FUNGSI DETERMINAN JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN MEI 2023 Kelompok 7 PSPM 2021 C
MODUL AJAR ALJABAR LINIER ELEMENTER Kelompok 7 PSPM 2021 C Lady Christine. E. Br Jawak (4211111014) Putri Lingga Sari (4213311012) Ruth Miranda Hutasoit (4212411010)
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas anugrahnya, sehingga modul digital ini dapat terselesaikan dengan baik. Modul digital ini diharapkan dapat membantu mahasiswa dalam memahami materi fungsi determinan. Modul digital ini merupakan modul pertama yang dibuat oleh penulis, tentu masih banyak kekurangan dan kelemahannya, oleh karena itu, saran dan kritik untuk kesempurnaan modul digital ini sangat diharapkan penulis, Semoga modul digital ini bermanfaat bagi mahasiswa, dan siapa saja yang menggunakannya untuk kemajuan pendidikan. Kami juga berterimakasih kepada Bapak Drs. Yasifati Hia, M.Si yang telah membimbing kami menyelesaikan modul ini. Atas perhatian dan bantuan dari semua pihak yang terlibat dalam penyususnan modul digital ini, penulis mengucakan banyak terimakasih KATA PENGANTAR Medan, Mei 2023 Kelompok 7 i
DAFTAR ISI ii Sifat Fungsi Determinan.................................................................4 Metode Mencari Determinan........................................................6 KATA PENGANTAR................................................................................... i DAFTAR ISI.................................................................................................ii PETA KONSEP............................................................................................1 BAB I PENDAHULUAN............................................................................2 BAB II DETERMINAN MATRIKS.........................................................3 TUGAS..........................................................................................................12 BAB III PENUTUP....................................................................................14 DAFTAR PUSTAKA..................................................................................15
Fungsi Determinan Sifat Determinan Matriks Metode Mencari Determinan Matriks Sarrus CHIO Ekspansi Kofaktor PETAKONSEP 1
Determinan matriks adalah suatu nilai yang terkait dengan matriks persegi dan memiliki banyak aplikasi dalam aljabar linear, analisis matriks, dan sistem persamaan linear. Memahami konsep determinan dan cara mencarinya dengan metode yang berbeda sangat penting dalam memecahkan masalah matematika yang melibatkan matriks. Modul ini dirancang untuk membantu siswa memahami konsep determinan dan menguasai metode CHIO, reduksi baris dan kolom, sarrus, dan ekspansi kofaktor dalam mencari determinan. Modul ini akan memberikan penjelasan teoritis yang mendalam, contoh perhitungan, dan latihan-latihan untuk meningkatkan pemahaman siswa. Dengan menggunakan modul ini, mahasiswa akan dapat mengenali situasi di mana metode-metode tersebut digunakan secara efektif, memahami langkah-langkah yang diperlukan dalam menerapkan metode-metode tersebut, dan menguasai teknik-teknik yang diperlukan untuk mencari determinan dengan tepat. Modul digital ini dirancang untuk memudahkan akses mahasiswa terhadap materi, memberikan penjelasan yang jelas dan terstruktur, serta menawarkan latihan-latihan yang interaktif untuk memperkuat pemahaman konsep dan keterampilan dalam mencari determinan. BAB I PENDAHULUAN 2
Definisi matriks adalah bilangan tunggal yang diperoleh dari semua permutasi elemen matriks bujur sangkar. Jika subkrip permutasi elemen matriks adalah genap (invers genap) diberi tanda positif (+) sebaliknya jika subskrip permutasi elemen matriks adalah (invers ganjil) diberi tanda negative (-). Invers terjadi jika bilangan yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil dalam urutan subskrip permutasi elemen matriksDeterminan matriks hanya didefinisikan pada matriks bujursangkar (matriks kuadrat). Notasi determinan matriks A: det(A) = |A| atau det A = |A| Jika diketahui dari matriks A : A = BAB II DETERMINAN MATRIKS 3 Definisi Determinan Matriks
4 Maka determinan dari matriks A: atau 2.1 Sifat Fungsi Determinan Adapun sifat fungsi determinan adalah sebagai berikut: a. Jika sebarang matriks kuadrat A mengandung satu baris/kolom yang semua elemennya nol, maka det (A) = 0 Contoh : , maka det (A) = 0 (element-element baris 2 semua nol) b. Jika terdapat element-element 2 baris/kolom dari matriks kuadrat A yang sebanding/identik, maka det (A) = 0 Contoh : , maka det (A) = 0 (baris 1 dan baris 3 sebanding)
