เอกสารประกอบการเรียน วิชา คณิตศาสตร์เสริมประสบการณ์ 5 (ค33203) โดย นางสาวผจงจิต จ านงค์สุทธิ์ ชื่อ.......................................... สกุล....................................................... ชั้น.................................. เลขที่ ........................ โรงเรียนสันติราษฎร์วิทยาลัย
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 1 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) Āน่üยการเรียนรู้ที่ 1 ทบทüนเรื่อง ลำดับและอนุกรม ( Sequence and Series ) 1. ลำดับ (Sequence) ลำดับจะถูกแบ่งออกเป็น 2 ชนิด คือ ลำดับจำกัด และลำดับอนันต์ โดยที่ a a a an , , ,..., 1 2 3 เป็นลำดับจำกัด เพราะü่ามี an เป็นพจน์ÿุดท้าย และ , , ,..., ,... a1 a2 a3 an เป็นลำดับอนันต์ เพราะü่าลำดับดังกล่าüไม่มีพจน์ÿุดท้าย 1.1 ลำดับเลขคณิต ( Arithmetic Sequence ) : A.S. นิยาม ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่มีผลต่างระĀü่างพจน์ที่ n +1 กับพจน์ที่ n มีค่าคงที่ d ใĀ้ a1 , a2 , 3 a , . . . , an เป็นลำดับเลขคณิต จากนิยามของลำดับเลขคณิตจะได้ü่า a − a = a3 − a2 = a4 − a3 = = an+1 − an = d 2 1 ... เรียก d ü่า ผลต่างร่üม ( common difference ) ÿรุปได้ü่า an = a1 + (n − 1)d เมื่อ an คือ พจน์ที่ n , a1 คือ พจน์ที่ 1 , d คือ ผลต่างร่üม และ n คือ จำนüนพจน์ ตัüอย่างที่ 1 จงĀาพจน์ที่ 50 ของลำดับเลขคณิต 5 , 10 , 15 , 20 , . . . ตัüอย่างที่ 2 ถ้าลำดับเลขคณิตมีพจน์ที่ 5 คือ 3 และพจน์ที่ 10 คือ 13 จงĀาพจน์ที่ 80 ของลำดับนี้
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 2 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) h ÿรุปผลที่ได้จากลำดับเลขคณิต h 1. an = a1 + (n −1)d 2. an = ap + (n − p)d เมื่อ 1 d p d n 3. ถ้าจำนüนพจน์ที่กำĀนดใĀ้เป็นจำนüนคี่ เช่น 3 พจน์ , 5 พจน์ , 7 พจน์ เป็นต้น ÿมมุติใĀ้ลำดับมีรูปเป็น ... , a −2d , a −d , a , a + d , a +2d , ... 4. ถ้าจำนüนพจน์ที่กำĀนดใĀ้เป็นจำนüนคู่ เช่น 2 พจน์ , 4 พจน์ , 6 พจน์ เป็นต้น ÿมมุติใĀ้ลำดับมีรูปเป็น ... , a−3d , a−d , a+d , a+3d , ... 1.2 ลำดับเรขาคณิต ( Geometric Sequence ) : G.S. นิยาม ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับที่มีอัตราÿ่üนของพจน์ที่ n +1 กับพจน์ที่ n คงที่ r ใĀ้ 1 a , 2 a , 3 a , . . . , an เป็นลำดับเรขาคณิต จะได้ü่า 1 2 a a = 2 3 a a = 3 4 a a = . . . = n n a a +1 = r เรียก r ü่า อัตราÿ่üนร่üม ( common ratio ) ÿรุปได้ü่า an = 1 a r n-1 เมื่อ 1 a คือ พจน์ที่ 1 , an คือ พจน์ที่ n และ r คือ อัตราÿ่üนร่üม ตัüอย่างที่ 3 จงĀาพจน์ที่ 7 ของลำดับเรขาคณิต 4, 20, 100, . . . ตัüอย่างที่ 4 จงĀา x, y และ z ของลำดับเรขาคณิต 8, x, y, z, 0.5, . . .
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 3 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) h ÿรุปผลที่ได้จากลำดับเรขาคณิต h 1) n a = 1 1 n− a r 2) n a = n p p a r − ; 1 d p d n 3) ถ้าจำนüนพจน์ที่กำĀนดใĀ้เป็นจำนüนคี่ เช่น 3 พจน์ , 5 พจน์ , 7 พจน์ เป็นต้น ใĀ้กำĀนดลำดับมีรูปเป็น . .. , , , , , ,... 2 2 a ar ar r a r a 4) ถ้าจำนüนพจน์ที่กำĀนดใĀ้เป็นจำนüนคู่ เช่น 2 พจน์ , 4 พจน์ , 6 พจน์ , เป็นต้น ใĀ้กำĀนดลำดับมีรูปเป็น .. ,... 3 3 ar ar r a r a . , , , , 1.3 ลิมิตของลำดับ ลิมิตของลำดับ เป็นการพิจารณาค่าของลำดับ เมื่อ n มีค่ามากขึ้นไปเรื่อยๆ ไม่มีที่ÿิ้นÿุด (n → f) ü่ามีลักþณะอย่างไร ( เข้าใกล้ค่าใดค่าĀนึ่งĀรือไม่ ) เขียนแทนด้üยÿัญลักþณ์ n n a →f lim ดังนั้นในการĀาลิมิต ของลำดับจะĀาเฉพาะลำดับอนันต์เท่านั้น 1. ลำดับที่มีลิมิต เรียกü่า ลำดับคอนเüอร์เจนต์ ( Convergent Sequence ) Āรือ ลำดับลู่เข้า 2. ลำดับที่ไม่มีลิมิต เรียกü่า ลำดับไดเüอร์เจนต์( Divergent Sequence ) Āรือ ลำดับลู่ออก การĀาลิมิตโดยใช้ทฤþฎีลิมิต ใĀ้ c เป็นค่าคงที่ และ n n n n a b →f →f lim , lim ÿามารถĀาค่าได้ (Convergent ) โดยที่ an L n = →f lim และ bn M n = →f lim 1. c c n = →f lim 2. (a b ) a bn L M n n n n n n r = r = r →f →f →f lim lim lim 3. (a b ) a bn L M n n n n n n = = →f →f →f lim lim lim 4. M L b a b a n n n n n n n = = ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § →f →f →f lim lim lim เมื่อ M z 0 5. c a c an c L n n n = = →f →f lim lim 6. a an L n n n = = →f →f lim lim 7. ¯ ® f ! ¸ = ¹ · ¨ © § →f a b a b b a n n ; 0 ; lim เมื่อ b z 0 8. 0 1 lim ¸ = ¹ · ¨ © § →f t n n เมื่อ t ! 0
