FISIKA KUANTUM

Andaikanlah Pop menggambarkan operator melakukan inversi maka: (10.29)
Pop  (r )    (r )
Pop  (r )    (r )

Disini terlihat bahwa Pop mempunyai nilai eigen +1 atau -1

Contoh 10.8.
Tunjukkan bahwa paritas tidak berubah dengan waktu, yakni d P  0 .

dt
Penyelesaian:

Untuk itu harus dikaji apabila Pop , Hop   0 .

PopHop (r )  PopE (r )  EPop (r )  E (r )
Diketahui bahwa potensial V (r )  V (r ) , maka

Hop (r )  E (r ) , sehingga diperoleh:
PopHop (r )  E (r )  Hop (r )  HopPop (r )

Darimana diperoleh bahwa: Pop , Hop   0 sehingga d P 0
dt

Jadi paritas kekal, apabila V (r )  V (r )

A. Pemahaman Konsep
1. Menurut pendapat kamu, apa yang dimaksud dengan komut dua buah operator?
2. Menurut pendapat kamu, apa yang dimaksud dengan paritas?
3. Menurut pendapat kamu, apa yang dimaksud dengan hukum ketidak pastian?
4. Menurut pendapat kamu, apa yang dimaksud dengan nilai-nilai eigen yang

berdegenerasi 2.

Fisika Kuantum, 2014 190

5. Tuliskan hubungan antara kumutator dan prinsip ketidakpastian.
6. Apakah yang dimaksud dengan harga ekspektasi?

B. Penerapan Konsep
1. Jika Aˆ ,Bˆ ,danCˆ adalah tiga operator riel. Tunjukkan bahwa:

a. Aˆ +Bˆ ,Cˆ   Aˆ ,Cˆ   Bˆ ,Cˆ 

b. Aˆ Bˆ ,Cˆ   Aˆ Bˆ ,Cˆ   Aˆ ,Cˆ  Bˆ

2. Jika Aˆ dan Bˆ keduanya Hermitian, tunjukkan bahwa Aˆ Bˆ adalah Hermitian jika
Aˆ ,Bˆ   0

3. Diberikan operator xˆ dan pˆ yang fungsi-fungsinya di dalam ruang Hilber dan sesuai

dengan  xˆ, pˆ   i , tunjukkan bahwa jika xˆ =x (yakni perkalian dengan x), maka pˆ

menyatakan
pˆ  i   f (x)

x

4. Sebuah partikel di dalam potensial satu dimensi V(x), tunjukkan bahwa

Ex  px
2m

5. Andaikan tiga operator yang terukur, Aˆ ,Bˆ dan Cˆ , jika diketahui bahwa:
Bˆ ,Cˆ   Aˆ dan Aˆ ,Cˆ   Bˆ

Tunjukkan bahwa:

(AB)C  1 A2  B2
2

6. Apabila g(x) adalah fungsi terhadap x, tunjukkan bahwa :  pˆx, g  i dg
dx

7. Jika g(x) dan f(x) adalah fungsi-fungsi analitik, tunjukkan bahwa:
g(Aˆ) f ()  g(a) f () dimana Aˆ  a

Fisika Kuantum, 2014 191

8. Buktikan bahwa jika Aˆ dan Bˆ adalah Hermitian, maka  Aˆ, Bˆ  adalah Hermitian jika
dan hanya jika  Aˆ, Bˆ   0

9. Tunjukkan bahwa operator momentum liner adalah Hermit.

10. Tunjukkan satu contoh operator anti-Hermit.

11. Tunjukkan bahwa apabila Lzop  i d dan op   , maka berlaku  Lz   2 .
d

12. Buktikan bahwa harga ekspektasi bukan merupakan funsgi terhadap waktu, yakni

d X  0 , dimana X adalah harga ekspektasi.
dt

Fisika Kuantum, 2014 192

BAB XI
TEORI PERTURBASI

Setelah mempelajari buku ini anda diharapkan memiliki kemampuan untuk dapat:

