DIMENSI TIGA

DIMENSI TIGA

Oleh : Muh. Bima Azmi



DIMENSI TIGA

A. Pengertian Titik, Garis dan Bidang

1. Titik
Titik tidak memiliki dimensi (tidak memiliki ukuran), disimbolkan dengan noktah

dan diberi nama dengan huruf kapital, misalnya dan lainnya.
Contohnya :


2. Garis
Garis adalah kumpulan dari beberapa titik yang memiliki satu dimensi yaitu dimensi

panjang. Disimbolkan dengan dengan huruf kecil atau dua buah huruf besar.
Contohnya :

3. Bidang
Bidang memiliki dua dimensi yaitu dimensi panjang dan lebar. Bidang tidak

memiliki ketebalan. Bidang biasa disimbolkan dengan huruf yunani seperti yang diberikan di
pojok suatu bidang. Namun terkadang penamaan bidang berdasarkan nama titik-titik
hubungannya.

Contohnya:

B. Kedudukan Titik, Garis dan Bidang pada Bangun Ruang
1. Kedudukan Titik Terhadap Garis
Kedudukan titik terhadap garis yaitu :
a. Titik yang dilewati garis atau titik yang berada digaris

b. Titik yang berada diluar garis

2. Kedudukan Titik Terhadap Bidang
Kedudukan titik terhadap bidang yaitu :
a. Titik yang berada pada bidang

b. Titik yang berada diluar bidang

3. Kedudukan Garis Terhadap Garis Lainnya
Kedudukkan garis terhadap garis lainnya terdiri dari empat, yaitu:
a. Berpotongan, jika kedua garis terletak di bidang yang sama dan saling bertemu
pada satu titik potong pada garis-garis tersebut.

b. Sejajar, jika terletak sebidang tetapi tidak memiliki titik potong.

c. Berimpit, jika kedua garis terletak dibidang yang sama dan setiap titik pada garis
pertamaberada pada garis kedua.

d. Bersilangan, jika dua garis tersebut tidak sebidang dan juga tidak sejajar, serta
tidak berpotongan.

4. Kedudukan Garis Terhadap Bidang
a. Garis terletak pada bidang, jika semua titik garis tersebut berada pada bidang.

b. Garis memotong pada bidang, jika garis tidak pada bidang, sehingga garis
tersebut memotong bidang.

c. Garis sejajar dengan bidang, jika garis tersebut tidak berada pada bidang, dan
tidakmemiliki titik persekutuan.

5. Kedudukan Bidang dengan Bidang Lainnya
a. Berpotongan, jika kedua bidang bertemu dan membentuk satu garis persekutuan

b. Sejajar, jika kedua bidang tersebut tidak memiliki daerah persekutuan

c. Berimpit, jika pertemuan kedua bidang tersebut membentuk persekutuan berupa
bidang.

C. Jenis-Jenis Bangun Ruang Beraturan
1. Kubus
Kubus merupakan bangun ruang yang dibatasi oleh 6 bujur sangkar yang saling

kongruen. Keenam bujur sangkar disebut sisi kubus dan garis yang menjadi perpotongan dua
sisi kubus disebut rusuk kubus. Kubus memiliki 12 rusuk sama panjang.

Volume : 3
Luas permukaan : 6 2

2. Balok
Balok memiliki 6 sisi dimana masing-masing sisi yang berhadapan saling kongruen.

Balok memiliki 12 rusuk dengan 3 kelompok panjang yang berbeda yaitu p, l, dan t.

Volume : × ×
Luas permukaan : 2( + + )

3. Prisma
Prisma adalah bangun ruang yang memiliki 2 bidang yang sejajar dan kongruen

yang disebut penampang. Bidang yang menghubungkan kedua penampang disebut selimut
prisma.

Volume : luas alas ×tinggi
Luas permukaan : (2×luas alas) + keliling × tinggi

4. Limas
Limas merupakan bangun ruang yang terdiri dari satu bidang alas dan selimut

bangun yang berbentuk bidang-bidang segitiga. Satu titik dari masing-masing segitiga saling
bertemu di sebuah titik disebut titik puncak limas.

Volume : 1 (luas alas ×tinggi)

3

Luas permukaan : luas alas + luas selimut

5. Slinder
Slinder merupakan bangun ruang yang memiliki 2 bidang penampang berbentuk

lingkaran yang sejajar dan kongruen. Bidang selimut slinder merupakan bidang persegi
panjang yang dilengkungkan secara mulus mengikuti keliling bidang lingkarannya.

Volume : 2 ×
Luas permukaan : (2 × luas alas) + luas
selimut

6. Kerucut
Kerucut merupakan bidang ruang yang terdiri dari satu bidang alas lingkaran dan

sebuah titik puncak dengan selimut bidang berbentuk juring lingkran dan busurnya
dilengkungan semulus keliling lingkarannya.

Volume : 1 2 ×
3

Luas permukaan : luas alas + luas selimut

7. Bola
Bola merupakan bangun ruang yang tidak mempunyai bidang alas dan titik pojok.

Bola merupakan himpunan titik dalam dimensi tiga yang memiliki jarak sama terhadap satu

titik tertentu yang disebut pusat bola. Jarak pusat bola ke titik-titik permukaan lingkaran
disebut jari-jari bola.