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 4 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) 9. ถ้า an L n = →f lim และ m L เป็นจำนüนจริง ÿำĀรับค่าของ n จะได้ü่า m m n n m n n a = a = L →f →f lim lim ตัüอย่างที่5 จงĀาค่าของลิมิตที่กำĀนดใĀ้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) lim 2 n→f 6) n n ¸ ¹ · ¨ © § − →f 7 2 lim 2) ¸ ¹ · ¨ © § − →f 2 1 limn 7) n n 2 4 3 lim − →f ¸ ¹ · ¨ © § 3) ¸ ¹ · ¨ © § n→f 2n 7 lim 8) ( ) n n lim −1 →f 4) 4 2 2 7 lim ¸ ¹ · ¨ © § n→f n 9) ( n )( n) n − − − →f 5 3 4 1 lim 5) ¸ ¹ · ¨ © § − →f n n 5 3 lim 10) ¸ ¹ · ¨ © § + n→f n 4 lim 2 การĀาลิมิตโดยüิธีลัด üิธีการคือใĀ้ดูที่กำลังÿูงÿุดของตัüแปร n ของทั้งเýþและÿ่üน ÿมมุติเป็น s และ t ตามลำดับ โดยมี ÿ.ป.ÿ. เป็น a และ b ตามลำดับ ถ้า s t แล้ü ลิมิต = 0 ถ้า s ! t แล้ü ลิมิต = f ; − f ( Āาค่าไม่ได้ ) ถ้า s = t แล้ü ลิมิต = b a ; b z 0
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 5 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) ตัüอย่างที่6 จงĀาค่าของลิมิตที่กำĀนดใĀ้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) 5 3 3 1 lim − + →f n n n 4) ( ) ! 1 ! lim n n n − →f 2) ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § + →f n n n 1 lim 2 5) ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § − + →f 3 1 4 1 lim 2 n n n 3) 5 3 3 5 lim 3 2 − + →f n n n 6) ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § + + →f 2 4 4 2 9 2 lim n n n n n ระüัง !! กรณีที่ค่าของลิมิตอยู่ในรูป 0 0 , 0 , 1 , , 0 0 0 , , f f f f f − f f เรียกü่าเป็น รูปแบบที่ไม่กำĀนด ( Indeterminate Form ) กรณีเช่นนี้ n n a →f lim อาจจะĀาค่าได้Āรือไม่ได้ก็ได้ จึงจะต้องจัดรูป an ใĀม่ แล้üจึงĀาลิมิตต่อไป ตัüอย่างที่7 จงĀาค่าของลิมิตที่กำĀนดใĀ้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) ( n n ) n + − →f lim 1 2) n n n n + − →f 1 lim
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 6 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) พิจารณาลำดับอนันต์ที่เป็นลำดับเลขคณิต ลำดับอนันต์ที่เป็นลำดับเลขคณิต จะอยู่ในรูป , , 2 ,... a1 a1 + d a1 + d ในการพิจารณาü่าลำดับเลขคณิตนี้ เป็นลำดับคอนเüอร์เจนต์ Āรือ ไดเüอร์เจนต์ เราต้องĀา n n a →f lim - ถ้า n n a →f lim Āาค่าได้ แÿดงü่า ลำดับนี้เป็นลำดับคอนเüอร์เจนต์ - ถ้า n n a →f lim Āาค่าไม่ได้ แÿดงü่า ลำดับนี้เป็นลำดับไดเüอร์เจนต์ 0 ลำดับอนันต์ที่เป็น ลำดับเลขคณิต จะเป็น ลำดับไดเüอร์เจนต์เÿมอ ยกเü้น กรณีที่ an = ค่าคงที่ ลำดับเลขคณิตนั้นจะเป็นลำดับคอนเüอร์เจนต์ พิจารณาลำดับอนันต์ที่เป็นลำดับเรขาคณิต ลำดับอนันต์ที่เป็นลำดับเรขาคณิต จะอยู่ในรูป , , , ,... 3 1 2 1 1 1 a a r a r a r ในการพิจารณาü่าลำดับเลขคณิตนี้ เป็นลำดับคอนเüอร์เจนต์ Āรือ ไดเüอร์เจนต์ เราต้องĀา n n a →f lim - ถ้า n n a →f lim Āาค่าได้ แÿดงü่า ลำดับนี้เป็นลำดับคอนเüอร์เจนต์ - ถ้า n n a →f lim Āาค่าไม่ได้ แÿดงü่า ลำดับนี้เป็นลำดับไดเüอร์เจนต์ 0 ลำดับอนันต์ที่เป็นลำดับเรขาคณิต จะเป็นลำดับคอนเüอร์เจนต์ ก็ต่อเมื่อ r 1 Āรือ r = 1 เท่านั้น 2. อนุกรม (Series) นิยาม อนุกรม คือ การแÿดงผลบüกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับ กำĀนดใĀ้ n a , a , a ,..., a 1 2 3 เป็นลำดับจำกัด จะได้ a + a + a + + an ... 1 2 3 เป็นอนุกรมจำกัด กำĀนดใĀ้ Sn เป็นผลบüก n พจน์แรกของอนุกรม จะได้ Sn = a + a + a + + an ... 1 2 3 นั่นคือ ¦= = n i n i S a 1
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 7 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) สัญลักษณ์แทนการบวก ตัวอักษรกรีกที่ถูกอ่านออกเสียงว่า sigma (ซิกมา) และมีสัญลักษณ์ “ ¦ ” ใช้เป็นสัญลักษณ์ แทนการบวกเพื่อให้ดูกะทัดรัดขึ้น โดยที่ n n i ¦ai = a + a + + a = ... 1 2 1 สมบัติของ ¦ (ซิกมา) 1. c nc n i ¦ = =1 เมื่อ c เป็นค่าคงตัว 2. ¦ ¦ = = = n i i n i cai c a 1 1 3. ¦( ) ¦ ¦ = = = r = r n i i n i i n i ai bi a b 1 1 1 4. ( 1) 2 1 2 3 ... 1 ¦ = + + + + = + = n n i n n i 5. ( 1)(2 1) 6 1 2 3 ... 2 2 2 2 1 2 ¦ = + + + + = + + = n n n i n n i 6. ( ) 2 3 3 3 3 1 3 1 2 1 2 3 ... » ¼ º « ¬ ª ¦ = + + + + = + = n n i n n i ตัวอย่างที่8 จงหาค่าที่ก าหนดให้ต่อไปนี้ 1) 4 1 6 i= ¦ 2) 20 i 1 i = ¦ 3) 8 1 3 i i = ¦