1. Menjelaskan toeri perturbasi bebas–waktu
2. Menjelaskan perturbasi orde pertama
3. Menjelaskan perturbasi orde kedua
4. Menjelaskan teori perturbasi bergantung waktu
5. Menjelaskan perturbasi harmonik
6. Menjelaskan perturbasi fungsi tangga
7. Menjelaskan limit keberlakuan Golden Rule

11.1 Pendahuluan
Pada bab sebelumnya kita telah berkenalan dengan berbagai persoalan di mana

fungsi eigen dan nilai eigen dari beberapa operator. Salah satu bentuk khusus yaitu solusi
nilai eigen energi pada persamaan Schrödinger bebas waktu (keadaan tunak) yang
dinyatakan dengan :

Enm = Hm

Dalam bab ini kita akan membahas efek pada energi Em dan pada fungsi eigen m
dengan gangguan kecil (small perturbations) Hamiltonian H. Beberapa gangguan kecil
ang dimaksud umumnya diakibatkan oleh keberadaan medan listrik dan medan magnetik
atau dari interaksi dengan partikel-partikel lain. Jika solusi eksak dari persamaan
Schrödinger tidak memungkinkan, metode perturbasi yang akan dibahas berikut ini
adalah metode praktis dalam mekanika kuantum.

11.2 Toeri Perturbasi Bebas – Waktu
Diberikan sebuah Hamiltonian H, fungsi eigennya n, dan nilai eigen En,

sehingga

H m = Emm (11.1)

Fisika Kuantum, 2014 193

Apa fungsi eigen dan nilai eigen yang baru ketika Hamiltonian diganggu dari H ke H +
H’ ?

Jika H>>H’, kita dapat menggunakan teknik perturbasi dan menentukan pernyataan
untuk perturbasi dari m dan Em ke beberapa orde.

11.3 Perturbasi Orde Pertama
Operator Hamiltonian diberikan oleh H + H’, di mana 0 << 1 adalah sebuah

parameter, perturbasi “aktif” jika  = 1 dan perturbasi “non – aktif” jika  = 0. Energi W
dan fungsi  dihubungkan oleh

(H + H‟)  = W  (11.2)

Ekspansi  dan W dalam suatu deret ,

   0  1  2 2  .....

W  W0  W1  2 W2  ..... (11.3)

dan substitusi ke dalam persamaan (11.2) memberikan

 H   H '  0  1  2 2  ..... 
   W0  W1  2 W2  .....   0  1  2 2  .....

Samakan koefisien untuk 0, 1, dan 2 pada kedua sisi persamaan terakhir, memberikan

H  0  W0  0

H 1  H '  0  W0 1  W1  0

(11.4a)

H  2  H ' 1  W0  2  W1 1  W2  2

secara berurut. Perbandingan bagian pertama dari persamaan (11.4a) dengan persamaan
(11.1) menunjukkan solusi orde ke nol sebagai

Fisika Kuantum, 2014 194

0 = m

W0 = Em (11.4b)

di mana n dan En adalah fungsi eigen dan nilai eigen pada keadaan perturbasi.
Berikutnya kita ekspansi 1 dalam bentuk n sebagai

1  an1  n (11.5)

n

dan substitusi ke dalam persamaan (11.4a), diperoleh

 an1 En  n  H '  m  Em an1  n  W1  m

nn

dikalikan dengan  * , kemudian mengintegrasi dan mengingat bahwa n |k   kn ,
k

memberikan

Ek ak1  H '  Em ak1  W1  km (11.6)
km

di mana untuk km menghasilkan

H '
 ak1 km
km (11.7)
Em  Ek

Untuk k = m dalam persamaan (11.6), menghasilkan

W1  H ' (11.8)
mm

Tinjau kembali persamaan (11.3) dan (11.4a), W1 adalah koreksi orde pertama terhadap

energi Em. Kita masih perlu untuk mengevaluasi a (1) . Ini dilakukan dengan syarat bahwa
m

