《数学王国的冒险之旅》

注释及参考文献

在本书的成书过程中，有4本书一直摆在我的案头，它们的
贡献无法独立划分到任何一个章节中。马丁·加德纳博学、风
趣，且思路清晰，他对数学普及起到的作用仍然无与伦比。托
拜厄斯·丹齐格的《数字》（Number）是一部有关数学文化演
化的经典之作。伊弗拉（Ifrah）和卡乔里（Cajori）两人的书
都经过了精心调研，格外精彩。

Cajori, F., A History of Mathematical Notations,
Dover, 1993 (facsimile of original by Open Court,
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Gardner, M., Mathematical Games: The Entire
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Ifrah, G., The Universal History of Numbers, John
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第0章

这一章是基于与布莱恩·巴特沃思在伦敦的聊天，还有和
斯坦尼斯拉斯·德阿纳及皮埃尔·皮卡在巴黎的谈话而成。在
伦敦大学学院，特雷莎·尤库拉诺（Teresa Iuculano）和马里
内拉·卡佩莱蒂（Marinella Cappelletti）用一种英国学校普
遍使用的计算机程序，对我进行了计算障碍的筛查。我没有计
算障碍，这或许没什么好惊讶的。如果你有心资助蒙杜鲁库人
的 传 统 教 育 和 环 境 保 护 ， 可 以 将 捐 款 寄 到 ： The Munduruku
Fund, The Arrow Rainforest Foundation, 5 Southridge
Place, London SW20 8JQ, United Kingdom。更多详细信息可
以访问网站：www.thearrowrainforestfoundation. com。

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Siegler, R.S., and Booth, J.L., ‘Development of
Numerical Estimation in Young Children’, Child
Development, 2004

第1章

如果有人想了解更多关于有趣的十二进制的信息，可以通
过以下方式联系美国十二进制协会：[email protected]，或
5106 Hampton Avenue Suite 205, Saint Louis, Missouri
63109-3115, USA 。 《 小 十 二 趾 》 是 《 校 舍 摇 滚 》
（Schoolhouse Rock！）中的经典作品，这是于20世纪70年代
发行的一系列关于数学、科学和语法的音乐动画片，它们都可
以在网上找到。如果没有铃木晃司（Kouzi Suzuki）的帮助，
我就不可能进入算盘世界，他是日本式算盘的独立推广者，他
打扮成福尔摩斯的模样在东京的一个火车站和我见了面。

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Hammarströ, H., ‘Rarities in Numeral Systems’,
2007

第2章

《无字证明》（Proofs Without Words）意义非凡，它是
我采用毕达哥拉斯定理的不同证明的根据。感谢汤姆·赫尔
（Tom Hull）提供了有关折纸的大部分背景资料。关于如何制
作名片四面体和立方体的插图正是受到了他的书的启发。日本
另一个了不起的宗教性几何实践是算额（sangaku），它并不适
合纳入这一章中，但它实在太迷人了，不得不在这里提一下。
算额是一种挂在佛教寺庙或神道神社里的木牌，上面画着一个
几何问题的证明。在17到19世纪，研究几何问题却无力负担出
书成本的日本人制作了成千上万块算额。在木牌上画出解法，
并将它们挂在神社里，成为一种宗教供奉的方式，同时还能宣
传他们的研究成果。

在本书即将付梓时，我得知杰罗姆·卡特2009年在一场摩
托车事故中去世。

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Burnyeat, M.F.,‘Other Lives’, London Review of
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第3章

尽管《计算之书》于1202年首次出版，但它的首个英文译
本直到2002年，也就是它的初版诞生800年后才出现。吠陀数学
并不是目前唯一一种速算方式。还有几个“系统”，它们中很
多都用到了相同的技巧。最著名的是特拉亨伯格速算系统，它
是雅科夫·特拉亨伯格（Jakow Trachtenberg）在纳粹集中营
中设计的。自称“数学魔术师”的亚瑟·本杰明是近来出现的
一位有趣的速算技艺的传播者。

Fibonacci, L., Fibonacci’s Liber Abaci, Springer,
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Dani, S.G., ‘Myths and reality: On “Vedic
mathematics”’

第4章

莱比锡最不像“书呆子”的参赛者是鲁迪格·加姆
（Rudiger Gamm），他曾是一名健美运动员，在学校里数学不
及格。在一段二头肌练得格外发达的职业生涯后，他现在格外
发达的部位变成了大脑。加姆的计算能力让他在德国成了小有
名气的人物，他告诉我，记忆力是他最宝贵的财富：“我觉得
我的脑子里有（储存了）20万到30万个数字。”

（我发现写这一章格外困难，因为我不得不克制自己发明
关于圆周率的糟糕双关语的欲望。数学家天生倾向于过度使用
双关。我们看到一个词时，会情不自禁地将它分解并重新排
列，这可能也解释了为什么世界上最优秀的拼字游戏玩家都是
学数学和计算机科学的，而不是学语言的。）

