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BAC MATHS Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/

2009/2010

Cours et 283 exercices

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Fiche de cours 4ème Maths Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/

Continuité et limites

LIMITES

Soient P et Q deux fonctions polynôme de degré n et m et du monôme de plus haut degré anxn et
bnxm respectivement alors

lim P(x) = lim an x n ; lim P(x) = lim an x n lim P(x) = lim an x n ; lim P(x) = lim an x n
Q(x) bmxm x →−∞ Q(x) bmxm
x → +∞ x → +∞ x → −∞ x → −∞ x →+∞ x → +∞ x → −∞

Exemple : lim 2x 3− 2x4 + x − 1 = lim − 2x 4 = lim − 2x2 = − ∞
x2 + 5x − 1 x2 x → −∞
x → −∞ x → −∞

Limites trigonométries

lim sin( x ) = 1 ; lim tan(x) =1 ; lim 1 − cos(x) = 1 ; lim 1 − cos(x) = 0
x x x2 2 x
x→0 x→0 x→0 x →0

lim sin(ax) =a ; lim tan(ax) =1 ; lim 1 − cos(ax) = a2 ; lim 1 − cos(ax) =0
x→0 x x→0 x x2 2 x→0 x
x→0

1 − cos(x) 1 − cos(x) 1

Exemple : lim 1 − cos(x) = lim x² = lim x² = 2 = 1
x→0 x. sin(x) x→0 x. sin(x) x→0 sin(x) 1 2

x² x

Théorème d’encadrement

Soit f , g et h trois fonctions telles que :

Si f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) pour x voi sin de x0 alors lim h = l ( x0 fini on infini )
(l ∈ R) x0
 lim f = lim g = l
 x0 x0

Exemple : lim x sin 1 
x →0+ x

On a : − 1 ≤ sin 1  ≤ 1 alors pour tout x >0 : − x ≤ x sin 1  ≤ x
 x   x 

Alors on a :  x ≤ x. sin 1  ≤ x pour x voi sin de 0 alors lim x sin 1  =0
− x 
li0m+ (−x) x →0+ x
= lim x = 0

0+

Théorème de comparaison

Soit f et g deux fonctions telles que :

Si f(x) ≥ g(x) pour x voi sin de x0 alors lim f = +∞
x0
 lim g = +∞
 x0

Si f(x) ≤ g(x) pour x voi sin de x0 alors lim f = −∞ ( x0 fini on infini )
x0
 lim g = −∞
 x0

Exemple : Soit f(x) = x².(2+cos(x) ). Calculer lim f(x)
x → +∞

On a : 2 + cosx ≥ 2 + -1 alors 2 + cosx ≥ 1 ainsi f(x) ≥ x²

On a alors  f(x) ≥ x 2 pour x voi sin de x0 alors lim f(x) = +∞
li+m∞ x² = +∞ x → +∞

Théorème ; fonction composé

Soit f et g deux fonctions telles que :

lim f = y et lim g = z alors lim g o f = z ( x0 , y et z finis ou infinis )
x0 y x0

3

Exemple : lim sin 1 + πx  Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/
x →+∞  2x 

On peut écrire h = g o f avec f : x a 1 + πx et g a sin(x) et h(x) = sin 1 + πx 
2x  2x 

On a : lim f(x) = lim 1 + πx = lim πx = lim π = π
x → +∞ 2x x →+∞ 2x 2 2
x → +∞ x → +∞

et lim g(x) = 1 alors lim h(x) = 1
π x → +∞
x → 2

ASYMPTOTE

lim f(x) = ?

x→∞

lim f(x) = b lim f(x) = ∞

x→∞ x→∞

∆ : y = b est un lim f(x) = ?
x
asymptote x→∞
horizontale

lim f(x) = a lim f(x) = ∞ lim f(x) = 0
x x x
x→∞ x→∞ x→∞

lim (f(x) − ax) = ? Branche Branche

x→∞ parabolique parabolique

de directeur de directeur

(y’y) (x’x)

lim (f(x) − ax) = b lim (f(x) − ax) = ∞

x→∞ x→∞

∆ : y = ax + b est Branche
un asymptote parabolique de
oblique cœfficient
directeur a.

FONCTION CONTINUE
Définition 1 :
Une fonction f est continue en un point a si lim f(x) = f(a)

x→a

Définition 2 :
Une fonction f est continue sur un intervalle I, si elle est définie sur cet intervalle et si : pour tout réel
a de I lim f(x) = f(a)

x→a

La fonction partie entière

*) La fonction Partie entière qui à tout réel x associe le plus grand

entier relatif

inférieur à x , noté E(x) , est représentée ci-dessous.
Pour tout réel x , on a E(x) ≤ x < E(x) + 1

par exemple : E(2,2) = 2 et E(−2,2) = −3

E est-elle continue en 2 ?

Pour x ∈ [1,2[ , E(x) = 1donc lim E(x) = 1
x →2−

4

Pour x ∈ [2,3[ , E(x)=2 donc lim E(x) = 2 Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/
x →2+

Ces limites étant différentes, la fonction E n’admet pas de limite en 2.
Donc E n’est pas continue en 2.

*) la fonction Partie entière n’est pas continue sur R. Elle est continue sur

tout intervalle du type [n,n + 1[ , où n est un entier relatif quelconque.

Théorème
*)L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
*)les fonctions polynômes sont continues sur R .
*)les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine de définition c’est à dire en tout point où
le dénominateur ne s’annule pas.
*)Si f est continue en x0 et g est continue en f(x0), alors g o f est continue en x0
Théorème :

*) Soit f une fonction f définie sur un intervalle de type [a, b[ ( b finie ou infini)

Si la fonction f est croissante et majorée alors f possède une limite finie en b.
Si la fonction f est croissante et non majorée alors f tend vers +∞ en b.

*) Soit f une fonction f définie sur un intervalle de type ]a, b] (a finie ou infini)

Si la fonction f est décroissante et minorée alors f possède une limite finie en a.
Si la fonction f est décroissante et non minorée alors f tend vers − ∞ en a .

Théorème de la valeur intermédiaire
Si f est une fonction continue sur un intervalle [a,b], alors pour tout réel c compris entre f (a) et f (b) ,
l’équation f (x) = c admet aux moins une solution α∈ [a,b].
Corollaire 1 de TVI
Si f est continue sur I = [a,b] et telle que f(a) × f(b) < 0 alors il existe au moins un réel x0∈ ]a,b[ tel
que f(x0) = 0 .
Et si de plus f est strictement monotone sur I alors il existe un unique réel x0∈ ]a,b[ tel que f(x0) = 0 .
Corollaire 2 de TVI
Si f est continue sur I = [a,b] et ne s’annule pas alors elle garde un signe constante sur I
Exemple : I=[1,2] et f(x) = x3 + x – 3
f est dérivable sur I et on a : f’(x) = 3x² +1 > 0
f(1)=-1 et f(2)=7
Alors on a : f est continue sur I , f(1) × f(2) < 0 et f est strictement croissante sur I
Alors il existe un unique réel x0∈]1,2[ tel que f(x0) = 0 .

Illustrations graphiques

f ( b) y=c f ( b) y=c
c c

f ( a) f ( a)

Oaα b Oa αb

f est continue et strictement croissante sur f est continue et strictement décroissante sur

l’intervalle [ a ; b ]. l’intervalle [ a ; b ] .

L’équation f (x) = c admet une solution unique. L’équation f (x) = c admet une solution unique .

5

f ( b) y=c f ( b) y=c Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/
c c

f ( a) f ( a)

O a α1 α2 α3b Oa b

f est continue mais n’est pas monotone sur f n’est pas continue sur l’intervalle [ a ; b ] .
L’équation f (x) = c peut ne pas avoir de
l’intervalle [ a ; b ] . solutions.

L’équation f (x) = c peut avoir plusieurs

solutions

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Séries d’exercices 4ème Maths Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/

Continuité et limites

EXERCICE N°1
Calculer les limites suivantes :

x² + 2 − 3x ; lim
x −1 x →+∞
( ) ( )lim 1 − x² + 3x ; lim 2 − x + x² ; lim

x→+∞ 1 + x − x² x→1 1 + x − 2x² x→1
x² + 3x − 2x ; lim x² + 3x − x ;
x →+∞

( ) ( )lim x − 3 ; lim x + 7 − 3 ; lim axn − xan
x + 6 − 3 x→2 x + 2 − 2 x→a x − a
x →−∞
x² + 3x − x ; lim x² + 3x − 3x + 1 ; lim
x → +∞
x→3

( ) ( ) ( )(a,n)∈R×N* 1 1 xn  ; lim cos 2πx − 1 
; lim xn 1 − x − 1+ x + x² + ... +  , n ∈ N* ; lim x² + x − x² − x x→+∞  3x − 2  ;
x→−∞ x →+∞

lim cos x − 1 ; lim x− 3+ x−3 , lim x 4+ 1 − 2 , lim 4 + sin x − 2 .
x² − 9 x x→0 x
x→0 x x→3 x→0

EXERCICE N°2
Calculer les limites suivantes quand elles existent :

lim 1 − tan(x) ; lim 2 cos(x) − 1 ; lim 2 − 1  ; lim sin 3x lim (tan x − 1)1 − tan x  ;
π cos(2x) π 4 sin ²(x) − 3 x→π sin 2x tan x  1 − cos 3x π 2 
x→ 4 x → 3 x→0 x→ 2 

lim 1 − sin x + cos ²x ; limcos x − sin x  tan x ; lxi→m0 2(1 1 ) − 1  , ( )xl→ima a2 − x2 .tan πx
x→ π sin x + cos ²x − 1 π  2 2  − cos x sin ²x 2a
x → 2
2

EXERCICE N°3

On considère la fonction f définie sur [ 2 ; + ∞ [ par : f(x) = 3 x + sin x.
x−1

Montrer que , pour tout x ≥ 2 , |f(x) − 3| ≤ x 4 1 . En déduire la limite de f en + ∞
−

EXERCICE N°4

La fonction f est définie sur IR par : f (x) = 2 – 1 x .
cos

1°)) Montrer que, pour tout réel x, 1 ≤ f (x) ≤ 1 .
3

b) En déduire les limites suivantes : x →lim+∞ x (2 1 x) ; x →lim–∞ x2 +1 et x lim 0 1
– cos 2– cos x → x2 (2 – cos x)

EXERCICE N°5

Soit la fonction f : x a 3x + 2 sin x

1°)a-Montrer que pour tout x de R : 3x − 2 ≤ f(x) ≤ 3x + 2

b-En déduire lim f(x) et lim f(x)
x → −∞ x → +∞

x si x≠0
 si x=0
2°)Soit la fonction g défini sur R par : g(x) =  f(x)
1

 5

a- Montrer que g est continue en 0.

b- Montrer que pour tout x ∈ 2 ,+∞ : x 2 ≤ g(x) ≤ x 2
 3 3x + 3x −

c- En déduire lim g(x) . Interprète géométriquement le résultat.
x → +∞

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EXERCICE N°6 Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/

Soit la fonction ϕ définie sur [0 ; + ∞[ par : ϕ(x) = x + cos x
x2 +1

1°)Montrer que, pour x > 1, x −1 ≤ ϕ(x) ≤ x+1
x2 +1 x2 + 1

2°) En déduire la limite de ϕ en + ∞ .

EXERCICE N°7

Soit la fonction f définie sur  1 ,+∞ par : f(x) = − x + cos x
− 2 2x + 1

1°)Démontrer que pour tout x > − 1 on a : − x −1 ≤ f(x) ≤ − x +1
2 2x + 1 2x + 1

2°) En déduire la limite de f en + ∞ .

EXERCICE N°8

Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = x − 1 + 2 .
x² + 1

On note C f sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé

Calculer lim f(x) , lim f(x) . Interpréter graphiquement
x → +∞ x → +∞ x

EXERCICE N°8
On désigne par ζ la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

Soit f : x a 1 + xn avec n ∈ N* . Etudier suivant n lim fn (x) , lim fn (x) . Interpréter
1 + x² x
x → +∞ x → +∞

graphiquement

EXERCICE N°9

Soit la fonction f définie par f(x) = m x² + 3 − 2m x si x ≠1
 x² − 1 si x =1

2x 3 + px + 1

Déterminer m et p pour que f soit continue sur R.

EXERCICE N°10

 x² − x − ax si x ∈ ]− ∞,−1] ∪ {0}∪ [1,+∞[
 si x ∈ ]− 1,0[ ∪ ]0,1[
On considère la fonction f définie par : f(x) =  1 − x² − 1
x


1°)Etudier la continuité de f en 0.

