Collectif, Guinness World Records, 2010. Collectif, Lalitavistara Sūtra, IIIe siècle. Euclide, Les Éléments, IIIe siècle av. J. -C. Hausdorff Felix, « Dimension und äusseres Mass », Mathematische Annalen, 1919, vol. 79, p. 157 - 179. Ifrah Georges, Histoire universelle des chiffres, Robert Laffont, 1981. Mandelbrot Benoît, « How Long Is the Coast of Britain ? Statistical SelfSimilarity and Fractional Dimension », Science, mai 1967. Peano Giuseppe, « Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane », Mathematische Annalen, 1890, vol. 36, p. 157 - 160. Richardson Lewis Fry, The Problem of Contiguity : an Appendix to Statistics of Deadly Quarrels, in General System Yearbook, Society for General Systems Research, 1961. Sierpinski, Waclaw, Sur une courbe dont tout point est un point de ramification, compte rendu de l'Académie des sciences de Paris, 1915, p. 302 - 305. Virgile, L'Énéide, livre I, 29 - 19 av. J. -C. 在这个部分中，我选择不深入集合论的核心，而是集中讨论其关于分形的有用结果。 但是，这种选择让我们错过了康托尔最美妙的定理，该定理证明存在许多个无穷大！存在 元素无法匹配的无限集合，如整数和奇数的情况。我们所说的康托尔对角线的证明特别优 雅，如果你感兴趣，可以自行对这一主题进行研究。 第四章 模糊的艺术 庞加莱度量 在《科学与假设》(La Science et l'Hypothèse)中，亨利·庞加莱对科学以及数学与 世界的关系进行了反思。尤其是，他在书中提出了以其名字命名的圆盘，以及孕育了相对 论的第四维和观点。这本书出版于1902年，比爱因斯坦发表的狭义相对论早了三年。另 外，还有一个争议，一些科学家认为，爱因斯坦在这一发现中被赋予了过多的功劳，而庞 加莱的贡献则被低估。
想要探索维度的概念，我还可以给你推荐乔斯·雷斯(Jos Leys)、艾蒂安·吉斯(Étienne Ghys)和奥雷里恩·博里(Aurélien Alvarez)拍摄的电影《维度》(Dimension)。你可以在 网上找到这部电影的免费版。影片中美妙的动画会带着你进入第四维度的世界并欣赏它的 各种表现形式。 补充书目 Aristote, Météorologiques, IVe siècle av. J. -C. Aristote, Organon, IVe siècle av. J. -C. Beltrami Eugenio, « Teoria fondamentale degli spazii di curvatura constante », Annali di Matematica, 1868, Ser II. 2 : 232 - 255. Borges Jorge Luis, « Funes el memorioso », La Nación, 1942. Davidoff Jules, Davies Ian et Roberson Debi, « Colour categories in a stoneage tribe », Nature, mars 1999, vol. 398. Euclide, Les Éléments, IIIe siècle av. J. -C. Molière, L'Avare, septembre 1668. Proclus, Commentaires sur le premier livre des Éléments d'Euclide, V e siècle. Russell Bertrand, « Recent Work on the Principles of Mathematics », International Monthly, 1901, vol. 4. Whitehead Alfred North et Russell Bertrand, Principia Mathematica, Cambridge University Press, 1910. 第五章 空间和时间的深渊 空间与时间膨胀系数 关于相对论的书籍可谓汗牛充栋，你会难以选择。物理学家乔治·伽莫夫(George Gamow)从20世纪40年代开始创作的《物理世界奇遇记》(The New World of Mr Tompkins)非常有趣，也很有教育意义。在汤普金斯先生发现相对论时，伽莫夫给他设 置了一个光速为30千米 / 时的世界，从而展现出空间和时间的膨胀对我们日常度量的影 响。接下来是大量让我们熟悉这种几何的思想实验。
