Induksi Matematika

INDUKSI MATEMATIKA E-MODUL MATEMATIKA
X SMA/MA
KELAS GANJIL
SEMESTER

Copy Right @2022

PENDAHULUAN

Identitas Modul

Mata Pelajaran : Matematika Wajib
XI
Kelas : 2 x 45 menit
Induksi Matematika
Alokasi Waktu :

Judul :

Kompetensi Dasar

3.1 Menjelaskan metode pembuktian pernyataan
matematis berupa barisan, ketidaksamaan, dan
keterbagian dengan induksi matematika.

4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi
matematika untuk menguji pernyataan matematis
berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian.

Indikator

1. Menjelaskan pengertian dan bentuk umum notasi

sigma juga sifat-sifat notasi sigma.

2. Menjelaskan konsep induksi matematika.

3. Menggunakan prosedur untuk menguji kesahihan

pernyataan matematika dengan metode

pembuktian langsung, tidak langsung, dan

induksi matematis.

4. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan

induksi matematika berupa barisan,

ketidaksamaan dan keterbagian.

E-Modul Induksi Matematika ii

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Alhamdulillah saya panjatkan puja dan puji syukur kehadirat Allah
SWT yang senantiasa melimpahkan segala rahmat, taufik dan
hidayah-Nya sehingga penyusun dapat menyelesaikan modul ini.

Modul ini disusun untuk memenuhi kebutuhan peserta didik kelas
XI SMA/MA. Sesuai dengan segmentasi kurikulum 2013, maka
modul ini disusun dengan kualifikasi yang tidak diragukan lagi.

Modul ini dimulai dengan menjelaskan prinsip yang akan
digunakan. Pembahasan yang akan disampaikan pun disertai
dengan soal-soal yang dapat digunakan untuk mengukur tingkat
ketercapaian dan ketuntasan.

Penyusun menyadari bahwa di dalam pembuatan modul masih
banyak kekurangan, untuk itu penyusun sangat membuka saran
dan kritik yang sifatnya membangun. Mudah-mudahan modul ini
memberikan manfaat.

Wassalamu'alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Purworejo, 28 Juni 2022

Penulis

E-Modul Induksi Matematika iii

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ......................................................................... iii
Daftar Isi ................................................................................... iv
Peta Konsep .............................................................................. v

Notasi Sigma ............................................................................ 1
Prinsip Induksi Matematika ................................................... 4
Pembuktian Induksi Matematika ........................................... 6

Barisan ....................................................................................... 7
Keterbagian ............................................................................... 10
Ketidaksamaan ......................................................................... 12

E-Modul Induksi Matematika iv

PETA KONSEP

Notasi Sigma

Induksi Prinsip Induksi
Matematika Matematika

Pembuktian Barisan
Induksi Keterbagian
Ketidaksamaan
Matematika

E-Modul Induksi Matematika v

NOTASI
SIGMA

Ayo Mengenal Notasi Sigma!

Nama Lambang: SIGMA

Mengapa harus SIGMA?
Lambang ini berasal dari
huruf kapital S dari Yunani
dan S adalah kependekan
dari Sum dalam bahasa

Inggris yang artinya
"menjumlahkan"

Format penulisan sigma:

batas atas

{formula}

batas bawah

Contoh: Artinya menjumlahkan semua nilai p
yang dimulai dari 1 sampai dengan 4
4 dan p merupakan bilangan bulat, maka
jadi 1+2+3+4 = 10
p

p=1

E-Modul Induksi Matematika 1

Sifat-Sifat Notasi Sigma:

nn

1.) k = i

k=1 i=1

n

2.) c = nc ; dengan c konstanta

k=1

n

3.) c = (n-m+1) c ; dengan c konstanta

k=m

nn

4.) ck = c k ; dengan c konstanta

k = 1 k= 1

n n+p n-p

5.) k= (k-p) = (k+p) ; dengan p bilangan bulat

k=m k = m+p k = m-p

m-1 n n

6.) k+ k = k ; dengan m < n

k=1 k=m k=1

s

7.) k = s

k=s

nn

8.) ak = ai

k=1 i=1

nn

9.) cak = c ak ; dengan c konstanta

k=1 k=1

n nn

10.) (ak ± bk) = ak ± bk

k=1 k=1 k=1

E-Modul Induksi Matematika 2

Contoh:

4

2.) √n - 2 . √n + 2 = (√2 - 2 . √2 + 2) + (√3 - 2 . √3 + 2) + (√4 - 2 . √4 + 2)

n = 2 = (√0 . √4) + (√1 . √5) + (√2 . √6)

= (0) + (1 . √5) + (√12)

= √5 + √4.3

= √5 + 2√3
5 55

1.) (k2- 2k) = k2 - 2k

k=1 k=1 k=1

= (12 + 22+ 32+ 42+ 52) - (2.1 + 2.2 + 2.3 + 2.4 + 2.5)
= (1 + 4 + 9 + 16 + 25) - (2 + 4 + 6 + 8 + 10)

= (55) - (30)
= 25

Mengubah Batas Bawah dan Batas Atas

n n+p n n-p

k = (k - p) atau k = (k + p)

k=m k= m + p k=m k= m - p

Contoh: 7

Mengubah notasi sigma (n2 + 2n + 1) menjadi notasi sigma dengan batas bawah 4.

k=1

7 7+3

(n2 + 2n + 1) = [(n - 3)2 + 2(n - 3) + 1]

k=1 k=1+3

10

= [(n2 - 6n + 9) + (2n - 6) + 1]

k=4

10

= (n2 - 4n + 4)

k=4

E-Modul Induksi Matematika 3

PRINSIP
INDUKSI
MATEMATIKA

Ayo Mengenal Induksi Matematika!
Induksi matematika merupakan salah satu metode yang
digunakan untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan
matematika, terutama yang berhubungan dengan bilangan
asli bukan untuk menemukan formula/ rumus.
Secara umum, Induksi matematika merupakan metode untuk
membuktikan bahwa suatu sifat yang didefinisikan pada
bilangan asli adalah bernilai benar untuk semua nilai yang
lebih besar atau sama dengan sebuah bilangan asli tertentu.
Melalui induksi Matematika, kita dapat mengurangi langkah
pembuktian yang sangat rumit untuk menemukan suatu
kebenaran dari pernyataan matematis hanya dengan
sejumlah langkah terbatas yang cukup mudah.

Perhatikan ilustrasi berikut!

E-Modul Induksi Matematika 4

Dari ilustrasi di atas dapat dibayangkan bahwa menjatuhkan
papan domino pertama (S1) ke arah domino yang kedua (S2)
hingga papan paling ujung (sebut saja papan Sn, untuk setiap n
bilangan asli) juga jatuh.

Maka dapat dinyatakan bahwa jika papan S1 jatuh maka papan
S2 juga jatuh bahkan papan Sn juga jatuh. Sehingga mekanisme
inilah yang dikenal sebagai tahapan induksi matematika.

Pembuktian Induksi Matematika digunakan untuk
membuktikan kebenaran suatu pernyataan matematis berupa
barisan, keterbagian, dan ketidaksamaan dari bilangan bulat
positif. Pernyataan tersebut merupakan sebuah pernyataan

dalam variabel yang mewakili bilangan n, di mana n harus
bersandarkan pada bilangan bulat positif.

Mencatat!

PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA

Misalkan ( ) adalah sifat yang didefinisikan untuk
suatu bilangan asli , dan misalkan pula merupakan
suatu bilangan asli tertentu. Andaikan dua pernyataan
tersebut memenuhi kondisi berikut:

1. ( ) bernilai benar (dibuktikan).
2. Untuk sebarang bilangan asli k ≥ a, jika (k)

bernilai benar, maka (k + 1) juga bernilai benar.

E-Modul Induksi Matematika 5

PEMBUKTIAN
INDUKSI

MATEMATIKA

Pembuktian dengan Induksi Matematika!
Pembuktian dengan induksi matematika terdiri dari tiga
langkah. Langkah pertama disebut sebagai langkah dasar
(basic step), juga langkah kedua dan ketiga disebut sebagai
langkah induktif (inductive step).

Pandang suatu pernyataan “Untuk
sebarang bilangan asli ≥ , dengan
adalah bilangan asli tertentu, sifat ( )
bernilai benar.”
Untuk membuktikan pernyataan tersebut,
kita akan menjalankan tiga langkah
berikut:

1. Buktikan benar untuk n = 1
2. Andaikan benar untuk n = k
3. Buktikan benar untuk n = k + 1

E-Modul Induksi Matematika 6

Barisan

Contoh 1

Buktikan dengan induksi matematika bahwa
2(1 + 3 + 32 +33 + .... + 3n -1 ) = 3n - 1

untuk n merupakan setiap bilangan bulat positif.