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 8 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) 4) 4 2 i 1 i = ¦ 5) 9 3 i 1 i = ¦ กำĀนดใĀ้ , , ,..., ,... a1 a2 a3 an เป็นลำดับอนันต์ จะได้ = ¦ = + + ++ + f = f n n S an a1 a2 a3 a 1 เป็นอนุกรมอนันต์ ผลบüกของอนุกรมอนันต์ นิยาม ผลบüกของอนุกรมอนันต์ใด Āมายถึง ลิมิตของลำดับผลบüกย่อยของอนุกรมนั้น (ถ้ามีลิมิต) ถ้า f →f Sn = S n lim Āาค่าได้ จะเรียก f S ü่าเป็น อนุกรมคอนเüอร์เจนต์Āรือ อนุกรมลู่เข้า และĀาผลบüกของอนุกรมได้ ในทางตรงกันข้าม ถ้า f →f Sn = S n lim Āาค่าไม่ได้ จะเรียก f S ü่าเป็น อนุกรมไดเüอร์เจนต์Āรือ อนุกรมลู่ออก ซึ่งไม่ÿามารถĀาผลบüกของ อนุกรมได้
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 9 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) 2.1 อนุกรมเลขคณิต ( Arithmetic Series ) นิยาม ถ้า a a a an , , ,... 1 2 3 เป็นลำดับเลขคณิต แล้üจะเรียก a + a + a + + an ... 1 2 3 ü่าเป็นอนุกรมเลขคณิต > a (n )d@ n Sn 2 1 2 = 1 + − ÿูตรการĀาอนุกรมเลขคณิตÿูตรที่ 1 > @ n a an n S = 1 + 2 ÿูตรการĀาอนุกรมเลขคณิตÿูตรที่ 2 ตัüอย่างที่ 9 จงĀาผลบวก 7 พจน์แรกของอนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต 7, 15, 23, . . . ตัüอย่างที่ 10 จงĀาผลบüกของอนุกรมเลขคณิต 7 + 10 + 13 + . . . + 157 การตรüจÿอบอนุกรมอนันต์ที่เป็นอนุกรมเลขคณิต Āลักการ อนุกรมอนันต์ที่เป็นอนุกรมเลขคณิตทุกชนิดเป็นอนุกรมไดเüอร์เจนต์ ยกเü้น อนุกรมเลขคณิต 0+0+0+...+0+... เพียงอนุกรมเดียüเท่านั้นที่เป็นอนุกรมคอนเüอร์เจนต์
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 10 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) 2.2 อนุกรมเรขาคณิต ( Geometric Series ) นิยาม ถ้า a a a an , , ,..., 1 2 3 เป็นลำดับเรขาคณิต แล้üจะเรียก a + a + a + + an ... 1 2 3 ü่าอนุกรมเรขาคณิต ( ) r a r S n n − − = 1 1 1 เมื่อ r z1 ตัüอย่างที่ 11 จงĀาผลบüก 8 พจน์แรกของอนุกรมที่ได้จากลำดับเรขาคณิต 1, 2, 4, 8, . . . ตัüอย่างที่ 12 จงĀาผลบüกของพจน์ทุกพจน์ของอนุกรมเรขาคณิต 1 2 4 8 ... 256 +− + +− + + ( ) ( ) การตรüจÿอบอนุกรมอนันต์ที่เป็นอนุกรมเรขาคณิต Āลักการ กำĀนดใĀ้ ... ... 1 1 2 1 1 1 1 1 = 1 = + + + + + − f = − f ¦ n i i s a r a a r a r a r 1. ถ้า r 1 แล้ü ¦ f = − 1 1 1 i i a r จะเป็นอนุกรมคอนเüอร์เจนต์ 2. ถ้า r t 1 แล้ü ¦ f = − 1 1 1 i i a r จะเป็นอนุกรมไดเüอร์เจนต์
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 11 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) ☺ ในกรณีที่ r 1 อนุกรมอนันต์ที่เป็นอนุกรมเรขาคณิตจะเป็นอนุกรมคอนเüอร์เจนต์ที่มีผลบüก เท่ากับ r a 1 − 1 r a s − f = 1 1 เมื่อ r 1 ตัüอย่างที่ 13 ใĀ้ c เป็นค่าคงตัü และ ( ) ... 2 1 ... 4 1 2 1 1 1 5 3 5 lim 3 3 2 = + + + + + + + + →f n n n cn n c จงĀาค่า c ตัüอย่างที่ 14 ลูกปิงปองตกจากโต๊ะÿูง 4 ฟุต ถ้าทุกครั้งที่ลูกปิงปองตกกระทบพื้น จะกระดอนขึ้นเป็น ระยะทาง 4 3 ของคüามÿูงที่ตกลงมา จงĀาระยะทางทั้งĀมดที่ลูกปิงปองเคลื่อนที่ในแนüดิ่ง
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 12 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) 2.3 อนุกรมอื่น ๆ ที่คüรýึกþา ตัüอย่างที่15 จงĀาผลบüกของอนุกรมอนันต์ที่กำĀนดใĀ้ต่อไปนี้ 1) จงĀาผลบüกของ + + 2 + 3 + 2 7 2 5 2 3 1 2) จงĀาผลบüกของ + + 2 + 3 + 4 + 5 15 5 10 5 6 5 3 1
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 13 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) ตัüอย่างที่16 จงĀาผลบüกอนุกรมที่กำĀนดใĀ้ต่อไปนี้ 1) ... 7 9 1 5 7 1 3 5 1 + + + 2) ... 5 9 1 3 7 1 1 5 1 + + + ตัüอย่างที่ 17 จงĀาค่าของ ¦ f =0 ( +1)( + 2) 1 k k k
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 14 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) สรุปล ำดับและอนุกรม
