materi

KEGIATAN BELAJAR 1

PERSAMAAN
KUADRAT

A. BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi
dari variabelnya adalah 2. Berbeda dengan persamaan linear yang pangkat
tertinggi dari variabelnya adalah 1, pada persamaan kuadrat pangkat
tertinggi dari variabelnya adalah 2, sehingga disebut sebagai persamaan
kuadrat.

Bentuk Umum dari Persamaan Kuadrat adalah sebagai berikut :

a,b, dan c bilangan real. a≠0
x adalah variable atau nilai yang belum diketahui dan
memenuhi persamaan kuadrat tersebut.

Contoh :
 2x² - 3x + 5 = 0; mempunyai

nilai a = 2, b = -3, dan c = 5
 -x² + 7x – 2 = 0; mempunyai

nilai a = -1, b = 7, dan c = -2

1

MODUL PERSAMAAN KUADRAT

B. PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT

Sebuah persamaan kuadrat dapat diselesaikan

dengan cara menentukan nilai pengganti x yang memenuhi persamaan itu.

Nilai pengganti tersebut mengubah kalimat terbuka (dalam hal ini

persamaan kuadrat) menjadi sebuah pernyataan yang bernilai benar. Nilai

pengganti x yang memenuhi persamaan kuadrat.

disebut penyelesaian atau akar dari persamaan
kuadrat yang bersangkutan. Kita masih ingat bahwa untuk menyelesaikan
persamaan kuadrat, ada beberapa cara, diantaranya adalah dengan :

a) Faktorisasi

Faktorisasi atau pemfaktoran merupakan cara mencari akar-akar
persamaan kuadrat dengan mencari nilai yang jika dikalikan akan
menghasilkan nilai lain. Ada tiga bentuk persamaan kuadrat dengan

faktorisasi akar-akar yang berbeda seperti berikut:

No Persamaan Kuadrat Faktorisasi Akar-Akar

1 2

2 − 2 −

3 − −

b) Melengkapkan Kuadrat Sempurna (x+p)2 = x2 + 2px + p2

Tidak semua persamaan kuadrat bisa Ubah menjadi bentuk persamaan
diselesaikan dengan cara faktorisasi, cara lain dalam (x+p)2 = q

untuk menyelesaikan persamaan kuadrat Penyelesaian:
dengan cara melengkapkan kuadrat (x+p)2 = q
sempurna. Bentuk persamaan kuadrat
x+p = ± q
sempurna adalah bentuk persamaan yang
menghasilkan bilangan rasional. Penyelesaian x = -p ± q

persamaan kuadrat dengan melengkapkan
kuadrat menggunakan rumus:

2

MODUL PERSAMAAN KUADRAT

c) Rumus Kuadratis

Selain menggunakan faktorisasi dan dengan melengkapi kuadrat
sempurna, persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan

menggunakan rumus kuadrat atau biasa dikenal dengan rumus
abc.

− ± 4
1, 2

Rumus Jumlah dan Hasil Kali

Jika persamaan kuadrat ≠ mempunyai akar-akar
x1 dan x2. Dari rumus abc diperoleh :


1 − 2 2 2 − 2 − 2

1) 1 2 −



2) 1. 2


3) 1 2


4) 1 1 1+
1.
1

5) 1 2 1 2 − 2. 1. 2

6) 1 − 2 1 2 1 − 2

7) 1 − 2 1 2 − 4. 1. 2

8) 1 12+ 2

1 1.

Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat :

1. Faktorisasi
2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna

3. Rumus Kuadratis

3

MODUL PERSAMAAN KUADRAT

CONTOH SOAL

1) Diketahui bentuk umum dari persamaan x2 – 3 = 4(x – 2) adalah ax2 +
bx + c = 0. Tentukan nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat tersebut

Pembahasan :

Pertama, kita haru merubah bentuk persamaan menjadi bentuk
umum terlebih dahulu.

x2 – 3 = 4(x – 2)

x2 – 3 = 4x – 8

x2 – 3 – 4x + 8 = 0

x2 – 4x + 5 =0

Persamaan sudah dalam bentuk ax2 + bx + c = 0, maka

a=1

b = -4

c=5

Jadi, nilai a, b, dan c dari persamaan x2 – 3 = 4(x – 2) berturut-turut
adalah 1, -4, dan 5.