Penyelesaian:
⇔Misalkan P(n)
2(1 + 3 + 32 +33 + .... + 3n - 1) = 3n - 1

→Buktikan benar untuk n = 1

P(n) n = 1
⇔P(1) 2(1) = 31 - 1
⇔ 2 =3 -1
⇔ 2 =2
Benar

Andaikan benar untuk n = k
⇔Untuk n = k
2(1 + 3 + 32 +33 + .... + 3k - 1) = 3k - 1 diasumsikan
Misalkan P(k)
sebagai pernyataan yang benar.

Buktikan benar untuk n = k + 1
Untuk n = k + 1

Maka P(k+1) juga harus benar. Caranya salin dulu untuk n=k kemudian

tambahkan satu suku dibelakangnya yaitu k+1.
⇔P(k+1)
2(1 + 3 + 32 +33 + .... + 3k - 1 + 3(k+1)-1 ) = 3k + 1 - 1
⇔ 2(1 + 3 + 3 2+3 3+ .... + 3 k - 1 )+ 2(3(k+1)-1 ) = 3k + 1 - 1

P(k)
⇔ (3k - 1) + 2(3k ) = 3k + 1 - 1
⇔ 3k + 2(3k ) - 1 = 3k + 1 - 1
⇔ 3.3k - 1 = 3k + 1 - 1
⇔ 3k + 1 - 1 = 3k + 1 - 1 Benar

Karena ketiga langkah telah terpenuhi benar, maka menurut prinsip induksi
matematika pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan bulat positif.

E-Modul Induksi Matematika 7

Contoh 2

Buktikan dengan induksi matematika bahwa

P(n) = 1 + 2 1 + ... + 1 = n
1×2 ×3 n(n+1) n+1

Penyelesaian:

→Buktikan benar untuk n = 1

P(n) n = 1
1 n
n(n+1) = n+1

1 = 1
1(1+1) 1+1

1 = 1
1(2) 2

1 = 1 Benar
2 2

Andaikan benar untuk n = k
Untuk n = k

P(k) = 1 + 2 1 3 + ... + 1 = k
1×2 × k(k+1) k+1

Buktikan benar untuk n = k + 1
Untuk n = k + 1

Asumsikan P(k) benar, maka P(k+1) juga harus benar. Caranya salin dulu

untuk n=k kemudian tambahkan satu suku dibelakangnya yaitu k+1.

1 + 1 + ... + 1 = k
1×2 2×3 k(k+1) k+1

1 + 1 3 + ... + 1 + 1 = k+1
1×2 2× k(k+1) (k+1) ((k+1)+1) (k+1)+1

1 1 1 k+1
2× k(k+1) (k+1)+1
[ ] [ ]1 × 2
+ 3 + ... + + 1 =
(k+ ... ) (k+ ... )

[ ] [ ]k k+1
k+1 k+ ...
+ 1 =
(k+ ... ) (k+ ... )

___samakan penyebutnya___

E-Modul Induksi Matematika 8

[ ] [ ]... k+1
k+2
(k+ ... ) (k+ ... )
+ 1 = k+1
(k+ ... ) (k+ ... ) k+2
k+1
... = k+2
(k+ ... ) (k+ ... )
k+1
___faktorkan___ ... = k+2
(k+ ... ) (k+ ... )
k+1
( ... + ... ) ( ... + ... ) = k+2
(k+ ... ) (k+ ... )

... + ... =
... + ...

E-Modul Induksi Matematika 9

Keterbagian

Contoh 1
Untuk n merupakan setiap bilangan asli,
buktikan n2 + 5n habis dibagi 2 dengan
menggunakan induksi matematika!

Penyelesaian:

Misalkan P(n) adalah n2+ 5n habis dibagi 2 merupakan pernyataan benar.

→Buktikan benar untuk n = 1 6 dan 4 habis dibagi 2,
maka terbukti Benar
P(n) n = 1

⇔P(1) (1)2 + 5(1) = 1 + 5 = 6
→P(n) n = 2
⇔P (2) (2)2 + 5(2) = 4 + 10 = 14

Andaikan benar untuk n = k
Untuk n = k
Misalkan P(k) benar dengan asumsikan bahwa k2 + 5k habis dibagi 2
atau ekuivalen dengan k2+ 5k = 2c , untuk sebarang bilangan asli c.