2°)Etudier suivant a la continuité de f en 1 et -1.

3°)Existe-t-il des valeurs de a pour lesquelles f est continue sur R.

EXERCICE N°11

Soit la fonction f définie par f(x) = x² + 3 − 2 si x ∈ R − {1} et f(1)=a.
x3 − 7x² + x + 5

1°) Déterminer le domaine de définition Df de f.
2°)Déterminer le réel a pour que f soit continue en 1.

EXERCICE N°12

Soit la fonction f définie par : f(x) = x− x− x −1

(x − 1)2

1°)Déterminer le domaine de définition Df de f.
2°)Peut-on parler de limite en 0 pour f ? Justifier.

3°)Déterminer le domaine de continuité Dc de f .

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4°)Calculer lim f(x) et lim f(x) . Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/
x →1+ x → +∞

EXERCICE N°13

Calculer les limites suivantes quand elles existent :

lim x sin 1  ; lim xE 1  E 1  − x E x  ; lim xE(x) + 3
x→0  x  x →0 x  x  ; lim  2010  x→+∞ x² + sin(x) ; lim x + sin x
; lim x → +∞ 2 − sin x ;
x →0 E 1  + x x → +∞ x

x

lim (x + 1)sin x ; x sin 1  1  2 cos ² 1 − sin 1 +3
 x  sin x x .
x →+∞ x² − 1 lim − ; lim
x x→0 x + x
x→0

EXERCICE N°14
Répondre par Vrai ou Faux.

1°)Si lim f(x) = +∞ , lim g(x) = +∞ et si, pour tout réel x, f(x) > g(x), alors lim[f(x) − g(x)] = +∞
x→a x→a x→a

2°)Si lim f(x) = +∞ et si g(x)< 0 pour tout x, alors lim f(x)g(x) = −∞ .
x→a x→a

3°)Si lim f(x) = 0 , alors soit lim 1 = +∞ , soit lim 1 = −∞ .
x→a f(x) x→a f(x)
x→a

EXERCICE N°15

On admet l’existence d’une limite réelle en 0 pour f(x) = sin(x) − x
x3

1°) En transformant convenablement f(2x), trouver la valeur de cette limite.

lim tan(x) − x 1 − cos(x) − x²
2
2°) Utiliser le résultat précédent pour déterminer : et lim
x→0 x 3 x→0 x 4

EXERCICE N°16

Calculer lim 16 x − x − 3 2.x − 4 2

x→4 16(x − 4)2

EXERCICE N°17

1°)Démontrer que l’équation : x3 + x -3 = 0 admet une unique solution α ∈ ]1;2[

2°) Donner une valeur approchée par défaut de cette α à10 −1 près .

EXERCICE N°18
Démontrer que l’équation : x4 + x3 – x +1 = 0 n’a pas de solutions sur R .

EXERCICE N°18

Montrer que l’équation x3 – 5x2 + 4x + 7 = 0 admet au moins une racine réelle. Plus généralement,
montrer que toute équation polynomiale de degré impair admet au moins une racine réelle. Qu’en est-
il si le degré est pair ?
EXERCICE N°19

1°)Soit f : [0,1] → [0,1] une fonction continue. Montrer que l’équation f(x)=x admet au moins une
solution sur [0,1] .
2°)Plus générale : Soit f : [a, b] → J ⊂ [a, b] une fonction continue. Montrer que l’équation f(x)=x
admet au moins une solution sur [a, b]
3°)Soit une fonction f : [a, b] → R continue, et α,β des réels strictement positifs.
Montrer qu’il existe c ∈ [a, b] tel que : αf(a) + βf(b) = (α + β)f(c)

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EXERCICE N°20 Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/
Soit f une fonction de [a, b] dans [a, b] telle que ∀ x ≠y : f(x) − f(y) < k x − y avec 0 < k < 1
Montrer que l’équation f(x)=x admet alors toujours une et une seule solution sur [a, b]
EXERCICE N°21

Trouver toutes les applications f : R → R , continue en 0 et pour tout x de R on a : f(2x) = f(x) .

EXERCICE N°22

Trouver toutes les applications f : R → R , continue en 0 et pour tout x de R on a : f(2x) = f(x) cos x.

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Suites réelles

Théorème

Soit a un réel fini ou infinie

lim un = a, si et seulement si, lim u2n = a et lim u2n +1 = a

n→ +∞ n→ +∞ n→ +∞

Théorème

Toute suite convergente est bornée.

Théorème

Soit l et l' deux réels.

Soient (un ) et (vn ) deux suites convergentes respectivement vers l et l' .

• S’il existe un entier n0 tel que, pour tout n ≥ n0 : un ≥ 0 , alors l ≥ 0

• S’il existe un entier n0 tel que, pour tout n ≥ n0 : un ≤ 0 , alors l ≤ 0

• S’il existe un entier n0 tel que, pour tout n ≥ n0 : m ≤ un ≤ M , alors m ≤ l ≤ M

• S’il existe un entier n0 tel que, pour tout n ≥ n0 : un ≤ vn , alors l ≤ l'

Convergence et divergence

• Si ((uu)) est majorée alors (u) est convergente vers un réel l et pour tout n de I : un ≤ l
est croissante

• Si (u) est min orée alors (u) est convergente vers un réel l et pour tout n de I :
 est décroissante
(u)

un ≥ l alors nl→im+∞un = +∞
(u) est croissante

• Si (u) est non majorée

• Si (u) est décroissante alors nl→im+∞un = −∞
(u) est non min orée

Calcul de limite

• Si (u) est convergente vers l alors ( )lim f un = f(l)
 est continue en l
 f n→ +∞

• Si nl→im+∞ un =l (l fini ou inf ini) alors ( )limf un =e
 lim f(x) = e
n → +∞
n→l

Soit (u) la suite définie par un+1 = f(un )

• Si (u) est convergente vers l alors l = f(l)
 est continue en l décroissante
f

Suite adjacente

• Si (unnl→)im+∞e(us∀tnn−∈cvrIon i)s=sa0nte un ≤ vn (v n ) est alors (un ) et (vn ) convergent vers le
et

même limite

Théorème d’encadrement

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• Si ∃n 0 ∈ N / n ≥ n0 : vn ≤ un ≤ wn alors lim un = l Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/

 lim v = lim w = l n→∞
n n
n→ +∞ n→ +∞

• Si ∃n0 ∈ N / n ≥ n0 : un ≤ vn alors lim un = 0

lim v n = 0 n→∞

n → +∞

• Si ∃n0 ∈ N / n ≥ n0 : un ≥ wn alors lim un = +∞

lim w n = +∞ n→∞

n→ +∞

• Si ∃n0 ∈ N / n ≥ n0 : un ≤ vn alors lim un = −∞

lim v n = −∞ n→∞

n→ +∞

Suite arithmétique – Suite géométrique * * * Suite géométrique(s.g) * * *

* * * Suite arithmétique(s.a) * * * vn+1 = qvn

un+1 = un + r vn = v 0qn
un = u0 + nr
up = us + (p − s)r vp = v sqp−s

u2 − u1 ≠ u1 − u0 ⇒ u non s.a v2 ≠ v1 ⇒ v non s.g
v1 v0

nnl→il→mim++∞∞n1n==+0∞  0 si − 1 < q < 1
 1 si q = 1
lim qn = +∞ si q > 1
n→ +∞ 

n' existe pas si q ≤ −1

∑n 6n4+41 7foi4s 4x8

• x = x + x + ... + x = (n + 1)x

k =0 pour tout q ∈ R* − {1}
n
∑• = 1 + 2 + ... + n = n(n + 1) ∑n 1 − qn+1
k 2 1−q
• qk = 1 + q1 + ... + qn =
∑n k =0
k =0
• uk = u0 + u1 + ... + un = (n + 1)(u0 + un ) qp − qn+1
2 ∑n 1−q
k=0 = qp + qp+1 + ... + qn =
∑n (n − p + 1)(up + un ) • qk
= up + up+1 + ... + un = 2
• uk k =p

k =p

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Suites réelles

EXERCICE N°1
Montrer que : pour tout n de N* :

1°) cos π = 112 424+4244+242 +4..4. +4432 et sin π 1
2n +1 2n+1 = 12 424−4244+242 +4..4. +4432

n fois n fois

2°)En déduire que π = nL→im+∞(124n 4× 424−4422+442 +4..4. +4432 )

n fois

EXERCICE N°2

Soit α ∈ [− 1,1], on considère la fonction f définie sur par : f(x) =  1 si x ≠ 0
sin x

 α si x = 0

21 2 1
π × 4n + 1 π 4n − 1
( ) ( )1°)Soit pour tout n de N :
un = et vn = × . Calculer f un et f vn .

2°)Existe t –il un valeur de α tel que f soit continue en 0

EXERCICE N°2

Exprimer un en fonction de n .

1°) u0 =2 et pour tout n de N : un+1 = un + n

2°) u0 =3 , u1 = 2 et pour tout n de N : un+2 = 3un+1 − 2un

3°) u0 =3 , u1 = 2 et pour tout n de N : un+2 = 2un − un+1

4°) u0 = 2 et pour tout n de N* : . 3(n + 1)un = 2(n + )2 un−1
5

EXERCICE N°3

1°) Soit x un réel tel que 0 < x ≤ 1.Montrer que : pour tout k de N : (1 + x)k ≤ 1+ 2k x

2°)Soit (x) la suite définie sur N* par : xn = n3
3n

(a) Etablir l’égalité suivante : pour tout n de N* : x n +1 = 1 1 + 1 3
xn 3 n

(b) En déduire que : pour tout n ≥ 16 : x n +1 ≤ 1
xn 2

 1  n −16
2
(c) Montrer que : pour tout n ≥ 16 : xn ≤ x16 . En déduire alors x lim x n

→ +∞

EXERCICE N°4

( )Soient a et b deux réels tels que 0< a ≤ b et un la suite définie par :

ab
u1 =a+b et ∀n ∈ N * : un+1 = a + b − un .
1°) On suppose que a<b.

( )(a) Montrer que un est minorée par b .
( )(b) Etudier la monotonie de la suite un en déduire qu’elle est convergente.

13

2°) Soit v la suite définie par : ∀n ∈ N * : vn = un −b Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/
un −a

(a) Montrer que v est une suite géométrique.

(b) En déduire un en fonction de n , a et b

(c) Calculer alors lim un

n → +∞

3°) On suppose que a=b .

(a) Calculer u1 , u2 , u3 , u4 en fonction de a .

(b) Exprimer alors un en fonction de n et a puis lim un .

n → +∞

EXERCICE N°5

Soit la fonction f :R+ → R , x a f(x)= p + (p − 1)x , où p est un réel tel que p > 1

( )On considère la suite réelle u définie par u0 = 0 et ∀n ∈ N : un+1 = f un

1°)(a) Montrer que : ∀n ∈ N : 0 ≤ un ≤ p

(b) Etudier la monotonie de u .

(c) En déduire que u est convergente .

2°)(a) Montrer que : ∀n ∈ N , un+1 − p ≤ p −1 un − p
p

(b) En déduire : ∀n ∈ N , un −p ≤ p 1 − 1 n . En déduire alors lim un .
p
n → +∞

EXERCICE N°6

On considère la suite u définie par u0 = 1 et ∀n ∈ N : un+1 = 3un + 9
2un

1°) Montrer que un+1 − 3 et un − 3 sont de signes contraires.

2°) En déduire que : ∀p ∈ N , u2p ≤ 3 ≤ u2p+1 .

3°) En déduire que si u est convergente, alors lim un =3.

n → +∞

4°) Vérifier que : ∀n ∈ N * , un ≥ 2

5°) (a) Montrer que : ∀n ≥ 2 , un − 3 ≤ 3
4 un−1 − 3

 3 n −1
4
(b) En déduire ∀n ≥ 2 , un − 3 ≤3

(a) Montrer que u est convergente et précisera sa limite.
EXERCICE N°7
On considère les suites u et v définies sur N par : u0 = v0 = 0 et pour tout n de N :

un+1 = 3 − vn et vn+1 = 3 + un .

1°)Montrer que pour tout n de N on a : 0 ≤ un ≤ 3 et 0 ≤ vn ≤ 3 .

2°)Soient a et b deux suites définies sur N par : an = un − 1 et bn = vn − 1 .