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 15 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) ข ้ อสอบเข ้ ำมหำวิทยำลยั 1. คำตอบของÿมการ เท่ากับเท่าใด 1. – 2 2. – 1 3. 0 4. 1 5. 2 2. ใĀ้ เป็นลำดับซึ่ง และ เมื่อ ค่าของ เท่ากับเท่าใด 1. Āาผลบüกไม่ได้ เพราะอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก 2. 3. 1 4. 5. 2
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 16 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) 3. มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2. 3. 2 4. 5. 4 4. กำĀนดใĀ้ S = { 100, 101, 102, … , 998, 999 } และ A = { nS | n Āารด้üย5แล้üเĀลือเýþ4 } ผลบüกของÿมาชิกทุกตัüของ A เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 99,250 2. 99,255 3. 99,260 4. 99,265 5. 99,270
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 17 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) 5. กำĀนดใĀ้ เป็นข้อมูลซึ่งเรียงจากมากไปน้อย โดยที่ เมื่อ ถ้าข้อมูลชุดนี้มีมัธยฐานเท่ากับ แล้ü ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล ชุดนี้ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2. 3. 4. 5. 6. กำĀนดใĀ้ เป็นลำดับเรขาคณิต ซึ่งมีอัตราÿ่üนร่üม r โดยที่ |r| < 1 ถ้า และ แล้ว มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 8 2. 9 3. 10 4. 11 5. 12
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 18 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) 7. กำĀนดใĀ้ เป็นลำดับเรขาคณิต ถ้า และ แล้ü มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2. 3. 4. 1 5. 8. ถ้า เป็นลำดับของจำนüนจริงบüก ซึ่ง และ เป็นลำดับเลขคณิต ซึ่งมีผลต่างร่üมเท่ากับ แล้ü มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2. 3. 4. 9 5.
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 19 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) 9. มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2. 3. 2 4. 5. 10. ใĀ้ เป็นลำดับเลขคณิต ถ้า และ แล้ü มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. – 5,400 2. – 5,000 3. 108 4. 5,000 5. 5,400
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 20 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) 11. ใĀ้ เป็นข้อมูลในลำดับเรขาคณิต โดยมี และอัตราÿ่วนร่วม ของลำดับเท่ากับ แล้วมัธยฐานเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2. 3. 4. 1 5. 12. ถ้า เป็นลำดับเลขคณิต ซึ่งมี และ แล้ว เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 21 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) 13. ให้ เป็นล ำดับเรขำคณิตของจ ำนวนเต็มบวก โดยที่ มีผลบวกของพจน์ที่ สอง และพจน์ที่สี่ เท่ำกับ และพจน์ที่สำมเท่ำกับ ให้ เป็นผลบวก พจน์แรกของ ล ำดับ แล้วค่ำของ เท่ำกับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2. 3. 4. 5. 14. ให้ เป็นล ำดับเลขคณิตของจ ำนวนจริง โดยที่มีผลบวกสี่พจน์แรกของ ล ำดับเท่ำกับ และ และให้ เป็นล ำดับของจ ำนวน จริง โดยที่ และ ส ำหรับ ค่ำของ เท่ำกับ เท่ำใด
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 22 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) 15. ก ำหนดให้ เป็นล ำดับของจ ำนวนจริงบวก ซึ่ง หำค่ำได้ และ แล้ว เท่ำกับเท่ำใด 16. ก ำหนดให้ เป็นล ำดับเลขคณิต ซึ่ง , , ถ้ำ แล้ว มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2. 3. 4. 5.
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 23 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) 17. ให้ เป็นล ำดับเลขคณิต และมีผลต่ำงร่วมเท่ำกับ แล้ว มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด ต่อไปนี้ 1. 2. 3. 4. 5. 18. เทอมที่ 2557 ของล ำดับ 1, 2, 3, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 7, 5, 6, 7, 8, 9, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, … คือจ ำนวนใด 1. 71 2. 72 3. 141 4. 142 5. 143
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 24 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) 19. ถ้ำ แล้ว มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2. 3. 4. 5. 20. ก ำหนดให้ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย โดยที่ มัธยฐำนของข้อมูลชุดนี้มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2. 3. 4. 5.