fungsi gelombang orde pertama yang dikoreksi    m  1 dinormalisasi :

  m  an1  n *  m  a 1  s  dv 
   
s

n s

1   2 a a(1) *(1)
am(1)  a * (1)  nn 1 (11.9)
m

Fisika Kuantum, 2014 195

Di mana dengan mengabaikan bentuk orde kedua, memberikan a (1) = 0 sebagai sebuah
m

solusi yang mungkin. Fungsi eigen dan nilai eigenperturbasi orde pertama selanjutnya

diberikan sebagai

 H '
m  km k (11.10a)

km Em  Ek

W  Em  H ' (11.10b)
mm

11.4 Perturbasi Orde Kedua
Tujuan utama kita pada bagian ini adalah untuk menentukan pernyataan untuk W

2 dan 2. Koreksi orde kedua terhadap fungsi eigen,  2, dapat diekspansi sebagai

 2  an2  n

n

Ekspansi ini selanjutnya digunakan pada bagian ketiga dari persamaan (11.4a)

  an2 En  n  H ' an1  n  an2 Em  n  W1 1  W2  m

n nn

Substitusi 1 dari persamaan (11.5), kemudian mengalikan dengan  * dan
k

mengintegrasinya, menghasilkan

ak(2) Ek  an(1) H '  ak(2) Em  W1 ak(1)  W2  mk (11.11)
kn

n

Untuk k = m, menghasilkan

W2  an(1) H ' n  W1 am(1)
m

n

 an(1) H '  am(1) H '  W1 am(1)
mn mm

nm

Dengan menggunakan persamaan (11.7) untuk a (1) dan persamaan (11.8) untuk W1,
n

akan diperoleh

Fisika Kuantum, 2014 196

W2 H' 2
 mn (11.12)

nm Em  En

Kembali ke persamaan (11.11) untuk kasus km, dengan menggunakan persamaan (11.7)

dan (11.8), dan hasil a (1)  0, memberikan
m

H ' H ' H ' H '
kn n mm km
      a(2) m 
k
km nm Em  En Em  Ek Em  Ek 2

Untuk menentukan a(2) , kita kembali ke integral normalisasi persamaan (11.9),
m

dengan memasukkan koreksi orde kedua pada , menghasilkan

m   a (1)  n  2 a(2)  n *
 n n 

n n

 m  a (1)  s  2 a(2)  s  dv  1
s s 

s s

dengan menggunakan hasil a (1)  0, persamaan terakhir menghasilkan
m

a ( 2)  1 a(1) 2
m 2 n

n

H' 2
mn

Em  En 2
  1 (11.13)
2

nm

Akhirnya, untuk  1 dan menuliskan fungsi eigen dan energi pada orde kedua,
memberikan

 H ' k
m  km

km Em  Ek

 nm ' ' ' '  H ' 2 
kn m mm km km
H H H H  (11.14)
  n     

      k m 2 k 2 m
Em  En Em  Ek Em  Ek 2 Em  Ek


Fisika Kuantum, 2014 197

WEm  H '  H' 2 (11.15)
mm mn

En  m m  En

Jelas bahwa koreksi orde kedua cenderung untuk meningkatkan energi separasi |Em – En|.
Kenyataan ini terkadang dinyatakan dalam fisika khusus sebagai “tingkat energi yang
saling bertolakan” (Energi Levels Repel Each Other).

11.5 Teori Perturbasi Bergantung Waktu
Teori perturbasi bergantung waktu adalah perangkat analitik untuk mengkaji

transisi system mekanika kuantum dari satu tingkat energi ke tingkat energi yang lain.