1
a)Montrer que pour tout n de N on a : an+1 ≤ bn et bn+1 ≤ 2 an .

b)En déduire que pour tout n de N on a : an + 2 1 an et bn+2 1
≤2 ≤ 2 bn

( ) ( )c)En utilisant les résultats de b/, montrer que pour tout n de n : a2p ≤  1 p et b2p ≤  1 p −1 .
2 2

d)Étudier alors la convergence des suites u2p et v 2p

EXERCICE N°8

14

x3 Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/
1°) Montrer que pour tout réel positif x on a : x – 6 ≤ sinx ≤ x.

∑2°) n n²(n + 1)²
Montrer que pour tout entier naturel n : = 4
k3

k=0

( ) ∑3°)Soit x un réel positif fixé et n sin kx 
un (x) la suite définie sur N* par : un (x) = =1 n² .

k

(a) Montrer que pour tout n de N* : (n + 1)x − (n + 1)²x3 ≤ un (x) ≤ (n + 1)x .
2n 24n4 2n
( )(b) En déduire que un (x) est convergente et calculer sa limite.

∑4°) Soit v n sin3  k 
la suite définie sur N* par : vn = =1 n²

k

(a) Montrer que pour tout réel x : sin3x = 3 sinx - 1 sin3x
4 4

(b) En déduire que : vn = 3 un (1) − 1 un (3)
4 4

(c) Calculer alors : lim v n

n → +∞

EXERCICE N°8
1°)Etudier les variations de la fonction g définie par : g(x) = x3 − 5x − 1 sur R.

2°)En déduire que l'équation x3 − 5x − 1 = 0 possède trois racines a, b, c, avec a < b < c Donner des

valeurs approchées de a, b, c à 10-1 près. (On trouve : −2,2 ; −0,3 ; 2,3.)

3°)On considère la suite u définie par son premier terme u0, et par la relation de récurrence :

∀n ∈ N un+1 = 1 (un3 − 1) .
5

a) Montrer que la suite u est monotone.

b) Si la suite u est convergente, quelles sont les valeurs possibles de sa limite ?

c) Etudier la suite u dans les trois cas particuliers suivants :u0 = -3 ;u0 = 0; u0 = 3 .

EXERCICE N°10

( )1°) Soit un la suite réelle définie sur N par u0 1 = 2un
= 2 et pour tout n de N : un+1 1 + un2

( )(a) Montrer que pour tout n de N on a : 0 < un <1

(b) En déduire que un est convergente et calculer sa limite.

2°) Soit v la suite de terme général : vn = 1 − un
1 + un

(a) Montrer que pour tout n de N on a : vn+1 = v 2
n

1
(b) En déduire que pour tout n de N : vn = 32n

(c) Déduire n lim v n et l’expression de un .

→ +∞

(d) On pose pour tout n de N : pn = v 0 .v1....vn . Calculer pn puis calculer nl→im+∞ pn 
v n +1 

∑3°) N* sn 1 n−1
Soit la suite s définie sur par = n k =0 uk

15

1 Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/
< 1 + u02
( )(a)
Montrer que pour tout n∈ N * , on : 0 < 1 − un 1 − un−1

(b) En déduire que pour tout n de N , 0 < 1 − un <  4 n
5

(c) Montrer que pour tout n de N* ; 1− 5   5 n  ≤ sn ≤1. En déduire alors lim s n
n 1 − 4 
 n → +∞

EXERCICE N°11

Soit u la suite réelle définie sur N par :  u0 >0 + a  avec a ∈ R * et n∈ N
 1  un un +
un +1 =2

1°)Pour quelle valeur de u0 la suite u est constante.
2°)Montrer que pour tout n de N : un > 0
3°)On suppose dans la suite que : u0² − a ≠ 0

(a) Montrer que pour tout n de N : un ≠ a

( )(b) Montrer que pour tout n de N : un+1 − a = 1 a²
2un un −

( )(c) Montrer que pour tout n de N : un+1 + a = 1 a²
2un un +

(d) Montrer que si u est convergente elle converge nécessairement vers a

(e) Montrer que u est strictement décroissante et qu’elle converge et déterminer sa limite.

4°)Soit pour tout n de N : vn = un − a
un + .

a

(a) Calculer vn+1 en fonction de vn .

(b) En déduire vn en fonction de n et v 0 .

(c) Calculer alors : x lim v n puis x lim un

→ +∞ → +∞

3
5°)On suppose que : u0 = 2 a

(a) Montrer que pour tout n de N : un > a

1 a)

((b) Montrer que pour tout n de N : un+1 − a < 2 un −

(c) Montrer que pour tout n de N : un − a <  1 n a
2

(d) En déduire lim un

x →+∞

EXERCICE N°12

1°) Soit la fonction f : x → f(x)= 2x

1 + x²
(a) Etudier les variations de f .
(b) Résoudre dans R : f(x) = x .
(c) Montrer que si : 1 ≤ x ≤ 3 alors 1 ≤ f(x) ≤ 3

( )2°)Soit la suite réelle u définie par : u0 = 1 et ∀n ∈ N , un+1 = f un .

16

(a) Montrer que ∀n ∈ N , 1 ≤ un ≤ 3 . Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/
(b) Etudier la monotonie de u.

(c) Montrer que u est convergente et calculer sa limite.

3°) ∀n ∈ N , on pose vn = un2
3 − un2

(a) Montrer que v est une suite géométrique.

(b) En déduire l’expression de un .

(c) Retrouver lim un

n → +∞

n −1

∑4°)On pose sn = uk2 , ∀n ∈ N *
k=0
(a) Montrer que ∀n ∈ N * : n ≤ sn ≤ 3n

(b) En déduire : lim s n et lim sn
n²
n → +∞ n → +∞

5°)On pose : ∀n ∈ N * : rn = sn
n

(a) Montrer que ∀n ∈ N * : nsn+1 − (n + 1)sn+1 = nun2 − sn

( )(b) En déduire que rn est suite croissante.
( )(c) Montrer que rn est une suite convergente et trouver sa limite l .

6°)Soit n , p∈ N* tel que n > p.

(a) Montrer que : (n − p)up2 ≤ sn ≤ nun2−1

(b) En déduire que : n−p ≤ rn ≤ un2−1
n

(c) Montrer que : ∀p ∈ N * up2 ≤ l ≤ 3 . En déduire la valeur de l .

EXERCICE N°13

( ) ( )On se donne deux réels a et b tels que 0 ≤ b ≤ a. On définit les suites un et vn par les relations :

u0 =a , v 0 =b , ∀n ∈ N : un+1 = un + vn et v n +1 = un+1 + vn
2 2

1°)Etablir une relation entre un+1 − vn+1 et un − vn .
2°)En déduire l’expression de un − vn en fonction de n , a et b .

3°)En déduire l’expression de un+1 en fonction de un , n , a et b.
4°)Montrer que les suites u et v convergent vers une limite commune que l’on déterminera.

EXERCICE N°14

( ) ( )On définit des suites un et vn par : u0 , v0 > 0 et pour tout n de N : un+1 = un + vn
2

et 1 = 1  1 + 1  .
v n +1 2 un vn

( ) ( )1°)Montrer que un et décroissante et vn est croissante.

1

( )2°)Montrer que pour tout n de N : un ≥ vn et un+1 − vn+1 ≤ 2 un − vn
( ) ( )3°)En déduire que un et vn sont convergentes et ont même limite.

17

EXERCICE N°15 Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/

Soit (a , b)∈ R² tel que 0 < a < b.

( ) ( )On définit les suites  u0 = a ( ), v0 = b

un et vn sur N par :  un + vn vn un + vn
un+1 2 , v n+1 = 2
=

1°)Montrer que (un ) et (vn )convergent vers une même limite l > 0.

2°)On suppose que a = b cos φ ; 0< φ < π . Exprimer l en fonction de b et φ
2

EXERCICE N°16 n. Cn2n .
Pour tout n de N* , on pose : un = 4n

1°)Calculer u1 et un +1 .
un

2°)Prouver par récurrence que ∀n ∈ N* : un ≤ n
2n + 1 .

3°)Montrer qu’il existe l ∈ 1 , 1 tel que : lim un = l.
 
 2 n → +∞
2

4°)Montrer que ∀x > 0 : 1 ≤  x + 1  − x(x + 1) ≤ 8 1
2
4(2x + 1) x(x + 1)

5°)En déduire que ∀k ∈ N* : uk 1  − uk 3  ≤ uk +1 − uk ≤ uk − uk 1) .
8k + 2 8k + 2 8k
8(k +

6°)En cadrer up − un (pour p > n ), puis établir : ∀n ∈ N* : un ≤ l − un l
≤ 8n
4(2n + 1)

7°)En déduire la majoration suivante : ∀n ∈ N* : l − 1 + 1 un ≤ l .
8n 16n²

8°)Comment suffit-il de choisir n pour que 1 + 1 un soit une valeur approchée de l à 10-5 prés ?
8n

EXERCICE N°17

Prouver que la suite de terme générale un = 1 + 1 n est croissante sur N*.
n

EXERCICE N°18

∑On de un n (− 1)k −1 .
considère la suite terme générale = k =1
k

( ) ( )1°)Montrer que les suites u2n n≥1 et u2n+1 n≥0 sont des suites adjacentes.
( )2°)Déduire que la suite un n≥1 est convergente.

EXERCICE N°19

∑On un n (− 1)k
considère la suite de terme générale = k =0 (2k)! .

( ) ( )1°)Montrer que les suites u2n n≥0 et u2n+1 n≥0 sont des suites adjacentes.
( )2°)Déduire que la suite un n≥0 est convergente.

18

EXERCICE N°20 Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/

( ) ( )Soient les deux réels a et b, tels que 0 < a < b, et les deux suites un n∈N et vn n∈N définies par :

 u0 = a  v 0 =b
 
vn+1 = un +
( )un+1 2


= unvn un + vn et vn .

un2 + v 2
n

1°)Montrer que pour tout n de N, vn > un.

( ) ( )2°)Montrer que les deux suites un n∈N et vn n∈N sont convergentes.
( ) ( )3°)Déduire que les deux suites un n∈N et vn n∈N sont adjacentes.

11

( )4°)Montrer que la suite wn n∈N définie par son terme général wn = un + vn est constante.
( ) ( )5°)Déduire la valeur des limites des suites un n∈N et vn n∈N en fonction de a et b .

EXERCICE N°21

1°) Pour tout entier naturel n, on note Fn = 22n + 1 . Calculer F0, F1, F2, F3.

( )2°) Démontrer par récurrence que pour tout n > 1, on a : F0 × F1 × ... × Fn = Fn+1 − 2 .

3°) Montrer que la suite Fn est croissante et non majorée. Quelle est sa limite ?

EXERCICE N°22

Répondre par Vrai ou Faux en justifiant la réponse

Soient l , k et q des réels tel que 0 < k <1 et 0< x < 1.

1°)Si ∀n ∈ N : un+1 − l ≤ k un − l alors u est convergente .

∑2°) Si ∀n ∈ N : un+1 − l 1 n−1
≤ k un − l alors s est convergente tel que : ∀n ∈ N* : sn = n k =0 uk

3°) Si ∀n ∈ N : un+2 − l ≤ k un − l alors u est convergente .
( )4°) Si ∀n ∈ N : un+2 − un+1 ≤ k un+1 − un
alors lim un +1 − un =0

n → +∞

( ) ( )5°) Si ∀n ∈ N : un+1 − l ≤ k un − l + xn alors u est convergente .

6°)Si un n∈N est croissante et vn n∈N est décroissante alors (u − v)n est décroissante .

7°)Soient u et v deux suites réelles tel que :
( )Si :
lim un2 + un × vn + v 2 =0 alors lim un = lim v n = 0
n
n→ +∞ n → +∞ n → +∞
( )8°)Si
lim u0 + u1 + ... + un =l alors lim un = 0

n → +∞ n → +∞

19

Fiche de cours 4ème Maths Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/

Dérivabilités

Définition 1

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a .

On dit que f est dérivable en a s’il existe un nombre réel l tel que : lim f (a + h) − f (a) = l ou encore
h
h→0

lim f(x) − f (a) = l
x − a
x→a

Le réel l , lorsqu’il existe, est appelé le nombre dérivé de f en a , il noté f' (a)

(*) Si f est dérivable en a alors la courbe représentative de f admet au point M(a, f(a))une tangente T

d’équation : y = f' (a) (x – a ) + f(a)

Le vecteur directeur de cette tangente : est u f'1(a)

Exemple :

Soit f : x a x3 . Montrer que f est dérivable en a où a est réel quelconque.

lim f(x) − f(a) = lim x3 − a3 = lim (x − a)(x² + a² + ax) = lim(x² + a² + ax) = 3a²
x→a x − a x − a x→a x − a
x→a x→a

alors f est dérivable en a et on a : f' (a) = 3a²

Définition 2

Soit f une fonction dont le domaine de définition contient un intervalle de la forme : ]a-h , a] ( h >0)

On dit que f est dérivable à gauche en a s’il existe un nombre réel l' tel que : lim f(a + h) − f(a) = l'
h→0− h

ou encore lim f(x) − f(a) = l'
x →a− x − a

Le réel l' , lorsqu’il existe, est appelé le nombre dérivé de f à gauche en a , il noté f'g (a) .