Buktikan benar untuk n = k + 1
Untuk n = k + 1
Asumsikan P(k) benar, maka P(k+1) juga benar.
⇔P(n)
⇔P(k+1) n2 + 5n
(k + 1)2 + 5(k + 1) = k2 + 2k + 1 + 5k + 5

= (k2 + 5k) + (2k + 6)

= (k2 + 5k) + 2(k + 3)

= 2c + 2(k + 3)
= 2(c + k + 3)

Dari baris terakhir karena bentuk (c + k + 3) adalah bilangan bulat,
maka jelas k2 + 5k = 2c dan (k + 1) + 5(k +1)2= 2(c + k + 3) benar.
Jadi P(k + 1) Benar

Karena ketiga langkah telah terpenuhi benar, maka menurut prinsip induksi
matematika pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan bulat positif.

E-Modul Induksi Matematika 10

Contoh 2
Buktikan bahwa untuk n merupakan setiap
bilangan asli, selalu berlaku 7 2n-1 + 32n habis

dibagi 8 dengan menggunakan induksi

matematika!

Penyelesaian:
Misalkan P(n) adalah 72n-1 + 32n habis dibagi 8 merupakan pernyataan benar.

→Buktikan benar untuk n = 1

P(n) n = 1

⇔P(1) 72(1)-1+ 32(1) = ... + ...
= ... + ...
= ...

Andaikan benar untuk n = k
Untuk n = k
Misalkan P(k) benar dengan asumsikan bahwa 72k-1 + 32k habis dibagi 8,
atau dapat kita tuliskan menjadi 72k-1 + 32k = 8c, untuk sebarang bilangan

asli c

Buktikan benar untuk n = k + 1
Untuk n = k + 1
Asumsikan P(k) benar, maka P(k+1) juga benar.
⇔P(k)
⇔P(k+1) 72k-1 + 32k
72(k+1)-1 + 32(k+1) = 7 2k+2-1 + 32k+2
= 7 2k-1 . 72 + 32k . 32

= 7 2k-1 . 49 + 32k . 9

= 49 . 72k-1 + 9 . 32k wah, penjabaran ini hampir
mendekati bentuk n = k, yaitu
72k-1 + 32k = 8c
Sekarang perhatikan
pengelompokan berikut:

(ax + by) = (x+y) a - (a-b) y

= (72k-1 + 32k ) ... - ( ... - ... ) ...
= (8c) ... - ( ... ) ...

= 8( ... . ... - ... . ... )

E-Modul Induksi Matematika 11

Ketidaksamaan

Contoh 1

Gunakan induksi matematika untuk
membuktikan pernyataan (n + 1)2 < 2n2 ,
untuk sebarang bilangan asli n ≥ 3

Penyelesaian:
Misalkan P(n) adalah (n + 1)2 < 2n2merupakan pernyataan benar. Perhatikan

bahwa ketaksamaan salah untuk n = 1 dan n = 2.

→Buktikan benar untuk n ≥ 3) →P(n) n = 6 Benar
⇔P(6) (6 + 1)2 < 2(6)2
P(n) n = 3
⇔ (7)2< 2(6)2
⇔P(3) (3 + 1)2 < 2(3)2 ⇔ 49 < 2(36)
⇔ (4)2 < 2(3)2 ⇔ 49 < 72
⇔ 16 < 2(9)
⇔ 16 < 18 Benar

Andaikan benar untuk n = k
Untuk n = k
Misalkan P(k) benar dengan asumsikan bahwa (k + 1)2 < 2k2 , untuk
sebarang bilangan asli k dengan k ≥ 3.

Buktikan benar untuk n = k + 1
Untuk n = k + 1
Asumsikan P(k) benar, maka P(k+1) juga benar. Maka akan ditunjukkan
[(k+1) + 1]2 < 2(k+1) 2.

Penjabaran ruas kiri dan ruas kanan

Ingat! [(k+1) + 1]2 = (k+1)2 + 2(k+1) + 1 2(k+1)2= 2(k2 +2k + 1)
(a+b)2= a2+2ab + b2 = 2k2 + 4k + 2

Gunakan kreatifitas untuk menunjukkan [(k+1) + 1]2 < 2(k+1)2

(k+1)2+ 2(k+1) + 1 < 2k2+ 2k + 3 agar sesuai 2k2 + 4k + 2, maka ditambah

(2k - 1). Namun perhatikan dahulu tanda

ketidaksamaan pada soal, apakah benar

(2k - 1) kurang dari (4k +2)

misal k = 3, (2k - 1) < (4k +2)

2.3 - 1 < 4.3 + 2

5 < 14 benar

E-Modul Induksi Matematika 12

(k+1)2+ 2(k+1) + 1 < 2k2+ 2k + 3 + (2k -1)
< 2k2 + 4k + 2
< 2(k2 + 2k + 1)
< 2 (k + 1)2 Telah ditunjukkan bahwa [(k+1) + 1]2 < 2(k+1)2

adalah benar, maka untuk P(k+1) terbukti

Benar

Karena ketiga langkah telah terpenuhi benar, maka menurut prinsip induksi

matematika pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n dengan n ≥ 3.