Telah ditunjukkan sebelumnya bahwa jika Hamiltonian dari suatu system tidak
bergantung waktu, solusi umum dari persamaan Schrodinger

H  x,t)  i   x,t (11.16)

t

berbentuk

 x,t   an
x e i En t /  (11.17)

n

n

di mana koefisien an adalah konstanta dan Hn = Enn. Jika system diperoleh pada suatu
waktu yang sama, katakanlah t = 0, maka nilai energi Em yang diperoleh

am = 1 (nm)
an = 0
untuk semua rentang waktu. (11.18)

Selanjutnya, asumsikan bahwa system diganggu dalam suatu cara tertentu
sehingga Hamiltonian dimodifikasi dari H menjadi

H t  H  H't (11.19)

Fungsi gelombang baru yang merupakan solusi dari persamaan Schrodinger dapat ditulis
dalam bentuk

Fisika Kuantum, 2014 198

H  H't  i   (11.20)

t

Pada suatu waktu tertentu t, dengan menggunakan sifat saling melengkapi, ekspansi  (x,
t) dalam bentuk n :

 x,t   an (t)  n x e i En t / (11.21)

n

Pada keadaan Hamiltonian bergantung pada waktu, koefisien an, tidak seperti pada
persamaan (11.17), sekarang sebagai fungsi dari pada waktu. Kebergantungan pada
waktu ini merupakan suatu hal yang sangat fundamental.

Asumsikan bahwa suatu pengukuran dari energi Em yang tidak terusik pada suatu waktu t
= 0, diperoleh

am (0) = 1 (nm)
an (0) = 0
(11.22)

Selama koefisien an selaras dengan waktu, pengukuran-pengukuran berikutnya dari
energi pada waktu t, menghasilkan nilai Ek. Probabilitas dari suatu peristiwa tertentu

adalah ak t 2 , yang merupakan probabilitas untuk mendapatkan system dalam keadaan

k pada waktu t. Solusi dari persamaan Schrodinger bergantung waktu selanjutnya
memberikan suatu deskripsi mengenai penentuan probabilitas suatu system dalam
berbagai keadaan eigen n dari H seiring dengan waktu di bawah pengaruh perturbasi H’
(t).

Untuk menggambarkan evolusi system, dibutuhkan pemecahan untuk koefisien
an (t). Dengan mensubstitusi persamaan (11.21) ke dalam (11.20), diperoleh

n n    i En  e i En t /    e  i En t /   
an    
 ak 

   i an H  H'  e i En t / 
 n

n

Fisika Kuantum, 2014 199

di mana setelah mengalikan dengan  * dan mengintegrasinya, menjadi
k

i

  ak an H ' t e ikn t (11.23)
kn

n

di mana kn diberikan oleh

kn  Ek  En


Sampai pada bagian ini analisis yang dilakukan cukup eksak, dan penyelesaian
persamaan (11.23) ekivalen dengan solusi persamaan Schrodinger. Dengan penalaran
yang sama seperti yang digunakan pada bagian 11.1, telah diperkenalkan parameter 
dengan adanya perturbasi sebagai H‟ sehingga Hamiltonian menjadi

H +  H‟(t)

Ekspansi an ke suatu deret dituliskan sebagai
an  an(0)   an(1)  2 an(2)  .......

selanjutnya, disubstitusi ke persamaan (11.23), menghasilkan

ak(0)   ak(1)  2 ak(2)  .......

    ia(0)   a (1) 2 a(2)  H e' ikn t
n n n n kn
  .....

Dengan penyesuaian komponen-komponen antara ruas kiri dengan ruas kanan,
menghasilkan

ak(0)  0

  ak(1)i a(0) H ' t e ikn t
 n kn

n

  ak(2)i a (1) H ' t e ikn t
 n kn

n

Fisika Kuantum, 2014 200

  ak(2) i a(2) H ' t e ikn t (11.24)
 n kn

n

  ak(s) i ikn t
  a H t e(s 1) '
n kn

n

Solusi persamaan orde ke nol adalah a(0) = konstan. a(0) selanjutnya disebut
k k

nilai awal kasus dengan pilihan

a(0) 1
m

a(0)  0 (nm)
n

sehingga pada t = 0 sistem diketahui dengan kepastian mengisi suatu keadaan dengan
energi Em. Bagian kedua dari persamaan (11.24) direduksi menjadi

ak(1)  i H e' ikm t (11.25)
 km

a (1) (t ) 2 adalah probabilitas pada orde pertama dari system yang diperoleh pada waktu t
k

dalam keadaan k bila pada t = 0 berada dalam keadaan m.