Définition 3

Soit f une fonction dont le domaine de définition contient un intervalle de la forme : [a , h+a[ ( h>0)

On dit que f est dérivable à droite en x0 s’il existe un nombre réel l' ' tel que : lim f(a + h) − f (a) = l' '
h
h→0+

ou encore lim f(x) − f(a) = l' '
x−a
x →a+

Le réel l' ' , lorsqu’il existe, est appelé le nombre dérivé de f à droite en a , il noté f'd (a)

Conséquences :
1°) f est dérivable en a si et seulement si f'g (a) = f'd (a) nombre fini

2°)Si f est dérivable à droite de a alors la courbe représentative de f admet au point M(a, f(a)) une

demi tangente Td d’équation : Td : y = f'd (a)(x − a) + f(a) et x ≥ a

3°)Si f est dérivable à gauche de a alors la courbe représentative de f admet au point M (a, f ( a )) une

demi tangente Tg d’équation : Tg : y = f'g (a)(x − a) + f(a) et x ≤a

20

Interprétation graphiques : lim f(x) − f(a) = ∞ ou encore lim f(a + h) − f(a) = ∞ Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/
x−a h
x→a h→0

Si : Interprétation graphique :
lim f(x) − f(a) = +∞ ou lim f(x) − f(a) = −∞ Cf admet en point M(a, f(a)) un demi
x →a+ x − a x →a− x − a tangente verticale dirigé vers le haut

d’équation : x = a et y ≥ f(a)

lim f(x) − f(a) = +∞ ou lim f(x) − f(a) = −∞ alors Cf admet en point M(a, f(a))un demi
x →a− x − a x →a+ x − a
tangente verticale dirigé vers le bas
d’équation : x = a et y ≤ f(a)

Exemple :
Etudier la dérivabilité de f à droite de point d’abscisse x = 0 et interpréter la résultat tel que :

f(x) = x

lim f(x) − f(0) = lim x = lim 1 = +∞
x −0 x x →0 + x
x →0+ x→0+

alors la courbe alors Cf admet en point M(0,0) un demi tangente verticale dirigé vers le haut

d’équation : x = 0 et y ≥ 0

Approximation affine :
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a .
Si f est dérivable en a, alors : f(a + h) ≈ f(a) + f' (a)h

On dit que f(a) + f' (a)h est une approximation affine de f(a + h) , pour h voisin de zéro.

Exemple :
Trouver une valeur approchée de (3.98)3

Soit f : x a x3 ,a=4 et h = -0.02 alors f(4 − 0.02) ≈ f(4) − 2f' (4) alors (3.98)3 ≈ 63,04
100

( le calculatrice donne : 63,044792 )

Fonction composée
Si f est dérivable sur un intervalle I et g dérivable sur un intervalle J ⊂ f ( I ) alors g o f est dérivable

sur I et on a pour tout x de I : (g o f )′(x) = f′(x) × (g′ o f )(x)

Théorème de Rolle

Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] et vérifiant f(a) = f(b) .

Si f est dérivable sur ]a,b[ alors il existe au moins un élément x0 de ]a,b[ tel que : f’(x0) = 0 .

Théorème des accroissements finis

Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] et dérivable sur ]a,b[.

Alors il existe au moins un élément x0 de ]a,b[ tel que : f’(x0) = f(b) − f(a)
b−a

Sens de variation

Soit f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sue ]a,b[

Si f’(x) ≥ 0 sur ]a,b[ alors f est croissante sur [a,b]

Si f’(x) >0 sur ]a,b[ alors f est strictement croissante sur [a,b]

Si f’(x) ≤ 0 sur ]a,b[ alors f est décroissante sur [a,b]

Si f’(x) <0 sur ]a,b[ alors f est strictement décroissante sur [a,b]

Si f’(x) = 0 sur ]a,b[ alors f est constante sur [a,b]

Inégalités des accroissements finis

Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] et dérivable sur ]a,b[.

Si : existe deux réels m et M tels que : m ≤ f’(x) ≤ M pour tout x de ]a,b[

On a alors : m ≤ f(b) − f(a) ≤M
b−a

Si pour tout x de ]a,b[ : f' (x) ≤ k alors f(b) − f(x) ≤ k b − a

21

Point d’inflexion Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/

Soit x0 un réel et f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle ouvert contenant x0.
Si f’’ s’annule en x0 , en changeant de signe , alors le point I(x0 , f(x0)) est un point
d’inflexion.

Tableau de dérivé : Fonction dérivée f’ Domaine de définition de f’
Fonction f

f(x)= k ( constante) f’(x) = 0 R

f(x)= x f’(x) = 1 R
f(x)=ax+b
f(x) = xn ( n ∈ Z* ) f’(x) = a R
f’(x) = nxn-1 R si n>0 ; R* si n <0

f(x) = x f’(x) = 1 R*+
f(x) = 1 2x R*

x f’(x) = - 1
x²

f(x) = cos(x) f’(x) = - sin(x) R

f(x) = sin(x) f’(x) = cos(x) R
f(x) = tan(x) f’(x) = 1 + tan²(x) = 1
R − k π ;k ∈ Z
cos ²(x) 2

f(x) = cos(ax+b) f’(x) = - a sin(ax+b) R

f(x)=sin(ax+b) f’(x) = a cos(ax+b) R
f(x)=tan(ax+b) f’(x) = a(1 + tan²(ax+b)
 π − b 
k 2 a Z
R −  ;k ∈


Opérations sur les derives

Lorsque u et v sont des fonction dérivable sur un intervalle I

Fonction Dérivée Conditions

u+v u’ + v’
k.u ( k =constante)
k.u’
u.v
1 u’.v + u.v’
v
u − v' v ≠ 0 sur I
v v²
un ( n∈ Z* ) v ≠ 0 sur I
u u'.v − u.v'
u > 0 sur I si n ≤ 0
vou v² u > 0 sur I
n.u’.un-1

u'

2u

u'×(v'ou)

22

Séries d’exercices 4ème Maths Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/
Dérivabilités

EXERCICE N°1

On définit la fonction f de période 1 en donnant sur [0,1[ : f(x) = 2x3 + bx² + cx .

f-est-elle dérivable sur R ?

EXERCICE N°2

Comparer, sur  π  , 0.9 tan x et tan(0.9x)
0, 2 
 

EXERCICE N°3

Montrer que : ∀p ∈ N , il existe un réel c ∈ ]p,p + 1[ tel que : cos(p + 1) = cos p − sin c

EXERCICE N°4

Montrer que :

1°)Pour tout x de  π  , on a: 2 ≤ sin x ≤ x
0, 2  x
 
π

2°) Pour tout x de  π  , on a : x ≤ tan x ≤ 4 x
0, 4  π
 

3°) Pour tout x de  π  , on a : 1− 2 x ≤ cos x ≤ π − x
0, 2  π 2
 

4°) Pour tout x de  π , π  on a : π − 2x ≤ cot an(x) − 1 ≤ π −x
 4 2  2 4
 

5°) Pour tout x>0 : 1 1
≤ x +1 − x ≤
2 x +1 2x

6°)Montrer que 2 ≤ 2 −1 ≤ 3 indication: f : π , π  → R, x a f (x) = sin(x)
12 π 12 6 4 


EXERCICE N°5

Montrer que : pour tout x de  π  , on a : 2 sin x + tan x ≥ 3x
0, 2 
 

EXERCICE N°6
Soit a>0. Pour tout n de N* :

n

∑On considère la fonction polynomiale Pn définie par la relation: Pn (x) = xk − a .
k =1

1°) Montrer que l'équation Pn (x) = 0 admet une solution positive et une seule, que l'on notera xn.

Montrer que xn < a .
( )2°) Etudier le signe de
Pn+1 (xn ) . En déduire que la suite xn est monotone.

n≥1
( )3°) Montrer que la suite xn n≥1 est convergente. On note l sa limite.

Prouver que 0 ≤ l < 1.

4°) Montrer que pour tout nombre entier naturel non nul n le nombre xn est solution de l'équation:

x n +1 − (a + 1)x + a = 0. En déduire que: l = a .
a +1

EXERCICE N°7

Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on définit la fonction fn par :

23

∀x ∈ R+ : fn (x) = xn + 9x² − 4 . Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/

1) a)Montrer que l'équation fn(x) = 0 n'a qu'une seule solution strictement positive, notée un .

b)Calculer u1 et u2 .

c)Vérifier :  2
que ∀n ∈ N* un ∈ 0, 
 3 

2) a) Montrer que, pour tout x élément de ]0,1[ , on a : fn+1(x) < fn (x) .

( ) ( )b)En déduire le signe de fn un+1 , puis les variations de la suite un .
( )c)Montrer que la suite un est convergente. On note l sa limite.
( )3) a)Déterminer la limite de un n lorsque n tend vers +∞.

b)Donner enfin la valeur de l.

EXERCICE N°8

Soit f une fonction infiniment dérivable sur R(ie : ∀n ∈ N* , f est n fois dérivable sur R)

( ) ( )Telle que ∀n ∈ N* , ∃ an , bn ∈ R² / ∀x ∈ R , on a f (n)(x) = anf x + bn .
( ) ( )1°)Montrer que an n∈N* est une suite géométrique et bn n∈N* est une suite arithmétique.

2°)Calculer an et bn en fonction de n, a1 et b1 .

3°)Trouver un exemple de fonction f vérifiant les hypothèses ci-dessus.

EXERCICE N°9 :Soient f et g deux fonctions continues sur un fermé [a, b], dérivables sur ]a, b[, telles
que : f(a) = g(b) et f(b) = g(a) . (a < b)

( ) ( )1°)Montrer que qu’il existe x0 ∈ [a, b] tel que : f x0 = g x0 .
( ) ( )2°) Montrer que qu’il existe x1 ∈ ]a, b[ tel que : f' x1 = −g' x1 .

EXERCICE N°10

Soient f et g deux fonctions continues sur [a, b], dérivables sur ]a, b[, (a < b).
On suppose que ∀x ∈ ]a, b[ : g' (x) ≠ 0 .
1°)Montrer que l’on a : g(a) ≠ g(b).
2°)Soit la fonction h définie sur [a,b] par : h(x) = f(x) − f(a) − ω(g(x) − g(a)) où ω ∈ R
Calculer ω pour que l’on ait h(b) = 0 .
f' (c) f(b) − f(a)
3°)La valeur de ω étant celle de 2°), prouver que : ∃c ∈ ]a, b[/ g' (c) = g(b) − g(a)

4°)En déduire que : Si lim f' (x) = l alors lim f(x) − f(a) = l .
g' (x) g(x) − g(a)
x→a x→a

5°)Appliquer le résultat pour calculer : lim cos x − 1 ; lim sin x − x
x² x3
x →0 x→0

EXERCICE N°11
Soit f une fonction deux fois dérivable sur R.

1°)Montrer que : si f est paire alors ∃a ∈ R / f' (a) = 0
2°)Montrer que : si f est impaire alors ∃b ∈ R / f' ' (b) = 0 .

EXERCICE N°12

On donne un réel t>0. Soit la fonction fn : x a xn − t(1 − x)
1°)Prouver que, pour tout entier naturel n non nul, l’équation : fn (x) = 0 admet une solution et une
seule comprise entre 0 et 1. Soit un cette racine.

2°)Montrer que , pour tout n de N* : fn+1(un ) = −t(1 − un )2
3°)En déduire que (un) est croissante.
4°)En déduire que (un) est convergente et calculer sa limite.

24

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Fonctions réciproque

Théorème :

Soit f une fonction strictement monotone sur un intervalle I. On a alors les propriétés suivantes :

(*) la fonction f est une bijection de I sur f(I)

(*)La fonction f -1 est une bijection de f(I) sur I et on a : (x∈ I , y = f(x) ) ⇔ ( y ∈ f(I) , x = f -1 (y) )

(*)La fonction f -1 est strictement monotone sur f(I) et a la même sens de variations que f .