Volume : 4 3
3
Luas permukaan : 2

D. Jarak dalam Bangun Ruang

1. Jarak Titik dan Titik
Jarak antara titik A dan titik B adalah panjang ruas garis AB.

Contoh
Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm terdapat titik P di tengah-tengah AB. Tentukan
jarak titik G ke titik P

Jawab 1

1

22

√ 2+ 2

√ 2+ 2

√ 2 √2

Maka
√ 2+ 2

√ 2 + ( √2)2

√ 6+ 2
√2

2. Jarak Titik dan Garis
Jarak antara titik A dan ruas garis g adalah panjang ruas garis AA1, dimana A1

merupakan proyeksi A pada garis g dan tegak lurus.

Contoh
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Tentukan jarak antara titik F
dengan diagonal ruang HB.

Jawab 2
√2

√ 2+

√( √2)2 + 2

√ 2+ 6 √ √

Jarak titik F dengan garis HB sama dengan
panjang garis PF.
Maka luas segitiga HBF diketahui

Luas = Luas

1 1

2 2

√ √2

4√2 4

4√3
4
3 √6

3. Jarak Titik dan Bidang
Jarak antara titik p dan bidang v adalah panjang ruas garis ,, dimana P merupakan

proyeksi p, pada bidang v.

Contoh
Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm terdapat titik P ditengah-tengah AE.
Tentukanlah jarak titik P ke bidang BDHF

Jawab

1

2
1

2
1
2 6√2

√2

4. Jarak Antar Dua Garis
a. Dua Garis yang Sejajar
Jarak antara garis g dan l yang sejajar adalah panjang ruas garis AA1, dimana
A adalah sembarang titik pada g dan A1 merupakan proyeksi A pada garis l

b. Dua Garis yang Sejajar
Jarak antara garis g dan l yang bersilangan adalah panjang ruas garis AA1,
dimana A pada g dan A1 pada l sehingga AA1 tegak lurus g dan AA1 tegak
lurus l.

Contoh
Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm tentukanlah jarak garis AB ke garis HG
Jawab
AB dan HG sejajar
Jarak AB dan HG = AH

Jarak AB dan HG = 8√2 cm

5. Jarak Antar Garis dan Bidang
Jarak antara garis g dan bidang v adalah panjang ruas garis AA1, dimana A adalah

titik sembarang pada g dan A1 adalah proyeksi A pada bidang v.

Contoh
Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm tentukanlah jarak garis AD dan bidang BCGF
Jawab

jarak AD dan BCGF = AB
jarak AD dan BCGF = 8 cm

6. Jarak antar Dua bidang
Jarak antara bidang v dan w yang saling sejajar adalah panjang ruas garis AA1,

dimana A adalah titik sembarang pada v dan A1 adalah proyeksi A pada bidang w.

Contoh
Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm tentukanlah jarak bidang BDG dan bidang AFH

Jawab

Jarak BDG dan AFH = PQ

Jarak BDG dan AFH = 1 EC
3
1
Jarak BDG dan AFH = 3 6√

Jarak BDG dan AFH = 2√

E. Sudut dalam Bangun Ruang

Sudut terbentuk karena dua sinar garis bertemu pada suatu titik. Dalam bangun ruang,
ada banyak titik yang dapat menjadi pertemuan dua sinar garis. Sudut pada bangun ruang
terbagi menjadi tiga bagian yaitu sudut antara dua garis, sudut antara garis dan bidang, dan
sudut antara dua bidang.

1. Sudut antar Dua Garis
Sudut antara dua garis garis adalah sudut lancip atau siku-siku antara kedua garis

tersebut. Dengan demikian maka sudut antara dua garis bersilangan adalah sudut lancip atau
siku-siku yang terbentuk oleh kedua garis bersilangan (tidak sebidang).

Jika a dan b dua garis bersilangan, maka besar sudut antara kedua garis sama
dengan besar sudut antara a’ yang sebidang dengan b dan sejajar a, dengan b, atau sebaliknya,
antara b’yang sebidang dengan a dan sejajar b, dengan a. Jika sudutnya 90o, dikatakan a
menyilang tegak lurus b.
 Sudut antara dua garis sejajar atau berimpit adalah 0o.

 Sudut antara dua garis berpotongan adalah sudut terkecil (sudut lancip) yang terbentuk
atau sudut siku-siku.

Contoh
Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm terdapat titik P perpotongan diagonal EG dan
HF. Tentukanlah besar sudut antara AP dan AC.

Jawab

1 1 √2 √2
2 2
1
√2 2 √2

Berdasarkan kalkulator maka nilai 26

Contoh
Pada kubus ABCD.EFGH, tentukanlah sudut antara AH dan DB

Jawab

AH digeser menjadi BG sehingga terbentuk segitiga sam sisi BDG.
Jadi α = 60o

2. Sudut antar Garis dan Bidang

Contoh
Pada kubus ABCD.EFGH tentukanlah besar sudut antara AH dan bidang BDH jika rusuknya
6 cm

Jawab 1 6√2 √2
2
1

2

6√2
Jadi

3√2 1
√2 2

3. Sudut antar Bidang
Sudut antara dua bidang V dan W yang berpotongan menurut garis s adalah sudut

antara garis a dan b yang berpotongan di P pada garis s dimana a pada V dan a tegak lurus
pada s, sedangkan b pada W dan b tegak lurus pula s

Contoh
Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. misalkan α adalah sudut antara bidang
BDE dan BDG, tentukanlah nilai cos α

Jawab
Pada segitiga EPG berlaku

6√2
√ 2+ 2

√( √2)2 + 62

√ √6
√6

Maka menurut aturan cosinus 2 ( √6) ( √6)
2 2+ 2 2

(6√2)2 ( √6)2 + ( √6)2
2+
2

3

1
1

3