11.6 Perturbasi Harmonik
Pada bagian ini akan dibahas kasus khusus di mana perturbasi bervariasi secara

sinusoidal dengan waktu :

H'(t)  H' eit  H'eit (11.26a)

Pemecahan H‟ (t) ke dalam dua bagian dilakukan sedemikian rupa agar bersifat Hermit.
Hasil substitusi H‟ (t) ke dalam (11.25) dan dengan melakukan integrasi adalah

a (1)(t) t   i  H ' (t') e ikm t ' dt
k 0    km

  1  H ' e i km  t  1  H '* e i km  t  1  (11.26b)
km km   mk 
km

Fisika Kuantum, 2014 201

di mana batas terendah dari integrasi adalah nol, selama a (1)  0. Selanjutnya akan
km

dibatasi masalah di mana  sama dengan | km| sehingga   Ek  Em . Transisi

probabilitas dari keadaan m ke k kemudian menjadi

2
   a(1) 24H' sin 2
 k km 1 km  t (11.27)
2

2 km   2

di mana tanda ( - ) digunakan ketika km sedangkan tanda ( + ) digunakan ketika
mk. Pernyataan pertama pada ruas kanan persamaan (11.26b) sangat besar
pengaruhnya ketika Ek>Em dan Ek – Em ~  , sedangkan pernyataan kedua akan
berpengaruh jika Ek<Em dan Em – Ek ~  . Perturbasi harmonik dapat terjadi baik oleh

transisi ke atas atau transisi ke bawah dari keadaan m ke keadaan k, dipisahkan oleh
energi  .

Untuk lebih jelasnya, akan dihitung probabilitas transisi dari m ke suatu grup
keadaan di sekitar keadaan k, di mana Ek>Em. Diberikan kerapatan keadaan akhir per
satuan km adalah  (km). Jika km, digunakan tanda ( - ) dalam persamaan (11.27)
dan diperoleh

     a(1)21 sin 2 1 km   t
2  2
   k
 H' 2 1 km   2  km d km (11.28)
km 2

Jika H' 2 bukanlah suatu fungsi kuat pada keadaan akhir k, kita dapat
km

meletakkannya di luar tandan integral. Integral sisa kemudian menghasilkan dua fungsi :

(1) g km,t   sin 21  t  dan (2)  (km)
2
2 km

 1km 
2

Plot grafik fungsi-fungsi ini dapat dilihat pada gambar 11.1, dengan variabel
bebas adalah km.

Fisika Kuantum, 2014 202

t2
(km)

 km

2
t

Gambar 11.1. Kerapatan fungsi keadaan akhir

dan fungsi probabilitas transisi

Interval dalam km, di mana fungsi

g km,t   sin 2 1  t  (11.29)
2
2 km

 1 km 
2

bernilai cukup besar, sekitar 2/ t dan dapat dibuat lebih kecil dengan meningkatkan
waktu pengamatan t. Daerah di bawah fungsi ini adalah

  
sin 2 1 km   t d km  2 t
    2 (11.30)

1 km   2
2

Pada kasus ketika t cukup besar, sehingga 2/ t, yaitu lebar g (km, t), jauh lebih
kecil dari pada , yaitu lebar  (km). Integral persamaan (11.28) menjadi

    a(1)21 ' 2  sin 2 1 km   t
2 km 2
   k
(t )  H  km   1 km   2 d km
2

 2  H' 2
2 km km  t (11.31)

dan laju transisi per satuan waktu adalah

Fisika Kuantum, 2014 203

Wmk  d a (1) (t ) 2
dt k

 2 H ' 2  E  Em   (11.32)
 km

di mana  (E) kerapatan keadaan akhir yang dinyatakan sebagai suatu fungsi energi

     E. Tanda minus digunakan ketika Ek<Em.

Hasil persamaan (11.32) konsisten dengan pernyataan laju transisi dari m ke
k , di mana k adalah suatu keadaan tunggal di dalam suatu kesatuan (continuum).