(*) Les courbes représentatives de f et f -1 , dans un repère orthonormé, sont symétriques par rapport

à la première bissectrice du repère (y = x)

Si est du plus f est continue sur I alors f -1 est continue sur f(I)

′(x) 1
f −1 (x)
( ) ( )Si f −1 pour tout x
est du plus f est dérivable sur I et f’(x) ≠ 0 pour tout x de I alors : = f'

de f(I)

Exemple :Soit f(x) = x + 1 .
2x + 1

Montrer que f réalise une bijection de I=  1 ,+∞ sur un intervalle J qu l’on précisera.
− 2

Correction
Expliciter f -1 (x) pour tout x de J .

On a ∀x ∈ I : f’(x) = −1 <0 alors f est strictement décroissante et continue sur I alors f réalise
(2x − 1)²

une bijection de I sur J = f(I) =  lim f (x ); lim f (x )  =  1 ,+∞
  2
x → +∞ x → (− 0 ,5 )+

Pour tout x ∈ J : y = f -1(x) équivaut à x = f(y) et y∈ I

équivaut à x= y +1 et y∈ I équivaut à : 2xy + x = y + 1 et y∈ I équivaut à y = 1−x et y∈ I
2y + 1 2x − 1

alors pour tout x de J : f -1(x) = 1 − x
2x − 1

Théorème
La fonction réciproque de la fonction f définie sur R+ par : f(x) = xn ( n ≥ 2 ) est appelée fonction
racine nième .

Pour toit x de R+ , le réel f -1(x) est noté n x .( lire racine nième de x )

f -1(x) = n x
(*) f -1 est définie , continue et strictement croissante sur R+ . elle est bijective de R+ sur R+

( )(*)Pour tout réel x de R+ , on a : n xn = x et n x n = x

(*) lim n x = +∞
x → +∞

(*) x anx est dérivable sur R+ est sa fonction dérivée est : xa n n 1 
x n −1

Exemple : Soit f(x) = 3 x − 2

1°)Montrer que f est continue sur l’intervalle I = [2,+∞[

2°)Calculer lim f(x)
x → +∞

3°)Montrer que est strictement croissante sur I .
Correction :
1°)La fonction : g : x a x – 2 est continue et positif sur I

La fonction : x a 3 x est continue sur R+ ⊃ g(I)

25

Alors la fonction f est continue sur I car f est comme composée de fonction continues. Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/

2°)on a : lim (x − 2) = +∞ et on a : lim 3 x = +∞ donc d’après le théorème sur la limite d’une
x →+∞ x → +∞

fonction composée on a : lim f(x) = +∞
x → +∞

3°)Soit a et b deux élément de I tel que a < b .

On a : a < b ⇒ a – 2 < b – 2 ⇒ 3 a − 2 < 3 b − 2 ⇒ f(a) <f(b).Alors est strictement croissante sur

I.

Résolution d’équation : xn = a
Soit a un réel et n un entier supérieur ou égale à 2 .
Si n est impair et a ≥ 0 , l’équation xn = a admet une unique solution : n a

Si n est impair et a <0, l’équation xn = a admet une unique solution : − n − a

Si n est pair et a ≥ 0 , l’équation xn = a admet comme solutions : - n a et n a
Si n est pair et a<0, l’équation xn = a n’admet aucune solution .

Théorème

Pour x et y ∈ R+ , n et p deux entiers vérifiant : n ≥ 2 et p ≥ 2 on a :

( )n xp = n x p ; n p x = np x ; np xp = n x ; n xy = n x × n y ; x = nx ( y>0)

n
y ny

Théorème
Soit u une fonction dérivable et positive sur un intervalle I et un entier n ≥ 2 .

La fonction f : x a n u(x) est continue sur I et dérivable en tout réel x de I tel que u( x ) ≠ 0

Et on a , f' (x) = u' (x)  pour tout x de I tel que u(x) > 0
n n u(x)n−1

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2009/2010

Cours et 283 exercices

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Fonction réciproque

EXERCICE N°1

On pose pour a réel strictement positif la fonction fa définie sur [ 0 , a ] par :

Pour tout x ∈[0,a] , fa ( x) = a−x .
a(a + x)

1°) Montrer que fa réalise une bijection de [0;a] sur [0;1 ]. On note fa−1 sa bijection réciproque.
a

2°) Donner le tableau des variations de fa−1 en précisant les valeurs aux bornes.

3°) Montrer que fa−1 = f1 .

a

EXERCICE N°2

Soit f la fonction définie sur [0,+∞[ par f(x) = 4x² + x + 2x + 1
1°)Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur [0,+∞[
2°)Montrer que f est une bijection de [0,+∞[ sur un intervalle J que l’on précisera.

3°)Sur quel ensemble f −1 est-elle continue ?
4°)Expliciter f −1 (x) pour x ∈ J

5°)Montrer que l’équation f(x) = x + 2 admet une solution unique α∈ 1 , 1
 4 2 

EXERCICE N°3

Soit f : x a f(x) = x.
1−x

1°)Déterminer le domaine de définition Df de f.

2°)Etudier la dérivabilité de f sur Df .

3°)Montrer que f est une bijection de [0,1[ sur un intervalle J que l’on précisera

4°) Expliciter f −1 (x) pour x ∈ J

EXERCICE N°4
Soit f : x a f(x) = 1 + x

1 + x²

1°) Etudier la dérivabilité de f sur R.
2°) Montrer que f est une bijection de R sur un intervalle J que l’on précisera

3°) Expliciter f −1 (x) pour x ∈ J

( )4°)Montrer que f −1 est dérivable sur J et calculer f −1 ' (1) .

EXERCICE N°5

On considère la fonction f définie sur [- 1,1]- {0}par : f(x) = 1 + 1 - x 2

x

On note par C sa courbe représentative dans un repère orthonormé R .

Partir A

1°)Calculer lim f(x) ; lim f(x) et interpréter les résultats obtenus
x →0+ x →0-

2°)Etudier la dérivabilité de f en point d’abscisse x=1 et interpréter le résultat obtenu.

3°) Etudier la dérivabilité de f en point d’abscisse x=-1 et interpréter le résultat obtenu.

4°)Montrer que : ∀x ∈ ]- 1,1[ - {0} : f’(x) = - 1

x2 1- x2

5°)Dresser le tableau de variation de la fonction f .

6°)Montrer que f réalise une bijection de ]0,1[sur un intervalle J que l’on précisera .

28

7°)Expliciter f -1(x) pour tout x de J . Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/
8°) Représenter dans le même repère R la courbe C et C’ de f -1 .

Partie B

Soit g la fonction définie sur 0, π  par g(x) = f(cos x)
2 

1°) Montrer que pour tout x de : 0, π  , g(x) = 1 + tan(x)
2 

2°)Etudier le sens de variation de la fonction g .

3°) Montrer que l’équation : g(x) = x admet une unique solution α dans 0, π  et vérifier que :
2 

0 < α < π
4

5°) Montrer que g réalise une bijection de 0, π  sur un intervalle K qu l’on précisera
2 

( )6°)Montrer que g -1 est dérivable sur K et ∀x ∈ K : g−1 ' (x) = 1 +2
x² − 2x

EXERCICE N°6

Soit la fonction f définie sur [1,+∞[ par : f(x) = x + x² − 1
1°)Montrer que f est dérivable sur ]1,+∞[ et calculer f’(x) .

2°)Etudier la dérivabilité de f à droite en 1 et interpréter le résultat obtenu.
3°)Dresser le tableau de variation de f .

4°)Montrer que f réalise une bijection de [1,+∞[ sur un intervalle J que l’on précisera .

5°)Montrer que pour tout x de J : f -1 (x) = 1 + x²
2x

6°)On désigne par C et C’ les courbe respectives de f et f-1 dans même repère orthonormé .

montrer que la droite D : y = 2x est une asymptote oblique à C.

7°)Tracer C et C’ .

8°)Soit g la fonction définie sur 0, π  par g(x) = f  1 
2  cos(x)

a) Montrer que pour tout x de 0, π  , g(x) = 1 + sin(x)
2  cos(x)

b) Montrer que g réalise une bijection de 0, π  sur un intervalle K qu l’on précisera .
2 

( )c) Montrer que g -1 est dérivable sur K et pour tout x de K : g−1 ' (x) = 2
1 + x²

EXERCICE N°7

Soit f : R → R ; x a x 3 + 12x + 1 si x ∈ ]− ∞,0]
 1 + x² − x si x ∈ ]0,+∞[

1°)Calculer : lim f(x) et lim f(x)
x → +∞ x → −∞

2°)Etudier la continuité de f sur Df
3°)Etudier la dérivabilité de f en o .

4°)Calculer f’(x) puis dresser la tableau de variation de f .

5°)Montrer que l’équation f(x) = 0 admet dans ]− ∞,0] une solution unique α .

Vérifier que α ∈  −1 ,0
 12

6°)Soit g la restriction de f sur ]0,+∞[.

a) Montrer que g réalise une bijection de ]0,+∞[ sur un intervalle J que l’on precisera .

b) Soit g -1 la fonction réciproque de g .

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i) Etudier la continuité et la dérivabilité de g -1 sur J Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/
ii) Expliciter g -1(x) ; pour tout x de J .

EXERCICE N°8

 x² + 1 − 1 x >0
 f(x) = si
Soit f : x a  x² si
f ( x ) tan 
= 1  x + π  − π ≤ x ≤ 0
2 4 4

1°) Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur sa domaine de définition.

2°)Soit g la restriction de f à  π ,0 .
− 4

a- Montrer que g est une bijection de  π ,0 sur un intervalle J que l’on précisera.
− 4

( )b- Déterminer le domine de dérivabilité de g−1 , puis expliciter g−1 ′(x)

3°)a-Monter que l’équation g(x) + x = 0 admet une solution unique  π ,0
α ∈ − 4

( ) ( )b-En déduire que le point I(− α, α) ∈ ζg−1 I D où ζg−1 est la courbe représentative de g−1 dans

un repère orthonormé et D est la droite dont une équation cartésienne est : y = -x .

EXERCICE N°9

Soit f la fonction définie sur  π , π  par : f(x) = tan x .
− 2 2 

1°)Montrer que f réalise une bijection de  π , π  sur R.
− 2 2 

2°)Soit h la fonction réciproque de f. Montrer que h est dérivable sur R et calculer h' (x) pour tout

x ∈R

3°)Soit φ la fonction définie sur [0,1[ par : ϕ(x) = h1 + x  .
1 − x

a- Montrer que ϕ est dérivable sur [0,1[ et calculer ϕ' (x) pour tout x ∈ [0,1[.

b- En déduire que : ∀x ∈ [0,1[, ϕ(x) = π + h(x) .
4

4°)Soit g la fonction définie sur [0,1[ par : g(x) = h 1 + x  − (1 + 2x)h(x) .
 1 − x 

a- Montrer que g est deux fois dérivable sur [0,1[ et calculer g' (x) et g′′(x) .

b- Etudier les variations de g' sur [0,1[puis en déduire celles de g .

c- En déduire qu’il existe un unique réel c ∈ ]0,1[ tel que c = tan π
8c

5°)a-Montrer que l’équation : h(2 − x) = 2h(x) admet au moins une solution α ∈ R

b-Montrer que α vérifier : α3 − α2 − 3α + 1 = 0

EXERCICE N°10

Soit f : x a 3 x + 1 − 1
x +1 −1

1°)Déterminer le domaine de définition Df de f.
2°)Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur Df .
3°)Montrer que f admet un prolongement par continuité en 0, définir ce prolongement.

30

EXERCICE N°11 Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/

Soit f la fonction définie sur 0, π  par : f(x) = 3 2 cos x −1
3 

1°)Etudier le dérivabilité de f sur 0, π  .
3 

2°)Montrer que f est une bijection de de 0, π  sur [0,1].
3 

( )3°)Soit f −1 la réciproque de f, calculer f −1 ′ 3 3 − 1 

4°)Préciser le domine K de la dérivabilité de f −1 .

( )5°)Déterminer l’expression de f −1 ′(x) pour tout x de K.

EXERCICE N°12

Soit f la fonction définie sur [0,+∞[ par f(x) = x + 3 x .

1°)Soit x ∈ ]0,+∞[. Montrer que pour tout β ∈ [x, x + 1] on a: 1 + 1 ≤ f ′( β ) ≤ 1 +1
3.3 x²
3.3 (x + 1)²

2°)En déduire que pour tout x ∈ ]0,+∞[ on a : 3.3 1 +1 ≤ f ′(β) ≤ 1 +1
3.3 x²
(x + 1)²
( )3°)En déduire lim 3 x + 1 − 3 x
x → +∞

EXERCICE N°12



 x3 si x≤0
 2x² si 1
Soit f : R →R ; x a f(x)=  0 < x < 2
si
x + 2x − 1 x ≥ 1
2

1°)Etudier la continuité de f sur R
2°)Montrer que f réalise une bijection de R sur R.