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 25 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) Āน่üยการเรียนรู้ที่ 2 ทบทüนเรื่อง แคลคูลัÿเบื้องต้น ( Calculus ) 1. ลิมิตและคüามต่อเนื่องของฟังก์ชัน 1.1 ลิมิตของฟังก์ชัน นิยาม f (x) L x a = → lim ก็ต่อเมื่อ f (x) L x a = → − lim และ f (x) L x a = → + lim นั่นคือ f (x) x→a lim Āาค่าได้ เมื่อลิมิตซ้ายเท่ากับลิมิตขüา Āรือ f (x) L x a = → lim ก็ต่อเมื่อ f (x) L x a = → − lim และ f (x) L x a = → + lim การĀาค่าของลิมิต มีüิธีการĀาค่าลิมิตได้ 2 กรณี คือ กรณีที่ 1 ถ้านำ x = a ไปแทนใน f (x) แล้üทำใĀ้ f (a) เป็นจำนüนจริง ค่าที่ได้คือลิมิตของฟังก์ชัน f (x) ขณะที่ x มีค่าเข้าใกล้ a กรณีที่ 2 ถ้านำ a แทนค่า x ใน f (x) แล้üปรากฏü่า มีค่าเป็นýูนย์ÿ่üนýูนย์ ต้องĀลีกเลี่ยงการแทนค่า x แล้üทำโดยüิธีการดังต่อไปนี้ 2.1 แยกตัüประกอบ 2.2 ถ้าแยกตัüประกอบไม่ได้Āรือโจทย์อยู่ในรูป n ใĀ้เอาคอนจูเกตคูณทั้งเýþและÿ่üน ตัüอย่างที่ 1 กำĀนดใĀ้ ( ) ¯ ( ) ® − + t + = 2 ; 0 2 4 ; 0 2 x x x x f x จงĀา f (x) x 0 lim →
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 26 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) ตัüอย่างที่ 2 จงĀาค่าของ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § − + − → 3 5 4 lim 2 2 2 x x x 1.2 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ความต่อเนื่องของฟังก์ชันเมื่อพิจารณาจากกราฟ การพิจารณาว่ากราฟต่อเนื่องที่ x = a หรือไม่ ให้ใช้ดินสอหรือปากกาเขียนกราฟของฟังก์ชัน ผ่านจุด a โดยไม่ต้องยกดินสอหรือปากกาจากกระดาษที่เขียนกราฟเลย ถา้เป็นเช่นน้ีแสดงวา่กราฟ ต่อเนื่องที่จุด x = a ในทางตรงกันข้ามถ้าเกิดการขาดตอนหรือไม่ต่อกันที่จุด x = a เราเรียกว่ากราฟไม่ต่อเนื่องที่จุด x = a ความต่อเนื่องของฟังก์ชันเมื่อพิจารณาจากนิยาม นิยาม f เป็ นฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุด x = a ก็ต่อเมื่อ f มีคุณสมบตัิดงัน้ี 1. f (a) หาค่าได้ 2. f (x) x→a lim หาค่าได้ และ 3. f (a) f (x) x→a = lim
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 27 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) ฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงเปิ ด (a,b) นิยาม ฟังก์ชัน f เป็ นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องบนช่วงเปิ ด (a,b) ก็ต่อเมื่อ f ต่อเนื่องทุก ๆ จุด ในช่วงเปิ ด (a,b) นนั่คือ f ต่อเนื่องบนช่วงเปิ ด (a,b) ก็ต่อเมื่อ ถ้า c(a,b) แล้ว 1. f (c) หาค่าได้ 2. ( ) x c f x → lim หาค่าได้ และ 3. f c f (x) x→c ( ) = lim ฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิ ด >a,b@ นิยาม ฟังก์ชัน f เป็ นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง >a,b@ ก็ต่อเมื่อ 1. f ต่อเนื่องทุก ๆ จุดบนช่วงเปิ ด (a,b) 2. f (a) x a = → + lim และ 3. f (b) x b = → − lim ตัüอย่างที่ 3 ก าหนดให้ ( ) ( ) ° ° ¯ ° ° ® ! − − − d + + − = ; 1 1 1 ; 1 1 2 1 2 1 2 x x x x x x x f x จงพิจารณาว่า f เป็ นฟังก์ชัน ต่อเนื่องที่ x = 1 หรือไม่
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 28 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) 2. อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 2.1 อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน โดยที่ x y ' ' เรียกü่าอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x นั่นคือÿรุปได้ü่า อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่üง x ถึง x + h เมื่อ h z 0 Āรือ ในช่üง x ถึง x + 'x เมื่อ 'x z 0 คือ x y ' ' = h f (x + h) − f (x) = x f x x f x ' ( + ' ) − ( ) อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ในขณะ x มีค่าใด ๆ นิยาม ถ้า y = f (x) เป็นฟังก์ชันใด ๆ เมื่อค่าของ x เปลี่ยนเป็น x + h โดยที่ h z 0 ค่าของ y เปลี่ยนจาก f (x)เป็น f (x + h)แล้üอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ในขณะ x มีค่าใด ๆ คือ ( ) ( ) x f x x f x x y x x ' + ' − = ' ' ' →0 ' →0 lim lim Āรือ ( ) ( ) h f x h f x h + − →0 lim 2.2 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน นิยาม กำĀนดใĀ้ฟังก์ชัน y = f (x) ซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นÿับเซตของจำนวนจริง 1. ถ้า x f x x f x x ' + ' − ' → ( ) ( ) lim 0 Āาค่าได้แล้ü ค่าของลิมิตที่ได้ เรียกü่า อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x 2. ถ้า x f x x f x x ' + ' − ' → ( ) ( ) lim 0 Āาค่าไม่ได้ เราจะเรียกü่า ฟังก์ชัน f ไม่มีอนุพันธ์ที่ x ÿัญลักþณ์ของอนุพันธ์ เมื่อกำĀนดใĀ้ y = f (x) ÿัญลักþณ์ที่ใช้แทนอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f คือ yc อ่านü่า üาย ไพร์ม f c(x) อ่านü่า เอฟ ไพร์ม เอกซ์ dx dy อ่านü่า ดีüายบายดีเอกซ์