Contoh 2

Gunakan induksi matematika untuk
membuktikan pernyataan 2m > m + 20 ,
untuk sebarang bilangan asli m ≥ 5

Penyelesaian:
Misalkan P(m) adalah 2m > m + 20 merupakan pernyataan benar.

Perhatikan bahwa ketaksamaan salah untuk m=1, m=2, m=3, m=4 dan m=5.

→Buktikan benar untuk m ≥ 5)

P(m) m = 5

⇔P(5) 25 > 5 + 20
⇔ ... > ...

Andaikan benar untuk m = k
Untuk m = k
Misalkan P(k) benar dengan asumsikan bahwa 2k < k + 20 , untuk

sebarang bilangan asli k dengan k ≥ 3.

Buktikan benar untuk m = k + 1
Untuk m = k + 1
Asumsikan P(k) benar, maka P(k+1) juga benar. Maka akan ditunjukkan

⇔2k > k + 20 2k+1 > (k+1) + 20

P(k+1)
⇔ 2k + ... > (k+1) + 20
⇔ k + 20 + ... > (k+1) + 20
wah, penjabaran ini sudah menjadi
pertidaksamaan 1 variabel, maka akan
mudah disubstitusikan sebarang nilai
k ≥ 5.
Bila ruas kiri terbukti lebih besar,
maka langkah ketiga terbukti benar

E-Modul Induksi Matematika 13

Rangkuman!

1. Notasi sigma digunakan untuk menjumlahkan semua nilai dalam
formula atau persamaan yang dimulai dari batas atas sampai
dengan batas bawah.

2. Induksi matematika merupakan salah satu metode yang digunakan
untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan matematika,
terutama yang berhubungan dengan bilangan asli bukan untuk
menemukan formula/ rumus.

3. Prinsip Induksi Matematika: misalkan ( ) adalah sifat yang
didefinisikan untuk suatu bilangan asli , dan misalkan pula
merupakan suatu bilangan asli tertentu. Andaikan dua
pernyataan tersebut memenuhi kondisi berikut:
( ) bernilai benar (dibuktikan).
Untuk sebarang bilangan asli k ≥ a, jika (k) bernilai benar,
maka (k + 1) juga bernilai benar.

4. Langkah Induksi Matematika:
Buktikan benar untuk n = 1
Andaikan benar untuk n = k
Buktikan benar untuk n = k + 1

Ayo berlatih!

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan pernyataan berikut:

1. 2 + 7 + 12 + ... + (5n - 3) = 1 n (5n - 1), untuk sebarang bilangan asli n.
2

2. (n3-+ 5n) habis dibagi 6 untuk sebarang bilangan asli n.

3. ( 4 ) n > n untuk sebarang bilangan bilangan asli n ≥ 7.
3

E-Modul Induksi Matematika 14

DAFTAR PUSTAKA

Ngapiningsih. Suparno. Santoso, N E. 2021. Buku Interaktif Matematika untuk
SMA/MA Kelas XI Semester 1. Klaten: PT Intan Pariwara.

Biodata Penulis
Hai perkenalkan nama saya Yunita Maulina
(182140102), saya muslim dan lahir di
Purworejo tanggal 28 Juni 1999. Saya
bertempat tinggal di Desa Tegalrejo 02/02
Kec Banyuurip Kab Purworejo. Saya
menempuh pendidikan di Universitas
Muhammadiyah Purworejo.
Apa karena tujuan hidup tercapai, hal itu
dinamakan sukses? Manusia tidak akan
pernah puas dengan satu kesuksesan, tapi
satu hal yang mutlak "kematian adalah
suatu hal yang pasti". Lakukan yang sudah

menjadi tanggung jawabmu, berusaha semaksimal mungkin dan istirahatlah. Di
akhir kata saya mengucapkan maaf jika terdapat salah kata dalam e-modul ini.