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第5章

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Angeles, CA, 1975)

第6章

2010年5月，就在本书英文版第一版出版后的一个月，马丁
·加德纳去世了，时年95岁，他去世前仍一直在工作。两个月
后，汤姆·罗基奇等人利用谷歌捐赠的计算机最终证明了上帝
之数是20，花了35年的CPU（中央处理器）时间。

我发现杜德尼发表在《海滨杂志》上的文章写得格外精
彩，非常值得一读，无论谜题的难度如何。我非常感谢研究亨
利·杜德尼的世界级专家安杰拉·纽因（Angela Newing）提供
的一些生平细节，同样感谢杰里·斯洛克姆（Jerry Slocum）
为我解决了其他关于谜题的谜题。如果有人想要一个对称字的
文 身 ， 可 以 访 问 www.wowtattoos.com 查 看 马 克 · 帕 尔 默 的 作
品。

Bachet, C.G., Amusing and Entertaining Problems
that can be Had with Numbers (very useful for
inquisitive people of all kinds who use arithmetic),
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Bodycombe, D.J., The Riddles of the Sphinx,
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clearly and copiously elucidated by a series of easy,
entertaining, interesting experiments, among which are
all those commonly performed with the cards, London,
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Loyd, S., The 8th Book of Tan Part I, 1903; new
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第7章

《整数数列在线百科全书》
（www.research.att.com/~njas/sequences/）对非专业人士来
说，乍一看令人望而却步，但是，一旦你掌握了窍门，就会忍
不住浏览下去。我发现克里斯·考德威尔的素数在线百科全书
“素数页面”（www.primes.utm.edu）是一个绝佳的资源。

Doxiadis, A., Uncle Petros and Goldbach’s
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Sloane, N.J.A., ‘My Favorite Integer Sequences’,
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第8章

虽然阴谋论者可能不信，但π、φ和斐波那契这几个名字
念起来仿佛有关，只是一个奇怪的巧合，因为它们的词源截然
不同。在谈到黄金比例时，将正经研究者和“民科”区分开来
并 不 容 易 。 可 以 肯 定 不 属 于 “ 民 科 ” 的 是 罗 恩 · 诺 特 （ Ron
Knott ） ， 他 的 网 站 是
www.computing.surrey.ac.uk/personal/ext/R.Knott/Fibonac
ci/，那里有你想知道的关于1.618的所有信息。

Livio, M., The Golden Ratio, Review, London, 2002

Posamentier, A.S., and Lehmann, I., The (Fabulous)
Fibonacci Numbers, Prometheus Books, New York, 2007

McManus, I.C., Cook, R., and Hunt, A., ‘Beyond the
Golden Section and normative aesthetics: why do
individuals differ so much in their aesthetic
preferences for rectangles?’, Perception, vol. 36,
2007

第9章

凯利策略并不仅仅是记住优势/概率这个分数，因为赌博的
情形通常比我描述的非常简化的情况要复杂得多。我向埃德·
索普道歉，他在采访中满怀希望地问我，能否详细地解释凯利
策略。对不起，埃德，它对于本书的内容来说实在太复杂了！
威廉·庞德斯通（William Poundstone）的那本了不起的书是
一盏指路明灯，我很感谢他为图9-8提供了数据。

Aczel, A.D., Chance, High Stakes, London, 2005

Bennett, D.J., Randomness, Harvard University
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Haigh, J., Taking Chances, Oxford University Press,
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Poundstone, W., Fortune’s Formula, Hill&Wang, New
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Rosenthal, J.S., Struck by Lightning, Joseph Henry
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Thorp, E.O., Beat the Dealer, Vintage, New York,
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Tijms, H., Understanding Probability, Cambridge
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Venn, J., The Logic of Chance, Macmillan, London,
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第10章

这一章讨论的统计学领域我在中学和大学里从未学过，所
以很多内容对我来说都很陌生。一些数学家甚至认为统计学不
是真正的数学，因为它充斥着测量等杂乱的内容。我很乐意亲
自动手尝试，但我在很长一段时间里都不会再去格雷格斯面包
店了。

Blastland, M., and Dilnot, A., The Tiger That
Isn’t, Profile, London, 2007

Brookes, M., Extreme Measures, Bloomsbury, London,
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Taleb, N.N., The Black Swan, Penguin, London, 2007

第11章

虽然宇宙究竟是平的、球面的还是双曲面的仍然是一个悬
而未决的问题，但宇宙肯定相当平直，如果它的曲率被证实不
是零，也会非常接近零。然而，测量宇宙曲率的一件讽刺的事
是，我们永远不可能最终证明宇宙是平的，因为总会有测量误
差。相反，我们却有可能从理论上证明宇宙是曲面的，在考虑
测量误差后，如果结果得到的曲率不为零，就会发生这种情
况。