Wmk  d a (1) (t ) 2
dt k

 2 H ' 2  Ek  Em   (11.33)
 km

Jika Ek – Em -  kita gantikan argumen dari  dengan Ek  Em  . Dalam

persamaan (11.33), nyata bahwa untuk suatu rentang waktu t yang cukup panjang,

sin 2  x t 
2 
x 2  2 t (x)


2

Persamaan (11.32) dikenal sebagai aturan Fermi’s Golden (Fermi’s Golden
Rule). Perlu diingat bahwa ketika menggunakan persamaan (11.32) berlaku pada transisi
dari keadaan tunggal m ke suatu kesatuan keadaan k. Jika keadaan akhir k adalah tunggal
dan bukan merupakan bagian dari suatu bagian continuum, maka kembali ke persamaan
(11.27).

11.7 Perturbasi Fungsi Tangga
Kasus penting kedua adalah di mana perturbasi berbentuk fungsi tangga (step –

function) pada t = 0,

H‟ (t) = 0 (t 0)

Fisika Kuantum, 2014 204

H‟ (t) = H‟ (t 0) (11.34)

Situasi ini dapat dianggap sebagai suatu kasus terbatas dari perturbasi harmonik yang
telah dibahas pada bagian sebelumnya dengan  0.

Dengan menggunakan bagian kedua dari persamaan (11.24) dengan an(1)  nm
(system awalnya berada dalam keadaan m) dan meninjau kembali ke persamaan (11.32),
manghasilkan

 Wmk2 ' 2 
 H km Em  Ek

 1 H ' 2 vm  vk  (11.35)
 km

Bentuk Wm  k sama seperti pada persamaan (11.33). Perbedaan yang paling penting ada
pada fungsi delta yang merupakan suatu keadaan awal (m) dan suatu keadaan akhir dari
energi yang sama. Perlu ditekankan bahwa penggunaan persamaan (11.35), sebagaimana
persamaan (11.33), terhadap kasus di mana keadaan tunggal k adalah bagian dari suatu
continuum. Laju transisi total dari m ditentukan oleh penjumlahan Wm  k semua

keadaan akhir.

11.8 Limit Keberlakuan Golden Rule
Ada dua kondisi yang digunakan dalam menurunkan persaman (11.31) dan

(11.33). Yang pertama adalah 2 / t lebih kecil dibanding dengan lebar 2  dari 
(km). Kondisi kedua dihasilkan dari teori perturbasi orde pertama dan kenyataan bahwa

 ak(1) t 2 << 1; Kondisi kedua ini dapat diuraikan menggunakan persamaan (11.27)

sebagai

H '  1 (11.36)
km

t

Makna fisis dari pernyataan ini bahwa hasildari teori perturbasi orde pertama hanya valid
untuk waktu yang cukup singkat sehingga probabilitas untuk transisi keluar dari keadaan
awal m sangat kecil dari pada 1. Kombinasi kedua kondisi ini menghasilkan

Fisika Kuantum, 2014 205

H '  1  
km

t

sebagai limit validasi untuk persamaan (11.33) dan (11.35).

Latihan

1. Mangacu pada persamaan (11.27) atau gambar 11.1, suatu transisi dapat terjadi pada
sebuah medan listrik yang berosilasi pada frekuensi radian  antara dua keadaan k
dan m di mana Ek – Em =  + . Ketidaksesuaian energi  dapat menjadi lebih besar
~ 2 / t di mana t adalah waktu pengamatan.
Apakah hasil ini melanggar hukum kekekalan energi ? Apakah konsisten dengan
prinsip ketidakpastian dalam hubungannya dengan pengukuran waktu dan energi ?