5 c. Jika matriks B didapat dari matriks A dengan jalan menukar letak sembarang baris/kolom dari matriks A, maka det(B) = -det(A) Contoh : det(A) = -2 dan det(B) = 2 (matriks B didapat dari matriks A dengan menukar letak kolom 1 dengan kolom 2) d. Jika matriks B didapat dari matriks A dengan jalan menambah unsur-unsur pada baris/kolom ke-p dengan k kali unsur baris/kolom ke-q maka det(B)=det(A) Contoh : det(A)=-8 dan det(B)=-8 (baris 3 kolom B didapat dengan jalan baris 3 matriks A ditambah 2 kali baris 2 matriks A) e. Jika matriks B didapat dari matriks A dengan jalan mengalikan k kali baris ke-p dari matriks A, maka det(B)=k.det(A) Contoh : det(A)=-8 dan det(B)=-8 (baris 3 kolom B didapat dengan jalan baris 3 matriks A ditambah 2 kali baris 2 matriks A)
Beberapa definisi yang perlu diketahui: a. disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j matriks A. Contoh : 6 f. Jika A adalah sebarang matriks kuadrat, maka det(A)=det(A'). 2.2.1 Ekspansi Kofaktor Menghitung Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Misalkan b. Kofaktor dari entri dinyatakan sebagai yaitu Contoh : 2.2 Metode Mencari Determinan Matriks
7 Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor: c. Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i d. Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-j Jawab: Misalkan,kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3
8 Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-3
2.3 Metode Sarrus Metode Sarrus (disebut juga metode Spaghetti) menggunakan perkalian elemen matriks secara diagonal. Perkalian elemen matriks pada diagonal turun (dari kiri atas kekanan bawah) diberitanda positif (+) sedangkan perkalian elemen matriks pada diagonal naik (dari kiri bawah kekanan atas) diberitanda negative (-). Misalkan: Maka: Contoh: Penyelesaian: 9
2.4 Metode CHIO Menentukan determinan kondensasi CHIO merupakan salah satu metode yang dapat digunakan dalam menentukan determinan matriks yang memiliki ordo dengan 3. Kondensasi CHIO menyusutkan determinan matriks ordo menjadi ordo dan dikalikan dengan elemen Proses kondensasi ini berakhir pada determinan matriks ordo Tanpa mengurangi perumusan, dalam tulisan ini menggunakan matriks persegi dengan syarat elemen maka dilakukan proses operasi baris/kolom yaitu menukarkan baris/kolom pada determinan matriks untuk memperoleh . Untuk menyelesaikan matriks ordo persamaan yang dapat digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut Untuk matriks dengan ordo Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini adalah : 10
Apabila ukuran matriksnya diperluas atau diperumum menjadi maka diperoleh persamaan untuk metode CHIO adalah sebagai berikut. Contoh: Hitung Determinan Matriks Dengan menggunakan metode CHIO, maka didapat 11
Tugas 12
13
Dalam modul ini, kita telah menjelajahi berbagai aspek penting mengenai determinan, termasuk definisi, sifat-sifat, dan metodemetode dalam mencarinya. Penting untuk diingat bahwa pemahaman yang kuat mengenai fungsi determinan dapat memberikan landasan yang kokoh dalam studi lebih lanjut tentang aljabar linear dan topik terkait. Dengan memahami konsep ini, kita dapat mengaplikasikan pengetahuan ini dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan, seperti fisika, ekonomi, dan teknik. Semoga modul ini telah memberikan pemahaman yang jelas dan menyeluruh tentang fungsi determinan serta memberi Anda dasar yang kuat untuk melangkah ke tingkat berikutnya dalam pembelajaran matematika. Teruslah berlatih dan eksplorasi lebih lanjut untuk mengasah pemahaman Anda. BAB III Penutup 14
DAFTAR PUSTAKA Anton, Howard & Chris Rorres. 2014. Elementary linear algebra: applications version, 11th edition. John Wiley & Sons, Inc: Hoboken, New Jersey. Indira, Glory & Yasifati Hia. 2022. Aljabar Linier Elementer. Medan: CV.Literasi Nusantara Abadi 15
Modul digital fungsi determinan ini hadir sebagi salah satu solusi mahasiswa dalam pembelajaran Aljabar Linier di tingkat perguruan tinggi. Modul ini disusun dengan tujuan untuk memberikan pemahaman yang komprehensif tentang konsep dan aplikasi fungsi determinan. Melalui penggunaan modul ini, diharapkan mahasiswa dapat mengembangkan kemampuan analitis, kritis, dan pemecahan masalah dalam konteks aljabar linier. Fungsi Determinan