 −3 −x
3°)Etablire que : f −1 (x) =  x si x ≤ 0

 2 si 0 < x < 1
2

x + 1 − 2x si x ≥ 1
2

EXERCICE N°13

Soit f la fonction définie sur 0, π  par : f(x) = 1
2  sin(x)

1°)Etudier les variations de f .

2°)Montrer que f est une bijection de 0, π  sur un intervalle I que l’on déterminera .
2 

3°)On désigne par g la fonction réciproque de f. Calculer : g(1) , g( 2 ) et g(2).

4°)Montrer que g est dérivable sur I et que : ∀x ∈ I : g' (x) = − 1
x 1 + x²

5°)Soit h la fonction numérique définie sur 0, π  par : h(x) = f(x) + 1
2  4

Montrer que l’équation h(x) = x admet une solution unique x0 telle que : π < x0 < π.
3 2

31

EXERCICE N°13 Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/

Partie I : On considère la fonction g définie sur [0,1[ par : g(x) = 2x .
1 − x²

1°)Montrer que g n’est pas dérivable à droite en 0.

2°)Etudier les variations de g et en déduire que g admet une fonction réciproque g−1 définie sur un

intervalle I que l’on déterminera.
3°)Expliciter g−1(x) pour x ∈ I

4°)Vérifier que pour tout x ∈ 0, π  : g tan x  = tan x .
2   2

Partie II : On considère la fonction f définie sur 0, π  par : f(x) = 2 tan x − 1
2 

1°)Etudier la dérivabilité de f à droite en 0. Interpréter graphiquement le résultat.

2°)Dresser le tableau de variations de f et en déduire que f est une bijection de 0, π  sur un
2 

intervalle J que l’on déterminera.

3°)Montrer que pour tout x de 0, π  : f' (x) >1.
2 

4°)Montrer que l’équation f(x) = x admet dans 0, π  une solution unique α et vérifier que
2 

α ∈  π , π 
 6 4 

5°)En déduire le signe de : f(x) – x

6°) On considère la suite u définie sur N par  u0 =2
 f −1 (un )
un+1 =

a- Montrer que pour tout n de N : un ≥ α

b- Montrer que la suite u est décroissante.

c- En déduire que u est convergente et donner sa limite.

Partie III : On considère la fonction définie sur 0, π  par ϕ(x) = tan x
2 

1°)Montrer que ϕ admet une fonction réciproque ϕ−1 définie sur un intervalle J' que l’on déterminera.

( )2°)Montrer que pour tout x de ]0,+∞[ on a : ϕ−1 ′(x) = 1 2x
+ x4

] [3°)Calculer ϕ−1 (1) et montrer que pour tout x de 0,+∞ : ϕ−1 (x) + ϕ−1  1  = π

x 2

EXERCICE N°14

Partie I : Soit la fonction f définie sur ]− 1,1[ par : f(x) = −1 + x

1 − x²

1°)Etudier les variations de f.

2°)Montrer que l’équation f(x) = x admet dans ]− 1,1[ un solution unique α et que α> 4
5

3°)En déduire le signe de f(x) – x .

4°)Montrer que f réalise une bijection de ]− 1,1[ sur R.

5°)Montrer que , pour tout x de R on a : f −1 (x) = x +1

1 + (x + 1)²

[ ]Partie
II : Soit la suite u définie sur N par unu+10 ∈ 0, α
= f −1 (un )

1°)a-Montrer que , pour tout n de N, 0 ≤ un ≤ α .

32

b-Montrer que la suite u est croissante. Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/
c-En déduire que u est convergente et calculer sa limite.

( )2°)Montrer que pour tout x ∈ R + on a : f −1 ′(x) ≤ 1
22

3°)Montrer que pour tout n de N on a : un+1 − α ≤1 un − α .
22

4°)En déduire que pour tout n de N on a : un −α ≤  1 n u0 −α . Retrouver lim un .
22
n→ +∞

Partie III : Soit la fonction h définie sur ]− 1,1[ par : h(x) = f  − sin π x   .
 2 

1°)Montrer que pour tout x de ]− 1,1[ : h(x) = −1 − tan π x 
 2 

2°)Montrer que h établit une bijection de ]− 1,1[ sur R.

( )3°)Montrer que h−1 h−1 ′(x) −2
est dérivable sur R et que = π(1 +
(x + 1)²)

4°)Soit pour tout x de R* la fonction H tel que : H(x) = h−1 (x − 1) + h −1  1 − 1 .
 x 

a- Montrer que H est dérivable sur R et déterminer H′(x) .

b- Calculer H 1  et H − 1  . En déduire que : HH((xx))==−11 si x >0
 2   2 si x<0

∑5°)Pour tout n de N on a : vn = n  h −1  1  + h−1  − 1   et wn = vn .
k =1  k   k  n

a- Donner la valeur de H1 + 1  . En déduire que : ∀k ∈ N * : h −1  1  + h−1  − 1  = −1
 k  k   k +1

b- Montrer que pour tout n de N* : vn = n − h−1  − n 1 1  . En déduire que la suite w est
 + 

convergente et donner sa limite.

33

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Primitives

On note par , I : un intervalle de R et f une fonction définie sur I
Définition :
Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I et telle que : pour tout x de I on a :
F′(x) = f(x)

Théorème 1
Toute fonction continue sur I admet une primitive sur I
Théorème 2
Soit f une fonction continue sur I, alors f admet une infinité de primitives sur I et si F est l’une d’entres
elles, toute autre primitive G de f sur I est définie par : G(x) = F(x) + constante
Théorème 3
Soit f une fonction continue sur I. x0 est un réel donné de I et y0 est un réel donné.
Alors il existe un primitive G de f sur I et une seule telle que G(x0) = y0
Théorème 4
F et G sont des primitives respectives de f et g sur I, alors :aF+ bG est une primitive de af + bg sur I
Primitives des fonctions usuelles
F désigne une primitive de la fonction f sur un intervalle I et a , ω, φ des réels avec ω ≠ 0

fI F

xaa R x a ax + c
x a xn , n ∈ N* R x n+1
x a n +1 + c

x a 1 , n ∈ N* − {1} ]0,+∞[ou ]− ∞,0[ x a x −n+1 + c
xn −n+1
[0,+∞[ xa 2x
xa x 3 x +c
R
x a cos x R x a sin x + c
x a sin x R
x a − cos x + c
x a sin(ωx + φ)
x a − 1 cos(ωx + φ) + c
x a cos(ωx + φ) R
ω
 π
− 2  x a 1 sin(ωx + φ) + c

ω

x a 1 + tan ²x π , x a tan x + c
2

Calcul de primitives
F désigne une primitive de la fonction f sur un intervalle I et u et v deux fonctions dérivable sur I.

34

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Primitives

EXERCICE N°1 O
La parabole ci-contre est la courbe représentative d’une fonction
polynôme du second degré f dans un repère orthogonal.

( i =1 ; j =5)

Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une courbe ne représente pas une primitive

de la fonction f . Laquelle ? (justifier la réponse)

Figure 1 Figure 2 Figure 3

O
OO

EXERCICE N°2
Déterminer les primitives de chacune des fonctions suivantes sur l’intervalle I.

1°) f:x a 2x + 1 ;I=R
(x² + x + 1)²

2°) f : x a (2x + 1)(x² + x + 1) ; I = R

3°) f : x a 2x + 1
x² + x + 1

4°) f : x a (2x + 1) sin(x² + x + 1) ; I = R

5°) f : x a sin x + x cos x ; I = R

6°) f : x a x ; I = ]-1,1[
1 − x²

7°) f : x a 1 ; I =]0, π[
sin ²x

8°) f : x a cosx.cos2x ; I = R

9°) f : x a x cos x + sin x ; I =]0,+∞[
x²

10°) f : x a x +1 ; I =] − 2,0[

(x² + 2x)3

EXERCICE N°3
1°)Déterminer trois réels a, b et c tels que : x2 = a.(x - 1)2 + b.(x - 1) + c.

2°) En déduire les primitives de f sur R tel que ( )f(x) = x 2 x − 1 2009

EXERCICE N°4
Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = x.cos x.
1°)Déterminer la dérivée de la fonction g définie sur R par : g(x) = x.sin x.
2°)En déduire une primitive de f sur R

EXERCICE N°5
Soit la fonction f définie sur R par : f(x) = acosx +bcos3x où a et b deux réels .
1°)Calculer f′(x) et f′′(x)

2°)Comparer f(x) et f′′(x) En déduire les primitives de f dans R .

35

EXERCICE N°6 Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/

Soit la fonction f définie par : f(x) = 8x
(x² − 4)²

1°)Prouver qu’il existe deux réels a et b telles que : pour tout x de R − {− 2,2}: on ait :

f(x) = a + b
(x − 2)² (x + 2)²

2°)Déduire les primitives sur ]− 2,2[ de f .

EXERCICE N°7

Soit f la fonction définie sur l’intervalle I = ]-∞ ; 2[ par : f(x) = x(x − 4)

(x − 2)2

1°) Déterminer les réels a et b, tels que pour tout réel x de l’intervalle I = ]-∞ ; 2[ : f(x) = a + (x b

− 2)2

2°) En déduire la primitive de f sur l’intervalle I = ]-∞ ; 2[ qui s’annule en x = 1.

EXERCICE N°8

1°)Déterminer une primitive sur 0, π  de la fonction : xa 1
4  cos ²x

2°)On considère le fonction G, définie sur 0, π  par : G(x) = sin x .
4  cos3 x

Montrer que G est dérivable sur 0, π  , et que : G′(x) = 3 x − 2
4  cos 4 cos ²x

3°)En déduire une primitive, sur 0, π  , de la fonction : f :x → 1 x
4  cos 4

EXERCICE N°9

Soit la fonction f définie sur  ∞, 3  par : f(x) = (x² + x + 1) 3 − 2x
− 2 

1°)Montrer que : x² = (3 − 2x)² − 3(3 − 2x) + 9
4 2 4

2°)Déterminer alors le primitive de f dans  ∞, 3  qui s’annule en 1
− 2 

EXERCICE N°10

1°)Montrer que la fonction f : x → 1 1 admet des primitives sur R.
+ x²

On notera alors F la primitive de vérifiant F(0)=0.

2°)Etudier la parité de F et préciser le sens de variations de F sur R.

3°)Etudier les variations de la fonction sur ]0,+∞[

4°)En déduire qu’il existe une constante c telle que, pour tout x > 0 , on ait : F(x) = c − F 1 
 x 

5°)Montrer que lim F(x) = c
x → +∞

6°)On pose, pour tout x de  π , π  , g(x) = tan x .
− 2 2 

a- Montrer que la fonction ϕ : x a F o g(x) − x est dérivable sur  π , π  , et calculer ϕ' (x) .
− 2 2 

b- En déduire que, pour tout x de  π , π  , F o g(x) = x .
− 2 2 

36

( )c- et F 3  Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/
Déterminer alors F(1),F 3 3

d- Montrer que c = π
2

EXERCICE N°11

Soit la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : f(x) = x2 +1 .
x2 + x +1

1°) a) Calculer la limite de f en +∞.

b) Etudier les variations de f sur [0 ; +∞[ et dresser son tableau de variations.

2°) Soit F la primitive de f sur [0 ; +∞[ telle que F(0) = 0. On ne cherchera pas à exprimer F(x).

a) Pourquoi peut-on affirmer l’existence de F sur [0 ; +∞[ ?

b) Quelles sont les variations de F sur [0 ; +∞[ ?

3°) On définit sur [0 ; +∞[ les fonctions H et K par H(x) = F(x) – x et K(x) = F(x) – 2 x.

3

a) Etudier, sur [0 ; +∞[, les variations de H et K.

b) En déduire que, pour tout x ≥ 0, on a : 2 x ≤ F(x) ≤ x.

3

c) En déduire la limite de F en +∞.

4°) a) Démontrer que l’équation F(x) = π admet une solution unique α sur [0 ; +∞[.

b) Montrer que l’on peut préciser : π≤α≤ 3 π.
2

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BAC MATHS Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/

2009/2010

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Intégration

Notion d’intégrale d’une fonction

Le plan étant muni d'un repère orthogonal (O ; i , j ) , on définit les points I, Jet K par OI = i , OJ = j
et OIKJ rectangle.
L'aire du rectangle OIKJ définit alors l'unité d'aire (u.a.).

Aire et intégrale d'une fonction positive

Définition
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] et C sa courbe représentative dans le

repère (O ; i , j )

∫L'intégrale de a à b de f est le réel noté bf(x)dx , égal à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine
a

D délimité par C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b.