2) Diketahui salah satu akar dari persamaan kuadrat x2 – 6x + c = 0
adalah 3. Tentukan nilai c yang memenuhi persamaan kuadrat
tersebut.

Pembahasan:

Pertama-tama, substitusikan nilai x = 3 ke persamaan kuadrat
tersebut:

4

MODUL PERSAMAAN KUADRAT

x2 – 6x + c = 0
32 – 6(3) + c = 0
9 – 18 + c = 0
-9 + c = 0
c=9
Jadi, nilai c yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut adalah 9.

3) Diketahui salah satu akar dari persamaan kuadrat x2 + 3x + c = 0
adalah 4. Tentukan nilai akar lainnya!
Pembahasan:
Pertama, substitusikan nilai x = 4 untuk mengetahui nilai c:
x2 + 3x + c = 0
42 + 3(4) + c = 0
16 + 12 + c = 0
28 c = 0
c = -28
Substitusi nilai c ke persamaan awal, lalu faktorkan
x2 + 3x + c = 0
x2 + 3x -28 = 0
(x-4)(x+7)=0
x = 4 atau x = -7
Jadi, akar lainnya dari persamaan kuadrat tersebut adalah -7.

5

MODUL PERSAMAAN KUADRAT

4) Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 8x + 15 = 0 !
Pembahasan:
Dengan menggunakan metode pemfaktoran, dapat kita peroleh:
x2 – 8x + 15 = 0
(x -3)(x -5) = 0
x = 3 atau x = 5
HP = {3, 5}
Jadi, himpunan penyelesaian dari x2 – 8x + 15 = 0 adalah {3, 5}

5) Diketahui akar-akar persamaan x2 + 4x – 12 = 0 adalah x1 dan x2.
Tentukan hasil dari x1 + x2!
Pembahasan:
Dari x2 + 4x – 12 = 0, diketahui:
a=1
b=4
c = -12
Maka, dapat kita hitung Jumlah akar-akarnya dengan rumus:
x1 + x2 = -b/a
x1 + x2 = –4/1
x1 + x2 = -4
Jadi, hasil dari x1 + x2 adalah -4.

6

MODUL PERSAMAAN KUADRAT

LATIHAN SOAL

1. Salah satu akar dari persamaan 2x2 + 4x+ c = 0 adalah -3, akar lainnya
adalah …

2. Diketahui nilai akar-akar dari persamaan x2+ bx + c = 0 adalah 3 dan -
1. Berapakah nilai b yang memenuhi persamaan tersebut?

3. Carilah bentuk kuadrat sempurna dari persamaan x2 – 6x – 7 = 0 !
4. Jika diketahui sebuah persamaan kuadrat x2 – 6x + 9 = 0. Maka Jenis

akar-akarnya adalah
5. Suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar 4 dan -7. Maka

persamaan kuadratnya adalah...

7

MODUL PERSAMAAN KUADRAT

KEGIATAN BELAJAR 2

C. JENIS-JENIS AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Jika persamaan kuadrat ² + + = 0 dan ≠ 0

maka nilai diskriminan ( ) adalah : 4

a) Akar Real : Jika nilai D>0 dari suatu PK, maka akan menghasilkan
akar-akar persamaan yang real namun memiliki akar-akar yang
berlainan. Dengan kata lain x1 tidak sama dengan x2.

b) Akar Real Sama : Merupakan jenis akar persamaan kuadratyang
menghasilkan akar-akar bernilai sama (x1=x2).

c) Akar Imajiner / Tidak Real : Jika nilai D<0 , maka akar dari
persamaan kuadrat akan berbentuk imajiner/ tidak real.