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 29 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) คüามชันของเÿ้นโค้ง คüามชันของเÿ้นตรงที่ÿัมผัÿเÿ้นโค้ง y = f (x) ณ จุด P(x, y) ใด ๆ dx dy = Āรือ f c(x) นิยาม คüามชันของเÿ้นโค้ง ณ จุด P(x, y) ใดๆ บนเÿ้นโค้ง Āมายถึง คüามชันของเÿ้นÿัมผัÿโค้ง ณ จุด P การĀาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้ÿูตร 1. ถ้า y = f (x) = c เมื่อ c เป็นค่าคงตัü แล้ü dx dy = dx dc = 0 2. ถ้า y = f (x) = x แล้ü dx dy = dx dx = 1 3. ถ้า ( ) n y = f x = x แล้ü dx dy = dx dx n = n−1 nx 4. ถ้า ( ) n y = f x = cx แล้ü dx dy = dx dcx n = dx cdx n = n−1 cnx 5. ถ้า y = f (x) + g(x) แล้ü dx dy = f c(x) + gc(x) 6. ถ้า y = f (x) − g(x) แล้ü dx dy = f c(x) − gc(x) 7 ถ้า y = f (x) g(x) และ f c(x), gc(x) Āาค่าได้ แล้ü = dx dy f (x) gc(x) + g(x) f c(x) 8. ถ้า ( ) ( ) g x f x y = เมื่อ g(x) z 0 และ f c(x ), g c(x ) Āาค่าได้ แล้ü 2 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) g x g x f x f x g x dx dy c − c = 9. ถ้า > ( )@ n y = f x และ f c(x) Āาค่าได้ แล้ü [ ( )] ( ) 1 n f x f x dx dy n = c − ตัüอย่างที่ 4 จงĀาอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของฟังก์ชัน 3 7 3 2 x − x + ตัüอย่างที่ 5 กำĀนดใĀ้ ( ) ( ) 3 f x = 1− 3x จงĀา f cc(1)
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 30 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) 2.4 การนำอนุพันธ์ของฟังก์ชันมาประยุกต์ใช้ ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด ( Increasing Function & Decreasing Function ) นิยาม กำĀนดใĀ้ A R และ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป R และ B A จะได้ü่า f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม บน B ก็ต่อเมื่อ ถ้า x1 , x2 B และ 1 2 x x แล้ü ( ) ( ) 1 2 f x f x นิยาม กำĀนดใĀ้ A R และ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป R และ B A จะได้ü่า f เป็นฟังก์ชันลด บน B ก็ต่อเมื่อ ถ้า x1 , x2 B และ 1 2 x x แล้ü ( ) ( ) 1 2 f x ! f x ทฤþฎีบท กำĀนดใĀ้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน >a,b@ และĀาอนุพันธ์ได้บน (a,b) 1. ถ้า f c(x) ! 0 ÿำĀรับทุก x (a,b) แล้ü f จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มบน >a,b@ 2. ถ้า f c(x) 0 ÿำĀรับทุก x (a,b) แล้ü f จะเป็นฟังก์ชันลดบน >a,b@ ĀมายเĀตุ ข้อคüามในทฤþฎีบทนี้ จะยังคงเป็นจริง เมื่อเปลี่ยนช่üงเป็นช่üงอนันต์ นั่นคือ 1) กำĀนดใĀ้f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน >a,f) และĀาอนุพันธ์ได้บน (a,f) 1. ถ้า f c(x) ! 0 ÿำĀรับทุก x (a,f) แล้ü f จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มบน >a,f) 2. ถ้า f c(x) 0 ÿำĀรับทุก x (a,f) แล้ü f จะเป็นฟังก์ชันลดบน >a,f) 2) กำĀนดใĀ้f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน (− f,a@ และĀาอนุพันธ์ได้บน (− f,a) 1. ถ้า f c(x) ! 0 ÿำĀรับทุก x (− f,a)แล้ü f จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มบน (− f,a@ 2. ถ้า f c(x) 0 ÿำĀรับทุก x (− f,a)แล้ü f จะเป็นฟังก์ชันลดบน (− f,a@
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 31 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) ค่าÿูงÿุดÿัมพัทธ์และค่าต่ำÿุดÿัมพัทธ์ นิยาม กำĀนดใĀ้ c เป็นจำนüนจริงที่อยู่ในโดเมนของฟังก์ชัน f 1. f (c) เป็นค่าÿูงÿุดÿัมพัทธ์ ของ f ถ้ามีช่üงเปิด (a,b) ซึ่ง c(a,b) และทำใĀ้ f (c) t f (x) ÿำĀรับทุก x(a,b) 2. f (c) เป็นค่าต่ำÿุดÿัมพัทธ์ ของ f ถ้ามีช่üงเปิด (a,b) ซึ่ง c(a,b) และทำใĀ้ f (c) d f (x) ÿำĀรับทุก x(a,b) นิยาม จำนüนจริง c ในโดเมนของฟังก์ชัน f จะเรียกü่า ค่าüิกฤต ( Critical Value ) เมื่อ f c(c) = 0 Āรือ f c(c) Āาค่าไม่ได้ และเมื่อ c เป็นค่าüิกฤตของฟังก์ชัน f แล้üจะเรียก (c, f (c)) ü่า จุดüิกฤตของ f การตรวจÿอบค่าÿูงÿุดÿัมพัทธ์และค่าต่ำÿุดÿัมพัทธ์โดยใช้อนุพันธ์อันดับที่ÿอง ÿมมุติใĀ้ c เป็นค่าüิกฤตของฟังก์ชัน f และ (a,b) เป็นช่üงเปิดซึ่ง c(a,b) ที่ทำใĀ้ฟังก์ชัน ต่อเนื่องบนช่üง >a,b@ และ f c(c) = 0 1. ถ้า f cc(c) 0 แล้ü f (c) จะเป็นค่าÿูงÿุดÿัมพัทธ์ของฟังก์ชัน f 2. ถ้า f cc(c) ! 0 แล้ü f (c) จะเป็นค่าต่ำÿุดÿัมพัทธ์ของฟังก์ชัน f 3. ถ้า f cc(c) = 0 Āรือ f c(c) Āาค่าไม่ได้ แÿดงü่า การตรüจÿอบด้üยüิธีนี้ใช้ไม่ได้ ต้อง ย้อนกลับไปใช้อนุพันธ์อันดับที่Āนึ่ง ตัüอย่างที่ 6 กำĀนดใĀ้ 8 5 4 2 y = x − x + จงĀาจุดÿูงÿุดÿัมพัทธ์ Āรือจุดต่ำÿุดÿัมพัทธ์