爱因斯坦自己也写过一本很受欢迎的书：《狭义与广义相对论浅说》(Relativity: The Special and the General Theory)。但是，这本书的广受欢迎和书中的理论一样，是相 对的。爱因斯坦的理论自然比他的科学文章更容易理解，但仍然给出了一些方程，读者需 要具有良好的高中教育水平才能充分受益。 1978年，让 - 皮埃尔·卢米涅(Jean-Pierre Luminet)成为第一个模拟出黑洞图像的 人，他也写了几本面向大众的好书。比如1987年出版的《黑洞》(Les Trous noirs)，就 是一本关于这个主题的参考读物，不仅写得很好，而且还提供了引人入胜的信息。斯蒂芬 ·霍金的《时间简史》(A Brief History of Time)也是一部经典著作和畅销书。而最近，曾 师从霍金的克里斯托弗·加尔法德(Christophe Galfard)撰写的《极简宇宙史》(L'Univers à portée de main)是一本相当不错的普及读物，它为我们提供了一幅宇宙和目前我们对 宇宙认知的迷人全景，而篇幅不长的《 》则对这个方程做出了清晰而简洁的描 述。 黑洞和时空的扭曲依然在继续给我们带来惊喜。好吧，我保证，我再给你最后一个惊 喜，之后我就会打住。你是否注意到，把超大质量的恒星用作宇宙的镜子是有可能的？ 想象一下，光从地球出发，在宇宙中传播，并在恰好半途偏移的距离上和一个黑洞擦 肩而过。于是，这些光会返回到可以被我们捕捉从而进行自我观察的方向上。如果这个黑 洞距离我们5000万光年，就像2019年拍摄的M87 * 黑洞，那么光的往返就需要1亿年。 因此，我们将能够收集到地球过去的图像。恐龙或尼安德特人的图片今天仍在太空中漫 游，而几何变形无疑让其中的一些图片回到了我们的身边。 可惜啊，我们的技术手段还远远无法进行如此精确的观察。但有一天也许可以，谁知 道呢……
© EHT Collaboration 补充书目 Collectif, « The Event Horizon Telescope Collaboration - First M87 Event Horizon Telescope Results. I. The Shadow of the Supermassive Black Hole », The Astrophysical Journal, 2019, vol. 875, no 1. Einstein Albert, « Zur Elektrodynamik bewegter Körper », Annalen der Physik, septembre 1905, vol. 322, no 10, p. 891 - 921. Einstein Albert, « Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig ? », Annalen der Physik, novembre 1905, vol. 323, no 13, p. 639 - 641. Galilée, Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, 1632. George Gamov, M. Tompkins, Presses de l'université de Cambridge, 1965. Luminet Jean-Pierre, Les Trous noirs, Belfond, 1987. Minkowski Hermann, « Raum und Zeit », Physikalische Zeitschrift, 10, 1909, p. 75 - 88. 在结束本书之前，我还要感谢所有通过支持、鼓励和参与成就了本书的人。我要特别 感谢克里斯托弗·阿布斯(Christophe Absi)、克洛伊·布沙伍尔(Chloé Bouchaour)、埃娃·
布慈(Eva Bouts)以及马努·乌达尔(Manu Houdart)和罗歇·芒叙(Roger Mansuy)，感谢 他们睿智而富有洞见的建议。 没有任何关于世界的理论是确定的。数学是美丽的，但它仍然受到现实跌宕起伏的摆 布。这是好，也是坏。牛顿为此付出了代价。爱因斯坦又能持续多久呢？ 在我们对宇宙的观察中，已经出现了一些不准确之处。天文学家大规模测量的星系运 动与相对论的预测并不完全一致。人们为了解释这一点开展了研究工作，并设想存在一种 新的物质形式——暗物质，但它尚未被发现。关于这种物质的一切仍有待我们去了解。 没有什么是确定的。这个偏差相当于一个海王星，还是一个火神星呢？它会把我们引向哪 里：为相对论带来新的荣耀，还是找到一个为它敲响丧钟的新发现？探索仍在继续，这些 问题开启的前景是广阔而迷人的。 有一天，我们能否完全了解在这个世界的幕后转动的巨大齿轮？或者，真相会像海洋 的天际线一样总是遥不可及？科学家们喜欢的是理论奏效的时刻，但他们中很多人最喜欢 的，是理论暴露出自己缺陷的时刻。正是在这些突破口中，蕴藏着发现的兴奋、冒险的趣 味和我们对未知领域的迷恋。了解这个世界的道路是如此美丽，我们甚至希望它永远不会 走到尽头。 生活在一个科学进步比以往任何时候都快的时代，我们何其幸运！在我们之前，没有 任何一代人在一生中看到过这样的进步。所以，让我们紧紧握住这样的机遇，欣赏这个世 界上演的精彩芭蕾舞剧，沉醉在世界的绚烂烟火之中。不要害怕自己不知道的事物，它们 是你最美的规划。当我们的雨伞不再撑开时，就不要再退缩了。让我们向前迈进吧，让我 们赞叹吧，让我们在雨中起舞吧。 精彩的剧目还在继续。