CONTOH SOAL

Selidikilah Jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut tanpa mencari
akarnya terlebih dahulu : x2 + 10x + 25 = 0
Pembahasan:
a=1
b = 10
c = 25
D = b2 – 4ac
= 102 – 4 . 1. 25
= 100 – 100
=0

8

MODUL PERSAMAAN KUADRAT

Jadi persamaan kuadrat x2 + 10x + 25 = 0 mempunyai dua akar real
kembar.

LATIHAN SOAL
1) Selidikilah jenis akar persamaan kuadrat berikut

a. x2 + 7x + 6 = 0
b. 3x2 – 2x = 8

1) Tentukan nilai p agar persamaan x2 – 2px – p + 2 = 0

9

MODUL PERSAMAAN KUADRAT

KEGIATAN BELAJAR 3

D. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT

Jika akar-akar suatu persamaan kuadrat adalah p dan q, maka persamaan
kuadrat tersebut dapat disusun dengan cara :

1. Mengalikan faktor (x - p)(x - q) = 0
2. Menyusun jumlah dan hasil kali x2 − (p + q)x + pq = 0
Sebagai contoh, jika akar-akar suatu persamaan kuadrat adalah −1 dan 3,
maka
persamaan kuadrat tersebut dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.
1. Mengalikan faktor (x – (-1))(x – 3) = 0 (x + 1)(x − 3) = 0 x2 − 2x − 3 =

0
2. Menyusun jumlah dan hasil kali x2 − (−1 + 3)x + (−1) 3 = 0 x2 − 2x − 3

=0

Jika akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah α dan β, maka
persamaan kuadrat baru yang jumlah dan hasil kali akar-akarnya dapat
dinyatakan dalam α + β dan/atau αβ dapat disusun dengan cara :

1. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
awal.

2. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
baru.

3. Susun jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru.
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q,
maka −

10

MODUL PERSAMAAN KUADRAT

E. APLIKASI DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI

1) Kurva bola yang ditendang dalam permainan sepakbola

Umumnya, bola yang ditendang akan melambung ke atas, dan kemudian
ketinggiannya akan menurun. Jika digambarkan, tendangan bola tersebut
akan membentuk kurva atau parabola.

2) Lemparan atau pukulan bola baseball

Contoh lain penerapan persamaan kuadrat dalam kehidupan nyata yang
satu ini juga masih berkaitan dengan olahraga, tepatnya olahraga baseball.
Ketika bola dilempar pitcher sebagai tanda dimulainya pertandingan, kamu
juga bisa amati kalau lemparan bola tersebut juga akan membentuk kurva.
Di samping itu, bentuk gerakan bola ketika dipukul oleh batter juga sama-
sama membentuk kurva, di mana bola akan melambung sejauh mungkin di
dalam arena lapangan.

3) Gerakan anak panah yang ditembakkan dari busurnya

Sama halnya dengan gerakan bola saat ditendang maupun dilempar, anak
panah juga tidak bergerak lurus begitu saja begitu ditembakkan atau
dilepaskan dari busurnya. Sebab, anak panah yang ditembakkan dari busur
juga akan bergerak membentuk kurva terlebih dahulu, sebelum akhirnya
mendarat pada target yang telah ditentukan.