Remarque
a et b sont les bornes de l'intégrale et x est une variable muette :
elle n'intervient pas dans le résultat. On peut la remplacer par les lettres t ou

∫ ∫ ∫u, ainsi : bf(x)dx = bf(t)dt = bf(u)du
a aa

Valeur moyenne

Définition

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] avec a < b. La valeur moyenne de f sur

∫[a ; b] est le réel µ = 1 b
b−a a
f ( x )dx

La valeur moyenne de f sur [a ; b] est donc le réel µ tel que le rectangle de dimensions µ et b - a soit
de même aire que le domaine D délimité par la courbe représentant f, l'axe des abscisses et les droites
d’équations
x = a et x = b

Intégrale et primitive

Intégrale d’une fonction continue, positive et croissante sur un intervalle [a ; b]

Théorème :

Soit f une fonction continue, positive et croissante sur un intervalle I = [a ; b] . On note C, sa courbe

représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.

∫On définit sur [a; b] la fonction A : x a x et on fixe x0 dans [a ; b]

f(t)dt

a

39

la fonction A est dérivable sur I et sa dérivée est f Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/

Primitive d’une fonction continue

Théorème

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b]

∫*)La fonction Φ définie sur [a ; b] par Φ(x) = x f(t)dt est :L’unique primitive de f sur [a ; b] qui
a

s’annule en a

Remarques

• La fonction Φ, définie dans le théorème, est donc dérivable sur [a ; b] , de dérivée f

Ce résultat montre que toute fonction continue sur [a ; b] admet une, donc des primitives sur [a ; b]

Plus généralement, toute fonction continue sur un intervalle I quelconque admet des primitives

∫• Soit F une primitive quelconque de f sur [a ; b], alors bf(t)dt = F(b) - F(a)
a

*)Soit u une fonction dérivable sur un intervalle J tel que u(J) ⊂ I . Alors la fonction F définie sur J par

∫F(x) = u(x) est dérivable sur J et F' (x) = u' (x)f(u(x)), pour tout x de J.

f(t)dt
a

*)Soit I un intervalle centré en 0 et soit a un réel de I.

∫• Si f est impaire alors a f(t)dt = 0
−a

∫ ∫• Si f est paire alors a f(t)dt = 2 a f(t)dt
−a 0

a+ T f(t)dt = T
∫ ∫•
Si f périodique de période T alors f(t)dt
a0

Propriétés de l’intégrale

Relation de Chasles

Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous réels a, b et c de I, on a :

∫ ∫ ∫cf(x)dx = c
b +
f ( x )dx
f ( x )dx
aa b

Linéarité

Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et k un réel.

Pour tous réels a et b de I, on a :

b b ∫ ∫b b
(k.f )( x )dx
∫ ∫ ∫(f + g)(x)dx g(x)dx f ( x )dx
= b + et =k×

f(x)dx
a aa aa

Intégrales et inégalités
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I de , et a, b deux réels appartenant à I.

b b

∫Si a ≤ b et f ≥ 0 sur l'intervalle I, alors f(x)dx ≥ 0. ∫Si a ≤ b et f ≤ 0 sur l'intervalle I, alors f(x)dx ≤ 0.

a a

b b

∫Si a ≥ b et f ≥ 0 sur l'intervalle I, alors f(x)dx ≤ 0. ∫Si a ≥ b et f ≤ 0 sur l'intervalle I, alors f(x)dx ≥ 0.

a a

Conservation de l’ordre

Soit f et g deux fonctions continues sur [a ; b]. Si f ≤ g sur [a ; b], c'est-à-dire si, pour tout réel x de

bb

∫ ∫[a ; b], f(x) ≤ g(x) , alors f(x)dx ≤ g(x)dx

aa

Inégalités de la moyenne
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de I.

Si a ≤ b et s'il existe deux réels m et M tels que m ≤ f (x) ≤ M, pour tout réel x de [a ; b]

40

b Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/

∫alors m(b – a) ≤ f(x)dx ≤ M(b – a)

a

b

∫S'il existe un réel M positif tel que | f | ≤ M sur I, alors f(x)dx ≤ M | b – a |

a

Intégration par parties
Soit u et v deux fonctions dérivables sur l'intervalle I telles que u' et v' soient continues sur I. Pour tous

bb

∫ ∫réels a et b de I, on a : u' (x) × v(x)dx = [u(x) × v(x)]ba − u(x) × v' (x)dx

aa

Aire d'un domaine compris entre deux courbes

Théorème :

Soit f et g deux fonctions continues, a et b deux réels de I tels que a ≤ b.

b

∫l'aire en u.a. du domaine limité par les courbes C f et C g sur [a, b] est le réel g(t) − f(t) dt

a

J b
a

J OI J b
O Ia b cd

O Ia

b b cdb

A = ∫ f(x)dx A = −∫ f(x)dx A = ∫ f(x)dx − ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx

a a acd

Volume d'un solide
L'espace est muni d'un repère orthonormal (0, J, J, K) et l'unité de volume (u.v.) est le volume du cube
construit sur (0, J, J, K).
Théorème

On considère un solide (Ɖ) limité par les plans parallèles d'équations :
z = a et z = b (a ≤ b)

z = a et z = b (a ≤ b).
Pour tout z (a ≤ z ≤ b), on note :

• P z le plan perpendiculaire à (Oz) et de cote z ;
• S z l'aire de la section du solide par le plan P z.
Lorsque S est une fonction continue sur [a, b] , le volume V du solide est calculé (en u.v.) par :

b

V = ∫ S (z) dz .

a

Soit f une fonction continue et positive sur [a,b]. le volume V du solide de révolution engendré par

( )la rotation de l’arc∩
= {M(x, y) / y = f(x) et a ≤ x ≤ b} autour de l’axe O, i est le réel :
AB

b

∫V = π f 2 (x)dx

a

41

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Intégration

EXERCICE N°1
Calculer les intégrales suivants :

π π π π 1 x 2009
−1 x14 + 1
2 sin ² t dt 2 cos ² x dx , 4 tan ² x 2 sin tx dt ,

0 0 0 0
∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )4 t − 2dt ,

0
2 x − x − 1 dx , , dx , dx ,

−1

x π π 1 t 1 − tdt , π2 x cos x − sin x ,
π4 x
dx , 2 t sin(t)dt , 2 t² sin(t)dt , 0

0
1 0

∫ ∫ ∫ ∫ ∫0
x² + 1

∫1 (2t + 1) sin π(t² + t + 1)dt

0

EXERCICE N°2

On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = sin4 x

1°)Exprimer sin2 x ainsi que cos²x en fonction de cos2x.

2°)Exprimer sin4 x en fonction de cos2x et cos4x

π

∫3°)Calculer 8 f(x)dx
0

EXERCICE N°3

1°)Soit f une fonction dérivable sur [a, b]et sa dérivé f′ est continue sur [a, b].

∫ ∫Montrer que b xf ′(x)dx + b f(x)dx = bf(b) − af(a)
aa

11 x dx

∫ ∫2°)Calculer x + 1dx et en déduire
0 0 x +1

EXERCICE N°4

Soit f la fonction définie par : f(x) = 4 x − x pour tout x de [0,4].

1°)Montrer que f admet une fonction réciproque f −1 que vous calculez.

a f(a) f −1 (y)dy

f (x )dx
∫ ∫[ ]2°)Soit a ∈ 0,4 , calculer les intégrales : I(a) =
et J(a) =
00

3°)Vérifier que I(a) + J(a) = af(a) . Interprétez géométriquement cette dernière relation.

EXERCICE N°5

∫On considère l’intégrale : 1 xn , n∈N.
In = 1 − xdx
0

1°)Justifier l’existence de In et déterminez une relation de récurrence de In et In−1 pour tout n de N*.

∫2°)Calculer I0 =1 1 − xdx et I1
0

3°)Calculer In en fonction de n.

4°)En faisant un changement de variable et en utilisant la formule du binôme, donnez un autre

expression de In .
EXERCICE N°6

( )Dans le plan P orienté par un repère orthonormé O, i, j .

1°)Soit f la fonction numérique à variable réelle définie par f(x) = x + 4 − x² .

Etudier f et construire sa courbe ζ1 dans P.

∫[ ]2°)oit g la fonction définie sur 0, π par g(x) = 2 cos x 4 − t²dt .
0

a)Montrer que g est dérivable sur [0, π] et que g' (x) = −4 sin²x .

b)Calculer g π  . En déduire l'expression de g(x) en fonction de x .
2

42

3°)On note par ζ2 l'image de ζ1 par le symétrie centrale de centre O et on pose ζ = ζ1 U ζ2 . Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/

( )Construire ζ2 et donner une équation cartésienne de ζ dans le repère O, i, j .

EXERCICE N°7

π
∫La suite de Wallis définie par : wn 2 (cos t)n dt
= où n est un entier naturel
0

1°) Calculer w0 et w1
2°) Montrer que la suite ( wn ) est décroissante

3°) Montrer, pour tout entier naturel n : wn ≥ 0. En déduire que la suite ( wn ) est convergente.

4°)Montrer que pour tout n de N : wn+2 = n +1 wn
n+2

5°)Montre que pour tout n de N : w 2n = π.C n et w 2n +1 = 4n (n!)²
2n (2n + 1)!

2 × 4n

6°)Montrer pour tout entier naturel n, 0 < 2n + 1 ≤ w 2n +1 ≤ 1
2n + 2 w 2n

En déduire que Lim w 2n+1 =1
n→+∞ w 2n

7°)Etablire la formule de Wallis : nL→im+∞ 1 2 × 4 × 6 × ....... × 2n 2 1 = π
× 3 × 5 × ......× (2n − 1) 2n + 1 2

8°) Montrer que la suite (un) de terme général un = (n )+ 1 wnwn+1 est constante.

EXERCICE N°8

∫Soit In = 1 (x 2 − 1)n dx .

−1

1°) Démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : (2n + 1) In = -2n In-1.

2°) En déduire l'expression de In en fonction de n.

EXERCICE N°9

∫p et q étant deux nombres entiers positifs ou nuls, on pose : B(p, q) = 1 tp (1 − t)q dt .
0

1°) Comparer B(p, q) et B(q, p).

2°) Etablir la relation : B(p, q) = q p 1 B(p − 1, q + 1) (p ≥ 1).
+

3°) Calculer B(0, n) pour tout n appartenant à N ; en déduire B(p, q).

EXERCICE N°10

Pour n entier naturel non nul on définit la suite (Sn) par :Sn =1 + 1 + 1 +K+ 1
21 / 3 31 / 3 n1 / 3

1 k +1 dx 1
(k + 1)1 / 3 k x1 / 3 k1/ 3
∫1°) Justifier pour k entier naturel non nul l'encadrement : ≤ ≤

n +1 dx n dx
1 x1 / 3 1 x1 / 3
∫ ∫2°) En déduire l'encadrement :
≤ Sn ≤ +1.

3°) que peut-on dire de la suite (Sn) ?

4°) A l'aide d'encadrements analogues, montrer que la suite (Tn) définie par :

Tn = 1+ 1 + 1 +K+ 1 est convergente.
24/3 34 /3 n4 /3

EXERCICE N°11

∫On définit la suite u par :un = π / 4 tan2n+ 2 (t) dt .

0

1°) a) Rappeler la valeur de la dérivée de la fonction tangente sur  π , π 
− 2 2 

b) Calculer alors u0.
2°) Montrer que la suite u est décroissante.

43

3°) Montrer que quel que soit n dans N : un+1 + un = 1. Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/
2n + 3

4°) En déduire que pour tout n dans N : 1 ≤ un ≤ 1 puis calculer lim un et lim 2nun
2(2n + 3) 2(2n + 1)
n→∞ n→∞

∑5°) On pose Sn = n (−1)k
k =0 2k + 1

a) Montrer que pour tout n dans N : Sn = π + (−1)n un
4

b) En déduire la limite de Sn lorsque n tend vers +∞.
EXERCICE N°12

∫On considère le fonction f définie par : f(y) = π sin(xy)dx .
π x
2

1°)Justifier l’existence de f pour tout y de R.

2°)Montrez, en utilisant la formule de la moyenne que , si a et b deux réels, tels que a < b, il existe

c ∈ [a, b], tel que sin b − sin a = cos c.
b − a

3°)Montrez les inégalités sin b − sin a ≤ b − a et cos b − cos a ≤ b − a , pour tout a et b de R.

∫4°)Soit π
y0 ∈ R . On pose A = π cos( xy 0 )dx .

