Chapter 4-3 ปริพันธ์และการประยุกต์ปริพันธ์

หน่วยท่ี 4-3

ปริพนั ธ์และ
การประยกุ ต์ของปรพิ นั ธ์

ดร. ปวติ รา อวยจินดา & ดร.เกวลี สบื ญาติ

วิทยาลยั วทิ ยาศาสตรก์ ารแพทย์เจา้ ฟา้ จฬุ าภรณ์ ราชวทิ ยาลัยจุฬาภรณ์ จภคณ 101 แคลคลู สั

2

สาระสาคญั

เทคนิคการอนิ ทเิ กรต
Techniques of Integration

มาเรยี นเทคนคิ การอนิ ทเิ กรต
ต่อกนั เลยดีกวา่ !!!

จภคณ 101 แคลคูลสั ดร. ปวติ รา อวยจินดา & ดร.เกวลี สืบญาติ

3

เทคนคิ การอนิ ทิเกรต

1 2 3

การอินทิเกรต การอนิ ทิเกรตทีละส่วน การอินทิเกรต
โดยการเปลยี่ นตวั แปร โดยใช้เศษส่วนยอ่ ย

สัปดาห์ทแี่ ลว้ เรียนเทคนคิ นี้ **สปั ดาห์น้เี รยี นอกี 2 เทคนิคน้ีกันนะ**
จภคณ 101 แคลคูลสั ดร. ปวิตรา อวยจนิ ดา & ดร.เกวลี สบื ญาติ

4

การอินทเิ กรตโดยการเปลย่ี นตวั แปร

มาทบทวนการอินทเิ กรตโดยการเปลี่ยนตัวแปรกันสักนิดหนอ่ ย
ก่อนเรียนเทคนิคตอ่ ไป

จภคณ 101 แคลคลู สั ดร. ปวติ รา อวยจนิ ดา & ดร.เกวลี สบื ญาติ

5 ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาคา่ (2x −3)9dx

ทฤษฎบี ท 4.6 วิธีทา ให้ u = 2x − 3 และ du = 2 dx

กาหนดให้ g และ f เปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เน่อื งบนชว่ ง I จากทฤษฎบี ท จะได้วา่ 1 du = dx
ถ้า g หาอนพุ นั ธ์ได้ และ F เปน็ ปฏยิ านพุ ันธข์ อง f 2
บน I แลว้
 (2x − 3)9dx =  9 1 du
 f (u) du = F (u) + C 2
u
เมอ่ื u = g(x) และ du = g(x)dx
= 1 9 = u10 + C
จภคณ 101 แคลคลู สั
u du
2 20

แล้วแทนคา่ u ลงในสมการ จะได้

 (2x − 3)9dx = (2x − 3)10 + C

20

ดร. ปวติ รา อวยจินดา & ดร.เกวลี สบื ญาติ

6

https://youtu.be/216d2cInzq4 ตัวอยา่ งท่ี 1

จภคณ 101 แคลคลู สั การคานวณหาคา่ อินทิกรัล
โดยใชเ้ ทคนคิ

การเปลย่ี นตัวแปร

ดร. ปวติ รา อวยจนิ ดา & ดร.เกวลี สบื ญาติ

7

การอินทิเกรตทีละส่วน

+++ เทคนิคการอินทเิ กรตแรกทจ่ี ะได้เรียนกันในสปั ดาหน์ ี้ +++

จภคณ 101 แคลคูลสั ดร. ปวิตรา อวยจินดา & ดร.เกวลี สืบญาติ

8

ทฤษฎบี ท 4.7

ถ้า u และ v เปน็ ฟงั กช์ ันของ x และมีอนพุ นั ธต์ อ่ เน่อื งแลว้

 u dv = uv −  v du

และถ้าเขยี นอยูใ่ นรูปอนิ ทิกรัลจากัดเขต จะไดว้ า่

bb

 u dv = uv b −  v du
a

aa

จภคณ 101 แคลคลู สั ดร. ปวติ รา อวยจินดา & ดร.เกวลี สืบญาติ

9 https://youtu.be/IS8z9TyTnXA

ตวั อยา่ งท่ี 2 ดร. ปวติ รา อวยจนิ ดา & ดร.เกวลี สบื ญาติ

การคานวณหาค่าอนิ ทกิ รัล
โดยใช้เทคนิค

การอนิ ทิเกรตทลี ะส่วน

จภคณ 101 แคลคูลสั

10

การอินทเิ กรตโดยใช้เศษส่วนย่อย

+++ อกี หน่งึ เทคนิคการอนิ ทเิ กรตทจ่ี ะไดเ้ รยี นกันในสัปดาหน์ ี้ +++

จภคณ 101 แคลคูลสั ดร. ปวติ รา อวยจินดา & ดร.เกวลี สืบญาติ

11

นิยาม 4.5

กาหนดให้ P(x) และ Q(x) เป็นฟังก์ชันพหุนาม เราจะเรียก f ( x ) = P ( x)
Q ( x)