Untuk lebih detail mengenai materi persamaan kuadrat, bisa dilihat melalui
link dibawah ini :

https://youtu.be/4eSDWnFVRsA

11

MODUL PERSAMAAN KUADRAT

SOAL EVALUASI

1. Bila x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 - 6x - 5 = 0,
maka x12 + x22 adalah....
A. 26
B. 31
C. 37
D. 41
E. 46

2. Bila x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 - 5x + 9 = 0,
maka x13 + x23 sama dengan....
A. 10
B. 5
C. 1
D. -5
E. -10

3. Jumlah kebalikan akar-akar persamaan 3x2 - 9x + 4 = 0 adalah.....
A. -4/9
B. -3/4
C. -9/4
D. 9/4
E. 3/4

4. Akar-akar persamaan 2x2 - 6x - p = 0 adalah x1 dan x2. Jika x1 - x2 =
5, maka nilai p adalah.....
A. 8
B.6
C.4
D.-6
E.-8

5. (m + 3)x2 + 2(m - 7)x + m-3 = 0 akan mempunyai akar-akar positif
jika.....
A. -3< m <3

12

MODUL PERSAMAAN KUADRAT

B. 3< m < 29/7
C. -3 < m < 7
D. -7 < m < 3
E. -29/7 < m < -3
6. Jika 2 dan 3 akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat
yang dimaksud adalah.....
A. x2 + x + 5 = 0
B. x2 + 6x + 5 = 0
C. x2 + 5x - 6 = 0
D. x2 - 5x + 6 = 0
E. x2 + x + 5 = 0
7. Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 8x + 15 = 0 !
A. {3, 5}
B. {2, 5}
C. {3, 2}
D. {3, 1}
E. {3, 7}
8. Diketahui akar-akar persamaan x2 + 4x – 12 = 0 adalah x1 dan x2.
Tentukan hasil dari x1 + x2!
A. 2
B. -2
C. 4
D. -4
E. 5
9. Diketahui nilai akar-akar dari persamaan x2+ bx + c = 0 adalah 3 dan -
1. Berapakah nilai b yang memenuhi persamaan tersebut?
A. 1
B. 2
C. -2
D. -1
E. -4
10. Carilah bentuk kuadrat sempurna dari persamaan x2 – 6x – 7 = 0 !
A. 20
B. 18
C. 19

13

MODUL PERSAMAAN KUADRAT

D. 15 KUNCI JAWABAN
E. 16

1. E
2. E
3. D
4. A
5. B
6. D
7. A
8. D
9. C
10. E

14

MODUL PERSAMAAN KUADRAT

RANGKUMAN

1. Persamaan Kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi
dari variabelnya adalah 2.

2. Bentuk umum persaamaan kuadrat adalah

3. Cara penyelesaian persamaan kuadrat yaitu :

a. Faktorisasi

b. Melengkapkan kuadrat sempurna

c. Rumus Kuadratis

4. Jenis akar persamaan kuadrat yaitu :

a. Akar Real : Jika nilai D>0 dari suatu PK, maka akan menghasilkan
akar-akar persamaan yang real namun memiliki akar-akar yang
berlainan. Dengan kata lain x1 tidak sama dengan x2.

b. Akar Real Sama : Merupakan jenis akar persamaan kuadratyang
menghasilkan akar-akar bernilai sama (x1=x2).

c. Akar Imajiner / Tidak Real : Jika nilai D<0 , maka akar dari
persamaan kuadrat akan berbentuk imajiner/ tidak real.

5. Jika akar-akar suatu persamaan kuadrat adalah p dan q, maka
persamaan kuadrat tersebut dapat disusun dengan cara :

a. Mengalikan faktor (x - p)(x - q) = 0

b. Menyusun jumlah dan hasil kali x2 − (p + q)x + pq = 0

6. Aplikasi persamaan kuadrat dalam kehidupan yaitu kurva bola yang
ditendang dalam permainan sepakbola, Lemparan atau pukulan bola
baseball, Gerakan anak panah yang ditembakkan dari busurnya.

15

MODUL PERSAMAAN KUADRAT

DAFTAR PUSTAKA

Fahim, Mufid, Subchan, Syaifudin, Winarni. 2016. Matematika Edisi Revisi
2018. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan

Maker, Zero. 2016. Menyusun Persamaan Kuadrat. Diambil dari
https://smatika.blogspot.com/2016/09/menyusun-persamaan-
kuadrat.html (22 September 2020)

16

MODUL PERSAMAAN KUADRAT