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 32 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) ค่าÿูงÿุดÿัมบูรณ์และค่าต่ำÿุดÿัมบูรณ์ นิยาม กำĀนดใĀ้ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่üง >a,b@ และ c>a,b@ 1. f มีค่าÿูงÿุดÿัมบูรณ์ที่ c ถ้า f (x) d f (c) ÿำĀรับทุก x>a,b@ 2. f มีค่าต่ำÿุดÿัมบูรณ์ที่ c ถ้า f (x) t f (c) ÿำĀรับทุก x>a,b@ มีขั้นตอนในการĀาดังนี้ 1. Āาค่าÿูงÿุดÿัมพัทธ์Āรือค่าต่ำÿุดÿัมพัทธ์ในช่üง >a,b@ 2. Āาค่า f (a) และ f (b) 3. เปรียบเทียบค่าที่ได้ในข้อ 1 และข้อ 2 ถ้าค่าใดมีค่ามากที่ÿุดค่านั้นจะเป็นค่าÿูงÿุดÿัมบูรณ์ ถ้าค่าใดมีค่าน้อยที่ÿุดค่านั้นจะเป็นค่าต่ำÿุดÿัมบูรณ์ คüามเร็üและคüามเร่งของüัตถุที่เคลื่อนที่ในแนüเÿ้นตรง คüามเร็üในขณะ t ใด ๆ เท่ากับ h f t h f t h ( ) ( ) 0 lim + − → = f c(t) นั่นคือ ( ) f (t) dt ds v t = = c คüามเร่งในขณะ t ใด ๆ เท่ากับ h v t h v t h ( ) ( ) 0 lim + − → = vc(t) นั่นคือ ( ) v (t) dt dv a t = = c 3. การปริพันธ์ ( Integration ) ปฏิยานุพันธ์ ( Antiderivative ) นิยาม ฟังก์ชัน F เป็นปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน f ก็ต่อเมื่อ Df Fc(x) = f (x) ; x
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 33 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) 3.1 ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต ( Indefinite Integral ) ÿามารถÿรุปเป็นÿูตรในการคำนüณดังนี้ 1. ³ dx = x + c 2. ³ kdx = kx + c 3. ³ x dx n = c n x n + + + 1 1 4. ³ kf (x)dx = k f x dx + c ³ ( ) 5. ³( f (x) + g(x))dx = ³ ³ f (x)dx + g(x)dx 6. ³( f (x) − g(x))dx = ³ ³ f (x)dx − g(x)dx 7. ³ dx x 1 = ln x + c ตัüอย่างที่ 7 กำĀนดใĀ้ f cc(x) = 6x − 8 , f c(0) = 2 และ f (1) = 4 จงĀา f (x) 3.2 ปริพันธ์จำกัดเขต ( Definite Integral ) นิยาม อินทิกรัลจำกัดเขตของฟังก์ชันต่อเนื่อง f บนช่üง >a,b@ คือ ³ b a f (x)dx = ( ) b a F x | = F(b) − F(a) เมื่อ Fc(x) = f (x) เรียก a ü่า ลิมิตล่าง ( Lower Limit ) และ เรียก b ü่า ลิมิตบน ( Upper Limit )
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 34 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) ÿามารถÿรุปเป็นÿูตรในการคำนüณปริพันธ์จำกัดเขต คือ 1. ³ = a a f (x)dx 0 2. ³ ³ = − a b b a f (x)dx f (x)dx 3. f (x)dx f (x)dx f (x)dx ; c [a, b] c a b c b a = + ³ ³ ³ 4. ³ ³ = b a b a kf (x)dx k f (x)dx เมื่อ k เป็นค่าคงที่ 5. kdx k(b a) b a = − ³ เมื่อ k เป็นค่าคงที่ 6. ³ ³ ³ r = r b a b a b a [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx 3.3 พื้นที่ปิดล้อมด้üยเÿ้นโค้ง การĀาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้üยเÿ้นโค้งกับแกน X ทฤþฎีบท ใĀ้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่üงปิด >a,b@ และ f (x) t 0 ถ้า A คือ พื้นที่ที่ล้อมรอบด้üยเÿ้นโค้ง y = f (x) แกน x เÿ้นตรง x = a และเÿ้นตรง x = b แล้ü A f (x) dx b a ³ = ในกรณีที่ f (x) d 0 พื้นที่ระĀü่างเÿ้นโค้ง y = f (x) กับแกน X ตั้งแต่ x = a ถึง x = b Āาได้จาก > f (x)@ dx b a ³ − Āรือ f (x) dx b a ³ − การĀาพื้นที่ระĀü่างเÿ้นโค้ง นิยาม ใĀ้ f และ g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่üงปิด >a,b@ บริเüณที่ถูกปิดล้อมด้üยเÿ้นโค้ง f และ g จาก x = a ถึง x = b Āมายถึงบริเüณที่ปิดล้อมด้üย เÿ้นโค้ง f เÿ้นโค้ง g จาก เÿ้นตรง x = a และเÿ้นตรง x = b ดังรูปต่อไปนี้
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 35 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) ทฤþฎีบท กำĀนดใĀ้ f และ g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่üง >a,b@ โดยที่ f (x) t g(x),x[a,b] ถ้า A แทนพื้นที่ของบริเüณที่ถูกปิดล้อมด้üยโค้ง f และ g จาก x = a ถึง x = b แล้ü จะได้ü่า พื้นที่ ³ = − b a A [ f (x) g(x)]dx ตัüอย่างที่ 8 จงĀาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้üยเÿ้นโค้ง y x 4x 2 = − กับแกน X จาก x = −1 ถึง x = 5 ตัüอย่างที่ 9 จงĀาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้üยกราฟ ( ) 2 f x = 2 − x กับกราฟ g(x) = −x