2. Medan listrik yang terpolarisasi secara melingkar menurut
Ex = E0cost

Ey = E0sint

berinteraksi dengan atom-atom hidrogen yang berawal dari keadaan | n, l, m = 0 
menyebabkan transisi ke keadaan | n’, l’, m’ = 0 .

Apa hubungan penting atara n’, l’, m’ dan n, l, m untuk transisi ke suatu keadaan
ketika :

(a) En’>En
(b) En’<En
3. Penalaran yang sama dengan soal nomor 2 di atas, kecuali bahwa polarisasi lingkaran
berkebalikan ; yaitu

Ex = E0cost

Ey = - E0sint

4. Seperti halnya soal nomor 2, kecuali bahwa sekarang medan dipolarisasi secara linier
dalam arah z ; yaitu,
Ex = zˆ E0cost

Fisika Kuantum, 2014 206

DAFTAR PUSTAKA

Eisberg dan Resnick, 1985. Quantum Physics of Atom, Melecusls, Solids, Nucleiu, and
Particles, 2 rd, John weley.

Giancoli, Douglas C. 2001. Fisika Jilid 1. Jakarta: Erlangga.
Giancoli, Douglas C. 2001. Fisika Jilid 2. Jakarta: Erlangga.
Griffilhs, David J., 1994. Introduction to Quantum Mechanics. United States of

America: Prentice Hall.
Sears, F. W., Zemansky, M. W.,1994. Fisika Untuk Universitas 2 (Mekanika-Panas-

Bunyi). Bandung: Binacipta.
Siregar, rustam. 2010. Fisika Kuantum. Bandung: Widya Padjajaran.
Sutopo, 2001. Pengantar Fisika Kuantum: FMIPA UM.
Sutrisno. 1997. Fisika Dasar-Mekanika. Bandung: Penerbit ITB.

Wesley, Addison.1988. Phiysical Science. Canada: Wesley Publishing Company.

Young, Freedman. 2001. Fisika Universitas. Jakarta: Erlangga.

Fisika Kuantum, 2014 207

Apendiks 1
Beberapa Konstanta

Angstrom Å 10-10 m = 10-4 m = 0,1 nm
Energi Atom Hidrogen -13,6057 eV/n2, n = 1,2,…..
Jari-jari Bohr
konstanta Boltzmann a0 5,292 x 10-11 m
Konstanta Cahaya kB 1,3806 x 10-23 J/K
Konstanta Planck c 3x108 m/s
h 6,624 x 10-34 Js
Konstanta Stefan Boltzmann
Konstanta Wien 1,055 x 10-34 Js
ζ 5,6703 x 10-8 W/m2K4
λT 2,8978x10-3 mK

Fisika Kuantum, 2014 208

Apendiks 2
Beberapa Integral

∫ ∫| |

∫̂ ∫̂
∫

∫

∫∫
∫

∫ ∫∫
∫

∫∫

Fisika Kuantum, 2014 209

Apendiks 3
Transformasi Koordinat Cartesian ke Koordinat Bola

Z y
m0

r
M

x

Fungsi Hamilton (fungsi energi total) yang menggambarkan sistem atom
hidrogen tersebut adalah :

Operator Hamiltonnya :

Fisika Kuantum, 2014 210

Dalam koordinat bola operator Laplace tersebut berbentuk:

* () () +

Sehingga dalam koordinat bola, operator Hamilton: ()
̂
* ()

+

Dengan demikian pesamaan gelombang Schroedinger untuk model atom H yang
sederhana,

* () ( )
+

Untuk notasi singkat akan digunakan ( ⃗) untuk mempresentasikan

Fisika Kuantum, 2014 211

Apendiks 4
Osilator Fisis

Setiap besaran fisis suatu partikel dikaitkan dengan operatornya; misalnya
operator bagi energi total adalah Ĥ seperti diperlihat dalam persamaan:

̂

Operator energi potensial
Operator energi kinetik

Bagi suatu operator besaran fisis berlaku istilah matematik berikut:

1. Harga suatu besaran fisis adalah nilai eigen dari operatornya.
2. Setiap nilai eigen dari suatu operator berkaitan dengan suatu fungsi eigen ; nilai

eigen adalah ril.