希尔伯特酒店有时被称为“无穷旅馆”，这个故事有许多
不同的版本。穿着T恤衫的客人是我自己改编的版本。

Aczel, A.D., The Mystery of the Aleph, Washington
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Barrow, J.D., The Infinite Book, Jonathan Cape,
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互联网

没有维基百科和沃尔夫勒姆数学世界
（www.mathworld.wolfram.com），我就不可能研究任何有关数
学的东西，我每天都会寻求它们的帮助。

综合参考资料

我翻阅的书太多了，无法在此一一列出，但这些书都以某
些 方 式 直 接 为 本 书 贡 献 了 材 料 。 基 思 · 德 夫 林 （ Keith
Devlin ） 、 克 利 福 德 ·A. 皮 克 弗 和 伊 恩 · 斯 图 尔 特 （ Ian
Stewart）的所有作品都值得一读。

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Pickover, C.A., A Passion for Mathematics, Wiley,
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Singh, S., Fermat’s Last Theorem, Fourth Estate,
London, 1997

致谢

首先，感谢詹克洛与内斯比特代理公司的克莱尔·佩特
森，没有她的鼓励，就不会有这本书，还要感谢我在伦敦的编
辑理查德·阿特金森和纽约的编辑埃米莉·卢斯。我也非常感
谢安迪·赖利创作的精彩插图。

我的旅行能顺利进行离不开新老朋友的支持：在日本，有
常冈智惠子、理查德·劳埃德·帕里、菲奥娜·威尔逊、铃木
晃司、内林正夫、松泽哲郎、克里斯·马丁和利奥·路易斯。
在印度，有高拉夫·特克里瓦尔、达南杰·维迪雅和肯尼思·
威廉斯。在德国，有拉尔夫·劳厄。在美国，有科尔姆·马尔
卡希、汤姆·罗杰斯、汤姆·赫尔、尼尔·斯隆、杰里·斯洛
克姆、戴维·丘德诺夫斯基、格雷戈里·丘德诺夫斯基、汤姆
·摩根、迈克尔·德弗利格、杰罗姆·卡特、安东尼·贝洛赫
尔和埃德·索普。在英国，还有布赖恩·巴特沃思、彼得·霍
普和埃迪·莱文。

感谢罗伯特·方丹、科林·赖特、科尔姆·马尔卡希、托
尼·曼、亚历克斯·帕索、皮埃尔·皮卡、斯特凡妮·马什、
马修·克肖、约翰·曼盖、摩根·瑞安、安德烈亚斯·尼德、
达伊纳·泰米纳、戴维·亨德森、斯特凡·曼德尔、罗伯特·
朗、戴维·贝洛斯和伊洛娜·莫里森的意见，他们极大地改进
了手稿。还要感谢纳塔莉·亨特、西蒙·韦克斯纳、维罗妮卡

·叶绍洛娃、加文·普雷托尔-平尼、贾斯廷·莱顿、让尼娜·
莫斯利、拉维·阿普特、雨果·德克利、毛拉·奥布赖恩、彼
得·道森、保罗·帕尔默-爱德华兹、伊莱恩·莱格特、丽贝卡
·福兰德、基尔斯蒂·戈登、蒂姆·格利斯特、休·莫里森、
乔纳森·卡明斯、拉斐尔·扎勒姆、麦克·基思、加雷思·罗
伯茨、吉恩·齐克尔、埃里克·德迈纳、韦恩·古尔德、柯克
·皮尔森、安杰拉·纽因、比尔·伊丁顿、麦克·勒万、希娜
·拉塞尔、哈托什·巴尔、伊万·莫斯科维奇、约翰·霍尔
登、克里斯·奥特维尔、玛丽安娜·卡瓦尔·莱亚尔·费雷
拉、托德·兰吉维图、威廉·庞德斯通、弗兰克·斯韦茨和阿
米尔·阿克塞尔。最后，还有我的侄女扎拉·贝洛斯，她保
证，如果我在这本书的某个地方提到她，她就会在数学这门课
上拿到A星。

图书在版编目（CIP）数据

数学王国的冒险之旅/（英）亚历克斯·贝洛斯著；刘小鸥，吕同舟译.—北
京：中信出版社，2022.4

书名原文：Alex’s Adventures In Numberland
ISBN 978–7–5217–3959–6
Ⅰ. ①数… Ⅱ. ①亚… ②刘… ③吕… Ⅲ. ①数学－普及读物 IV. ①O1
–49
中国版本图书馆CIP数据核字（2022）第020753号

数学王国的冒险之旅
著者：[英]亚历克斯·贝洛斯
译者：刘小鸥 吕同舟
出版发行：中信出版集团股份有限公司
（北京市朝阳区惠新东街甲4号富盛大厦2座 邮编100029）

开本：880mm×1230mm 1/32
印张：16
字数：304千字
版次：2022年4月第1版
印次：2022年4月第1次印刷
京权图字：01–2021–6544
书号：ISBN 978–7–5217–3959–6
定价：69.00元
版权所有·侵权必究