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 36 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) สรุปแคลคูลัสเบื้องต้น
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 37 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) ข ้ อสอบเข ้ ำมหำวิทยำลยั 1. สมกำรของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ที่จุด ตรงกับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2. 3. 4. 5. 2. ให้ และ ถ้ำ แล้ว มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2. 3. 4. 5.
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 38 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) 3. ให้ เป็นฟังก์ชันก ำลังสอง โดยที่กรำฟของ มีจุดต ่ำสุดที่ และตัดแกน ที่จุด และ ถ้ำพื้นที่ปิดล้อมด้วยกรำฟของ และแกน จำก ถึง เท่ำกับ ตำรำงหน่วย แล้ว มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2. 3. 4. 5. 4. ให้ เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจ ำนวนจริง โดยที่ 1 เมื่อ และ เป็นจ ำนวนจริง ถ้ำ และ แล้ว มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2. 3. 4. 5.
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 39 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) 5. ก ำหนดให้ฟังก์ชัน เมื่อ เป็นจ ำนวนจริง ถ้ำ , และ แล้ว เท่ำกับเท่ำใด 6. ก ำหนดให้ฟังก์ชัน เมื่อ เป็นจ ำนวนจริง ถ้ำ และ แล้ว เท่ำกับเท่ำใด
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 40 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) 7. ให้ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซตของจ ำนวนจริง ซึ่ง และ โดยที่ เป็นจ ำนวนจริง แล้ว เท่ำกับเท่ำใด 1. 4 2. 2 3. 0 4. – 2 5. – 4 8. ให้ และ เป็นฟังก์ชันที่หำอนุพันธ์ได้ที่สอดคล้องกับ ถ้ำ ให้หำค่ำ 1. 2. 3. 4. 5.
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 41 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) 9. ก ำหนดให้ และ ถ้ำ แล้ว มีค่ำ เท่ำกับเท่ำใด 10. ก ำหนดให้ ที่สอดคล้องกับ โดยที่ และ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง แล้ว มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 42 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) 11. ก ำหนดเส้นตรง ตัดกรำฟของ ที่ และ แล้วค่ำของ เท่ำกับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2. 3. 4. 5. 12. ก ำหนดให้ เป็นฟังก์ชันพหุนำมดีกรี ที่มีค่ำวิกฤต คือ และ พิจำรณำข้อควำมต่อไปนี้ ก. ข. ค. ง. ค่ำเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล และ มีค่ำเท่ำกับ จ ำนวนข้อควำมที่ถูกต้องเท่ำกับข้อใด 1. (ไม่มีข้อใดถูกต้อง) 2. 3. 4. 5.
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 43 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) 13. ข้อใดกล่ำวได้ถูกต้องเกี่ยวกับ 1. หำค่ำไม่ได้ 2. มีค่ำเท่ำกับ 3. มีค่ำเท่ำกับ 4. มีค่ำเท่ำกับ 5. มีค่ำเท่ำกับ 14. ก ำหนดให้ แล้วค่ำของ เท่ำกับข้อใด 1. 2. 3. 4. 5.
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 44 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) 15. ถ้ำล ำดับ แล้ว มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2. 3. 4. 5. 16. ก ำหนดให้ เป็นฟังก์ชันพนุนำม ซึ่ง และ ถ้ำ ต่อเนื่องที่ แล้ว มีค่ำต ่ำสุดสัมพัทธ์เท่ำกับข้อใด 1. 2. 3. 4. 5.
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 45 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) 17. ก ำหนดให้ โดยที่ เป็นจ ำนวนจริงบวก ถ้ำ มีค่ำต ่ำสุดสัมพัทธ์ เท่ำกับ แล้ว มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด 18. ก ำหนดให้ เป็นล ำดับเลขคณิต ซึ่ง ถ้ำ แล้ว มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2. 3. 4. 5.
โรงเรียนÿันติราþฎร์üิทยาลัย 46 คณิตýาÿตร์เÿริมประÿบการณ์5 (ค33203) 19. ค่ำของ เท่ำกับเท่ำใด 20. ก ำหนดให้ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ ถ้ำ แล้ว มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด 1. 2. 3. 4. 5.