di titik (1, 0) dan (3, 0) serta melalui titik (0,
6), sehingga persamaan grafiknya:

Titik (0, 8) berada pada daerah penyelesaian, sehingga dipilih sebagai titik
uji. Selanjutnya, mensubstitusi titik x = 0 pada 2x2 − 4x + 6 dan

membandingkan dengan y = 8. Diperoleh:
y ≥ 2x2 − 4x + 6

Dari langkah (1) dan (2) diperoleh SPtLKDV:

{ y 2x + 3y ≥6 6
≥ 2x2 − 4x +