Persamaan harga eigen:

̂
fungsi eigen partikel

nilai eigen; energi partikel
operator energi total; disebut hamiltonian partikel
3. Secara umum harga rata-rata suatu besaran fisis pada fungsi keadaannya
memenuhi persamaan

operator besaran fisis
∫̂
∫

fungsi keadaan partikel

harga rata-rata besaran fisis

Fisika Kuantum, 2014 212

Bagi fungsi keadaan yang dinormalisasi
∫̂

Andaikan:

̂
∑

Jika { } adalah fungsi-fungsi yang ortonormal

∫̂ ∑∫ ̂

∑∫ ∑

∑

Karena harga rata-rata suatu besaran fisis adalah ril maka berlaku

∫̂ ∫̂

Secara matematik, operator yang memenuhi persamaan di atas disebut operator
hermitian.

Fisika Kuantum, 2014 213

GLOSSARY

Gerak Presesi (Larmor)
Dalam model yang dianut tidak ada pertautan antara ⃗⃑, ⃗⃑, masing-masing
terkuantisasi sendiri secara tidak berantungan satu dengan lainnya. Jadi dua
medan induksi magnetik B, masing-masing terkuantisasi dalam ruang secara
tersendiri, dan juga melakukan gerak presesinya masing-masing mengelilingi
sumbu Z yang sama.

Perturbasi Orde Kedua
Tujuan utama kita pada bagian ini adalah untuk menentukan pernyataan untuk W 2 dan
2.

Perturbasi Orde Pertama
Operator Hamiltonian diberikan oleh H + H‟, di mana 0<< 1 adalah sebuah
parameter, perturbasi “aktif” jika  = 1 dan perturbasi “non – aktif” jika  = 0.

Postulat de Broglie
Keseluruhan entitas fisis di alam semesta ini dapat di kelompokkan kea lam dua
golongan besar,yaitu partikel dan gelombang. Kedua golongan entitas itu dapat dikenal
secara mudah berdasarkan kehadirannya: partikel bersifat terlokalisir sedangkan
gelombang bersifat menyebar.

Radiasi Benda Hitam
Salah satu penyebab lahirnya fisika kuantum adalah ditemukannya beberapa gejala pada
radiasi benda hitam pada akhir abad 19 yang tidak dapat dijelaskan dengan teori yang
telah ada pada saat itu. Untuk mendapatkan teori yang cocok, ternyata ilmuwan harus
merombak pemikirannya tentang konsep energi, khususnya energi radiasi. Keyakinan
lama bahwa energi bersifat malar (kontinu) dirombak menjadi kenyataan baru yang
menyatakan bahwa energi dapat bernilai diskret.

Radiasi Termal
Radiasi yang dipancarkan oleh sebuah benda karena suhunya disebut radiasi termal.
Semua benda memancarkan radiasi semacam ini ke sekelilingnya dan juga menyerap
radiasi dari lingkungannya.

Spin Elektron
Dalam kuliah fisika modern telah dipelajari tentang hasil dan magna
percobaan Stern dan Gerlach tentang pengukuran omen dipol magnetik dari
atom-atom perak. Dalam percobaan itu suatu berkas atom perak dilewatkan
melalui suatu besaran medan⃗⃗⃗⃗ tak serba sama yang arahnya tegak lurus
terhadap berkas.

Teori Perturbasi Bergantung Waktu
Teori perturbasi bergantung waktu adalah perangkat analitik untuk mengkaji transisi
sistem mekanika kuantum dari satu tingkat energi ke tingkat energi yang lain.

Fisika Kuantum, 2014 214

Fisika Kuantum, 2014 215

View publication stats