Chapter 4-5 ปริพันธ์และการประยุกต์ปริพันธ์

หน่วยท่ี 4-5

ปริพนั ธ์และ
การประยกุ ต์ของปรพิ นั ธ์

ดร. ปวติ รา อวยจินดา & ดร.เกวลี สบื ญาติ

วิทยาลยั วทิ ยาศาสตรก์ ารแพทย์เจา้ ฟา้ จฬุ าภรณ์ ราชวทิ ยาลัยจุฬาภรณ์ จภคณ 101 แคลคลู สั

2

สาระสาคญั

ปริพันธไ์ มต่ รงแบบ (Improper Integral)

>> ปรพิ ันธ์ไม่ตรงแบบบนช่วงปิด
(Unbound Integrals of Integrations)

>> ปริพันธไ์ มต่ รงแบบบนช่วงเปิดอนันต์
(Unbounded Integrands)

จภคณ 101 แคลคูลัส ดร. ปวิตรา อวยจนิ ดา & ดร.เกวลี สืบญาติ

3

ปรพิ นั ธ์ไม่ตรงแบบ
บนชว่ งปดิ

มารู้จกั กบั ปรพิ ันธ์ สาหรบั กรณที ่คี า่ ปรพิ นั ธ์
ไม่สอดคล้องกบั เงอ่ื นไขของปริพันธ์จากัดเขต

กันเถอะ !!!

จภคณ 101 แคลคูลัส ดร. ปวิตรา อวยจนิ ดา & ดร.เกวลี สืบญาติ

4

นิยาม 4.6

กาหนดให้ f เปน็ ฟงั กช์ ันท่ตี ่อเนื่องบนชว่ งทก่ี าหนดให้ และถ้าลมิ ิตตา่ งๆ ทีก่ ลา่ วถึง
ตอ่ ไปน้หี าคา่ ได้ ในการคานวณปริพนั ธไ์ ม่ตรงแบบ จะสามารถคานวณไดจ้ ากนยิ าม
ต่อไปน้ี

b ถา้ ลมิ ิตหาคา่ ได้ จะกล่าววา่
ปรพิ นั ธ์ไม่ตรงแบบเป็น
 f (x)dx = lim f (x)dx ปริพนั ธ์ท่ีลูเ่ ขา้ (Converge)
b→
aa

bb ถ้าลมิ ติ หาคา่ ไมไ่ ด้ จะกลา่ วว่า
ปรพิ นั ธ์ไม่ตรงแบบเป็น
 f (x)dx = lim f (x)dx ปริพนั ธ์ทไี่ ม่ลูเ่ ขา้ (Diverge)
a→−
− a

จภคณ 101 แคลคลู ัส ดร. ปวิตรา อวยจนิ ดา & ดร.เกวลี สบื ญาติ

5

นิยาม 4.7

c

กาหนดให้ f เปน็ ฟงั ก์ชันที่ตอ่ เนื่องบนชว่ ง (−,) ถ้า  f (x)dx และ

c  −

 f (x)dx เป็นปริพนั ธ์ทีล่ ู่เข้า เราจะกล่าววา่  f (x)dx ลเู่ ขา้ ดว้ ย และนิยาม

− −

คา่ ปริพันธไ์ ด้ดังน้ี

 c ปริพนั ธ์ทางขวามือหนึ่งหรือท้ัง
สองปริพนั ธไ์ มล่ เู่ ขา้ นน้ั คอื
 f (x)dx =  f (x)dx +  f (x)dx ปรพิ นั ธท์ างซา้ ยมอื ไมล่ ู่เขา้ ดว้ ย

− − c

จภคณ 101 แคลคูลสั ดร. ปวิตรา อวยจินดา & ดร.เกวลี สบื ญาติ

6 ตัวอยา่ ง

https://youtu.be/44x1mw88A-A ปรพิ นั ธไ์ มต่ รงแบบ
บนชว่ งปิด
จภคณ 101 แคลคูลัส
ดร. ปวติ รา อวยจนิ ดา & ดร.เกวลี สืบญาติ

7

ปริพนั ธไ์ มต่ รงแบบ
บนช่วงเปิดอนนั ต์

ลิมติ ของการหาปริพันธ์ตัวหน่งึ หรือระหว่างลมิ ิต
ของการหาปรพิ นั ธ์มีความไมต่ ่อเน่อื งอนนั ต์

จภคณ 101 แคลคูลสั ดร. ปวติ รา อวยจนิ ดา & ดร.เกวลี สบื ญาติ

8

นยิ าม 4.8

นยิ ามปรพิ นั ธไ์ มต่ รงแบบของฟังก์ชันไม่มขี อบเขตบนชว่ ง [a,b] มดี ังนี้

(a) ถา้ f ตอ่ เน่อื งบนชว่ ง [a,b) และมีจุดตอ่ เนอ่ื งอนนั ตท์ ่ี b แลว้

bt

 f (x)dx = lim f (x)dx
t →b−
aa

(b) ถ้า f ตอ่ เนื่องบนช่วง (a,b] และมีจดุ ตอ่ เน่อื งอนนั ต์ที่ a แลว้

bb

 f (x)dx = lim f (x)dx
t→a+
at

จภคณ 101 แคลคลู สั ดร. ปวติ รา อวยจนิ ดา & ดร.เกวลี สบื ญาติ

9

นิยาม 4.8

นยิ ามปรพิ ันธไ์ มต่ รงแบบของฟังก์ชนั ไม่มีขอบเขตบนชว่ ง [a,b] มดี งั นี้

(c) ถ้า f ตอ่ เนื่องบนชว่ ง [a,b] ยกเว้นจดุ c บางจุดใน (a,b) ซงึ่ ทาให้
f มีความไม่ต่อเนอ่ื งอนันต์ แล้ว

b cb

 f (x)dx =  f (x)dx +  f (x)dx

a ac

จภคณ 101 แคลคูลสั ดร. ปวติ รา อวยจนิ ดา & ดร.เกวลี สบื ญาติ

10 ตวั อยา่ ง

https://youtu.be/QenoXT8xBlI ปริพันธ์ไม่ตรงแบบ
บนชว่ งเปิดอนันต์
จภคณ 101 แคลคูลัส
ดร. ปวิตรา อวยจินดา & ดร.เกวลี สบื ญาติ

11 ดร. ปวติ รา อวยจินดา & ดร.เกวลี สบื ญาติ

แบบฝกึ หดั
ครั้งท่ี 5

จภคณ 101 แคลคลู สั

Thanks!

Do you have any questions?
[email protected]
+91 620 421 838 yourcompany.com

CREDITS: This presentation template was created by Slidesgo,
including icons by Flaticon, and infographics & images by Freepik.

Please keep this slide for attribution.

หน่วยท่ี 4-5

ปริพนั ธ์และ
การประยกุ ต์ของปรพิ นั ธ์

ดร. ปวติ รา อวยจินดา & ดร.เกวลี สบื ญาติ

วิทยาลยั วทิ ยาศาสตรก์ ารแพทย์เจา้ ฟา้ จฬุ าภรณ์ ราชวทิ ยาลัยจุฬาภรณ์ จภคณ 101 แคลคลู สั