2

Montrer que lim  f(y) − f(y0 ) − A  = 0 . En déduire que f est dérivable au point y0 et exprimer
y − y0
y →y0

f' (y0)
EXERCICE N°13

Soient f et g des fonctions continues sur [a, b].

∫1°)a-Quel est le signe de b [f(t) + xg(t)]2 dt , où x désigne un nombre réel ?.
a

 b  2 b [f(t)]2 dt × b [g(t)]2 dt
 a 
a a
∫ ∫ ∫b-En déduire l’inégalité suivante, appelée de Schwarz : f
(t)g(t )dt ≤

2°)Démontrer que si f et g sont positives sur [a, b] (a < b)et pour tout x de [a, b]: f(x) × g(x) ≥ 1 , alors :

∫b ∫f(x)dx b g(x)dx ≥ (b − a)²

aa

EXERCICE N°14

Soient f et g des fonctions continues sur [a, b]. (a < b)
1°)Justifier , l’existence de deux réel m et M tel que , pour tout x de [a,b] : m ≤ f(x) ≤ M

∫ ∫2°)Démontrer que si g(x) garde une signe constante sur [a, b] alors m ≤ b f(t)g(t)dt
a ≤M

b g(t)dt
a

EXERCICE N°15

Soient f une fonction continues sur [a, b].
1°)Justifier , l’existence d’un réel M tel que , pour tout x de [a, b] : f(x) ≤ M

Par la suite on suppose que a < b et M >0.

∫2°)Prouver que b f(t) n dt ≤ (b − a)Mn .
a

∫3°)Démontrer que lim n b f(t) n dt ≤ M
n→ +∞ a

4°)Démontrer que , quel que soit le réel ε > 0 , il existe un intervalle [α, β] ⊂ [a, b] tel que, pour tout x
de [α, β]: f(x) ≥ M − ε .

∫5°)En déduire que b f(t) n dt ≥ (M − ε)n (β − α)
a

44

EXERCICE N°16 Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/

∫Soit R * 1 1 − x a dx .
la fonction f définie sur + par : f(a) = 0

1°)Prouver que , pur tout x ∈ [0,1] : 1 − x a ≤ 1 − x a ≤ 1 − 1 x a

2

2°)En déduire que : a < f (a) < 2a + 1 .Calculer lim f(a)
1+a 2a + 2
a → +∞

EXERCICE N°17

{ }1°)Soit C = M(x, y) / y = 1 − x² ,−1 ≤ x ≤ 1 et S le solide obtenu par rotation de C autour de

l’axe (Ox).Calculer le volume de S.

2°) Soit C = {M(x, y) / xy = 1 ,1 ≤ 2x ≤ 2} et S le solide obtenu par rotation de C autour de l’axe

(Ox).

Calculer le volume de S.

3°)Déterminer le volume du cylindre engendré par les rotations d’axe (Ox) du segment de droite :

y =R et 0 ≤ x ≤h avec h, R ∈ R *
+

EXERCICE N°18

1°)Calculons le volume de S, définie par :  x + y ≤ 2 − 2z
 3
 0 ≤ z ≤ 3

( )2°) Calculons le volume de S, définie par : sup x , y ≤ 1
 0≤z≤1

3°) Calculons le volume de S, définie par : {x² + y² + z² ≤ 1

4°) Calculons le volume de S où S est une sphère de rayon R.

EXERCICE N°19

1 n
x3
et on pose pour tout n de N* : sn = f(k)

k =1
∑On
considère la fonction f définie sur [1,+∞[ par f(x) =

1°)Vérifier que f est décroissante et positive.

2°)Montrer que (sn ) est décroissante.

n f(t)dt , n f(t)dt 1 nl→im+∞ n 
2 1
1 1
∫ ∫ ∫3°)Calculer
n≥1 et en déduire que 0≤ ≤ et calculer f (t)dt .

∫ ∫4°)Montrer que pour tout entier k ≥ 2 : k+1 f(t)dt ≤ f(k ) ≤ k f(t)dt
k k −1

n+1 − f(1) ≤ n
∫ ∫5°)En déduire que pour n ≥ 1 : 2 sn
f (t)dt ≤ f (t)dt

1

6°)En déduire que (sn ) est convergente et donner un encadrement de sa valeur.

EXERCICE N°20

Soit f une fonction définie , continue et croissante sur [0,+∞[.

1+ 1 1 n f k 
∫ ∑Soient pour tout n de N* : n et n k=0  n  .
In = f ( x )dx sn =
0

∫1°)Vérifier que 1 f(x)dx
lim In =
0
n→ +∞

∫2°)Montrer que pour tout entier k vérifiant 0 ≤ k ≤ n on a : 1 f  k  ≤ k +1 f ( x )dx ≤ 1 f k + 1 
n  n  n n  n

k
n

∫3°)En 1  f1 + 1  s 1 f(x)dx
déduire l'encadrement: In + n f (0) −  n ≤ sn ≤ In . En déduire que lim n =
 0
n→+∞

4°)Application : On prend f(x) = xp où p un entier tel que p ≥ 2 .

45

Etablir que lim 1 + 2p + .... + np = 1 Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/
np p +1
n→ +∞ +1

EXERCICE N°21

∫ ∫Pour tout entier naturel n, on définit les nombres xn et yn par : xn 1 1 tn sin t dt
= 0 tn cos t dt , yn = 0

1°) Calculer x0 et x1.

2°) Montrer que les suites (xn)n∈I, N et (yn)n∈I, N sont décroissantes et qu'elles sont positives. On
admettra que ces suites convergent.

3°) Montrer, à l’aide de deux intégrations par partie, que pour tout entier naturel n, on a :

xn+1 = −(n + 1)yn + sin(1), et yn+1 = (n + 1)xn − cos(1),

En déduire que : lim y n = lim x n = 0 ,et lim nx n = cos(1) , lim ny n = sin(1)

n→ +∞ n→ +∞ n→ +∞ n→ +∞

EXERCICE N°22

] [1°)Soit n ∈ N* , On pose sn = 1 + eit + ... + ei(n−1)t , t ∈ 0, π .

a) Donner en fonction de n et t , une autre expression de sn

∑b) n sin n t cos n + 1 t
En déduire que : k =1 cos kt = 2  2

sin t
2

∑c) En n 1 sin 2n + 1 t
déduire que = − 2 + 2
cos kt 2 sin t

k =1

2

∫2°)Pour tout π  t² − t  cos(nt)dt .
n ∈ N* , on pose : In = 0  2π 

∫a) Calculer π t cos(nt)dt
0

∫b) Calculer π t² cos(nt)dt
0

c) En déduire que In = 1
n²

∫ ∑3°)Montrer que : π  n cos kt  t² − t dt = 1 + 1 + ... + 1
0 k =1 2π  2² n²

4°)Soit x ∈ R * , ϕ une fonction dérivable sur [0,π] et ϕ' sa dérivé, est continue sur [0, π].
+

∫a) Intégrer, une fois, par parties π ϕ(t) sin(xt)dt .
0

∫ ∫b) Montrer que : π ϕ' (t) cos(xt)dt ≤ π ϕ' (t) dt
00

π ϕ(t) sin(xt)dt 1  π 
x  0 
0
∫ ∫c) ϕ' (t)dt
En déduire que ≤ ϕ(0) + ϕ(π) +

∫d) En déduire que lim π ϕ(t) sin(xt)dt = 0
x → +∞ 0

n sin 2n + 1 t
2
1 + 2 cos kt 2 sin t

k =1
∑5°)Vérifier
que pour t ∈ [0, π] : =

2

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 t² − t t ∈ ]0, π] Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/
 2π
6°)On pose ϕ(t) =  sin t si t=0
 2 si
 −2

a) Montrer que ϕ est continue sur [0, π]
b) On suppose que ϕ est dérivable sur [0, π] et que sa dérivé ϕ' est continue sur [0, π].

c) En déduire que : lim 1 + 1 + ... + 1  = π2
n→+∞ 2² n²  6

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Fiche de cours 4ème Maths Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/
Logarithme

Définition

La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie sur ]0, + ∞[ , prend la valeur 0 en x = 1, est

1 ln : ]0,+∞[ → R , x a x dt
x 1t
∫continue .
sur ]0, + ∞[ et admet pour dérivée la fonction x a

Soit a et b deux réels strictement positifs et a1,a2,…an>0

ln(a.b) = ln a + ln b ln a  = ln a − ln b ln 1  = − ln a
 b   b 

ln(a1.a2...an ) = ln a1 + ln a2 + ... + ln an ( )ln an = n ln a ln a = 1 ln a
2

• ln x < 0 si et seulement si 0 < x < 1
• lnx = 0 si et seulement si x = 1

• ln x > 0 si et seulement si x ∈ ]1 ; + ∞[
• La fonction x a ln x est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[

Soit n et m deux entiers naturels non nuls

lim ln x = +∞ lim ln x = −∞ lim ln x = 0 lim x ln x = 0
x
x → +∞ x →0+ x → +∞ x →0+

lim ln(1 + x) = 1 lim ln x = 1 lim lnn x = 0 lim xm lnn x = 0
x →1 x − 1 xm
x→0 x x → +∞ x →0+

Tableau de variations et courbe de ln
la fonction ln réalise une bijection de
R+* vers R donc il existe un unique réel,
noté e, vérifiant lne = 1.

x 0 +∞

1 −∞ +
x
ln(x) +∞

Dérivées et primitives

1°) Dérivée de ln u
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
La fonction x a ln (u(x)) , notée ln u, est dérivable sur I et on a :(ln u)' =
u'
u
2°) Primitive de ln u
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I qui ne s’annule pas sur I

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La primitive sur l'intervalle I de la fonction u' est la fonction ln |u| + c Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/
u

3°)Primitive de x→lnx

La fonction x a xlnx-x est une primitive de la fonction x a ln x sur R *
+

Fonction logarithme décimale :

C’est la fonction log, définie ]0,+∞[ par log x = ln x ,
ln10
( )log10 = 1 , log10x = x

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Séries d’exercices 4ème Maths Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/*** Maths aux lycées , Site éducatif *** http://maths-akir.midiblogs.com/
Logarithme

EXERCICE N°1

1°)Soit g la fonction définie sur ]0,+∞[ par : g(x) = xln(x) – x + 1 .

a) Etudier le sens de variations de g

b) En déduire le signe de g .

2°)On considère la fonction f définie sur ]1,+∞[ par : f(x) = ln(x)
x −1

a) Etudier les limites de f en + ∞ et en 1 .

b) Dresser le tableau de variation de f .

c) Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( unité : 2cm)

EXERCICE N°2

1°)Soit f la fonction définie par : pour tout x ≥ 0 : f(x) = ln(x + 1) − x + x²
2

a) Etudier les variations de f

b) En déduire que pour tout x ≥ 0: x − x² ≤ ln(x + 1)
2

2°) Soit f la fonction définie par : pour tout x ≥ 0 : f(x) = ln(x + 1) − x + x² − x 3

23

a) Etudier les variations de f

b) En déduire que pour tout x ≥ 0 : ln(x + 1) ≤ x − x² + x3
2 3

3°)Etudier la limite éventuelle en 0+ de ln(1 + x) − x
x²

EXERCICE N°3

Soit f définie sur ]–1, 1[ par f(x) = (1 − x²) ln1 + x  . Montrer que f est continue. Etudier la parité
1- x 

de f et montrer que f se prolonge en une fonction continue sur [–1, 1].

EXERCICE N°4

Soit g définie sur R * − {1}par g(x) = x.ln(x) et prolongée par continuité en 0 et en 1.
+ x −1

1°)Que valent g(0), g(1) ?

2°)Etudier la branche infinie de Cg.

EXERCICE N°5

Soit n appartenant à N. gn : ]0, 1[ → R, x → x lnn  1 
 x 

1°)Montrer gn que est continue sur ]0, 1[
2°)Montrer que gn admet un prolongement par continuité fn sur [0, 1].

EXERCICE N°6

On considère la famille de fonctions (fn)n∈N* définies sur ]−1, +∞[ par fn(x) = xn ln(1 + x).

Soit n ∈ N*, on note hn la fonction définie sur ]−1, +∞[ par hn (x) = n ln(1 + x) + 1 x x .
+

1) Etudier le sens de variation des fonctions hn.
2) Calculer hn(0), puis en déduire le signe de hn.
3) Etude du cas particulier n = 1.

a. Après avoir justifié la dérivabilité de f1 sur ]−1, +∞[, exprimer f1'(x) en fonction de h1(x).

b. En déduire les variations de la fonction f1 sur ]−1, +∞[.

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