วา่ เปน็ ฟังกช์ นั ตรรกยะ (Rational Function) ถา้ ดกี รีของ P(x) นอ้ ยกวา่ ดีกรขี อง Q(x)

เราจะเรยี ก f ( x) วา่ เปน็ ฟงั กช์ ันตรรกยะแท้ (Proper Rational Function)

และหากดกี รขี อง P(x) มากกว่าดกี รขี อง Q(x) เราจะเรยี ก f ( x) ว่าเป็น

ฟังก์ชนั ตรรกยะไม่แท้ (Improper Rational Function)

จภคณ 101 แคลคลู ัส ดร. ปวิตรา อวยจนิ ดา & ดร.เกวลี สืบญาติ

12

ขัน้ ตอนการทาเปน็ เศษสว่ นยอ่ ย มีดังตอ่ ไปน้ี

แยกตวั ประกอบ (Factor) ของพหนุ าม Q(x) ให้อย่ใู นรูปผลคูณของ
ตวั ประกอบกาลงั 1 หรอื ตวั ประกอบกาลงั 2

เขยี น P(x) ให้อยูใ่ นรูปผลรวมของเศษส่วนย่อยรปู แบบต่างๆ ดงั ต่อไปนี้

Q(x)

Q(x) มีตวั ประกอบกาลงั 1 (Linear Factor) และ Q(x) ไมม่ ีตัวประกอบซ้า

P(x) = ( x − a1 ) ( x − P(x) a3 ) (x − an ) = x A1 + x A2 + x A3 + + An
a2 )( x − − a1 − a2 − a3 x − an
Q(x)

จภคณ 101 แคลคลู สั ดร. ปวิตรา อวยจนิ ดา & ดร.เกวลี สบื ญาติ

13

Q(x) มีตัวประกอบกาลัง 1 และ Q(x) ซงึ่ มตี ัวประกอบซ้า n คร้งั

P(x) = P(x) = A1 + A2 + A3 + + ( An )n
( x − a1 )n − a1
Q(x) ( x − a1 ) ( x − a1 )2 ( x − a1 )3 x

Q(x) มีตวั ประกอบกาลัง 2 (Quadratic Factor)
P ( x) = Bx + C

Q(x) ax2 + bx + c

Q(x) มตี ัวประกอบกาลัง 2 และ Q(x) ซึ่งมีตวั ประกอบซ้า n คร้ัง

P ( x) = Bx + C = B1x + C1 + B2 x + C2 + + Bn x + Cn
( ) ( ) ( )Q(x) ax2 + bx + c n ax2 + bx + c ax2 + bx + c 2
( )ax2 + bx + c n

จภคณ 101 แคลคูลสั ดร. ปวติ รา อวยจนิ ดา & ดร.เกวลี สบื ญาติ

14

หาคา่ คงท่ี A1, A2, A3,..., An , B1, B2, B3,..., Bn และ C1,C2,C3,...,Cn
ในเศษสว่ นย่อย โดยการนา Q(x) คณู ตลอดท้งั 2 ข้างของสมการ จากนั้นใชว้ ิธี

1. เทยี บสัมประสิทธ์ขิ องเทอม x ยกกาลงั ต่างๆ
2. แทนคา่ x บางค่า

จภคณ 101 แคลคลู สั ดร. ปวติ รา อวยจนิ ดา & ดร.เกวลี สบื ญาติ

15

การคานวณหาค่าอินทิกรัล https://youtu.be/bB1ENjnvMhE
โดยใช้เทคนิคเศษส่วนย่อย
ดร. ปวิตรา อวยจนิ ดา & ดร.เกวลี สบื ญาติ
จภคณ 101 แคลคูลัส

16 ดร. ปวติ รา อวยจินดา & ดร.เกวลี สบื ญาติ

แบบฝกึ หดั
ครั้งท่ี 3

จภคณ 101 แคลคลู สั

Thanks!

Do you have any questions?
[email protected]
+91 620 421 838 yourcompany.com

CREDITS: This presentation template was created by Slidesgo,
including icons by Flaticon, and infographics & images by Freepik.

Please keep this slide for attribution.

หน่วยท่ี 4-3

ปริพนั ธ์และ
การประยกุ ต์ของปรพิ นั ธ์

ดร. ปวติ รา อวยจินดา & ดร.เกวลี สบื ญาติ

วิทยาลยั วทิ ยาศาสตรก์ ารแพทย์เจา้ ฟา้ จฬุ าภรณ์ ราชวทิ ยาลัยจุฬาภรณ์ จภคณ 101 แคลคลู สั